§1. C centrul de greutate al unui corp omogen.
Luați în considerare cântărirea unui corp rigid Pși volum Vîn sistemul de coordonate Oxyz, unde sunt axele XȘi y conectat la suprafața pământului și la axa zîndreptată spre zenit.
Dacă spargem corpul în părți elementare cu un volum∆ V i , atunci forța de atracție va acționa asupra fiecărei părți a acesteia∆ P i, îndreptată spre centrul Pământului. Să presupunem că dimensiunile corpului sunt semnificativ mai mici decât dimensiunile Pământului, atunci sistemul de forțe aplicat părților elementare ale corpului poate fi considerat nu convergent, ci paralel (Fig. 1) și toate concluziile din capitolul precedent îi sunt aplicabile.
Fig.1. Sistem de forțe paralele
Centrul de greutate al unui corp solid se numește centrul forțelor paralele de greutate al părților elementare ale acestui corp.
Mai multe teoreme sunt utile în determinarea centrului de greutate.
1) Dacă un corp omogen are un plan de simetrie, atunci centrul său de greutate este în acest
avion.
2) Dacă un corp omogen are o axă de simetrie, atunci centrul de greutate al corpului se află pe această axă.
3) Dacă un corp omogen are un centru de simetrie, atunci centrul de greutate al corpului se află în acest punct.
§2. Metode de determinare a coordonatelor centrului de greutate.
1. Simetrie. Dacă un corp omogen are un plan, axă sau centru de simetrie (Fig. 2), atunci centrul său de greutate se află, respectiv, în planul de simetrie, axa de simetrie sau în centrul de simetrie.
Fig.2. Centrul de greutate al corpurilor având o axă de simetrie
2. Compartimentare. Corpul este împărțit într-un număr finit de părți (Fig. 3), pentru fiecare dintre acestea fiind cunoscută poziția centrului de greutate și aria.
Fig.3. Centrul de greutate solid
figură geometrică complexă
Centrul de greutate și aria primei figuri;
Coordonata centrului de greutate a unei figuri geometrice complexe solide de-a lungul axei X;
Coordonata centrului de greutate a unei figuri geometrice complexe solide de-a lungul axeiy;
3. Metoda zonei negative. Un caz special al metodei de partiționare (Fig. 4). Se aplică corpurilor care au decupaje dacă sunt cunoscute centrele de greutate ale corpului fără decupaj și partea decupată. Un corp sub forma unei plăci cu decupaj este reprezentat de o combinație a unei plăci solide (fără decupaje) cu o zonă S 1 și zona piesei tăiate S2.
Fig.4. Centrul de greutate figură geometrică complexă,
Având o gaură
- centrul de greutate și aria primei figuri;
- centrul de greutate și aria celei de-a doua figuri;
X;
Coordonata centrului de greutate al unei figuri geometrice complexe de-a lungul axeiy;
§3.Coordonatele centrului de greutate al unor figuri simple.
1. Centrul de greutate al triunghiului. Ccentrul de greutate al unui triunghi se află în punctul de intersecție al medianelor sale(Fig.5). LA coordonatele centrului de greutate al triunghiului sunt media aritmetică a coordonatelor vârfurilor sale:X c =1/3 (x 1 +x 2 +x 3) ; y c =1/3 (y 1 +y 2 +y 3).
Fig.5. Centrul de greutate triunghi
2. Centrul de greutate al dreptunghiului. CCentrul de greutate al unui dreptunghi se află în punctul de intersecție al diagonalelor sale(Fig.6). LA Coordonatele centrului de greutate al dreptunghiului sunt calculate folosind formulele:X c =b/2 ; y c =h/2.
Orez. 6. Centrul de greutate triunghi
3. Centrul de greutate al semicercului. Ccentrul de greutate al unui semicerc se află pe axa de simetrie(Fig. 7). LA Coordonatele centrului de greutate al semicercului sunt calculate folosind formulele:X c =D/2 ; y c =4R/3π.
Orez. 7.Centrul de greutate al unui semicerc
4. Centrul de greutate al cercului. Ccentrul de greutate al unui cerc se află în centru(Fig. 8). LA Coordonatele centrului de greutate al cercului sunt calculate folosind formulele:X c =R ; y c =R.
