Din calea integrării.
Să considerăm o integrală curbilinie de al 2-lea fel, unde L– o curbă care leagă punctele MȘi N. Lasă funcțiile P(x, y)Și Q(x, y) au derivate parțiale continue într-un anumit domeniu D, care conține întreaga curbă L. Să determinăm condițiile în care integrala curbilinie luată în considerare nu depinde de forma curbei L, dar numai pe locația punctelor MȘi N.
Să desenăm două curbe arbitrare MPNȘi MQN, întins în zonă Dși puncte de legătură MȘi N(Fig. 1).
Q
M N Orez. 1.
Să ne prefacem că 
, acesta este 
Atunci unde L– un contur închis format din curbe MPNȘi N.Q.M.(prin urmare, poate fi considerat arbitrar). Astfel, condiția pentru independența unei integrale curbilinie de al 2-lea fel față de calea de integrare este echivalentă cu condiția ca o astfel de integrală peste orice contur închis să fie egală cu zero.
Biletul nr. 34.Integrală de suprafață de primul fel (asupra suprafeței) Aplicații (masa unei suprafețe de material, coordonatele centrului de greutate, momentele, suprafața unei suprafețe curbe).
Luați în considerare o suprafață deschisă S, limitat de contur L, și împărțiți-l în părți după niște curbe S 1, S 2,…, S n. Să selectăm un punct în fiecare parte M iși proiectați această parte pe un plan tangent la suprafața care trece prin acest punct. Obținem în proiecție o figură plată cu aria T i. Să numim ρ cea mai mare distanță dintre două puncte de pe orice parte a suprafeței S.
Definiție 12.1. Hai sa sunăm zonă S suprafete limita sumei zonei T i la
Integrală de suprafață de primul fel.
Luați în considerare o suprafață S, limitat de contur Lși împărțiți-l în părți S 1, S 2,…, S p(vom desemna, de asemenea, zona fiecărei părți S p). Fie specificată valoarea funcției în fiecare punct al acestei suprafețe f(x, y, z). Să alegem în fiecare parte S i punct M i (x i , y i , z i)și compune suma integrală
. (12.2)
Definiție 12.2. Dacă există o limită finită pentru suma integrală (12.2), independentă de metoda de împărțire a suprafeței în părți și de alegerea punctelor M i, atunci se numește integrală de suprafață de primul fel din funcție f(M) = f(x, y, z) la suprafață S si este desemnat
Cometariu. O integrală de suprafață de primul fel are proprietățile obișnuite ale integralelor (liniaritate, însumarea integralelor unei anumite funcții asupra părților individuale ale suprafeței luate în considerare etc.).
Sensul geometric și fizic al unei integrale de suprafață de primul fel.
Dacă integrand f(M)≡ 1, apoi din Definiția 12.2 rezultă că este egală cu aria suprafeței luate în considerare S.
. (12.4)
Aplicarea unei integrale de suprafață de primul fel.
1. Aria unei suprafețe curbe, a cărei ecuație este z = f(x, y), poate fi găsit sub forma:
(14.21)
(Ω – proiecție S spre planul O X y).
2. Masa de suprafață
(14.22)
3. Momente:
Momentele statice ale suprafeței în raport cu planurile de coordonate O X y, O xz, O yz;
Momentele de inerție ale suprafeței în raport cu axele de coordonate;
Momentele de inerție ale suprafeței în raport cu planurile coordonate;
- (14.26)
Momentul de inerție al suprafeței față de origine.
4. Coordonatele centrului de masă al suprafeței:
. (14.27)
Biletul numărul 35. Calculul integralei de suprafață de primul fel (reducerea acesteia la multiplu).
Să ne restrângem la cazul în care suprafața S este dat în mod explicit, adică printr-o ecuație de formă z = φ(x, y). Mai mult, din definiția suprafeței rezultă că
S i =, unde Δ σi – zona de proiectie S i spre planul O X y, A γ i– unghiul dintre axa O zși normal la suprafață S la punct M i. Se știe că
,
Unde ( x i , y i , z i) – coordonatele punctului M i. Prin urmare,
Înlocuind această expresie în formula (12.2), obținem că
,
Acolo unde însumarea din dreapta este efectuată pe regiunea Ω a planului O X y, care este proiecția pe acest plan de suprafață S(Fig. 1).
