Monte Karlo metodas

1. Monte Karlo metodo dalykas

Monte Karlo metodo gimimo data laikomi 1949 m., kai mokslininkai N. Metropolis ir S. Ulamas paskelbė straipsnį „Monte Karlo metodas“, kuriame išdėstė savo metodo esmę. Metodo pavadinimas siejamas su Monte Karlo miesto pavadinimu, kuriame lošimo namuose (kazino) žaidžiama ruletė, kuri yra vienas iš paprasčiausių prietaisų norint gauti vadinamąjį „ atsitiktiniai skaičiai “, kuriuo pagrįstas šis metodas.

Kompiuteriai leidžia lengvai gauti vadinamąjį „ pseudoatsitiktiniai skaičiai "(sprendžiant uždavinius jie dažnai naudojami vietoj atsitiktinių skaičių). Tai paskatino plačiai taikyti metodą daugelyje mokslo ir technologijų sričių (statistinės fizikos, eilių teorijos, žaidimų teorijos ir kt.). Monte Karlo metodas naudojamas skaičiuojant integralus, ypač daugiamačius, sprendžiant aukštos eilės algebrinių lygčių sistemas, tiriant įvairias sudėtingas sistemas (automatinio valdymo, ekonomines, biologines ir kt.).

Monte Karlo metodo esmė yra taip: reikia rasti vertęnumeriai kai kurie tiriami kiekiai. Norėdami tai padaryti, pasirinkite šį atsitiktinį kintamąjį
, kurio matematinis lūkestis yra lygus :
, t.y. išspręs nurodytą funkcinę lygtį. Ši užduotis paprastai yra labai sudėtinga ir sunki.

Praktiškai jie tai daro: gamina testus, kurių rezultatas jie gauna galimas vertes
; apskaičiuokite jų aritmetinį vidurkį

ir priimti kaip apytikslė vertė (apytikslė vertė) reikiamo skaičiaus :

Kadangi Monte Karlo metodas reikalauja daug bandymų, jis dažnai vadinamas statistinio tyrimo metodas. Šio metodo teorija nurodo, kaip tinkamiausiai parinkti atsitiktinį kintamąjį
, kaip rasti galimas jo vertes. Visų pirma, kuriami metodai, skirti sumažinti naudojamų atsitiktinių dydžių sklaidą, dėl ko sumažėja leistina paklaida pakeičiant norimą matematinį skaičiaus lūkestį. jo įvertinimas .

Galimų atsitiktinio dydžio reikšmių radimas
(modeliacijos) vadinamos " žaisti atsitiktinį kintamąjį“ Čia apibūdinsime tik kai kuriuos žaidimo r.v būdus.
ir nurodysime, kaip įvertinti leistiną klaidą.

2. Atsitiktiniai skaičiai, Monte Karlo metodo klaidų įvertinimas.

Kaip jau minėta, Monte Karlo metodas pagrįstas atsitiktinių skaičių naudojimu; Pateiksime šių skaičių apibrėžimą. Pažymėkime pagal n.s.v., pasiskirstęs tolygiai intervale
.

Atsitiktiniai skaičiaiįvardykite galimas tęstinio atsitiktinio dydžio reikšmes , pasiskirstę tolygiai per intervalą
.

Realiai jie naudoja netolygiai paskirstytą r.v. , kurių galimos reikšmės, paprastai tariant, turi begalinį skaičių po kablelio ir beveik vienodas atsitiktinis dydis
, kurio galima reikšmė turi baigtinį simbolių skaičių. Dėl pakeitimo įjungta
grojama vertė turi ne tiksliai, bet apytiksliai nurodytą pasiskirstymą.

Knygos gale yra atsitiktinių skaičių lentelė, pasiskolinta iš knygos (Bolševas L.N.... „Matematinės statistikos lentelės. Mokslas, 1965).

Leiskite gauti sąmatą matematinis skaičiaus lūkestis atsitiktinis kintamasis
buvo gaminamas nepriklausomi testai (braižyti galimos reikšmės) ir iš jų buvo rastas imties vidurkis , kuris priimamas kaip reikalinga sąmata
.

Akivaizdu, kad pakartojus eksperimentą bus gautos kitos galimos reikšmės
. Todėl kitoks vidurkis ir kitoks skaičiaus įvertinimas
. Iš to išplaukia, kad bendru atveju tikslaus MO įvertinimo gauti neįmanoma.

Natūralu, kad kyla klausimas dėl leistinos paklaidos dydžio. Čia apsiribojame tik viršutinės ribos radimu leistina paklaida su nurodyta tikimybe (patikimumas)

Mus domina viršutinė paklaidos riba yra ne kas kita kaip " įvertinimo tikslumas» matematinis lūkestis imties vidurkiui naudojant pasikliautinuosius intervalus jau buvo aptartas skyriaus 1 priedo 21 temoje. Šiuo atžvilgiu naudosime anksčiau gautą

Enciklopedinis „YouTube“.

1 / 5

✪ Nykščio taisyklė – Monte Karlo metodas

✪ Dmitrijus Kazakovas – kvarkai

✪ [Kolokviumas]: matematinių metodų spindesys ir skurdas taikomuosiuose tyrimuose

✪ 1 paskaita: Skaičiavimo klaidos

✪ Elena Brown - Ričardo mitas

Subtitrai

Istorija

Buffono algoritmas Pi nustatymui

	Metimų skaičius	Sankryžų skaičius	Adatos ilgis	Atstumas tarp eilučių	Rotacija	Pi vertė	Klaida
Pirmas bandymas	500	236	3	4	nėra	3.1780	+3,6⋅10 -2
Antras bandymas	530	253	3	4	pateikti	3.1423	+7,0⋅10 -4
Trečias bandymas	590	939	5	2	pateikti	3.1416	+4,7⋅10 -5

Komentarai:

Stochastinių procesų ir diferencialinių lygčių ryšys

Stochastinių metodų matematinis aparatas pradėtas kurti XIX amžiaus pabaigoje. 1899 m. lordas Reilis parodė, kad vienmatis atsitiktinis ėjimas begalinėje gardelėje gali duoti apytikslį tam tikros rūšies parabolinės diferencialinės lygties sprendimą. Andrejus Nikolajevičius Kolmogorovas 1931 m. suteikė didelį postūmį plėtoti stochastinius įvairių matematinių problemų sprendimo būdus, nes sugebėjo įrodyti, kad Markovo grandinės yra susijusios su tam tikromis integro-diferencialinėmis lygtimis. 1933 m. Ivanas Georgijevičius Petrovskis parodė, kad atsitiktinis ėjimas, sudarantis Markovo grandinę, yra asimptotiškai susijęs su elipsinės dalinės diferencialinės lygties sprendimu. Po šių atradimų paaiškėjo, kad stochastinius procesus galima apibūdinti diferencialinėmis lygtimis ir atitinkamai tirti naudojant gerai išvystytus matematinius šių lygčių sprendimo metodus tuo metu.

Monte Karlo metodo gimimas Los Alamose

Idėją sukūrė Ulamas, kuris, žaisdamas pasjansą sveikdamas nuo ligos, susimąstė, kokia yra tikimybė, kad pasjanso žaidimas pasiteisins. Užuot naudojęs įprastus kombinatorikos svarstymus tokioms problemoms spręsti, Ulamas pasiūlė tiesiog atlikti eksperimentą daug kartų ir, skaičiuojant sėkmingų rezultatų skaičių, įvertinti tikimybę. Jis taip pat pasiūlė Monte Karlo skaičiavimams naudoti kompiuterius.

Pirmųjų elektroninių kompiuterių, galinčių dideliu greičiu generuoti pseudoatsitiktinius skaičius, atsiradimas smarkiai išplėtė problemų, kurioms stochastinis metodas pasirodė esąs veiksmingesnis už kitus matematinius metodus, spektrą. Po to įvyko didelis lūžis, o Monte Karlo metodas buvo naudojamas daugeliui problemų, tačiau jo naudojimas ne visada buvo pagrįstas dėl daugybės skaičiavimų, reikalingų norint gauti atsakymą nurodytu tikslumu.

Monte Karlo metodo gimimo metais laikomi 1949-ieji, kai buvo paskelbtas Metropolis ir Ulamo straipsnis „Monte Karlo metodas“. Metodo pavadinimas kilęs iš komunos Monako Kunigaikštystėje, plačiai žinomos dėl daugybės kazino, pavadinimo, nes ruletė yra vienas plačiausiai žinomų atsitiktinių skaičių generatorių. Stanislovas Ulamas savo autobiografijoje „Matematiko nuotykiai“ rašo, kad šį pavadinimą pasiūlė Nikolajus Metropolis, pagerbdamas savo dėdę, kuris buvo lošėjas.

Tolesnė plėtra ir modernumas

Monte Karlo integracija

Tarkime, kad turime paimti kokios nors funkcijos integralą. Naudokime neformalų geometrinį integralo aprašymą ir suprasime jį kaip plotą po šios funkcijos grafiku.

Norėdami nustatyti šią sritį, galite naudoti vieną iš įprastų skaitmeninio integravimo metodų: padalinkite segmentą į posegmentus, kiekviename iš jų apskaičiuokite plotą po funkcijos grafiku ir sudėkite. Tarkime, kad 2 paveiksle pavaizduotai funkcijai pakanka ją padalinti į 25 segmentus ir apskaičiuoti 25 funkcijos reikšmes. Įsivaizduokime dabar, su kuo susiduriame n (\displaystyle n)- matmenų funkcija. Tada mums reikia 25 n (\displaystyle 25^(n)) segmentus ir tiek pat funkcijos reikšmės skaičiavimų. Kai funkcijos matmuo yra didesnis nei 10, problema tampa didžiulė. Kadangi didelių matmenų erdvės atsiranda, ypač stygų teorijos uždaviniuose, taip pat daugelyje kitų fizinių problemų, kuriose yra daug laisvės laipsnių sistemos, būtina turėti sprendimo metodą, kurio skaičiavimo sudėtingumas taip stipriai nepriklausytų nuo matmuo. Būtent tokią savybę turi Monte Karlo metodas.