Orez. 8.Cercul centru de greutate
Întrebări de autotest:
Cum se numeste centrul fortelor paralele?
Care este centrul de greutate al unui corp?
De ce forțele gravitaționale ale Pământului care acționează asupra unui punct al unui corp pot fi luate ca un sistem de forțe paralele?
Scrieți formula pentru determinarea poziției centrului de greutate al corpurilor neomogene și omogene, formula pentru determinarea poziției centrului de greutate al secțiunilor plate?
Scrieți formula pentru determinarea poziției centrului de greutate al formelor geometrice simple: dreptunghi, pătrat, trapez și jumătate de cerc?
Cum sunt utilizate proprietățile simetriei în determinarea centrelor de greutate a corpurilor?
Care este esența metodei zonei negative?
Ce construcție grafică poate fi folosită pentru a găsi centrul de greutate al unui triunghi?
Scrieți formula care determină centrul de greutate al unui triunghi.
Desenați o diagramă a sistemului și marcați centrul de greutate pe acesta. Dacă centrul de greutate găsit este în afara sistemului obiect, ați primit un răspuns incorect. Este posibil să fi măsurat distanțe de la diferite puncte de referință. Repetați măsurătorile.
- De exemplu, dacă copiii stau pe un leagăn, centrul de greutate va fi undeva între copii și nu la dreapta sau la stânga leagănului. De asemenea, centrul de greutate nu va coincide niciodată cu punctul în care stă copilul.
- Aceste argumente sunt valabile în spațiul bidimensional. Desenați un pătrat care va conține toate obiectele sistemului. Centrul de greutate ar trebui să fie în interiorul acestui pătrat.
Verificați-vă matematica dacă obțineți un rezultat mic. Dacă punctul de referință se află la un capăt al sistemului, un rezultat mic plasează centrul de greutate aproape de capătul sistemului. Acesta poate fi răspunsul corect, dar în marea majoritate a cazurilor acest rezultat indică o eroare. Când ați calculat momentele, ați înmulțit greutățile și distanțele corespunzătoare? Dacă în loc să înmulți ai adăuga greutățile și distanțele, ai obține un rezultat mult mai mic.
Corectați eroarea dacă ați găsit mai multe centre de greutate. Fiecare sistem are un singur centru de greutate. Dacă ați găsit mai multe centre de greutate, cel mai probabil nu ați adunat toate momentele. Centrul de greutate este egal cu raportul dintre momentul „total” și greutatea „totală”. Nu este nevoie să împărțiți „fiecare” moment la „fiecare” greutate: astfel veți găsi poziția fiecărui obiect.
Verificați punctul de referință dacă răspunsul diferă cu o valoare întreagă.În exemplul nostru, răspunsul este 3,4 m Să presupunem că ai răspunsul 0,4 m sau 1,4 m sau un alt număr care se termină cu „.4”. Acest lucru se datorează faptului că nu ați ales capătul din stânga al tablei ca punct de plecare, ci un punct care se află o sumă întreagă în dreapta. De fapt, răspunsul tău este corect indiferent de punctul de referință pe care îl alegi! Nu uitați: punctul de referință este întotdeauna în poziția x = 0. Iată un exemplu:
- În exemplul nostru, punctul de referință era la capătul din stânga plăcii și am constatat că centrul de greutate era la 3,4 m de acest punct de referință.
- Dacă alegeți ca punct de referință un punct care se află la 1 m la dreapta de capătul din stânga tablei, veți obține răspunsul la 2,4 m Adică, centrul de greutate este la 2,4 m de noul punct de referință , la rândul său, este situat la 1 m de capătul din stânga plăcii. Astfel, centrul de greutate se află la o distanță de 2,4 + 1 = 3,4 m de capătul din stânga plăcii. S-a dovedit a fi un răspuns vechi!
- Notă: atunci când măsurați distanțe, rețineți că distanțele până la punctul de referință „stânga” sunt negative, iar la punctul de referință „dreapta” sunt pozitive.
