Formule și legile logicii

În timpul lecției introductive despre bazele logicii matematice, ne-am familiarizat cu conceptele de bază ale acestei ramuri a matematicii, iar acum subiectul primește o continuare firească. Pe lângă noul material teoretic, sau mai degrabă nici măcar nu teoretic - dar educațional general, ne așteaptă sarcini practice și, prin urmare, dacă ați ajuns la această pagină dintr-un motor de căutare și/sau sunteți prost versat în material, atunci vă rugăm să urmați linkul de mai sus. si incepem de la articolul precedent. În plus, pentru practică vom avea nevoie de 5 tabele de adevăr operatii logice pe care eu recomand cu caldura rescrie manual.

NU ține minte, NU-l tipări, ci mai degrabă înțelege-l din nou și rescrie-l pe hârtie cu propria ta mână - astfel încât să fie în fața ochilor tăi:

– masa NU;
– tabelul I;
– masa SAU;
– tabel de implicare;
– tabel de echivalență.

Este foarte important. In principiu, ar fi convenabil sa le numerotati „Tabelul 1”, „Tabelul 2”, etc., dar am subliniat în mod repetat defectul acestei abordări - după cum se spune, într-o sursă tabelul va fi primul, iar în alta - o sută primul. Prin urmare, vom folosi nume „naturale”. Hai sa continuăm:

De fapt, ești deja familiarizat cu conceptul de formulă logică. Îți voi da un standard, dar destul de spiritual definiție: formule algebrele propoziționale se numesc:

1) orice afirmații elementare (simple);

2) dacă și sunt formule, atunci formulele sunt și expresii ale formei
.

Nu există alte formule.

În special, o formulă este orice operație logică, cum ar fi înmulțirea logică. Acordați atenție celui de-al doilea punct - permite recursiv mod de a „crea” o formulă arbitrar lungă. Deoarece - formule, apoi - tot o formulă; întrucât și sunt formule, atunci – de asemenea o formulă etc. Orice afirmație elementară (din nou conform definitiei) poate fi inclus în formulă de mai multe ori.

Formulă Nu este, de exemplu, o notație - și aici există o analogie evidentă cu „gunoaiele algebrice”, din care nu este clar dacă numerele trebuie adăugate sau înmulțite.

Formula logică poate fi gândită ca functie logica. Să scriem aceeași conjuncție în formă funcțională:

Enunțurile elementare în acest caz joacă și rolul de argumente (variabile independente), care în logica clasică pot lua 2 sensuri: Adevărat sau minciună. Mai jos, pentru comoditate, voi numi uneori afirmații simple variabile.

Un tabel care descrie o formulă logică (funcție) este numit, așa cum a fost deja anunțat, tabelul de adevăr. Vă rog – o imagine familiară:

Principiul formării unui tabel de adevăr este următorul: „la intrare” trebuie să enumerați toate combinațiile posibile adevăruri și minciuni, care pot lua afirmații (argumente) elementare. În acest caz, formula include două afirmații și este ușor de aflat că există patru astfel de combinații. „La ieșire” obținem valorile logice corespunzătoare ale întregii formule (funcție).

Trebuie spus că „ieșirea” aici s-a dovedit a fi „într-un singur pas”, dar în cazul general formula logică este mai complexă. Și în astfel de „cazuri dificile” trebuie să vă conformați ordinea executării operaţiilor logice:

– se execută mai întâi negația;
– în al doilea rând – conjuncție;
– apoi – disjuncție;
– apoi implicare;
– și în cele din urmă, echivalența are cea mai mică prioritate.

Deci, de exemplu, intrarea implică că mai întâi trebuie să efectuați înmulțirea logică, apoi adunarea logică: . La fel ca în algebra „obișnuită” – „întâi înmulțim, apoi adunăm”.

Ordinea acțiunilor poate fi schimbată în mod obișnuit - cu paranteze:
– aici, în primul rând, se realizează disjuncția și abia apoi o operație „mai puternică”.

Probabil că toată lumea înțelege, dar pentru orice eventualitate, pompier: și asta două diferite formule! (atât din punct de vedere formal, cât și din punct de vedere material)

Să creăm un tabel de adevăr pentru formulă. Această formulă include două declarații elementare și „la intrare” trebuie să enumerăm toate combinațiile posibile de unu și zero. Pentru a evita confuziile și discrepanțe, vom fi de acord să enumeram combinațiile strict în această ordine (pe care îl folosesc de fapt de la bun început):

Formula include două operații logice, iar în funcție de prioritatea lor, în primul rând trebuie să le efectuați negare declarații. Ei bine, să negăm coloana „pe” – transformăm cele în zerouri și zerourile în unu:

