Nechajte premennú X n má nekonečnú postupnosť hodnôt

X 1 , X 2 , ..., X n , ..., (1)

a zákon zmeny premennej je známy X n, t.j. pre každé prirodzené číslo n môžete zadať príslušnú hodnotu X n. Preto sa predpokladá, že premenná X n je funkciou n:

X n = f(n)

Definujme jeden z najdôležitejších pojmov matematickej analýzy - limita postupnosti, alebo, čo je to isté, limita premennej X n, ktorý prechádza sekvenciou X 1 , X 2 , ..., X n , ... . .

Definícia. Konštantné číslo a volal limit postupnosti X 1 , X 2 , ..., X n , ... . alebo limit premennej X n, ak pre ľubovoľne malé kladné číslo e existuje také prirodzené číslo N(t.j. číslo N), že všetky hodnoty premennej X n, počnúc X N, líšiť sa od a v absolútnej hodnote menšej ako o e. Táto definícia je stručne napísaná takto:

| X n -a |< (2)

pred všetkými n  N alebo čo je to isté,

Stanovenie Cauchyho limitu. Číslo A sa nazýva limita funkcie f (x) v bode a, ak je táto funkcia definovaná v niektorom okolí bodu a, možno s výnimkou samotného bodu a a pre každé ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pre všetkých x spĺňa podmienku |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Stanovenie Heineovho limitu. Číslo A sa nazýva limita funkcie f (x) v bode a, ak je táto funkcia definovaná v niektorom okolí bodu a, možno s výnimkou samotného bodu a, a pre akúkoľvek postupnosť takú, konvergujúc k číslu a, zodpovedajúca postupnosť funkčných hodnôt konverguje k číslu A.

Ak má funkcia f (x) limitu v bode a, potom je táto limita jedinečná.

Číslo A 1 sa nazýva limita funkcie f (x) vľavo v bode a, ak pre každé ε > 0 existuje δ >

Číslo A 2 sa nazýva limita funkcie f (x) vpravo v bode a, ak pre každé ε > 0 existuje δ > 0 tak, že nerovnosť platí pre všetky

Limita vľavo je označená limitou vpravo - Tieto limity charakterizujú správanie sa funkcie vľavo a vpravo od bodu a. Tieto sa často nazývajú jednosmerné limity. Pri označení jednostranných limitov pre x → 0 sa zvyčajne vynecháva prvá nula: a . Takže pre funkciu

Ak pre každé ε > 0 existuje δ-okolie bodu také, že pre všetky x spĺňajú podmienku |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, potom hovoria, že funkcia f (x) má v bode a nekonečnú limitu:

Funkcia má teda v bode x = 0 nekonečnú limitu. Často sa rozlišujú limity rovné +∞ a –∞. takže,

Ak pre každé ε > 0 existuje δ > 0 také, že pre každé x > δ je nerovnosť |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Existenčný teorém pre presné supremum

Definícia:АR mR, m je horná (spodná) strana А, ak аА аm (аm).

Definícia: Množina A je ohraničená zhora (zdola), ak existuje m také, že platí aA, am (am).

Definícia: SupA=m, ak 1) m je supremum A

2) m’: m’ m' nie je vrcholom A

InfA = n, ak 1) n je infimum A

2) n’: n’>n => n’ nie je infimum A

Definícia: SupA=m je číslo také, že: 1)  aA am

2) >0 a  A, takže a  a-

InfA = n je číslo také, že: 1) 1)  aA an

2) >0 a  A, takže E a+

Veta: Akákoľvek neprázdna množina AR ohraničená zhora má presné a jedinečné supremum.

dôkaz:

Zostrojme číslo m na číselnej osi a dokážme, že toto je supremum A.

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - horná hranica A

Segment [[m],[m]+1] - rozdelený na 10 častí

m1 =max:aA)]

m2 =max,m1:aA)]

m k =max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - horný okraj A

Dokážme, že m=[m],m 1 ...m K je supremum a že je jedinečné:

k :)