Integrácia po častiach. Príklady riešení

Ahoj zas. Dnes sa v lekcii naučíme, ako integrovať po častiach. Metóda integrácie po častiach je jedným zo základných kameňov integrálneho počtu. Na teste, skúške je študentovi takmer vždy ponúknuté riešenie integrálov typu: najjednoduchší integrál (pozri článok) alebo integrál na zmenu premennej (pozri článok) alebo integrál len na spôsob integrácie po častiach.

Ako vždy, po ruke by malo byť: Tabuľka integrálov A Tabuľka derivátov. Ak ich ešte nemáte, navštívte prosím sklad mojej stránky: Matematické vzorce a tabuľky. Nebudem sa unavovať opakovaním - je lepšie vytlačiť všetko. Pokúsim sa prezentovať všetok materiál konzistentným, jednoduchým a prístupným spôsobom, pri integrácii po častiach nie sú žiadne zvláštne ťažkosti.

Aký problém rieši integrácia po častiach? Metóda integrácie po častiach rieši veľmi dôležitý problém, umožňuje integrovať niektoré funkcie, ktoré nie sú v tabuľke, práca funkcie av niektorých prípadoch aj súkromné. Ako si pamätáme, neexistuje žiadny vhodný vzorec: . Ale je tu tento: je vzorec pre integráciu po častiach osobne. Viem, viem, ste jediný - s ňou budeme pracovať celú lekciu (už je to jednoduchšie).

A hneď zoznam v štúdiu. Integrály nasledujúcich typov sú prevzaté časťami:

1) , , - logaritmus, logaritmus vynásobený nejakým polynómom.

2) ,je exponenciálna funkcia vynásobená nejakým polynómom. Patria sem aj integrály ako - exponenciálna funkcia vynásobená polynómom, ale v praxi je to 97 percent, pod integrálom sa vychvaľuje pekné písmeno „e“. ... článok sa ukáže ako niečo lyrické, ach áno ... prišla jar.

3) , , sú goniometrické funkcie vynásobené nejakým polynómom.

4) , - inverzné goniometrické funkcie („oblúky“), „oblúky“, vynásobené nejakým polynómom.

Niektoré zlomky sa tiež berú po častiach, podrobne zvážime aj zodpovedajúce príklady.

Integrály logaritmov

Príklad 1

klasické. Z času na čas sa tento integrál nájde v tabuľkách, ale je nežiaduce použiť hotovú odpoveď, keďže učiteľ má na jar beri-beri a bude veľa nadávať. Pretože uvažovaný integrál nie je v žiadnom prípade tabuľkový - berie sa po častiach. Rozhodujeme sa:

Pre medziľahlé vysvetlenia prerušujeme riešenie.

Na integráciu po častiach používame vzorec:

Vzorec sa aplikuje zľava doprava

Pozeráme sa na ľavú stranu:. Je zrejmé, že v našom príklade (a vo všetkých ostatných, ktoré budeme zvažovať), je potrebné niečo označiť a niečo pomocou .

V integráloch uvažovaného typu vždy označujeme logaritmus.

Technicky je návrh riešenia realizovaný nasledovne, do stĺpca píšeme:

To znamená, že sme označili logaritmus a pre - zvyšná časť integrand.

Ďalší krok: nájdite rozdiel:

Diferenciál je takmer rovnaký ako derivácia, ako ho nájsť sme už rozoberali v predchádzajúcich lekciách.

Teraz nájdeme funkciu. Na nájdenie funkcie je potrebné integrovať pravá strana nižšia rovnosť:

Teraz otvoríme naše riešenie a zostrojíme pravú stranu vzorca: .
Mimochodom, tu je príklad konečného riešenia s niekoľkými poznámkami:

Jediný moment v produkte som okamžite preusporiadal a keďže je zvykom písať multiplikátor pred logaritmus.

Ako vidíte, použitie vzorca integrácie podľa častí v podstate zredukovalo naše riešenie na dva jednoduché integrály.

Upozorňujeme, že v niektorých prípadoch hneď po pri použití vzorca sa nevyhnutne uskutoční zjednodušenie pod zvyšným integrálom - v uvažovanom príklade sme integrand znížili o "x".

Urobme kontrolu. Aby ste to dosiahli, musíte použiť derivát odpovede:

Bol získaný pôvodný integrand, čo znamená, že integrál bol vyriešený správne.

Pri overovaní sme použili pravidlo diferenciácie produktov: . A to nie je náhoda.

Vzorec integrácie podľa častí a vzorec Ide o dve vzájomne inverzné pravidlá.

