Rotația în patru dimensiuni a Universului.

Dacă Universul este închis, atunci trebuie să se rotească. Toate punctele sale trebuie să se miște cu aceleași 4 viteze și cu aceeași viteză unghiulară.

Nu poți roti o minge obișnuită așa. Punctele mingii de lângă axa de rotație se deplasează cu o viteză liniară mai mică decât punctele ecuatoriale.

Dar Universul închis se dovedește a fi ideal în ceea ce privește rotația. Se dovedește a fi omogen și izotrop din punct de vedere spațial. Cum poate fi aceasta?

Într-adevăr, în figura din stânga există o anizotropie clară - vedem două axe de rotație. Acest desen ne ajută cu adevărat să înțelegem rotația în patru dimensiuni a unei hipersfere tridimensionale non-euclidiene x 2 +y 2 +z 2 +q 2 =r 2 scufundat în spațiul euclidian cu patru dimensiuni. Dar această ecuație implică coordonatele spațiale q

, pe care le-am identificat în figură cu culoare. Să o înlocuim cu coordonata timpului t, înmulțită cu viteza luminii pentru a obține metri, și cu unitatea imaginară i, deoarece spațiu-timp este pseudo-euclidian. Adică obținem ecuația: x 2 +y 2 +z 2 +(ict) 2 =r 2

, hipersferă pseudo-euclidiană.

Ați putea privi această rotație în planul (x,ict) deschizând programul meu, dar în prezent fișierele .exe nu sunt încărcate pe site. Voi încerca să fac un desen gif animat în curând.

Rețineți că electronul se rotește acolo, trecând prin hiperbola din dreapta și din stânga în timpul său clasic. Acolo vezi cum „umbra” electronului desenează un cerc. Obținem acest cerc dacă împărțim fiecare element al hiperbolei la factorul relativist corespunzător și le însumăm. Ca rezultat, obținem 2p ri. Acest lucru sugerează că un pseudocerc într-un Univers închis se transformă într-un cerc cvasi-închis nu numai pentru un electron, ci și pentru toate particulele din Univers, inclusiv galaxiile. (Deci unde se duce asimetria? Pentru a face acest lucru, amintiți-vă că pătratul cu 4 viteze v g, icg) în teoria relativității speciale este un invariant și este egal cu - c 2

Luăm orice punct dintr-un Univers închis rotativ. Orice punct are două axe-plane. Este situat pe o axă, iar cealaltă axă este perpendiculară. Ambele sunt cercuri. Axa pe care se află particula în cauză conține o coordonată de timp și orice altă coordonată spațială. Să fie (z,ict). Această axă se deplasează cu viteza c. Pentru particula noastră studiată, această viteză va fi pur temporară, deoarece se mișcă împreună cu această axă și, prin urmare, este în repaus în raport cu această axă. Alte puncte de pe axă vor primi o parte spațială mai mare, cu cât sunt mai departe de punctul studiat. Și în funcție de componenta de timp a celei 4 viteze, ritmul de timp scade, cu atât mai mult, cu atât este mai departe de punctul studiat. Deci, concluzionăm: galaxiile în două direcții opuse, în care se sprijină acest plan-ax, vor avea o deplasare transversală către roșu datorită rotației spațiu-timp de-a lungul coordonatei z.

Deoarece celălalt plan-ax se rotește în direcția perpendiculară, acolo se va observa și o deplasare transversală la roșu, dar acolo se datorează mișcării transversale în planul (x,y).

Această rotație explică multe lucruri:
prezența spinului în fiecare particulă;
prezența funcției cuantice ψ;
asimetrie dreapta-stânga în helicitățile galaxiilor;
De ce vârsta condiționată a Universului este de 13,34 miliarde de ani, întotdeauna?
rotația anormal de rapidă a părților periferice ale galaxiilor;
Densitatea critică a Universului poate fi mai mică...

Dacă vitezele de rotație de-a lungul axelor sunt ușor diferite, atunci putem vedea o structură multipolară în fundalul relict și o ușoară anizotropie în deplasările către roșu ale galaxiilor.

Liniile lumii.

În gif-ul animat vedem mișcarea bilelor. De fapt, imaginea imaginară trebuie să fie oarecum complicată prin imaginarea liniilor lumii ale galaxiilor. Pentru galaxiile care se rotesc în planul (z,ict), identificăm timpul cu culoarea. Dacă timpul de pe această parte a imaginii merge într-o direcție, atunci pe partea opusă a imaginii, timpul merge înapoi. Acest lucru nu ar trebui să fie surprinzător. După cum știți, acest lucru a fost deja întâlnit în fizică - un pozitron este un electron care trăiește înapoi în timp. Și în paginile despre viteza cuantificată, am dezvoltat această idee și am văzut că fiecare particulă elementară trăiește în timp „întors și înapoi”. Particula compozită „arbește” în momentele unirii cercurilor cvasi-închise. Și, dacă, la finalizarea rundei, una dintre particulele elementare este întârziată sau înaintea altor particule, atunci în momentul sincronizării spațiu-timp primește o schimbare elementară a vitezei sau, cu alte cuvinte, face o viraj elementară. în spațiu-timp.

Vom vedea aceleași rotații elementare în spațiu-timp dacă urmărim mișcarea bilelor în imaginea noastră rotativă, completată de o altă imagine.

Să facem o tranziție elementară de la centrul acestei figuri în orice direcție. În același timp, ne vom găsi mai aproape de o graniță convențională. Dar, din moment ce Universul este izotrop și omogen, trebuie să facem transformări cu alte galaxii - mutați-le astfel încât particula studiată să fie din nou în centru.

Efectuând mental această procedură, observăm că galaxiile care se aflau în spate la granița îndepărtată, după transformare, se vor afla la limita frontală.

Dacă mișcarea are loc de-a lungul componentei timp, atunci galaxiile care au fost în apropierea orizontului evenimentelor în trecut dispar și apar în viitorul îndepărtat „deasupra conului de lumină”.

Galaxiile care se află în conul de lumină într-o poziție intermediară între galaxia în mișcare studiată și orizontul evenimentelor, datorită unei serii de transformări succesive, obțin o viteză de recesiune similară cu cea care se „observă” în modelul în expansiune al Universului.

Pe lângă eliberarea de materie dincolo de orizontul evenimentelor în trecutul îndepărtat și, în consecință, procesul de scădere a concentrației de particule din cauza accelerării îndepărtării galaxiilor, există un proces care compensează numărul de galaxii din lumină. con.

Numărul de galaxii este un concept relativ. Există sateliți în apropierea Galaxy, LMC și MMC. Este foarte posibil ca acum să se nască alți sateliți - unele grupuri de stele se separă de Galaxie. În timp, acestea vor fi galaxii independente cu un număr mare de stele. Întrebarea este de unde vine materia?

În primul rând, substanța intră în conul de lumină de sus. În al doilea rând, exploziile de raze gamma. Acest proces este subliniat pe pagina Model Hoyle și Rotație 4d. Se dovedește că rotația în patru dimensiuni a Universului în două planuri reciproc perpendiculare nu numai că corespunde observațiilor, ci și reînvie Modelul Staționar al Universului creat de Fred Hoyle, Herman Bondi și Thomas Gold.

Câteva aplicații utile din alte surse.

Sărut numărul

Problemele de aranjare a bilelor apar intens în multe situații, în special în teoria codării (bilele sunt formate din seturi de intrări pe care corectarea erorilor le-ar mapa într-un singur cuvânt de cod).
Cea mai importantă întrebare în acest domeniu este problema lui Kepler: care este cel mai dens pachet de sfere din spațiu , că împachetarea obișnuită de grepfrut este cea mai densă împachetare în care centrele sferei formează o rețea.)

Numită plin de culoare „problema numărului săruturilor” se referă la densitatea locală a ambalajelor: câte bile pot atinge o altă minge? Aceasta poate fi văzută în sine ca o versiune a problemei lui Kepler pentru geometria sferică mai degrabă decât euclidiană.

În matematică, problemele de împachetare a sferelor se referă la aranjamente de sfere identice care nu se suprapun, care umplu un spațiu. De obicei, spațiul implicat este spațiu euclidian tridimensional. Cu toate acestea, problemele de împachetare a sferelor pot fi generalizate la spațiu bidimensional (unde „sferele” sunt cercuri), la spațiul n-dimensional (unde „sferele” sunt hipersfere) și la spații non-euclidiene, cum ar fi spațiul hiperbolic.
Un aranjament regulat (numit și aranjament periodic sau reticulat) este unul în care centrele sferelor formează un model foarte simetric numit rețea. Aranjamentele în care sferele nu sunt dispuse într-o rețea se numesc aranjamente neregulate sau aperiodice. Aranjamentele obișnuite sunt mai ușor de manevrat decât cele neregulate – gradul lor ridicat de simetrie facilitează clasificarea și măsurarea densităților lor.

Numărul de hipersfere echivalente în dimensiuni n care poate atinge o hipersferă echivalentă fără intersecții, uneori numită și număr Newton, număr de contact, număr de coordonare sau ligatură.

Valorile exacte pentru împachetarea rețelei sunt cunoscute pentru n=1 până la 9 și n=24 (Conway și Sloane 1993, Sloane și Nebe). Odlyzko și Sloane (1979) au găsit valoarea exactă pentru 24-D.

Valorile exacte pentru ambalajele generale sunt cunoscute pentru n=1, 2, 3, 4, 8 și 24. Musin a dezvoltat o metodă de delimitare în 2003 pentru a demonstra cazul cu 24 de dimensiuni, iar metoda sa oferă, de asemenea, dovezi pentru trei și patru. dimensiuni (Pfender și Ziegler 2004).

SO(4)

În matematică, SO(4) este grupul de rotație cu patru dimensiuni; adică grupul de rotații în jurul unui punct fix în spațiul euclidian cu patru dimensiuni. Numele provine de la faptul că este (izomorf cu) grupul ortogonal special de ordinul 4.

Rotiri simple
O rotație simplă R în jurul unui centru de rotație O lasă un întreg plan A prin O (ax-plan) invariant punctual...

Jumătățile din O în planul axului A nu sunt deplasate; semiliniile de la O ortogonale la A sunt deplasate prin α; toate celelalte semi-linii sunt deplasate printr-un unghi< α.

Rotații duble
O rotație dublă R în jurul unui centru de rotație O lasă invariant doar O. Orice rotație dublă are cel puțin o pereche de plane complet ortogonale A și B prin O care sunt invariante ca întreg, adică. rotite în sine. În general, unghiurile de rotație α în planul A și β în planul B sunt diferite. În acest caz, A și B sunt singura pereche de plane invariante, iar semi-liniile din O în A, B sunt deplasate prin α, β și semi-liniile din O care nu sunt în A sau B sunt deplasate prin unghiuri strict între α și β.

Rotații izoclinice
Dacă unghiurile de rotație ale unei rotații duble sunt egale, atunci există infinit de planuri invariante în loc de doar două și toate semi-liniile din O sunt deplasate prin același unghi. Astfel de rotații se numesc rotații izoclinice sau echiunghiulare sau deplasări Clifford. Atenție: nu toate planurile prin O sunt invariante la rotații izoclinice; sunt invariante numai planurile care sunt întinse de o semi-linie și semi-linia deplasată corespunzătoare.

IMAGINE GEOMETRICĂ A MINGII PATTRIDIMENSIONALE.

Egorov Nester Alexandrovici

Student în anul 4, Departamentul de Algebră și Geometrie IMI NEFU, Federația Rusă, Yakutsk

E- Poștă: egrvnester@ Poștă. ru

Popov Oleg Nikolaevici

conducător științific, Ph.D. tehnologie. Științe, profesor asociat IMI NEFU, Federația Rusă, Yakutsk

Această lucrare prezintă o reprezentare a unei mingi cu patru dimensiuni în spațiul cu patru dimensiuni folosind secțiunile sale tridimensionale. Pentru a explica dificultățile asociate cu percepția obiectelor în spațiul cu patru dimensiuni, se folosește o metodă care se bazează pe luarea în considerare a spațiilor cu dimensiuni mai mici. Relevanța acestei abordări constă în faptul că ne permite să înțelegem structura imaginilor geometrice ale spațiului cu patru dimensiuni și, de asemenea, contribuie la dezvoltarea gândirii spațiale și abstracte. Această lucrare prezintă interes pentru elevii de liceu, studenții facultăților de matematică și științe ale naturii, precum și profesorii de matematică. Se prezinta folosind o metoda vizuala, fara a folosi formule, bazata doar pe un curs de geometrie scolara.