În al doilea pas, ne uităm la coloane și le aplicăm SAU operare. Privind puțin înainte, voi spune că disjuncția este comutativă (si sunt acelasi lucru), și, prin urmare, coloanele pot fi analizate în ordinea obișnuită - de la stânga la dreapta. Când efectuați adunări logice, este convenabil să utilizați următorul raționament aplicat: „Dacă sunt două zerouri, punem un zero, dacă există cel puțin unul, punem unul.”:

Tabelul de adevăr a fost construit. Acum să ne amintim de vechea implicație bună:

...cu atenție, cu atenție... uită-te la totalul coloanelor.... În algebra propozițională astfel de formule sunt numite echivalent sau identic:

(trei linii orizontale sunt o pictogramă de identitate)

În prima parte a lecției, am promis că voi exprima implicația prin operații logice de bază, iar împlinirea promisiunii nu a întârziat să apară! Cei care doresc pot pune un sens semnificativ implicației (de exemplu, „Dacă plouă, afară este umed”)și analizează independent afirmația echivalentă.

Să formulăm definiție generală: cele două formule se numesc echivalent (identic), dacă iau aceleași valori pentru orice set de valori incluse în aceste formule variabile (enunțuri elementare). Se mai spune că „formulele sunt echivalente dacă tabelele lor de adevăr coincid”, dar nu prea îmi place această frază.

Exercitiul 1

Creați un tabel de adevăr pentru formula și asigurați-vă că identitatea cu care sunteți familiarizat este corectă.

Să repetăm ordinea rezolvării problemei încă o dată:

1) Deoarece formula include două variabile, vor exista un total de 4 seturi posibile de zerouri și unu. Le notăm în ordinea specificată mai sus.

2) Implicațiile sunt „mai slabe” decât conjuncțiile, dar sunt puse între paranteze. Completam coloana și este convenabil să folosim următorul raționament aplicat: „dacă de la unu urmează un zero, atunci punem zero, în toate celelalte cazuri - unu”. Apoi, completăm coloana pentru implicare și, în același timp, Atenţie!– coloanele ar trebui analizate „de la dreapta la stânga”!

3) Și în etapa finală, completați coloana finală. Și aici este convenabil să gândești așa: „dacă există două unități în coloane, atunci punem una, în toate celelalte cazuri – zero”.

Și, în sfârșit, verificăm tabelul de adevăr echivalenţă .

Echivalențe de bază ale algebrei propoziționale

Tocmai ne-am întâlnit pe doi dintre ei, dar problema, desigur, nu se limitează la ei. Există destul de multe identități și le voi enumera pe cele mai importante și mai faimoase dintre ele:

Comutativitatea conjuncției și comutativitatea disjuncției

Comutativitate- aceasta este comutabilitatea:

Reguli familiare din clasa I: „Produsul (suma) nu se modifică prin rearanjarea factorilor (adunături)”. Dar, în ciuda naturii elementare aparente a acestei proprietăți, nu este întotdeauna adevărată; în special, este necomutativă. înmulțirea matriceală (în general, nu pot fi rearanjate), A produs vectorial al vectorilor– anticomutativ (rearanjarea vectorilor implică o schimbare de semn).

Și, în plus, aici vreau din nou să subliniez formalismul logicii matematice. Deci, de exemplu, frazele „Elevul a promovat examenul și a băut”Și „Elevul a băut și a promovat examenul” diferit din punct de vedere al conținutului, dar imposibil de distins din punctul de vedere al adevărului formal. ...Fiecare dintre noi cunoaște astfel de studenți și, din motive etice, nu vom exprima anumite nume =)

Asociativitatea înmulțirii și adunării logice

Sau, dacă „în stil școlar” – o proprietate de coordonare:

Proprietăți distributive

Vă rugăm să rețineți că în al 2-lea caz va fi incorect să vorbiți despre „deschiderea parantezelor”; într-un anumit sens, aceasta este o „ficțiune” - la urma urmei, acestea pot fi eliminate cu totul: , deoarece înmulțirea este o operație mai puternică.

Și din nou, aceste proprietăți aparent „banale” nu sunt îndeplinite în toate sistemele algebrice și, în plus, necesită dovezi. (despre care vom vorbi foarte curând). Apropo, a doua lege distributivă nu este valabilă nici măcar în algebra noastră „obișnuită”. Și de fapt:

Legea Idempotentei

Ce să faci, latină...

Doar un principiu al unui psihic sănătos: „Eu și eu suntem eu”, „Eu sau eu sunt și eu” =)

Și iată câteva identități similare:

...hmm, sunt cam blocat... așa că s-ar putea să mă trezesc mâine cu un doctorat =)

Legea dublei negații

Ei bine, aici se sugerează un exemplu cu limba rusă - toată lumea știe perfect că două particule „nu” înseamnă „da”. Și pentru a spori conotația emoțională a negării, trei „nu” sunt adesea folosite:
– chiar și cu o mică dovadă a funcționat!

