3.1. Polárne súradnice

Často používané v lietadle polárny súradnicový systém . Definuje sa, ak je daný bod O, tzv pól a lúč vychádzajúci z pólu (pre nás je to os Ox) je polárna os. Poloha bodu M je určená dvoma číslami: polomer (alebo rádiusový vektor) a uhol φ medzi polárnou osou a vektorom . Uhol φ sa nazýva polárny uhol; merané v radiánoch a počítané proti smeru hodinových ručičiek od polárnej osi.

Poloha bodu v polárnom súradnicovom systéme je daná usporiadanou dvojicou čísel (r; φ). Na póle r = 0 a φ nie je definované. Pre všetky ostatné body r > 0 a φ je definované až do násobku 2π. V tomto prípade majú dvojice čísel (r; φ) a (r 1 ; φ 1) rovnaký bod, ak .

Pre pravouhlý súradnicový systém xOy karteziánske súradnice bodu sa dajú ľahko vyjadriť pomocou jeho polárnych súradníc takto:

3.2. Geometrická interpretácia komplexného čísla

Uvažujme v rovine karteziánsky pravouhlý súradnicový systém xOy.

Každému komplexnému číslu z=(a,b) je priradený bod roviny so súradnicami ( x, y), Kde súradnica x = a, t.j. reálna časť komplexného čísla a súradnica y = bi je imaginárna časť.

Rovina, ktorej body sú komplexné čísla, je komplexná rovina.

Na obrázku je komplexné číslo z = (a, b) bod za zápas M(x, y).

Cvičenie.Nakreslite komplexné čísla v rovine súradníc:

3.3. Trigonometrický tvar komplexného čísla

Komplexné číslo v rovine má súradnice bodu M(x; y). kde:

Zápis komplexného čísla - trigonometrický tvar komplexného čísla.

Volá sa číslo r modul komplexné číslo z a je označený. Modul je nezáporné reálne číslo. Pre .

Modul je nulový vtedy a len vtedy z = 0, t.j. a=b=0.

Volá sa číslo φ argument z a označené. Argument z je definovaný nejednoznačne, ako polárny uhol v polárnom súradnicovom systéme, a to až do násobku 2π.

Potom akceptujeme: , kde φ je najmenšia hodnota argumentu. To je zrejmé

.

Pri hlbšom štúdiu témy sa zavádza pomocný argument φ*, taký, že

Príklad 1. Nájdite goniometrický tvar komplexného čísla.

Riešenie. 1) uvažujeme modul: ;

2) hľadám φ: ;

3) trigonometrický tvar:

Príklad 2 Nájdite algebraický tvar komplexného čísla .

Tu stačí nahradiť hodnoty goniometrických funkcií a transformovať výraz:

Príklad 3 Nájdite modul a argument komplexného čísla;

1) ;

2); φ - za 4 štvrťroky:

3.4. Operácie s komplexnými číslami v goniometrickom tvare

· Sčítanie a odčítanie je pohodlnejšie vykonávať s komplexnými číslami v algebraickej forme:

· Násobenie– pomocou jednoduchých goniometrických transformácií sa dá ukázať, že pri násobení sa moduly čísel vynásobia a pridajú sa argumenty: ;

Prednáška

Trigonometrický tvar komplexného čísla

Plán

1.Geometrické znázornenie komplexných čísel.

2. Trigonometrický zápis komplexných čísel.

3. Akcie na komplexných číslach v goniometrickom tvare.

Geometrické znázornenie komplexných čísel.

a) Komplexné čísla sú znázornené bodmi roviny podľa nasledujúceho pravidla: a + bi = M ( a ; b ) (obr. 1).

Obrázok 1

b) Komplexné číslo možno znázorniť ako vektor, ktorý začína v bodeO a končí v danom bode (obr. 2).

Obrázok 2

Príklad 7. Vynesenie bodov reprezentujúcich komplexné čísla:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (obr. 3).

Obrázok 3

Trigonometrický zápis komplexných čísel.

Komplexné čísloz = a + bi možno nastaviť pomocou polomeru - vektora so súradnicami( a ; b ) (obr. 4).

Obrázok 4

Definícia . Dĺžka vektora predstavujúci komplexné čísloz , sa nazýva modul tohto čísla a označuje sa alebor .