Įprastas Monte Karlo integravimo algoritmas

Tarkime, kad reikia apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą ∫ a b f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)\,dx)

Apsvarstykite atsitiktinį kintamąjį u (\displaystyle u), tolygiai paskirstytas integravimo intervale. Tada jis taip pat bus atsitiktinis kintamasis, o jo matematinis lūkestis išreiškiamas kaip
E f (u) = ∫ a b f (x) φ (x) d x (\displaystyle \mathbb (E) f(u)=\int \limits _(a)^(b)f(x)\varphi (x) \,dx), Kur φ (x) (\displaystyle \varphi (x))- atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankis u (\displaystyle u), lygus 1 b − a (\displaystyle (\frac (1)(b-a))) Vieta įjungta [a , b ] (\displaystyle).

Taigi reikalingas integralas išreiškiamas kaip
∫ a b f (x) d x = (b − a) E f (u) (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)\,dx=(b-a)\mathbb (E) f( u)).

Tačiau matematinis atsitiktinio dydžio lūkestis f (u) (\displaystyle f(u)) gali būti lengvai įvertintas, imituojant šį atsitiktinį kintamąjį ir apskaičiuojant imties vidurkį.

Taigi, mesti N (\displaystyle N) taškai tolygiai paskirstyti [a , b ] (\displaystyle), už kiekvieną tašką u i (\displaystyle u_(i)) apskaičiuoti f (u i) (\displaystyle f(u_(i))). Tada apskaičiuojame imties vidurkį: 1 N ∑ i = 1 N f (u i) (\displaystyle (\frac (1)(N))\sum _(i=1)^(N)f(u_(i))).

Dėl to gauname integralo įvertį: ∫ a b f (x) d x ≈ b − a N ∑ i = 1 N f (u i) (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)\,dx\approx (\frac (b-a) (N))\suma _(i=1)^(N)f(u_(i)))

Sąmatos tikslumas priklauso tik nuo taškų skaičiaus N (\displaystyle N).

Šis metodas taip pat turi geometrinį aiškinimą. Jis labai panašus į aukščiau aprašytą deterministinį metodą, su tuo skirtumu, kad užuot tolygiai padaliję integracijos sritį į mažus intervalus ir sumuodami gautų „stulpelių“ plotus, mes į integravimo sritį metame atsitiktinius taškus, ant kurių kiekvieno statykite tą pačią „stulpelį“, nustatydami jos plotį Kaip b − a N (\displaystyle (\frac (b-a)(N))) ir apibendrinkite jų sritis.

Geometrinis Monte Karlo integravimo algoritmas

Norėdami nustatyti plotą po funkcijos grafiku, galite naudoti šį stochastinį algoritmą:

Nedaugeliui integruojamos funkcijos matmenų Monte Karlo integracijos našumas yra daug mažesnis nei deterministinių metodų našumas. Tačiau kai kuriais atvejais, kai funkcija nurodoma netiesiogiai ir reikia nustatyti sritį, nurodytą kompleksinių nelygybių forma, stochastinis metodas gali būti labiau tinkamas.

Naudojant reikšmingumo atranką

Esant tokiam pačiam atsitiktinių taškų skaičiui, skaičiavimų tikslumas gali būti padidintas priartinus norimą funkciją ribojančią sritį prie pačios funkcijos. Tam reikia naudoti atsitiktinius dydžius, kurių pasiskirstymas yra kuo artimesnis integruojamos funkcijos formai. Tai yra vieno iš Monte Karlo skaičiavimų konvergencijos gerinimo metodų – reikšmingumo atrankos – pagrindas.

Optimizavimas

Monte Karlo metodo variantai gali būti naudojami optimizavimo uždaviniams spręsti. Pavyzdžiui, imituojamas atkaitinimo algoritmas.

Taikymas fizikoje

Kompiuterinis modeliavimas vaidina svarbų vaidmenį šiuolaikinėje fizikoje, o Monte Karlo metodas yra vienas iš labiausiai paplitusių daugelyje sričių – nuo ​​kvantinės fizikos iki kietojo kūno fizikos, plazmos fizikos ir astrofizikos.

Metropolio algoritmas

Tradiciškai Monte Karlo metodas buvo naudojamas įvairiems fiziniams termodinaminės pusiausvyros būsenos sistemų parametrams nustatyti. Tarkime, kad yra aibė galimų fizinės sistemos būsenų S (\displaystyle S). Norėdami nustatyti vidutinę vertę A ¯ (\displaystyle (\overline (A))) kažkoks dydis A (\displaystyle A) reikia paskaičiuoti A ¯ = ∑ S A (S) P (S) (\displaystyle (\overline (A))=\sum _(S)A(S)P(S)), kur sumuojama visose būsenose S (\displaystyle S) iš W (S) (\displaystyle W(S)), P (S) (\displaystyle P(S))- būsenos tikimybė S (\displaystyle S).

Dinaminė (kinetinė) formulė

Tiesioginis Monte Karlo modeliavimas

Bet kurio fizinio proceso tiesioginis Monte Karlo modeliavimas apima atskirų elementariųjų fizinės sistemos dalių elgesio modeliavimą. Iš esmės šis tiesioginis modeliavimas yra artimas problemos sprendimui iš pirmųjų principų, tačiau paprastai, norint pagreitinti skaičiavimus, leidžiama naudoti kai kuriuos fizinius aproksimacijas. Pavyzdys yra įvairių procesų skaičiavimas naudojant molekulinės dinamikos metodą: viena vertus, sistema aprašoma per jos elementariųjų komponentų elgseną, kita vertus, naudojamas sąveikos potencialas dažnai yra empirinis.

Tiesioginio Monte Karlo modeliavimo pavyzdžiai:

• Kietųjų medžiagų apšvitinimo jonais modeliavimas dvejetainiu susidūrimo aproksimavimu.
• Tiesioginis Monte Karlo išretintų dujų modeliavimas.
• Dauguma kinetinių Monte Karlo modelių yra tiesioginiai (ypač molekulinio pluošto epitaksijos tyrimas).

Kvantinis Monte Karlo metodas

Kvantinis Monte Karlo metodas plačiai naudojamas tiriant sudėtingas molekules ir kietąsias medžiagas. Šis pavadinimas sujungia kelis skirtingus metodus. Pirmasis iš jų yra variacinis Monte Karlo metodas, kuris iš esmės yra daugiamačių integralų, atsirandančių sprendžiant Šriodingerio lygtį, skaitmeninė integracija. Norint išspręsti problemą, apimančią 1000 elektronų, reikia imti 3000 dimensijų integralus, o sprendžiant tokias problemas Monte Karlo metodas turi didžiulį pranašumą prieš kitus skaitmeninės integracijos metodus. Kitas Monte Karlo metodo variantas yra difuzinis Monte Karlo metodas.

Neseniai perskaičiau nuostabią Douglaso Hubbardo knygą. Trumpame knygos konspekte pažadėjau, kad vienai iš skyrių skirsiu atskirą pastabą – Rizikos įvertinimas: Monte Karlo modeliavimo įvadas. Taip, viskas kažkaip nepasisekė. Ir neseniai pradėjau atidžiau studijuoti valiutos rizikos valdymo metodus. Šiai temai skirtoje medžiagoje dažnai minimas Monte Karlo modeliavimas. Taigi žadėta medžiaga yra prieš jus.

Pateiksiu paprastą Monte Karlo modeliavimo pavyzdį tiems, kurie niekada anksčiau su juo nedirbo, bet turi šiek tiek supratimo apie Excel skaičiuoklių naudojimą.

Tarkime, kad norite išsinuomoti naują mašiną. Metinė mašinos nuomos kaina yra 400 000 USD, o sutartis turi būti pasirašyta keleriems metams. Todėl, net jei nepasiekėte, vis tiek negalėsite iš karto grąžinti mašinos. Jūs ruošiatės pasirašyti sutartį, manydami, kad moderni įranga leis sutaupyti darbo sąnaudų ir žaliavų bei prekių sąnaudų, taip pat manote, kad naujos mašinos logistika ir techninė priežiūra bus pigesnė.

Atsisiųskite užrašą formatu, pavyzdžius formatu

Jūsų kalibruoti įverčiai pateikė šiuos numatomų sutaupymų ir metinės gamybos diapazonus:

Metinis sutaupymas bus: (MS + LS + RMS) x PL

Žinoma, šis pavyzdys per paprastas, kad būtų realus. Gamybos apimtis keičiasi kiekvienais metais, kai kurios išlaidos sumažės, kai darbuotojai pagaliau įvaldys naują mašiną ir pan. Tačiau šiame pavyzdyje mes sąmoningai paaukojome realizmą dėl paprastumo.

Jei imame kiekvieno verčių intervalo medianą (vidurkį), gauname metines santaupas: (15 + 3 + 6) x 25 000 = 600 000 (dolerių)

Panašu, kad mes ne tik atsilikome, bet ir uždirbome šiek tiek pelno, tačiau atminkite, kad yra neaiškumų. Kaip įvertinti šių investicijų rizikingumą? Pirmiausia išsiaiškinkime, kokia yra rizika šiame kontekste. Norėdami gauti riziką, turime apibūdinti būsimus rezultatus su jiems būdingu neapibrėžtumu, kai kurie iš jų gali patirti kiekybiškai įvertinamos žalos. Vienas iš būdų pažvelgti į riziką – įsivaizduoti tikimybę, kad mes nenusipelnsime, tai yra, kad mūsų santaupos bus mažesnės nei metinės mašinos nuomos išlaidos. Kuo daugiau nepadengsime nuomos išlaidų, tuo daugiau pralaimėsime. Suma 600 000 dolerių. yra intervalo mediana. Kaip nustatyti tikrąjį verčių diapazoną ir iš jo apskaičiuoti tikimybę, kad nepasieksime lūžio taško?

Kadangi tikslių duomenų nėra, paprasčiausiai skaičiavimai negali atsakyti į klausimą, ar galime sutaupyti reikiamų lėšų. Yra metodai, kurie tam tikromis sąlygomis leidžia rasti gauto parametro verčių diapazoną iš pradinių duomenų verčių diapazonų, tačiau daugeliui realaus gyvenimo problemų tokios sąlygos paprastai yra neegzistuoja. Kai pradedame susumuoti ir dauginti skirtingų tipų skirstinius, problema dažniausiai tampa ta, kurią matematikai vadina neišsprendžiama problema arba problema, kurios negalima išspręsti įprastais matematiniais metodais. Todėl vietoj to naudojame tiesioginio galimų variantų atrankos metodą, kuris tapo įmanomas dėl kompiuterių atsiradimo. Iš galimų intervalų atsitiktinai parenkame pradinių parametrų tikslių verčių rinkinį (tūkstančius) ir apskaičiuojame tikslių norimo rodiklio verčių rinkinį.

