§3 Priamka a rovina v priestore. „Vzájomná poloha čiar a rovín v priestore Roviny a čiary v krížovke

PLANE (lietadlo).

Definícia. Akýkoľvek nenulový vektor kolmý na rovinu sa nazýva jeho normálny vektor, a je určený .

Definícia. Zavolá sa rovinná rovnica v tvare, kde koeficienty sú ľubovoľné reálne čísla, ktoré sa zároveň nerovnajú nule všeobecná rovnica roviny.

Veta. Rovnica definuje rovinu, ktorá prechádza bodom a má normálny vektor.

Definícia. Zobraziť rovinnú rovnicu

Kde – volajú sa ľubovoľné nenulové reálne čísla rovnica roviny v segmentoch.

Veta. Nech je rovnica roviny v segmentoch. Potom sú súradnice bodov jeho priesečníka so súradnicovými osami.

Definícia. Všeobecná rovnica roviny je tzv normalizované alebo normálne rovinná rovnica ak

A .

Veta. Normálna rovnica roviny môže byť napísaná v tvare, kde je vzdialenosť od začiatku k danej rovine a sú smerové kosínusy jej normálového vektora ).

Definícia. Normalizačný faktor všeobecná rovnica roviny sa nazýva číslo – kde je znamienko zvolené opačne ako znamienko voľného termínu D.

Veta. Nech je normalizačný faktor všeobecnej rovnice roviny. Potom rovnica – je normalizovaná rovnica danej roviny.

Veta. Vzdialenosť d z bodu do lietadla .

Relatívna poloha dvoch rovín.

Dve roviny sa buď zhodujú, sú rovnobežné alebo sa pretínajú v priamke.

Veta. Nech sú roviny špecifikované všeobecnými rovnicami: . potom:

1) ak , potom sa roviny zhodujú;

2) ak , potom sú roviny rovnobežné;

3) ak alebo, potom sa roviny pretínajú pozdĺž priamky, ktorej rovnica je systémom rovníc: .

Veta. Nech sú normálové vektory dvoch rovín, potom sa jeden z dvoch uhlov medzi týmito rovinami rovná:.

Dôsledok. Nechaj ,sú normálové vektory dvoch daných rovín. Ak je bodový súčin, potom sú dané roviny kolmé.

Veta. Nech sú uvedené súradnice troch rôznych bodov v súradnicovom priestore:

Potom rovnica –je rovnica roviny prechádzajúcej týmito tromi bodmi.

Veta. Nech sú dané všeobecné rovnice dvoch pretínajúcich sa rovín: a. potom:

– rovnica osovej roviny ostrého dihedrálneho uhla, tvorený priesečníkom týchto rovín;

– rovnica osovej roviny tupého dihedrálneho uhla.

Zväzok a zväzok lietadiel.

Definícia. Banda lietadiel je množina všetkých rovín, ktoré majú jeden spoločný bod, ktorý je tzv stred väziva.

Veta. Nech sú tri roviny, ktoré majú jeden spoločný bod, potom je rovnica, kde sú ľubovoľné reálne parametre, ktoré sa súčasne nerovnajú nule rovinná zväzková rovnica.

Veta. Rovnica, kde sú ľubovoľné reálne parametre, ktoré sa zároveň nerovnajú nule rovnica zväzku rovín so stredom zväzku v bode .

Veta. Nech sú dané všeobecné rovnice troch rovín:

sú ich zodpovedajúce normálové vektory. Na to, aby sa tri dané roviny pretínali v jednom bode, je potrebné a postačujúce, aby sa zmiešaný súčin ich normálových vektorov nerovnal nule:

V tomto prípade sú súradnice ich jediného spoločného bodu jediným riešením systému rovníc:

Definícia. Kopec lietadiel je množina všetkých rovín pretínajúcich sa pozdĺž tej istej priamky, ktorá sa nazýva os lúča.

Veta. Nech sú dve roviny pretínajúce sa v priamke. Potom platí rovnica, kde sú ľubovoľné reálne parametre, ktoré sa súčasne nerovnajú nule rovnica ceruzky rovín s osou lúča

ROVNÝ.

Definícia. Akýkoľvek nenulový vektor kolineárny k danej priamke sa nazýva jeho vodiaci vektor, a je označený

Veta. parametrická rovnica priamky v priestore: kde sú súradnice ľubovoľného pevného bodu danej priamky, sú zodpovedajúce súradnice ľubovoľného smerového vektora danej priamky, sú parametrom.

Dôsledok. Nasledujúca sústava rovníc je rovnica priamky v priestore a je tzv kanonická rovnica priamky vo vesmíre: kde sú súradnice ľubovoľného pevného bodu danej priamky, sú zodpovedajúce súradnice ľubovoľného smerového vektora danej priamky.

Definícia. Kanonická priamková rovnica tvaru - volal kanonická rovnica priamky prechádzajúcej cez dva rôzne dané body

Relatívna poloha dvoch čiar v priestore.

Existujú 4 možné prípady umiestnenia dvoch čiar v priestore. Čiary sa môžu zhodovať, byť rovnobežné, pretínať sa v jednom bode alebo sa môžu pretínať.

Veta. Nech sú dané kanonické rovnice dvoch riadkov:

kde sú ich smerové vektory a sú ľubovoľné pevné body ležiace na priamkach, resp. potom:

A ;

a aspoň jedna z rovnosti nie je splnená

;

, t.j.

4) rovné prekrížené, ak , t.j.

Veta. Nechaj

– dve ľubovoľné priame čiary v priestore určené parametrickými rovnicami. potom:

1) ak systém rovníc

má jedinečné riešenie: priamky sa pretínajú v jednom bode;

2) ak systém rovníc nemá riešenia, potom sa čiary krížia alebo sú rovnobežné.

3) ak má systém rovníc viac ako jedno riešenie, potom sa čiary zhodujú.

Vzdialenosť medzi dvoma priamkami v priestore.

Veta.(Vzorec pre vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými priamkami.): Vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými priamkami

Kde je ich spoločný smerový vektor, body na týchto čiarach možno vypočítať pomocou vzorca:

alebo

Veta.(Vzorec pre vzdialenosť medzi dvoma pretínajúcimi sa čiarami.): Vzdialenosť medzi dvoma pretínajúcimi sa čiarami

možno vypočítať pomocou vzorca:

Kde – modul zmiešaného súčinu smerových vektorov A a vektor, – modul vektorového súčinu smerových vektorov.