În literatura științifică și populară, în mass-media, sunt adesea menționate spații și obiecte multidimensionale. Există diverse teorii despre multidimensionalitatea Universului nostru. Este natura umană să reprezinte obiectele geometrice într-o formă vizuală. Prin urmare, mulți, după ce au auzit expresia „minge cu patru dimensiuni”, încearcă imediat să o vizualizeze în imaginația lor. Ne putem imagina foarte bine o minge bidimensională (acesta este un cerc întins pe un plan), o minge tridimensională este un obiect care este adesea întâlnit în viața noastră. Dar în cazul cu patru dimensiuni, nu putem în niciun fel să construim în imaginația noastră o imagine geometrică a unei mingi cu patru dimensiuni. Acest lucru se datorează apariției celei de-a patra dimensiuni, inaccesibilă nouă.

Scopul muncii noastre este formarea unei idei intuitive de înțeles pentru cititor despre imaginea geometrică a unei mingi cu patru dimensiuni. Nu folosește definiții stricte sau formule matematice. Toate conceptele și termenii folosiți sunt înțeleși doar intuitiv. Toate materialele sunt prezentate într-o formă populară.

Relevanța lucrării constă în faptul că ne permite să înțelegem structura imaginilor geometrice ale spațiului cu patru dimensiuni și, de asemenea, contribuie la dezvoltarea gândirii spațiale și abstracte și este de interes pentru elevii de liceu, studenții facultăților. de matematică și științe naturale, precum și profesori de matematică.

Figura 1. a) O linie dreaptă în spațiul cu patru dimensiuni intersectează o minge tridimensională doar într-un singur punct interior; b) O linie dreaptă pe un plan intersectează o bilă bidimensională de-a lungul unui segment; c) O linie dreaptă situată în spațiu intersectează o bilă bidimensională într-un singur punct

Spațiul cu patru dimensiuni este, într-o oarecare măsură, un spațiu neobișnuit. Știm că în spațiul tridimensional o linie dreaptă intersectează un volum convex tridimensional limitat (de exemplu, o minge) de-a lungul unui segment. Excepția este atunci când o linie dreaptă atinge un obiect dat. În spațiul cu patru dimensiuni, totul se poate întâmpla diferit. O linie dreaptă poate „perfora” o minge tridimensională direct, lovind doar un punct intern fără a perturba împrejurimile acesteia (Fig. 1, a)). Acest lucru face posibil ca o persoană 4D (dacă a existat) să ne ia toate lucrurile din geantă fără să o deschidă sau să o taie, ceea ce pare foarte neobișnuit și inexplicabil. Pentru a înțelege acest lucru, luați în considerare un spațiu bidimensional (un spațiu bidimensional este un plan încorporat într-un spațiu tridimensional). O linie dreaptă pe plan va intersecta un cerc situat în plan de-a lungul unui segment, iar o linie dreaptă în spațiu situată în afara planului va intersecta cercul doar într-un punct (Fig. 1, b), c)).

Pentru a face mai ușor de înțeles episodul lucrurilor care lipsesc dintr-o pungă, să desenăm o persoană bidimensională pe tablă, să-i desenăm rinichii, o piatră la rinichi. Apoi luăm o cârpă în mâini și cu grijă, fără a atinge rinichii unei persoane bidimensionale, ștergem piatra (Fig. 2). Acum putem să ne felicităm pentru faptul că tocmai am efectuat cu succes o operație de îndepărtare a unei pietre la rinichi fără a folosi incizii și că pacientul nostru este sănătos. Ceea ce este dincolo de controlul unui chirurg bidimensional se dovedește a fi o chestiune simplă pentru o persoană tridimensională obișnuită.

Figura 2. Îndepărtarea pietrelor dintr-un rinichi bidimensional de către un medic tridimensional fără rezerve

În continuare, vom folosi această tehnică asociată cu trecerea la o dimensiune inferioară pentru a explica dificultățile asociate cu percepția obiectelor situate în spațiul cu patru dimensiuni. Dificultățile de percepție ale unei persoane bidimensionale atunci când încearcă să înțeleagă o lume tridimensională sunt asemănătoare cu ale noastre atunci când percepem spațiul cu patru dimensiuni, deoarece sunt conectate în ambele cazuri prin apariția unei noi dimensiuni inaccesibile.

Două spații tridimensionale se pot intersecta sau pot fi paralele în spațiul cu patru dimensiuni. Să luăm în considerare cazul când se intersectează.

Figura 3. Două spații tridimensionale se intersectează în spațiul cu patru dimensiuni de-a lungul unui plan.

Dacă două plane x și y se intersectează de-a lungul unei drepte l (Fig. 4), atunci spațiile tridimensionale P și Q se intersectează de-a lungul unui plan α (Fig. 3). Pentru o persoană bidimensională, linia dreaptă l (dacă este opac) va fi un zid care își împarte lumea în două părți. Iar semiplanurile y 1 și y 2 nu există pentru el, deoarece sunt în a treia dimensiune, inaccesibile lui. Pentru o persoană tridimensională, un astfel de perete, care împarte întregul spațiu în două părți, va fi planul α (Fig. 3).

În continuare, luăm în considerare două plane care se intersectează x și y, de-a lungul unuia dintre care se rostogolește o minge bidimensională (Fig. 4). Rețineți că o persoană bidimensională vede doar linia l din planul y, deoarece se află în spațiul său x. Semiplanurile y 1 și y 2 sunt invizibile pentru el, așa că o persoană bidimensională situată în planul x va vedea un punct (bila plată a atins linia), care apoi se desparte (bila a traversat linia). În plus, pe măsură ce mingea se mișcă, punctele vor diverge până când linia dreaptă de intersecție a planurilor coincide cu diametrul mingii, apoi totul se va întâmpla în ordine inversă.

Figura 4. O persoană bidimensională vede doar punctul de contact al cercului cu planul său

Acum nu este greu de inteles ce vom vedea, fiind in spatiul tridimensional P, in cazul in care mingea lansata de piciorul unui fotbalist situat in Q traverseaza spatiul nostru. Mai întâi pe planul α. va apărea un punct, care se va transforma imediat într-un cerc în creștere treptat, care este intersecția planului α și a mingii. Atinsă maximul, cu raza egală cu raza unei mingi de fotbal, va începe treptat să scadă până degenerează din nou într-un punct și dispare din vedere (Fig. 5). Ceea ce vom vedea când însuși fotbalistul va alerga după minge, îl vom lăsa pe seama cititorului să-și imagineze. Pentru distracție, să ne imaginăm ce se va întâmpla dacă un jucător de fotbal, într-un mod incredibil, în timp ce se află în spațiul Q, se transformă accidental în spațiul nostru P (vezi Fig. 6).

Figura 5. Vedere a mingii care traversează spațiul observatorului în dinamică

Figura 6. Aspectul unui fotbalist în spațiu P din spatiu Q

Într-o versiune bidimensională, este ușor să ne imaginăm două plane paralele. Spațiul tridimensional poate fi reprezentat ca o colecție infinită de planuri paralele „lipite împreună”. Această idee poate fi obținută uitându-se la un pachet de cărți, unde fiecare carte este asociată cu un avion sau cu o carte, unde rolul avioanelor este jucat de foile acestei cărți.

Spațiul patradimensional reprezintă, de asemenea, o colecție de spații paralele „lipite împreună”, dar deja tridimensionale. Încercați să vă imaginați în imaginația voastră două spații tridimensionale paralele (lipite împreună), adică situate foarte aproape unul de celălalt. Nu vei reuși. Spațiile pe care vrem să le imaginăm în imaginația noastră fie încep să se intersecteze, fie nu vrem să se apropie, împingându-se unele de altele. Să aflăm motivul eșecului nostru. Pentru a face acest lucru, să analizăm modul în care o persoană bidimensională care trăiește în planul x va încerca să-și imagineze două plane paralele y și z situate foarte aproape unul de celălalt. Deoarece pentru o persoană bidimensională nu există dimensiunea a treia h (Fig. 7a)), el va fi obligat să le plaseze în spațiul său, deși în realitate ele vor fi situate perpendicular (sau la un anumit unghi) intersectând planul x ( Fig. 7b)). Acum devine imediat evident care este motivul eșecului nostru. Încercăm să punem două spații tridimensionale într-un spațiu tridimensional în care ne aflăm (Fig. 7c)), când ar trebui să se extindă de-a lungul celei de-a patra dimensiuni, inaccesibile nouă. Este clar că nu par să rămână împreună.

Rețineți că spațiul tridimensional poate fi reprezentat ca o urmă lăsată de un plan ca urmare a mișcării acestuia într-o direcție dată (Fig. 8).

Figura 7. a) O persoană bidimensională încearcă să-și imagineze două plane paralele; b) Localizarea reală a planurilor paralele; c) Încercăm să punem două spații tridimensionale într-un spațiu tridimensional

Figura 8. Spaţiul tridimensional obţinut prin mişcarea unui plan

Acum, ca și înainte, luați în considerare spațiile P și Q care se intersectează de-a lungul planului α (Fig. 9a)). Fiecare dintre spații poate fi obținut prin deplasarea planului α în funcție de direcțiile axelor de coordonate x și t. În continuare, să desenăm planul β în spațiul P la o distanță foarte apropiată paralelă cu planul α. Evident, β nu va fi în spațiul Q. Să începem deplasarea acestor plane în direcția t astfel încât în ​​orice moment t planurile în mișcare să fie paralele și apropiate unele de altele. Atunci spațiul Q și spațiul Q β obținut prin mișcarea planelor α și respectiv β sunt paralele și se vor afla la o distanță foarte apropiată unul de celălalt (la distanță egală cu distanța dintre planele α și β , de-a lungul dimensiunii x). Apoi, două corpuri tridimensionale, de exemplu, două bile, situate în spații complet diferite, dar paralele Q și Q β apropiate unul de celălalt, se pot dovedi a fi foarte apropiate („lipite împreună”) (Fig. 9b)).

Figura 9. a) Plan β din luciu P este apropiată și paralelă cu planul α și nu se află în spațiu Q ; b) Mulţimi de plane obţinute prin deplasarea planelor α şi β în direcţie t , formează spații paralele apropiate unele de altele Q Și Q β Bilele ilustrate situate în aceste spații sunt aproape una de alta în toate punctele (bile „lipioase”)

Tot spațiul cu patru dimensiuni poate fi considerat ca o colecție de spații tridimensionale paralele, foarte strâns distanțate („lipite împreună”). Dacă luăm timpul ca a patra dimensiune, atunci mișcarea unei persoane într-o mașină a timpului va corespunde trecerii de la un spațiu paralel la altul. În acest caz, spre deosebire de spațiile care se intersectează, când vedem doar o secțiune transversală a unui obiect care se mișcă prin al doilea spațiu, traversându-l pe al nostru, o mașină a timpului cu o persoană așezată în ea va apărea brusc în fața noastră, care se va dizolva în trecutul sau viitorul in functie de directia miscarii sale .

Astfel: am înțeles că spațiile tridimensionale se intersectează de-a lungul unui plan; spațiul cu patru dimensiuni poate fi reprezentat ca un set de spații tridimensionale paralele „lipite împreună”; mi-a venit ideea de a „lipi” corpuri tridimensionale situate în spații paralele.

Ce este o minge cu patru dimensiuni? Pentru a răspunde la această întrebare, să analizăm modul în care mingea noastră tridimensională obișnuită este structurată din punctul de vedere al unei persoane bidimensionale. Desigur, el nu poate vedea întreaga minge în câmpul său vizual există doar o sferă bidimensională - un cerc care mărginește un cerc bidimensional și este intersecția lumii unei persoane bidimensionale cu mingea; (ceea ce se află în interiorul cercului nu îi este vizibil. Fig. 10 a)). Când se deplasează în spații paralele, cercul se va îngusta până când degenerează într-un punct (Fig. 10 b)).

Figura 10. a) O persoană bidimensională poate vedea doar o parte din cerc, mărginită de intersecția planului și a mingii; b) Când o persoană se deplasează în planuri paralele, cercul va degenera treptat într-un punct

În cazul unei mingi cu patru dimensiuni, câmpul vizual al unei persoane este limitat de spațiul în care se află. Prin analogie, putem presupune că vede o sferă care mărginește mingea, care este intersecția acestui spațiu tridimensional cu o minge cu patru dimensiuni. La deplasarea în spații paralele, sfera va scădea și în rază până degenerează într-un punct (Fig. 11 a)). Acum să încercăm să înțelegem mai detaliat ce fel de bile vedem și cum formează o minge cu patru dimensiuni.

