Ako nájsť oblasť kosoštvorca. Oblasť kosoštvorca. Vzhľadom na stranu kosoštvorca a jeho výšku

Diamantová definícia

Rhombus je rovnobežník, v ktorom sú si všetky strany navzájom rovné.

Online kalkulačka

Ak strany kosoštvorca tvoria pravý uhol, dostaneme námestie.

Diagonály kosoštvorca sa pretínajú v pravom uhle.
Uhlopriečky kosoštvorca sú osy jeho uhlov.

Oblasť kosoštvorca, rovnako ako oblasti väčšiny geometrických tvarov, možno nájsť niekoľkými spôsobmi. Pochopíme ich podstatu a zvážime príklady riešení.

Vzorec pre oblasť kosoštvorca podľa strany a výšky

Daj nám kosoštvorec so stranou a a a a výška h h h pritiahnutý na túto stranu. Keďže kosoštvorec je rovnobežník, jeho oblasť nájdeme rovnakým spôsobom ako oblasť rovnobežníka.

S = a ⋅ h S=a\cdot h S=a ⋅h

A a a- strana;
h h h- výška znížená na stranu a a a.

Vyriešme jednoduchý príklad.

Príklad

Strana kosoštvorca je 5 (pozri). Výška znížená na túto stranu má dĺžku 2 (cm). Nájdite oblasť kosoštvorca S S S.

Riešenie

A=5 a=5 a =5
h = 2 h = 2 h =2

Použijeme náš vzorec a vypočítame:
S = a ⋅ h = 5 ⋅ 2 = 10 S=a\cdot h=5\cdot 2=10S=a ⋅h =5 ⋅ 2 = 1 0 (pozri námestie)

odpoveď: 10 cm štvorcových

Vzorec pre oblasť kosoštvorca z hľadiska uhlopriečok

Všetko je tu rovnako jednoduché. Stačí si vziať polovicu produktu uhlopriečok a získať plochu.

S = 1 2 ⋅ d 1 ⋅ d 2 S=\frac(1)(2)\cdot d_1\cdot d_2S=2 1 ⋅ d 1 ⋅ d 2

D1, d2 d_1, d_2 d 1 , d 2 - uhlopriečky kosoštvorca.

Príklad

Jedna z uhlopriečok kosoštvorca je 7 (pozri) a druhá je 2-krát prvá. Nájdite oblasť obrázku.

Riešenie

D1=7 d_1=7 d 1 = 7
d 2 = 2 ⋅ d 1 d_2 = 2\cdot d_1d 2 = 2 ⋅ d 1

Nájdite druhú uhlopriečku:
d 2 = 2 ⋅ d 1 = 2 ⋅ 7 = 14 d_2=2\cdot d_1=2\cdot 7=14d 2 = 2 ⋅ d 1 = 2 ⋅ 7 = 1 4
Potom oblasť:
S = 1 2 ⋅ 7 ⋅ 14 = 49 S=\frac(1)(2)\cdot7\cdot14=49S=2 1 ⋅ 7 ⋅ 1 4 = 4 9 (pozri námestie)

odpoveď: 49 cm štvorcových

Vzorec pre oblasť kosoštvorca z hľadiska dvoch strán a uhla medzi nimi

S = a 2 ⋅ sin ⁡ (α) S=a^2\cdot\sin(\alpha)S=a 2 ⋅ hriech (α)

A a a- strana kosoštvorca;
a\alfa α - ľubovoľný roh kosoštvorca.

Príklad

Nájdite plochu kosoštvorca, ak je každá z jeho strán 10 cm a uhol medzi dvoma susednými stranami je 30 stupňov.

Riešenie

A=10 a=10 a =1 0
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

Podľa vzorca dostaneme:
S = a 2 ⋅ sin ⁡ (α) = 100 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 50 S=a^2\cdot\sin(\alpha)=100\cdot\sin(30^(\circ))= 50S=a 2 ⋅ hriech(α) =1 0 0 ⋅ hriech (3 0 ∘ ) = 5 0 (pozri námestie)

odpoveď: 50 cm štvorcových

Vzorec pre oblasť kosoštvorca daný polomerom vpísanej kružnice a uhlom

S = 4 ⋅ r 2 sin ⁡ (α) S=\frac(4\cdot r^2)(\sin(\alpha))S=hriech (α)4 ⋅ r 2

R r r- polomer vpísanej kružnice v kosoštvorci;
a\alfa α - ľubovoľný roh kosoštvorca.