Măsurați distanțe în linii drepte. Să presupunem că sunt doi copii pe un leagăn, dar unul este mult mai înalt decât celălalt, sau un copil este atârnat sub scândură în loc să stea pe ea. Ignorați această diferență și măsurați distanțele de-a lungul liniei drepte a tablei. Măsurarea distanțelor la unghiuri va da rezultate apropiate, dar nu complet precise.
- Pentru problema plăcii balansoarului, amintiți-vă că centrul de greutate se află între capetele drept și stânga ale plăcii. Mai târziu, vei învăța să calculezi centrul de greutate al unor sisteme bidimensionale mai complexe.
Notă. Centrul de greutate al unei figuri simetrice se află pe axa de simetrie.
Centrul de greutate al tijei este la mijlocul înălțimii. Pentru rezolvarea problemelor se folosesc următoarele metode:
1. metoda simetriei: centrul de greutate al figurilor simetrice este pe axa de simetrie;
2. metoda de separare: secțiunile complexe sunt împărțite în mai multe părți simple, a căror poziție a centrelor de greutate este ușor de determinat;
3. metoda zonei negative: cavitățile (găurile) sunt considerate ca parte a unei secțiuni cu zonă negativă.
Exemple de rezolvare a problemelor
Exemplul 1. Determinați poziția centrului de greutate al figurii prezentate în fig. 8.4.
Soluţie
Împărțim figura în trei părți:
Definit în mod similar la C = 4,5 cm.
Exemplul 2. Găsiți poziția centrului de greutate al unei ferme de bare simetrice ADBE(Fig. 116), ale căror dimensiuni sunt următoarele: AB = 6m, DE = 3 m și EF = 1m.
Soluţie
Întrucât împrejmuirea este simetrică, centrul său de greutate se află pe axa de simetrie D.F. Cu sistemul de axe de coordonate selectat (Fig. 116), abscisa centrului de greutate al fermei
În consecință, doar ordonata este necunoscută la C centrul de greutate al fermei. Pentru a o determina, împărțim ferme în părți separate (tije). Lungimile lor sunt determinate din triunghiurile corespunzătoare.
Din ΔAEF avem
Din ΔADF avem
Centrul de greutate al fiecărei tije se află în mijlocul ei coordonatele acestor centre sunt ușor de determinat din desen (Fig. 116).
Lungimile și ordonatele găsite ale centrelor de greutate ale părților individuale ale fermei sunt introduse în tabel și conform formulei
determina ordonata y s centrul de greutate al unei ferme plane date.
Prin urmare, centrul de greutate CUîntreaga ferme se află pe axă DF simetria fermei la o distanţă de 1,59 m de punct F.
Exemplul 3. Determinați coordonatele centrului de greutate al secțiunii compozite. Secțiunea este formată dintr-o foaie și profile laminate (Fig. 8.5).
Notă. Adesea, cadrele sunt sudate din diferite profile pentru a crea structura necesară. Astfel, se reduce consumul de metal și se formează o structură de înaltă rezistență.
Pentru profilele laminate standard, se cunosc propriile caracteristici geometrice. Ele sunt date în standardele relevante.
Soluţie
1. Să desemnăm cifrele prin numere și să scriem datele necesare din tabele:
1 - canalul nr. 10 (GOST 8240-89); înălţime h = 100 mm; lățimea raftului b= 46 mm; arie a secțiunii transversale A 1= 10,9 cm2;
2 - grindă în I nr. 16 (GOST 8239-89); inaltime 160 mm; latime raft 81 mm; aria secțiunii transversale A 2 - 20,2 cm 2;
3 - foaie 5x100; grosime 5 mm; latime 100 mm; aria secțiunii transversale A 3 = 0,5 10 = 5 cm 2.
2. Coordonatele centrelor de greutate ale fiecărei figuri pot fi determinate din desen.
Secțiunea compozită este simetrică, deci centrul de greutate este pe axa de simetrie și coordonatele X C = 0.
3. Determinarea centrului de greutate al unei secțiuni compozite:
Exemplul 4. Determinați coordonatele centrului de greutate al secțiunii prezentate în fig. 8, A. Secțiunea este formată din două unghiuri 56x4 și canalul nr. 18. Verificați determinarea corectă a poziției centrului de greutate. Indicați poziția sa pe secțiune.
Soluţie
1. : două colțuri 56 x 4 și canalul nr. 18. Să le notăm 1, 2, 3 (vezi Fig. 8, A).