Príklad 2

Nájdite neurčitý integrál.

Integrand je súčinom logaritmu a polynómu.
My rozhodujeme.

Ešte raz podrobne opíšem postup uplatňovania pravidla, v budúcnosti budú príklady vyhotovené stručnejšie a ak máte problémy s riešením sami, musíte sa vrátiť k prvým dvom príkladom lekcie .

Ako už bolo spomenuté, je potrebné určiť logaritmus (na tom, že je v určitej miere, nezáleží). Označujeme zvyšná časť integrand.

Do stĺpca píšeme:

Najprv nájdeme diferenciál:

Tu používame pravidlo diferenciácie komplexnej funkcie . Nie je náhoda, že hneď na prvej lekcii témy Neurčitý integrál. Príklady riešení Zameral som sa na to, že na zvládnutie integrálov treba „dostať do ruky“ derivácie. Deriváty budú musieť čeliť viac ako raz.

Teraz nájdeme funkciu , na to integrujeme pravá strana nižšia rovnosť:

Na integráciu sme použili najjednoduchší tabuľkový vzorec

Teraz ste pripravení použiť vzorec . Otvoríme ho „hviezdičkou“ a „navrhneme“ riešenie v súlade s pravou stranou:

Pod integrálom máme opäť polynóm na logaritme! Preto sa riešenie opäť preruší a druhýkrát sa použije pravidlo integrácie po častiach. Nezabudnite, že v podobných situáciách sa logaritmus vždy označuje.

Bolo by pekné, keby ste v tomto bode boli schopní nájsť najjednoduchšie integrály a derivácie ústne.

(1) Nenechajte sa zmiasť v znameniach! Veľmi často sa tu stráca mínus, všimnite si tiež, že platí mínus všetkým držiak a tieto zátvorky je potrebné správne otvoriť.

(2) Rozbaľte zátvorky. Posledný integrál zjednodušíme.

(3) Vezmeme posledný integrál.

(4) „Prečesanie“ odpovede.

Potreba aplikovať pravidlo integrácie po častiach dvakrát (alebo dokonca trikrát) nie je nezvyčajná.

A teraz pár príkladov pre nezávislé riešenie:

Príklad 3

Nájdite neurčitý integrál.

Tento príklad je riešený zmenou premennej metódy (alebo pripočítaním pod diferenciálne znamienko)! A prečo nie - môžete to skúsiť po častiach, dostanete vtipnú vec.

Príklad 4

Nájdite neurčitý integrál.

Ale tento integrál je integrovaný po častiach (sľúbený zlomok).

Toto sú príklady na samoriešenie, riešenia a odpovede na konci hodiny.

Zdá sa, že v príkladoch 3,4 sú integrandy podobné, ale metódy riešenia sú odlišné! To je práve hlavná náročnosť zvládnutia integrálov – ak si zvolíte nesprávnu metódu riešenia integrálu, môžete sa s tým popasovať celé hodiny, ako so skutočným hlavolamom. Preto čím viac budete riešiť rôzne integrály, tým lepšie, tým ľahšie bude test a skúška. Navyše v druhom ročníku budú diferenciálne rovnice a bez skúseností s riešením integrálov a derivácií tam nie je čo robiť.

Logaritmicky možno viac než dosť. Na občerstvenie si tiež pamätám, že študenti techniky nazývajú ženské prsia logaritmy =). Mimochodom, je užitočné poznať naspamäť grafy hlavných elementárnych funkcií: sínus, kosínus, arkustangens, exponent, polynómy tretieho, štvrtého stupňa atď. Nie, samozrejme, kondóm na zemeguli
Nebudem ťahať, ale teraz si z rubriky budete veľa pamätať Grafy a funkcie =).

Integrály exponentu násobené polynómom

Všeobecné pravidlo:

Príklad 5

Nájdite neurčitý integrál.

Pomocou známeho algoritmu integrujeme po častiach:

Ak máte nejaké problémy s integrálom, mali by ste sa vrátiť k článku Metóda zmeny premennej v neurčitom integráli.

Jediná ďalšia vec, ktorú musíte urobiť, je „učesať“ odpoveď:

Ak však vaša technika výpočtu nie je príliš dobrá, ponechajte ako odpoveď najziskovejšiu možnosť. alebo dokonca

To znamená, že príklad sa považuje za vyriešený, keď sa vezme posledný integrál. Nebude to chyba, je to ďalšia vec, ktorú môže učiteľ požiadať, aby zjednodušil odpoveď.

