Aceasta este o sarcină creativă pentru o clasă de master în informatică pentru școlari de la FEFU.
Scopul sarcinii este de a afla cum se va schimba traiectoria corpului dacă se ia în considerare rezistența aerului. De asemenea, este necesar să se răspundă la întrebarea dacă distanța de zbor va atinge în continuare valoarea maximă la un unghi de aruncare de 45°, dacă se ia în considerare rezistența aerului.

Secțiunea „Cercetare analitică” conturează teoria. Această secțiune poate fi omisă, dar ar trebui să fie în mare parte clară pentru că... O cele mai multe ai învățat la școală.
Secțiunea „Studiu numeric” conține o descriere a algoritmului care trebuie implementat pe un computer. Algoritmul este simplu și concis, așa că toată lumea ar trebui să poată face acest lucru.

Cercetare analitică

Să introducem un sistem de coordonate dreptunghiular așa cum se arată în figură. În momentul inițial de timp un corp de masă m este situat la origine. Vectorul de accelerație în cădere liberă este îndreptat vertical în jos și are coordonatele (0, - g).
- vectorul viteză inițială. Să extindem acest vector în baza sa: . Aici , unde este mărimea vectorului viteză, este unghiul de aruncare.

Să notăm a doua lege a lui Newton: .
Accelerația în fiecare moment de timp este rata (instantanee) de modificare a vitezei, adică derivata vitezei în raport cu timpul: .

Prin urmare, legea a 2-a a lui Newton poate fi rescrisă după cum urmează:
, unde este rezultanta tuturor forțelor care acționează asupra corpului.
Deoarece forța gravitației și forța de rezistență a aerului acționează asupra corpului, atunci
.

Vom lua în considerare trei cazuri:
1) Forța de rezistență a aerului este 0: .
2) Forța de rezistență a aerului este direcționată opus cu vectorul viteză, iar mărimea sa este proporțională cu viteza: .
3) Forța de rezistență a aerului este direcționată opus cu vectorul viteză, iar mărimea sa este proporțională cu pătratul vitezei: .

Să luăm mai întâi în considerare primul caz.
În acest caz , sau .


Rezultă că (mișcare uniform accelerată).
Deoarece ( r- vector rază), atunci .
De aici .
Această formulă nu este altceva decât formula familiară pentru legea mișcării unui corp în timpul mișcării uniform accelerate.
De atunci .
Având în vedere că ambele , obținem egalități scalare din ultima egalitate vectorială:

Să analizăm formulele rezultate.
Sa gasim timp de zbor corpuri. Echivalarea y la zero, ajungem

Raza de zbor egală cu valoarea coordonatei X la un moment dat t 0:

Din această formulă rezultă că intervalul maxim de zbor este atins la .
Acum să găsim ecuația caroseriei tractorului. Pentru a face acest lucru, ne exprimăm t prin X

Și să înlocuim expresia rezultată cu tîn egalitate pentru y.

Funcția rezultată y(X) este o funcție pătratică, graficul său este o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în jos.
Mișcarea unui corp aruncat în unghi față de orizont (fără a ține cont de rezistența aerului) este descrisă în acest videoclip.

Acum luați în considerare al doilea caz: .

A doua lege ia forma ,
de aici .
Să scriem această egalitate în formă scalară:

Avem două ecuații diferențiale liniare.
Prima ecuație are o soluție

Acest lucru poate fi verificat prin înlocuirea acestei funcții în ecuația pentru v x si la starea initiala .
Aici e = 2,718281828459... este numărul lui Euler.
A doua ecuație are o soluție

Deoarece , , atunci în prezența rezistenței aerului mișcarea corpului tinde să fie uniformă, spre deosebire de cazul 1, când viteza crește fără limită.
Următorul videoclip spune că parașutătorul se mișcă mai întâi într-un ritm accelerat, apoi începe să se miște uniform (chiar înainte ca parașuta să se deschidă).

Să găsim expresii pentru XȘi y.
Deoarece X(0) = 0, y(0) = 0, atunci

Rămâne să luăm în considerare cazul 3, când .
A doua lege a lui Newton are forma
, sau .
În formă scalară, această ecuație arată astfel:

Acest sistem de ecuații diferențiale neliniare. Acest sistem nu poate fi rezolvat în mod explicit, deci este necesar să se utilizeze simularea numerică.