Legile absorbției

- „A fost un băiat?” =)

În identitatea corectă, parantezele pot fi omise.

legile lui De Morgan

Să presupunem că profesorul strict (al cărui nume îl știi și tu :)) dă un examen dacă - Elevul a răspuns la prima întrebare Și – Elevul a răspuns la a 2-a întrebare. Apoi o declarație care spune că Student Nu a trecut examenul, va fi echivalent cu afirmația – Student Nu a raspuns la prima intrebare sau la a 2-a întrebare.

După cum s-a menționat mai sus, echivalențele sunt supuse dovezilor, care sunt de obicei efectuate folosind tabele de adevăr. De fapt, am demonstrat deja echivalențe care exprimă implicație și echivalență, iar acum este timpul să consolidăm tehnica de rezolvare a acestei probleme.

Să dovedim identitatea. Deoarece include o singură instrucțiune, există doar două opțiuni posibile la intrare: una sau zero. Apoi, atribuim o singură coloană și le aplicăm regula I:

Ca rezultat, rezultatul este o formulă, al cărei adevăr coincide cu adevărul afirmației. Echivalența a fost dovedită.

Da, această dovadă este primitivă (și unii vor spune „prost”), dar un profesor tipic de matematică îi va zgudui sufletul pentru el. Prin urmare, chiar și astfel de lucruri simple nu trebuie tratate cu dispreț.

Acum să verificăm, de exemplu, validitatea legii lui de Morgan.

Mai întâi, să creăm un tabel de adevăr pentru partea stângă. Deoarece disjuncția este între paranteze, o executăm mai întâi, după care negăm coloana:

Apoi, să creăm un tabel de adevăr pentru partea dreaptă. Și aici totul este transparent - în primul rând, efectuăm negații „mai puternice”, apoi le aplicăm coloanelor regula I:

Rezultatele au coincis, astfel identitatea a fost dovedită.

Orice echivalență poate fi reprezentată în formă identică cu formula adevărată. Înseamnă că PENTRU ORICE set inițial de zerouri și unu„Ieșirea” este strict una. Și există o explicație foarte simplă pentru aceasta: deoarece tabelele de adevăr coincid, atunci, desigur, ele sunt echivalente. Să conectăm, de exemplu, părțile stânga și dreaptă ale identității de Morgan tocmai dovedite prin echivalență:

Sau, mai compact:

Sarcina 2

Demonstrați următoarele echivalențe:

O scurtă soluție la sfârșitul lecției. Să nu fim leneși! Încercați nu numai să creați tabele de adevăr, ci și clar formula concluzii. După cum am observat recent, neglijarea lucrurilor simple poate fi foarte, foarte costisitoare!

Continuăm să ne familiarizăm cu legile logicii!

Da, este absolut corect – lucrăm deja din greu cu ei:

Adevărat la , numit identică cu formula adevărată sau legea logicii.

Datorită tranziției justificate anterior de la echivalență la o formulă identic adevărată, toate identitățile enumerate mai sus reprezintă legi ale logicii.

Formula care ia valoare Minciună la orice set de valori ale variabilelor incluse în acesta, numit formulă identică falsă sau contradicţie.

Un exemplu de semnătură al unei contradicții de la grecii antici:
- nicio afirmație nu poate fi adevărată și falsă în același timp.

Dovada este banala:

„Ieșirea” conține doar zerouri, prin urmare formula este într-adevăr identic fals.

Cu toate acestea, orice contradicție este și o lege a logicii, în special:

Este imposibil să acoperim un subiect atât de vast într-un singur articol și, prin urmare, mă voi limita la doar câteva legi:

Legea mijlocului exclus

– în logica clasică, orice afirmație este adevărată sau falsă și nu există a treia opțiune. "A fi sau a nu fi aceasta este intrebarea.

Fă-ți singur un semn de adevăr și asigură-te că este identic adevărat formulă.

Legea contrapoziției

Această lege a fost discutată în mod activ când am discutat despre esență conditie necesara, ne amintim: „Dacă afară este umed când plouă, atunci rezultă că dacă afară este uscat, atunci cu siguranță nu a plouat.”.

Din această lege mai rezultă că dacă echitabil este Drept teorema, apoi afirmația, care se numește uneori opus teorema.

Daca e adevarat verso teoremă, atunci, în virtutea legii contrapoziției, este valabilă și teorema, opusul inversului:

Și din nou să revenim la exemplele noastre semnificative: pentru enunțuri – numărul este divizibil cu 4, – numărul este divizibil cu 2 corect DreptȘi opus teoreme, dar false versoȘi opusul inversului teoreme. Pentru formularea „adultă” a teoremei lui Pitagora, toate cele 4 „direcții” sunt adevărate.