2. Indicăm centrele de greutate fiecare profil, folosind tabelul 1 și 4 adj. I, și le denotă C 1, C 2, C 3.
3. Selectați un sistem de axe de coordonate. Axă la compatibil cu axa de simetrie și cu axa X trageți prin centrele de greutate ale colțurilor.
4. Determinați coordonatele centrului de greutate al întregii secțiuni. Din moment ce axa la coincide cu axa de simetrie, apoi trece prin centrul de greutate al secțiunii, prin urmare x s= 0. Coordonată y s vom determina prin formula
Folosind tabelele din anexă, determinăm ariile fiecărui profil și coordonatele centrelor de greutate:
Coordonatele la 1Și la 2 sunt egale cu zero, deoarece axa X trece prin centrele de greutate ale colțurilor. Să înlocuim valorile obținute în formula pentru a determina y s:
5. Să indicăm centrul de greutate al secțiunii din fig. 8, a și notați-l cu litera C. Să arătăm distanța y C = 2,43 cm de la axă X la punctul C.
Deoarece colțurile sunt situate simetric și au aceeași zonă și coordonate, atunci A 1 = A 2, y 1 = y 2. Prin urmare, formula de determinare la C poate fi simplificat:
6. Sa verificam.În acest scop axa X Să desenăm de-a lungul marginii inferioare a raftului de colț (Fig. 8, b). Axă la Să lăsăm ca în prima soluție. Formule de determinare x CȘi la C nu schimba:
Zonele profilelor vor rămâne aceleași, dar coordonatele centrelor de greutate ale unghiurilor și canalelor se vor schimba. Să le scriem:
Aflați coordonatele centrului de greutate:
După coordonatele găsite x sȘi y s desenați punctul C pe desen Poziția centrului de greutate găsită în două moduri este în același punct. Hai să verificăm. Diferența între coordonate da s, găsită în prima și a doua soluție este: 6,51 - 2,43 = 4,08 cm.
Aceasta este egală cu distanța dintre axa x în prima și a doua soluție: 5,6 - 1,52 = 4,08 cm.
Răspuns: s= 2,43 cm dacă axa x trece prin centrele de greutate ale colțurilor sau y c = 6,51 cm dacă axa x trece de-a lungul marginii inferioare a flanșei de colț.
Exemplul 5. Determinați coordonatele centrului de greutate al secțiunii prezentate în fig. 9, A. Secțiunea constă din grinda I nr. 24 și canalul nr. 24a. Arată poziția centrului de greutate pe secțiune.
Soluţie
1.Să împărțim secțiunea în profile laminate: I-beam și canal. Să le notăm cu numerele 1 și 2.
3. Indicăm centrele de greutate ale fiecărui profil C 1 și C 2 folosind tabele de aplicare.
4. Selectați un sistem de axe de coordonate. Axa x este compatibilă cu axa de simetrie, iar axa y este trasă prin centrul de greutate al fasciculului I.
5. Determinați coordonatele centrului de greutate al secțiunii. Coordonata y c = 0, deoarece axa X coincide cu axa de simetrie. Determinăm coordonata x cu formula
Conform tabelului 3 și 4 adj. I și diagrama în secțiune transversală pe care o determinăm
Să înlocuim valorile numerice în formulă și să obținem
5. Să trasăm punctul C (centrul de greutate al secțiunii) folosind valorile găsite ale lui x c și y c (vezi Fig. 9, a).
Soluția trebuie verificată independent cu axele poziționate așa cum se arată în Fig. 9, b. Ca rezultat al soluției, obținem x c = 11,86 cm Diferența dintre valorile lui x c pentru prima și a doua soluție este de 11,86 - 6,11 = 5,75 cm, care este egală cu distanța dintre axele y pentru aceeași. solutii b dv /2 = 5,75 cm.
Răspuns: x c = 6,11 cm, dacă axa y trece prin centrul de greutate al fasciculului I; x c = 11,86 cm dacă axa y trece prin punctele extreme din stânga ale fasciculului I.