Studiu numeric

În secțiunea anterioară am văzut că în primele două cazuri legea mișcării unui corp poate fi obținută în formă explicită. Cu toate acestea, în al treilea caz este necesar să se rezolve problema numeric. Folosind metode numerice vom obține doar o soluție aproximativă, dar vom fi destul de mulțumiți de o mică precizie. (Numărul π sau rădăcina pătrată a lui 2, apropo, nu poate fi scris cu absolut exactitate, așa că atunci când se calculează, ele iau un număr finit de cifre, iar acest lucru este suficient.)

Vom lua în considerare al doilea caz, când forța de rezistență a aerului este determinată de formulă . Rețineți că atunci când k= 0 obținem primul caz.

Viteza corpului respectă următoarele ecuații:

Componentele accelerației sunt scrise în partea stângă a acestor ecuații .
Amintiți-vă că accelerația este rata (instantanee) de modificare a vitezei, adică derivata vitezei în raport cu timpul.
Părțile din dreapta ale ecuațiilor conțin componentele vitezei. Astfel, aceste ecuații arată modul în care rata de schimbare a vitezei este legată de viteză.

Să încercăm să găsim soluții la aceste ecuații folosind metode numerice. Pentru a face acest lucru, introducem pe axa timpului plasă: să alegem un număr și să luăm în considerare momente de timp din forma: .

Sarcina noastră este să calculăm aproximativ valorile la nodurile grilei.

Să înlocuim accelerația din ecuațiile ( viteza instantanee modificări de viteză) prin viteza medie modificări ale vitezei, luând în considerare mișcarea unui corp într-o perioadă de timp:

Acum să substituim aproximațiile obținute în ecuațiile noastre.

Formulele rezultate ne permit să calculăm valorile funcțiilor la următorul nod al grilei, dacă sunt cunoscute valorile acestor funcții la nodul anterior al grilei.

Folosind metoda descrisă, putem obține un tabel cu valorile aproximative ale componentelor vitezei.

Cum să găsiți legea mișcării corpului, de ex. tabelul valorilor aproximative ale coordonatelor X(t), y(t)? De asemenea!
Avem

Valoarea lui vx[j] este egală cu valoarea funcției și aceeași pentru alte tablouri.
Acum tot ce rămâne este să scriem o buclă, în interiorul căreia vom calcula vx folosind valoarea deja calculată vx[j], și la fel cu restul tablourilor. Ciclul va fi j de la 1 la N.
Nu uitați să inițializați valorile inițiale vx, vy, x, y conform formulelor, X 0 = 0, y 0 = 0.

În Pascal și C, există funcții sin(x) și cos(x) pentru calcularea sinusului și cosinusului. Rețineți că aceste funcții iau un argument în radiani.

Trebuie să construiți un grafic al mișcării corpului în timpul k= 0 și k> 0 și comparați graficele rezultate. Graficele pot fi create în Excel.
Rețineți că formulele de calcul sunt atât de simple încât puteți utiliza doar Excel pentru calcule și nici măcar nu folosiți un limbaj de programare.
Cu toate acestea, în viitor va trebui să rezolvați o problemă în CATS, în care trebuie să calculați timpul și intervalul de zbor al unui corp, unde nu puteți face fără un limbaj de programare.

Vă rugăm să rețineți că puteți Test programul dvs. și verificați graficele comparând rezultatele calculului când k= 0 cu formulele exacte date în secțiunea „Studiu analitic”.

Experimentați cu programul dvs. Asigurați-vă că, dacă nu există rezistență la aer ( k= 0) raza maximă de zbor la o viteză inițială fixă ​​se realizează la un unghi de 45°.
Dar rezistența aerului? În ce unghi se atinge raza maximă de zbor?

Figura prezintă traiectoriile corpului la v 0 = 10 m/s, α = 45°, g= 9,8 m/s 2, m= 1 kg, k= 0 și 1 obținut prin simulare numerică la Δ t = 0,01.

Vă puteți familiariza cu minunata lucrare a elevilor de clasa a X-a din Troitsk, prezentată la conferința „Start in Science” din 2011. Lucrarea este dedicată modelării mișcării unei mingi de tenis aruncată în unghi față de orizont (ținând cont de aer rezistenţă). Sunt utilizate atât modelarea numerică, cât și experimentul la scară completă.

Astfel, această sarcină creativă vă permite să vă familiarizați cu metodele de modelare matematică și numerică, care sunt utilizate activ în practică, dar sunt puțin studiate la școală. De exemplu, aceste metode au fost utilizate în implementarea proiectelor nucleare și spațiale în URSS la mijlocul secolului al XX-lea.