Legea silogismului

De asemenea, un clasic al genului: „Toți stejarii sunt copaci, toți copacii sunt plante, de aceea toți stejarii sunt plante.”.

Ei bine, din nou aș dori să remarc formalismul logicii matematice: dacă Profesorul nostru strict crede că un anumit Student este un stejar, atunci din punct de vedere formal acest Student este cu siguranță o plantă =) ... deși, dacă te gandesti bine, atunci poate si din punct de vedere informal = )

Să creăm un tabel de adevăr pentru formulă. În conformitate cu prioritatea operațiilor logice, respectăm următorul algoritm:

1) ducem la îndeplinire implicațiile și . În general, puteți efectua imediat a treia implicație, dar este mai convenabil (și acceptabil!) dă-ți seama puțin mai târziu;

2) se aplică coloanelor regula I;

3) acum executăm;

4) iar la pasul final aplicăm implicația coloanelor Și .

Simțiți-vă liber să controlați procesul cu degetele arătător și mijlociu :))

Din ultima coloană, cred că totul este clar fără comentarii:
, ceea ce trebuia dovedit.

Sarcina 3

Aflați dacă următoarea formulă este o lege a logicii:

O scurtă soluție la sfârșitul lecției. A, și aproape că am uitat - să fim de acord să enumerăm seturile originale de zerouri și unu în exact aceeași ordine ca atunci când demonstrăm legea silogismului. Desigur, liniile pot fi rearanjate, dar acest lucru va face foarte dificilă compararea cu soluția mea.

Conversia formulelor logice

Pe lângă scopul lor „logic”, echivalențele sunt utilizate pe scară largă pentru a transforma și simplifica formulele. În linii mari, o parte a identității poate fi schimbată cu alta. Deci, de exemplu, dacă într-o formulă logică întâlniți un fragment, atunci conform legii idempotității, în loc de acesta puteți (și ar trebui) să scrieți simplu . Dacă vedeți, atunci, conform legii absorbției, simplificați notația la. Și așa mai departe.

În plus, mai este un lucru important: identitățile sunt valabile nu numai pentru enunțuri elementare, ci și pentru formule arbitrare. De exemplu:

, unde – oricare (oricât de complex doriți) formule.

Să transformăm, de exemplu, implicația complexă (prima identitate):

În continuare, aplicăm legea lui de Morgan „complexă” la paranteză și, datorită priorității operațiilor, este legea în care :

Parantezele pot fi eliminate, deoarece în interior există o conjuncție „mai puternică”:

Ei bine, cu comutativitatea în general, totul este simplu - nici măcar nu trebuie să desemnați nimic... ceva despre legea silogismului mi-a pătruns în suflet :))

Astfel, legea poate fi rescrisă într-o formă mai complicată:

Spune cu voce tare lanțul logic „cu un stejar, un copac, o plantă” și vei înțelege că sensul de fond al legii nu s-a schimbat deloc prin rearanjarea implicațiilor. Cu excepția faptului că formularea a devenit mai originală.

Ca antrenament, să simplificăm formula.

Unde sa încep? În primul rând, înțelegeți ordinea acțiunilor: aici negația se aplică unei întregi paranteze, care este „fixată” de enunț printr-o conjuncție „puțin mai slabă”. În esență, avem în fața noastră produsul logic a doi factori: . Dintre cele două operațiuni rămase, implicarea are cea mai mică prioritate și, prin urmare, întreaga formulă are următoarea structură: .

De obicei, primul pas este acela de a scăpa de echivalență și implicație (daca sunt)și reduceți formula la trei operații logice de bază. Ce pot sa spun... Logic.

(1) Folosim identitatea . Și în cazul nostru.

Aceasta este de obicei urmată de „confruntări” cu paranteze. Mai întâi toată soluția, apoi comentariile. Pentru a evita „untul și untul”, voi folosi simboluri de egalitate „obișnuite”:

(2) Aplicăm legea lui De Morgan la parantezele exterioare, unde .

1.3.1. AFIRMAȚIE
1.3.2. OPERAȚII LOGICE
1.3.3. CONSTRUIREA TABELELOR DE ADEVĂR PENTRU EXPRESII LOGICE
1.3.4. PROPRIETĂȚI ALE OPERAȚIUNILOR LOGICE
1.3.5. REZOLVAREA PROBLEMELOR LOGICE
1.3.6. ELEMENTE LOGICE

1. Citiți materialele de prezentare pentru paragraful conținute în anexa electronică la manual. Prezentarea completează informațiile conținute în textul paragrafului?