S: z=φ(x,y)
Δσ iΩ
În acest caz, în partea dreaptă, se obține o sumă integrală pentru o funcție a două variabile pe o regiune plană, care în limita la dă o integrală dublă.Astfel, s-a obținut o formulă care ne permite să reducem calculul de o integrală de suprafață de primul fel la calculul unei integrale duble:
Cometariu. Să clarificăm încă o dată că în partea stângă a formulei (12.5) există suprafaţă integral, iar în dreapta - dubla.
Biletul numărul 36.Integrală de suprafață de al doilea fel. Fluxul câmpului vectorial. Relația dintre integralele de suprafață de primul și al doilea fel.
Fluxul câmpului vectorial.
Luați în considerare câmpul vectorial A (M), definit în domeniul spațial G, suprafata neteda orientata S Gși câmpul normalelor unității P (M) pe partea selectată a suprafeței S.
Definiție 13.3. Integrală de suprafață de primul fel
,
(13.1)
Unde Un este produsul scalar al vectorilor corespunzători și A p– proiecție vectorială A la direcția normală se numește fluxul câmpului vectorial A.M) prin partea selectată a suprafeței S .
Observație 1. Dacă alegeți cealaltă parte a suprafeței, atunci normalul și, în consecință, fluxul își vor schimba semnul.
Observaţia 2. Dacă vectorul A specifică viteza curgerii fluidului într-un punct dat, apoi integrala (13.1) determină cantitatea de fluid care curge pe unitatea de timp prin suprafață Sîntr-o direcție pozitivă (de unde și termenul comun „flux”).
Să fie dat un câmp vectorial plat. În cele ce urmează vom presupune că funcțiile P și Q sunt continue, împreună cu derivatele lor, într-o regiune O a planului
Să luăm în considerare două puncte arbitrare din regiunea G. Aceste puncte pot fi conectate prin linii diferite situate în regiunea de-a lungul cărora valorile integralei curbilinii sunt în general diferite.
Deci, de exemplu, luați în considerare integrala curbilinie
și două puncte. Să calculăm această integrală, în primul rând, de-a lungul liniei drepte care leagă punctele A și B și, în al doilea rând, de-a lungul arcului parabolei care leagă aceleași puncte. Aplicând regulile de calcul a integralei curbilinii, găsim
a) de-a lungul segmentului
b) de-a lungul arcului parabolei:
Astfel, vedem că valorile integralei curbilinie depind de calea de integrare, adică depind de tipul de linie care leagă punctele A și B. Dimpotrivă, așa cum este ușor de verificat, integrala curbilinie de-a lungul aceleași linii care leagă punctele dau același lucru valoare egală cu .
Exemplele analizate arată că integralele curbilinii calculate de-a lungul unor căi diferite care leagă două puncte date sunt în unele cazuri diferite unele de altele, iar în alte cazuri ele iau aceeași valoare.
Fie A și B două puncte arbitrare ale unei regiuni G. Luați în considerare diferite curbe situate în regiunea G și punctele de legătură A și B.
Dacă integrala de linie de-a lungul oricăreia dintre aceste căi ia aceeași valoare, atunci se spune că este independentă de calea de integrare.
Următoarele două teoreme oferă condiții în care integrala dreaptă este independentă de calea de integrare.
Teorema 1. Pentru ca o integrală curbilinie dintr-un domeniu G să fie independentă de calea de integrare, este necesar și suficient ca integrala peste orice contur închis aflat în acest domeniu să fie egală cu zero.
Dovada. Adecvarea.
Fie integrala peste orice contur închis desenat în regiunea G egală cu zero. Să arătăm că această integrală nu depinde de calea integrării. De fapt, fie A și B două puncte aparținând regiunii G. Să conectăm aceste puncte prin două curbe diferite, alese arbitrar, situate în regiunea G (Fig. 257).
Să arătăm că arcele formează un contur închis Ținând cont de proprietățile integralelor curbilinie, obținem
deoarece . Dar, în funcție de condiție, este ca o integrală în buclă închisă.
Prin urmare, sau Astfel, integrala de linie nu depinde de calea de integrare.
