Instrucțiuni

Cel mai puțin pozitiv perioadă cosinusul este, de asemenea, egal cu 2?. Luați în considerare dovada acestui lucru cu un exemplu funcții y=cos(x). Dacă T este arbitrară perioadă om cosinus, atunci cos(a+T)=cos(a). În cazul în care a=0, cos(T)=cos(0)=1. Având în vedere acest lucru, cea mai mică valoare pozitivă a lui T la care cos(x) = 1 este 2?.

Având în vedere faptul că 2? – perioadă sinus și cosinus, va fi și el perioadă ohm cotangentă, precum și tangentă, dar nu minimă, deoarece, cum ar fi , cel mai mic pozitiv perioadă tangenta si cotangenta sunt egale?. Puteți verifica acest lucru luând în considerare următoarele: punctele corespunzătoare lui (x) și (x+?) de pe cercul trigonometric au locații diametral opuse. Distanța de la punctul (x) la punctul (x+2?) corespunde unei jumătăți de cerc. Prin definiția tangentei și cotangentei tg(x+?)=tgx și ctg(x+?)=ctgx, ceea ce înseamnă cel mai mic pozitiv perioadă cotangentă și ?.

Notă

Nu confundați funcțiile y=cos(x) și y=sin(x) - având aceeași perioadă, aceste funcții sunt reprezentate diferit.

Sfaturi utile

Pentru o mai mare claritate, desenați o funcție trigonometrică pentru care se calculează cea mai mică perioadă pozitivă.

Surse:

• Manual de matematica, matematica scolara, matematica superioara

Trigonometric funcții periodic, adică se repetă după o anumită perioadă. Datorită acestui fapt, este suficient să studiezi funcția pe acest interval și să extinzi proprietățile găsite la toate celelalte perioade.

Instrucțiuni

Pentru a afla perioada unei funcții trigonometrice ridicată la o putere, evaluați paritatea puterii. Pentru a reduce perioada standard la jumătate. De exemplu, dacă vi se oferă funcția y=3 cos^2x, atunci perioada standard 2P va scădea de 2 ori, deci perioada va fi egală cu P. Vă rugăm să rețineți că funcțiile tg, ctg sunt periodice în orice grad P .

De la lecțiile de matematică de la școală, toată lumea își amintește un grafic sinusoidal care se întinde în depărtare în valuri uniforme. Multe alte funcții au o proprietate similară - repetarea după un anumit interval. Se numesc periodice. Periodicitatea este o proprietate foarte importantă a unei funcții, des întâlnită în diverse sarcini. Prin urmare, este util să se poată determina dacă o funcție este periodică.

Instrucțiuni

Dacă F(x) este o funcție a argumentului x, atunci se numește periodic dacă există un număr T astfel încât pentru orice x F(x + T) = F(x). Acest număr T se numește perioada funcției.

Pot exista mai multe perioade. De exemplu, funcția F = const ia aceeași valoare pentru orice valoare a argumentului și, prin urmare, orice număr poate fi considerat perioada sa.

Matematicienii sunt de obicei interesați de cea mai mică perioadă diferită de zero a unei funcții. Pentru concizie, se numește pur și simplu punct.

Un exemplu clasic de funcții periodice este trigonometric: sinus, cosinus și tangentă. Perioada lor este aceeași și egală cu 2?, adică sin(x) = sin(x + 2?) = sin(x + 4?) și așa mai departe. Cu toate acestea, desigur, funcțiile trigonometrice nu sunt singurele periodice.

Pentru funcțiile simple, de bază, singura modalitate de a determina dacă sunt periodice sau neperiodice este prin calcul. Dar pentru funcții complexe există deja câteva reguli simple.

Dacă F(x) este o funcție periodică cu perioada T și o derivată este definită pentru aceasta, atunci această derivată f(x) = F?(x) este și o funcție periodică cu perioada T. La urma urmei, valoarea lui derivata în punctul x este egală cu tangenta unghiului tangentei grafică antiderivată sa în acest punct pe axa x și, deoarece antiderivata se repetă periodic, derivata trebuie de asemenea repetată. De exemplu, derivata funcției sin(x) este egală cu cos(x) și este periodică. Luând derivata lui cos(x) se obține –sin(x). Frecvența rămâne neschimbată.

Cu toate acestea, contrariul nu este întotdeauna adevărat. Astfel, funcția f(x) = const este periodică, dar antiderivata sa F(x) = const*x + C nu este.