2. Explicați de ce următoarele propoziții nu sunt enunțuri.
1) Ce culoare este casa asta?
2) Numărul X nu depășește unu.
3) 4X+3.
4) Privește pe fereastră.
5) Bea suc de rosii!
6) Acest subiect este plictisitor.
7) Ricky Martin este cel mai popular cântăreț.
8) Ai fost la teatru?

3. Dați un exemplu de afirmații adevărate și false din biologie, geografie, informatică, istorie, matematică, literatură.

4. În enunţurile următoare, evidenţiaţi enunţurile simple, indicându-le fiecare cu o literă; notează fiecare enunț compus folosind litere și semne de operații logice.
1) Numărul 376 este par și format din trei cifre.
2) Iarna, copiii merg la patinaj sau la schi.
3) Vom sărbători Anul Nou la dacha sau în Piața Roșie.
4) Nu este adevărat că Soarele se mișcă în jurul Pământului.
5) Pământul are forma unei bile, care apare albastră din spațiu.
6) În timpul unei lecții de matematică, elevii de liceu au răspuns la întrebările profesorului și au scris și lucrări independente.

5. Construiți negațiile următoarelor afirmații.

6. Fie A = „Alei îi plac lecțiile de matematică” și B = „Alei îi plac lecțiile de chimie”. Exprimați următoarele formule în limbaj obișnuit:

7. Un anumit segment al Internetului este format din 1000 de site-uri. Serverul de căutare a compilat automat un tabel de cuvinte cheie pentru site-urile din acest segment. Iată fragmentul său:

920; 80.

8. Construiți tabele de adevăr pentru următoarele expresii logice:

9. Oferiți dovezi ale legilor logice discutate în paragraf folosind tabele de adevăr.

10. În sistemul numeric zecimal sunt date trei numere: A=23, B=19, C=26. Convertiți A, B și C în sistemul numeric binar și efectuați operații logice pe biți (A v B) și C. Dați răspunsul în sistemul numeric zecimal.

11. Găsiți semnificațiile expresiilor:

12. Găsiți valoarea expresiei logice (x
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
1) 0. 2) 0. 3) 1. 4) 1.

13. Fie A = „Prima literă a numelui este o vocală”, B = „A patra literă a numelui este o consoană.” Găsiți valoarea expresiei logice A v B pentru următoarele nume:
1) ELENA 2) VADIM 3) ANTON 4) FEDOR
1) 1. 2) 1. 3) 0. 4) 1.

14. Se examinează cazul lui John, Brown și Smith. Se știe că unul dintre ei a găsit și a ascuns comoara. Pe parcursul anchetei, fiecare dintre suspecți a făcut două declarații:
Smith: „Nu am făcut-o. Brown a făcut-o.”
John: Brown nu este vinovat. Smith a făcut-o.”
Brown: „Nu am făcut-o. John nu a făcut-o.”
Instanța a constatat că unul dintre ei a mințit de două ori, celălalt a spus adevărul de două ori, al treilea a mințit o dată și a spus adevărul o dată. Care suspect ar trebui achitat?
Răspuns: Smith și John.

15. Alyosha, Borya și Grisha au găsit un vas străvechi în pământ. Examinând descoperirea uimitoare, fiecare a făcut două presupuneri:
1) Alioșa: „Acesta este un vas grecesc și a fost făcut în secolul al V-lea.”
2) Borya: „Acesta este un vas fenician și a fost făcut în secolul al III-lea.”
3) Grisha: „Acest vas nu este grecesc și a fost făcut în secolul al IV-lea.”
Profesorul de istorie le-a spus copiilor că fiecare dintre ei are dreptate doar în una din cele două presupuneri. Unde și în ce secol a fost făcut vasul?
Răspuns: Vas fenician, realizat în secolul al V-lea.

16. Aflați ce semnal ar trebui să fie la ieșirea circuitului electronic pentru fiecare set posibil de semnale la intrări. Faceți un tabel cu cum funcționează circuitul. Ce expresie logică descrie circuitul?

Lecția de informatică este concepută pentru elevii de clasa a X-a ai unei școli de învățământ general, a cărei curriculum include secțiunea „Algebra logicii”. Această temă este foarte dificilă pentru elevi, așa că eu, ca profesor, am vrut să-i interesez în studiul legilor logicii, simplificarea expresiilor logice și abordarea cu interes a rezolvării problemelor logice. În forma obișnuită, a da lecții pe această temă este plictisitoare și supărătoare, iar unele dintre definiții nu sunt întotdeauna clare pentru copii. În legătură cu asigurarea spațiului de informare, am avut ocazia să-mi postez lecțiile în shell-ul „învățare”. Studenții, înscriși la acesta, pot urma acest curs în timpul liber și pot reciti ceea ce nu a fost clar în clasă. Unii elevi, care au ratat lecțiile din cauza unei boli, compensează subiectul ratat acasă sau la școală și sunt întotdeauna pregătiți pentru următoarea lecție. Această formă de predare se potrivea foarte mult multor copii, iar acele legi care erau de neînțeles pentru ei sunt acum învățate pe calculator mult mai ușor și mai rapid. Ofer una dintre aceste lecții de informatică, care se desfășoară în mod integrativ cu TIC.