Veta. Nech sú rovnice dvoch pretínajúcich sa rovín. Potom nasledujúci systém rovníc je rovnica priamky, pozdĺž ktorej sa tieto roviny pretínajú: . Smerový vektor tejto čiary môže byť vektor , Kde ,– normálové vektory týchto rovín.

Veta. Nech je daná kanonická rovnica priamky: , Kde . Potom nasledujúci systém rovníc je rovnicou danej priamky definovanej priesečníkom dvoch rovín: .

Veta. Rovnica kolmice spadnutej z bodu priamo vyzerá ako kde sú súradnice vektorového súčinu a sú súradnice smerového vektora tejto čiary. Dĺžku kolmice možno zistiť pomocou vzorca:

Veta. Rovnica spoločnej kolmice dvoch šikmých čiar je: Kde.

Vzájomná poloha priamky a roviny v priestore.

Existujú tri možné prípady relatívnej polohy čiary v priestore a rovine:

Veta. Nech je rovina daná všeobecnou rovnicou a priamka daná kanonickými alebo parametrickými rovnicami alebo kde vektor je normálový vektor roviny sú súradnice ľubovoľného pevného bodu čiary a sú zodpovedajúcimi súradnicami ľubovoľného smerového vektora čiary. potom:

1) ak , potom priamka pretína rovinu v bode, ktorého súradnice možno nájsť zo sústavy rovníc

2) ak a, potom čiara leží v rovine;

3) ak a, potom je čiara rovnobežná s rovinou.

Dôsledok. Ak má systém (*) jedinečné riešenie, potom priamka pretína rovinu; ak systém (*) nemá žiadne riešenia, potom je čiara rovnobežná s rovinou; ak má sústava (*) nekonečne veľa riešení, potom priamka leží v rovine.

Riešenie typických problémov.

Úloha №1 :

Napíšte rovnicu pre rovinu prechádzajúcu bodom rovnobežným s vektormi

Nájdite normálny vektor požadovanej roviny:

= =

Ako normálny vektor roviny môžeme vziať vektor, potom bude mať všeobecná rovnica roviny tvar:

Ak chcete nájsť , musíte v tejto rovnici nahradiť súradnice bodu patriaceho do roviny.

Úloha №2 :

Dve steny kocky ležia na rovinách a vypočítajte objem tejto kocky.

Je zrejmé, že roviny sú rovnobežné. Dĺžka hrany kocky je vzdialenosť medzi rovinami. Vyberme si ľubovoľný bod na prvej rovine: nájdime ho.

Nájdite vzdialenosť medzi rovinami ako vzdialenosť od bodu k druhej rovine:

Takže objem kocky sa rovná ()

Úloha №3 :

Nájdite uhol medzi stenami pyramídy a jej vrcholmi

Uhol medzi rovinami je uhol medzi normálovými vektormi k týmto rovinám. Nájdite normálový vektor roviny: [,];

, alebo

Podobne

Úloha №4 :

Zostavte kanonickú rovnicu priamky .

takže,

Vektor je kolmý na čiaru, preto

Takže kanonická rovnica čiary bude mať tvar .

Úloha №5 :

Nájdite vzdialenosť medzi čiarami

A .

Čiary sú rovnobežné, pretože ich smerové vektory sú rovnaké. Nechajte bod patrí do prvého riadku a bod leží na druhom riadku. Nájdite oblasť rovnobežníka postaveného na vektoroch.

[,];

Požadovaná vzdialenosť je výška rovnobežníka zníženého z bodu:

Úloha №6 :

Vypočítajte najkratšiu vzdialenosť medzi čiarami:

Ukážme, že šikmé čiary, t.j. vektory, ktoré nepatria do rovnakej roviny: ≠ 0.

1 spôsob:

Cez druhú čiaru nakreslíme rovinu rovnobežnú s prvou čiarou. Pre požadovanú rovinu sú známe vektory a body, ktoré k nej patria. Normálny vektor roviny je krížovým súčinom vektorov a teda .

Takže môžeme vziať vektor ako normálny vektor roviny, takže rovnica roviny bude mať tvar: s vedomím, že bod patrí do roviny, napíšeme rovnicu:

Požadovaná vzdialenosť - táto vzdialenosť od bodu prvej priamky k rovine sa zistí podľa vzorca:

13.

Metóda 2:

Pomocou vektorov , a zostrojíme rovnobežnosten.

Požadovaná vzdialenosť je výška rovnobežnostena spusteného od bodu k jeho základni, postavená na vektoroch.

Odpoveď: 13 jednotiek.

Úloha №7 :

Nájdite priemet bodu do roviny

Normálny vektor roviny je smerový vektor priamky:

Nájdite priesečník čiary

a lietadlá:

Nahradením rovín do rovnice nájdeme a potom

Komentujte. Ak chcete nájsť bod symetrický k bodu vzhľadom na rovinu, musíte (podobne ako v predchádzajúcom probléme) nájsť priemet bodu do roviny, potom zvážiť segment so známym začiatkom a stredom pomocou vzorcov,,.

Úloha №8 :

Nájdite rovnicu kolmice spustenej z bodu na priamku .

1 spôsob:

Metóda 2:

Vyriešme problém druhým spôsobom:

Rovina je kolmá na danú priamku, takže smerový vektor priamky je normálovým vektorom roviny. Keď poznáme normálový vektor roviny a bod v rovine, napíšeme jeho rovnicu:

Nájdite priesečník roviny a priamky zapísaný parametricky:

Vytvorme rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodmi a:

odpoveď: .

Nasledujúce problémy je možné vyriešiť rovnakým spôsobom:

Úloha №9 :

Nájdite bod symetrický k bodu vzhľadom na priamku .

Úloha №10 :

Daný trojuholník s vrcholmi Nájdite rovnicu výšky zníženej z vrcholu na stranu.

Postup riešenia je úplne podobný predchádzajúcim problémom.

odpoveď: .

Úloha №11 :

Nájdite rovnicu spoločnej kolmice na dve priamky: .

Vzhľadom na to, že rovina prechádza bodom, napíšeme rovnicu tejto roviny:

Bod patrí, takže rovnica roviny má tvar:.

odpoveď:

Úloha №12 :

Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej bodom a pretínajúcej priamky .

Prvá čiara prechádza bodom a má smerový vektor; druhý prechádza bodom a má smerový vektor

Ukážme, že tieto čiary sú šikmé, preto vytvoríme determinant, ktorého čiary sú súradnicami vektorov ,, ,vektory nepatria do rovnakej roviny.