Dacă F(x) este o funcție periodică cu perioada T, atunci G(x) = a*F(kx + b), unde a, b și k sunt constante și k nu este egal cu zero - este și o funcție periodică , iar perioada sa este T/k. De exemplu, sin(2x) este o funcție periodică, iar perioada sa este egală cu?. Acest lucru poate fi reprezentat vizual după cum urmează: prin înmulțirea x cu un număr, se pare că comprimați graficul funcției pe orizontală exact de atâtea ori

Dacă F1(x) și F2(x) sunt funcții periodice, iar perioadele lor sunt egale cu T1 și, respectiv, T2, atunci suma acestor funcții poate fi și periodică. Totuși, perioada sa nu va fi o simplă sumă a perioadelor T1 și T2. Dacă rezultatul împărțirii T1/T2 este un număr rațional, atunci suma funcțiilor este periodică, iar perioada sa este egală cu cel mai mic multiplu comun (MCM) al perioadelor T1 și T2. De exemplu, dacă perioada primei funcții este 12, iar perioada celei de-a doua este 15, atunci perioada sumei lor va fi egală cu LCM (12, 15) = 60.

Acest lucru poate fi reprezentat vizual după cum urmează: funcțiile vin cu „lățimi de pași” diferite, dar dacă raportul dintre lățimile lor este rațional, mai devreme sau mai târziu (sau mai degrabă, tocmai prin LCM-ul pașilor), ele vor deveni din nou egale și suma lor va începe o nouă perioadă.

Cu toate acestea, dacă raportul dintre perioade este irațional, atunci funcția totală nu va fi periodică deloc. De exemplu, fie F1(x) = x mod 2 (restul când x este împărțit la 2) și F2(x) = sin(x). T1 aici va fi egal cu 2, iar T2 va fi egal cu 2?. Raportul perioadei este egal? - un număr irațional. Prin urmare, funcția sin(x) + x mod 2 nu este periodică.

Multe funcții matematice au o caracteristică care le face mai ușor de construit: periodicitate, adică repetabilitatea graficului pe o grilă de coordonate la intervale regulate.

Instrucțiuni

Cele mai cunoscute funcții periodice din matematică sunt funcțiile sinus și cosinus. Aceste funcții au un caracter ondulatoriu și o perioadă principală de 2P. De asemenea, un caz special al unei funcții periodice este f(x)=const. Orice număr este potrivit pentru poziția x această funcție nu are o perioadă principală, deoarece este o linie dreaptă.

În general, o funcție este periodică dacă există un întreg N care este diferit de zero și îndeplinește regula f(x)=f(x+N), asigurând astfel repetabilitate. Perioada unei funcții este cel mai mic număr N, dar nu zero. Adică, de exemplu, funcția sin x este egală cu funcția sin (x+2ПN), unde N=±1, ±2 etc.

Uneori, o funcție poate avea un multiplicator (de exemplu, sin 2x), care va crește sau micșora perioada funcției. Pentru a afla perioada de grafică, este necesar să se determine extremele funcției - punctele cele mai înalte și cele mai joase ale graficului funcției. Deoarece undele sinusoide și cosinus au o natură asemănătoare undelor, acest lucru este destul de ușor de realizat. Din aceste puncte, construiți linii drepte perpendiculare până când se intersectează cu axa X.

Distanța de la extremul superior la cel inferior va fi jumătate din perioada funcției. Cel mai convenabil este să calculați perioada de la intersecția graficului cu axa Y și, în consecință, marcajul zero pe axa x. După aceasta, trebuie să înmulțiți valoarea rezultată cu două și să obțineți perioada principală a funcției.

Pentru a simplifica construcția graficelor sinus și cosinus, trebuie remarcat faptul că, dacă o funcție are o valoare întreagă, atunci perioada ei se va prelungi (adică 2P trebuie înmulțit cu acest coeficient), iar graficul va arăta mai moale, mai neted - și dacă numărul este fracționar, dimpotrivă, va scădea și graficul va deveni mai „ascuțit” și săritor în aparență.

Scop: rezumarea și sistematizarea cunoștințelor elevilor pe tema „Periodicitatea funcțiilor”; dezvoltarea abilităților în aplicarea proprietăților unei funcții periodice, găsirea celei mai mici perioade pozitive a unei funcții, construirea de grafice ale funcțiilor periodice; promovarea interesului pentru studiul matematicii; cultivați observația și acuratețea.