Príklad

Nájdite oblasť kosoštvorca, ak je uhol medzi základňami 60 stupňov a polomer vpísanej kružnice je 4 (pozri).

Riešenie

R=4 r=4 r=4
α = 6 0 ∘ \alpha=60^(\circ)α = 6 0 ∘

S = 4 ⋅ r 2 sin ⁡ (α) = 4 ⋅ 16 sin ⁡ (6 0 ∘) ≈ 73,9 S=\frac(4\cdot r^2)(\sin(\alpha))=\frac(4\ cdot 16)(\sin(60^(\circ)))\približne 73,9S=hriech (α)4 ⋅ r 2 = hriech (6 0 ∘ ) 4 ⋅ 1 6 ≈ 7 3 . 9 (pozri námestie)

odpoveď: 73,9 cm štvorcových

Vzorec pre oblasť kosoštvorca daný polomerom vpísanej kružnice a strany

S = 2 ⋅ a ⋅ r S=2\cdot a\cdot rS=2 ⋅ a ⋅r

A a a- strana kosoštvorca;
r r r je polomer vpísanej kružnice v kosoštvorci.

Príklad

Preberáme podmienku z predchádzajúceho problému, ale namiesto uhla nám dajte vedieť stranu kosoštvorca, rovnajúcu sa 5 cm.

Riešenie

A=5 a=5 a =5
r = 4 r = 4 r=4

S = 2 ⋅ a ⋅ r = 2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 40 S=2\cdot a\cdot r=2\cdot5\cdot4=40S=2 ⋅ a ⋅r=2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 4 0 (pozri námestie)

odpoveď: 40 cm štvorcových

Kosoštvorec je špeciálna postava v geometrii. Vďaka svojim špeciálnym vlastnostiam neexistuje jeden, ale niekoľko vzorcov, ktoré vypočítavajú plochu kosoštvorca. Aké sú tieto vlastnosti a aké existujú najbežnejšie vzorce na nájdenie oblasti tohto obrázku? Poďme na to.

Aký geometrický útvar sa nazýva kosoštvorec

Predtým, ako zistíte, aká je oblasť kosoštvorca, stojí za to vedieť, o aký druh postavy ide.

Od čias euklidovskej geometrie sa kosoštvorec nazýva symetrický štvoruholník, ktorého všetky štyri strany sú rovnako dlhé a rovnobežné v pároch.

Pôvod termínu

Názov tejto postavy sa do väčšiny moderných jazykov dostal z gréčtiny prostredníctvom latinčiny. „Predchodcom“ slova „kosoštvorec“ bolo grécke podstatné meno ῥόμβος (tamburína). Hoci obyvatelia dvadsiateho storočia, zvyknutí na okrúhle tamburíny, je ťažké si ich predstaviť v inej podobe, ale medzi Helénskymi sa tieto hudobné nástroje tradične nevyrábali v okrúhlom, ale v diamantovom tvare.

Vo väčšine moderných jazykov sa používa tento matematický výraz, ako v latinčine: rombus. V angličtine sa však diamanty niekedy nazývajú diamant (diamant alebo diamant). Táto postava dostala takúto prezývku kvôli svojmu špeciálnemu tvaru, ktorý pripomína drahý kameň. Spravidla sa podobný výraz nepoužíva pre všetky kosoštvorce, ale iba pre tie, v ktorých je uhol priesečníka jeho dvoch strán šesťdesiat alebo štyridsaťpäť stupňov.

Prvýkrát bola táto postava spomenutá v spisoch gréckeho matematika, ktorý žil v prvom storočí novej éry - Herona Alexandrijského.

Aké sú vlastnosti tohto geometrického útvaru

Ak chcete nájsť oblasť kosoštvorca, musíte najprv vedieť, aké vlastnosti má daný geometrický útvar.

Za akých podmienok je rovnobežník kosoštvorcom?