Nakreslíme rovinu cez bod a prvú priamku:

Nech je ľubovoľný bod roviny, potom sú vektory koplanárne. Rovinná rovnica má tvar:.

Podobne vytvoríme rovnicu pre rovinu prechádzajúcu bodom a druhou priamkou: 0.

Požadovaná priamka je priesečník rovín, t.j....

Vzdelávacím výsledkom po preštudovaní tejto témy je formovanie komponentov uvedených v úvode, súboru kompetencií (vedieť, vedieť, ovládať) na dvoch úrovniach: prahovej a pokročilej. Prahová úroveň zodpovedá hodnoteniu „uspokojivý“, pokročilá úroveň zodpovedá hodnoteniu „dobrý“ alebo „výborný“ v závislosti od výsledkov pridelenia obhajoby prípadov.

Na nezávislú diagnostiku týchto komponentov sú vám ponúknuté nasledujúce úlohy.

MINISTERSTVO ŠKOLSTVA A VEDY RUSKA

Federálna štátna rozpočtová vzdelávacia inštitúcia vyššieho odborného vzdelávania „Ugra State University“ (YSU)

NIŽNEVARTOVSK OLEJNÁ TECHNICKÁ ŠKOLA

(pobočka) federálnej štátnej rozpočtovej vzdelávacej inštitúcie

vyššie odborné vzdelanie "Ugra State University"

(NNT (pobočka) Federálnej štátnej rozpočtovej vzdelávacej inštitúcie vyššieho odborného vzdelávania "Southern State University")

RECENZOVANÉ

Na stretnutí odboru E&ED

Protokol č.__

"____"____________20__

Vedúci oddelenia_________L.V. Rvacheva

SCHVÁLENÉ

námestník riaditeľ pre akademické záležitosti

NNT (pobočka) Federálnej štátnej rozpočtovej vzdelávacej inštitúcie vyššieho odborného vzdelávania „Southern State University“

"____"____________20__

RI. Khaibulina

Metodický rozvoj vyučovacej hodiny

Učiteľ: E.N. Karsáková

Nižnevartovsk

2014-

Lekcia č.58

„Relatívna poloha priamych čiar a rovín v priestore“

Disciplína: Matematika

Dátum: 19.12.14

Skupina: ZRE41

Ciele:

Vzdelávacie:

Štúdium možných prípadov vzájomného usporiadania priamok a rovín v priestore;

Budovanie zručnostíčítanie a vytváranie výkresov priestorových konfigurácií;

Vzdelávacie:

Podporovať rozvoj priestorovej predstavivosti a geometrického myslenia;

Rozvoj presnej, informatívnej reči;

Formovanie kognitívnej a tvorivej činnosti;

Rozvoj samostatnosti, iniciatívy;

Vzdelávacie:

Podporovať estetické vnímanie grafických obrázkov;

Podpora presného a presného vykonávania geometrických konštrukcií;

Rozvíjať pozorný a starostlivý prístup k životnému prostrediu.

Typ lekcie: osvojenie si nových vedomostí;

Vybavenie a materiály: PC,MD projektor, kartičky s úlohami, zošity, pravítka, ceruzky.

Literatúra:

N.V. Bogomolov „Praktické hodiny matematiky“, 2006.

A.A. Dadayan "Matematika", 2003.

ON. Afanasyeva, Ya.S. Brodsky „Matematika pre technické školy“, 2010

Plán lekcie:

Fáza lekcie

Účel javiska

čas (min)

Organizovanie času

Oznámenie témy lekcie; stanovovanie si cieľov;

Aktualizácia vedomostí

Testovanie základných vedomostí

a) frontálny prieskum

Zopakujte si axiómy stereometrie; relatívna poloha čiar v priestore; korekcia vedomostných medzier

Učenie sa nového materiálu

Asimilácia nových poznatkov;

Riešenie geometrických úloh.

Formovanie zručností a schopností

Kreatívna aplikácia vedomostí

a) Úžasné je blízko

Rozvoj pozornosti arešpekt k prírode

b) Zábavná krížovka

Výsledky lekcie

Zovšeobecňovanie vedomostí, zručností, schopností; hodnotenie výkonu žiaka

Domáca úloha

Návod na domácu úlohu

Priebeh lekcie:

1. Organizačný moment (3 min.)

(Komunikácia témy hodiny; stanovenie cieľov; zvýraznenie hlavných fáz).

Dnes sa pozrieme na vzájomnú polohu priamky a roviny v priestore, naučíme sa znaky rovnobežnosti a kolmosti priamky a roviny, nadobudnuté poznatky aplikujeme pri riešení geometrických úloh a objavíme úžasné predmety okolo seba.

2. Aktualizácia vedomostí (7 min.)

Cieľ: Motivácia pre kognitívnu činnosť

Geometria je jednou z najstarších vied, ktorá sa zaoberá štúdiom vlastností geometrických útvarov v rovine a v priestore. Geometrické znalosti sú potrebné na to, aby človek rozvíjal priestorovú predstavivosť a správne vnímanie okolitej reality. Akékoľvek poznanie je založené na základných pojmoch - základ, bez ktorého nie je možná ďalšia asimilácia nových vedomostí. Tieto pojmy zahŕňajú počiatočné pojmy stereometrie a axiómy.

Počiatočné (základné) sú pojmy, ktoré sú akceptované bez definície. V stereometrii súbod, čiara, rovina a vzdialenosť . Na základe týchto pojmov dávame definície iným geometrickým pojmom, formulujeme vety, popisujeme vlastnosti a vytvárame dôkazy.

3. Testovanie vedomostí študentov na tému: " Axiómy stereometrie“, „Relatívne usporiadanie čiar v priestore " (15 minút.)

Cieľ: Zopakujte si počiatočné axiómy a teorémy stereometrie; aplikovať získané poznatky pri riešení geometrických úloh; korekcia medzier vo vedomostiach.

Cvičenie 1. Uveďte axiómy stereometria. (Prezentácia).

Axióma je tvrdenie prijaté bez dôkazu.

Axiómy stereometrie

A1: Vo vesmíre je rovina a bod, ktorý do nej nepatrí.

A2: Cez ľubovoľné tri body, ktoré neležia na tej istej priamke, prechádza rovina, a to iba jedna.

A3: Ak dva body priamky ležia v rovine, potom všetky body priamky ležia v tejto rovine.

A4: Ak majú dve roviny spoločný bod, potom majú spoločnú priamku, na ktorej ležia všetky spoločné body týchto rovín.