Pre akékoľvek komplexné čísloz jeho modulr = | z | je určený jednoznačne vzorcom .

Definícia . Hodnota uhla medzi kladným smerom reálnej osi a vektorom reprezentujúce komplexné číslo sa nazýva argument tohto komplexného čísla a označuje saA rg z aleboφ .

Argument komplexného číslaz = 0 neurčitý. Argument komplexného číslaz≠ 0 je viachodnotová veličina a je určená do termínu2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Arg z = arg z + 2πk , Kdearg z - hlavná hodnota argumentu, uzavretá v intervale(-π; π] , teda-π < arg z ≤ π (niekedy sa hodnota patriaca do intervalu považuje za hlavnú hodnotu argumentu .

Tento vzorec prer =1 často označovaný ako De Moivreov vzorec:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Príklad 11 Vypočítajte(1 + i ) 100 .

Napíšeme komplexné číslo1 + i v trigonometrickej forme.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (kos + hreším )] 100 = ( ) 100 (kos 100 + hreším 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Extrahovanie druhej odmocniny komplexného čísla.

Pri extrakcii druhej odmocniny komplexného číslaa + bi máme dva prípady:

Akb > o , To ;

2.3. Trigonometrický tvar komplexných čísel

Nech je vektor daný v komplexnej rovine číslom .

Označte φ uhol medzi kladnou poloosou Ox a vektorom (uhol φ sa považuje za kladný, ak sa počíta proti smeru hodinových ručičiek, a za záporný v opačnom prípade).

Označte dĺžku vektora r. Potom . Označujeme tiež

Zápis nenulového komplexného čísla z ako

sa nazýva trigonometrický tvar komplexného čísla z. Číslo r sa nazýva modul komplexného čísla z a číslo φ sa nazýva argument tohto komplexného čísla a označuje sa Arg z.

Trigonometrická forma zápisu komplexného čísla - (Eulerov vzorec) - exponenciálna forma zápisu komplexného čísla:

Komplexné číslo z má nekonečne veľa argumentov: ak φ0 je ľubovoľný argument čísla z, potom všetky ostatné možno nájsť pomocou vzorca

Pre komplexné číslo nie je definovaný argument ani goniometrický tvar.

Argumentom nenulového komplexného čísla je teda akékoľvek riešenie systému rovníc:

(3)

Hodnota φ argumentu komplexného čísla z, ktorá spĺňa nerovnice, sa nazýva hlavná hodnota a označuje sa arg z.

Argumenty Arg z a arg z súvisia rovnosťou

, (4)

Vzorec (5) je dôsledkom systému (3), takže všetky argumenty komplexného čísla spĺňajú rovnosť (5), ale nie všetky riešenia φ rovnice (5) sú argumentmi čísla z.

Hlavná hodnota argumentu nenulového komplexného čísla sa nachádza vo vzorcoch:

Vzorce na násobenie a delenie komplexných čísel v trigonometrickom tvare sú nasledovné:

. (7)

Pri zvýšení komplexného čísla na prirodzenú mocninu sa používa de Moivreov vzorec:

Pri extrakcii koreňa z komplexného čísla sa používa vzorec:

, (9)

kde k=0, 1, 2, …, n-1.

Úloha 54. Vypočítajte , kde .

Znázornime riešenie tohto výrazu v exponenciálnom tvare zápisu komplexného čísla: .

Ak potom .

potom , . Preto teda A , Kde .

odpoveď: , o .

Úloha 55. Napíšte komplexné čísla v goniometrickom tvare:

A); b) ; V); G); e) ; e) ; a).

Keďže trigonometrický tvar komplexného čísla je , potom:

a) V komplexnom čísle: .

,

Preto

b) , Kde ,

G) , Kde ,

e) .

a) , A , To .

Preto

odpoveď: ; 4; ; ; ; ; .

Úloha 56. Nájdite goniometrický tvar komplexného čísla

.

nechaj, .

potom , , .

Pretože a , , potom , a

Preto teda

odpoveď: , Kde .

Úloha 57. Pomocou goniometrickej formy komplexného čísla vykonajte nasledujúce akcie: .

Predstavte si čísla a v trigonometrickej forme.