Ako viete, každý kosoštvorec je rovnobežník, ale nie každý rovnobežník je kosoštvorec. Aby bolo možné presne potvrdiť, že prezentovaný obrazec je skutočne kosoštvorec, a nie jednoduchý rovnobežník, musí zodpovedať jednému z troch hlavných znakov, ktorými sa kosoštvorec odlišuje. Alebo všetky tri naraz.

Uhlopriečky rovnobežníka sa pretínajú pod uhlom deväťdesiatich stupňov.
Uhlopriečky rozdeľujú rohy na dve časti a slúžia ako ich osy.
Nielen rovnobežné, ale aj susedné strany majú rovnakú dĺžku. Toto je mimochodom jeden z hlavných rozdielov medzi kosoštvorcom a rovnobežníkom, pretože druhý obrázok má iba rovnobežné strany, ktoré majú rovnakú dĺžku, ale nie susedné.

Za akých podmienok je kosoštvorec štvorec?

Podľa svojich vlastností sa v niektorých prípadoch môže kosoštvorec súčasne stať štvorcom. Na vizuálne potvrdenie tohto tvrdenia stačí štvorec otočiť ľubovoľným smerom o štyridsaťpäť stupňov. Výsledný obrazec bude kosoštvorec, ktorého každý z rohov sa rovná deväťdesiatim stupňom.

Ak chcete potvrdiť, že štvorec je kosoštvorec, môžete porovnať znamienka týchto obrázkov: v oboch prípadoch sú všetky strany rovnaké a uhlopriečky sú osy a pretínajú sa pod uhlom deväťdesiatich stupňov.

Ako nájsť oblasť kosoštvorca pomocou jeho uhlopriečok

V modernom svete možno takmer všetky materiály na vykonávanie potrebných výpočtov nájsť na internete. Existuje teda veľa zdrojov vybavených programami na automatický výpočet plochy konkrétnej postavy. Navyše, ak (ako v prípade kosoštvorca) na to existuje niekoľko vzorcov, potom je možné vybrať, ktorý z nich bude najvhodnejší. Najprv však musíte byť schopní vypočítať plochu kosoštvorca bez pomoci počítača a navigovať vo vzorcoch. Na kosoštvorec je ich veľa, no najznámejšie z nich sú štyri.

Jedným z najjednoduchších a najbežnejších spôsobov, ako zistiť oblasť tohto obrázku, je, ak máte informácie o dĺžke jeho uhlopriečok. Ak má problém tieto údaje, v tomto prípade môžete použiť nasledujúci vzorec na nájdenie oblasti: S = KM x LN / 2 (KM a LN sú uhlopriečky kosoštvorca KLMN).

Platnosť tohto vzorca si môžete overiť v praxi. Povedzme, že kosoštvorec KLMN má dĺžku jednej zo svojich uhlopriečok KM - 10 cm a druhej LN - 8 cm. Potom tieto údaje dosadíme do vyššie uvedeného vzorca a získame nasledujúci výsledok: S \u003d 10 x 8 / 2 \u003d 40 cm 2.

Vzorec na výpočet plochy rovnobežníka

Existuje ďalší vzorec. Ako je uvedené vyššie v definícii kosoštvorca, nie je to len štvoruholník, ale aj rovnobežník a má všetky znaky tohto obrázku. V tomto prípade je na nájdenie jeho plochy celkom vhodné použiť vzorec použitý pre rovnobežník: S \u003d KL x Z. V tomto prípade je KL dĺžka strany rovnobežníka (kosoštvorec) a Z je dĺžka výšky nakreslenej na túto stranu.

V niektorých problémoch nie je daná dĺžka strany, ale je známy obvod kosoštvorca. Keďže vzorec na jej nájdenie bol uvedený vyššie, dá sa použiť aj na zistenie dĺžky strany. Obvod figúry je teda 10 cm Dĺžku strany zistíte prevrátením obvodu a vydelením 10 4. Výsledkom bude 2,5 cm - to je požadovaná dĺžka strany kosoštvorca.

Teraz stojí za to skúsiť nahradiť toto číslo do vzorca s vedomím, že dĺžka výšky nakreslenej na stranu je tiež 2,5 cm. Teraz sa pokúsime vložiť tieto hodnoty do vyššie uvedeného vzorca pre oblasť \u200b\ u200b rovnobežníka. Ukazuje sa, že plocha kosoštvorca je S = 2,5 x 2,5 = 6,25 cm2.