Exemplul 6. Macaraua feroviară se sprijină pe șine, distanța dintre care este AB = 1,5 m (Fig. 1.102). Forța gravitațională a căruciorului cu macara este G r = 30 kN, centrul de greutate al căruciorului este în punctul C, situat pe dreapta KL de intersecție a planului de simetrie al căruciorului cu planul desenului. Forța gravitațională a troliului macaralei Q l = 10 kN se aplică în punct D. Forța gravitațională a contragreutății G„=20 kN se aplică în punctul E. Forța gravitațională a brațului G c = 5 kN se aplică în punctul H. Extinderea macaralei față de linia KL este de 2 m coeficientul de stabilitate al macaralei în stare fără sarcină și ce sarcină F poate fi ridicat cu aceasta macara, cu conditia ca coeficientul de stabilitate sa fie de cel putin doi.
Soluţie
1. Când este descărcată, macaraua riscă să se răstoarne când se întoarce în jurul șinei A. Prin urmare, relativ la punct A moment de stabilitate
2. Moment de răsturnare relativ la un punct A este creat de forța gravitațională a contragreutății, adică
3. De aici coeficientul de stabilitate al macaralei in stare neincarcata
4. La încărcarea brațului macaralei cu încărcătură F există pericolul de răsturnare a macaralei la întoarcerea lângă șina B. Prin urmare, raportat la punct ÎN moment de stabilitate
5. Moment de răsturnare față de șină ÎN
6. În funcție de condițiile problemei, este permisă funcționarea macaralei cu un coeficient de stabilitate k B ≥ 2, adică.
Testați întrebări și sarcini
1. De ce forțele de atracție către Pământ care acționează asupra punctelor corpului pot fi luate ca un sistem de forțe paralele?
2. Notează formule pentru determinarea poziţiei centrului de greutate al corpurilor neomogene şi omogene, formule pentru determinarea poziţiei centrului de greutate al secţiunilor plane.
3. Repetați formulele pentru determinarea poziției centrului de greutate al formelor geometrice simple: dreptunghi, triunghi, trapez și jumătate de cerc.
4. 
Care este momentul static al ariei?
5. Calculați momentul static al acestei figuri în jurul axei Bou. h= 30 cm; b= 120 cm; Cu= 10 cm (Fig. 8.6).
6. Determinați coordonatele centrului de greutate al figurii umbrite (Fig. 8.7). Dimensiunile sunt date in mm.
7. Determinați coordonatele la figura 1 a secțiunii compozite (Fig. 8.8).
Când decideți, utilizați datele de referință din tabelele GOST „Oțel laminat la cald” (vezi Anexa 1).
Dreptunghi.
Deoarece un dreptunghi are două axe de simetrie, centrul său de greutate se află la intersecția axelor de simetrie, adică. în punctul de intersecție a diagonalelor dreptunghiului. 
Triunghi.
Centrul de greutate se află în punctul de intersecție al medianelor sale. Din geometrie se știe că medianele unui triunghi se intersectează într-un punct și sunt împărțite în raport de 1:2 de la bază. 
Cerc. Deoarece un cerc are două axe de simetrie, centrul său de greutate se află la intersecția axelor de simetrie.
Semicerc.
Un semicerc are o axă de simetrie, apoi centrul de greutate se află pe această axă. O altă coordonată a centrului de greutate se calculează prin formula: . 
Multe elemente structurale sunt realizate din produse laminate standard - unghiuri, grinzi în I, canale și altele. Toate dimensiunile, precum și caracteristicile geometrice ale profilelor laminate, sunt date tabelare care pot fi găsite în literatura de referință în tabelele de sortiment normal (GOST 8239-89, GOST 8240-89).
Exemplul 1. Determinați poziția centrului de greutate al figurii prezentate în figură.
Soluţie:
Selectăm axele de coordonate astfel încât axa Ox să treacă de-a lungul dimensiunii totale de jos, iar axa Oy să meargă de-a lungul dimensiunii generale din stânga.
Împărțim o figură complexă într-un număr minim de cifre simple:
dreptunghi 20x10;
triunghi 15x10;
cerc R=3 cm.
Calculăm aria fiecărei figuri simple și coordonatele sale ale centrului de greutate. Rezultatele calculului sunt introduse în tabel
|
Figura nr. |
Zona din figura A, |
Coordonatele centrului de greutate |
|
|
| |||
Răspuns: C(14,5; 4,5)
Exemplul 2
.