Să considerăm o minge tridimensională 2 (Fig. 11 b)) și secțiunile ei pe planuri paralele. Totalitatea acestor plane paralele formează un spațiu tridimensional cu dimensiunile y, z, t, în care se află bila dorită 2 Fiecare dintre aceste plane, cu deplasarea sa în direcția x, formează spații tridimensionale „lipioase”. . În aceste spații sunt situate bilele tridimensionale (vezi bila 1), pe care le observăm în timpul tranzițiilor (descrise mai sus) către spații paralele (Fig. 11a)). Combinația acestor bile va forma o minge cu patru dimensiuni. Astfel, o minge cu patru dimensiuni este o colecție de bile care se lipesc împreună în toate punctele, scăzând în dimensiune, care formează imaginea geometrică a unei mingi cu patru dimensiuni. Cu toate acestea, nu putem vedea imaginea integrală a mingii, deoarece nu putem vedea în afara spațiului nostru.

Figura 11. a) Mingi vizibile pentru om în timpul tranzițiilor în spații paralele, scăzând în dimensiune; b) O minge cu patru dimensiuni este o colecție de bile descrescătoare „combinate”, care sunt secțiuni ale unei mingi cu patru dimensiuni prin spații tridimensionale paralele cu spațiul P

Să ne uităm la o minge cu patru dimensiuni din diferite părți. Un observator situat în spațiul tridimensional P cu dimensiunile y, z, t și privind în direcția t va vedea o bilă (Fig. 12), care constă din secțiuni de bile care formează o bilă cu patru dimensiuni (în Fig. 11 aceasta este mingea 2).

Un observator situat în spațiul Q și privind în direcția x va vedea și o minge tridimensională (Fig. 12). Astfel, observatorii aflați în spațiile P și Q văd aceeași imagine - o minge tridimensională. Cu toate acestea, bilele pe care le observă sunt obiecte geometrice diferite situate în spații diferite și care se intersectează de-a lungul unui cerc bidimensional.

Figura 12. Observatori situati in spatii care se intersecteaza P Și Q vezi o minge tridimensională. Cu toate acestea, în realitate, ei observă diferite bile care se intersectează de-a lungul unei căi

Din păcate, după cum s-a menționat mai sus, câmpul nostru vizual este limitat la spațiul tridimensional, așa că nu putem vedea imaginile cu patru dimensiuni în ansamblu. Cu toate acestea, matematicianul britanic Charles Hinton (1853-1907) a dezvoltat o metodă specială pentru a construi modele de figuri geometrice în spațiul cu patru dimensiuni din secțiunile lor tridimensionale. Această metodă este descrisă în detaliu în două dintre monografiile sale. Hinton a susținut că, în urma multor ani de muncă, care s-a bazat pe această metodă specială, a învățat să reprezinte mental imagini geometrice în spațiul cu patru dimensiuni. De asemenea, credea că o persoană care stăpânește suficient de bine această metodă va dobândi o înțelegere intuitivă a spațiului cu patru dimensiuni.

Bibliografie:

1.Hinton Charles H. O nouă eră a gândirii, orig. 1888, retipărit în 1900, de Swan Sonnenschein & Co. Ltd., Londra - p. 240.

Când eram student în primul an, m-am certat aprins cu unul dintre colegii mei de clasă. El a spus că un cub cu patru dimensiuni nu poate fi reprezentat sub nicio formă, dar am asigurat că poate fi reprezentat destul de clar. Apoi am făcut chiar și o proiecție a unui hipercub în spațiul nostru tridimensional din agrafe... Dar să vorbim despre totul în ordine.

Ce este un hipercub și spațiu cu patru dimensiuni

Spațiul nostru obișnuit are trei dimensiuni. Din punct de vedere geometric, aceasta înseamnă că trei linii reciproc perpendiculare pot fi indicate în el. Adică, pentru orice linie puteți găsi o a doua linie perpendiculară pe prima, iar pentru o pereche puteți găsi o a treia linie perpendiculară pe primele două. Nu se va mai putea găsi o a patra linie perpendiculară pe cele trei existente.

Spațiu cu patru dimensiuni diferă de a noastră doar prin faptul că are încă o direcție suplimentară. Dacă aveți deja trei linii reciproc perpendiculare, atunci puteți găsi una a patra, astfel încât să fie perpendiculară pe toate trei.

Hipercub este doar un cub în spațiu cu patru dimensiuni.

Este posibil să ne imaginăm un spațiu cu patru dimensiuni și un hipercub?

Această întrebare este asemănătoare cu întrebarea: „Este posibil să ne imaginăm Cina cea de Taină privind pictura cu același nume (1495-1498) de Leonardo da Vinci (1452-1519)?”

Pe de o parte, desigur, nu vă veți imagina ce a văzut Iisus (stă cu fața către privitor), mai ales că nu veți mirosi grădina în afara ferestrei și nu veți gusta mâncarea de pe masă, nu veți auzi păsările. cântând... Nu veți obține o imagine completă a ceea ce s-a întâmplat la acea oră seara, dar nu se poate spune că nu veți învăța nimic nou și că poza nu prezintă niciun interes.

Situația este similară cu întrebarea hipercubului. Este imposibil să-l imaginezi pe deplin, dar te poți apropia de a înțelege cum este.

Construcția unui hipercub

cub 0-dimensional

Să începem de la început - cu un cub 0-dimensional. Acest cub conține 0 fețe reciproc perpendiculare, adică este doar un punct.

cub unidimensional

În spațiul unidimensional, avem o singură direcție. Mutăm punctul în această direcție și obținem un segment.

Acesta este un cub unidimensional.

cub bidimensional

Avem o a doua dimensiune, ne deplasăm cubul (segmentul) unidimensional în direcția celei de-a doua dimensiuni și obținem un pătrat.

Este un cub în spațiu bidimensional.

cub tridimensional

Odată cu apariția celei de-a treia dimensiuni, facem același lucru: mutăm pătratul și obținem un cub tridimensional obișnuit.

cub 4-dimensional (hipercub)

Acum avem o a patra dimensiune. Adică avem la dispoziție o direcție perpendiculară pe toate cele trei anterioare. Să-l folosim exact în același mod. Un cub cu patru dimensiuni va arăta astfel.

Desigur, cuburile tridimensionale și patrudimensionale nu pot fi reprezentate pe un plan de ecran bidimensional. Ceea ce am desenat sunt proiecții. Vom vorbi despre proiecții puțin mai târziu, dar deocamdată câteva fapte și cifre simple.

Numărul de vârfuri, muchii, fețe

Vă rugăm să rețineți că fața unui hipercub este cubul nostru tridimensional obișnuit. Dacă te uiți cu atenție la desenul unui hipercub, poți găsi de fapt opt ​​cuburi.

Proiecții și viziune a unui locuitor al spațiului cu patru dimensiuni

Câteva cuvinte despre viziune

Trăim într-o lume tridimensională, dar o vedem ca fiind bidimensională. Acest lucru se datorează faptului că retina ochilor noștri este situată într-un plan care are doar două dimensiuni. Acesta este motivul pentru care suntem capabili să percepem imagini bidimensionale și să le găsim similare cu realitatea.

(Desigur, datorită acomodarii, ochiul poate estima distanța până la un obiect, dar acesta este un efect secundar asociat cu optica încorporată în ochi.)

Ochii unui locuitor al spațiului cu patru dimensiuni trebuie să aibă o retină tridimensională. O astfel de creatură poate vedea imediat întreaga figură tridimensională: toate fețele și interiorul ei. (În același mod, putem vedea o figură bidimensională, toate fețele și interioarele sale.)

Astfel, cu ajutorul organelor noastre de vedere, nu suntem capabili să percepem un cub cu patru dimensiuni așa cum l-ar percepe un rezident al unui spațiu cu patru dimensiuni. Vai. Tot ce rămâne este să te bazezi pe ochiul minții și pe imaginația ta, care, din fericire, nu au limitări fizice.

Cu toate acestea, când înfățișez un hipercub pe un plan, sunt pur și simplu forțat să-i fac proiecția în spațiul bidimensional. Luați în considerare acest fapt atunci când studiați desenele.

Intersecții de margine

Desigur, marginile hipercubului nu se intersectează. Intersecțiile apar numai în desene. Cu toate acestea, acest lucru nu ar trebui să fie o surpriză, deoarece marginile unui cub obișnuit din imagini se intersectează și ele.

Lungimile marginilor

Este de remarcat faptul că toate fețele și marginile unui cub cu patru dimensiuni sunt egale. În figură, acestea nu sunt egale doar pentru că sunt situate în unghiuri diferite față de direcția de vedere. Cu toate acestea, este posibil să rotiți un hipercub astfel încât toate proiecțiile să aibă aceeași lungime.

Apropo, în această figură sunt vizibile în mod clar opt cuburi, care sunt fețele unui hipercub.

Hipercubul este gol înăuntru

Este greu de crezut, dar între cuburile care leagă hipercubul, există ceva spațiu (un fragment de spațiu cu patru dimensiuni).

Pentru a înțelege mai bine acest lucru, să ne uităm la o proiecție bidimensională a unui cub tridimensional obișnuit (am făcut-o în mod deliberat oarecum schematic).

Poți ghici din asta că există ceva spațiu în interiorul cubului? Da, dar numai folosindu-ți imaginația. Ochiul nu vede acest spațiu.

Acest lucru se întâmplă deoarece marginile situate în a treia dimensiune (care nu poate fi reprezentată într-un desen plat) s-au transformat acum în segmente situate în planul desenului. Nu mai oferă volum.

Pătratele care înconjoară spațiul cubului se suprapuneau. Dar ne putem imagina că în figura originală (un cub tridimensional) aceste pătrate erau situate în planuri diferite și nu unul peste altul în același plan, așa cum sa întâmplat în figură.

Situația este exact aceeași cu un hipercub. Cuburile-fețe ale unui hipercub nu se suprapun de fapt, așa cum ni se pare pe proiecție, ci sunt situate în spațiu cu patru dimensiuni.

Mătură

Deci, un rezident al spațiului cu patru dimensiuni poate vedea un obiect tridimensional din toate părțile simultan. Putem vedea un cub tridimensional din toate părțile în același timp? Cu ochiul - nu. Dar oamenii au venit cu o modalitate de a reprezenta toate fețele unui cub tridimensional în același timp pe un desen plat. O astfel de imagine se numește scanare.

Dezvoltarea unui cub tridimensional

Probabil că toată lumea știe cum se formează dezvoltarea unui cub tridimensional. Acest proces este prezentat în animație.

Pentru claritate, marginile fețelor cubului sunt translucide.

Trebuie remarcat faptul că suntem capabili să percepem această imagine bidimensională doar datorită imaginației noastre. Dacă luăm în considerare fazele de desfășurare dintr-un punct de vedere pur bidimensional, procesul va părea ciudat și deloc clar.

Se pare că apariția treptată a mai întâi contururile pătratelor distorsionate, apoi se strecoară în loc, luând simultan forma necesară.

Dacă priviți cubul care se desfășoară în direcția uneia dintre fețele sale (din acest punct de vedere cubul arată ca un pătrat), atunci procesul de formare a desfășurării este și mai puțin clar. Totul arată ca niște pătrate care se strecoară din pătratul inițial (nu cubul desfășurat).

Dar nu vizuale scanează doar pentru ochiul.

Cum să înțelegem spațiul 4-dimensional?

Datorită imaginației tale poți culege o mulțime de informații din ea.

Dezvoltarea unui cub cu patru dimensiuni

Este pur și simplu imposibil să faci procesul animat de desfășurare a unui hipercub cel puțin oarecum vizual. Dar acest proces poate fi imaginat. (Pentru a face acest lucru, trebuie să îl priviți prin ochii unei ființe cu patru dimensiuni.)

Scanarea arată așa.

Toate cele opt cuburi care delimitează hipercubul sunt vizibile aici.

Marginile care ar trebui să se alinieze atunci când sunt pliate sunt vopsite cu aceleași culori. Fețele pentru care perechile nu sunt vizibile sunt lăsate gri. După pliere, fața de sus a cubului de sus ar trebui să se alinieze cu marginea inferioară a cubului de jos. (Desfășurarea unui cub tridimensional este prăbușită într-un mod similar.)

Vă rugăm să rețineți că după convoluție, toate fețele celor opt cuburi vor intra în contact, închizând hipercubul. Și, în sfârșit, atunci când vă imaginați procesul de pliere, nu uitați că la pliere, nu apare suprapunerea cuburilor, ci înfășurarea acestora în jurul unei anumite zone (hipercubice) cu patru dimensiuni.

Salvador Dali (1904-1989) a descris crucificarea de multe ori, iar în multe dintre picturile sale apar cruci. Tabloul „Răstignirea” (1954) folosește o scanare cu hipercub.