Úloha 2. Stavové vety stereometria (dôsledky z axióm). (Prezentácia).

Dôsledky axiómov

Veta 1. Rovina prechádza priamkou a bodom, ktorý na nej neleží, a to iba jednou rovinou.

Veta 2. Rovina prechádza dvoma pretínajúcimi sa čiarami a iba jednou.

Veta 3. Rovina prechádza dvoma rovnobežnými čiarami a iba jednou.

Úloha 3. Aplikujte svoje vedomosti na riešenie jednoduchých stereometrických úloh. ( Prezentácia ) .

Nájdite niekoľko bodov, ktoré ležia v rovineα

Nájdite niekoľko bodov, ktoré neležia v rovineα

Nájdite niekoľko priamych čiar, ktoré ležia v rovineα .

Nájdite niekoľko čiar, ktoré neležia v rovineα

Nájdite niekoľko čiar, ktoré pretínajú čiaru B S.

Nájdite niekoľko čiar, ktoré nepretínajú čiaru B S.

Úloha 4. Pe Diskutujte o spôsoboch, akými sú čiary vzájomne umiestnené v priestore. ( Prezentácia ) .

1.Paralelné čiary

2. Pretínajúce sa čiary

3. Križovanie čiar

Úloha 5. Definujte rovnobežné čiary.(Prezentácia).

1) Rovnobežné čiary sú čiary, ktoré ležia v rovnakej rovine a nemajú spoločné body

Úloha 6. Definujte pretínajúce sa čiary.(Prezentácia).

Dve priamky sa pretínajú, ak ležia v rovnakej rovine a majú spoločný bod.

Úloha 7. Definujte šikmé čiary.(Prezentácia).

Čiary sa nazývajú križujúce sa čiary, ak ležia v rôznych rovinách.

Úloha 8. Určte vzájomnú polohu čiar. (Prezentácia).

1.Kríž

2. Pretínajte sa

3.Paralelné

4.Kríž

5. Pretínajte sa

4. Štúdium nového materiálu na túto tému: „Relatívna poloha priamky a roviny v priestore " (20 minút.) (Prezentácia).

Cieľ: Študovať spôsoby vzájomnej polohy priamky a roviny; aplikovať získané poznatky pri riešení geometrických úloh;

Ako môže byť v priestore umiestnená priamka a rovina?

Priamka leží v rovine

Rovina a čiara sú rovnobežné

Rovina a priamka sa pretínajú

Rovina a čiara sú kolmé

KedyLeží táto čiara v tejto rovine?

Priamka leží v rovine, ak majú aspoň 2 spoločné body.

KedyJe táto čiara rovnobežná s touto rovinou?

Priamka a rovina sa nazývajú rovnobežné, ak sa nepretínajú a nemajú spoločné body.

Kedypretína táto čiara túto rovinu?

Hovorí sa, že rovina a priamka sa pretínajú, ak majú spoločný priesečník.

Kedyje táto čiara kolmá na túto rovinu?

Priamka pretínajúca rovinu sa nazýva kolmá na túto rovinu, ak je kolmá ku každej priamke ležiacej v danej rovine a prechádzajúcej priesečníkom.

Znak rovnobežnosti medzi priamkou a rovinou

Rovina a priamka, ktorá na nej neleží, sú rovnobežné, ak v danej rovine existuje aspoň jedna priamka rovnobežná s danou priamkou.

Znak kolmosti priamky a roviny

Ak je priamka pretínajúca rovinu kolmá na dve pretínajúce sa priamky ležiace v rovine, potom je kolmá na túto rovinu.

5. Riešenie geometrických úloh. (Prezentácia).

Cvičenie 1. Určte vzájomné polohy priamych čiar a rovín.

Paralelné

Pretínajte sa

Paralelné

Úloha 2. Pomenujte roviny, v ktorých sú body M a N .

Úloha 3. Nájdite bod F – priesečník čiar MN A D C. Aké vlastnosti má bod? F ?

Úloha 4. Nájdite priesečník čiary KN a lietadlo ABC.

6.Tvorivá aplikácia vedomostí.

a) Úžasné je blízko.

Cieľ: Rozvoj matematickej pozornosti arešpekt k prírode.

Cvičenie 1. Uveďte príklady vzájomnej polohy čiar v priestore z vonkajšieho sveta (5 min.)

Paralelné

Pretínajúce sa

Kríženie

Žiarivky

kompas

Vežový žeriav

Vykurovacie batérie

Križovatka

Vrtuľník, lietadlo

Nohy stola

ručičky hodín

anténa

Klávesy klavíra

mlyn

nožnice

Struny na gitaru

konáre stromu

Výmena dopravy

b) Zábavná krížovka (15 min.) (Prezentácia).

Cieľ: Ukázať všeobecnosť matematických pojmov

Cvičenie - uhádnite zašifrované slovo - dve rovné čiary umiestnené v rôznych rovinách.

otázky:

1. Časť geometrie, ktorá študuje vlastnosti obrazcov v priestore (12 písmen).

2. Vyhlásenie, ktoré nevyžaduje dôkaz.

3. Najjednoduchší obrazec planimetrie a stereometrie (6 písmen).

4. Časť geometrie, ktorá študuje vlastnosti obrazcov na rovine (11 písmen).

5. Ochranné zariadenie pre bojovníka vo forme kruhu, oválu, obdĺžnika.

6. Veta definujúca vlastnosti objektov.

8. Planimetria - rovina, stereometria -...

9. Dámsky odev v tvare lichobežníka (4 písmená).

10. Bod patriaci obom úsečkám.

11. Aký tvar majú hrobky faraónov v Egypte? (8 písmen)

12. Aký tvar má tehla? (14 písmen)

13. Jedna z hlavných postáv stereometrie.

14. Môže byť rovný, zakrivený, zlomený.

Odpovede:

7. Zhrnutie hodiny (3 min).

Plnenie stanovených cieľov;

Získanie výskumných zručností;

Aplikácia vedomostí na riešenie geometrických úloh;

Oboznámili sme sa s rôznymi typmi polohy priamky a roviny v priestore. Osvojenie si týchto vedomostí pomôže pri štúdiu iných geometrických pojmov v nasledujúcich lekciách.

8. Domáca úloha (2 min).

Cvičenie 1. Doplňte tabuľku vzájomných polôh priamky a roviny príkladmi z vonkajšieho sveta.

, Súťaž „Prezentácia na lekciu“

Trieda: 10

Prezentácia na lekciu

Späť dopredu

Pozor! Ukážky snímok slúžia len na informačné účely a nemusia predstavovať všetky funkcie prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.