Necesitate. Fie integrala curbilinie din domeniul G independentă de calea de integrare. Să arătăm că integrala peste orice contur închis situat în această regiune este egală cu zero. De fapt, să considerăm un contur închis arbitrar situat în regiunea G și să luăm două puncte arbitrare A și B pe el (vezi Fig. 257). Apoi
deoarece conform conditiei . Deci, integrala peste orice contur închis L situat în regiunea G este egală cu zero.
Următoarea teoremă oferă condiții convenabile pentru utilizare practică, în care integrala curbilinie nu depinde de calea de integrare.
Teorema 2.
Pentru ca o integrală curbilinie să fie independentă de calea de integrare într-un domeniu simplu conectat, este necesar și suficient ca condiția să fie îndeplinită în fiecare punct din acest domeniu
Dovada. Adecvarea. Să arătăm în domeniul că integrala curbilinie peste orice contur închis L aflat în domeniul G este egală cu zero. Să considerăm o zonă a mărginită de un contur L. Datorită naturii simplu conectate a regiunii G, zona a aparține în întregime acestei zone. Pe baza formulei Ostrogradsky-Green, în special, pe site-ul Prin urmare și prin urmare, . Deci, integrala peste orice contur închis L din regiunea G este egală cu zero. Pe baza teoremei 1, concluzionăm că integrala curbilinie nu depinde de calea de integrare.
Necesitate. Fie integrala curbilinie independentă de calea de integrare într-un domeniu Q. Să arătăm că în toate punctele domeniului
Să presupunem contrariul, adică că la un moment dat în regiune Să, pentru certitudine, . Datorită ipotezei continuității derivatelor parțiale, diferența va fi și o funcție continuă. În consecință, în jurul unui punct se poate descrie un cerc a (aflat în regiunea G), în toate punctele căruia, ca și în punct, diferența va fi pozitivă. Să aplicăm cercului formula Ostrogradsky-Green.
O regiune se numește pur și simplu conexă dacă granița ei este o mulțime conexă. O regiune se numește n-conectată dacă granița ei se împarte în n seturi conectate.
Cometariu. Formula lui Green este valabilă și pentru regiunile multiconectate.
Pentru ca integrala (A, B – orice puncte din D) să nu depindă de calea de integrare (ci doar de punctele inițiale și finale A, B), este necesar și suficient ca de-a lungul oricărei curbe închise (de-a lungul oricărei curbe). contur) situată în D integrala a fost egală cu zero =0
Dovada (necesitatea). Fie (4) independent de calea de integrare. Luați în considerare un contur arbitrar C situat în regiunea D și alegeți două puncte arbitrare A, B pe acest contur. Atunci curba C poate fi reprezentată ca unirea a două curbe AB=G2, AB=G1, C=Г - 1 + G2.
Teorema 1. Pentru ca o integrală curbilinie să fie independentă de calea de integrare în D, este necesar și suficient ca
în zona D. Suficienţă. Dacă acest lucru este adevărat, atunci formula lui Green pentru orice contur C va fi 
de unde afirmaţia cerută urmează lemă. Necesitate. Prin lemă pentru orice contur = 0. Apoi, prin formula lui Green pentru aria D mărginită de acest contur = 0. Prin teorema valorii medii = mD sau = = 0. Trecând la limită, contractând conturul la un punct, obținem că în acest punct.
Teorema 2. Pentru ca integrala curbilinie (4) să fie independentă de calea de integrare în D, este necesar și suficient ca expresia integrandă Pdx+Qdy să fie diferența totală a unei funcții u din domeniul D. du = Pdx+Qdy. Adecvarea. Să se împlinească, apoi Necesitatea. Fie integrala independentă de calea integrării. Fixăm un punct A0 din domeniul D și definim funcția u(A) = u(x,y)=
În acest caz
XО (xО). Astfel, există o derivată =P. În mod similar, se verifică că =Q. În baza ipotezelor făcute, funcția u se dovedește a fi diferențiabilă continuu și du = Pdx+Qdy.