Echipamente: computer, proiector multimedia, carduri de sarcini, diapozitive, ceasuri, mese cu ornamente, elemente de meșteșuguri populare

„Matematica este ceea ce oamenii folosesc pentru a controla natura și pe ei înșiși.”
UN. Kolmogorov

În timpul orelor

I. Etapa organizatorică.

Verificarea gradului de pregătire a elevilor pentru lecție. Raportați subiectul și obiectivele lecției.

II. Verificarea temelor.

Verificăm temele folosind mostre și discutăm cele mai dificile puncte.

III. Generalizarea și sistematizarea cunoștințelor.

1. Lucru frontal oral.

Probleme de teorie.

1) Formați o definiție a perioadei funcției
2) Numiți cea mai mică perioadă pozitivă a funcțiilor y=sin(x), y=cos(x)
3). Care este cea mai mică perioadă pozitivă a funcțiilor y=tg(x), y=ctg(x)
4) Cu ajutorul unui cerc, demonstrați corectitudinea relațiilor:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z

sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) Cum se trasează o funcție periodică?

Exerciții orale.

1) Demonstrați următoarele relații

A) sin(740º) = sin(20º)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º)

2. Demonstrați că un unghi de 540º este una dintre perioadele funcției y= cos(2x)

3. Demonstrați că un unghi de 360º este una dintre perioadele funcției y=tg(x)

4. Transformați aceste expresii astfel încât unghiurile incluse în ele să nu depășească 90º în valoare absolută.

A) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos(-7363º)

5. Unde ai dat de cuvintele PERIOD, PERIODICITATE?

Răspunsurile elevului: O perioadă în muzică este o structură în care este prezentată o gândire muzicală mai mult sau mai puțin completă. O perioadă geologică face parte dintr-o eră și este împărțită în epoci cu o perioadă cuprinsă între 35 și 90 de milioane de ani.

Timpul de înjumătățire al unei substanțe radioactive. Fracție periodică. Publicațiile periodice sunt publicații tipărite care apar în termene strict definite. Sistemul periodic al lui Mendeleev.

6. Figurile prezintă părți din graficele funcțiilor periodice. Determinați perioada funcției. Determinați perioada funcției.

Răspuns: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Unde în viața ta ai întâlnit construcția elementelor care se repetă?

Răspuns elev: Elemente de ornamente, artă populară.

IV. Rezolvarea colectivă a problemelor.

(Rezolvarea problemelor pe diapozitive.)

Să luăm în considerare una dintre modalitățile de a studia o funcție pentru periodicitate.

Această metodă evită dificultățile asociate cu demonstrarea faptului că o anumită perioadă este cea mai mică și, de asemenea, elimină nevoia de a trata întrebările despre operațiile aritmetice asupra funcțiilor periodice și periodicitatea unei funcții complexe. Raționamentul se bazează doar pe definiția unei funcții periodice și pe următorul fapt: dacă T este perioada funcției, atunci nT(n?0) este perioada acesteia.

Problema 1. Aflați cea mai mică perioadă pozitivă a funcției f(x)=1+3(x+q>5)

Rezolvare: Să presupunem că perioada T a acestei funcții. Atunci f(x+T)=f(x) pentru toate x € D(f), adică.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Să punem x=-0,25 și obținem

(T)=0<=>T=n, n € Z

Am obținut că toate perioadele funcției în cauză (dacă există) sunt printre numerele întregi. Să alegem cel mai mic număr pozitiv dintre aceste numere. Acest 1 . Să verificăm dacă de fapt va fi o perioadă 1 .

f(x+1) =3(x+1+0,25)+1

Deoarece (T+1)=(T) pentru orice T, atunci f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x ), adică. 1 – perioada f. Deoarece 1 este cel mai mic dintre toate numerele întregi pozitive, atunci T=1.

Problema 2. Arătați că funcția f(x)=cos 2 (x) este periodică și găsiți perioada ei principală.

Problema 3. Aflați perioada principală a funcției

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Să presupunem perioada T a funcției, apoi pentru oricare X raportul este valabil

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

Dacă x=0, atunci

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Dacă x=-T, atunci

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= – sin(1.5T)+5cos(0.75T)

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5 – sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

Adunând, obținem:

10cos(0,75T)=10

2π n, n € Z

Să alegem cel mai mic număr pozitiv dintre toate numerele „suspecte” pentru perioadă și să verificăm dacă este o perioadă pentru f. Acest număr

f(x+)=sin(1.5x+4π )+5cos(0.75x+2π )= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

Aceasta înseamnă că aceasta este perioada principală a funcției f.

Problema 4. Să verificăm dacă funcția f(x)=sin(x) este periodică

Fie T perioada funcției f. Apoi pentru orice x

sin|x+Т|=sin|x|

Dacă x=0, atunci sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.

Sa presupunem. Că pentru unele n numărul π n este perioada

funcția luată în considerare π n>0. Atunci sin|π n+x|=sin|x|

Acest lucru implică faptul că n trebuie să fie atât un număr par, cât și un număr impar, dar acest lucru este imposibil. Prin urmare, această funcție nu este periodică.

Sarcina 5. Verificați dacă funcția este periodică

f(x)=

Fie T perioada lui f, atunci

, deci sinT=0, Т=π n, n € Z. Să presupunem că pentru unele n numărul π n este într-adevăr perioada acestei funcții. Atunci numărul 2π n va fi perioada

Deoarece numărătorii sunt egali, numitorii lor sunt egali, prin urmare

Aceasta înseamnă că funcția f nu este periodică.

Lucrați în grupuri.

Sarcini pentru grupa 1.

Sarcini pentru grupa 2.

Verificați dacă funcția f este periodică și găsiți perioada ei fundamentală (dacă există).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Sarcini pentru grupa 3.

La sfârșitul lucrărilor, grupurile își prezintă soluțiile.

VI. Rezumând lecția.

Reflecţie.

Profesorul dă elevilor cartonașe cu desene și le cere să picteze o parte din primul desen în funcție de măsura în care ei cred că au stăpânit metodele de studiere a unei funcții pentru periodicitate, iar o parte a celui de-al doilea desen - în conformitate cu contribuția la munca din lecție.

VII. Teme pentru acasă

1). Verificați dacă funcția f este periodică și găsiți perioada ei fundamentală (dacă există)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Funcția y=f(x) are o perioadă T=2 și f(x)=x 2 +2x pentru x € [-2; 0]. Aflați valoarea expresiei -2f(-3)-4f(3.5)

Literatură/

1. Mordkovich A.G. Algebră și începuturi de analiză cu studiu aprofundat.
2. Matematică. Pregătirea pentru examenul de stat unificat. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
3. Sheremetyeva T.G. , Tarasova E.A. Algebră și analiză de început pentru clasele 10-11.

De la lecțiile de matematică de la școală, toată lumea își amintește un grafic sinusoidal care se întinde în depărtare în valuri uniforme. Multe alte funcții au o proprietate similară - se repetă la un anumit interval. Se numesc periodice. Periodicitatea este o calitate foarte semnificativă a unei funcții, adesea întâlnită în diferite sarcini. În consecință, este benefic să poți determina dacă o funcție este periodică.

Instrucțiuni

1. Dacă F(x) este o funcție a argumentului x, atunci se numește periodic dacă există un număr T astfel încât pentru fiecare x F(x + T) = F(x). Acest număr T se numește perioada funcției Pot exista mai multe perioade. Să presupunem că funcția F = const ia aceeași valoare pentru toate valorile argumentului și, prin urmare, orice număr poate fi considerat perioada sa. În mod tradițional, matematica se preocupă de perioada minimă diferită de zero a unei funcții. Pentru concizie, se numește perioada primitivă.

2. Un exemplu tipic de funcții periodice este trigonometric: sinus, cosinus și tangentă. Perioada lor este identică și egală cu 2?, adică sin(x) = sin(x + 2?) = sin(x + 4?) și așa mai departe. Cu toate acestea, desigur, funcțiile trigonometrice nu sunt exclusiv periodice.

3. În ceea ce privește funcțiile primitive, de bază, singura metodă de stabilire a periodicității sau neperiodicității acestora este calculele. Dar pentru funcțiile dificile există deja câteva reguli primitive.

4. Dacă F(x) este o funcție periodică cu perioada T și o derivată este definită pentru aceasta, atunci această derivată f(x) = F?(x) este, de asemenea, o funcție periodică cu perioada T. Valoarea derivatei în punctul x este egal cu tangenta unghiului tangentei graficul antiderivatei sale în acest punct la axa x și, deoarece antiderivata se repetă periodic, derivata trebuie de asemenea să fie repetată. Să presupunem că derivata funcției sin(x) este egală cu cos(x) și este periodică. Luând derivata lui cos(x) se obține –sin(x). Periodicitatea rămâne constantă. Cu toate acestea, contrariul nu este întotdeauna adevărat. Astfel, funcția f(x) = const este periodică, dar antiderivata sa F(x) = const*x + C nu este.

5. Dacă F(x) este o funcție periodică cu perioada T, atunci G(x) = a*F(kx + b), unde a, b și k sunt constante și k nu este egal cu zero - este și o funcție periodică , iar perioada sa este T/k. Să presupunem că sin(2x) este o funcție periodică, iar perioada sa este egală cu?. Acest lucru poate fi reprezentat vizual după cum urmează: prin înmulțirea x cu orice număr, se pare că comprimați graficul funcției pe orizontală exact de atâtea ori

6. Dacă F1(x) și F2(x) sunt funcții periodice, iar perioadele lor sunt egale cu T1 și, respectiv, T2, atunci suma acestor funcții poate fi și periodică. Cu toate acestea, perioada sa nu va fi o sumă ușoară a perioadelor T1 și T2. Dacă rezultatul împărțirii T1/T2 este un număr rezonabil, atunci suma funcțiilor este periodică, iar perioada sa este egală cu cel mai mic multiplu universal (LCM) al perioadelor T1 și T2. Să presupunem că, dacă perioada primei funcții este 12, iar perioada celei de-a doua este 15, atunci perioada sumei lor va fi egală cu LCM (12, 15) = 60. Aceasta poate fi reprezentată vizual după cum urmează: funcții vin cu „lățimi de trepte” diferite, dar dacă raportul lățimii lor este semnificativ, atunci mai devreme sau mai târziu (sau mai degrabă, tocmai prin LCM de pași), ei vor deveni din nou egali, iar suma lor va începe noua perioadă.

7. Cu toate acestea, dacă raportul dintre perioade este irațional, atunci funcția totală nu va fi periodică deloc. Să presupunem că F1(x) = x mod 2 (restul împărțirii x la 2) și F2(x) = sin(x). T1 aici va fi egal cu 2, iar T2 va fi egal cu 2?. Raportul perioadei este egal? - un număr irațional. În consecință, funcția sin(x) + x mod 2 nu este periodică.

Multe funcții matematice au o caracteristică specifică care le face mai ușor de construit - aceasta este periodicitate, adică repetabilitatea graficului pe o grilă de coordonate la intervale egale.

Instrucțiuni

1. Cele mai cunoscute funcții periodice din matematică sunt sinusul și cosinusul. Aceste funcții au o natură de tip val și o perioadă de pivot egală cu 2P. De asemenea, un caz special al unei funcții periodice este f(x)=const. Orice număr se încadrează în poziția x această funcție nu are o perioadă principală, deoarece este o linie dreaptă.

2. În general, o funcție este periodică dacă există un întreg N care este diferit de zero și îndeplinește regula f(x)=f(x+N), asigurând astfel repetabilitate. Perioada unei funcții este cel mai mic număr N, dar nu zero. Adică, să spunem, funcția sin x este egală cu funcția sin (x+2ПN), unde N=±1, ±2 etc.

3. Ocazional, o funcție poate avea un multiplicator (de exemplu, sin 2x), unul care va crește sau micșora perioada funcției. Pentru a detecta perioada de grafică, trebuie să determinați extremele funcției - punctele cele mai înalte și cele mai joase ale graficului funcției. Deoarece undele sinusoide și cosinus au o natură asemănătoare undelor, acest lucru este destul de ușor de realizat. Din aceste puncte, construiți linii drepte perpendiculare până când se intersectează cu axa X.

4. Distanța de la extremul superior la cel inferior va fi jumătate din perioada funcției. Este mai convenabil pentru toată lumea să calculeze perioada de la intersecția graficului cu axa Y și, în consecință, marcajul zero pe axa x. După aceasta, trebuie să înmulțiți valoarea rezultată cu două și să obțineți perioada de pivotare a funcției.