Monte Karlo modeliavimas yra puikus būdas išspręsti tokias problemas. Mes tiesiog turime atsitiktinai pasirinkti reikšmes nurodytais intervalais, pakeisti jas į formulę, kad apskaičiuotume metines santaupas ir apskaičiuotų bendrą sumą. Kai kurie rezultatai viršys mūsų apskaičiuotą 600 000 USD medianą, o kiti bus mažesni. Kai kurios bus net mažesnės nei 400 000 USD, reikalingų nuostoliams pasiekti.

Galite nesunkiai paleisti Monte Karlo modeliavimą asmeniniame kompiuteryje naudodami Excel, tačiau tam reikia šiek tiek daugiau informacijos nei 90% pasikliautinasis intervalas. Būtina žinoti pasiskirstymo kreivės formą. Skirtingiems kiekiams vienos formos kreivės tinka labiau nei kitos. Esant 90 % pasikliovimo intervalui, dažniausiai naudojama normaliojo (Gauso) pasiskirstymo kreivė. Tai yra pažįstama varpo formos kreivė, kurioje dauguma galimų rezultatų verčių yra sugrupuotos centrinėje grafiko dalyje ir tik kelios, mažiau tikėtinos, yra paskirstytos, siaurėjančios link jos kraštų (1 pav.).

Štai kaip atrodo normalus paskirstymas:

1 pav. Normalus skirstinys. Abscisių ašis yra sigmos skaičius.

Ypatumai:

• reikšmės, esančios centrinėje grafiko dalyje, yra labiau tikėtinos nei reikšmės jos kraštuose;
• pasiskirstymas yra simetriškas; mediana yra tiksliai pusiaukelėje tarp viršutinės ir apatinės 90 % pasikliautinojo intervalo (PI) ribų;
• grafiko „uodegos“ yra begalinės; vertės už 90 % pasikliautinojo intervalo yra mažai tikėtinos, bet vis tiek įmanomos.

Norėdami sukurti įprastą paskirstymą „Excel“, galite naudoti funkciją =NORMIDIST(X; Vidurkis; Standartinis_nuokrypis; Integral), kur
X – reikšmė, kuriai sudarytas normalusis skirstinys;
Vidurkis – skirstinio aritmetinis vidurkis; mūsų atveju = 0;
Standard_deviation – skirstinio standartinis nuokrypis; mūsų atveju = 1;
Integralas – loginė reikšmė, lemianti funkcijos formą; jei kumuliatyvus yra TRUE, NORMDIST grąžina kaupiamojo skirstinio funkciją; jei šis argumentas yra FALSE, grąžinama tankio funkcija; mūsų atveju = FALSE.

Kalbant apie normalųjį skirstinį, būtina paminėti tokią susijusią sąvoką kaip standartinis nuokrypis. Akivaizdu, kad ne visi intuityviai supranta, kas tai yra, bet kadangi standartinį nuokrypį galima pakeisti skaičiumi, apskaičiuotu iš 90% pasikliautinojo intervalo (kurį daugelis žmonių intuityviai supranta), aš čia to nerašysiu. 1 paveiksle parodyta, kad viename 90 % pasikliautinajame intervale yra 3,29 standartiniai nuokrypiai, todėl tereikia atlikti konversiją.

Mūsų atveju kiekvienam vertės intervalui turėtume sukurti atsitiktinių skaičių generatorių skaičiuoklėje. Pradėkime, pavyzdžiui, nuo MS – sutaupyti materialinių ir techninių paslaugų. Naudokime Excel formulę: =NORMINV(tikimybė,vidurkis,standartinis_nuokrypis), kur
Tikimybė – tikimybė, atitinkanti normalųjį skirstinį;
Vidurkis – skirstinio aritmetinis vidurkis;
Standard_deviation – skirstinio standartinis nuokrypis.

Mūsų atveju:
Vidurkis (mediana) = (90 % PI viršutinė riba + 90 % PI apatinė riba)/2;
Standartinis nuokrypis = (90 % PI viršutinė riba – 90 % PI apatinė riba)/3,29.

MS parametro formulė yra tokia: =NORMIN(RAND();15,(20-10)/3.29), kur
RAND – funkcija, generuojanti atsitiktinius skaičius diapazone nuo 0 iki 1;
15 – MS diapazono aritmetinis vidurkis;
(20-10)/3,29 = 3,04 – standartinis nuokrypis; Leiskite jums priminti, kad standartinio nuokrypio reikšmė yra tokia: 90% visų atsitiktinio dydžio reikšmių (mūsų atveju MS) patenka į intervalą 3.29*Standartinis_nuokrypis, esantį simetriškai santykiniam vidurkiui.

Logistikai sutaupytų lėšų paskirstymas 100 atsitiktinių normaliai paskirstytų verčių:

Ryžiai. 2. MS pasiskirstymo per reikšmių diapazonus tikimybė; Informacijos apie tai, kaip sukurti tokį paskirstymą naudojant suvestinę lentelę, žr

Kadangi naudojome „tik“ 100 atsitiktinių reikšmių, pasiskirstymas nebuvo toks simetriškas. Tačiau apie 90% verčių pateko į MS santaupų diapazoną nuo 10 iki 20 USD (tiksliai 91%).

Sukurkime lentelę pagal parametrų MS, LS, RMS ir PL pasikliautinuosius intervalus (3 pav.). Paskutiniuose dviejuose stulpeliuose rodomi skaičiavimų rezultatai pagal kitų stulpelių duomenis. Stulpelyje Bendros santaupos rodomos kiekvienai eilutei apskaičiuotos metinės santaupos. Pavyzdžiui, jei būtų įgyvendintas 1 scenarijus, bendra sutaupyta suma būtų (14,3 + 5,8 + 4,3) x 23 471 = 570 834 USD. Stulpelis „Ar nesiskaitote?“. tau to tikrai nereikia. Įtraukiau jį tik informaciniais tikslais. Sukurkime 10 000 scenarijaus eilučių programoje „Excel“.

Ryžiai. 3. Scenarijų skaičiavimas naudojant Monte Karlo metodą programoje Excel

Norėdami įvertinti gautus rezultatus, galite naudoti, pavyzdžiui, suvestinę lentelę, kuri leidžia suskaičiuoti scenarijų skaičių kiekviename 100 tūkstančių diapazone. Tada sukuriate grafiką, kuriame rodomi skaičiavimo rezultatai (4 pav.). Šioje diagramoje parodyta, kokia dalis iš 10 000 scenarijų kasmet sutaupys tam tikrame verčių diapazone. Pavyzdžiui, maždaug 3 % scenarijų kasmet sutaupys daugiau nei 1 mln. USD.

Ryžiai. 4. Bendrų santaupų pasiskirstymas pagal verčių intervalus. X ašyje rodomi 100 tūkstantųjų taupymo diapazonai, o y ašyje – scenarijų, patenkančių į nurodytą diapazoną, dalis.

Apytiksliai 15 % visų metinių sutaupytų lėšų bus mažesnė nei 400 000 USD. Tai reiškia, kad žalos tikimybė yra 15%. Šis skaičius reiškia reikšmingą rizikos įvertinimą. Tačiau rizika ne visada apsiriboja galimybe gauti neigiamą investicijų grąžą. Vertindami daikto dydį nustatome jo aukštį, masę, apimtį ir kt. Taip pat yra keletas naudingų rizikos rodiklių. Tolesnė analizė rodo: yra 4% tikimybė, kad gamykla, užuot sutaupusi, kasmet praras 100 000 USD. Tačiau visiškas pajamų trūkumas praktiškai neįmanomas. Štai ką reiškia rizikos analizė – turime mokėti apskaičiuoti įvairaus masto žalos tikimybes. Jei tikrai vertinate riziką, tai turėtumėte daryti.

Kai kuriais atvejais galite pasirinkti trumpesnį maršrutą. Jei visi reikšmių skirstiniai, su kuriais dirbame, yra normalūs ir tereikia pridėti šių reikšmių intervalus (pavyzdžiui, išlaidų ir naudos intervalus) arba atimti juos vieną iš kito, tada galime apsieiti be Monte. Carlo simuliacija. Sudėjus tris sutaupytas lėšas iš mūsų pavyzdžio, reikia atlikti paprastą skaičiavimą. Norėdami gauti norimą intervalą, atlikite šešis toliau išvardytus veiksmus:

1) iš viršutinės ribos atimkite kiekvieno verčių intervalo vidutinę vertę; sutaupyti logistikai 20 – 15 = 5 (doleriai), sutaupyti darbo sąnaudoms – 5 doleriai. o sutaupyti žaliavų ir medžiagų – 3 doleriai;

2) pirmojo žingsnio rezultatus padėkite kvadratu 5 2 = 25 (doleriai) ir kt.;

3) apibendrinti antrojo žingsnio rezultatus 25 + 25 + 9 = 59 (doleriai);

4) paimkite gautos sumos kvadratinę šaknį: pasirodo 7,7 dolerio;

5) sudėkite visas vidutines reikšmes: 15 + 3 + 6 = 24 (doleriai);

6) pridėkite 4 veiksmo rezultatą prie vidutinių verčių sumos ir gaukite viršutinę diapazono ribą: 24 + 7,7 = 31,7 dolerio; atimkite 4 veiksmo rezultatą iš vidutinių verčių sumos ir gaukite apatinę diapazono ribą nuo 24 iki 7,7 = 16,3 dolerio.

Taigi 90 % pasikliovimo intervalas trijų 90 % pasikliovimo intervalų sumai kiekvienam santaupų tipui yra 16,3–31,7 USD.

Naudojome tokią savybę: bendro intervalo diapazonas yra lygus atskirų intervalų diapazonų kvadratų sumos kvadratinei šaknims.

Kartais kažkas panašaus daroma susumavus visas „optimistines“ viršutinės ribos ir „pesimistines“ apatinės intervalo ribos reikšmes. Šiuo atveju, remiantis mūsų trimis 90% pasikliovimo intervalais, bendras intervalas būtų 11–37 USD. Šis intervalas yra šiek tiek platesnis nei 16,3–31,7 dolerio. Kai tokie skaičiavimai atliekami siekiant pagrįsti projektą su daugybe kintamųjų, intervalo išplėtimas tampa per didelis, kad būtų ignoruojamas. Paimti „optimistiškiausias“ reikšmes prie viršutinės ribos, o „pesimistiškiausias“ – į apatinę – tai tarsi mąstymas: jei messime kelis kauliukus, visais atvejais gausime tik „1“ arba tik „6“. Tiesą sakant, atsiras tam tikras mažų ir didelių verčių derinys. Per didelis intervalo išplėtimas yra dažna klaida, kuri, žinoma, dažnai lemia neinformuotus sprendimus. Tuo pačiu metu mano aprašytas paprastas metodas puikiai veikia, kai turime kelis 90% pasikliautinuosius intervalus, kuriuos reikia susumuoti.