32-33. Definirea integralelor curbilinii de primul și al doilea fel
Integrală curbilinie pe lungimea arcului (primul tip)
Fie definită și continuă funcția f(x,y) în punctele arcului AB ale unei curbe netede K. Împărțiți în mod arbitrar arcul în n arce elementare prin punctele t0..tn fie lk lungimea k a particularului arc. Să luăm un punct arbitrar N(k,k) pe fiecare arc elementar și să înmulțim acest punct cu punctul corespunzător. lungimea arcului va fi compusă din trei sume integrale:
1
=
f(k,k)lk 2 = 
Р(k,k)хk 3 = 
Q(k,k)yk, unde хk = x k -x k -1 , yk = y k -y k -1
Integrala curbilinie de primul fel de-a lungul lungimii arcului se va numi limita sumei integrale 1, cu condiția ca max(lk) 0 
Dacă limita sumei integrale este 2 sau 3 la 0, atunci se numește această limită. integrală curbilinie de al 2-lea fel, o funcție P(x,y) sau Q(x,y) de-a lungul curbei l = AB și se notează: 
sau 
Cantitate: 
+
Se obișnuiește să o numim o integrală curbilinie generală de al 2-lea fel și să o notăm cu simbolul: 
în acest caz, funcțiile f(x,y), P(x,y), Q(x,y) se numesc integrabile de-a lungul curbei l = AB. Curba l însăși se numește contur sau prin integrare A este punctul inițial, B este punctul final de integrare, dl este diferența lungimii arcului, de aceea se numește integrala curbilinie de primul fel. o integrală curbilinie peste un arc de curbă și de al doilea fel – peste o funcție.
Din definiția integralelor curbilinii rezultă că integralele de primul fel nu depind de direcția în care curba l este rulată de la A și B sau de la B și A. Integrală curbilinie de primul fel de-a lungul AB:
, pentru integralele curbilinii de al 2-lea fel, o modificare a direcției curbei duce la o schimbare a semnului:
În cazul în care l este o curbă închisă, adică punctul B coincide cu punctul A, atunci dintre cele două direcții posibile de parcurgere a conturului închis, l se numește pozitiv direcția în care zona aflată în interiorul conturului rămâne la stânga cu respect pentru??? făcând o rotundă, adică direcția de mișcare este în sens invers acelor de ceasornic. Direcția opusă de traversare se numește negativă. Integrala curbilinie AB de-a lungul unui contur închis l parcurs în direcție pozitivă va fi notat cu simbolul:
Pentru o curbă spațială, se introduce în mod similar o integrală de primul fel:
și trei integrale de al 2-lea fel:
se numește suma ultimelor trei integrale. integrală curbilinie generală de felul 2.
Câteva aplicații ale integralelor curbilinii de primul fel.
1.Integral 
- lungimea arcului AB
2. Sensul mecanic al integralei de felul I.
Dacă f(x,y) = (x,y) este densitatea liniară a arcului material, atunci masa acestuia: 
3. Coordonatele centrului de masă al arcului material:
4. Momentul de inerție al unui arc situat în planul oxi în raport cu originea coordonatelor și axelor de rotație ox, oy:
5. Sensul geometric al integralei de felul I
Fie funcția z = f(x,y) – să aibă dimensiunea lungimii f(x,y)>=0 în toate punctele arcului material aflat în planul oxi, atunci:
, unde S este aria suprafeței cilindrice, pisica este formată din perpendiculare pe planul okha, la est. în punctele M(x,y) ale curbei AB.
Câteva aplicații ale integralelor curbilinii de al 2-lea fel.
Calculul ariei unei regiuni plane D cu limita L
2. Munca de forta. Fie ca un punct material, sub influența unei forțe, să se deplaseze de-a lungul unei curbe plane continue BC, îndreptându-se de la B la C, lucrul acestei forțe este:
Al 2-lea fel din calea integrării
Să considerăm o integrală curbilinie de al 2-lea fel, unde L este curba care leagă punctele M și N. Fie funcțiile P(x, y) și Q(x, y) să aibă derivate parțiale continue într-un domeniu D în care curba L se află în întregime. Să determinăm condițiile în care integrala curbilinie luată în considerare nu depinde de forma curbei L, ci doar de locația punctelor M și N.
Să desenăm două curbe arbitrare MSN și MTN, situate în zona D și conectând punctele M și N (Fig. 14).
Să presupunem că, adică
unde L este o buclă închisă formată din curbele MSN și NTM (prin urmare, poate fi considerată arbitrară). Astfel, condiția pentru independența unei integrale curbilinie de al 2-lea fel față de calea de integrare este echivalentă cu condiția ca o astfel de integrală peste orice contur închis să fie egală cu zero.
Teorema 5 (teorema lui Green). Fie funcțiile P(x, y) și Q(x, y) și derivatele lor parțiale și să fie continue în toate punctele unui domeniu D. Apoi, pentru ca orice contur închis L situat în domeniul D să satisfacă condiția
este necesar și suficient ca = în toate punctele regiunii D.
Dovada.
1) Suficiență: condiția = să fie satisfăcută. Să considerăm un contur închis arbitrar L în regiunea D, care mărginește regiunea S și să scriem formula lui Green pentru el:
Deci, suficiența a fost dovedită.
2) Necesitate: să presupunem că condiția este îndeplinită în fiecare punct al regiunii D, dar există cel puțin un punct al acestei regiuni în care -? 0. Fie, de exemplu, în punctul P(x0, y0) avem: - > 0. Deoarece partea stângă a inegalității conține o funcție continuă, va fi aceasta pozitivă și mai mare decât unele? > 0 într-o regiune mică D` care conține punctul P. În consecință,
De aici, folosind formula lui Green, obținem asta
unde L` este conturul care limitează zona D`. Acest rezultat contrazice condiția. În consecință, = în toate punctele regiunii D, ceea ce trebuia demonstrat.
Observație 1. În mod similar, pentru spațiul tridimensional se poate dovedi că condițiile necesare și suficiente pentru independența integralei curbilinii
din calea de integrare sunt:
Observația 2. Dacă sunt îndeplinite condițiile (52), expresia Pdx + Qdy + Rdz este diferența totală a unei funcții u. Acest lucru ne permite să reducem calculul unei integrale curbilinii la determinarea diferenței dintre valorile atât la punctul final, cât și la punctul inițial al conturului de integrare, deoarece
În acest caz, funcția și poate fi găsită folosind formula
unde (x0, y0, z0) este un punct din regiunea D, iar C este o constantă arbitrară. Într-adevăr, este ușor de verificat că derivatele parțiale ale funcției și, date de formula (53), sunt egale cu P, Q și R.
Exemplul 10.
Calculați integrala dreaptă de al 2-lea fel
de-a lungul unei curbe arbitrare care leagă punctele (1, 1, 1) și (2, 3, 4).
Să ne asigurăm că sunt îndeplinite condițiile (52):
Prin urmare, funcția există. Să o găsim folosind formula (53), punând x0 = y0 = z0 = 0. Atunci
Astfel, funcția este determinată până la un termen constant arbitrar. Să luăm C = 0, atunci u = xyz. Prin urmare,
30. Formula lui Green. Condiții pentru independența unei integrale curbilinie față de calea integrării.
Formula lui Green: Dacă C este granița închisă a domeniului D și funcțiile P(x,y) și Q(x,y) împreună cu derivatele lor parțiale de ordinul întâi sunt continue în domeniul închis D (inclusiv granița lui C ), atunci formula lui Green este validă:, iar ocolirea în jurul conturului C este selectată astfel încât zona D să rămână în stânga.
Din prelegeri: Să fie date funcțiile P(x,y) și Q(x,y), care sunt continue în domeniul D împreună cu derivate parțiale de ordinul întâi. Integrală peste limita (L), cuprinsă în întregime în regiunea D și care conține toate punctele din regiunea D: . Direcția pozitivă a conturului este atunci când partea limitată a conturului este la stânga.
Condiție pentru independența unei integrale curbilinii de al 2-lea fel de calea de integrare. O condiție necesară și suficientă pentru faptul că integrala curbilinie de primul fel care leagă punctele M1 și M2 nu depinde de calea de integrare, ci depinde doar de punctele de început și de sfârșit, este egalitatea:.
.
31. Integrale de suprafață de primul și al doilea fel, proprietățile lor de bază și calcul.
– precizarea suprafeţei.
Să proiectăm S pe planul xy și să obținem o regiune D. Împărțim regiunea D cu o grilă de linii în părți numite Di. Din fiecare punct al fiecărei drepte trasăm drepte paralele cu z, apoi S va fi împărțit în Si. Să facem o sumă integrală: . Să direcționăm diametrul maxim Di către zero:, obținem:
Aceasta este o integrală de suprafață de primul fel
Așa se calculează o integrală de suprafață de primul fel.