Príklad 6

Nájdite neurčitý integrál.

Toto je príklad „urob si sám“. Tento integrál je integrovaný dvakrát po častiach. Osobitná pozornosť by sa mala venovať znakom - je ľahké sa v nich zmiasť, pamätáme si to aj na zložitú funkciu.

Viac o vystavovateľovi nie je čo povedať. Len dodám, že exponenciála a prirodzený logaritmus sú vzájomne inverzné funkcie, toto som ja k téme zábavných grafov vyššej matematiky =) Stop-stop, nebojte sa, prednášajúci je triezvy.

Integrály goniometrických funkcií násobené polynómom

Všeobecné pravidlo: vždy znamená polynóm

Príklad 7

Nájdite neurčitý integrál.

Integrácia podľa častí:

Hmmm...a niet čo komentovať.

Príklad 8

Nájdite neurčitý integrál

Toto je príklad riešenia „urob si sám“.

Príklad 9

Nájdite neurčitý integrál

Ďalší príklad so zlomkom. Rovnako ako v predchádzajúcich dvoch príkladoch je polynóm označený ako.

Integrácia podľa častí:

Ak máte nejaké ťažkosti alebo nedorozumenia s hľadaním integrálu, potom odporúčam lekciu navštíviť Integrály goniometrických funkcií.

Príklad 10

Nájdite neurčitý integrál

Toto je príklad „urob si sám“.

Tip: pred použitím metódy integrácie podľa častí by ste mali použiť nejaký trigonometrický vzorec, ktorý zmení súčin dvoch goniometrických funkcií na jednu funkciu. Vzorec je možné použiť aj pri aplikácii metódy integrácie po častiach, pre koho je to výhodnejšie.

To je snáď všetko v tomto odseku. Z nejakého dôvodu som si spomenul na vetu z hymny katedry fyziky a matematiky „A sínusový graf vlna za vlnou prebieha pozdĺž osi x“.

Integrály inverzných goniometrických funkcií.
Integrály inverzných goniometrických funkcií násobené polynómom

Všeobecné pravidlo: vždy znamená inverznú goniometrickú funkciu.

Pripomínam, že inverzné goniometrické funkcie zahŕňajú arksínus, arkkozín, arkustangens a arkkotangens. Pre stručnosť ich budem označovať ako „oblúky“

Podrobne sú posúdené príklady riešení integrálov po častiach, ktorých integrand obsahuje logaritmus, arcsínus, arkustangens, ako aj logaritmus na celé číslo a logaritmus polynómu.

Obsah

Pozri tiež: Spôsob integrácie po častiach
Tabuľka neurčitých integrálov
Metódy výpočtu neurčitých integrálov
Základné elementárne funkcie a ich vlastnosti

Vzorec integrácie podľa častí

Nižšie sa pri riešení príkladov použije vzorec integrácie po častiach:
;
.

Príklady integrálov obsahujúcich logaritmické a inverzné goniometrické funkcie

Tu sú príklady integrálov, ktoré sa integrujú po častiach:
, , , , , , .

Pri integrácii sa časť integrandu, ktorá obsahuje logaritmus alebo inverzné goniometrické funkcie, označí u, zvyšok - dv.

Nižšie sú uvedené príklady s podrobnými riešeniami týchto integrálov.

Jednoduchý príklad logaritmu

Vypočítame integrál obsahujúci súčin polynómu a logaritmu:

Tu integrand obsahuje logaritmus. Vykonávanie suplovania
u = ln x, dv = x 2 dx . Potom
,
.

Integrujeme po častiach.
.

.
Potom
.
Na konci výpočtov pridáme konštantu C .

Príklad logaritmu na mocninu 2

Uvažujme o príklade, v ktorom integrand obsahuje logaritmus na celé číslo. Takéto integrály môžu byť tiež integrované po častiach.

Vykonávanie suplovania
u = (ln x) 2, dv = x dx . Potom
,
.

Zostávajúci integrál sa tiež vypočíta podľa častí:
.
Náhradník
.

Príklad, kde argument logaritmu je polynóm

Čiastočne možno vypočítať integrály, ktorých integrand zahŕňa logaritmus, ktorého argumentom je polynóm, racionálna alebo iracionálna funkcia. Ako príklad vypočítajme integrál s logaritmom, ktorého argument je polynóm.
.

Vykonávanie suplovania
u = log( x 2 - 1), dv = x dx .
Potom
,
.

Vypočítame zostávajúci integrál:
.
Znak modulu tu nepíšeme. ln | x 2 - 1|, keďže integrand je definovaný pre x 2 - 1 > 0 . Náhradník
.