Determinați coordonatele centrului de greutate al unei secțiuni compozite formată dintr-o foaie și secțiuni laminate. 
Soluţie.
Selectăm axele de coordonate așa cum se arată în figură.
Să desemnăm cifrele prin numere și să scriem datele necesare din tabel:
|
Figura nr. |
Zona din figura A, |
Coordonatele centrului de greutate |
|
|
|
|||
|
|
|||
Calculăm coordonatele centrului de greutate al figurii folosind formulele:
Răspuns: C(0; 10)
Lucrarea de laborator nr. 1 „Determinarea centrului de greutate al figurilor plate compozite”
Ţintă: Determinați centrul de greutate al unei figuri complexe plate date folosind metode experimentale și analitice și comparați rezultatele acestora.
Comandă de lucru
Împărțiți figura în numărul minim de figuri ale căror centre de greutate știm să le determinăm.
Indicați numerele zonei și coordonatele centrului de greutate al fiecărei figuri.
Calculați coordonatele centrului de greutate al fiecărei figuri.
Calculați aria fiecărei figuri.
Calculați coordonatele centrului de greutate al întregii figuri folosind formulele (poziția centrului de greutate este reprezentată pe desenul figurii):
Desenați figura plată în caiete în mărime, indicând axele de coordonate.
Determinați analitic centrul de greutate.
Instalația pentru determinarea experimentală a coordonatelor centrului de greutate prin metoda suspendării constă într-un suport vertical 1
(vezi figura) de care este atasat acul 2
. Figura plată 3
Fabricat din carton, care este ușor de perforat. Găuri A
Și ÎN
străpuns în puncte situate aleatoriu (de preferință la cea mai îndepărtată distanță unul de celălalt). O figură plată este suspendată pe un ac, mai întâi într-un punct A
, iar apoi la punct ÎN
. Folosind un fir cu plumb 4
, atașat de același ac, trageți o linie verticală pe figură cu un creion corespunzător firului firului de plumb. Centrul de greutate CU
figura va fi situată în punctul de intersecție al liniilor verticale trasate la agățarea figurii în puncte A
Și ÎN
.
În practica ingineriei, se întâmplă că este nevoie să se calculeze coordonatele centrului de greutate al unei figuri plane complexe constând din elemente simple pentru care este cunoscută locația centrului de greutate. Această sarcină face parte din sarcina de a determina...
Caracteristicile geometrice ale secțiunilor transversale compozite ale grinzilor și tijelor. Adesea, inginerii de proiectare a matrițelor de tăiere trebuie să se confrunte cu întrebări similare atunci când determină coordonatele centrului de presiune, dezvoltatorii de scheme de încărcare pentru diferite vehicule atunci când plasează mărfuri, proiectanții de construcție de structuri metalice atunci când selectează secțiuni transversale ale elementelor și, desigur, studenți când studiază disciplinele „Mecanica teoretică” și „Rezistența materialelor”.
Biblioteca figurilor elementare.
Pentru figurile plane simetrice, centrul de greutate coincide cu centrul de simetrie. Grupul simetric de obiecte elementare include: cerc, dreptunghi (inclusiv pătrat), paralelogram (inclusiv romb), poligon regulat.
Din cele zece cifre prezentate în figura de mai sus, doar două sunt de bază. Adică, folosind triunghiuri și sectoare de cercuri, puteți combina aproape orice figură care are interes practic. Orice curbă arbitrară poate fi împărțită în secțiuni și înlocuită cu arce circulare.
Restul de opt figuri sunt cele mai comune, motiv pentru care au fost incluse în această bibliotecă unică. În clasificarea noastră, aceste elemente nu sunt de bază. Din două triunghiuri se pot forma un dreptunghi, un paralelogram și un trapez. Un hexagon este suma a patru triunghiuri. Un segment de cerc este diferența dintre un sector al unui cerc și un triunghi. Sectorul inelar al unui cerc este diferența dintre două sectoare. Un cerc este un sector al unui cerc cu un unghi α=2*π=360˚. Un semicerc este, în consecință, un sector al unui cerc cu un unghi α=π=180˚.