Tačiau mūsų tikslas yra ne tik susumuoti intervalus, bet ir padauginti juos iš gamybos apimties, kurios reikšmės taip pat pateikiamos diapazono forma. Paprastas sumavimo metodas tinka tik reikšmių intervalams atimti arba pridėti.

Monte Karlo modeliavimas taip pat reikalingas, kai ne visi skirstiniai yra normalūs. Nors kitų tipų skirstiniai į šios knygos temą nepatenka, paminėsime du iš jų – vienodąjį ir dvejetainį (5, 6 pav.).

Ryžiai. 5. Vienodas paskirstymas (ne idealus, bet sukurtas naudojant „Excel“ funkciją RAND)

Ypatumai:

• visų verčių tikimybė yra vienoda;
• pasiskirstymas simetriškas, be iškraipymų; mediana yra tiksliai pusiaukelėje tarp viršutinės ir apatinės intervalo ribų;
• vertės už intervalo ribų neįmanomos.

Šiam skirstiniui sukonstruoti Excel programoje buvo panaudota formulė: RAND()*(UB – LB) + LB, kur UB yra viršutinė riba; LB – apatinė riba; po to visas reikšmes padalyti į diapazonus naudojant suvestinę lentelę.

Ryžiai. 6. Dvejetainis skirstinys (Bernoulli skirstinys)

Ypatumai:

• galimos tik dvi reikšmės;
• yra viena vienos reikšmės tikimybė (šiuo atveju 60%); kitos reikšmės tikimybė lygi vienai atėmus pirmosios reikšmės tikimybę

Norint sukurti tokio tipo atsitiktinį pasiskirstymą „Excel“, buvo naudojama funkcija: =IF(RAND()<Р;1;0), где Р - вероятность выпадения «1»; вероятность выпадения «0» равна 1–Р; с последующим разбиением всех значений на два значения с помощью сводной таблицы.

Metodą pirmasis panaudojo matematikas Stanislavas Ulamas (žr.).

Douglasas Hubbardas taip pat išvardija keletą programų, sukurtų Monte Karlo modeliavimui. Tarp jų yra Crystal Ball iš Decisioneering, Inc., Denveris, Koloradas. Knyga anglų kalba buvo išleista 2007 m. Dabar ši programa priklauso Oracle. Programos demonstracinę versiją galima atsisiųsti iš įmonės svetainės. Mes kalbėsime apie jo galimybes.

Žiūrėkite Douglaso Hubbardo minimos knygos 5 skyrių

Čia Douglasas Hubbardas apibrėžia diapazoną kaip skirtumą tarp viršutinės 90% pasikliautinojo intervalo ribos ir šio intervalo vidutinės reikšmės (arba tarp vidutinės vertės ir apatinės ribos, nes pasiskirstymas yra simetriškas). Paprastai diapazonas suprantamas kaip skirtumas tarp viršutinės ir apatinės ribų.

5 paskaita.

Monte Karlo metodas

3 tema. Eilių procesai ekonominėse sistemose

1. Įžanginės pastabos. 1

2. Monte Karlo metodo bendroji schema. 2

3. Eilių sistemos skaičiavimo Monte Karlo metodu pavyzdys. 4

Testo klausimai... 5

1. Įžanginės pastabos

Statistinio modeliavimo kompiuteriu metodas yra pagrindinis rezultatų gavimo būdas naudojant stochastinių sistemų modeliavimo modelius, kaip teorinį pagrindą naudojant tikimybių teorijos ribines teoremas. Pagrindas yra Monte Karlo statistinio tyrimo metodas.

Monte Karlo metodą galima apibrėžti kaip atsitiktinių dydžių modeliavimo metodą, siekiant apskaičiuoti jų skirstinių charakteristikas. Paprastai daroma prielaida, kad modeliavimas atliekamas naudojant elektroninius kompiuterius (kompiuterius), nors kai kuriais atvejais sėkmės galima pasiekti naudojant tokius prietaisus kaip matavimo juosta, pieštukas ir popierius.

Terminas „Monte Karlo metodas“ (kurį sukūrė J. von Neumannas ir 1940 m.) reiškia procesų modeliavimą naudojant atsitiktinių skaičių generatorių. Terminas Monte Karlas (miestas, plačiai žinomas dėl savo lošimo namų) kilęs iš to, kad „šansų skaičius“ (Monte Karlo modeliavimo metodai) buvo naudojamas siekiant rasti sudėtingų lygčių integralus kuriant pirmąsias branduolines bombas. kvantinės mechanikos integralai). Sugeneravus dideles atsitiktinių skaičių imtis iš, pavyzdžiui, kelių skirstinių, šių (sudėtinių) skirstinių integralus galima aproksimuoti iš (sugeneruotų) duomenų.

Atsitiktinių reiškinių panaudojimo apytikslių skaičiavimų srityje idėjos atsiradimas paprastai priskiriamas 1878 m., Kai pasirodė Hallo darbas apie skaičių p nustatymą atsitiktinai užmetus adatą ant lygiagrečiomis linijomis pažymėto popieriaus. Dalyko esmė – eksperimentiškai atkurti įvykį, kurio tikimybė išreiškiama skaičiumi p, ir apytiksliai įvertinti šią tikimybę.

Namų darbai Monte Karlo metodu pasirodė metais. Per du dešimtmečius Monte Karlo metodu buvo sukaupta plati bibliografija, apimanti daugiau nei 2000 pavadinimų. Be to, net greitas žvilgsnis į darbų pavadinimus leidžia daryti išvadą apie Monte Karlo metodo pritaikomumą sprendžiant taikomąsias problemas iš daugybės mokslo ir technikos sričių.

Iš pradžių Monte Karlo metodas daugiausia buvo naudojamas neutronų fizikos problemoms spręsti, kur tradiciniai skaitmeniniai metodai pasirodė mažai naudingi. Be to, jo įtaka išplito į plačią statistinės fizikos problemų klasę, labai skirtingą savo turiniu. Mokslo šakos, kuriose vis plačiau naudojamas Monte Karlo metodas, apima eilių teorijos problemas, žaidimų teorijos ir matematinės ekonomikos problemas, pranešimų perdavimo teorijos problemas esant trukdžiams ir daugybę kitų.

Monte Karlo metodas turėjo ir tebedaro didelę įtaką skaičiavimo matematikos metodo raidai (pavyzdžiui, skaitmeninės integracijos metodų kūrimui) ir, sprendžiant daugelį problemų, sėkmingai derinamas su kitais skaičiavimo metodais ir juos papildo. . Jo naudojimas pateisinamas visų pirma tose problemose, kurios leidžia tikimybinį teorinį apibūdinimą. Tai paaiškinama tiek atsakymo su tam tikra tikimybe gavimo natūralumu tikėtino turinio uždaviniuose, tiek reikšmingu sprendimo procedūros supaprastinimu. Kompiuteryje tam tikros problemos sprendimo sunkumą daugiausia lemia sunkumas ją išversti į mašinos „kalbą“. Automatinių programavimo kalbų sukūrimas žymiai supaprastino vieną iš šio darbo etapų. Todėl šiuo metu sunkiausi etapai yra: matematinis tiriamo reiškinio aprašymas, būtini problemos supaprastinimai, tinkamo skaitinio metodo parinkimas, jo paklaidos tyrimas ir algoritmo fiksavimas. Tais atvejais, kai yra tikimybinis-teorinis problemos aprašymas, Monte Karlo metodo naudojimas gali žymiai supaprastinti minėtus tarpinius etapus. Tačiau, kaip bus matyti iš toliau pateiktų dalykų, daugeliu atvejų griežtai deterministinėms problemoms taip pat naudinga sukurti tikimybinį modelį (atsitiktinai nustatyti pradinę problemą), kad būtų galima toliau naudoti Monte Karlo metodą.

2. Monte Karlo metodo bendroji schema

Tarkime, kad mums reikia apskaičiuoti nežinomą dydį m, ir mes norime tai padaryti atsižvelgę ​​į atsitiktinį kintamąjį, kurio matematinė tikėtina yra M, = m. Tegul šio atsitiktinio dydžio dispersija yra D = b.

Panagrinėkime N atsitiktinių nepriklausomų kintamųjų,,..., kurių skirstiniai sutampa su nagrinėjamo atsitiktinio dydžio skirstiniu ξ..gif" width="247" height="48">

Paskutinis santykis gali būti perrašytas kaip

Gautoje formulėje pateikiamas m apskaičiavimo metodas ir šio metodo paklaidos įvertinimas.

Monte Karlo metodo naudojimo esmė – nustatyti rezultatus remiantis statistika, gauta tam tikro sprendimo priėmimo metu.

Pavyzdžiui. Tegu E1 ir E2 yra vieninteliai du galimi kokio nors atsitiktinio proceso įgyvendinimai, o p1 yra rezultato E1 tikimybė, o p2 = 1 – p1 yra rezultato E2 tikimybė. Norėdami nustatyti, kuris iš dviejų įvykių, e1 ar E2, įvyksta šiuo atveju, paimame atsitiktinį skaičių intervale nuo 0 iki 1, tolygiai paskirstytą intervale (0, 1), ir atliekame testą. Rezultatas E1 įvyks, jei , o rezultatas E2 įvyks kitaip.

Taigi Monte Karlo metodu gautų rezultatų patikimumą lemiama lemia atsitiktinių skaičių generatoriaus kokybė.

Atsitiktiniams skaičiams gauti kompiuteryje naudojami generavimo metodai, kurie dažniausiai grindžiami tam tikros operacijos kartojimu daug kartų. Tokiu būdu gauta seka tiksliau vadinama pseudoatsitiktiniais skaičiais, nes generuojama seka yra periodinė ir nuo tam tikro momento skaičiai pradės kartotis. Tai išplaukia iš to, kad kompiuterio kodu galima įrašyti tik baigtinį skaičių skirtingų skaičių. Vadinasi, galiausiai vienas iš sugeneruotų skaičių γ1 sutaps su vienu iš ankstesnių sekos γL narių. Ir kadangi generavimas vykdomas pagal formos formulę

γк+1 = F(γk),

nuo šio momento bus kartojami likę sekos nariai.