Účel lekcie: zopakovanie a zovšeobecnenie študovaného materiálu na tému „Vzájomná poloha čiar a rovín v priestore“.

vzdelávacie: zvážiť možné prípady vzájomného usporiadania čiar a rovín v priestore; rozvíjať zručnosť čítania výkresov, priestorové konfigurácie úloh.
rozvíjanie: rozvíjať priestorovú predstavivosť žiakov pri riešení geometrických úloh, geometrické myslenie, záujem o učivo, kognitívnu a tvorivú činnosť žiakov, matematickú reč, pamäť, pozornosť; rozvíjať samostatnosť pri osvojovaní si nových vedomostí.
vzdelávacie: pestovať u žiakov zodpovedný postoj k výchovnej práci, formovať emocionálnu kultúru a kultúru komunikácie, rozvíjať zmysel pre vlastenectvo a lásku k prírode.

Vyučovacie metódy: verbálne, vizuálne, aktivitné

Formy tréningu: kolektívne, individuálne

Učebné pomôcky (vrátane technických učebných pomôcok): počítač, multimediálny projektor, plátno, tlačené materiály (príručky),

Úvodný prejav učiteľa.

Dnes v lekcii zhrnieme výsledky štúdia relatívnej polohy čiar a rovín v priestore.

Hodinu pripravili žiaci vašej triedy, ktorí pomocou samostatného vyhľadávania fotografií zvažovali rôzne možnosti vzájomnej polohy čiar a rovín v priestore.

Dokázali nielen zvažovať rôzne možnosti vzájomnej polohy línií a rovín v priestore, ale aj tvorivo pracovať – vytvorili multimediálnu prezentáciu.

Aká by mohla byť relatívna poloha čiar v priestore (rovnobežné, pretínajúce sa, krížiace sa)

Definujte paralelné čiary v priestore, uveďte príklady zo života a prírody

Uveďte znaky rovnobežných čiar

Definujte pretínajúce sa čiary v priestore, uveďte príklady zo života a prírody

Definujte pretínajúce sa čiary v priestore, uveďte príklady zo života, v prírode

Aké by mohlo byť relatívne usporiadanie rovín v priestore (paralelné, pretínajúce sa)

Definujte paralelné roviny v priestore, uveďte príklady zo života, v prírode

Definujte pretínajúce sa roviny v priestore, uveďte príklady zo života, v prírode

Aká by mohla byť relatívna poloha čiar a rovín v priestore (rovnobežná, pretínajúca sa, kolmá)

Definujte každý koncept a zvážte príklady zo skutočného života.

Zhrnutie prezentácií.

Ako hodnotíš tvorivú prípravu spolužiakov na vyučovaciu hodinu?

Konsolidácia.

Matematický diktát s uhlíkovými kópiami žiaci dokreslia na samostatné listy podľa pripravených nákresov a odovzdajú na testovanie. Kópia sa skontroluje a známky sa pridelia nezávisle.

ABCDA 1 B 1 C 1 D1 - kubický

K, M, N - stredy hrán B 1 C 1, D 1 D, D 1 C 1, resp.

P je priesečník uhlopriečok plochy AA 1 B 1 B.

Určte relatívnu polohu:

priamky: B 1 M a BD, PM a B 1 N, AC a MN, B 1 M a PN (snímky 16 - 19);
priamka a rovina: KN a (ABCD), B 1 D a (DD 1 C 1 C), PM a (BB 1 D 1 D), MN a (AA 1 B 1 B) (snímky 21 - 24);
roviny: (AA 1 B 1 B) a (DD 1 C 1 C), (AB 1 C 1 D) a (BB 1 D 1 D), (AA 1 D 1 D) a (BB 1 C 1 C) ( snímky 26 - 28)

Osobný test. Snímky 29,30,31.

Domáca úloha. Vyriešte krížovku.

1. Časť geometrie, v ktorej sa študujú vlastnosti útvarov v priestore.

2. Matematické tvrdenie, ktoré nevyžaduje dôkaz.

3. Jedna z najjednoduchších figúrok v planimetrii aj stereometrii.

4. Úsek geometrie, v ktorom sa študujú vlastnosti útvarov v rovine.

5. Ochranné zariadenie pre bojovníka vo forme kruhu, oválu, obdĺžnika.

6. Veta, v ktorej je potrebné určiť objekt na základe danej vlastnosti.

8. Planimetria - rovina, stereometria -:

9. Dámske oblečenie vo forme lichobežníka.

10. Jeden bod patriaci obom čiaram.

11. Aký tvar majú hrobky faraónov v Egypte?

12. Aký tvar má tehla?

13. Jedna z hlavných postáv stereometrie.

14. Môže byť rovný, zakrivený, zlomený.

Ministerstvo školstva a vedy Burjatskej republiky

Štátna rozpočtová vzdelávacia inštitúcia

stredné odborné vzdelanie

Buryatská republikánska priemyselná škola

Metodický rozvoj vyučovacej hodiny

matematikov
predmet:

"Priame čiary a roviny vo vesmíre"

Vypracovala: učiteľka matematiky Atutova A.B.

Metodista: _______________ Shataeva S.S.

anotácia

Metodický vývoj bol napísaný pre učiteľov, aby sa formou hry oboznámili s metódami zovšeobecňovania a systematizácie vedomostí. Metodické vývojové materiály môžu využiť učitelia matematiky pri štúdiu témy „Priamky a roviny v priestore“.

Mapa technologickej lekcie

Téma sekcie: Priame čiary a roviny v priestore

Typ lekcie: Lekcia zovšeobecňovania a systematizácie vedomostí

Typ lekcie: Hra na lekciu

Ciele lekcie:

Vzdelávacie: upevnenie vedomostí a zručností o vzájomnej polohe čiar a rovín v priestore; vytváranie podmienok pre kontrolu a vzájomnú kontrolu

vývojové: rozvíjať schopnosť preniesť vedomosti do novej situácie, rozvíjať schopnosť objektívne posúdiť svoje silné stránky a schopnosti; rozvoj matematických obzorov; myslenie a reč; pozornosť a pamäť.

Vzdelávacie: podporovať vytrvalosť a vytrvalosť pri dosahovaní cieľov; schopnosť pracovať v tíme; podporovať záujem o matematiku a jej aplikácie.

Valeologické: vytvorenie priaznivej atmosféry, ktorá znižuje prvky psychického napätia.

Metódy výučby lekcie:Čiastočne vyhľadávacie, verbálne, vizuálne.

Forma organizácie lekcií: tím, dvojica, jednotlivec.

Interdisciplinárne prepojenia: dejepis, ruský jazyk, fyzika, literatúra.

Prostriedky vzdelávania: Kartičky s úlohami, testy, krížovka, portréty matematikov, žetóny.

Literatúra:

1. Dadayan A.A. Matematika, M., Fórum: INFRA-M, 2003, 2006, 2007.

2. Apanasov P.T. Zbierka úloh z matematiky. M., Vyššia škola, 1987

Plán lekcie

1.Organizačná časť. Správa k téme a cieľu hodiny.

2.Aktualizácia vedomostí a zručností žiakov.

3. Riešenie praktických úloh

4. Testovacia úloha. Odpovede na otázky.

5. Správa o matematikoch

6. Riešenie krížovky

7. Skladanie matematických slov.

Počas vyučovania

Podľa Platóna je Boh vždy vedcom tejto konkrétnej špecializácie. Cicero o tejto vede povedal: „Gréci ju študovali, aby pochopili svet, a Rimania, aby zmerali zem. O akej vede sa teda bavíme?

Geometria je jednou z najstarších vied. Jeho vznik zapríčinili mnohé praktické potreby ľudí: meranie vzdialeností, výpočet plôch pôdy, kapacity nádob, výroba nástrojov a pod. najjednoduchšie geometrické fakty boli inštalované v staroveku.

Dnes urobíme mimoriadny výstup na vrchol „Peak of Knowledge“ - „Priamky a roviny vo vesmíre“. O prvenstvo budú bojovať tri tímy. Tím, ktorý ako prvý dosiahne vrchol „Peak of Knowledge“, sa stane víťazom. Ak chcete začať stúpať na vrchol, tím si musí zvoliť meno, ktoré by malo byť krátke, originálne a súvisiace s matematikou.

Na spustenie hry navrhujem rozcvičku.

ja etapa.

Zadanie pre každý tím:

Budete požiadaní, aby ste vyriešili hádanky súvisiace s matematickými výrazmi.

Hádanky

Som neviditeľný! Toto je moja pointa.

Aj keď sa nemôžem zmerať

Som taký bezvýznamný a malý.

Som tu! Teraz som vertikálne!

Ale môžem prijať akýkoľvek sklon,

Viem ležať aj vodorovne.

Sledujte ma pozorne:

Keď z bodu mimo čiary

Položia ma rovno

A vykonajú akýkoľvek sklon

Vždy som nižší ako ona.

Vrch mi slúži ako hlava.

A to, čo považuješ za nohy,

Všetky sa nazývajú strany.

Teraz skúste odpovedať na nasledujúce otázky:

Uveďte známe axiómy stereometrie;

Relatívna poloha čiar v priestore;

Relatívna poloha priamky a roviny;

Relatívna poloha dvoch rovín.

Určenie rovnobežiek, krížení, kolmých čiar.

Teraz poďme! Výstup na „Peak of Knowledge“ nebude jednoduchý; na ceste môžu byť sutiny, zosuvy pôdy a záveje. Ale sú tu aj odpočívadlá, kde si oddýchnete, naberiete sily a dozviete sa niečo nové a zaujímavé. Aby ste sa posunuli vpred, musíte ukázať svoje znalosti. Každý tím zostúpi po „svojom vlastnom rebríčku“ a ak sa riešenie vyberie správne, výsledkom bude slovo. Toto slovo sa stane mottom vášho tímu.

Kapitáni tímov si vyberú jednu z troch obálok s úlohami pre celý tím. Úloha je dokončená spoločne. Pri každej odpovedi je uvedené konkrétne písmeno, ak sa tím rozhodne správne, potom písmená vytvoria slovo.

II etapa.

Úlohy pre prvý tím:

Odpovede: a) ( H); b) ( Z); V) ( E).

Odpovede: a) CB = 9 cm ( H); b) CB = 8 cm ( A); c) CB = 7 cm ( TO).

Aký je minimálny počet bodov, ktoré definujú čiaru?

Odpovede: a) jedna ( TO); b) dva ( A); o tretej ( Z).

Nájdite dĺžku vektora.

Odpovede: a) ( TO); b) ( A); V) ( Z).

Odpovede: a) AS = 12,5(Z); b) AC = 24 (N); vy = 28 (YU).
Úlohy pre druhý tím:

Odpovede: a) ( P); b) ( L); V) ( U).

Odpovede: a) CB = 5 cm ( M); b) CB = 6 cm ( R); c) CB = 4 cm ( TO).

Aký minimálny počet bodov definuje rovinu?

Odpovede: a) jedna ( O); b) dva ( P); o tretej ( E).

Odpovede: a) AS = 30(YU); b) AC = 28 (L); vy = 32 (S).
Úlohy pre tretí tím:

Odpovede: a) ( T); b) ( R); V) ( A).

Odpovede: a) CB = 12 cm ( E); b) CB = 9 cm ( R); c) CB = 14 cm ( U).

Koľko rovín možno nakresliť cez dva body?

Odpovede: a) jedna ( E); b) dva ( P); c) nastaviť ( Sh).

Odpovede: a) AS = 20(T); b) AC = 18 (G); vy = 24 (U).

III etapa.

Budete musieť prekonať ďalší náročný úsek cesty.

spievam chválu dôverčivosti,

No, kontrola tiež nie je záťaž...

Na určitom mieste, na rohu

Bola tam noha a prepona.

Bola sama na boku.

Miloval preponu, neveril klebetám,

Ale zároveň na ďalšom rohu

Bok po boku chodila s niekým iným.

A všetko skončilo hanbou -

Potom dôverujte preponám.

Otázky pre členov tímu(za správnu odpoveď - token)

Ako sa nazýva pomer opačnej strany k prepone?

Ako sa nazýva pomer priľahlej nohy k prepone?

Aký pomer nôh sa nazýva dotyčnica?

Aký pomer nôh sa nazýva kotangens?

Vyslovte Pytagorovu vetu. Pre ktoré trojuholníky to platí?

Aká je vzdialenosť od bodu k rovine?

čo je uhol? Aké uhly poznáte?

Aký obrazec sa nazýva dihedrálny uhol? Príklady.

Formulujte znak rovnobežnosti medzi priamkou a rovinou.

Formulujte znamenie pretínajúcich sa čiar.

Formulujte znak rovnobežnosti dvoch rovín.

Formulujte znak rovnobežnosti medzi priamkou a rovinou.
IV etapa.

Prešli sme časť našej cesty a boli sme trochu unavení. Teraz sa zastavme na odpočinok. A vypočujte si zaujímavé príbehy zo života veľkých matematikov. Príspevky o veľkých matematikoch – domáca úloha. (Euklides, Archimedes, Pytagoras, Lobačevskij Nikolaj Ivanovič, Sofya Vasilievna Kovalevskaja.)

V legendách, ktoré sa tradujú z generácie na generáciu, všetko vyzerá jednoducho. Vedecké objavy sú však výsledkom mnohých rokov trpezlivého výskumu a premýšľania. Aby sa vám stala šťastná nehoda, musíte byť na ňu pripravení.

V etapa.

Predstavte si, že vás zastihne zosuv pôdy. Našou úlohou je v tejto situácii prežiť. A aby ste prežili, musíte vyplniť test a vybrať správnu odpoveď. Od kapitánov tímov sa požaduje, aby vybrali balíček s testami pre každého účastníka hry. Testy: „Relatívna poloha čiar v priestore. Rovnobežnosť línií, priamych línií a rovín, „Paralelnosť rovín“, „Kolmé čiary v priestore. Kolmosť priamky a roviny.“

Účastník napíše na papier svoje priezvisko a meno, oproti nemu číslo úlohy a možnosť odpovede. Opravy a škvrny nie sú povolené. Po splnení úlohy si tímy vymenia papieriky a vykonajú vzájomnú kontrolu (správnosť odpovedí skontrolujú odpoveďami na tabuli), oproti správnej odpovedi sa pripíše jeden bod. Ďalej sa spočítajú body jedného tímu a spočítajú sa výsledky.

VI etapa.

Takže ste mohli prejsť týmto testom. Teraz, po náročnom výstupe, sa poďme dokopy. Všetci sú veľmi unavení, no čím viac sa blížime k cieľu, tým sú úlohy jednoduchšie. Teraz pokračujme v našej ceste na vrchol. Každá skupina má krížovku. Vašou úlohou je vyriešiť to. Úloha v krížovke je pre všetkých rovnaká, preto odpovede na ňu treba utajiť. Napíšte výsledné kľúčové slovo na papier a odovzdajte ho porote.

Krížovka

1. Ako sa volá jedna z osí pravouhlého súradnicového systému.

2. Návrh vyžadujúci dôkazy.

4. Meranie uhla.

5. Je nielen v zemi, ale aj v matematike.

6. Vyhlásenie prijaté bez dôkazov.

7. Koľko rovín možno nakresliť cez tri body ležiace na tej istej priamke?

8. Časť geometrie, v ktorej sa študujú rovinné útvary.

9. Veda o číslach

10. Ako sa nazývajú priame čiary, ktoré neležia v rovnakej rovine?

11. Písmeno najčastejšie používané na označenie neznámeho.

12. Cez dva body prechádza jeden a len jeden...

Komu

sch

Komu

VII etapa.

a) Z uvedených písmen poskladajte slová, ktoré predstavujú matematické pojmy (výška, kruh, bod, uhol, ovál, lúč).

VIII etapa .

Matematika začína údivom, poznamenal Aristoteles pred 2500 rokmi. Pocit prekvapenia je silným zdrojom túžby vedieť: od prekvapenia k poznaniu je jeden krok. A matematika je úžasný predmet na prekvapenie!

Výsledky sú zhrnuté. Gratulujeme dobyvateľom „Peak of Knowledge“.

Všetkým veľmi pekne ďakujeme, tímy spolupracovali a spájali sa. Len spolu, spolu môžeme dosiahnuť akékoľvek výšky!

Aplikácia

Sofya Vasilievna Kovalevskaja
Nebolo dostatok tapiet na zakrytie okien izieb a steny izby malého dievčaťa boli pokryté listami litografovaných prednášok M. V. Ostrogradského o matematickej analýze.

Už od detstva človeka zaráža neomylnosť jej výberu cieľov a vernosť. Toto meno obsahuje obdiv, toto meno obsahuje symbol! Po prvé, symbol veľkorysého talentu a jasného, originálneho charakteru. Býval v ňom matematik a básnik zároveň. Keď bola v prvej triede, riešila pohybové úlohy ústne, ľahko si poradila s geometrickými úlohami, ľahko extrahovala odmocniny z čísel, operovala so zápornými veličinami atď. "Čo myslíš?" spýtali sa dievčaťa. „Nemyslím, myslím,“ znela jej odpoveď. Následne sa stala prvou matematičkou a Ph.D. Vlastní román Nihilista

Aby získala vysokoškolské vzdelanie, musela uzavrieť fiktívne manželstvo a odísť do zahraničia. Neskôr ju ako profesorku uznali viaceré európske univerzity. Jej zásluhy ocenila aj petrohradská akadémia. Ale v cárskom Rusku jej zamietli učiteľskú prácu len preto, že bola žena. Toto odmietnutie je neprirodzené, absurdné a urážlivé a v žiadnom prípade nie je negatívom Kovalevskej prestíže, dokonca ani dnes by bola ozdobou akejkoľvek univerzity. V dôsledku toho bola nútená opustiť Rusko a dlhodobo pracovať na univerzite v Štokholme.

Euklides
V Grécku sa geometria stala matematickou vedou asi pred 2500 rokmi, ale geometria vznikla v Egypte, na úrodných územiach Nílu. Na výber daní potrebovali králi merať oblasti. Aj stavba si vyžadovala veľa vedomostí. O vážnosti vedomostí Egypťanov svedčí fakt, že egyptské pyramídy stoja už 5 tisíc rokov.

Geometria sa vyvinula v Grécku ako žiadna iná veda. V období od 7. do 3. storočia grécki geometri nielen obohatili geometriu o početné nové teorémy, ale podnikli aj vážne kroky k jej prísnemu zdôvodneniu. Stáročia trvajúcu prácu gréckych geometrov v tomto období zhrnul Euklides, starogrécky matematik. Pôsobil v Alexandrii. Hlavné diela „Principia“ (15 kníh) obsahujú základy starovekej hmoty, elementárnu geometriu, teóriu čísel, všeobecnú teóriu vzťahov a miesto určenia oblastí a objemov. Mal obrovský vplyv na rozvoj matematiky.

(Dodatok).

Keď sa egyptský vládca opýtal starovekého gréckeho vedca, či by sa geometria nedala zjednodušiť, odpovedal, že „vo vede neexistuje kráľovská cesta“.