1), kde Potom

Nájdenie hodnoty hlavného argumentu:

Dosaďte hodnoty a do výrazu dostaneme

2) kde potom

Potom

3) Nájdite kvocient

Za predpokladu, že k=0, 1, 2, dostaneme tri rôzne hodnoty požadovaného koreňa:

Ak potom

Ak potom

Ak potom .

odpoveď: :

:

: .

Úloha 58. Nech sú , , , rôzne komplexné čísla a . Dokáž to

číslo je skutočné kladné číslo;

b) platí rovnosť:

a) Predstavme si tieto komplexné čísla v trigonometrickom tvare:

Pretože .

Predstierajme to. Potom

.

Posledný výraz je kladné číslo, pretože pod sínusovými znamienkami sú čísla z intervalu.

pretože číslo skutočné a pozitívne. Ak sú a a b komplexné čísla a sú reálne a väčšie ako nula, potom .

okrem toho

tým je dokázaná požadovaná rovnosť.

Úloha 59. Zapíšte číslo v algebraickom tvare .

Číslo reprezentujeme v goniometrickom tvare a potom nájdeme jeho algebraický tvar. Máme . Pre dostaneme systém:

Z toho vyplýva rovnosť: .

Použitie De Moivreovho vzorca:

dostaneme

Nájde sa trigonometrický tvar daného čísla.

Teraz zapíšeme toto číslo v algebraickom tvare:

.

odpoveď: .

Úloha 60. Nájdite súčet , ,

Zvážte sumu

Aplikovaním De Moivreovho vzorca zistíme

Tento súčet je súčtom n členov geometrickej postupnosti s menovateľom a prvý člen .

Aplikovaním vzorca pre súčet členov takejto progresie máme

Oddelením imaginárnej časti v poslednom výraze nájdeme

Oddelením reálnej časti získame aj nasledujúci vzorec: , , .

Úloha 61. Nájdite súčet:

A) ; b) .

Podľa Newtonovho vzorca pre zvýšenie na moc máme

Podľa De Moivreovho vzorca zistíme:

Porovnaním skutočných a imaginárnych častí získaných výrazov pre , máme:

A .

Tieto vzorce môžu byť napísané v kompaktnej forme takto:

,

, kde je celá časť čísla a.

Úloha 62. Nájdite všetky, pre ktoré .

Pretože a potom použitím vzorca

, Ak chcete extrahovať korene, dostaneme ,

teda , ,

, .

Body zodpovedajúce číslam sú umiestnené vo vrcholoch štvorca vpísaného do kruhu s polomerom 2 so stredom v bode (0;0) (obr. 30).

odpoveď: , ,

, .

Úloha 63. Vyriešte rovnicu , .

Podľa podmienok; preto táto rovnica nemá koreň, a preto je ekvivalentná rovnici.

Aby číslo z bolo koreňom tejto rovnice, číslo musí byť n-tou odmocninou čísla 1.

Dospeli sme teda k záveru, že pôvodná rovnica má korene určené z rovnosti

,

teda

,

t.j. ,

odpoveď: .

Úloha 64. Vyriešte rovnicu v množine komplexných čísel.

Keďže číslo nie je koreňom tejto rovnice, potom je táto rovnica ekvivalentná rovnici

Teda rovnica.

Všetky korene tejto rovnice sú získané zo vzorca (pozri úlohu 62):

; ; ; ; .

Úloha 65. Nakreslite na komplexnú rovinu množinu bodov, ktoré spĺňajú nerovnosti: . (2. spôsob riešenia problému 45)

Nechaj .

Komplexné čísla s rovnakými modulmi zodpovedajú bodom roviny ležiacim na kružnici so stredom v počiatku, takže nerovnosť spĺňajú všetky body otvoreného prstenca ohraničeného kružnicami so spoločným stredom v počiatku a polomermi a (obr. 31). Nech nejaký bod komplexnej roviny zodpovedá číslu w0. číslo , má modul krát menší ako modul w0, argument, ktorý je väčší ako argument w0. Z geometrického hľadiska možno bod zodpovedajúci w1 získať pomocou homotetity so stredom v počiatku a koeficientu , ako aj rotácie proti smeru hodinových ručičiek vzhľadom na počiatok. Aplikáciou týchto dvoch transformácií na body prstenca (obr. 31) sa prstenec zmení na prstenec ohraničený kružnicami s rovnakým stredom a polomermi 1 a 2 (obr. 32).

transformácia je implementovaný pomocou paralelného prekladu na vektore . Prenesením prstenca so stredom v bode do naznačeného vektora získame krúžok rovnakej veľkosti so stredom v bode (obr. 22).