Monte Karlo modeliavimo pagrindas yra tolygiai paskirstytų atsitiktinių skaičių naudojimas. Galime sakyti, kad jei tam tikras atsitiktinis dydis buvo nustatytas Monte Karlo metodu, tai jam apskaičiuoti buvo naudojama tolygiai paskirstytų atsitiktinių skaičių seka.

Vienodai paskirstyti atsitiktiniai skaičiai svyruoja nuo 0 iki 1 ir yra parenkami atsitiktinai pagal pasiskirstymo funkciją

F(x) = Рr(Х< х} = х, .

Esant tokiam pasiskirstymui, bet kokių atsitiktinio dydžio verčių atsiradimas intervale (0, 1) yra vienodai tikėtinas. Čia Pr(X< х} - вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше х.

Pagrindinis atsitiktinių skaičių gavimo būdas yra jų modulinis generavimas. Tegul m, a, c, x0 yra sveikieji skaičiai, kad m > x0 ir a, c, x0 > 0. Pseudoatsitiktinis skaičius xi iš sekos (xi) gaunamas naudojant pasikartojimo ryšį

xi = a xi-1 + c (mod m).

Sukurtų skaičių stochastinės charakteristikos labai priklauso nuo m, a ir c pasirinkimo. Jų prastas pasirinkimas lemia klaidingus Monte Karlo modeliavimo rezultatus.

Skaitmeniniam modeliavimui dažnai reikia daug atsitiktinių skaičių. Todėl generuojamų atsitiktinių skaičių sekos periodas, po kurio seka pradeda kartotis, turi būti gana didelis. Jis turi būti žymiai didesnis už modeliavimui reikalingą atsitiktinių skaičių skaičių, antraip gauti rezultatai bus iškraipyti.

Daugumoje kompiuterių ir programinės įrangos paketų yra atsitiktinių skaičių generatorius. Tačiau dauguma statistinių testų rodo koreliaciją tarp gautų atsitiktinių skaičių.

Yra greitas testas, kurį galite naudoti norėdami patikrinti kiekvieną generatorių. Atsitiktinių skaičių generatoriaus kokybę galima parodyti užpildžius visiškai d-matę gardelę (pavyzdžiui, dvimatę ar trimatę). Geras generatorius turėtų užpildyti visą hiperkubo erdvę.

Kitas apytikslis būdas patikrinti N atsitiktinių skaičių xi pasiskirstymo vienodumą – apskaičiuoti jų matematinį lūkestį ir dispersiją. Pagal šį kriterijų vienodam paskirstymui turi būti įvykdytos šios sąlygos:

Yra daug statistinių testų, kuriuos galima naudoti norint patikrinti, ar seka bus atsitiktinė. Spektrinis kriterijus laikomas tiksliausiu. Pavyzdžiui, labai paplitęs kriterijus, vadinamas KS kriterijumi, arba Kolmogorovo-Smirnovo kriterijumi. Patikrinimas rodo, kad, pavyzdžiui, atsitiktinių skaičių generatorius Excel skaičiuoklėse šio kriterijaus neatitinka.

Praktiškai pagrindinė problema yra sukurti paprastą ir patikimą atsitiktinių skaičių generatorių, kurį galėtumėte naudoti savo programose. Norėdami tai padaryti, rekomenduojama atlikti šią procedūrą.

Programos pradžioje visam kintamajam X priskiriama tam tikra reikšmė X0. Tada pagal taisyklę generuojami atsitiktiniai skaičiai

X = (aX + c) mod m. (1)

Parametrai turėtų būti pasirenkami vadovaujantis šiais pagrindiniais principais.

1. Pradinį skaičių X0 galima pasirinkti savavališkai. Jei programa naudojama kelis kartus ir kiekvieną kartą reikalingi skirtingi atsitiktinių skaičių šaltiniai, galite, pavyzdžiui, priskirti X0 X reikšmę, paskutinį kartą gautą ankstesniame paleidime.

2. Skaičius m turi būti didelis, pavyzdžiui, 230 (kadangi būtent šis skaičius lemia generuojamos pseudoatsitiktinės sekos periodą).

3.Jei m yra dviejų laipsnis, pasirinkite tokį, kad a mod8 = 5. Jei m yra dešimties laipsnis, pasirinkite tokį, kad a mod10 = 21. Šis pasirinkimas užtikrina, kad atsitiktinių skaičių generatorius sukurs visas m galimas vertes, kol jos pradės kartotis.

4.Daugiklis A pageidaujamas pasirinkimas yra nuo 0,01 m iki 0,99 m, o jo dvejetainiai arba dešimtainiai skaitmenys neturėtų būti paprastos taisyklingos struktūros. Daugiklis turi atitikti spektrinį kriterijų ir, pageidautina, kelis kitus kriterijus.

5.Jei a yra geras daugiklis, c reikšmė nėra reikšminga, išskyrus tai, kad c neturėtų turėti bendro daugiklio su m, jei m yra kompiuterio žodžio dydis. Pavyzdžiui, galite pasirinkti c = 1 arba c = a.

6. Galite sugeneruoti ne daugiau kaip m/1000 atsitiktinių skaičių. Po to reikia naudoti naują grandinę, pavyzdžiui, naują daugiklį A.

Išvardytos taisyklės daugiausia susijusios su mašininio programavimo kalba. Aukšto lygio programavimo kalbai, tokiai kaip C++, dažnai naudojama kita parinktis (1): pasirenkamas pirminis skaičius m, kuris yra artimas didžiausiam lengvai apskaičiuojamam sveikajam skaičiui, a reikšmė nustatoma taip, kad ji būtų lygi antiderivatinei šaknei. m, o c laikomas nuliu. Pavyzdžiui, galite paimti a= 48271 ir t =

3. Eilių sistemos skaičiavimo Monte Karlo metodu pavyzdys

Panagrinėkime paprasčiausią eilių sistemą (QS), kurią sudaro n eilučių (kitaip vadinamų kanalais arba aptarnavimo taškais). Atsitiktiniu metu užklausos gaunamos į sistemą. Kiekviena paraiška patenka į eilutę Nr. 1. Jei pareiškimo Tk gavimo metu ši eilutė yra nemokama, programa aptarnaujama laiku t3 (linijos užimtumo laikas). Jei linija užimta, užklausa akimirksniu perkeliama į eilutę Nr. 2 ir tt Jei visos n eilučių šiuo metu užimtos, sistema išduoda atsisakymą.

Natūrali užduotis yra nustatyti tam tikros sistemos charakteristikas, pagal kurias būtų galima įvertinti jos efektyvumą: vidutinį paslaugos laukimo laiką, sistemos prastovų procentą, vidutinį eilės ilgį ir kt.

Tokioms sistemoms praktiškai vienintelis skaičiavimo metodas yra Monte Karlo metodas.

https://pandia.ru/text/78/241/images/image013_34.gif" width="373" height="257">

Atsitiktiniams skaičiams gauti kompiuteryje naudojami algoritmai, todėl tokios sekos, kurios iš esmės yra deterministinės, vadinamos pseudoatsitiktinėmis. Kompiuteris veikia su n bitų skaičiais, todėl vietoj nuolatinės vienodų atsitiktinių intervalo skaičių (0,1) rinkinio kompiuteryje naudojama diskreti 2n to paties intervalo atsitiktinių skaičių seka - paskirstymo dėsnis. tokia diskreti seka vadinama kvazivienodu skirstiniu.

Reikalavimai idealiam atsitiktinių skaičių generatoriui:

1. Seka turi būti sudaryta iš beveik tolygiai paskirstytų skaičių.

2. Skaičiai turi būti nepriklausomi.

3. Atsitiktinių skaičių sekos turi būti atkuriamos.

4. Sekos turi turėti nesikartojančius skaičius.

5. Sekos turi būti gautos naudojant minimalius skaičiavimo išteklius.

Didžiausias pritaikymas kompiuterinio modeliavimo praktikoje, generuojant pseudoatsitiktinių skaičių sekas, yra tokios formos algoritmuose:

kurie yra pasikartojantys pirmosios eilės santykiai.

Pavyzdžiui. x0 = 0,2152, (x0)2 = 0, x1 = 0,6311, (x1)2 = 0, x2 = 0,8287 ir kt.

Tokių metodų trūkumas yra koreliacijos tarp skaičių sekoje buvimas, o kartais visai nėra atsitiktinumo, pavyzdžiui:

x0 = 0,4500, (x0)2 = 0, x1 = 0,2500, (x1)2 = 0, x2 = 0,2500 ir kt.

Plačiai naudojamos suderintos pseudoatsitiktinių sekų generavimo procedūros.

Du sveikieji skaičiai a ir b yra suderinami (palyginami) modulio m, kur m yra sveikas skaičius, tada ir tik tada, kai yra sveikasis skaičius k, kad a-b=km.

1984º4 (mod. 10), 5008º8 (mod. 103).

Dauguma kongruentinių atsitiktinių skaičių generavimo procedūrų yra pagrįstos šia formule:

kur yra neneigiami sveikieji skaičiai.

Naudodamiesi sveikaisiais sekos (Xi) skaičiais, iš vienetinio intervalo (0,1) galime sukurti racionaliųjų skaičių seką (xi)=(Xi/M).

Prieš modeliuojant naudojamus atsitiktinių skaičių generatorius turi būti atliktas išsamus išankstinis gautų atsitiktinių skaičių sekų vienodumo, stochastiškumo ir nepriklausomumo bandymas.

Atsitiktinių skaičių sekų kokybės gerinimo metodai:

1. Naudojant pasikartojančias eilės r formules:

Tačiau šio metodo naudojimas padidina skaičiavimo išteklių, skirtų skaičiams gauti, sąnaudas.

2. Perturbacijos metodas:

.

5. Atsitiktinių poveikių sistemoms modeliavimas

1. Reikia realizuoti atsitiktinį įvykį A, kuris įvyksta su nurodyta tikimybe p. Apibrėžkime A kaip įvykį, kai tolygiai intervale (0,1) paskirstyto atsitiktinio dydžio pasirinkta reikšmė xi tenkina nelygybę:

Tada įvykio A tikimybė bus https://pandia.ru/text/78/241/images/image019_31.gif" width="103" height="25">,

Bandymo modeliavimo procedūra šiuo atveju susideda iš nuoseklaus atsitiktinių skaičių xi palyginimo su lr reikšmėmis. Jei sąlyga įvykdoma, testo rezultatas yra įvykis Am.

3. Apsvarstykite nepriklausomus įvykius A ir B su atsiradimo tikimybe pA ir pB. Galimi bendrų bandymų rezultatai šiuo atveju bus įvykiai AB, kurių tikimybė yra pArB, (1-pA)pB, pA(1-pB), (1-pA)(1-pB). Norint imituoti sąnarių testus, gali būti naudojami du procedūros variantai:

1 dalyje aptartos procedūros nuoseklus vykdymas.

Vieno iš AB baigčių nustatymas burtų keliu su atitinkamomis tikimybėmis, t.y., 2 punkte aptarta tvarka.

Pirmajam variantui reikės dviejų skaičių xi ir dviejų palyginimų. Pasirinkę antrąjį variantą, galite apsieiti su vienu skaičiumi xi, tačiau gali prireikti daugiau palyginimų. Modeliavimo algoritmo sudarymo ir operacijų skaičiaus bei kompiuterio atminties taupymo patogumo požiūriu labiau tinka pirmasis variantas.

4. Įvykiai A ir B yra priklausomi ir įvyksta su pA ir pB tikimybe. Pažymėkime pA(B) sąlyginę įvykio B tikimybę, jei įvykis A įvyko.

Kontroliniai klausimai

1) Kaip galite apibrėžti Monte Karlo metodą?

2) Monte Karlo metodo praktinė reikšmė.

3) Monte Karlo metodo bendroji schema.

4) Eilių sistemos skaičiavimo Monte Karlo metodu pavyzdys.

5) Atsitiktinių skaičių generavimo metodai.

6) Kokie reikalavimai keliami idealiam atsitiktinių skaičių generatoriui?

7) Atsitiktinių skaičių sekų kokybės gerinimo metodai.

Kitas jautrumo vertinimo ar analizės metodas, pagrįstas kompiuteriniu modeliavimu, yra Monte Karlo metodas, kuris suprantamas kaip tam tikros klasės ekonominių ar matematinių problemų sprendimo būdas, kuriame tam tikri parametrai, mūsų atveju rizikos veiksniai, modeliuojami forma. atsitiktinių dydžių. Šis metodas pagrįstas kompiuteriniu šių atsitiktinių dydžių pasiskirstymo modeliavimu ir atitinkamų projektinių įverčių formavimu remiantis šiais skirstiniais. Tai simuliacinis stabilumo analizės metodas, istoriškai pavadintas nuo miesto, kuriame įsikūrę garsieji lošimo namai ir kazino, pavadinimo. Terminą „Monte Karlo modeliavimas“ pasiūlė amerikiečių mokslininkai S. Ulamas ir J. von Neumannas dirbdami garsiajame Manheteno projekte. Pirmasis straipsnis šiuo klausimu buvo parašytas 1949 m.

Viena vertus, Monte Karlo metodas yra tam tikra aukščiau aptartos diskrečiojo jautrumo analizės modifikacija, nes kalbame apie pinigų srautų parametrų pokyčių įtakos grynajai dabartinei vertei vertinimą ir kitus investicinių projektų vertinimo kriterijus. Kita vertus, pagrindinis skirtumas nuo diskretiškojo metodo yra tas, kad Monte Karlo metodo taikymo procese yra tam tikras projekto grynosios dabartinės vertės, vidinės palūkanų normos, pelningumo indekso ir kitų rodiklių verčių pasiskirstymas. suformuota, kuri nustatoma priklausomai nuo pasirinktų rizikos veiksnių imituojamų atsitiktinių pasiskirstymų . Tai leidžia gauti tam tikrus šio skirstinio įverčius grynosios dabartinės vertės ar kito gaunamo rodiklio sklaidos, standartinio nuokrypio ar variacijos koeficiento forma, kurių analizė leidžia daryti išvadas apie būsimų sąlygų tvarumą. projekto vykdymas, palankių ar nepalankių rezultatų gavimo galimybės. Nagrinėjamas metodas pagrįstas pasirinktų pinigų srautų parametrų – rizikos veiksnių atsitiktinių paskirstymų kompiuteriniu modeliavimu, kurio pagrindu formuojamas vertinamo projekto vertinimo rodiklių pasiskirstymas.

Atliekant skaičiavimus Monte Karlo metodu, daroma prielaida, kad yra žinomos visų parametrų, lemiančių atskirų investicinio projekto pinigų srauto komponentų vertę, vertės. Tiems parametrams, kurie laikomi rizikos veiksniais, modeliuojant atsitiktinį šio faktoriaus pasiskirstymą kompiuteryje, imama pradinė vertė, kaip tikėtasi.

Organizaciniu požiūriu Monte Karlo metodą kaip kompiuterinio modeliavimo metodą galima apibūdinti tokia pagrindinių etapų seka.

Pagrindinių investicinio projekto vertinimo rodiklių nustatymas , kurios atžvilgiu bus matuojama rizikos veiksnių įtaka. Tokie rodikliai gali būti: grynoji dabartinė projekto vertė, vidinė palūkanų norma, pelningumo indeksas, atsipirkimo laikotarpis ar kiti investuotojo, ketinančio įgyvendinti projektą, pageidavimu.

Parametrų paryškinimas , laikomi rizikos veiksniais , kurie bus modeliuojami atsitiktinių dydžių pavidalu. Jų skaitmeniniam įgyvendinimui numatoma atlikti kompiuterinį modeliavimą, paremtą pseudoatsitiktinių skaičių generatoriais, integruotais į Microsoft Excel paketą, remiantis iš anksto pasirinkta paskirstymo forma. Analizei išskiriami tie pinigų srautų komponentai, kurie, investuotojo, vadovo ar atitinkamos srities eksperto nuomone, turi didžiausią įtaką pasirinkto projekto rodiklio pokyčiui, t.y. yra svarbiausi rizikos veiksniai. Iš esmės visi visų pinigų srautų komponentų parametrai gali būti laikomi atsitiktiniais, tačiau tai siejama su trimis problemomis. Pirma, pasirinktų atsitiktinių parametrų skaičiaus padidėjimas gali lemti prieštaringus rezultatus dėl nagrinėjamų atsitiktinių dydžių realizacijų koreliacinio pobūdžio; antra, gali prireikti daugiau laiko išanalizuoti gautus rezultatus ir pagrįsti atskirų veiksnių įtaką; trečia, liks neaišku, kokie veiksniai turėjo įtakos rezultatams.

Atsitiktinių dydžių pasiskirstymo formos pasirinkimas , kurių pagrindu bus atliktas kompiuterinis jų skaitinio įgyvendinimo modeliavimas. Jis atliekamas remiantis kai kuriomis idėjomis apie nagrinėjamų rodiklių pasiskirstymą. Tarp tokių skirstinių galime pastebėti: normalųjį, lognormalųjį (dažniau naudojamas modeliuojant finansų rinkų parametrus), trikampį, vienodąjį ir kt. Normalusis, trikampis ir vienodas skirstiniai yra simetriški, o jų naudojimas grindžiamas simetrinio skirstinio prielaida. būsimų rezultatų, nors ir su skirtingu užpildymo tankiu. Lognormalus pasiskirstymas nėra simetriškas, o jo taikymas grindžiamas prielaida, kad dauguma atsitiktinio dydžio reikšmių yra pasislinkusios tam tikra kryptimi, palyginti su numatoma verte.

Šioje knygoje atliekant eksperimentinius skaičiavimus Monte Karlo metodu modeliuojant atsitiktinius dydžius – pasirinktus pinigų srautų parametrus – naudojamas normalusis skirstinys.

Atsitiktinių dydžių imitacinis modeliavimas – pasirinkti pinigų srautų parametrai. Norėdami imituoti skaitinį atitinkamo atsitiktinio dydžio įgyvendinimą, naudokite integruotą pseudoatsitiktinių skaičių generatorių, esantį Microsoft Excel paketo meniu "Įrankiai" parinktyje "Duomenų analizė". Šiuo atveju turi būti iš anksto nustatyta nagrinėjamo parametro numatoma reikšmė ir jo standartinis nuokrypis, taip pat atsitiktinių dydžių skaitmeninių realizacijų skaičius, kuris turėtų būti gautas per vieną modeliavimo skaičiavimų ciklą. Tokiems skaičiavimams taip pat galite naudoti specialius taikomosios programinės įrangos paketus.

Jei vienu metu imituojamos kelios atsitiktinės reikšmės, būtina patikrinti, ar nėra koreliacijos tarp kiekvienos gautų jų skaitinių realizacijų poros. Toliau bus paaiškintos statistinių hipotezių tikrinimo kriterijų panaudojimo galimybės.

Atsižvelgiant į kiekvieną gautą nagrinėjamo atsitiktinio dydžio realizaciją, taip pat į pinigų srautų parametrus, kurie laikomi fiksuotais, kiekvienai gautai nurodytų atsitiktinių dydžių realizacijai atliekami pinigų srautų skaičiavimai. Pinigų srautų skaičius sutampa su pasirinktu šių kiekių realizacijų skaičiumi. Remiantis šiais pinigų srautais, kiekviename imitacinių skaičiavimų cikle formuojamas projekto grynosios dabartinės vertės ar kitų įvertintų nagrinėjamo projekto rodiklių skirstinys.

Projekto grynosios dabartinės vertės pasiskirstymo charakteristikų nustatymas , gautas atlikus vieną simuliacinių skaičiavimų ciklą, įskaitant numatomą projekto grynosios dabartinės vertės vertę, dispersiją ir standartinį nuokrypį bei kitus šio rodiklio gauto pasiskirstymo rodiklius. Tai yra didžiausia ir mažiausia grynosios dabartinės vertės reikšmės, variacijos koeficientas kaip papildoma pasiskirstymo charakteristika, tikimybė realizuoti neigiamą grynosios dabartinės vertės vertę, t.y. investuotojui nepalankus projekto rezultatas. Pastaruoju atveju nurodyta tikimybė apibrėžiama kaip grynosios dabartinės vertės neigiamų verčių skaičiaus gautame skirstinyje santykis su visu eksperimentų, atliktų per vieną modeliavimo skaičiavimų ciklą, skaičiumi:

Kur k- neigiamų grynosios dabartinės vertės verčių skaičius imtyje, gautas modeliavimo proceso metu; T - atliktų modeliavimo eksperimentų skaičius. Toks nepalankių rezultatų tikimybės vertinimas grindžiamas prielaida, kad kiekvieno rezultato tikimybė per vieną modeliavimo modeliavimo ciklą yra tokia pati ir lygi p = 1 /T. Panašius skaičiavimus galima atlikti ir vidinei palūkanų normai, pelningumo indeksui bei atsipirkimo laikotarpiui.

Atlikdami skaičiavimus galite naudoti integruotas statistines Microsoft Excel paketo funkcijas (5.12 lentelė), kurios yra nustatytos paskirstyme NPV arba naudojant kitą apskaičiuotą rodiklį, gautą vieno modeliavimo skaičiavimų ciklo metu.

Lentelė 5.12

Naudotos integruotos Microsoft Excel paketo funkcijos

Nuoseklus daugkartinis modeliavimo skaičiavimo ciklų kartojimas atliekami 4 ir 5 etapais, kurie apima nuoseklų grynosios dabartinės vertės verčių pasiskirstymo formavimą, taip pat atitinkamus 5 etape pateiktų įvertintų rodiklių verčių rinkinius.

Norint patikrinti gautų grynosios dabartinės vertės pasiskirstymo charakteristikų stabilumą ir pagerinti išvadų pagrįstumo kokybę, modeliavimo režimu reikia atlikti kelis šimtus ar tūkstančius kartotinių skaičiavimų ciklų.

Pagrindinių rezultatų analizė. Monte Karlo metodo taikymo rezultatai analizuojant ir įvertinant projekto tvarumą pagal nustatytus rizikos veiksnius gali būti pateikiami dviem formomis. Visų pirma, galime kalbėti apie kiekybinių rodiklių, gautų atlikus modeliavimo skaičiavimus, reikšmių analizę, apibūdinančią gauto projekto grynosios dabartinės vertės pasiskirstymo parametrus ar kitus apskaičiuotus rodiklius. Šie rodikliai apima: numatomą grynosios dabartinės vertės vertę; dispersija, standartinis nuokrypis ir variacijos koeficientas kaip rizikos matai; didžiausios ir mažiausios gautos imties grynosios dabartinės vertės vertės; tikimybė gauti neigiamą grynąją dabartinę projekto vertę. Pakartotinai kartojant modeliavimo skaičiavimų ciklą, galima sudaryti vidutinę tam tikros imties reikšmę kiekvienam nurodytam rodikliui, laikant jas tam tikromis tikėtinomis rizikos veiksnių įtakos veiksmo vykdymo sąlygoms charakteristikomis. pateiktas investicinis projektas.

Šių rodiklių reikšmių, gautų atlikus pakankamai daug iteracijų, pasiskirstymo analizė leidžia padaryti tam tikras išvadas apie santykinį projekto grynosios dabartinės vertės stabilumą, numatomą vertę ir standartą. gauto skirstinio nuokrypis NPV tikimybė gauti neigiamą reikšmę NPV projektas, atsižvelgiant į pasirinktų atsitiktinių dydžių pasikeitimus pagal pasirinktą jų paskirstymo formą. Šį stabilumą galima įvertinti vizualiai, nubraižant nurodytų rodiklių imties vertes arba naudojant atitinkamus statistinius įverčius, nustatytus pagal gautą atitinkamo rodiklio pavyzdį. Panaši analizė gali būti atlikta, jei naudojami kiti projektų vertinimo kriterijai.

Ryžiai. 5.4.

Kita kompiuterinio modeliavimo arba Monte Karlo studijų rezultato forma gali būti įvairūs grafikai. Mes kalbame apie grynosios dabartinės vertės reikšmių dažnio histogramas, kurios susidaro priklausomai nuo modeliuojamų grynųjų dabartinių verčių reikšmių, patenkančių į pasirinktus intervalus ar jų reikšmių grupes, dažnio, taip pat apie neigiamos vertės tikimybių pasiskirstymo grafikus. grynoji dabartinė vertė ar kiti apskaičiuoti rodikliai.

Bendra skaičiavimų seka Monte Karlo metodu pateikta fig. 5.4. Atitinkamus skaičiavimus galima atlikti tik kompiuteryje, naudojant integruotas Microsoft Excel paketo ar kitų programų paketų galimybes.

Monte Karlo metodo įgyvendinimo galimybes ir gautų rezultatų analizės ypatumus parodysime remiantis toliau pateiktu sąlyginiu pavyzdžiu. Visi pradiniai nagrinėjamo projekto duomenys pateikti lentelėje. 5.13.

Lentelė 5.13

Pradiniai projekto duomenys

Indeksas
Pajėgumų panaudojimo koeficientas, %
Numatoma pardavimo kaina, rub.
Standartinis pardavimo kainos nuokrypis, rub.
Investicijos, rub.
Sąlygiškai fiksuotos išlaidos, rub./metai
Sąlygiškai kintamos išlaidos, rub/sd. Erodas.
Pusiau kintamųjų išlaidų standartinis nuokrypis

Išskirkime parametrus ir generuokime pradinį šio investicinio projekto pinigų srautą. Pinigų srauto komponentai apskaičiuojami pagal formules

Kur k t - gamybos pajėgumų panaudojimo rodiklis per metus t, M t - įmonės gamybos pajėgumų per metus t, p t - prekės kaina per laikotarpį t; hf- pusiau kintamų išlaidų norma per metus t; Hf- laikotarpio pusiau fiksuotų išlaidų t,t= 1, 2,..., T; T – projekto vykdymo laikotarpis.

Pradinio pinigų srauto apskaičiavimo naudojant formules (5.10) rezultatai pateikti lentelėje. 5.14.

Šiame pavyzdyje nagrinėjamas dviejų rizikos veiksnių kompiuterinis modeliavimas: produktų kainos antraisiais metais ir pusiau kintamos išlaidos trečiaisiais metais. Imitacinis modeliavimas atliekamas remiantis abiejų veiksnių normaliojo pasiskirstymo prielaida.

Lentelė 5.14

Investicinio projekto parametrai ir pinigų srautai

	Investicijos		pajėgumo panaudojimo koeficientas, %	Maksimalus išvesties tūris, vnt. red.	Tikimasi pealnzanmn.		nuolatinis	Sąlygiškai kintamos išlaidos, rub/vnt. Erodas.	Piniginis
			-

Antrųjų metų kainai kaip numatoma arba vidutinė vertė pasirenkama 30 rublių. (žr. 5.13 lentelę), o standartinis nuokrypis laikomas lygus 2. Trečiųjų metų sąlyginai kintamoms išlaidoms atitinkamai numatoma vertė lygi 16 rublių. (žr. 5.13 lentelę), o standartinis nuokrypis pasirinktas lygus 1. Standartinio nuokrypio įvertį galima gauti remiantis idėjomis apie galimus atitinkamo rodiklio svyravimo intervalus. Taigi, jei numatomas antrųjų metų pardavimo kainos svyravimas yra 6 rubliai. abiem kryptimis nuo numatomos vertės, tada, atsižvelgiant į tai, kad normaliomis paskirstymo sąlygomis beveik visas intervalas yra ±3a, apytikslis standartinio nuokrypio įvertinimas šiuo atveju yra 6/3 = 2 rubliai. Panašiai galima gauti ir kitas lentelėje pateiktas standartinio nuokrypio vertes. 5.13.

Kompiuteriniu būdu modeliuojant abiejų pasirinktų rodiklių atsitiktinį įgyvendinimą, buvo panaudotos Microsoft Excel paketo integruotos galimybės generuoti pseudoatsitiktinius kintamuosius pagal normalųjį skirstinį. Kiekvienas modeliavimo skaičiavimų ciklas apėmė 100 iteracijų. Abiejų atsitiktinių dydžių vieno skaičiavimo ciklo rezultatai pateikti lentelėje. 5.15.

Prieš atliekant tolesnius skaičiavimus, būtina patikrinti hipotezę, kad nėra koreliacijos tarp abiejų atsitiktinių dydžių, kurių skirstiniai pateikti lentelėje. 5.15. Norėdami tai padaryti, naudodamiesi integruota „Microsoft Excel“ paketo funkcija „CORREL“, apskaičiuojame imties poros koreliacijos koeficientą, kurio vertė bus rph = -0,10906, t.y. beveik lygus nuliui. Norėdami formaliai patikrinti hipotezę

5.15 lentelė

Atsitiktinių dydžių pasiskirstymo imitacija, rub.

І Iteracijos numeris	Antrų metų kaina, rub.	Sąlygiškai kintamos trečių metų sąnaudos, rub/vnt. tęsinys
	Vidutinė vertė – 30	Vidurkis -16
	Standartinis nuokrypis – 2	Standartinis nuokrypis – 1

apie koreliacijos tarp nagrinėjamų atsitiktinių dydžių nebuvimą, būtina sudaryti statistiką

Kur P - imties dydis, t.y. iteracijų skaičių viename modeliavimo skaičiavimų cikle ir palyginkite jį su statistika t a (n - 2), turintis Studentų paskirstymą SP – 2 laisvės laipsniai ir pasitikėjimo lygis a. Atsižvelgiant į nurodytą imties koreliacijos koeficiento reikšmę ir imties dydį P = 100, šiuo atveju gauname:

kurios absoliučia reikšme yra mažesnė už atitinkamą Stjudento skirstinio kvantilio su 98 laisvės laipsniais ir 0,95 pasikliovimo lygiu lentelėje pateiktą reikšmę, kuri yra 1,984. Tai leidžia mums priimti hipotezę N() su I tipo paklaidos tikimybe 0,05.

Naudojant gautas antrųjų metų kainos ir trečiųjų metų sąlyginai kintamųjų sąnaudų skaitines realizacijas (žr. 5.15 lentelę), taip pat likusių pinigų srautų parametrų duotas reikšmes (žr. 5.14 lentelę), pinigų srautai 2010 m. Investicinis projektas sudaromas pagal gautas kainų vertes kiekvienai iteracijai. Skaičiavimai atlikti naudojant formules (5.10). Iš viso buvo sukurta 100 pinigų srautų. Skaičiavimo rezultatai pateikti lentelėje. 5.16.