Planul lecției

Explicarea materialelor noi folosind un computer – 25 de minute.
Concepte de bază și definiții postate în „învățare” - 10 minute.
Material pentru curioși – 5 minute.
Tema pentru acasă – 5 minute.

1. Explicarea materialului nou

Legile logicii formale

Cele mai simple și mai necesare conexiuni adevărate între gânduri sunt exprimate în legile de bază ale logicii formale. Acestea sunt legile identităţii, necontradicţiei, mijloc exclus, motiv suficient.

Aceste legi sunt fundamentale pentru că în logică joacă un rol deosebit de important și sunt cele mai generale. Ele vă permit să simplificați expresiile logice și să construiți concluzii și dovezi. Primele trei dintre legile de mai sus au fost identificate și formulate de Aristotel, iar legea rațiunii suficiente - de G. Leibniz.

Legea identității: în procesul unui anumit raționament, fiecare concept și judecată trebuie să fie identice cu sine.

Legea necontradicției: este imposibil ca unul și același ochi să fie și să nu fie inerent aceluiași lucru în același sens în același timp. Adică este imposibil să afirmi și să negi ceva în același timp.

Legea mijlocului exclus: dintre două propoziții contradictorii, una este adevărată, cealaltă este falsă și a treia nu este dată.

Legea Rațiunii Suficiente: Fiecare gând adevărat trebuie să fie suficient de justificat.

Ultima lege spune că dovada a ceva presupune fundamentarea unor gânduri precise și numai adevărate. Gândurile false nu pot fi dovedite. Există un proverb latin bun: „A greși este comun tuturor, dar a insista asupra unei greșeli este comun doar unui prost”. Nu există nicio formulă pentru această lege, deoarece este doar de natură materială. Judecățile adevărate, materialul faptic, datele statistice, legile științei, axiomele, teoremele dovedite pot fi folosite ca argumente pentru a confirma un gând adevărat.

Legile algebrei propoziționale

Algebra propozițională (algebra logicii) este o secțiune a logicii matematice care studiază operațiile logice asupra enunțurilor și regulilor de transformare a enunțurilor complexe.

La rezolvarea multor probleme logice, este adesea necesară simplificarea formulelor obținute prin formalizarea condițiilor acestora. Simplificarea formulelor în algebra propozițională se realizează pe baza transformărilor echivalente bazate pe legi logice de bază.

Legile algebrei propoziționale (algebra logicii) sunt tautologii.

Uneori aceste legi sunt numite teoreme.

În algebra propozițională, legile logice sunt exprimate sub formă de egalitate a formulelor echivalente. Dintre legi se remarcă cele care conțin o variabilă.

Primele patru legi de mai jos sunt legile de bază ale algebrei propoziționale.

Legea identității:

Fiecare concept și judecată este identică cu sine.

Legea identității înseamnă că în procesul de raționament nu se poate înlocui un gând cu altul, un concept cu altul. Dacă această lege este încălcată, sunt posibile erori logice.

De exemplu, raționamentul Ei spun pe bună dreptate că limba te va duce la Kiev, dar am cumpărat ieri limbă afumată, ceea ce înseamnă că acum pot merge în siguranță la Kiev este incorectă, deoarece primul și al doilea cuvânt „limbă” înseamnă concepte diferite.

În raționament: Mișcarea este eternă. Mersul pe jos la școală este mișcare. Prin urmare, mersul la școală este pentru totdeauna cuvântul „mișcare” este folosit în două sensuri diferite (primul - în sens filozofic - ca atribut al materiei, al doilea - în sensul cotidian - ca acțiune de deplasare în spațiu), ceea ce duce la o concluzie falsă.

Legea necontradicției:

O propoziție și negația ei nu pot fi adevărate în același timp. Adică dacă declarația A- este adevărat, apoi negația sa nu A trebuie să fie fals (și invers). Atunci munca lor va fi întotdeauna falsă.

Această egalitate este adesea folosită la simplificarea expresiilor logice complexe.