(Dodatok).

Práve týmito slovami ukončil grécky matematik „otec geometrie“ Euclid každý matematický záver (čo bolo potrebné dokázať)

Lobačevskij Nikolaj Ivanovič
Ruský matematik Nikolaj Ivanovič Lobačevskij sa narodil v roku 1792. Je tvorcom neeuklidovskej geometrie. Rektor Kazanskej univerzity (1827-1846). Lobačevského objav, ktorý nezískal uznanie od jeho súčasníkov, spôsobil revolúciu v myšlienke o povahe vesmíru, ktorá bola založená na Euklidovom učení viac ako 2000 rokov, a mala obrovský vplyv na rozvoj matematického myslenia. V blízkosti budovy Kazanskej univerzity sa nachádza pamätník postavený v roku 1896 na počesť veľkého geometra.
Vysoké čelo, zvraštené obočie,

V studenom bronze je odrazený lúč...

Ale aj nehybne a prísne

Je akoby živý – pokojný a silný.

Kedysi tu, na šírom námestí,

Na tomto kazanskom chodníku,

Premyslený, pohodový, prísny

Chodil na prednášky – skvelé a živé.

Nedovoľte, aby sa ručne nakreslili nové čiary.

Stojí tu, zdvihnutý vysoko,

Ako vyhlásenie o svojej nesmrteľnosti,

Ako večný symbol triumfu vedy.

Archimedes

Archimedes, starogrécky vedec pôvodom zo Syrakúz (Sicília), je jedným z mála géniov, ktorých práca na stáročia určovala osud vedy a tým aj ľudstva. V tomto je podobný Newtonovi. Medzi tvorbou oboch veľkých géniov možno nájsť ďalekosiahle paralely. Rovnaké oblasti záujmu: matematika, fyzika, astronómia, rovnaká neuveriteľná sila mysle, schopná preniknúť do hlbín javov.

Archimedes bol posadnutý matematikou, občas zabudol na jedlo a vôbec sa o seba nestaral. Archimedov výskum sa zaoberal takými základnými problémami, ako je určovanie plôch, objemov a povrchov rôznych postáv a tiel. Vo svojich zásadných prácach zo štatistiky a hydrostatiky uviedol príklady využitia matematiky v prírodných vedách a technike. Autor mnohých vynálezov: Archimedova skrutka, určovanie zliatin vážením vo vode, systémy na zdvíhanie veľkých bremien, vojenská vrhacia technika, organizátor ženijnej obrany Syrakúz proti Rimanom. Archimedes povedal: "Dajte mi oporu a ja pohnem Zemou." Význam Archimedových prác pre nový počet dokonale vyjadril Leibniz: „Keď si pozorne prečítate Archimedove diela, prestanete byť prekvapení všetkými najnovšími objavmi geometrov.“
(Dodatok)

Kto z nás by nepoznal Archimedov zákon, že „každé telo ponorené do vody stráca toľko hmotnosti, koľko vody vytlačí“. Archimedes dokázal určiť, či bola kráľovská koruna vyrobená z čistého zlata, alebo do nej klenotník primiešal značné množstvo striebra. Špecifická hmotnosť zlata bola známa, ale problémom bolo presne určiť objem koruny, pretože mala nepravidelný tvar. Jedného dňa sa kúpal a časť vody sa z neho vyliala a potom prišiel s nápadom: ponorením koruny do vody môžete určiť jej objem meraním objemu vody, ktorú vytlačí. Podľa legendy vybehol Archimedes nahý na ulicu a kričal „Eureka“. V tomto momente bol skutočne objavený základný zákon hydrostatiky.

Pytagoras
Pytagoras je starogrécky matematik, mysliteľ, náboženská a politická osobnosť. Každý pozná slávnu vetu o elementárnej geometrii: štvorec postavený na prepone pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov postavených na nohách. Jednoducho, táto veta je formulovaná takto: druhá mocnina prepony sa rovná súčtu štvorcov nôh. Toto je Pytagorova veta. Pre akýkoľvek nepravý trojuholník so stranami A,b, c a rohy α, β, γ – vzorec má tvar: c 2 = a 2 + b 2 -2 ab cos γ. V dejinách matematiky starovekého Grécka má Pytagoras, ktorého meno je dané tejto vete, čestné miesto. Pytagoras významne prispel k rozvoju matematiky a astronómie.

Medzi plody jeho práce patrí vytvorenie základov teórie čísel. Pytagoras založil náboženskú a filozofickú doktrínu založenú na myšlienke čísla ako základu všetkého, čo existuje. Numerické vzťahy sú zdrojom kozmickej harmónie, každá z nebeských sfér sa vyznačuje určitou kombináciou pravidelných geometrických telies a zvuku určitých hudobných intervalov (harmónia sfér). Hudba, harmónia a čísla boli v učení Pytagorejcov neoddeliteľne spojené. Fantasticky sa v ňom miešala matematika a numerická mystika. Z tohto mystického učenia však vyrástla exaktná veda neskorších pytagorejcov.

Odpovede:

Slovo pre prvý tím: "VIEM"

Slovo pre druhý príkaz: "MÔŽEM"

Slovo pre tretí tím: "rozhodnem sa"

Hádanky: Bod, priamka, kolmica, uhol.
Krížovka: kľúčové slovo " Stereometria"
TEST č. 2 Relatívna poloha čiar v priestore.

Rovnobežnosť priamok, priamky a roviny

Úloha č.	1	2	3	4	5	6	7	8	9
odpoveď	3	2	3	1	1	1	3	3	1

TEST č. 3 Paralelnosť rovín

Úloha č.	1	2	3	4	5	6	7	8	9
odpoveď	3	2	1	3	2	3	2	3	3

TEST č. 5 Kolmé čiary v priestore. Kolmosť priamky a roviny

Úloha č.	1	2	3	4	5	6	7	8	9
odpoveď	3	3	1	2	3	1	2	2	2

Bibliografia
1. Dadayan, A.A Matematika: Učebnica - M.: FÓRUM: INFRA-M., 2007. - 544 s.

2. Dadayan, A.A Matematika: Problémová kniha 2. vyd. - M.:FORUM: INFRA - M., 2007. - 400 s.

3. Lisichkin, V.T., Soloveichik I.L. Matematika v úlohách s riešeniami: Učebnica 3. vyd. - Petrohrad: Vydavateľstvo Lan, 2011. - 464 s.

Prezentácia na lekciu

Prečítajte si tiež