Navrhovaná metóda, ktorá využíva myšlienku geometrických transformácií roviny, je pravdepodobne menej vhodná na popis, ale je veľmi elegantná a efektívna.

Úloha 66. Zistite, či .

Nechajte , potom a . Pôvodná rovnosť bude mať formu . Z podmienky rovnosti dvoch komplexných čísel dostaneme , , odkiaľ , . Teda, .

Napíšme číslo z v trigonometrickom tvare:

, Kde , . Podľa De Moivreovho vzorca nájdeme .

odpoveď: - 64.

Úloha 67. Pre komplexné číslo nájdite všetky komplexné čísla také, že , a .

Predstavme si číslo v trigonometrickom tvare:

. Preto, . Pre číslo, ktoré dostaneme, sa môže rovnať buď .

V prvom prípade , v druhom

.

odpoveď: , .

Úloha 68. Nájdite súčet čísel taký, že . Zadajte jedno z týchto čísel.

Všimnite si, že už zo samotnej formulácie problému je možné pochopiť, že súčet koreňov rovnice možno nájsť bez výpočtu samotných koreňov. Skutočne, súčet koreňov rovnice je koeficient , braný s opačným znamienkom (zovšeobecnená Vieta veta), t.j.

Študenti, školská dokumentácia, vyvodzujú závery o stupni asimilácie tohto konceptu. Zhrňte štúdium znakov matematického myslenia a procesu vytvárania pojmu komplexného čísla. Popis metód. Diagnostika: I štádium. Rozhovor bol realizovaný s učiteľkou matematiky, ktorá v 10. ročníku vyučuje algebru a geometriu. Rozhovor prebehol po nejakom čase...

Rezonancia "(!)), ktorej súčasťou je aj posúdenie vlastného správania. 4. Kritické posúdenie vlastného chápania situácie (pochybnosti). 5. Napokon využitie odporúčaní právnej psychológie (účtovanie právnika psychologické aspekty vykonávaných odborných úkonov - odborná psychologická pripravenosť). Uvažujme teraz o psychologickom rozbore právnych skutočností. ...

Matematika trigonometrickej substitúcie a overenie účinnosti vypracovanej metodiky vyučovania. Etapy práce: 1. Vypracovanie voliteľného predmetu na tému: "Aplikácia goniometrickej substitúcie pri riešení algebraických úloh" so študentmi v triedach s prehĺbeným štúdiom matematiky. 2. Vedenie vypracovaného voliteľného kurzu. 3. Vykonanie diagnostickej kontroly...

Kognitívne úlohy sú určené len na doplnenie existujúcich učebných pomôcok a mali by byť vo vhodnej kombinácii so všetkými tradičnými prostriedkami a prvkami výchovno-vzdelávacieho procesu. Rozdiel medzi výchovnými problémami vo vyučovaní humanitných vied od exaktných, matematických úloh je len v tom, že v historických problémoch neexistujú vzorce, rigidné algoritmy a pod., čo komplikuje ich riešenie. ...

KOMPLEXNÉ ČÍSLA XI

§ 256. Trigonometrický tvar komplexných čísel

Nech je komplexné číslo a + bi zodpovedá vektoru OA> so súradnicami ( a, b ) (pozri obr. 332).

Označte dĺžku tohto vektora r a uhol, ktorý zviera s osou X , cez φ . Podľa definície sínus a kosínus:

a / r = cos φ , b / r = hriech φ .

Preto A = r cos φ , b = r hriech φ . Ale v tomto prípade komplexné číslo a + bi možno napísať ako:

a + bi = r cos φ + ir hriech φ = r (kos φ + i hriech φ ).

Ako viete, druhá mocnina dĺžky ľubovoľného vektora sa rovná súčtu štvorcov jeho súradníc. Preto r 2 = a 2 + b 2, odkiaľ r = √a 2 + b 2

takže, akékoľvek komplexné číslo a + bi môže byť reprezentovaný ako :

a + bi = r (kos φ + i hriech φ ), (1)

kde r = √a 2 + b 2 a uhol φ určené z podmienky:

Táto forma zápisu komplexných čísel sa nazýva trigonometrické.

číslo r vo vzorci (1) sa nazýva modul a uhol φ - argument, komplexné číslo a + bi .

Ak ide o komplexné číslo a + bi sa nerovná nule, potom je jeho modul kladný; ak a + bi = 0 teda a = b = 0 a potom r = 0.

Modul akéhokoľvek komplexného čísla je jednoznačne určený.

Ak ide o komplexné číslo a + bi sa nerovná nule, potom je jeho argument určený vzorcami (2) určite až do uhla násobku 2 π . Ak a + bi = 0 teda a = b = 0. V tomto prípade r = 0. Zo vzorca (1) je ľahké to pochopiť ako argument φ v tomto prípade si môžete vybrať akýkoľvek uhol: koniec koncov, pre akýkoľvek φ

0 (cos φ + i hriech φ ) = 0.

Preto nulový argument nie je definovaný.

Modul komplexného čísla r niekedy označujú | z |, a argument arg z . Pozrime sa na niekoľko príkladov reprezentácie komplexných čísel v trigonometrickom tvare.

Príklad. 1. 1 + i .

Poďme nájsť modul r a argument φ toto číslo.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Preto hriech φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, odkiaľ φ = π / 4 + 2nπ .

teda

1 + i = √ 2 ,

Kde P - ľubovoľné celé číslo. Zvyčajne sa z nekonečnej množiny hodnôt argumentu komplexného čísla vyberie jedna, ktorá je medzi 0 a 2 π . V tomto prípade je táto hodnota π / 4. Preto

1 + i = √ 2 (cos π / 4 + i hriech π / 4)

Príklad 2 Napíšte v trigonometrickom tvare komplexné číslo √ 3 - i . Máme:

r = √ 3+1 = 2 kos φ = √ 3/2, hriech φ = - 1 / 2

Preto až do uhla deliteľného 2 π , φ = 11 / 6 π ; teda,

√ 3 - i = 2 (cos 11/6 π + i hriech 11/6 π ).

Príklad 3 Napíšte v trigonometrickom tvare komplexné číslo ja

komplexné číslo i zodpovedá vektoru OA> končiace v bode A osi pri s ordinátou 1 (obr. 333). Dĺžka takéhoto vektora sa rovná 1 a uhol, ktorý zviera s osou x, je rovný π / 2. Preto

i = cos π / 2 + i hriech π / 2 .

Príklad 4 Napíšte komplexné číslo 3 v trigonometrickom tvare.

Komplexné číslo 3 zodpovedá vektoru OA > X úsečka 3 (obr. 334).

Dĺžka takéhoto vektora je 3 a uhol, ktorý zviera s osou x, je 0. Preto

3 = 3 (cos 0 + i hriech 0),

Príklad 5 Napíšte v trigonometrickom tvare komplexné číslo -5.

Komplexné číslo -5 zodpovedá vektoru OA> končiace v bode osi X s osou -5 (obr. 335). Dĺžka takéhoto vektora je 5 a uhol, ktorý zviera s osou x, je π . Preto

5 = 5 (cos π + i hriech π ).

Cvičenia

2047. Napíšte tieto komplexné čísla v trigonometrickom tvare a definujte ich moduly a argumenty:

1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;

2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;

3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.

2048. Označte na rovine množiny bodov reprezentujúcich komplexné čísla, ktorých moduly r a argumenty φ spĺňajú podmienky:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Môžu byť čísla zároveň modulom komplexného čísla? r a - r ?

2050. Môže byť argumentom komplexného čísla súčasne uhly? φ a - φ ?

Prezentujte tieto komplexné čísla v trigonometrickej forme definovaním ich modulov a argumentov:

2051*. 1 + cos α + i hriech α . 2054*. 2 (cos 20° - i hriech 20°).

2052*. hriech φ + i cos φ . 2055*. 3 (- čos 15° - i hriech 15°).