Iné spôsoby výpočtu plochy kosoštvorca

Tí, ktorí už zvládli sínusy a kosínusy, môžu použiť vzorce, ktoré ich obsahujú, aby našli oblasť kosoštvorca. Klasickým príkladom je nasledujúci vzorec: S = KM 2 x Sin KLM. V tomto prípade sa plocha obrázku rovná súčinu dvoch strán kosoštvorca, vynásobeného sínusom uhla medzi nimi. A keďže v kosoštvorci sú všetky strany rovnaké, je jednoduchšie okamžite urobiť z jednej strany štvorec, ako je znázornené vo vzorci.

Túto schému kontrolujeme v praxi, a to nielen na kosoštvorec, ale aj na štvorec, v ktorom, ako viete, sú všetky uhly správne, čo znamená, že sa rovnajú deväťdesiatim stupňom. Predpokladajme, že jedna zo strán je 15 cm.Je tiež známe, že sínus uhla 90 ° sa rovná jednej. Potom podľa vzorca S \u003d 15 x 15 x Sin 90 ° \u003d 255x1 \u003d 255 cm 2.

Okrem vyššie uvedeného sa v niektorých prípadoch používa ďalší vzorec pomocou sínusu na určenie plochy kosoštvorca: S \u003d 4 x R 2 / Sin KLM. V tejto verzii sa používa polomer kruhu vpísaného do kosoštvorca. Je zvýšená na mocninu štvorca a vynásobená štyrmi. A celý výsledok je rozdelený sínusom uhla susediaceho s napísaným číslom.

Ako príklad si pre jednoduchosť výpočtov zoberme opäť štvorec (sínus jeho uhla bude vždy rovný jednej). Polomer kruhu, ktorý je v ňom vpísaný, je 4,4 cm. Potom sa plocha kosoštvorca vypočíta takto: S \u003d 4 x 4,4 2 / Sin 90 ° \u003d 77,44 cm 2

Vyššie uvedené vzorce na nájdenie polomeru kosoštvorca nie sú zďaleka jediné svojho druhu, ale sú najjednoduchšie na pochopenie a vykonávanie výpočtov.

Napriek tomu, že matematika je kráľovnou vied a aritmetika je kráľovnou matematiky, geometria je pre školákov to najťažšie, čo sa učí. Planimetria je oblasť geometrie, ktorá študuje rovinné útvary. Jednou z týchto postáv je kosoštvorec. Väčšina problémov pri riešení štvoruholníkov spočíva v hľadaní ich oblastí. Systematizujeme známe vzorce a rôzne metódy na výpočet plochy kosoštvorca.

Kosoštvorec je rovnobežník so všetkými štyrmi stranami rovnakými. Pripomeňme si, že rovnobežník má štyri uhly a štyri po pároch rovnobežné rovnaké strany. Ako každý štvoruholník, aj kosoštvorec má množstvo vlastností, ktoré sa zmenšujú na nasledovné: keď pretínajú uhlopriečky, zvierajú uhol rovný 90 stupňom (AC ⊥ BD), priesečník rozdeľuje každú na dva rovnaké segmenty. Uhlopriečky kosoštvorca sú zároveň osami jeho uhlov (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD atď.). Z toho vyplýva, že rozdeľujú kosoštvorec na štyri rovnaké pravouhlé trojuholníky. Súčet dĺžok uhlopriečok zdvihnutých na druhú mocninu sa rovná dĺžke strany k druhej mocnine vynásobenej 4, t.j. BD2 + AC2 = 4AB2. Na výpočet plochy kosoštvorca sa v planimetrii používa veľa metód, ktorých aplikácia závisí od zdrojových údajov. Ak poznáte dĺžku strany a akýkoľvek uhol, môžete použiť nasledujúci vzorec: plocha kosoštvorca sa rovná štvorcu strany vynásobenej sínusom uhla. Z priebehu trigonometrie je známe, že sin (π - α) = sin α, čo znamená, že pri výpočtoch možno použiť sínus akéhokoľvek uhla, ostrého aj tupého. Špeciálnym prípadom je kosoštvorec, v ktorom sú všetky uhly správne. Toto je štvorec. Je známe, že sínus pravého uhla sa rovná jednej, takže plocha štvorca sa rovná dĺžke jeho strany zvýšenej na druhú mocninu.