Príklad Arcsine

Uvažujme o príklade integrálu, ktorého integrand obsahuje arcsínus.
.

Vykonávanie suplovania
u = arcsin x,
.
Potom
,
.

Ďalej si všimneme, že integrand je definovaný pre |x|< 1 . Rozšírime znamienko modulu pod logaritmus, berúc do úvahy to 1 - x > 0 A 1 + x > 0.

Príklad oblúkovej tangenty

Vyriešme príklad s arkus tangens:
.

Integrujeme po častiach.
.
Zoberme si celú časť zlomku:
X 8 = x 8 + x 6 - x 6 - x 4 + x 4 + X 2 - x 2 - 1 + 1 = (x 2 + 1) (x 6 - x 4 + x 2 - 1) + 1;
.
Integrujeme:
.
Nakoniec máme.

Integrály logaritmov

Integrácia po častiach. Príklady riešení

Riešenie.

Napr.

Vypočítajte integrál:

Aplikácia vlastností integrálu (linearita), ᴛ.ᴇ. , zredukujeme na tabuľkový integrál, dostaneme to

Ahoj zas. Dnes sa v lekcii naučíme, ako integrovať po častiach. Metóda integrácie po častiach je ϶ᴛᴏ jedným zo základných kameňov výpočtu integrálu. Na teste, skúške je študentovi takmer vždy ponúknuté riešenie integrálov týchto typov: najjednoduchší integrál (pozri článokNeurčitý integrál. Príklady riešení ) alebo integrál na zmenu premennej (pozri článokMetóda zmeny premennej v neurčitom integráli ) alebo integrál len na spôsob integrácie po častiach.

Ako vždy, po ruke by malo byť: Tabuľka integrálov A Tabuľka derivátov. Ak ich ešte nemáte, navštívte prosím špajzu mojej stránky: Matematické vzorce a tabuľky. Nebudem sa unavovať opakovaním - je lepšie vytlačiť všetko. Pokúsim sa prezentovať všetok materiál konzistentným, jednoduchým a prístupným spôsobom, pri integrácii po častiach nie sú žiadne zvláštne ťažkosti.

Aký problém rieši integrácia po častiach? Metóda integrácie po častiach rieši veľmi dôležitý problém, umožňuje integrovať niektoré funkcie, ktoré nie sú v tabuľke, práca funkcie av niektorých prípadoch aj súkromné. Ako si pamätáme, neexistuje žiadny vhodný vzorec: . Ale je tu toto: - vzorec pre integráciu po častiach osobne. Viem, viem, ste jediný - s ňou budeme pracovať celú lekciu (už je to jednoduchšie).

A hneď zoznam v štúdiu. Integrály nasledujúcich typov sú prevzaté časťami:

1) , - logaritmus, logaritmus vynásobený nejakým polynómom.

2) , je exponenciálna funkcia vynásobená nejakým polynómom. Patria sem aj integrály ako - exponenciálna funkcia vynásobená polynómom, ale v praxi je to 97 percent, pod integrálom sa vychvaľuje pekné písmeno ʼʼеʼʼ. ... článok sa ukáže ako niečo lyrické, ach áno ... prišla jar.

3) , sú goniometrické funkcie vynásobené nejakým polynómom.

4) , sú inverzné goniometrické funkcie (ʼʼarchesʼʼ), ʼʼarchesʼʼ, vynásobené nejakým polynómom.

Niektoré zlomky sa tiež berú po častiach, podrobne zvážime aj zodpovedajúce príklady.

Príklad 1

Nájdite neurčitý integrál.

klasické. Z času na čas sa tento integrál nájde v tabuľkách, ale je nežiaduce použiť hotovú odpoveď, keďže učiteľ má na jar beri-beri a bude veľa nadávať. Pretože uvažovaný integrál nie je v žiadnom prípade tabuľkový - berie sa po častiach. Rozhodujeme sa:

Pre medziľahlé vysvetlenia prerušujeme riešenie.

Na integráciu po častiach používame vzorec:

Integrály logaritmov - pojem a typy. Klasifikácia a vlastnosti kategórie "Logaritmové integrály" 2017, 2018.

Komplexné integrály

Tento článok dopĺňa tému neurčitých integrálov a obsahuje integrály, ktoré považujem za dosť ťažké. Lekcia vznikla na opakovanú žiadosť návštevníkov, ktorí vyjadrili želanie, aby sa na stránke analyzovali zložitejšie príklady.