Când studiază mișcarea mecanică în fizică, după ce s-au familiarizat cu mișcarea uniformă și uniform accelerată a obiectelor, ei trec la considerarea mișcării unui corp într-un unghi față de orizont. În acest articol vom studia această problemă mai detaliat.

Care este mișcarea unui corp la un unghi față de orizontală?

Acest tip de mișcare a obiectului are loc atunci când o persoană aruncă o piatră în aer, un tun trage o minge de tun sau un portar lovește o minge de fotbal departe de poartă. Toate astfel de cazuri sunt luate în considerare de știința balistică.

Tipul notat de mișcare a obiectelor în aer are loc de-a lungul unei traiectorii parabolice. În cazul general, efectuarea calculelor corespunzătoare nu este o chestiune simplă, deoarece este necesar să se ia în considerare rezistența aerului, rotația corpului în timpul zborului, rotația Pământului în jurul axei sale și alți factori.

În acest articol nu vom lua în considerare toți acești factori, ci vom analiza problema din punct de vedere pur teoretic. Cu toate acestea, formulele rezultate descriu destul de bine traiectoriile corpurilor care se deplasează pe distanțe scurte.

Obținerea de formule pentru tipul de mișcare luat în considerare

Să aducem corpurile la orizont într-un unghi. În acest caz, vom lua în considerare o singură forță care acționează asupra unui obiect zburător - gravitația. Deoarece acţionează vertical în jos (paralel şi împotriva axei y), atunci, având în vedere componentele orizontale şi verticale ale mişcării, putem spune că prima va avea caracterul de mişcare rectilinie uniformă. Iar a doua - mișcare rectilinie uniform lentă (accelerată uniform) cu accelerație g. Adică, componentele vitezei prin valoarea v 0 (viteza inițială) și θ (unghiul direcției mișcării corpului) se vor scrie după cum urmează:

v x = v 0 *cos(θ)

v y = v 0 *sin(θ)-g*t

Prima formulă (pentru v x) este întotdeauna valabilă. În ceea ce privește al doilea, trebuie remarcată aici o nuanță: semnul minus este plasat în fața produsului g*t numai dacă componenta verticală v 0 *sin(θ) este îndreptată în sus. În cele mai multe cazuri, așa se întâmplă, însă, dacă aruncați un corp de la înălțime, îndreptându-l în jos, atunci în expresia pentru v y ar trebui să puneți semnul „+” în fața lui g*t.

După ce au integrat formulele componentelor vitezei în timp și ținând cont de înălțimea inițială h a zborului corpului, obținem ecuații pentru coordonatele:

x = v 0 *cos(θ)*t

y = h+v 0 *sin(θ)*t-g*t 2 /2

Calculul intervalului de zbor

Când se ia în considerare în fizică mișcarea unui corp către orizont la un unghi util pentru aplicarea practică, se dovedește a fi calculul intervalului de zbor. Să-l definim.

Deoarece această mișcare este o mișcare uniformă fără accelerare, este suficient să înlocuiți timpul de zbor în ea și să obțineți rezultatul dorit. Raza de zbor este determinată numai de mișcarea de-a lungul axei x (paralel cu orizontul).

Timpul pe care un corp rămâne în aer poate fi calculat prin setarea coordonatei y la zero. Avem:

0 = h+v0 *sin(θ)*t-g*t2/2

Rezolvăm această ecuație pătratică prin discriminant, obținem:

D = b 2 - 4*a*c = v 0 2 *sin 2 (θ) - 4*(-g/2)*h = v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h,

t = (-b±√D)/(2*a) = (-v 0 *sin(θ)±√(v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h))/(-2* g/2) =

= (v0 *sin(θ)+√(v02*sin2 (θ) + 2*g*h))/g.

În ultima expresie, o rădăcină cu semnul minus este aruncată din cauza semnificației sale fizice nesemnificative. Înlocuind timpul de zbor t în expresia pentru x, obținem intervalul de zbor l:

l = x = v 0 *cos(θ)*(v 0 *sin(θ)+√(v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h))/g.

Cel mai simplu mod de a analiza această expresie este dacă înălțimea inițială este zero (h=0), atunci obținem o formulă simplă:

l = v 0 2 *sin(2*θ)/g

Această expresie indică faptul că raza maximă de zbor poate fi obținută dacă corpul este aruncat la un unghi de 45 o (sin(2*45 o) = m1).

Înălțimea maximă de ridicare

Pe lângă distanța de zbor, este util să găsiți și înălțimea deasupra solului la care se poate ridica corpul. Deoarece acest tip de mișcare este descris de o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în jos, înălțimea maximă de ridicare este extremul său. Acesta din urmă se calculează prin rezolvarea ecuației pentru derivata t a lui y:

dy/dt = d(h+v 0 *sin(θ)*t-g*t 2 /2)/dt = v 0 *sin(θ)-gt=0 =>

=> t = v 0 *sin(θ)/g.

Înlocuind acest timp în ecuația pentru y, obținem:

y = h+v 0 *sin(θ)*v 0 *sin(θ)/g-g*(v 0 *sin(θ)/g) 2 /2 = h + v 0 2 *sin 2 (θ)/( 2*g).

Această expresie indică faptul că corpul se va ridica la înălțimea sa maximă dacă este aruncat vertical în sus (sin 2 (90 o) = 1).

Dacă un corp este aruncat într-un unghi față de orizont, atunci în zbor este acționat de forța gravitației și forța de rezistență a aerului. Dacă forța de rezistență este neglijată, atunci singura forță rămasă este gravitația. Prin urmare, datorită legii a 2-a a lui Newton, corpul se mișcă cu o accelerație egală cu accelerația gravitației; proiecții ale accelerației pe axele de coordonate ax = 0, ay = - g.

Figura 1. Caracteristicile cinematice ale unui corp aruncat în unghi față de orizontală

Orice mișcare complexă a unui punct material poate fi reprezentată ca o suprapunere a mișcărilor independente de-a lungul axelor de coordonate, iar în direcția diferitelor axe tipul de mișcare poate diferi. În cazul nostru, mișcarea unui corp zburător poate fi reprezentată ca suprapunerea a două mișcări independente: mișcare uniformă de-a lungul axei orizontale (axa X) și mișcare uniform accelerată de-a lungul axei verticale (axa Y) (Fig. 1) .

Prin urmare, proiecțiile vitezei corpului se modifică în timp, după cum urmează:

unde $v_0$ este viteza inițială, $(\mathbf \alpha )$ este unghiul de aruncare.

Cu alegerea noastră de origine, coordonatele inițiale (Fig. 1) sunt $x_0=y_0=0$. Atunci obținem:

(1)

Să analizăm formulele (1). Să stabilim timpul de mișcare a corpului aruncat. Pentru a face acest lucru, să setăm coordonata y egală cu zero, deoarece în momentul aterizării înălțimea corpului este zero. De aici obținem ora de zbor:

A doua valoare de timp la care înălțimea este zero este zero, ceea ce corespunde momentului aruncării, adică. această valoare are şi un sens fizic.

Obținem intervalul de zbor din prima formulă (1). Intervalul de zbor este valoarea coordonatei x la sfârșitul zborului, adică. la timp egal cu $t_0$. Înlocuind valoarea (2) în prima formulă (1), obținem:

Din această formulă se poate observa că cea mai mare rază de zbor se realizează la un unghi de aruncare de 45 de grade.

Înălțimea maximă de ridicare a corpului aruncat poate fi obținută din a doua formulă (1). Pentru a face acest lucru, trebuie să înlocuiți o valoare de timp egală cu jumătate din timpul de zbor (2) în această formulă, deoarece La mijlocul traiectoriei altitudinea de zbor este maximă. Efectuând calcule, obținem

Din ecuațiile (1) se poate obține ecuația traiectoriei corpului, i.e. o ecuație care raportează coordonatele x și y ale unui corp în timpul mișcării. Pentru a face acest lucru, trebuie să exprimați timpul din prima ecuație (1):

și înlocuiți-l în a doua ecuație. Atunci obținem:

Această ecuație este ecuația traiectoriei mișcării. Se poate observa că aceasta este ecuația unei parabole cu ramurile în jos, așa cum este indicat de semnul „-” în fața termenului pătratic. Trebuie avut în vedere că unghiul de aruncare $\alpha $ și funcțiile sale sunt pur și simplu constante aici, adică. numere constante.