5. Pentru a facilita trasarea curbelor sinus și cosinus, trebuie să rețineți că, dacă o funcție are o valoare întreagă, atunci perioada ei se va prelungi (adică 2P trebuie înmulțit cu acest indicator), iar graficul va arăta mai moale și mai neted ; iar dacă numărul este fracționar, dimpotrivă, va scădea și graficul va deveni mai „ascuțit”, ca sărituri în aparență.

Video pe tema

De la lecțiile de matematică de la școală, toată lumea își amintește un grafic sinusoidal care se întinde în depărtare în valuri uniforme. Multe alte funcții au o proprietate similară - repetarea după un anumit interval. Se numesc periodice. Periodicitatea este o proprietate foarte importantă a unei funcții, des întâlnită în diverse sarcini. Prin urmare, este util să se poată determina dacă o funcție este periodică.

Instrucțiuni

• Dacă F(x) este o funcție a argumentului x, atunci se numește periodic dacă există un număr T astfel încât pentru orice x F(x + T) = F(x). Acest număr T se numește perioada funcției Pot exista mai multe perioade. De exemplu, funcția F = const ia aceeași valoare pentru orice valoare a argumentului și, prin urmare, orice număr poate fi considerat perioada sa. Matematicienii sunt de obicei interesați de cea mai mică perioadă diferită de zero a unei funcții. Pentru concizie, se numește pur și simplu punct.
• Un exemplu clasic de funcții periodice este trigonometric: sinus, cosinus și tangentă. Perioada lor este aceeași și egală cu 2π, adică sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) și așa mai departe. Cu toate acestea, desigur, funcțiile trigonometrice nu sunt singurele periodice.
• Pentru funcțiile simple, de bază, singura modalitate de a determina dacă sunt periodice sau neperiodice este prin calcul. Dar pentru funcții complexe există deja câteva reguli simple.
• Dacă F(x) este o funcție periodică cu perioada T și o derivată este definită pentru aceasta, atunci această derivată f(x) = F′(x) este și o funcție periodică cu perioada T. La urma urmei, valoarea lui derivata în punctul x este egală cu tangenta unghiului tangentei grafică antiderivată sa în acest punct pe axa x și, deoarece antiderivata se repetă periodic, derivata trebuie de asemenea repetată. De exemplu, derivata funcției sin(x) este egală cu cos(x) și este periodică. Luând derivata lui cos(x) se obține –sin(x). Frecvența rămâne neschimbată. Cu toate acestea, contrariul nu este întotdeauna adevărat. Astfel, funcția f(x) = const este periodică, dar antiderivata sa F(x) = const*x + C nu este.
• Dacă F(x) este o funcție periodică cu perioada T, atunci G(x) = a*F(kx + b), unde a, b și k sunt constante și k nu este egal cu zero - este și o funcție periodică , iar perioada sa este T/k. De exemplu, sin(2x) este o funcție periodică, iar perioada sa este π. Acest lucru poate fi reprezentat vizual după cum urmează: prin înmulțirea x cu un număr, se pare că comprimați graficul funcției pe orizontală exact de atâtea ori
• Dacă F1(x) și F2(x) sunt funcții periodice, iar perioadele lor sunt egale cu T1 și, respectiv, T2, atunci suma acestor funcții poate fi și periodică. Totuși, perioada sa nu va fi o simplă sumă a perioadelor T1 și T2. Dacă rezultatul împărțirii T1/T2 este un număr rațional, atunci suma funcțiilor este periodică, iar perioada sa este egală cu cel mai mic multiplu comun (MCM) al perioadelor T1 și T2. De exemplu, dacă perioada primei funcții este 12, iar perioada celei de-a doua este 15, atunci perioada sumei lor va fi egală cu LCM (12, 15) = 60. Aceasta poate fi reprezentată vizual după cum urmează: funcțiile vin cu „lățimi de pași” diferite, dar dacă raportul dintre lățimile lor în mod rațional, mai devreme sau mai târziu (sau mai degrabă, tocmai prin LCM-ul pașilor), ele vor deveni din nou egale, iar suma lor va începe o nouă perioadă.
• Cu toate acestea, dacă raportul dintre perioade este irațional, atunci funcția totală nu va fi periodică deloc. De exemplu, fie F1(x) = x mod 2 (restul când x este împărțit la 2) și F2(x) = sin(x). T1 aici va fi egal cu 2, iar T2 va fi egal cu 2π. Raportul perioadelor este egal cu π - un număr irațional. Prin urmare, funcția sin(x) + x mod 2 nu este periodică.