Predpokladá sa, že čitateľ tohto textu je dobre pripravený a vie aplikovať základné techniky integrácie. Figuríny a ľudia, ktorí si nie sú veľmi istí integrálmi, by sa mali obrátiť na prvú lekciu - Neurčitý integrál. Príklady riešení kde sa môžete naučiť tému takmer od začiatku. Skúsenejší študenti sa môžu zoznámiť s technikami a metódami integrácie, s ktorými sa v mojich článkoch ešte nestretli.

Aké integrály sa budú brať do úvahy?

Najprv uvažujeme integrály s koreňmi, na riešenie ktorých postupne používame variabilná substitúcia A integrácia po častiach. To znamená, že v jednom príklade sa kombinujú dve metódy naraz. A ešte viac.

Potom sa zoznámime so zaujímavým a originálnym metóda redukcie integrálu na seba. Nie je tak málo integrálov vyriešených týmto spôsobom.

Tretím číslom programu budú integrály zložitých zlomkov, ktoré lietali popri pokladni v predchádzajúcich článkoch.

Po štvrté budú analyzované ďalšie integrály z goniometrických funkcií. Najmä existujú metódy, ktoré sa vyhýbajú časovo náročnej univerzálnej trigonometrickej substitúcii.

(2) V integrande delíme čitateľa menovateľom člen po člen.

(3) Využívame vlastnosť linearity neurčitého integrálu. V poslednom integráli okamžite uveďte funkciu pod znamienko diferenciálu.

(4) Zoberieme zostávajúce integrály. Všimnite si, že v logaritme môžete použiť zátvorky a nie modul, pretože .

(5) Vykonávame spätnú substitúciu, ktorá vyjadruje z priamej substitúcie „te“:

Masochistickí študenti môžu rozlíšiť odpoveď a získať pôvodný integrand, ako som to urobil ja. Nie, nie, urobil som kontrolu v správnom zmysle =)

Ako vidíte, v priebehu riešenia bolo potrebné použiť dokonca viac ako dve metódy riešenia, takže na zvládnutie takýchto integrálov potrebujete sebavedomé integračné schopnosti a v neposlednom rade skúsenosti.

V praxi je samozrejme bežnejšia druhá odmocnina, tu sú tri príklady pre nezávislé riešenie:

Príklad 2

Nájdite neurčitý integrál

Príklad 3

Nájdite neurčitý integrál

Príklad 4

Nájdite neurčitý integrál

Tieto príklady sú rovnakého typu, takže úplné riešenie na konci článku bude len pre príklad 2, v príkladoch 3-4 - jedna odpoveď. Ktorú náhradu použiť na začiatku rozhodnutí, myslím, je zrejmé. Prečo som zvolil rovnaký typ príkladov? Často sa nachádzajú v ich úlohách. Častejšie možno len niečo podobné .

Ale nie vždy, keď je koreň lineárnej funkcie pod arkustangensom, sínusom, kosínusom, exponentom a inými funkciami, je potrebné použiť niekoľko metód naraz. V mnohých prípadoch je možné „ľahko vystúpiť“, to znamená, že ihneď po výmene sa získa jednoduchý integrál, ktorý sa berie elementárne. Najjednoduchšia z vyššie navrhnutých úloh je príklad 4, v ktorom sa po nahradení získa relatívne jednoduchý integrál.

Metóda redukcie integrálu na seba

Šikovná a krásna metóda. Poďme sa pozrieť na klasiku tohto žánru:

Príklad 5

Nájdite neurčitý integrál

Pod koreňom je štvorcová dvojčlenka a pri pokuse o integráciu tohto príkladu môže čajník trpieť celé hodiny. Takýto integrál je prevzatý po častiach a redukovaný na seba. V zásade to nie je ťažké. Ak viete ako.

Označme uvažovaný integrál latinským písmenom a začnime s riešením:

Integrácia podľa častí:

(1) Pripravíme integrand na členenie podľa jednotlivých období.

(2) Integrand delíme člen podľa členu. Možno nie každý rozumie, napíšem podrobnejšie:

(3) Využívame vlastnosť linearity neurčitého integrálu.

(4) Vezmeme posledný integrál ("dlhý" logaritmus).

Teraz sa pozrime na úplný začiatok riešenia:

A na záver:

Čo sa stalo? V dôsledku našich manipulácií sa integrál zredukoval na seba!

Porovnajte začiatok a koniec:

Prechádzame na ľavú stranu so zmenou znamienka:

A zbúrame dvojku na pravú stranu. Ako výsledok:

Konštanta, prísne vzaté, mala byť pridaná skôr, ale pridal som ju na koniec. Dôrazne odporúčam prečítať si, aká je závažnosť tu:

Poznámka: Presnejšie, posledná fáza riešenia vyzerá takto:

Takto:

Konštanta môže byť premenovaná na . Prečo môžete premenovať? Pretože to ešte trvá akýkoľvek hodnoty a v tomto zmysle nie je rozdiel medzi konštantami a.
Ako výsledok:

Podobný trik s neustálym premenovávaním je široko používaný v diferenciálne rovnice. A tam budem prísny. A tu mi takéto voľnosti dovoľujem len preto, aby som vás nepomýlil zbytočnosťami a zameral sa na samotný spôsob integrácie.

Príklad 6

Nájdite neurčitý integrál

Ďalší typický integrál pre samostatné riešenie. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny. Rozdiel oproti odpovedi z predchádzajúceho príkladu bude!

Ak je pod druhou odmocninou štvorcová trojčlenka, riešenie sa v každom prípade redukuje na dva analyzované príklady.

Zvážte napríklad integrál . Všetko, čo musíte urobiť, je vopred vyberte celý štvorec:
.
Ďalej sa vykoná lineárna výmena, ktorá zvládne „bez akýchkoľvek následkov“:
, výsledkom čoho je integrál . Niečo známe, však?

Alebo tento príklad so štvorcovým binomom:
Výber celého štvorca:
A po lineárnej náhrade dostaneme integrál , ktorý je tiež riešený už uvažovaným algoritmom.

Zvážte ďalšie dva typické príklady, ako zredukovať integrál na seba:
je integrál exponentu vynásobený sínusom;
je integrál exponentu vynásobený kosínusom.

V uvedených integráloch po častiach budete musieť integrovať už dvakrát:

Príklad 7

Nájdite neurčitý integrál

Integrand je exponent vynásobený sínusom.

Integrujeme po častiach dvakrát a integrál redukujeme na seba:

V dôsledku dvojitej integrácie po častiach sa integrál redukuje sám na seba. Prirovnajte začiatok a koniec riešenia:

Prenesieme na ľavú stranu so zmenou znamienka a vyjadríme náš integrál:

Pripravený. Po ceste je žiaduce česať pravú stranu, t.j. vyberte exponent zo zátvoriek a umiestnite sínus a kosínus do zátvoriek v „krásnom“ poradí.

Teraz sa vráťme na začiatok príkladu, alebo skôr k integrácii po častiach:

Pre sme určili vystavovateľa. Vynára sa otázka, je to exponent, ktorý by mal byť vždy označený ? Nie je to potrebné. V skutočnosti v uvažovanom integráli zásadne nevadí, čo označovať, dalo by sa ísť aj inak:

Prečo je to možné? Pretože sa exponent mení na seba (pri diferenciácii a integrácii), sínus a kosínus sa vzájomne premenia na seba (opäť aj pri diferenciácii aj integrácii).

To znamená, že možno označiť aj goniometrickú funkciu. Ale v uvažovanom príklade je to menej racionálne, pretože sa objavia zlomky. Ak chcete, môžete sa pokúsiť vyriešiť tento príklad druhým spôsobom, odpovede musia byť rovnaké.

Príklad 8

Nájdite neurčitý integrál

Toto je príklad „urob si sám“. Pred rozhodnutím sa zamyslite nad tým, čo je v tomto prípade výhodnejšie určiť pre exponenciálnu alebo goniometrickú funkciu? Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

A, samozrejme, nezabudnite, že väčšina odpovedí v tejto lekcii sa dá pomerne ľahko skontrolovať diferenciáciou!

Príklady sa nepovažovali za najťažšie. V praxi sú bežnejšie integrály, kde konštanta je v exponente aj v argumente goniometrickej funkcie, napríklad: . Veľa ľudí sa bude musieť v takomto integráli zmiasť a ja sám sa často zamotám. Faktom je, že v riešení je vysoká pravdepodobnosť výskytu zlomkov a je veľmi ľahké niečo stratiť v dôsledku nepozornosti. Okrem toho existuje vysoká pravdepodobnosť chyby v znamienkach, všimnite si, že v exponente je znamienko mínus, čo prináša ďalšie ťažkosti.

V záverečnej fáze to často dopadne takto:

Aj na konci riešenia by ste mali byť veľmi opatrní a správne zaobchádzať so zlomkami:

Integrácia zložitých zlomkov

Pomaly sa blížime k rovníku lekcie a začíname uvažovať o integráloch zlomkov. Opäť, nie všetky sú veľmi zložité, len z jedného alebo druhého dôvodu boli príklady v iných článkoch trochu „mimo tému“.