Uneori această lege este formulată astfel: două afirmații contradictorii nu pot fi adevărate simultan. Exemple de nerespectare a legii necontradicției:

1. Există viață pe Marte și nu există viață pe Marte.

2. Olya a absolvit liceul și este în clasa a X-a.

Legea mijlocului exclus:

În același moment, o afirmație poate fi fie adevărată, fie falsă, nu există a treia opțiune. Adevărat fie A, sau nu A. Exemple de implementare a legii mijlocului exclus:

1. Numărul 12345 este fie par, fie impar, nu există a treia opțiune.

2. Compania operează la pierderi sau prag de rentabilitate.

3. Acest lichid poate fi sau nu un acid.

Legea mijlocului exclus nu este o lege recunoscută de toți logicienii ca o lege universală a logicii. Această lege se aplică atunci când cunoașterea se ocupă de o situație rigidă: „fie - sau”, „adevărat-fals”. Acolo unde apare incertitudinea (de exemplu, în raționamentul despre viitor), legea mijlocului exclus adesea nu poate fi aplicată.

Luați în considerare următoarea afirmație: Această propoziție este falsă. Nu poate fi adevărat pentru că afirmă că este fals. Dar nici nu poate fi fals, pentru că atunci ar fi adevărat. Această afirmație nu este nici adevărată, nici falsă și, prin urmare, încalcă legea mijlocului exclus.

Paradox(Paradoxos grecesc - neașteptat, ciudat) în acest exemplu apare din cauza faptului că propoziția se referă la ea însăși. Un alt paradox binecunoscut este problema coaforului: Într-un oraș, un frizer tunde părul tuturor locuitorilor, cu excepția celor care își tund singuri părul. Cine tunde parul frizerului?În logică, din cauza formalității sale, nu se poate obține forma unei astfel de afirmații auto-referitoare. Acest lucru confirmă încă o dată ideea că, cu ajutorul algebrei logicii, este imposibil să se exprime toate gândurile și argumentele posibile. Să arătăm cum, pe baza definiției echivalenței propoziționale, pot fi obținute legile rămase ale algebrei propoziționale.

De exemplu, să stabilim ce este echivalent (echivalent cu) A(de două ori nr A, adică negația negației A). Pentru a face acest lucru, să construim un tabel de adevăr:

Prin definiția echivalenței, trebuie să găsim coloana ale cărei valori coincid cu valorile coloanei A. Aceasta va fi coloana A.

Astfel putem formula legea dubluluinegative:

Dacă negi o declarație de două ori, rezultatul este declarația originală. De exemplu, afirmația A= Matroskin- pisică este echivalent cu afirmația A = Nu este adevărat că Matroskin nu este o pisică.

În mod similar, pot fi derivate și verificate următoarele legi:

Proprietățile constantelor:

Legile impotentei:

Indiferent de câte ori repetăm: televizorul este pornit sau televizorul este pornit sau televizorul este pornit... sensul enunțului nu se va schimba. Similar cu repetarea E cald afara, e cald afara... Nu se va incalzi cu nici un grad.

Legile comutativității:

A v B = B v A

A & B = B & A

Operanzi AȘi ÎNÎn operații, disjuncția și conjuncția pot fi interschimbate.

Legile asociativității:

A v(B v C) = (A v B) v C;

A și (B și C) = (A și B) și C.

Dacă expresia folosește doar operația de disjuncție sau numai operația de conjuncție, atunci puteți neglija parantezele sau le puteți aranja în mod arbitrar.

Legile distributive:

A v (B & C) = (A v B) & (A v C)

(distributivitatea disjuncției
relativ la conjuncție)

A și (B v C) = (A și B) v (A și C)

(distributivitatea conjuncției
referitor la disjuncție)

Legea distributivă a unei conjuncții relativ la o disjuncție este similară cu legea distributivă din algebră, dar legea distributivă a unei conjuncții relativ la o conjuncție nu are analog; este valabilă numai în logică. Prin urmare, este necesar să se dovedească. Dovada se realizează cel mai convenabil folosind un tabel de adevăr:

Legile absorbției:

A v (A și B) = A

A și (A v B) = A

Demonstrați singur legile absorbției.

Legile lui De Morgan:

Formulări verbale ale legilor lui De Morgan:

Regula mnemonică:în partea stângă a identității, operația de negație stă peste întregul enunț. În partea dreaptă, pare că se rupe și negația stă peste fiecare dintre afirmațiile simple, dar în același timp operația se schimbă: disjuncție în conjuncție și invers.

Exemple de implementare a legii lui De Morgan:

1) Declarație Nu este adevărat că știu arabă sau chineză identic cu o afirmație Nu știu arabă și nu știu chineză.

2) Declarație Nu este adevărat că am învățat lecția și am primit un D în ea. identic cu o afirmație Ori nu am învățat lecția, ori nu am primit un D în ea.

Înlocuirea operaţiilor de implicare şi echivalenţă

Operațiile de implicare și echivalență nu se numără uneori printre operațiunile logice ale unui anumit computer sau traducător dintr-un limbaj de programare. Cu toate acestea, pentru a rezolva multe probleme, aceste operațiuni sunt necesare. Există reguli pentru înlocuirea acestor operații cu secvențe de operații de negație, disjuncție și conjuncție.