Definiție pe scurt. Dacă există o limită finită a sumei integrale, independentă de metoda de împărțire a S în secțiuni elementare Si și de alegerea punctelor, atunci se numește integrală de suprafață de primul fel.
Când treceți de la variabilele x și y la u și v:
P 
o integrală de suprafață are toate proprietățile unei integrale obișnuite. Vezi întrebările de mai sus.
Definirea unei integrale de suprafață de al doilea fel, proprietățile ei de bază și calculul. Legătura cu integrala de primul fel.
Fie dată o suprafață S, mărginită de o dreaptă L (Fig. 3.10). Să luăm un contur L pe suprafața S care nu are puncte comune cu limita L. În punctul M al conturului L putem restabili două normale la suprafața S. Să alegem una dintre aceste direcții. Trasăm punctul M de-a lungul conturului L cu direcția normală selectată.
Dacă punctul M revine la poziția inițială cu aceeași direcție a normalei (și nu invers), atunci suprafața S se numește cu două fețe. Vom lua în considerare doar suprafețele cu două fețe. O suprafață cu două fețe este orice suprafață netedă cu ecuația .
Fie S o suprafață deschisă cu două laturi delimitată de o dreaptă L care nu are puncte de autointersecție. Să alegem o anumită parte a suprafeței. Vom numi direcția pozitivă de parcurgere a conturului L o astfel de direcție în care, la deplasarea de-a lungul părții selectate a suprafeței, suprafața însăși rămâne la stânga. O suprafață cu două fețe cu direcție pozitivă pentru parcurgerea contururilor stabilite pe ea în acest fel se numește suprafață orientată.
Să trecem la construirea unei integrale de suprafață de al doilea fel. Să luăm o suprafață cu două fețe S în spațiu, constând dintr-un număr finit de piese, fiecare dintre acestea fiind dată de o ecuație de formă sau este o suprafață cilindrică cu generatoare paralele cu axa Oz.
Fie R(x,y,z) o funcție definită și continuă pe suprafața S. Folosind o rețea de drepte, împărțim S în mod arbitrar în n secțiuni „elementare” ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi, ..., ΔSn, care nu au puncte interne comune. Pe fiecare secțiune ΔSi selectăm în mod arbitrar un punct Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n). Fie (ΔSi)xy aria proiecției secțiunii ΔSi pe planul de coordonate Oxy, luată cu semnul „+”, dacă normala la suprafața S în punctul Mi(xi,yi,zi) ( i=1,...,n) formele cu axa Oz este un unghi ascuțit, iar cu semnul „–” dacă acest unghi este obtuz. Să compunem suma integrală pentru funcția R(x,y,z) peste suprafața S în variabilele x,y: . Fie λ cel mai mare dintre diametrele ΔSi (i = 1, ..., n).
Dacă există o limită finită care nu depinde de metoda de împărțire a suprafeței S în secțiuni „elementare” ΔSi și de alegerea punctelor, atunci se numește integrala de suprafață peste latura selectată a suprafeței S a funcției R (x,y,z) de-a lungul coordonatelor x, y (sau integrala de suprafață de al doilea fel) și se notează 
.
În mod similar, puteți construi integrale de suprafață peste coordonatele x, z sau y, z de-a lungul laturii corespunzătoare a suprafeței, de exemplu. 
Și 
.
Dacă toate aceste integrale există, atunci putem introduce o integrală „generală” peste latura selectată a suprafeței: .
O integrală de suprafață de al doilea fel are proprietățile obișnuite ale unei integrale. Observăm doar că orice integrală de suprafață de al doilea fel își schimbă semnul atunci când latura suprafeței se schimbă.
Relația dintre integralele de suprafață de primul și al doilea fel.
Fie suprafața S dată de ecuația: z = f(x,y), și f(x,y), f"x(x,y), f"y(x,y) sunt funcții continue în domeniul τ (proiecții ale suprafeței S la planul de coordonate Oxy), iar funcția R(x,y,z) este continuă pe suprafața S. Normala la suprafața S, având cosinus de direcție cos α, cos β, cos γ, este ales pe partea superioară a suprafeței S. Atunci .
Pentru cazul general avem:
= 
| " |