Calculul în Excel al coordonatelor centrului de greutate al unei figuri compozite.
Este întotdeauna mai ușor să transmiteți și să percepeți informații luând în considerare un exemplu decât să studiați problema folosind calcule pur teoretice. Să luăm în considerare soluția la problema „Cum să găsim centrul de greutate?” folosind exemplul figurii compozite prezentate în figura de sub acest text.
Secțiunea compozită este un dreptunghi (cu dimensiuni A1 =80 mm, b1 =40 mm), la care s-a adăugat un triunghi isoscel în stânga sus (cu dimensiunea bazei A2 =24 mm și înălțime h2 =42 mm) și din care a fost decupat un semicerc din dreapta sus (cu centrul în punctul cu coordonatele X03 =50 mm și y03 =40 mm, raza r3 =26 mm).
Vom folosi un program pentru a vă ajuta să efectuați calculele MS Excel sau program OOo Calc . Oricare dintre ei va face față cu ușurință sarcinii noastre!
În celule cu galben o vom umple preliminar auxiliar calculele .
Calculăm rezultatele în celule cu o umplere galben deschis.
Albastru fontul este date inițiale .
Negru fontul este intermediar rezultatele calculelor .
roșu fontul este final rezultatele calculelor .
Începem să rezolvăm problema - începem căutarea coordonatelor centrului de greutate al secțiunii.
Date inițiale:
1. Vom scrie în mod corespunzător numele figurilor elementare formând o secțiune compusă
la celula D3: Dreptunghi
la celula E3: Triunghi
la celula F3: Semicerc
2. Folosind „Biblioteca de figuri elementare” prezentată în acest articol, vom determina coordonatele centrelor de greutate ale elementelor secțiunii compozite. xciȘi yciîn mm în raport cu axele 0x și 0y selectate în mod arbitrar și scrieți
la celula D4: =80/2 = 40,000
xc 1 = A 1 /2
la celula D5: =40/2 =20,000
Y c 1 = b 1 /2
la celula E4: =24/2 =12,000
xc 2 = A 2 /2
la celula E5: =40+42/3 =54,000
Y c 2 = b 1 + h 2 /3
la celula F4: =50 =50,000
xc 3 = X03
la celula F5: =40-4*26/3/PI() =28,965
Y c 3 = y 03 -4* r3 /3/ π
3. Să calculăm ariile elementelor F 1 , F 2 , F3 în mm2, folosind din nou formulele din secțiunea „Biblioteca de figuri elementare”
în celula D6: =40*80 =3200
F1 = A 1 * b1
în celula E6: =24*42/2 =504
F2 = a2 *h2 /2
în celula F6: =-PI()/2*26^2 =-1062
F3 =-π/2*r3 ^2
Zona celui de-al treilea element - semicercul - este negativă, deoarece este o decupare - un spațiu gol!
Calculul coordonatelor centrului de greutate:
4. Determinați aria totală a figurii finale F0 în mm2
în celula îmbinată D8E8F8: =D6+E6+F6 =2642
F0 = F 1 + F 2 + F3
5. Să calculăm momentele statice ale unei figuri compozite S xȘi Syîn mm3 raportat la axele selectate 0x și 0y
în celula îmbinată D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459
S x = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3
în celula îmbinată D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955
Sy = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3
6. Și, în sfârșit, să calculăm coordonatele centrului de greutate al secțiunii compozite XcȘi Y cîn mm în sistemul de coordonate selectat 0x - 0y
în celula îmbinată D11E11F11: =D10/D8 =30,640
Xc = Sy / F0
în celula îmbinată D12E12F12: =D9/D8 =22,883
Yc =Sx /F0
Problema a fost rezolvată, calculul în Excel a fost finalizat - au fost găsite coordonatele centrului de greutate al secțiunii, compilate folosind trei elemente simple!
Concluzie.
Exemplul din articol a fost ales pentru a fi foarte simplu pentru a facilita înțelegerea metodologiei de calcul al centrului de greutate al unei secțiuni complexe. Metoda este ca orice figură complexă să fie împărțită în elemente simple cu locații cunoscute ale centrelor de greutate și calculele finale trebuie făcute pentru întreaga secțiune.
Dacă secțiunea este alcătuită din profile laminate - unghiuri și canale, atunci nu este nevoie să le împărțiți în dreptunghiuri și pătrate cu sectoare circulare „π/2” decupate. Coordonatele centrelor de greutate ale acestor profile sunt date în tabelele GOST, adică atât unghiul, cât și canalul vor fi elementele elementare de bază în calculele tale ale secțiunilor compozite (nu are rost să vorbim despre grinzi I, țevi, tije și hexagoane - acestea sunt secțiuni simetrice central).
Locația axelor de coordonate, desigur, nu afectează poziția centrului de greutate al figurii! Prin urmare, alegeți un sistem de coordonate care vă simplifică calculele. Dacă, de exemplu, aș roti sistemul de coordonate la 45˚ în sensul acelor de ceasornic în exemplul nostru, atunci calcularea coordonatelor centrelor de greutate ale unui dreptunghi, triunghi și semicerc s-ar transforma într-o altă etapă separată și greoaie de calcule care nu poate fi efectuată " in cap".
Fișierul de calcul Excel prezentat mai jos nu este un program în acest caz. Mai degrabă, este o schiță a unui calculator, un algoritm, un șablon care urmează în fiecare caz specific creați-vă propria secvență de formule pentru celule cu umplere galben strălucitor.
Deci, acum știi cum să găsești centrul de greutate al oricărei secțiuni! Calculul complet al tuturor caracteristicilor geometrice ale secțiunilor compozite complexe arbitrare va fi luat în considerare într-unul dintre articolele viitoare din secțiunea „”. Urmărește știrile pe blog.
Pentru primind informații despre lansarea de noi articole si pentru descărcarea fișierelor programului de lucru Vă rog să vă abonați la anunțuri în fereastra situată la sfârșitul articolului sau în fereastra din partea de sus a paginii.
După ce ați introdus adresa dvs. de e-mail și ați dat clic pe butonul „Primește anunțuri despre articole”. NU UITA CONFIRMĂ-ȚI ABONAREA făcând clic pe link într-o scrisoare care vă va veni imediat la adresa de e-mail specificată (uneori în dosar « Spam » )!
Câteva cuvinte despre pahar, monedă și două furculițe, care sunt descrise în „icoana ilustrației” de la începutul articolului. Mulți dintre voi sunteți cu siguranță familiarizați cu acest „truc”, care evocă priviri admirative ale copiilor și adulților neinițiați. Subiectul acestui articol este centrul de greutate. El și punctul de sprijin, jucându-se cu conștiința și experiența noastră, pur și simplu ne păcălesc mințile!
Centrul de greutate al sistemului „furcă+monedă” este întotdeauna situat pe fix distanţă vertical în jos de la marginea monedei, care la rândul ei este punctul de sprijin. Aceasta este o poziție de echilibru stabil! Dacă scuturați furcile, devine imediat evident că sistemul se străduiește să-și ia poziția stabilă anterioară! Imaginați-vă un pendul - un punct de atașare (=punctul de sprijin al unei monede pe marginea unui pahar), o tijă-axă a pendulului (=în cazul nostru, axa este virtuală, deoarece masa celor două furci este răspândit în diferite direcții în spațiu) și o sarcină în partea de jos a axei (=centrul de greutate al întregului sistem „furcă” + monedă”). Dacă începeți să deviați pendulul de pe verticală în orice direcție (înainte, înapoi, stânga, dreapta), atunci acesta va reveni inevitabil la poziția inițială sub influența gravitației. stare de echilibru(același lucru se întâmplă cu furculițele și moneda noastră)!
Dacă nu înțelegi, dar vrei să înțelegi, dă-ți seama singur. Este foarte interesant să „ajungi acolo” singur! Voi adăuga că același principiu de utilizare a echilibrului stabil este implementat și în jucăria Vanka-stand-up. Doar centrul de greutate al acestei jucării este situat deasupra punctului de sprijin, dar sub centrul emisferei suprafeței de sprijin.
Ma bucur mereu sa vad comentariile voastre, dragi cititori!!!
Cere, RESPECTAREA lucrarea autorului, descărcați fișierul DUPĂ ABONAREA pentru anunţuri de articole.