Spațiu-timp și spațiu euclidian cu patru dimensiuni

Sper că ați putut să vă imaginați hipercubul. Dar ați reușit să vă apropiați de înțelegerea modului în care funcționează spațiul-timp cu patru dimensiuni în care trăim? Din păcate, nu chiar.

Aici am vorbit despre spațiul euclidian cu patru dimensiuni, dar spațiu-timp are proprietăți complet diferite. În special, în timpul oricăror rotații, segmentele rămân întotdeauna înclinate față de axa timpului, fie la un unghi mai mic de 45 de grade, fie la un unghi mai mare de 45 de grade.

Am dedicat o serie de note proprietăților spațiu-timpului.

Tridimensionalitatea imaginii

Lumea este tridimensională. Imaginea sa este bidimensională. O sarcină importantă a picturii și, acum, a fotografiei este de a transmite tridimensionalitatea spațiului. Romanii stăpâneau deja unele tehnici, apoi au fost uitați și au început să revină la pictura clasică odată cu Renașterea.

Principala tehnică de creare a spațiului tridimensional în pictură este perspectiva. Șinele de cale ferată, îndepărtându-se de privitor, se îngustează vizual. În pictură, șinele pot fi îngustate fizic. În fotografie, perspectiva apare automat: camera foto va fotografia șinele la fel de îngustate pe cât le vede ochiul. Totuși, nu-i permite să se închidă aproape: nu va mai arăta ca o perspectivă, ci o figură ciudată; Trebuie să existe un decalaj vizibil între șine, părțile laterale ale străzii și malurile râului.

Este important să înțelegem că perspectiva liniară este cel mai primitiv și mai realist mod de a transmite lumea.

Post navigare

Nu este o coincidență faptul că apariția sa este asociată cu decorul de teatru (Florensky, „Perspectivă inversă”). Convenționalitatea și simplitatea transmiterii unei scene de teatru de mică adâncime este foarte potrivită pentru fotografie, căreia îi lipsește varietatea tehnicilor disponibile în pictură.

Există perspective mult mai interesante decât cea liniară. În lucrările maeștrilor chinezi există o perspectivă plutitoare, când obiectele sunt înfățișate simultan de jos, deasupra și în față. Nu a fost o greșeală tehnică a artiștilor incompetenți: legendarul autor al acestei tehnici, Guo Xi, a scris că o astfel de afișare permite să realizezi lumea în totalitatea ei. Tehnica picturii icoanelor rusești este similară, în care privitorul poate vedea fața și spatele personajului în același timp. O tehnică interesantă a picturii icoanelor, întâlnită și în rândul artiștilor vest-europeni, a fost perspectiva inversă, în care obiectele îndepărtate, dimpotrivă, sunt mai mari decât cele apropiate, subliniind importanța. Abia în zilele noastre s-a stabilit că o astfel de perspectivă este corectă: spre deosebire de obiectele îndepărtate, prim-planul este de fapt perceput în perspectivă inversă (Rauschenbach). Folosind Photoshop, puteți obține perspectiva inversă prin mărirea obiectelor de fundal. Pentru un spectator obișnuit cu legile fotografiei, o astfel de imagine va părea ciudat.

Introducerea colțului unei clădiri în cadru, de la care pereții diverg în ambele direcții, creează o aparență de perspectivă izometrică. Creierul înțelege că pereții sunt în unghi drept și aranjează restul imaginii în consecință. Această perspectivă este mai dinamică decât cea frontală și mai naturală pentru prim-plan. Pur și simplu introduceți unghiurile de capăt ale obiectelor și clădirilor din apropiere în cadru.

Datorită extinderii, perspectiva izometrică este majoră, ceea ce rareori este potrivit pentru un portret clasic. Perspectiva liniară, datorită îngustării, transmite mai bine emoții minore.

În etapa de fotografiere, fotograful are la dispoziție o serie de instrumente pentru a sublinia perspectiva. Obiectele de lățime egală care se extind în depărtare (căile, străzi, coloane, brazde) prin îngustarea lor și chiar pur și simplu îndepărtarea indică privitorului tridimensionalitatea spațiului. Efectul este mai puternic dacă fotografiați dintr-un unghi mic pentru a crește distorsiunea perspectivei. Acest lucru este suficient pentru fotografia de peisaj, dar cu o adâncime mică a imaginii pentru fotografia de interior, efectul este greu de observat. Poate fi îmbunătățit puțin în post-procesare prin îngustarea vârfului imaginii (Transform Perspective). Cu toate acestea, chiar și într-un peisaj, o perspectivă exagerată poate părea interesantă.

Adâncimea poate fi evidentă în sensul imaginii: clădirile sunt separate de o stradă sau un râu. Diagonala accentuează tridimensionalitatea; de exemplu, un pod peste un râu.

Obiectele de o dimensiune cunoscută privitorului din fundal stabilesc scara și, în consecință, formează perspectiva. În fotografia de peisaj, acest obiect ar putea fi o mașină, dar în fotografia de portret, încercați să vă îndoiți piciorul (departe de cameră) sub scaun, astfel încât să pară mai mic, rămânând vizibil. Puteți chiar să faceți acest picior puțin mai mic în post-procesare.

Ornamentul transmite perspectivă prin reducerea vizuală a elementelor. Un exemplu ar fi plăcile mari pe podea, care marchează linii pe drum.

Există o tehnică numită prim plan hipertrofiat. Disproporționat de mare, creează profunzime în imagine. Comparând scara primului plan și a modelului, ochiul ajunge la concluzia că modelul este mult mai departe decât pare. Exagerarea ar trebui să rămână subtilă, astfel încât imaginea să nu fie percepută ca o eroare. Această tehnică funcționează nu numai pentru post-procesare, ci și pentru fotografiere: distorsionați proporțiile fotografiend cu un obiectiv de 35 sau 50 mm. Fotografierea cu un obiectiv cu unghi larg întinde spațiul, sporindu-i tridimensionalitatea prin ruperea proporțiilor. Efectul este mai puternic dacă fotografiați modelul de la mică distanță, dar aveți grijă la proporțiile grotești: doar autorii de imagini religioase pot înfățișa o persoană mai mare decât o clădire.

Intersecția funcționează excelent. Dacă mărul acoperă parțial para, atunci creierul nu se va înșela: mărul este în fața perei. Modelul acoperă parțial mobilierul, creând astfel adâncime în interior.

Alternanța petelor luminoase și întunecate dă, de asemenea, profunzime imaginii. Creierul știe din experiență că obiectele din apropiere sunt aprinse aproximativ în mod egal, așa că interpretează obiectele iluminate diferit ca fiind situate la distanțe diferite. Pentru acest efect, petele alternează în direcția axei perspectivei - adânc în imagine, și nu peste ea. De exemplu, atunci când fotografiați un model întins departe de cameră într-un cadru întunecat, plasați lumini în apropierea feselor și lângă picioare. Puteți lumina/închide zonele în post-procesare.

Secvența obiectelor din ce în ce mai întunecate este percepută ca scade. Umbrind treptat obiectele de-a lungul liniei active, puteți obține un sentiment subtil de perspectivă. La fel, profunzimea este transmisă prin slăbirea luminii: aruncați o fâșie de lumină peste mobilier sau pe podea.

O imagine tridimensională poate fi obținută nu numai datorită luminii, ci și a contrastului de culoare. Această tehnică era cunoscută de pictorii flamanzi, care puneau pete colorate strălucitoare pe naturile lor moarte. O rodie roșie și o lămâie galbenă una lângă alta vor arăta tridimensional chiar și la iluminare frontală plată. Vor ieși în evidență deosebit de bine pe fundalul strugurilor violet: o culoare caldă pe un fundal rece. Suprafețele colorate strălucitoare ies bine din întuneric chiar și cu lumină slabă, tipică naturii moarte. Contrastul culorilor funcționează mai bine cu culorile primare: roșu, galben, albastru, mai degrabă decât nuanțe.

Pe un fundal negru, galbenul vine înainte, albastrul se ascunde înapoi. Pe un fundal alb este invers. Saturația culorii sporește acest efect. De ce se întâmplă asta? Culoarea galbenă nu este niciodată închisă, așa că creierul refuză să creadă că un obiect galben poate fi scufundat într-un fundal întunecat, neluminat. Albastrul, dimpotrivă, este întunecat.

Îmbunătățirea perspectivei în post-procesare se reduce la simularea percepției atmosferice: obiectele îndepărtate par mai ușoare, mai neclare, cu contrast redus în luminozitate, saturație și ton.

Pe lângă distanțe lungi, efectele atmosferice par naturale în ceața dimineții, ceața sau un bar cu fum. Luați în considerare vremea: într-o zi înnorată sau la amurg, este posibil să nu existe o diferență semnificativă între prim-plan și fundal.

Cel mai puternic factor este contrastul de luminozitate. În setări, acesta este contrastul obișnuit. Reduceți contrastul obiectelor îndepărtate, creșteți contrastul primului plan - iar imaginea va deveni convexă. Nu vorbim despre contrastul dintre prim-plan și fundal, ci despre contrastul fundalului, care ar trebui să fie mai mic decât contrastul primului plan. Această metodă este potrivită nu numai pentru peisaje și fotografie de gen, ci și pentru portretele de studio: creșteți contrastul față de față a feței, reduceți contrastul pe păr, pomeți și haine. Filtrele pentru portrete fac ceva similar, estompează pielea modelului și lăsând ochii și buzele aspre.

Reglarea contrastului este cel mai simplu mod de a face postprocesarea imaginilor 3D. Spre deosebire de alte procese, privitorul cu greu va observa modificări, ceea ce va permite menținerea naturaleței maxime.

Încețoșarea este similară cu reducerea contrastului, dar sunt procese diferite. Imaginea poate avea un contrast scăzut, rămânând în același timp clară. Datorită adâncimii limitate de câmp, estomparea obiectelor îndepărtate rămâne cea mai populară modalitate de a transmite tridimensionalitatea în fotografie și poate fi îmbunătățită cu ușurință prin estomparea subiectelor îndepărtate în post-producție. Prin urmare, mai puține detalii ar trebui plasate în fundal - creierul nu se așteaptă la obiecte distinse în depărtare. Între timp, reducerea contrastului corespunde mai bine percepției naturale: munții îndepărtați sunt vizibili în contrast redus și nu încețoșați, deoarece la scanarea peisajului, ochiul este în mod constant reorientat, iar problema profunzimii câmpului îi este străină. Prin estomparea fundalului, puteți, în același timp, să clarificați primul plan. În plus, în prim-plan puteți îmbunătăți liniile imaginii (filtru de trecere înaltă sau claritate). Claritatea ridicată a primului plan explică denivelarea caracteristică a imaginii lentilelor de înaltă calitate. Atenție: de dragul unei ușoare creșteri a tridimensionalității, puteți face imaginea prea rigidă.

Obiectele mai ușoare apar mai departe. Acest lucru se datorează faptului că în natură vedem obiecte îndepărtate prin grosimea aerului care împrăștie lumina; munții îndepărtați par lumini. Prin urmare, în fotografia de peisaj, ar trebui să fiți atenți la plasarea obiectelor luminoase în prim plan.

Luminează obiectele îndepărtate. Cu cât sunt mai departe, cu atât se îmbină mai mult cu strălucirea și tonul cerului. Vă rugăm să rețineți că obiectele orizontale (pământ, mare) sunt mai bine iluminate decât cele verticale (pereți, copaci), așa că nu exagerați cu luminarea acestora din urmă. În orice caz, obiectele ar trebui să rămână vizibil mai ușoare decât cerul.

Ei bine, dacă observați că eschivarea este o altă modalitate de a reduce contrastul în luminozitatea fundalului. Închideți ușor primul plan pentru a îmbunătăți efectul de denivelare.

S-ar părea că în interior totul este invers. Dacă pe stradă ochiul este obișnuit cu faptul că distanța este strălucitoare, atunci în cameră lumina este adesea concentrată asupra persoanei, iar interiorul este scufundat în întuneric; creierul este obișnuit cu iluminarea din prim-plan, nu cu iluminarea de fundal.

În imaginile interioare cu adâncime mică a scenei, spre deosebire de imaginile de peisaj, modelul iluminat iese dintr-un fundal întunecat. Există însă și un factor opus: timp de 99% din evoluția sa, omul a observat perspectiva în zone deschise, iar odată cu apariția camerelor, creierul nu avusese încă timp să se restructureze. Vermeer a preferat un fundal deschis pentru portretele sale, iar portretele sale sunt cu adevărat proeminente. Iluminarea unui fundal vertical, recomandată în fotografie, nu numai că separă modelul de acesta, dar și, prin luminarea fundalului, conferă imaginii o ușoară tridimensionalitate. Aici ne confruntăm cu faptul că creierul analizează locația obiectelor în funcție de mai mulți factori, iar aceștia pot fi conflictuali.