Un corp este aruncat cu viteza v0 la un unghi $(\mathbf \alpha )$ față de orizontală. Timp de zbor $t = 2 s$. La ce înălțime Hmax se va ridica corpul?

$$t_B = 2 s$$ $$H_max - ?$$

Legea mișcării corpului are forma:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(array) \right.$ $

Vectorul viteză inițială formează un unghi $(\mathbf \alpha )$ cu axa OX. Prin urmare,

\ \ \

O piatra este aruncata din varful unui munte sub un unghi = 30$()^\circ$ spre orizont cu o viteza initiala de $v_0 = 6 m/s$. Unghiul planului înclinat = 30$()^\circ$. La ce distanță de punctul de aruncare va cădea piatra?

$$ \alpha =30()^\circ$$ $$v_0=6\ m/s$$ $$S - ?$$

Să plasăm originea coordonatelor în punctul de aruncare, OX - de-a lungul planului înclinat în jos, OY - perpendicular pe planul înclinat în sus. Caracteristicile cinematice ale mișcării:

Legea mișcării:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2 \alpha \ )-\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(array) \right.$$ \

Înlocuind valoarea rezultată $t_В$, găsim $S$:

Raza maximă de acțiune a unei pietre trase dintr-o catapultă staționară este S = 22,5 m. Găsiți raza maximă posibilă a unei pietre trase din aceeași catapultă montată pe o platformă care se mișcă orizontal cu o viteză constantă v = 15,0 m/s. Ignorați rezistența aerului, calculați accelerația în cădere liberă g = 10,0 m/s 2.

Soluție: Este bine cunoscut faptul că raza maximă de zbor a unui corp aruncat sub un unghi față de orizontală se realizează la un unghi de plecare egal cu 45°și este determinată de formula:

Să luăm acum în considerare zborul unei pietre eliberate dintr-o catapultă în mișcare. Să introducem un sistem de coordonate ale cărui axe sunt: X- îndreptată orizontal, și Y— pe verticală. Originea coordonatelor este compatibilă cu poziția catapultei în momentul eliberării pietrei.

Pentru a calcula vectorul viteză al pietrei, este necesar să se țină cont de viteza orizontală a catapultei v = v o. Să presupunem că o catapultă aruncă o piatră în unghi α spre orizont. Atunci componentele vitezei inițiale ale pietrei în sistemul nostru de coordonate pot fi scrise ca:

Înlocuind această expresie în prima ecuație a sistemului (3), obținem raza de zbor a pietrei:

În al doilea rând, nu rezultă deloc din (5) că S 1 va fi maxim la α = 45°(acest lucru este valabil pentru (6), când v=0).

Propunând această problemă pentru olimpiada republicană, autorii au fost convinși că nouă zecimi dintre participanți vor primi formula (5) și apoi vor înlocui valoarea în ea. α = 45°. Totuși, spre regretul nostru, ne-am înșelat: niciun olimpic nu s-a îndoit că raza maximă de zbor este întotdeauna (!) atinsă la un unghi de plecare egal cu 45°. Acest fapt binecunoscut are aplicabilitate limitată: este adevărat numai dacă:

a) nu ține cont de rezistența aerului;
b) punctul de decolare și punctul de cădere sunt la același nivel;
c) proiectilul este staționar.

Să revenim la rezolvarea problemei. Deci trebuie să găsim valoarea unghiului α , la care S 1 determinată prin formula (5), este maximă. Puteți găsi, desigur, extremul funcției folosind aparatul de calcul diferențial: găsiți derivata, setați-o egală cu zero și, după ce am rezolvat ecuația rezultată, găsiți valoarea dorită α . Totuși, având în vedere că problema a fost propusă elevilor de clasa a IX-a, vom da soluția ei geometrică. Să profităm de faptul că v = v o = 15 m/s.

Să aranjam vectorii vȘi v o după cum se arată în fig. Deoarece lungimile lor sunt egale, în jurul lor poate fi descris un cerc cu centrul în punctul O. Apoi lungimea segmentului A.C. egal cu v o + v o cos α(aceasta este vxo), și lungimea segmentului B.C. egal cu v o sin α(Acest vyo). Produsul lor este egal cu de două ori aria triunghiului ABC, sau aria triunghiului ABB 1.

Vă rugăm să rețineți că este produsul care este inclus în expresia pentru interval de zbor (5). Cu alte cuvinte, raza de zbor este egală cu produsul zonei ΔАВВ 1 printr-un factor constant 2/g.

Acum să ne întrebăm: care dintre triunghiurile înscrise într-un cerc dat are aria maximă? Normal corect! Prin urmare, valoarea dorită a unghiului α = 60°.

Vector AB există un vector al vitezei totale inițiale a pietrei, este îndreptat într-un unghi 30° la orizont (din nou, deloc 45°).

Astfel, soluția finală a problemei rezultă din formula (5), în care ar trebui să o substituim α = 60°.