Pokračovanie v téme koreňov

Príklad 9

Nájdite neurčitý integrál

V menovateli pod odmocninou je štvorcová trojčlenka plus mimo koreňového "prídavku" v tvare "X". Integrál tohto tvaru sa rieši štandardnou substitúciou.

Rozhodujeme sa:

Výmena je tu jednoduchá:

Pohľad na život po výmene:

(1) Po substitúcii zredukujeme členy pod koreňom na spoločného menovateľa.
(2) Vyberieme ho spod koreňa.
(3) Čitateľ a menovateľ znížime o . Zároveň som pod koreňom preusporiadal podmienky vo vhodnom poradí. S určitými skúsenosťami je možné kroky (1), (2) preskočiť vykonaním komentovaných akcií ústne.
(4) Výsledný integrál, ako si pamätáte z lekcie Integrácia niektorých zlomkov, je vyriešený metóda výberu plného štvorca. Vyberte celý štvorec.
(5) Integráciou získame obyčajný "dlhý" logaritmus.
(6) Vykonávame spätnú výmenu. Ak pôvodne , potom späť: .
(7) Záverečná akcia je zameraná na úpravu výsledku: pod koreňom opäť privedieme výrazy k spoločnému menovateľovi a vyberieme ich spod koreňa.

Príklad 10

Nájdite neurčitý integrál

Toto je príklad „urob si sám“. Tu sa k osamelému x pridá konštanta a nahradenie je takmer rovnaké:

Jediná vec, ktorú je potrebné urobiť dodatočne, je vyjadriť „x“ z náhrady:

Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Niekedy v takomto integráli môže byť pod odmocninou štvorcová dvojčlenka, to nemení spôsob riešenia riešenia, dokonca bude ešte jednoduchšie. Cítiť rozdiel:

Príklad 11

Nájdite neurčitý integrál

Príklad 12

Nájdite neurčitý integrál

Stručné riešenia a odpovede na konci hodiny. Treba poznamenať, že príklad 11 je presne taký binomický integrál, o spôsobe riešenia ktorého sa v lekcii uvažovalo Integrály iracionálnych funkcií.

Integrál nerozložiteľného polynómu 2. stupňa na stupeň

(polynóm v menovateli)

Vzácnejšia, no napriek tomu sa v praktických príkladoch vyskytujúca forma integrálu.

Príklad 13

Nájdite neurčitý integrál

Ale vráťme sa k príkladu so šťastným číslom 13 (úprimne, neuhádol som). Tento integrál je tiež z kategórie tých, s ktorými môžete dosť trpieť, ak neviete, ako ich vyriešiť.

Riešenie začína umelou transformáciou:

Myslím, že každý už chápe, ako rozdeliť čitateľa menovateľom výraz po výraze.

Výsledný integrál je rozdelený na časti:

Pre integrál tvaru ( je prirodzené číslo) sme odvodili opakujúci vzorec na zníženie triedy:
, Kde je integrál nižšieho stupňa.

Overme si platnosť tohto vzorca pre riešený integrál.
V tomto prípade: , , použijeme vzorec:

Ako vidíte, odpovede sú rovnaké.

Príklad 14

Nájdite neurčitý integrál

Toto je príklad „urob si sám“. Roztok vzorky používa vyššie uvedený vzorec dvakrát za sebou.

Ak je pod stup nerozložiteľnéštvorcovú trojčlenku, potom sa riešenie zredukuje na dvojčlen extrahovaním celého štvorca, napríklad:

Čo ak je v čitateli ďalší polynóm? V tomto prípade sa použije metóda neurčitých koeficientov a integrand sa rozšíri na súčet zlomkov. Ale v mojej praxi taký príklad nikdy nestretli, tak som tento prípad v článku preskočil Integrály zlomkovo-racionálnej funkcie, teraz to preskočím. Ak sa takýto integrál stále vyskytuje, pozrite si učebnicu - tam je všetko jednoduché. Nepovažujem za účelné uvádzať materiál (aj jednoduchý), pravdepodobnosť stretnutia s ktorým sa blíži k nule.

Integrácia zložitých goniometrických funkcií

Prídavné meno „ťažký“ je pre väčšinu príkladov opäť z veľkej časti podmienené. Začnime tangentami a kotangens vo vysokých mocninách. Z pohľadu metód používaných na riešenie dotyčnice a kotangens sú takmer rovnaké, preto budem hovoriť viac o dotyčnici, to znamená, že demonštrovaná metóda riešenia integrálu platí aj pre kotangens.