Ak dĺžka strán nie je známa, použijeme dĺžku uhlopriečok. V tomto prípade je plocha kosoštvorca polovicou súčinu hlavných a vedľajších uhlopriečok.

So známou dĺžkou uhlopriečok a hodnotou akéhokoľvek uhla sa plocha kosoštvorca určuje dvoma spôsobmi. Po prvé: plocha je polovica štvorca väčšej uhlopriečky, vynásobená dotyčnicou polovice mierky stupňa ostrého uhla, t.j. S = 1/2*D 2 *tg(α/2), kde D je veľká uhlopriečka, α je ostrý uhol. Ak poznáte veľkosť menšej uhlopriečky, použite vzorec 1/2*d 2 *tg(β/2), kde d je menšia uhlopriečka a β je tupý uhol. Pripomeňme, že miera ostrého uhla je menšia ako 90 stupňov (miera pravého uhla) a tupého uhla je väčšia ako 90°.

Oblasť kosoštvorca možno nájsť pomocou dĺžky strany (pripomeňme, že všetky strany kosoštvorca sú rovnaké) a výšky. Výška je kolmica spadnutá na opačnú stranu rohu alebo na jeho pokračovanie. Aby bola základňa výšky umiestnená vo vnútri kosoštvorca, mala by byť spustená z tupého uhla.

Niekedy je v probléme potrebné nájsť oblasť kosoštvorca na základe údajov týkajúcich sa vpísaného kruhu. V tomto prípade musíte poznať jeho polomer. Existujú dva vzorce, ktoré možno použiť na výpočet. Aby sme teda odpovedali na položenú otázku, môžeme zdvojnásobiť súčin strany kosoštvorca a polomeru vpísanej kružnice. Inými slovami, musíte vynásobiť priemer vpísaného kruhu stranou kosoštvorca. Ak je hodnota uhla uvedená v podmienke problému, potom je plocha cez kvocient medzi druhou mocninou polomeru vynásobenou štyrmi a sínusom uhla.

Ako vidíte, existuje veľa spôsobov, ako nájsť oblasť kosoštvorca. Samozrejme, na zapamätanie si každého z nich budete potrebovať trpezlivosť, pozornosť a samozrejme čas. Neskôr si však môžete ľahko vybrať metódu, ktorá vyhovuje vašej úlohe, a uistiť sa, že geometria je jednoduchá.

Geometrická oblasť- číselná charakteristika geometrického útvaru znázorňujúca veľkosť tohto útvaru (časť plochy ohraničená uzavretým obrysom tohto útvaru). Veľkosť plochy je vyjadrená počtom v nej obsiahnutých štvorcových jednotiek.

Vzorce oblasti trojuholníka

Vzorec plochy trojuholníka pre stranu a výšku
Oblasť trojuholníka rovná polovici súčinu dĺžky strany trojuholníka a dĺžky nadmorskej výšky nakreslenej na túto stranu
Vzorec pre oblasť trojuholníka s tromi stranami a polomerom opísanej kružnice
Vzorec pre oblasť trojuholníka s tromi stranami a polomerom vpísanej kružnice
Oblasť trojuholníka sa rovná súčinu polovice obvodu trojuholníka a polomeru vpísanej kružnice.

Vzorce štvorcovej oblasti

Vzorec pre plochu štvorca daný dĺžkou strany
štvorcová plocha sa rovná štvorcu dĺžky jeho strany.
Vzorec pre plochu štvorca daný dĺžkou uhlopriečky
štvorcová plocha rovná polovici štvorca dĺžky jeho uhlopriečky.
S= 1 2
2

Vzorec oblasti obdĺžnika

Oblasť obdĺžnika

Vzorce pre oblasť rovnobežníka

Vzorec plochy rovnobežníka pre dĺžku a výšku strany
Plocha rovnobežníka
Vzorec pre oblasť rovnobežníka s dvoma stranami a uhlom medzi nimi
Plocha rovnobežníka sa rovná súčinu dĺžok jej strán vynásobených sínusom uhla medzi nimi.
a b sinα

Vzorce pre oblasť kosoštvorca

Vzorec plochy kosoštvorca daný dĺžkou a výškou strany
Oblasť kosoštvorca sa rovná súčinu dĺžky jeho strany a dĺžky výšky zníženej na túto stranu.
Vzorec pre oblasť kosoštvorca daný dĺžkou strany a uhlom
Oblasť kosoštvorca sa rovná súčinu druhej mocniny dĺžky jej strany a sínusu uhla medzi stranami kosoštvorca.
Vzorec pre oblasť kosoštvorca z dĺžok jeho uhlopriečok
Oblasť kosoštvorca sa rovná polovici súčinu dĺžok jej uhlopriečok.