Iluminarea studioului pare interesantă, în care punctele de lumină se află pe zone ale modelului aflate la distanță de cameră. De exemplu, sânul care este cel mai îndepărtat de cameră este evidențiat.

Reduceți saturația culorii pe obiectele îndepărtate: datorită grosimii aerului care ne separă, munții îndepărtați sunt desaturați aproape până la nivelul monocromului și acoperiți cu o ceață albastră. Saturația primului plan poate fi crescută.

Deoarece galbenul este deschis, iar albastrul și roșu sunt închise, contrastul de culoare este, de asemenea, un contrast în luminozitate.

Când desaturați fundalul îndepărtat, nu-l lăsați să dispară din vedere. Adesea, dimpotrivă, trebuie să creșteți saturația fundalului pentru a-l dezvălui. Acest lucru este mai important decât tridimensionalitatea.

Multe sfaturi de fotografie 3D se concentrează pe contrastul temperaturii. De fapt, acest efect este foarte slab și este ușor întrerupt de contrastul de luminozitate. În plus, contrastul de temperatură este enervant și vizibil.

Obiectele foarte îndepărtate par mai reci la culoare deoarece aerul absoarbe lumină portocalie caldă. Când fotografiați un model pe plajă cu nave la orizont în fundal, reduceți temperatura de culoare a mării îndepărtate și a navelor în post-procesare. Un model în costum de baie roșu iese din marea albastră, iar un model în lumina galbenă a unui felinar iese din amurgul albăstrui.

Aceasta este esența tonificării separate: facem modelul mai cald, fundalul mai rece. Creierul înțelege că nu există temperaturi de culoare diferite în același plan și percepe o astfel de imagine tridimensională, în care modelul iese din fundal. Tonurile divizate adaugă profunzime peisajelor: faceți primul plan mai cald, fundalul mai rece.

O excepție importantă de la tonifierea separată: la răsărit și la apus, fundalul îndepărtat nu este deloc rece, ci cald, cu tonuri de galben și roșu-portocaliu. Soluția evidentă - folosirea unui model alb într-un costum de baie mov - nu funcționează pentru că lumina apusului aruncă o tentă caldă și asupra corpului modelului.

Să rezumam: pentru a da o fotografie tridimensională bazată pe efectele atmosferice, este necesar să contrastăm primul plan și fundalul. Contrastul principal se bazează pe contrastul obișnuit: prim-planul are un contrast ridicat, fundalul are un contrast scăzut. Al doilea contrast este în ceea ce privește claritatea: primul plan este clar, fundalul este neclar. Al treilea contrast este în ceea ce privește luminozitatea: primul plan este întunecat, fundalul este deschis. Al patrulea contrast este în ceea ce privește saturația: culorile din prim plan sunt saturate, culorile de fundal sunt desaturate. Al cincilea contrast este de temperatură: primul plan este cald, fundalul este rece.

Factorii enumerați sunt adesea multidirecționali. Galbenul este mai strălucitor decât albastrul, iar obiectele luminoase apar mai departe de cele întunecate. Ar fi firesc să ne așteptăm ca galbenul să se retragă și albastrul să se apropie de privitor. De fapt, este invers: dintr-un fundal rece iese o culoare caldă. Adică, culoarea se dovedește a fi un factor mai puternic decât luminozitatea. Ceea ce, la reflecție, nu este surprinzător: galbenul și roșul se disting clar doar de aproape, iar privitorul nu se așteaptă să le întâlnească la mare distanță.

Concluzie: păstrați fondul de contrast scăzut, spălat, ușor, desaturat, albăstrui. Și fiți pregătiți pentru faptul că privitorul, obișnuit cu 3D-ul exagerat al filmelor, va găsi că tridimensionalitatea pe care ați creat-o abia este vizibilă sau absentă.

În fotografia de portret, este mai bine să vă bazați pe efectul de clarobscur dovedit - jocul de lumini și umbre pe fața modelului, care va face imaginea destul de convexă. În fotografia de gen, perspectiva oferă cel mai vizibil efect tridimensional. Într-o natură moartă, principalul factor va fi intersecția (suprapunerea) obiectelor.

Nu te lăsa dus de perspectiva; este doar un fundal pentru planul frontal pe care fluturează imaginea ta. În pictura modernă, care este departe de realism, perspectiva nu este ținută la mare stimă.

Descărcați întreaga carte: pdfepubazw3mobifb2litConținut

Elemente și vreme

Stiinta si Tehnologie

Fenomene neobișnuite

Monitorizarea naturii

Secțiuni de autor

Descoperirea poveștii

Lumea extremă

Referință de informații

Arhiva fisierelor

Discuții

Servicii

Infofront

Informații de la NF OKO

Export RSS

Link-uri utile

Subiecte importante

În 1904, Henri Poincaré a propus că orice obiect tridimensional care are anumite proprietăți ale unei 3-sfere poate fi transformat într-o 3-sfere. A fost nevoie de 99 de ani pentru a demonstra această ipoteză. (Avertisment: O sferă tridimensională nu este ceea ce credeți că este.) Matematicianul rus Grigory Perelman a dovedit conjectura veche de o sută de ani a lui Poincaré și a completat un catalog de forme din spații tridimensionale.

Poincaré a sugerat că 3-sfera este unică și nicio altă 3-varietate compactă (varietățile necompacte sunt infinite sau au muchii. Mai jos sunt luate în considerare numai varietățile compacte) nu are proprietățile care o fac atât de simplă. Mai multe 3-variete mai complexe au limite care se ridică ca un zid de cărămidă sau conexiuni multiple între anumite zone, ca o potecă forestieră care se ramifică și apoi se unește din nou. Orice obiect tridimensional cu proprietățile unei 3 sfere poate fi transformat în el însuși, așa că pentru topologi pare a fi pur și simplu o copie a acestuia. Dovada lui Perelman ne permite, de asemenea, să răspundem la a treia întrebare și să clasificăm toate cele 3-variete existente.
Veți avea nevoie de o cantitate suficientă de imaginație pentru a vă imagina o 3-sfere. Din fericire, are multe în comun cu 2-sfere, un exemplu tipic al căruia este cauciucul unui balon rotund: este bidimensional, deoarece orice punct de pe acesta este definit de doar două coordonate - latitudine și longitudine. Dacă examinați o zonă destul de mică a acesteia sub o lupă puternică, va părea o bucată dintr-o foaie plată. Pentru o insectă mică care se târăște pe un balon, aceasta va părea a fi o suprafață plană. Dar dacă mucul se mișcă în linie dreaptă suficient de lungă, în cele din urmă se va întoarce la punctul său de plecare. În același mod, am percepe o 3 sfere de dimensiunea Universului nostru ca spațiu tridimensional „obișnuit”. După ce am zburat suficient de departe în orice direcție, în cele din urmă l-am fi „circumnavigat” și am fi ajuns înapoi la punctul nostru de plecare.
După cum probabil ați ghicit, o sferă n-dimensională se numește n-sferă. De exemplu, 1-sfera este familiară tuturor: este doar un cerc.

Matematicienii care demonstrează teoreme despre spațiile de dimensiuni superioare nu trebuie să-și imagineze obiectul de studiu: ei se ocupă de proprietăți abstracte, ghidați de intuiții bazate pe analogii cu mai puține dimensiuni (asemenea analogii trebuie tratate cu prudență și nu luate literal). Vom lua în considerare și 3-sfera, pe baza proprietăților obiectelor cu dimensiuni mai puține.
1. Să începem prin a privi un cerc și cercul care îl înconjoară. Pentru matematicieni, un cerc este o minge bidimensională, iar un cerc este o sferă unidimensională. Mai mult, o minge de orice dimensiune este un obiect umplut, asemănător cu un pepene verde, iar o sferă este suprafața sa, mai mult ca un balon. Un cerc este unidimensional deoarece poziția unui punct pe el poate fi specificată printr-un singur număr.

2. Din două cercuri putem construi o sferă bidimensională, transformând unul dintre ele în emisfera nordică și celălalt în emisfera sudică. Tot ce rămâne este să le lipiți împreună, iar cele 2 sfere sunt gata.

3. Imaginează-ți o furnică târându-se de la Polul Nord de-a lungul unui cerc mare format din meridianele prim și 180 (în stânga). Dacă îi cartografiam traseul pe cele două cercuri inițiale (în dreapta), vedem că insecta se deplasează în linie dreaptă (1) până la marginea cercului nordic (a), apoi traversează granița, lovește punctul corespunzător de pe cercul sudic și continuă să urmeze linia dreaptă (2 și 3). Apoi furnica ajunge din nou la marginea (b), o traversează și se găsește din nou pe cercul nordic, repezindu-se spre punctul de plecare - Polul Nord (4). Rețineți că atunci când călătoriți în jurul lumii pe o 2-sfere, direcția de mișcare este inversată când treceți dintr-un cerc în altul.

4. Acum luați în considerare sfera noastră 2 și volumul conținut în ea (o bilă tridimensională) și faceți același lucru cu ele ca și cu un cerc și un cerc: luați două copii ale mingii și lipiți-le limitele împreună. Este imposibil și nu este necesar să se arate clar cum bilele sunt distorsionate în patru dimensiuni și se transformă într-un analog al emisferelor. Este suficient să știți că punctele corespunzătoare de pe suprafețe, adică. 2-sfere sunt conectate între ele în același mod ca și în cazul cercurilor. Rezultatul conectării a două bile este o sferă de 3 - suprafața unei bile cu patru dimensiuni. (În patru dimensiuni, unde există o sferă cu 3 sfere și o bilă cu 4 bile, suprafața unui obiect este tridimensională.) Să numim una dintre bile emisfera nordică și cealaltă emisfera sudică. Prin analogie cu cercurile, polii sunt acum localizați în centrele bilelor.

5. Imaginați-vă că bilele în cauză sunt zone mari goale de spațiu. Să presupunem că un astronaut pleacă de la Polul Nord cu o rachetă. În timp, ajunge la ecuator (1), care este acum o sferă care înconjoară bila nordică. Traversându-l, racheta intră în emisfera sudică și se deplasează în linie dreaptă prin centrul său - Polul Sud - spre partea opusă a ecuatorului (2 și 3). Acolo are loc din nou tranziția către emisfera nordică, iar călătorul se întoarce la Polul Nord, adică. până la punctul de plecare (4). Acesta este scenariul pentru a călători în jurul lumii pe suprafața unei mingi cu 4 dimensiuni! Sfera tridimensională luată în considerare este spațiul la care se face referire în conjectura Poincaré. Poate că Universul nostru este tocmai o 3 sfere.

Raționamentul poate fi extins la cinci dimensiuni și poate construi o 4-sfere, dar acest lucru este extrem de greu de imaginat. Dacă lipiți două n-bile de-a lungul sferelor (n-1) care le înconjoară, obțineți o n-sferă care delimitează bila (n+1).

A trecut o jumătate de secol până când problema conjecturii Poincaré a declanșat. În anii 60 secolul XX matematicienii au dovedit afirmații similare pentru sfere de cinci sau mai multe dimensiuni. În fiecare caz, n-sfera este într-adevăr singura și cea mai simplă n-varietate. Destul de ciudat, s-a dovedit a fi mai ușor de obținut rezultate pentru sferele multidimensionale decât pentru 3 și 4 sfere. Dovada pentru patru dimensiuni a apărut în 1982. Și doar conjectura originală a lui Poincaré despre cele 3 sfere a rămas neconfirmată.
Pasul decisiv a fost făcut în noiembrie 2002, când Grigory Perelman, un matematician de la filiala din Sankt Petersburg a Institutului de Matematică. Steklov, a trimis articolul pe site-ul www.arxiv.org, unde fizicienii și matematicienii din întreaga lume discută rezultatele activităților lor științifice. Topologii au înțeles imediat legătura dintre munca omului de știință rus și conjectura Poincaré, deși autorul nu a menționat-o în mod direct.

De fapt, dovada lui Perelman, a cărei corectitudine nimeni nu a putut încă să pună la îndoială, rezolvă o gamă mult mai largă de probleme decât conjectura Poincaré însăși. Procedura de geometrizare propusă de William P. Thurston de la Universitatea Cornell permite o clasificare completă a 3-varietăților bazată pe 3-sfere, unică prin simplitatea sa sublimă. Dacă conjectura Poincaré ar fi falsă, i.e. Dacă ar exista multe spații la fel de simple ca o sferă, atunci clasificarea 3-varietăților s-ar transforma în ceva infinit mai complex. Datorită lui Perelman și Thurston, avem un catalog complet al tuturor formelor matematice posibile ale spațiului tridimensional pe care le-ar putea lua Universul nostru (dacă luăm în considerare doar spațiul fără timp).

Pentru a înțelege mai bine conjectura Poincaré și demonstrația lui Perelman, ar trebui să aruncați o privire mai atentă asupra topologiei. În această ramură a matematicii, forma unui obiect nu contează, de parcă ar fi făcut din aluat care poate fi întins, comprimat și îndoit în orice fel. De ce ar trebui să ne gândim la lucruri sau spații făcute din aluat imaginar? Faptul este că forma exactă a unui obiect - distanța dintre toate punctele sale - se referă la un nivel structural numit geometrie. Examinând un obiect dintr-un aluat, topologii identifică proprietățile fundamentale ale acestuia care nu depind de structura geometrică. Studierea topologiei este similară cu căutarea celor mai comune trăsături pe care le au oamenii, uitându-se la un „om din plastic” care poate fi transformat în orice individ specific.
În literatura populară, există deseori o afirmație urâtă că, din punct de vedere topologic, o ceașcă nu este diferită de o gogoașă. Faptul este că o cană de aluat poate fi transformată într-o gogoașă prin simpla zdrobire a materialului, adică. fără a orbi nimic sau a face găuri. Pe de altă parte, pentru a face o gogoașă dintr-o minge, trebuie neapărat să faci o gaură în ea sau să o rulezi într-un cilindru și să modelezi capetele, așa că o minge nu este deloc o gogoașă.
Topologii sunt cei mai interesați de suprafețele sferei și gogoșilor. Prin urmare, în loc de corpuri solide, ar trebui să vă imaginați baloane. Topologia lor este încă diferită, deoarece un balon sferic nu poate fi transformat într-unul în formă de inel, care se numește torus. În primul rând, oamenii de știință au decis să descopere câte obiecte cu topologii diferite există și cum pot fi caracterizate. Pentru 2-variete, pe care obișnuiam să le numim suprafețe, răspunsul este elegant și simplu: totul este determinat de numărul de „găuri” sau, ceea ce este la fel, de numărul de mânere. Până la sfârșitul secolului al XIX-lea. Matematicienii și-au dat seama cum să clasifice suprafețele și au stabilit că cea mai simplă dintre ele era sfera. Desigur, topologii au început să se gândească la 3-variete: este 3-sfera unică în simplitatea ei? Istoria de un secol a căutării unui răspuns este plină de pași greșiți și dovezi eronate.
Henri Poincaré a abordat îndeaproape această problemă. A fost unul dintre cei mai puternici doi matematicieni de la începutul secolului al XX-lea. (celălalt era David Gilbert). A fost numit ultimul universalist - a lucrat cu succes în toate domeniile matematicii pure și aplicate. În plus, Poincaré a adus contribuții enorme la dezvoltarea mecanicii cerești, la teoria electromagnetismului, precum și la filosofia științei, despre care a scris mai multe cărți populare.
Poincaré a devenit fondatorul topologiei algebrice și, folosind metodele acesteia, în 1900 a formulat o caracteristică topologică a unui obiect, numită homotopie. Pentru a determina homotopia unei varietăți, trebuie să scufundați mental o buclă închisă în ea. Apoi ar trebui să aflați dacă este întotdeauna posibil să contractați bucla până la un punct prin mișcarea acesteia în interiorul colectorului. Pentru un tor, răspunsul va fi negativ: dacă plasați o buclă în jurul circumferinței torului, nu o veți putea strânge până la un punct, deoarece „gaura” gogoșii va sta în cale. Homotopia este numărul de căi diferite care pot împiedica contractarea unei bucle.

Pe sfera n, orice buclă, chiar și una complicat răsucită, poate fi întotdeauna desfăcută și trasă împreună până la un punct. (Bucla este lăsată să treacă prin ea însăși.) Poincaré a presupus că 3-sfera este singura 3-varietate pe care orice buclă poate fi contractată la un punct. Din păcate, nu a fost niciodată capabil să-și demonstreze conjectura, care mai târziu a devenit cunoscută sub numele de conjectura Poincaré.

Analiza lui Perelman a 3-varietăților este strâns legată de procedura de geometrizare. Geometria se ocupă de forma reală a obiectelor și a varietăților, nu mai sunt făcute din aluat, ci din ceramică. De exemplu, o ceașcă și o gogoașă sunt diferite din punct de vedere geometric, deoarece suprafețele lor sunt curbate diferit. Se spune că o ceașcă și o gogoașă sunt două exemple de tor topologic căruia îi sunt date diferite forme geometrice.
Pentru a înțelege de ce Perelman a folosit geometrizarea, luați în considerare clasificarea 2-varietăților. Fiecărei suprafețe topologice i se atribuie o geometrie unică a cărei curbură este distribuită uniform în întreaga varietate. De exemplu, pentru o sferă, aceasta este o suprafață perfect sferică. O altă geometrie posibilă pentru o sferă topologică este un ou, dar curbura sa nu este distribuită uniform peste tot: capătul ascuțit este mai curbat decât capătul contondent.
2-varietățile formează trei tipuri geometrice. Sfera se caracterizează prin curbură pozitivă. Un tor geometrizat este plat și are curbură zero. Toate celelalte 2-variete cu două sau mai multe „găuri” au curbură negativă. Ele corespund unei suprafețe asemănătoare unei șau, care se curbează în sus în față și în spate și în jos în stânga și în dreapta. Poincaré a dezvoltat această clasificare geometrică (geometrizare) a 2-varietăților împreună cu Paul Koebe și Felix Klein, după care poartă numele sticlei Klein.

Există o dorință naturală de a aplica o metodă similară la 3-variete. Este posibil să găsim pentru fiecare dintre ele o configurație unică în care curbura să fie distribuită uniform pe întreaga varietate?
S-a dovedit că 3-varietățile sunt mult mai complexe decât omologii lor bidimensionali și celor mai multe dintre ele nu li se poate atribui o geometrie omogenă. Ele ar trebui să fie împărțite în părți care corespund uneia dintre cele opt geometrii canonice. Această procedură amintește de descompunerea unui număr în factori primi.

Cum poate fi geometrizată o varietate și să i se dea o curbură uniformă peste tot? Trebuie să luați o geometrie arbitrară cu diferite proeminențe și adâncituri, apoi neteziți toate neregulile. La începutul anilor 90. secolul XX Hamilton a început să analizeze 3-varietăți folosind ecuația de curgere Ricci, numită după matematicianul Gregorio Ricci-Curbastro. Este oarecum similară cu ecuația de conducere a căldurii, care descrie fluxurile de căldură care curg într-un corp încălzit neuniform până când temperatura acestuia devine aceeași peste tot. În același mod, ecuația de curgere Ricci specifică o modificare a curburii colectorului care duce la alinierea tuturor proeminențelor și adânciturilor. De exemplu, dacă începeți cu un ou, acesta va deveni treptat sferic.

Perelman a adăugat un nou termen la ecuația de curgere a lui Ricci. Această modificare nu a eliminat problema particularității, dar a permis o analiză mult mai aprofundată. Omul de știință rus a arătat că o operație „chirurgicală” poate fi efectuată pe un colector în formă de gantere: tăiați un tub subțire de ambele părți ale constricției emergente și etanșați tuburile deschise care ies din bile cu capace sferice. Apoi ar trebui să continuați să schimbați colectorul „operat” în conformitate cu ecuația de curgere Ricci și să aplicați procedura de mai sus la toate constrângerile emergente. Perelman a mai arătat că trăsăturile în formă de trabuc nu pot apărea. Astfel, orice 3-varietă poate fi redusă la un set de piese cu geometrie omogenă.
Când fluxul Ricci și „chirurgia” sunt aplicate la toate 3-varietățile posibile, oricare dintre ele, dacă este la fel de simplă ca o 3-sferă (adică caracterizată de aceeași homotopie), este în mod necesar redusă la aceeași geometrie omogenă ca și și 3-sfere. Aceasta înseamnă, din punct de vedere topologic, varietatea în cauză este o 3-sfere. Astfel, 3-sfera este unică.

Valoarea articolelor lui Perelman constă nu numai în demonstrarea conjecturii Poincaré, ci și în noi metode de analiză. Oamenii de știință din întreaga lume folosesc deja rezultatele obținute de matematicianul rus în munca lor și aplică metodele pe care le-a dezvoltat în alte domenii. S-a dovedit că fluxul Ricci este asociat cu așa-numitul grup de renormalizare, care determină modul în care puterea interacțiunilor se modifică în funcție de energia de coliziune a particulelor. De exemplu, la energii joase puterea interacțiunii electromagnetice este caracterizată de numărul 0,0073 (aproximativ 1/137). Cu toate acestea, atunci când doi electroni se ciocnesc frontal la aproape viteza luminii, forța se apropie de 0,0078. Matematica care descrie schimbarea forțelor fizice este foarte asemănătoare cu matematica care descrie geometrizarea varietăților.
Creșterea energiei de coliziune este echivalentă cu studierea forței la distanțe mai mici. Prin urmare, grupul de renormalizare este similar cu un microscop cu un factor de mărire variabil, ceea ce vă permite să studiați procesul la diferite niveluri de detaliu. În mod similar, Ricci flow este un microscop pentru vizualizarea multiplelor. Proeminențele și depresiunile vizibile la o mărire dispar la alta. Este probabil ca pe scara lungimii Planck (aproximativ 10 -35 m), spațiul în care trăim să arate ca o spumă cu o structură topologică complexă. În plus, ecuațiile relativității generale, care descriu caracteristicile gravitației și structura pe scară largă a Universului, sunt strâns legate de ecuația fluxului Ricci. În mod paradoxal, termenul Perelman adăugat la expresia folosită de Hamilton își are originea în teoria corzilor, care se pretinde a fi o teorie cuantică a gravitației. Este posibil ca în articolele matematicianului rus, oamenii de știință să găsească informații mult mai utile nu numai despre 3-varietăți abstracte, ci și despre spațiul în care trăim.

Cu ceva timp în urmă, pe site-ul web de preprint arXiv.org au apărut două lucrări, dedicate problemei celei mai dense împachetări a bilelor în spațiile de dimensiunile 8 și 24. Până acum, rezultate similare erau cunoscute doar pentru dimensiunile 1, 2 și 3 (și nu totul este atât de simplu aici, dar mai multe despre asta mai jos). Descoperirea - și vorbim despre o adevărată descoperire revoluționară - a devenit posibilă datorită lucrării Marinei Vyazovskaya, un matematician de origine ucraineană, care acum lucrează în Germania. Povestea acestei realizări o vom spune în zece nuvele.

1.

În secolul al XVI-lea, faimosul figur de curte și poet Sir Walter Raleigh a trăit în Anglia. Era faimos, în primul rând, pentru faptul că și-a aruncat odată mantia scumpă într-o băltoacă în fața reginei pentru ca Majestatea Sa să nu-și murdărească picioarele. Dar nu de aceea este interesant pentru noi.

Sir Walter Raleigh avea o pasiune - îi plăcea foarte mult să jefuiască nave spaniole și să caute El Dorado. Și apoi într-o zi, Raleigh a văzut o grămadă de ghiule stivuite pe navă. Și m-am gândit (așa s-a întâmplat cu curtenii britanici), spun ei, ar fi bine dacă ar fi posibil să aflăm câte miezuri sunt în grămada fără a le număra. Beneficiul unor astfel de cunoștințe, mai ales dacă vă place să jefuiți flota spaniolă, este evident.

Walter Raleigh

Raleigh însuși nu era foarte bun la matematică, așa că i-a atribuit această problemă asistentului său Thomas Herriot. El, la rândul său, era puternic în matematică (Harriott, apropo, este inventatorul semnelor „>” și ​​„<» для сравнения численных величин), поэтому довольно быстро решил эту задачу. Но Хэрриот был хорошим математиком, поэтому он задался вопросом: а как лучше всего укладывать ядра? Сам он немного подумал, но решить задачу не смог.

Pentru comentarii, a apelat la celebrul matematician al vremii sale, Johannes Kepler - la acea vreme un asistent al lui Tycho Brahe. Kepler nu a dat un răspuns, dar și-a amintit problema. În 1611, a publicat o mică broșură în care a discutat patru întrebări: de ce albinele au faguri hexagonali, de ce petalele de flori sunt cel mai adesea grupate în cinci ( Probabil că Kepler a vrut doar să spunăRosaceae - aprox. N+1), de ce boabele de granat au forma de dodecaedre (deși neregulate) și de ce, în sfârșit, fulgii de zăpadă au forma de hexagoane.

Johannes Kepler

Broșura a fost concepută ca un cadou, așa că a fost mai mult o lectură filozofică și distractivă decât o adevărată lucrare științifică. Kepler a asociat răspunsul la prima întrebare cu două condiții - nu ar trebui să existe goluri între celule, iar suma suprafețelor celulelor ar trebui să fie minimă. Autorul a conectat a doua întrebare cu numerele Fibonacci, iar conversația despre fulgi de nea l-a determinat pe Kepler să vorbească despre simetriile atomice.

A treia întrebare a dat naștere ipotezei că ambalare închisă hexagonală(este in poza de mai jos) este cel mai dens (ceea ce inseamna ca asta in sens matematic este si mai jos). Desigur, Kepler nu a considerat necesar să se refere la Harriot. Prin urmare, această afirmație se numește ipoteza Kepler. Legea lui Stigler - cunoscută și ca principiul lui Arnold - este în acțiune.

Da, la 7 ani de la publicarea acestei broșuri, lui Sir Walter Raleigh a fost tăiat capul. Totuși, acest lucru nu a avut nimic de-a face cu problema ambalării dense.

2.

După standardele moderne, problema pe care Harriot a rezolvat-o nu a fost dificilă. Prin urmare, să o analizăm mai detaliat. Și, în același timp, vom înțelege mai bine cum funcționează ambalarea hexagonală.

Deci, condiția principală este ca grămada de sâmburi să nu se întindă în timpul rulării. Așadar, așezăm sâmburii într-un rând pe punte. Așezăm sâmburii în rândul următor, astfel încât bilele să fie așezate în golurile dintre sferele primului rând. Dacă sunt n bile în primul rând, atunci sunt n - 1 în al doilea rând (pentru că există un spațiu mai puțin între bile decât bilele în sine). Următorul rând va avea un miez mai puțin. Și așa mai departe până când obținem un triunghi ca acesta (dacă te uiți la aspectul de sus):

Cei care își amintesc ce este o progresie aritmetică pot calcula cu ușurință că dacă au fost n bile în primul rând, atunci există n(n + 1)/2 bile în total într-un astfel de triunghi. Dacă te uiți de sus, există șanțuri convenabile între bile. Aici vom pune al doilea strat de bile. Rezultă un triunghi organizat ca primul, doar cu o minge mai puțin pe lateral. Aceasta înseamnă că am adăugat n(n - 1)/2 bile la grămadă.

Să continuăm să adăugăm straturi până obținem un strat dintr-o bilă. Avem o piramidă triunghiulară de nuclee. Pentru a afla câte nuclee sunt în total, trebuie să adunați numărul de nuclee din fiecare strat. Dacă primul strat avea latura n, atunci obținem n straturi, care în total vor da n(n + 1)(n + 2)/6. Cititorul curios va observa că acesta este exact coeficientul binom C 3 n + 2. Această coincidență combinatorie nu este lipsită de motiv, dar nu vom aprofunda în ea.

Apropo, pe lângă această sarcină, Herriot a reușit să determine aproximativ ce proporție ocupă boabele într-un recipient suficient de mare, dacă luăm forma acestuia din urmă ca un cub. S-a dovedit că fracția este π/(3√2) ≈ 0,74048.

3.

Ce înseamnă cuvântul cel mai densîn enunțul problemei? Raleigh, Harriot și Kepler însuși nu au dat un răspuns exact la aceasta. Însemna cel mai dens într-un sens rezonabil. Cu toate acestea, această formulare nu este potrivită pentru matematică. Trebuie clarificat.

Să coborâm mai întâi o dimensiune și să vedem cum funcționează totul în avion. Pentru cazul bidimensional, problema se transformă în aceasta: să i se dea planului un set infinit de cercuri care nu se intersectează în interior (dar eventual care se ating - adică având un punct comun pe graniță). Să desenăm un pătrat. Să calculăm suma ariilor bucăților de cerc care se încadrează în interiorul pătratului. Să luăm raportul dintre această sumă și aria pătratului și vom crește latura pătratului, uitându-ne la schimbarea raportului.

Obținem funcția fa), Unde A- latura unui pătrat. Dacă avem noroc, atunci această funcție cu creștere argumentul se va apropia asimptotic de un anumit număr. Acest număr se numește densitatea unui pachet dat. Este important ca funcția în sine să poată da la un moment dat o valoare mai mare decât densitatea. Într-adevăr, dacă pătratul este mic, atunci se potrivește în întregime într-un cerc și un anumit raport este egal cu 1. Dar ne interesează densitatea în medie, adică informal vorbind, „pentru un pătrat cu o latură suficient de mare. ”

Dintre toate astfel de densități, se poate găsi maximul. Acesta, precum și ambalajul care îl implementează, va fi numit cel mai dens.

„Cel mai apropiat ambalaj nu este neapărat singurul (în sensul asimptotic). Există un număr infinit de ambalaje dense în spațiul tridimensional, iar Kepler știa asta”, spune Oleg Musin de la Universitatea din Texas din Brownsville.

După ce am definit conceptul de cea mai apropiată împachetare, este ușor de înțeles că o astfel de definiție poate fi extinsă cu ușurință la un spațiu de dimensiune arbitrară n. Într-adevăr, să înlocuim cercurile cu bile de dimensiunea corespunzătoare, adică seturi de puncte, distanța de la un punct fix (numit centru) nu depășește o anumită valoare numită raza bilei. Să le aranjam din nou astfel încât oricare două, în cel mai bun caz, să atingă și, în cel mai rău caz, să nu aibă deloc puncte comune. Să definim aceeași funcție ca în cazul precedent, luând volumul unui cub n-dimensional și suma volumelor bilelor n-dimensionale corespunzătoare.

4.

Deci, înțelegem că ipoteza lui Kepler este o problemă cu privire la cea mai densă împachetare de bile tridimensionale în spațiul tridimensional. Dar avionul (de când am început cu el)? Sau chiar dintr-o linie dreaptă? Cu o linie dreaptă, totul este simplu: o minge pe o linie dreaptă este un segment. O linie dreaptă poate fi acoperită complet cu segmente identice care se intersectează la capete. Cu o astfel de acoperire, funcția fa) este constantă și egală cu 1.

În avion totul s-a dovedit a fi ceva mai complicat. Deci, să începem cu un set de puncte din avion. Spunem că această mulțime de puncte formează o rețea dacă putem găsi o pereche de vectori v și w astfel încât toate punctele să fie obținute ca N*v + M*w, unde N și M sunt numere întregi. Într-un mod similar, o rețea poate fi definită într-un spațiu de dimensiuni arbitrar de mari - necesită doar mai mulți vectori.

Rețelele sunt importante din multe motive (de exemplu, site-urile rețelelor sunt locul în care atomii preferă să fie localizați atunci când vine vorba de materiale solide), dar pentru matematicieni sunt bune pentru că sunt foarte convenabile pentru a lucra cu ele. Prin urmare, din toate pachetele, se distinge separat o clasă în care centrele bilelor sunt situate la nodurile rețelei. Dacă ne limităm la acest caz, atunci există doar cinci tipuri de zăbrele pe plan. Cea mai densă împachetare dintre ele este produsă de una în care punctele sunt aranjate la vârfurile hexagoanelor obișnuite - ca fagurii la albine sau atomii din grafen. Acest fapt a fost dovedit de Lagrange în 1773. Mai precis: Lagrange nu era interesat de ambalaje dense, ci era interesat de formele pătratice. Deja în XX a devenit clar că rezultatele sale asupra formelor implicau un rezultat asupra densității de împachetare pentru rețele bidimensionale.

„În 1831, Ludwig Sieber a scris o carte despre formele pătratice ternare. Această carte a prezentat o presupunere care este echivalentă cu conjectura lui Kepler pentru împachetarea rețelei. Sieber însuși a putut să demonstreze doar o formă slabă a ipotezei sale și să o testeze pentru un număr mare de exemple. Această carte a fost revizuită de marele Carl Friedrich Gauss. În această recenzie, Gauss oferă o dovadă cu adevărat uimitoare, care se încadrează în 40 de linii. Aceasta, așa cum spunem acum, dovada „olimpiadei” este de înțeles pentru un elev de liceu. Mulți matematicieni au încercat să găsească sensul ascuns în demonstrația lui Gauss, dar până acum nimeni nu a reușit”, spune Oleg Musin.

Ce se întâmplă, însă, dacă renunțăm la starea rețelei? Aici totul se dovedește a fi ceva mai complicat. Prima încercare cu drepturi depline de a trata acest caz a fost făcută de matematicianul norvegian Axel Thue. Dacă te uiți la pagina dedicată lui Thue de pe Wikipedia, acolo nu vei găsi nimic despre ambalaj strâns. Acest lucru este de înțeles - Thue a publicat două lucrări care aminteau mai mult de eseuri decât de lucrări matematice normale, în care, după cum i se părea, a rezolvat complet problema ambalării dense. Singura problemă a fost că nimeni, în afară de Thue însuși, nu a fost convins de raționamentul său.

Laszlo Fejes Toth

Danzer, Ludwig / Wikimedia Commons

Problema a fost în cele din urmă rezolvată de matematicianul maghiar Laszlo Fejes Toth în 1940. S-a dovedit, de altfel, că aranjarea cercurilor pe un plan care realizează cea mai densă împachetare este singura.

5.

Strâns legată de problema de ambalare apropiată este problema numărului de contact. Să ne uităm din nou la un cerc dintr-un avion. Câte cercuri de aceeași rază pot fi plasate în jurul lui, astfel încât toate să atingă cel central? Răspunsul este șase. Într-adevăr, să ne uităm la două cercuri vecine care ating cel central. Să ne uităm la distanța de la centrul cercului central la centrele acestor două. Este egal 2R, Unde R- raza cercului. Distanța dintre centrele cercurilor adiacente nu depășește 2R. Calculând unghiul din centrul cercului central folosind teorema cosinusului, constatăm că acesta este de nu mai puțin de 60 de grade. Suma tuturor unghiurilor centrale ar trebui să dea 360 de grade, ceea ce înseamnă că nu pot exista mai mult de 6 astfel de unghiuri și știm locația cercurilor cu șase unghiuri.

Numărul rezultat se numește numărul de contact al avionului. O întrebare similară poate fi pusă pentru spații de orice dimensiune. Simplitatea soluției într-un avion să nu inducă în eroare cititorul - problema numerelor de contact, dacă este mai simplă decât problema ambalării apropiate, nu este cu mult mai simplă. Dar, de fapt, s-au obținut mai multe rezultate în această direcție.

Pentru spațiul tridimensional, numărul de contact a devenit subiectul unei dispute publice între Isaac Newton însuși și James Gregory în 1694. Primul credea că numărul de contact ar trebui să fie 12, iar al doilea - acel 13. Chestia este că nu este dificil să plasezi 12 bile în jurul celei centrale - centrele unor astfel de bile se află la vârfurile unui icosaedru regulat (el are exact 12 dintre ele). Dar aceste mingi nu se ating! La prima vedere, se pare că pot fi mutate astfel încât încă una, a 13-a minge, să poată trece prin ele. Acest lucru este aproape adevărat: dacă bilele sunt depărtate puțin, făcând distanța dintre centrele lor și centrul celei centrale 2R, dar în total 2.06R, atunci se vor potrivi deja 13 bile. Dar pentru atingerea mingii, Gregory a greșit - acest fapt a fost dovedit de van der Waarden și Schutte în 1953.

Pentru dimensiunea 4, această problemă a fost rezolvată de Oleg Mușin în 2003. Acolo, numărul de contact s-a dovedit a fi 24.

6.

Pe lângă aceste dimensiuni 1, 2, 3 și 4, numerele de contact sunt cunoscute și în dimensiunile 8 și 24. De ce aceste dimensiuni particulare? Cert este că există grile foarte interesante pentru ei, numite E8 și grilele Leach.

Deci, am aflat deja ce este o zăbrele. O caracteristică importantă a unei rețele pentru matematică este simetria acesteia. Prin simetrie înțelegem, desigur, nu senzațiile subiective (și cine și-ar imagina această rețea în dimensiuni, de exemplu, patru?), ci numărul de tipuri diferite de mișcări ale spațiului care traduc această rețea în sine. Să explicăm cu un exemplu.

Să luăm aceeași rețea hexagonală care realizează cea mai apropiată împachetare pe un plan. Este ușor de înțeles că rețeaua se transformă în sine dacă este deplasată de vectorii v și w care erau în definiție. Dar, în plus, rețeaua poate fi rotită în jurul centrului hexagonului. Și există 6 astfel de rotații: 0, 60, 120, 180, 240, 300 de grade. În plus, rețeaua poate fi afișată simetric față de orice axă de simetrie a hexagonului compozit. Un mic exercițiu arată că, fără a număra schimburile, obținem 12 transformări. Alte zăbrele au mai puține astfel de transformări, așa că spunem că sunt mai puțin simetrice.