Deci, înlocuiți operația implicatii posibil conform următoarei reguli:

Pentru a înlocui operația echivalenţă sunt doua reguli:

Este ușor de verificat validitatea acestor formule prin construirea tabelelor de adevăr pentru părțile din dreapta și din stânga ambelor identități.

Cunoașterea regulilor de înlocuire a operațiilor de implicare și echivalență ajută, de exemplu, la construirea corectă a negației de implicare.

Luați în considerare următorul exemplu.

Să fie dat enunțul:

E = Nu este adevărat că dacă voi câștiga concursul, voi primi un premiu.

Lăsa A= Voi câștiga competiția

B = Voi primi un premiu.

Prin urmare, E = voi câștiga competiția, dar nu voi primi un premiu.

Următoarele reguli sunt de asemenea de interes:

Valabilitatea lor poate fi dovedită și folosind tabele de adevăr.

Exprimarea lor în limbaj natural este interesantă.

De exemplu, fraza

Dacă Winnie the Pooh a mâncat miere, atunci este sătul

identic cu fraza

Dacă Winnie the Pooh nu este sătul, atunci nu a mâncat miere.

Exercițiu: veniți cu exemple de fraze bazate pe aceste reguli.

2. Concepte de bază și definițiiîn Anexa 1

3. Material pentru curioșiîn Anexa 2

4. Tema pentru acasă

1) Învață legile logicii folosind cursul „Algebra logicii”, aflat în spațiul informațional (www.learning.9151394.ru).

2) Verificați dovada legilor lui De Morgan pe un computer prin construirea unui tabel de adevăr.

Aplicații

Concepte și definiții de bază (Anexa 1).
Material pentru curioși (Anexa 2).

§ 1.3. Elemente de logica algebrei

Elemente de algebră de logică. Întrebări și sarcini

1. Citiți materialele de prezentare pentru paragraful conținute în anexa electronică la manual. Prezentarea completează informațiile conținute în textul paragrafului?

2. Explicați de ce următoarele propoziții nu sunt enunțuri.

1) Ce culoare este casa asta?
2) Numărul X nu depășește unu.
3) 4X + 3.
4) Privește pe fereastră.
5) Bea suc de rosii!
6) Acest subiect este plictisitor.
7) Ricky Martin este cel mai popular cântăreț.
8) Ai fost la teatru?

3. Dați un exemplu de afirmații adevărate și false din biologie, geografie, informatică, istorie, matematică, literatură.

4. În enunţurile următoare, evidenţiaţi enunţurile simple, indicându-le fiecare cu o literă; notează fiecare enunț compus folosind litere și semne de operații logice.

1) Numărul 376 este par și format din trei cifre.
2) Iarna, copiii merg la patinaj sau la schi.
3) Vom sărbători Anul Nou la dacha sau în Piața Roșie.
4) Nu este adevărat că Soarele se mișcă în jurul Pământului.
5) Pământul are forma unei bile, care apare albastră din spațiu.
6) În timpul unei lecții de matematică, elevii de liceu au răspuns la întrebările profesorului și au scris și lucrări independente.

5. Construiți negațiile următoarelor afirmații.

1) Astăzi la teatru se joacă opera „Eugene Onegin”.
2) Fiecare vânător vrea să știe unde stă fazanul.
3) Numărul 1 este un număr prim.
4) Numerele naturale care se termină cu 0 nu sunt numere prime.
5) Nu este adevărat că numărul 3 nu este un divizor al numărului 198.
6) Kolya a rezolvat toate sarcinile testului.
7) La fiecare școală, unii elevi sunt interesați de sport.
8) Unele mamifere nu trăiesc pe uscat.

6. Fie A = „Alei îi plac lecțiile de matematică”, și B = „Alei îi plac lecțiile de chimie”. Exprimați următoarele formule în limbaj obișnuit:

7. Un anumit segment al Internetului este format din 1000 de site-uri. Serverul de căutare a compilat automat un tabel de cuvinte cheie pentru site-urile din acest segment. Iată fragmentul său:

La cerere somn și guppy 0 site-uri au fost găsite pentru solicitarea dvs somn și cozi-sabie- 20 de site-uri, si la cerere swordtails & guppies- 10 site-uri.

Câte site-uri vor fi găsite la cerere? somn | cozi de sabie | guppy?

Pentru câte site-uri din segmentul luat în considerare este falsă afirmația? „Most este cuvântul cheie al site-ului SAU swordtails este cuvântul cheie al site-ului SAU guppies este cuvântul cheie al site-ului”?

8. Construiți tabele de adevăr pentru următoarele expresii logice: