Tiesi linija plokštumoje ir erdvėje.

Geometrinių figūrų savybių tyrimas naudojant algebrą vadinamas analitinė geometrija , o mes naudosime vadinamąją koordinačių metodas .

Tiesė plokštumoje paprastai apibrėžiama kaip taškų, turinčių savo savybes, rinkinys. Tai, kad taško, esančio šioje tiesėje, koordinatės (skaičiai) x ir y yra analitiškai parašytos kaip lygtis.

Def.1 Linijos lygtis (kreivės lygtis) Oxy plokštumoje vadinama lygtis (*), kurią tenkina kiekvieno duotosios tiesės taško x ir y koordinatės, o ne bet kurio kito taško, esančio ne šioje tiesėje, koordinatės.

Iš 1 apibrėžimo matyti, kad bet kuri tiesė plokštumoje atitinka tam tikrą lygtį tarp dabartinių koordinačių ( x,y ) šios tiesės taškai ir atvirkščiai, bet kuriai ten esančiai lygčiai, paprastai kalbant, atitinka kurią nors tiesę.

Dėl to iškyla dvi pagrindinės analitinės geometrijos plokštumoje problemos.

1. Tiesė pateikta taškų aibės pavidalu. Turite parašyti šios eilutės lygtį.

2. Duota tiesės lygtis. Būtina ištirti jo geometrines savybes (formą ir vietą).

Pavyzdys. Ar taškai meluoja A(-2;1) Ir IN (1;1) 2 eilutėje X +adresu +3=0?

Dviejų tiesių, pateiktų lygtimis, susikirtimo taškų suradimo uždavinys sumažinamas iki koordinačių, tenkinančių abiejų tiesių lygtį, radimo, t.y. dviejų lygčių sistemos dviejuose nežinomuose sprendimui.

Jei ši sistema neturi realių sprendimų, tai linijos nesikerta.

Linijos sąvoka panašiai įvedama ir UCS.

Tiesė plokštumoje gali būti apibrėžta dviem lygtimis

Kur X Ir adresu – savavališkos taško koordinatės M(x; y), gulėti ant šios linijos ir t yra kintamasis vadinamas parametras , parametras apibrėžia taško padėtį plokštumoje.

Pavyzdžiui, jei , tai parametro t=2 reikšmė atitinka tašką (3;4) plokštumoje.

Jei parametras pakeičiamas, tada taškas plokštumoje juda, aprašydamas nurodytą tiesę. Šis linijos apibrėžimo būdas vadinamas parametrinė, o lygtis (5.1) – parametrinė linijos lygtis.

Norint pereiti nuo parametrinių lygčių prie bendrosios lygties (*), būtina tam tikru būdu neįtraukti parametro iš dviejų lygčių. Tačiau pastebime, kad toks perėjimas ne visada yra tikslingas ir ne visada įmanomas.

Liniją lėktuve galima nustatyti vektoriaus lygtis , kur t yra skaliarinio kintamojo parametras. Kiekviena parametro reikšmė atitinka tam tikrą plokštumos vektorių. Keičiant parametrą, vektoriaus pabaiga aprašys kokią nors eilutę.

vektoriaus lygtis DSC yra dvi skaliarinės lygtys

(5.1), t.y. projekcijų lygtys tiesės vektorinės lygties koordinačių ašimis yra jos

parametrines lygtis.

Vektorinė lygtis ir tiesės parametrinės lygtys turi mechaninę reikšmę. Jei taškas juda plokštumoje, tada šios lygtys vadinamos judesio lygtis , o linija yra taško trajektorija, o parametras t yra laikas.

Išvada: bet kuri tiesė plokštumoje atitinka formos lygtį.

Bendruoju atveju BET KOKIA VAIZDO LYGTIS atitinka tam tikrą tiesę, kurios savybes lemia ši lygtis (išimtis – joks geometrinis vaizdas neatitinka lygties plokštumoje).

Tegul pasirenkama koordinačių sistema plokštumoje.

Def. 5.1. Linijos lygtis vadinama tokia formos lygtimiF(x;y) =0, kurią tenkina kiekvieno taško, esančio šioje tiesėje, koordinatės, o ne bet kurio joje nesančio taško koordinatės.

Tipo lygtisF(x;y )=0 vadinama bendrąja tiesės lygtimi arba lygtimi numanoma forma.

Taigi, tiesė Г yra taškų lokusas, tenkinantis pateiktą lygtį Г=((x, y): F(x;y)=0).

Linija taip pat vadinama kreivas.

Formos F(x, y) = 0 lygybė vadinama lygtimi su dviem kintamaisiais x, y, jeigu ji negalioja jokiai skaičių porai x, y. Jie sako, kad du skaičiai x \u003d x 0, y \u003d y 0 tenkina kokią nors lygtį, kurios formos F (x, y) \u003d 0, jei kai šie skaičiai lygtyje pakeičiami kintamaisiais x ir y, jo kairėje pusė išnyksta.

Duotos tiesės lygtis (priskirtoje koordinačių sistemoje) yra lygtis su dviem kintamaisiais, kurią tenkina kiekvieno šioje tiesėje esančio taško koordinatės, o ne kiekvieno joje esančio taško koordinatės.

Toliau vietoj posakio „duota tiesės F(x, y) = 0 lygtis“ dažnai sakysime trumpiau: jei tiesė F(x, y) = 0.

Jei pateiktos dviejų tiesių F(x, y) = 0 ir Ф(x, y) = 0 lygtys, tai jungtinis sistemos sprendimas

F(x, y) = 0, F(x, y) = 0

pateikia visus jų susikirtimo taškus. Tiksliau, kiekviena skaičių pora, kuri yra bendras šios sistemos sprendimas, nustato vieną iš susikirtimo taškų,

157. Duoti taškai *) M 1 (2; -2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M6 (3; -2). Nustatykite, kurie iš nurodytų taškų yra tiesėje, apibrėžtoje lygtimi x + y = 0, o kurie ne. Kurią tiesę apibrėžia ši lygtis? (Parodykite tai brėžinyje.)

158. Tiesėje, apibrėžtoje lygtimi x 2 + y 2 \u003d 25, raskite taškus, kurių abscisės lygios šiems skaičiams: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; toje pačioje tiesėje raskite taškus, kurių ordinatės lygios šiems skaičiams: 5) 3, 6) -5, 7) -8. Kurią tiesę apibrėžia ši lygtis? (Parodykite tai brėžinyje.)

159. Nustatykite, kurias linijas lemia šios lygtys (sudėkite jas brėžinyje): 1) x - y \u003d 0; 2) x + y = 0; 3) x - 2 = 0; 4)x + 3 = 0; 5) y - 5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0; 9) x 2 - xy \u003d 0; 10) xy + y 2 = 0; 11) x 2 - y 2 \u003d 0; 12) xy = 0; 13) 2 - 9 = 0; 14) x 2 - 8x + 15 = 0; 15) y 2 + iš + 4 = 0; 16) x 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y – |x|; 18) x - |y|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |y| = 0; 21) y = |x - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) x 2 + y 2 = 16; 24) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 \u003d 16; 25 (x + 5) 2 + (y-1) 2 = 9; 26) (x - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x - 3) 2 + y 2 = 0; 29) x2 + 2y2 = 0; 30) 2x2 + 3y2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.

160. Duotos eilutės: l)x + y = 0; 2) x - y \u003d 0; 3) x 2 + y 2 - 36 = 0; 4) x 2 + y 2 - 2x + y \u003d 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. Nustatykite, kurie iš jų eina per pradžią.

161. Duotos eilutės: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25; 3) (x + 6) 2 + (y - Z) 2 = 25; 4) (x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) x 2 + y 2 - 12x + 16y - 0; 6) x 2 + y 2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. Raskite jų susikirtimo taškus: a) su x ašimi; b) su Oy ašimi.

162. Raskite dviejų tiesių susikirtimo taškus:

1) x 2 + y 2 - 8; x - y \u003d 0;

2) x 2 + y 2 – 16x + 4y + 18 = 0; x + y = 0;

3) x 2 + y 2 - 2x + 4y - 3 = 0; x 2 + y 2 = 25;

4) x 2 + y 2 - 8y + 10y + 40 = 0; x 2 + y 2 = 4.

163. Taškai M 1 (l; π/3), M 2 (2; 0), M 3 (2; π/4), M 4 (√3; π/6) ir M 5 (1;2/3π) ). Nustatykite, kurie iš šių taškų yra tiesėje, apibrėžtoje poliarinėmis koordinatėmis pagal lygtį p = 2cosΘ, o kurie ne. Kokią tiesę lemia ši lygtis? (Parodykite tai brėžinyje.)

164. Tiesėje, apibrėžtoje lygtimi p \u003d 3 / cosΘ, raskite taškus, kurių poliniai kampai lygūs šiems skaičiams: a) π / 3, b) - π / 3, c) 0, d) π / 6 . Kurią tiesę apibrėžia ši lygtis? (Sukurkite jį ant piešinio.)

165. Tiesėje, apibrėžtoje lygtimi p \u003d 1 / sinΘ, raskite taškus, kurių poliniai spinduliai lygūs šiems skaičiams: a) 1 6) 2, c) √2. Kurią tiesę apibrėžia ši lygtis? (Sukurkite jį ant piešinio.)

166. Nustatykite, kurios tiesės yra nustatytos polinėse koordinatėse pagal šias lygtis (sudėkite jas brėžinyje): 1) p \u003d 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) р cosΘ = 2; 5) p sinΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) p = 10 sinΘ; 8) sinΘ = 1/2; 9) sinp = 1/2.

167. Brėžinyje sukonstruokite tokias Archimedo spirales: 1) p = 20; 2) p = 50; 3) p = Θ/π; 4) p \u003d -Θ / π.

168. Brėžinyje sukonstruokite šias hiperbolines spirales: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/Θ; 3) р = π/Θ; 4) р= - π/Θ

169. Brėžinyje sukonstruokite šias logaritmines spirales: 1) p \u003d 2 Θ; 2) p = (1/2) Θ .

170. Nustatykite atkarpų, į kurias Archimedo spiralė p = 3Θ pjauna spindulį, išeinantį iš poliaus ir kampu Θ = π / 6 pasvirusią į polinę ašį, nustatykite. Padarykite piešinį.

171. Taškas C paimtas ant Archimedo spiralės p \u003d 5 / πΘ, kurios poliarinis spindulys lygus 47. Nustatykite, kiek dalių ši spiralė kerta taško C poliarinį spindulį. Padarykite brėžinį.

172. Ant hiperbolinės spiralės P \u003d 6 / Θ raskite tašką P, kurio poliarinis spindulys lygus 12. Padarykite brėžinį.

173. Ant logaritminės spiralės p \u003d 3 Θ raskite tašką P, kurio polinis spindulys lygus 81. Padarykite brėžinį.

Pakartokime * Kas yra kvadratinė lygtis? * Kokios lygtys vadinamos nepilnomis kvadratinėmis lygtimis? * Kokia kvadratinė lygtis vadinama redukuota? * Kas yra kvadratinės lygties šaknis? * Ką reiškia kvadratinės lygties sprendimas? Kas yra kvadratinė lygtis? Kokios lygtys vadinamos nepilnomis kvadratinėmis lygtimis? Kokia kvadratinė lygtis vadinama redukuota? Kokia yra kvadratinės lygties šaknis? Ką reiškia išspręsti kvadratinę lygtį? Kas yra kvadratinė lygtis? Kokios lygtys vadinamos nepilnomis kvadratinėmis lygtimis? Kokia kvadratinė lygtis vadinama redukuota? Kokia yra kvadratinės lygties šaknis? Ką reiškia išspręsti kvadratinę lygtį?

Kvadratinės lygties sprendimo algoritmas: 1. Nustatyti, kuriuo būdu racionaliau išspręsti kvadratinę lygtį 2. Pasirinkite racionaliausią sprendimo būdą 3. Kvadratinės lygties šaknų skaičiaus nustatymas 4. Kvadratinių lygčių lentelės šaknų radimas ...

Papildoma sąlyga Lygtis Šaknys Pavyzdžiai 1. c = c = 0, a 0 ax 2 = 0 x 1 = 0 2. c = 0, a 0, a 0 ax 2 + bx = 0 x 1 = 0, x 2 = -b /a 3. c \u003d 0, a 0, c 0 ax 2 + c \u003d 0 4. a 0 ax 2 + bx + c \u003d 0 x 1,2 \u003d (-b ± D) / 2 a, kur D \u003d 2–4 as, D0 5. c yra lyginis skaičius (b \u003d 2k), bet 0, esant 0, kai 0 ax 2 + 2kx + c \u003d 0 x 1,2 \u003d (-b ± D) / a, D 1 \u003d k 2 - ac, kur k \u003d 6. Teorema yra priešinga Vietos teoremai x 2 + px + q = 0x 1 + x 2 = - p x 1 x 2 = q

II. Specialieji metodai 7. Dvinalio kvadrato ištraukimo metodas. Tikslas: Sumažinkite bendrąją lygtį iki nepilnos kvadratinės lygties. Pastaba: metodas tinka bet kurioms kvadratinėms lygtims, tačiau jį ne visada patogu naudoti. Naudojamas kvadratinės lygties šaknų formulei įrodyti. Pavyzdys: išspręskite lygtį x 2 -6 x + 8 = 0 8. Vyresniojo koeficiento „perkėlimo“ metodas. Kvadratinių lygčių ax 2 + bx + c = 0 ir y 2 +by+ac=0 šaknys yra susietos ryšiais: ir Pastaba: metodas tinka kvadratinėms lygtims su "patogiais" koeficientais. Kai kuriais atvejais tai leidžia žodžiu išspręsti kvadratinę lygtį. Pavyzdys: išspręskite lygtį 2 x 2 -9 x-5=0 Remiantis teoremomis: Pavyzdys: išspręskite lygtį 157 x x-177=0 9. Jei kvadratinėje lygtyje a + b + c = 0, tai vienas iš šaknys yra 1, o antroji, pagal Vietos teoremą, yra c / a 10. Jei kvadratinėje lygtyje a + c \u003d b, tai viena iš šaknų yra -1, o antroji, pagal Vieta teorema yra -c / a Pavyzdys: išspręskite lygtį 203 x x + 17 \u003d 0 x 1 \u003d y 1 / a, x 2 \u003d y 2 / a

III. Bendrieji lygčių sprendimo metodai 11. Faktoringo metodas. Tikslas: Pateikti bendrąją kvadratinę lygtį į formą A(x)·B(x)=0, kur A(x) ir B(x) yra daugianariai x atžvilgiu. Metodai: Bendrojo faktoriaus skliausteliuose; Sutrumpintų daugybos formulių naudojimas; grupavimo metodas. Pavyzdys: išspręskite lygtį 3 x 2 +2 x-1=0 12. Naujo kintamojo įvedimo būdas. Gerai pasirinkus naują kintamąjį, lygties struktūra tampa skaidresnė Pavyzdys: išspręskite lygtį (x 2 +3 x-25) 2 -6 (x 2 +3 x-25) = - 8

Apsvarstykite formos santykį F(x, y)=0 kintamųjų susiejimas x Ir adresu. Lygybė (1) bus vadinama lygtis su dviem kintamaisiais x, y, jei ši lygybė galioja ne visoms skaičių poroms X Ir adresu. Lygčių pavyzdžiai: 2x + 3y \u003d 0, x 2 + y 2 - 25 \u003d 0,

sin x + sin y - 1 = 0.

Jei (1) yra teisingas visoms skaičių poroms x ir y, tada jis vadinamas tapatybę. Tapatybės pavyzdžiai: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 \u003d 0, (x + y) (x - y) - x 2 + y 2 \u003d 0.

Bus vadinama (1) lygtis taškų aibės lygtis (x; y), jei šią lygtį tenkina koordinatės X Ir adresu bet kurį aibės tašką ir netenkina nė vieno šiai aibei nepriklausančio taško koordinačių.

Svarbi analitinės geometrijos sąvoka yra tiesės lygties sąvoka. Tegu stačiakampė koordinačių sistema ir tam tikra linija α.

Apibrėžimas. Lygtis (1) vadinama tiesine lygtimi α (sukurtoje koordinačių sistemoje), jei šią lygtį tenkina koordinatės X Ir adresu bet kurį linijos tašką α , ir netenkina jokio taško, kuris nėra šioje tiesėje, koordinačių.

Jei (1) yra tiesės lygtis α, tada mes pasakysime, kad lygtis (1) nustato (nustato) linija α.

Linija α gali būti nustatytas ne tik pagal formos lygtį (1), bet ir pagal formos lygtį

F(P, φ) = 0, kuriame yra polinės koordinatės.

• tiesės su nuolydžiu lygtis;

Leiskite pateikti tam tikrą tiesią, o ne ašiai statmeną liniją OI. Paskambinkime pasvirimo kampas duota linija ašiai OI kampas α kuria sukti ašį OI kad teigiama kryptis sutaptų su viena iš tiesės krypčių. Tiesios linijos polinkio kampo liestinė su ašimi OI paskambino nuolydžio koeficientasši tiesi linija ir žymima raide KAM.

	K=tg α
		(1)

Išvedame šios tiesės lygtį, jei ją žinome KAM ir segmento vertę OV, kurią ji nupjauna ant ašies OU.

(2)

y=kx+b

Pažymėti M"lėktuvo taškas (x; y). Jei piešiate tiesiai BN Ir NM, lygiagrečiai ašims, tada r BNM – stačiakampis. T. MC C BM <=>kai vertybės NM Ir BN patenkinti sąlygą: . Bet NM=CM-CN=CM-OB=y-b, BN=x=> atsižvelgiant į (1), mes gauname, kad taškas M (x; y) Cšioje linijoje<=>kai jo koordinatės tenkina lygtį: =>

(2) lygtis vadinama tiesės su nuolydžiu lygtis. Jeigu K=0, tada linija lygiagreti ašiai OI o jo lygtis yra y = b.

• tiesės, einančios per du taškus, lygtis;

(4)

Tegul du taškai M 1 (x 1; y 1) Ir M2 (x 2; y 2). Priėmęs (3) punktą M (x; y) už nugaros M 2 (x 2; y 2), mes gauname y 2 -y 1 \u003d k (x 2 - x 1). Apibrėžimas k iš paskutinės lygybės ir pakeisdami ją į (3) lygtį, gauname norimą tiesės lygtį: . Tai lygtis, jei y 1 ≠ y 2, gali būti parašytas taip:

Jeigu y 1 = y 2, tada norimos tiesės lygtis turi formą y = y 1. Šiuo atveju linija yra lygiagreti ašiai OI. Jeigu x 1 = x 2, tada linija, einanti per taškus M 1 Ir M 2, lygiagrečiai ašiai OU, jos lygtis turi formą x = x 1.

• tiesės, einančios per tam tikrą tašką tam tikru nuolydžiu, lygtis;

(3)

Ax + By + C = 0

Teorema. Stačiakampėje koordinačių sistemoje Oho bet kuri tiesi linija nurodoma pirmojo laipsnio lygtimi:

ir, atvirkščiai, (5) lygtis savavališkiems koeficientams A, B, C (A Ir B ≠ 0 vienu metu) apibrėžia kokią nors tiesę stačiakampėje koordinačių sistemoje Oho.

Įrodymas.

Pirmiausia įrodykime pirmąjį teiginį. Jei linija nėra statmena Oi, tada jis nustatomas pagal pirmojo laipsnio lygtį: y = kx + b, t.y. (5) formos lygtis, kur

A=k, B=-1 Ir C = b. Jei linija statmena Oi, tada visi jo taškai turi tą pačią abscisę, lygią reikšmei α segmentas, nupjautas tiesia linija ašyje Oi.

Šios linijos lygtis turi formą x = α, tie. taip pat yra (5) formos pirmojo laipsnio lygtis, kur A \u003d 1, B = 0, C = α. Tai patvirtina pirmąjį teiginį.

Įrodykime priešingą teiginį. Tegu pateikta (5) lygtis ir bent vienas iš koeficientų A Ir B ≠ 0.

Jeigu B ≠ 0, tada (5) gali būti parašytas kaip . pasviręs , gauname lygtį y = kx + b, t.y. (2) formos lygtis, apibrėžianti tiesę.

Jeigu B = 0, Tai A ≠ 0 ir (5) turi formą . Žymi per α, mes gauname

x = α, t.y. tiesės, statmenos Ox, lygtis.

Vadinamos tiesės, apibrėžtos stačiakampėje koordinačių sistemoje pirmojo laipsnio lygtimi pirmosios eilės.

Tipo lygtis Ah + Wu + C = 0 yra nepilnas, t.y. vienas iš koeficientų lygus nuliui.

1) C = 0; Ah + Wu = 0 ir apibrėžia liniją, einančią per pradžią.

2) B = 0 (A ≠ 0); lygtis Ax + C = 0 OU.

3) A = 0 (B ≠ 0); Wu + C = 0 ir apibrėžia lygiagrečią tiesę Oi.

Lygtis (6) vadinama tiesės lygtimi „atkarpomis“. Skaičiai A Ir b yra atkarpų, kurias tiesi linija nukerta koordinačių ašyse, reikšmės. Ši lygties forma yra patogi tiesios linijos geometrinei konstrukcijai.

• normalioji tiesės lygtis;

Аx + Вy + С = 0 yra bendroji kai kurios tiesės lygtis ir (5) x cos α + y sin α – p = 0(7)

jos normalioji lygtis.

Kadangi (5) ir (7) lygtys apibrėžia tą pačią tiesę, tada ( A 1x + B 1y + C 1 \u003d 0 Ir

A 2x + B 2y + C 2 = 0 => ) šių lygčių koeficientai yra proporcingi. Tai reiškia, kad visus (5) lygties narius padauginus iš kokio nors koeficiento M, gauname lygtį MA x + MB y + MS = 0, sutampa su (7) lygtimi, t.y.

MA = cos α, MB = sin α, MC = - P(8)

Norėdami rasti koeficientą M, sugretiname pirmąsias dvi lygybes ir pridedame:

M 2 (A 2 + B 2) \u003d cos 2 α + sin 2 α \u003d 1

F formos lygybė (x, y) = 0 vadinama lygtimi su dviem kintamaisiais x, y, jei tai teisinga ne visoms skaičių poroms x, y. Jie sako du skaičius x = x 0 , y=y 0, tenkina kokią nors formos lygtį F(x, y) = 0, jei pakeičiant šiuos skaičius vietoj kintamųjų X Ir adresu lygtyje jos kairioji pusė išnyksta.

Duotos tiesės lygtis (priskirtoje koordinačių sistemoje) yra lygtis su dviem kintamaisiais, kurią tenkina kiekvieno šioje tiesėje esančio taško koordinatės, o ne kiekvieno joje esančio taško koordinatės.

Ateityje vietoj posakio „atsižvelgiant į linijos lygtį F(x, y) = 0" dažnai sakysime trumpiau: duota eilutė F(x, y) = 0.

Duotos dviejų eilučių lygtys F(x, y) = 0 Ir Ф(x, y) = Q, tada bendras sistemos sprendimas

pateikia visus jų susikirtimo taškus. Tiksliau, kiekviena skaičių pora, kuri yra jungtinis šios sistemos sprendimas, nustato vieną iš susikirtimo taškų.

*) Tais atvejais, kai koordinačių sistema neįvardyta, laikoma, kad ji yra Dekarto stačiakampė.

157. Taškai skiriami *) M 1 (2; - 2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M 6(3;-2). Nustatykite, kuris iš nurodytų taškų yra lygties apibrėžtoje tiesėje X+ y = 0, ir kurie ant jo neguli. Kurią tiesę apibrėžia ši lygtis? (Parodykite tai brėžinyje.)

158. Ant lygties apibrėžtos tiesės X 2 + y 2 \u003d 25, raskite taškus, kurių abscisės yra lygios šiems skaičiams: a) 0, b) - 3, c) 5, d) 7; toje pačioje tiesėje raskite taškus, kurių ordinatės lygios šiems skaičiams: e) 3, f) - 5, g) - 8. Kurią tiesę apibrėžia ši lygtis? (Parodykite tai brėžinyje.)

159. Nustatykite, kurias linijas lemia šios lygtys (sudėkite jas brėžinyje):

1) x - y \u003d 0; 2) x + y = 0; 3) x- 2 = 0; 4) x+ 3 = 0;

5) y - 5 = 0; 6) y+ 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0;

9) x 2 - xy = 0; 10) xy+ y2 = 0; vienuolika) x 2 - y 2 = 0; 12) xy= 0;

13) y 2 - 9 = 0; 14) xy 2 - 8xy+15 = 0; 15) y2 +5y+4 = 0;

16) X 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y =|x|; 18) x =|adresu|; 19)y + |x|=0;

20) x +|adresu|= 0; 21)y=|X- 1|; 22) y = |x+ 2|; 23) X 2 + adresu 2 = 16;

24) (x-2) 2 +(y-1) 2 =16; 25) (x+ 5) 2 +(y- 1) 2 = 9;

26) (X - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 +(y + 3) 2 = 1; 28) (x -3) 2 + y 2 = 0;

29) X 2 + 2y 2 = 0; 30) 2X 2 + 3y 2 + 5 = 0

31) (x- 2) 2 + (y + 3) 2 + 1=0.

160. Duotos eilutės:

1)X+ y= 0; 2)x - y = 0; 3) x 2 + y 2 - 36 = 0;

4) x 2 +y 2 -2x==0; 5) x 2 +y 2 + 4x-6y-1 =0.

Nustatykite, kurie iš jų eina per ištaką.

161. Duotos eilutės:

1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x- 3) 2 + (y+ 4) 2 = 25;

3) (x+ 6) 2 + (y - 3) 2 = 25; 4) ( x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9;

5) x 2 +y 2 - 12x + 16y = 0; 6) x 2 +y 2 - 2x + 8adresu+ 7 = 0;

7) x 2 +y 2 - 6x + 4y + 12 = 0.

Raskite jų susikirtimo taškus: a) su ašimi Oi; b) su ašimi OU.

162. Raskite dviejų tiesių susikirtimo taškus;

1)X 2 +y 2 = 8, x-y = 0;

2) X 2 +y 2 -16x+4adresu+18 = 0, x + y= 0;

3) X 2 +y 2 -2x+4adresu -3 = 0, X 2 + y 2 = 25;

4) X 2 +y 2 -8x+10 m. + 40 = 0, X 2 + y 2 = 4.

163. Taškai pateikiami polinių koordinačių sistemoje

M 1 (1; ), M 2 (2; 0), M 3 (2; )

M 4 (
;) Ir M 5 (1; )

Nustatykite, kurie iš šių taškų yra tiesėje, apibrėžtoje lygtimi polinėmis koordinatėmis  = 2 cos , o kurios ne. Kokią tiesę lemia ši lygtis? (Parodyk ant piešinio :)

164. Tiesėje, apibrėžtoje lygtimi  = , Raskite taškus, kurių poliariniai kampai yra lygūs šiems skaičiams: a) ,b) - , c) 0, d) . Kurią tiesę apibrėžia ši lygtis?

(Sukurkite jį ant piešinio.)

165. Tiesėje, apibrėžtoje lygtimi  = , raskite taškus, kurių poliariniai spinduliai lygūs šiems skaičiams: a) 1, b) 2, c)
. Kurią tiesę apibrėžia ši lygtis? (Sukurkite jį ant piešinio.)

166. Nustatykite, kurios tiesės yra nustatytos polinėse koordinatėse šiomis lygtimis (sukurkite jas brėžinyje):

1)  = 5; 2)  = ; 3)  = ; 4)  cos  = 2; 5)  sin  = 1;

6)  = 6 cos ; 7)  = 10 sin ; 8) nuodėmė  = 9) nuodėmė  =

167. Ant brėžinio sukonstruokite tokias Archimedo spirales:

1)  = 5, 2)  = 5; 3)  = ; 4) p \u003d -1.

168. Brėžinyje sukonstruokite šias hiperbolines spirales:

1)  = ; 2) = ; 3) = ; 4) = - .

169. Brėžinyje sukonstruokite šias logaritmines spirales:

,
.

170. Nustatykite atkarpų, į kurias įsirėžia Archimedo spiralė, ilgį

spindulys, išeinantis iš poliaus ir kampu pasviręs į poliarinę ašį
. Padarykite piešinį.

171. Archimedo spirale
paimtas taškas SU, kurio poliarinis spindulys yra 47. Nustatykite, kiek dalių ši spiralė įkerta taško poliarinį spindulį SU, Padarykite piešinį.

172. Ant hiperbolinės spiralės
rasti tašką R, kurio poliarinis spindulys yra 12. Padarykite brėžinį.

173. Ant logaritminės spiralės
raskite tašką Q, kurio poliarinis spindulys lygus 81. Padarykite brėžinį.