Vzorce pre oblasť lichobežníka

Heronov vzorec pre lichobežník
Kde S je oblasť lichobežníka,
- dĺžka základov lichobežníka,
- dĺžka strán lichobežníka,

V článku zvážime vzorec oblasti kosoštvorca a nie jeden! Obrázky ukazujú, aké ľahké je byť oblasť kosoštvorca pomocou jednoduchých vzorcov.

Existuje veľké množstvo úloh na nájdenie jednej alebo druhej hodnoty v kosoštvorci a vzorce, o ktorých sa bude diskutovať, nám s tým pomôžu.
Kosoštvorec patrí k samostatnému typu štvoruholníka, pretože všetky strany sú v ňom rovnaké. Predstavuje tiež špeciálny prípad rovnobežníka, v ktorom sú strany AB=BC=CD=AD rovnaké.

Poznámka: Ak potrebujete semestrálnu prácu, kontrolnú alebo diplomovú prácu, potom ste na webmath.ru. alebo jednoducho kliknite na odkaz na objednanie semestrálnej práce (http://www.webmath.ru/zakaz_kursovye.php).

Rhombus má nasledujúce vlastnosti:

Kosoštvorec má rovnaké rovnobežné uhly
- sčítanie dvoch susedných uhlov sa rovná 180 stupňom,
- Priesečník uhlopriečok pod uhlom 90 stupňov,
- Osy kosoštvorca, jeho uhlopriečky klesajú,
- Uhlopriečka na križovatke je rozdelená na rovnaké časti.

Rhombus má nasledujúce vlastnosti:

Ak rovnobežník, v ktorom sa uhlopriečky stretávajú pod uhlom 90 stupňov, potom sa nazýva kosoštvorec.
- Ak rovnobežník, v ktorom je os je uhlopriečka, potom sa nazýva kosoštvorec.
Ak má rovnobežník rovnaké strany, ide o kosoštvorec.
- Ak má štvoruholník rovnaké strany, je to kosoštvorec.
- Ak je štvoruholník, v ktorom je osou uhlopriečka a uhlopriečky sa stretávajú pod uhlom 90 stupňov, potom ide o kosoštvorec.
- Ak má rovnobežník rovnaké výšky, ide o kosoštvorec.

Z vyššie uvedených znakov môžeme konštatovať, že sú potrebné, aby sme sa naučili oddeliť kosoštvorec od iných podobných postáv.

Pretože v kosoštvorci sú všetky strany rovnaké obvod je podľa nasledujúceho vzorca:
P = 4a
Vzorec oblasti kosoštvorca

Existuje niekoľko vzorcov. Najjednoduchšie je riešené ako sčítanie plochy 2 trojuholníkov, ktoré sa získajú delením uhlopriečok.

Pomocou druhého vzorca môžete vyriešiť problémy so známymi uhlopriečkami kosoštvorca. V tomto prípade bude plocha kosoštvorca: súčet uhlopriečok delený dvoma.

Veľmi jednoduché riešenie a nezabudne sa.

Tretí vzorec možno použiť, keď poznáte uhol medzi stranami. Keď to viete, môžete nájsť oblasť kosoštvorca, ktorá sa bude rovnať štvorcu strán podľa sínusu uhla. Je jedno z akého uhla. pretože sínus uhla má rovnakú hodnotu.

Je dôležité si uvedomiť, že plocha sa meria v štvorcoch a obvod v jednotkách. Tieto vzorce sú veľmi ľahko použiteľné v praxi.

Môžu existovať aj úlohy na nájdenie polomeru pozdĺž kruhu vpísaného do kosoštvorca.