Deci, E8 și zăbrelele Leach sunt zăbrele incredibil de simetrice. E8 este situat într-un spațiu cu 8 dimensiuni. Această zăbrele a fost inventată în 1877 de către matematicienii ruși Korkin și Zolotarev. Este format din vectori, ale căror coordonate sunt întregi, iar suma lor este pară. O astfel de rețea, minus schimburi, are 696.729.600 de transformări. Lich Grid există în spațiu cu douăzeci și patru de dimensiuni. Este format din vectori cu coordonate întregi și condiția - suma coordonatelor minus orice coordonată înmulțită cu 4 este împărțită la 8. Are un număr pur și simplu colosal de simetrii - 8.315.553.613.086.720.000 de bucăți.

Deci, în spațiul de 8 și 24 de dimensiuni, bilele situate la vârfurile acestor rețele ating 240 și, respectiv, 19650 de bile. În mod surprinzător, acestea sunt exact numerele de contact (vezi punctul 5) pentru spațiile de dimensiunea corespunzătoare.

7.

Acum să revenim la cazul tridimensional și la ipoteza lui Kepler (aceeași despre care am vorbit chiar la început). Această sarcină s-a dovedit a fi de multe ori mai dificilă decât predecesorii ei.

Să începem cu faptul că există infinit de împachetari cu aceeași densitate ca și cea hexagonală densă. Am început să o așezăm, începând cu bilele așezate la nodurile rețelei hexagonale. Dar o puteți face diferit: de exemplu, la primul nivel, pliați bilele într-un pătrat, adică astfel încât vârfurile bilelor să fie situate la nodurile unei rețele deja pătrate. În acest caz, fiecare minge atinge patru vecini. Al doilea strat, ca și în cazul celui hexagonal, va fi așezat deasupra în golurile dintre bilele primului strat. Acest ambalaj se numește ambalare cubică centrată pe față. Acesta, apropo, este singurul ambalaj cu zăbrele cel mai dens din spațiu.

La prima vedere, se pare că această împachetare ar trebui să fie mai proastă, deoarece golurile dintre cele patru bile din primul strat sunt mult mai mari (se simte ca) decât golurile din împachetarea densă hexagonală. Dar când plasăm al doilea rând, bilele - tocmai pentru că golurile sunt mai mari - se scufundă mai adânc. Ca rezultat, după cum se dovedește, densitatea este aceeași ca înainte. De fapt, desigur, trucul este că un astfel de pachet se obține dacă te uiți la cel hexagonal dintr-un unghi diferit.

Se pare că în spațiul tridimensional nu există rețele unice atât de frumoase precum, de exemplu, hexagonale pe un plan sau E8 în spațiul cu 8 dimensiuni. La prima vedere, este complet neclar cum să cauți cel mai apropiat pachet în spațiul tridimensional.

8.

Soluția la ipoteza lui Kepler s-a născut în mai multe etape.

În primul rând, Fejes Tóth, același maghiar care a rezolvat problema împachetării apropiate într-un non-plan, a prezentat următoarea ipoteză: pentru a înțelege dacă împachetarea este apropiată sau nu, este suficient să luăm în considerare grupuri finite de bile. După cum am aflat, spre deosebire de un avion, dacă mingea centrală atinge 12 vecini, atunci există decalaje între ei. Prin urmare, Fejes Toth a propus studierea clusterelor formate dintr-o bilă centrală, vecinii acesteia și vecinii vecinilor.

Chestia este că această presupunere a fost făcută în anii 60 ai secolului trecut. Iar problema minimizării volumului unui astfel de cluster este în esență o problemă de optimizare neliniară pentru o funcție de aproximativ 150 de variabile (fiecare bilă are un centru, este specificată de trei coordonate). În linii mari, o astfel de funcție trebuie să găsească un minim în anumite condiții suplimentare. Pe de o parte, sarcina a devenit finită, dar, pe de altă parte, este complet insurmontabilă din punct de vedere computațional pentru oameni. Dar Fejes Toth nu a fost supărat și a spus că foarte curând computerele vor avea puterea de calcul necesară. Ei vor ajuta.

Matematicienilor le-a plăcut foarte mult ipoteza lui Fejes Thoth și au început să lucreze activ în această direcție. Până la începutul anilor 90, estimările densității maxime de împachetare a sferelor în spațiul tridimensional scădeau treptat. Ideea a fost că, la un moment dat, estimarea va fi egală cu densitatea unei împachetari cubice centrate pe față și, prin urmare, ipoteza lui Kepler va fi dovedită. În acest timp, matematicianul Thomas Hales a publicat primele lucrări despre ambalaj. Pentru munca sa, a ales un obiect numit stele Delaunay (după matematicianul sovietic Boris Delaunay). Acesta a fost un pas îndrăzneț - în acel moment, eficiența unor astfel de obiecte pentru studierea problemei ambalajului era îndoielnică.

După doar 8 ani de muncă grea, în 1998, Hales a finalizat demonstrarea ipotezei Kepler. El a redus demonstrația la o căutare combinatorie finită a diferitelor structuri, cum ar fi stelele Delaunay. Pentru fiecare astfel de structură combinatorie, a fost necesar să se maximizeze densitatea. Deoarece computerul funcționează în mod normal doar cu numere întregi (pur și simplu pentru că în matematică numerele sunt cel mai adesea fracții infinite), atunci pentru fiecare caz Delaunay a construit automat o aproximare de sus folosind calcule raționale simbolice (numerele raționale, până la urmă, dacă nu le convertiți). la fracții zecimale, doar câteva numere întregi). Cu această aproximare, a primit o estimare pentru densitatea maximă de sus. Ca urmare, toate estimările s-au dovedit a fi mai mici decât cele date de ambalarea cubică centrată pe față.

Mulți matematicieni au fost însă confuzi de situația în care a fost construit un computer pentru a construi aproximarea. Pentru a demonstra că nu a avut erori în partea informatică a probei, Hales a început formalizarea și verificarea, deși și cu ajutorul unui computer. Această lucrare, care a fost realizată de o echipă internațională destul de mare, a fost finalizată în august 2014. Nu s-au găsit erori în dovadă.

9.

Dovezile pentru dimensiunile 8 si 24 nu necesita calculator si sunt ceva mai simple. Cu ceva timp în urmă s-au obținut estimări foarte bune pentru a estima densitatea maximă de împachetare în aceste dimensiuni. Acest lucru a fost făcut de matematicienii Kohn și Elkies în 2003. Apropo, această estimare (numită și granița Kohn-Elkies) a fost găsită de matematicianul rus Dmitri Gorbaciov din Tula cu câțiva ani înainte de Kohn și Elkies înșiși. Cu toate acestea, a publicat această lucrare în limba rusă și într-o revistă Tula. Kon și Elkies nu știau despre această lucrare și, când li s-a spus, ei, apropo, s-au referit la ea.

„Granița Kohn-Elkies a apărut pe baza lucrării lui Jean-Frederic Delsarte și a minunaților noștri matematicieni Grigory Kabatyansky și Vladimir Levenshtein. Estimarea asimptotică (în ceea ce privește dimensiunea spațiului) a densității de împachetare a bilelor în spațiul n-dimensional, obținută de Kabatyansky și Levenshtein, este „în picioare” din 1978. Apropo, Levenshtein și, în mod independent, americanii Odlyzhko și Sloan au rezolvat problema numerelor de contact în dimensiunile 8 și 24 în 1979. Au folosit direct metoda Delsarte-Kabatyansky-Levenshtein”, spune Oleg Musin.

Estimările lui Kohn și Elkies sunt, de fapt, corecte pentru toate ambalajele, dar în dimensiunile 8 și 24 oferă o aproximare foarte bună. De exemplu, estimarea matematicienilor este doar cu aproximativ 0,0001 la sută mai mare decât densitatea lui E8 în spațiul cu opt dimensiuni. Prin urmare, a apărut sarcina de a îmbunătăți această evaluare - la urma urmei, soluția, s-ar părea, este deja în apropiere. Mai mult, în 2012, același Dmitri Gorbaciov a solicitat (și a câștigat) un grant de la Fundația Dynasty. În cerere, el a declarat în mod explicit că a plănuit să demonstreze densitatea de ambalare a lui E8 în spațiu cu opt dimensiuni.

Ei spun că Gorbaciov a fost îndemnat să facă o afirmație atât de îndrăzneață de către un alt matematician, Andrei Bondarenko, în esență un mentor, unul dintre supraveghetorii științifici ai Marinei Vyazovskaya, cel care a rezolvat problema pentru spațiul cu 8 dimensiuni (și a fost coautor, pt. spațiu cu 24 de dimensiuni). Bondarenko îi mulțumește la sfârșitul lucrării sale inovatoare. Deci, Bondarenko și Gorbaciov nu au reușit, dar Vyazovskaya a reușit. De ce?

Marina Vyazovskaya

Universitatea Humboldt din Berlin

Estimarea Kohn-Elkies leagă densitatea de împachetare cu o proprietate a unei anumite funcții dintr-o mulțime adecvată. În linii mari, se construiește o estimare pentru fiecare astfel de funcție. Adică, sarcina principală este să găsim o funcție potrivită, astfel încât estimarea rezultată să se dovedească a fi cea de care avem nevoie. Deci, ingredientul cheie în construcția Vyazovskaya sunt formele modulare. Le-am menționat deja în legătură cu demonstrația ultimei teoreme a lui Fermat, pentru care. Acesta este un obiect destul de simetric care apare constant în diferite ramuri ale matematicii. Acest set de instrumente ne-a permis să găsim funcția dorită.

În spațiul cu 24 de dimensiuni, estimarea a fost obținută în același mod. Această lucrare are mai mulți autori, dar se bazează pe aceeași realizare a lui Vyazovskaya (deși, desigur, ușor adaptată). Apropo, lucrarea a dovedit un alt fapt remarcabil: zăbrelele Leach realizează singura împachetare periodică cea mai apropiată. Adică, toate celelalte pachete periodice au o densitate mai mică decât aceasta. Potrivit lui Oleg Musin, un rezultat similar pentru ambalajele periodice poate fi adevărat în dimensiunile 4 și 8.

10.

Din punct de vedere al aplicației, problema împachetării dense în spații cu dimensiuni mari este în primul rând o problemă de codificare optimă de corectare a erorilor.

Să ne imaginăm că Alice și Bob încearcă să comunice folosind semnale radio. Alice spune că îi va trimite lui Bob un semnal format din 24 de frecvențe diferite. Bob va măsura amplitudinea fiecărei frecvențe. Ca urmare, va avea un set de 24 de amplitudini. Ei, desigur, definesc un punct în spațiul cu 24 de dimensiuni - la urma urmei, sunt 24 dintre ei. Bob și Alice iau, să zicem, dicționarul Dahl și atribuie fiecărui cuvânt propriul set de 24 de amplitudini. Se pare că am codificat cuvinte din dicționarul lui Dahl cu puncte de spațiu cu 24 de dimensiuni.

Într-o lume ideală, nu este nevoie de nimic altceva. Dar canalele de date reale adaugă zgomot, ceea ce înseamnă că în timpul decodării Bob poate primi un set de amplitudini care nu corespunde unui singur cuvânt. Dar apoi se poate uita la cuvântul cel mai apropiat de versiunea descifrată. Dacă există unul, înseamnă că cel mai probabil acesta este. Pentru a putea face intotdeauna acest lucru, este necesar ca punctele spatiului sa fie situate cat mai departe unele de altele. Adică, de exemplu, dacă nivelul de zgomot este de așa natură încât este introdusă o distorsiune care schimbă rezultatul cu un vector de lungime de cel mult unu, atunci cele două puncte de cod trebuie să fie exact la o distanță de cel puțin două. Apoi, chiar și cu distorsiuni, rezultatul lui Bob va fi întotdeauna aproape de un singur cuvânt - cel de care este nevoie.

În același timp, nici nu vreau să umfle foarte multe cuvinte - avem o gamă destul de limitată în care putem transmite informații. De exemplu, va fi ciudat (și nu foarte eficient) dacă Alice și Bob încep să comunice în raze X. Prin urmare, în mod ideal, distanța dintre cuvintele cod adiacente ar trebui să fie exact două. Și asta înseamnă că cuvintele sunt situate la vârfurile bilelor cu raza 1, strâns împachetate într-un spațiu de 24 de dimensiuni.