Vo vyššie uvedenej lekcii sme sa pozreli na univerzálna trigonometrická substitúcia na riešenie určitého typu integrálov goniometrických funkcií. Nevýhodou univerzálnej goniometrickej substitúcie je, že jej aplikácia často vedie k ťažkopádnym integrálom s náročnými výpočtami. A v niektorých prípadoch je možné vyhnúť sa univerzálnej trigonometrickej substitúcii!

Zvážte ďalší kanonický príklad, integrál jednoty delený sínusom:

Príklad 17

Nájdite neurčitý integrál

Tu môžete použiť univerzálnu trigonometrickú substitúciu a získať odpoveď, ale existuje racionálnejší spôsob. Ku každému kroku poskytnem kompletné riešenie s komentármi:

(1) Používame trigonometrický vzorec pre sínus dvojitého uhla.
(2) Vykonávame umelú transformáciu: V menovateli delíme a násobíme .
(3) Podľa známeho vzorca v menovateli zlomok zmeníme na dotyčnicu.
(4) Funkciu privedieme pod znamienko diferenciálu.
(5) Vezmeme integrál.

Pár jednoduchých príkladov, ktoré môžete vyriešiť sami:

Príklad 18

Nájdite neurčitý integrál

Tip: Úplne prvým krokom je použitie redukčného vzorca a opatrne vykonajte činnosti podobné predchádzajúcemu príkladu.

Príklad 19

Nájdite neurčitý integrál

No, toto je veľmi jednoduchý príklad.

Kompletné riešenia a odpovede na konci lekcie.

Myslím, že teraz nikto nebude mať problémy s integrálmi:
a tak ďalej.

Aká je myšlienka metódy? Cieľom je použiť transformácie, trigonometrické vzorce na usporiadanie iba dotyčníc a derivácie dotyčnice v integrande. To znamená, že hovoríme o výmene: . V príkladoch 17-19 sme skutočne použili túto náhradu, ale integrály boli také jednoduché, že sa to urobilo s ekvivalentnou akciou - uvedením funkcie pod diferenciálne znamienko.

Podobné úvahy, ako som už spomenul, možno vykonať pre kotangens.

Existuje aj formálny predpoklad na uplatnenie vyššie uvedenej substitúcie:

Súčet mocnin kosínusu a sínusu je celé záporné PÁRNE číslo, Napríklad:

pre integrál, celé záporné PÁRNE číslo.

! Poznámka : ak integrand obsahuje LEN sínus alebo LEN kosínus, potom sa integrál berie aj so záporným nepárnym stupňom (najjednoduchšie prípady sú v príkladoch č. 17, 18).

Zvážte niekoľko zmysluplnejších úloh pre toto pravidlo:

Príklad 20

Nájdite neurčitý integrál

Súčet stupňov sínusu a kosínusu: 2 - 6 \u003d -4 - záporné celé číslo PÁRNE číslo, čo znamená, že integrál možno redukovať na tangens a jeho deriváciu:

(1) Transformujme menovateľa.
(2) Podľa známeho vzorca získame .
(3) Transformujme menovateľa.
(4) Používame vzorec .
(5) Funkciu privedieme pod diferenciálne znamienko.
(6) Vykonávame výmenu. Skúsenejší študenti nemusia vykonať zámenu, ale stále je lepšie nahradiť dotyčnicu jedným písmenom - existuje menšie riziko zámeny.

Príklad 21

Nájdite neurčitý integrál

Toto je príklad „urob si sám“.

Počkajte, majstrovské kolá začínajú =)

V integrande sa často vyskytuje „hodgepodge“:

Príklad 22

Nájdite neurčitý integrál

Tento integrál spočiatku obsahuje dotyčnicu, ktorá okamžite naznačuje už známu myšlienku:

Umelú premenu hneď na začiatku a ostatné kroky nechám bez komentára, keďže všetko už bolo povedané vyššie.

Niekoľko kreatívnych príkladov pre nezávislé riešenie:

Príklad 23

Nájdite neurčitý integrál

Príklad 24

Nájdite neurčitý integrál

Áno, samozrejme, môžete v nich znížiť stupne sínusu, kosínusu, použiť univerzálnu trigonometrickú substitúciu, ale riešenie bude oveľa efektívnejšie a kratšie, ak sa bude ťahať cez dotyčnice. Úplné riešenie a odpovede na konci lekcie