5.16 lentelė

iteracijos

Naudodami gautas pinigų srautų reikšmes, pagal formulę apskaičiuosime projekto grynąją dabartinę vertę

Taikyta 12% atsiskaitymo palūkanų norma. Šie skaičiavimai atliekami „Microsoft Excel“ naudojant integruotą finansinę NPV funkciją, naudojamą grynosios dabartinės vertės vertėms apskaičiuoti. Skaičiavimo rezultatai pateikti lentelėje. 5.17.

5.17 lentelė

Nagrinėjamo projekto pinigų srautų galimybės per vieną simuliacinių skaičiavimų ciklą, rub.

Iteracijos numeris	Grynoji dabartinė vertė	Iteracijos numeris	Grynoji dabartinė vertė

Naudojant gautą projekto grynosios dabartinės vertės reikšmių skirstinį, galima nustatyti pagrindines charakteristikas, kurios atspindi rizikos veiksnių įtakos laipsnį šio projekto grynajai dabartinei vertei. Sukurkime grynosios dabartinės vertės reikšmių dažnio histogramą. Norėdami tai padaryti, visas projekto grynosios dabartinės vertės reikšmes, gautas per 100 iteracijų, suskirstome į grupes taip. Į pirmąją grupę įtrauksime tas grynosios dabartinės vertės vertes, kurios neviršija -20 000 rublių, o vėliau - 10 000 rublių žingsniais. sudarysime dar septynias grynųjų dabartinių verčių grupes, nuo 2 iki 8, o į paskutinę grupę įtrauksime tas grynosios dabartinės vertės vertes, kurios viršija 50 000 rublių, ir nustatysime verčių skaičių. grynoji dabartinė vertė, patenkanti į kiekvieną pasirinktą grupę (5.18 lentelė).

Gautų grynosios dabartinės vertės verčių pasiskirstymas pagal grupes, kurios nurodytos lentelėje. 5.18 galima pavaizduoti sekančioje dažnio histogramoje (5.5 pav.). Ši histograma rodo, kad gautas didžiausias verčių skaičius NPV yra intervale nuo -10 000 iki 30 000. Tai taip pat suteikia tam tikrą supratimą apie galimas neigiamas grynosios dabartinės vertės reikšmes, kurios šiame pavyzdyje pateko į 1, 2 ir 3 grupes. Tuo pačiu metu dauguma

5.18 lentelė

Numatytų grynųjų dabartinių verčių grupavimas

Ryžiai. 55.

apskaičiuotos vertės NPV yra teigiamų verčių srityje. Konkrečios patekimo į kiekvieną intervalą dažnių reikšmės priklauso nuo gauto pasirinktų atsitiktinių dydžių pasiskirstymo, mūsų pavyzdyje – antrųjų metų pardavimo kainos ir trečiųjų sąlyginai kintamos išlaidos, kurios laikomos rizikos veiksniais. Gautas rezultatas labai priklauso nuo minėtų veiksnių normalaus pasiskirstymo prielaidos.

Monte Karlo metodas leidžia analizuoti rizikos veiksnių – pasirinktų projekto parametrų – įtaką tiriamiems jo vertinimo rodikliams. Mūsų pavyzdyje tokiu rodikliu laikoma grynoji dabartinė vertė. Šešių rodiklių, apibūdinančių skirstinius, skaičiavimo rezultatai NPV nuosekliai sukurti kiekvienam iš 10 atliktų modeliavimo skaičiavimų ciklų, pateikti lentelėje. 5.19.

Visi jie atliekami su ta pačia nagrinėjamų atsitiktinių dydžių normaliojo pasiskirstymo ir jų charakteristikų – vidutinės arba numatomos vertės ir standartinio nuokrypio – išsaugojimo prielaida. Šiame pavyzdyje atliekant eksperimentinius skaičiavimus rizikos veiksniais pasirinktos antrųjų metų kainos ir trečiųjų metų sąlyginai kintamos išlaidos; kiekvienam iš šių veiksnių pasiskirstymo parametrai išliko tokie patys per visus 10 modeliavimo skaičiavimų ciklų. Iš esmės galima atlikti imitacinius skaičiavimus Monte Karlo metodu su kintamu standartiniu nuokrypiu. Šiuo atveju labai sunku analizuoti gautų rezultatų stabilumą.

Išsamiau panagrinėkime skaičiavimų rezultatus, kurie pateikti lentelėje. 5.19. Tuo pačiu, remiantis skirstiniu, nustatyti I modeliavimo skaičiavimo ciklo rodikliai NPV pateikta lentelėje. 5.17.

5.19 lentelė

Paskirstymų charakteristikos NPV gautas modeliavimo režimu, patrinti.

Indeksas	Modeliavimo skaičiavimų ciklas
Tikėtina vertė NPV
Standartinis nuokrypis NPV
Koeficientas variacijos
Neigiamos reikšmės tikimybė NPV
Aukščiausia vertė NPV
Mažiausia vertė NPV

Pirma, numatoma vertė NPV visuose 10 modeliavimo ciklų skaičiavimai buvo teigiami, dauguma gautų verčių NPV kiekvienam skirstiniui perkeliamas į teigiamą sritį.

Antra, kiekvieno skirstinio standartinis nuokrypis NPV gautas modeliavimo režimu yra didesnis už numatomą vertę NPV Nurodytas ryšys taip pat atspindi variacijos koeficiento reikšmę, kuri yra didesnė už vienetą visiems modeliavimo skaičiavimo ciklams ir leidžia daryti išvadą, kad galima realizuoti neigiamą reikšmę NPV šio projekto vykdymo metu.

Trečia, šią išvadą patvirtina gauti neigiamos reikšmės tikimybės įverčiai NPV projektas, kuris nustatomas pagal (5.9) formulę kaip grynosios dabartinės vertės neigiamų verčių, gautų tam tikrame modeliavimo skaičiavimų cikle, skaičiaus santykis su visu iteracijų skaičiumi, kuris yra lygus 100. atliktų modeliavimo skaičiavimų ciklų, ši tikimybė yra maždaug 30%.

Ketvirta, didžiausios ir minimalios vertės NPV projektas suteikia idėją apie galimą verčių svyravimų ar sklaidos diapazoną NPV projektą. Šie duomenys dar kartą patvirtina, kad standartinis nuokrypis apibūdina tik dalį projekto grynosios dabartinės vertės vertės svyravimų diapazono, nustatyto imitaciniais skaičiavimais.

Penkta, pateikta lentelėje. 5.19 duomenys leidžia daryti išvadas apie pasiskirstymo charakteristikų, gautų kiekviename modeliavimo skaičiavimų cikle, stabilumą. NPV kuri faktiškai leidžia interpretuoti gautus vidutinius empirinių rezultatų įverčius kaip atitinkančius projekto sąlygas. Šį stabilumą galima išbandyti įvairiais būdais.

1. Galite naudoti vizualinį lentelėje pateiktų rezultatų pasiskirstymo įvertinimą. 5.19. Taigi, pav. 5.6 rodomas neigiamos reikšmės tikimybių skirstinys NPV r gautas per 10 modeliavimo skaičiavimų ciklų.

Analizuojant grafiką, parodytą pav. 5.6, akivaizdu, kad gautas šios tikimybės svyravimų diapazonas yra gana siauras. Jei naudosime didžiausią ir mažiausią šios tikimybės reikšmes, galime parodyti, kad nuokrypis nuo šios imties vidutinės šios tikimybės vertės, kuri yra lygi 0,31, abiem kryptimis yra maždaug 13%.

Ryžiai. 5.6. Neigiamos reikšmės tikimybė NPV pagal modeliavimo ciklus

Panašiai galime išskirti numatomos projekto grynosios dabartinės vertės svyravimo intervalą. Kaip rodo lentelės duomenys. 5.19, visuose modeliavimo skaičiavimų cikluose tikimasi NPV turėjo teigiamą vertę, nors ir turėjo tam tikrų svyravimų. Grafikas, parodytas pav. 5.7 parodytos ir galimos šio rodiklio kitimo tendencijos, ir jo vertės svyravimų diapazonas per baigtus imitacinių skaičiavimų ciklus.

Ryžiai. 5.7. Tikėtina vertė NPV pagal modeliavimo ciklus

Jei atsižvelgsime į tai, kad pavyzdžio vidutinė laukiamos grynosios dabartinės vertės vertė yra 6332,38 rubliai, tada galime parodyti, kad apskaičiuotų verčių svyravimų diapazonas yra maždaug 24% abiejose vidutinės vertės pusėse. Gauti įverčiai labai priklauso nuo atliktų modeliavimo skaičiavimo ciklų skaičiaus ir, žinoma, keisis per kitus ciklus. Santykinis tokių įverčių patikimumas didėja didėjant modeliavimo skaičiavimų ciklų skaičiui ir plečiant imties dydį, pateiktą lentelėje. 5.19. Panašią analizę galima atlikti ir kitiems rodikliams, nustatytiems kiekviename modeliavimo skaičiavimų cikle (žr. 5.19 lentelę).

2. Žymiai padidėjus imitacinių skaičiavimų ciklų skaičiui ir plečiant gautų rezultatų imtį, galima naudoti formalius hipotezių tikrinimo kriterijus ir jų pagrindu daryti išvadas apie gautų rezultatų stabilumą ir tam tikrų apskaičiuotų parametrų specifinės vertės. Statistinių hipotezių tikrinimas grindžiamas testavimo statistikos generavimu, kuri nustatoma atsižvelgiant į nagrinėjamo rodiklio imtį, taip pat į prielaidą, kad testo statistika turi tam tikrą skirstinį. Aukščiau, tikrindami hipotezę, kad poros koreliacijos koeficientas yra lygus nuliui, mes nagrinėjome vadinamąją paprastą hipotezę, darydami prielaidą, kad testo statistika turi Studento pasiskirstymą su n - 2 laisvės laipsniai. Statistinių hipotezių tikrinimo ypatumas yra tas, kad jos priimamos su tam tikru pasitikėjimo lygiu. Atitinkamo testo rezultatuose gali būti pirmojo tipo klaidų, kai hipotezė atmetama, jei ji teisinga, ir antrojo tipo klaidų, kai hipotezė priimama, jei ji klaidinga arba alternatyvi hipotezė teisinga, t.y. Tokio testavimo metu gautas atsakymas nėra absoliutus.

Priimant sprendimą dėl investicinio projekto įgyvendinimo ar nevykdymo remiantis duomenimis, gautais naudojant Monte Karlo metodą, visų pirma reikia atlikti gautų projekto grynosios dabartinės vertės paskirstymų analizę, kurią galima atlikti histogramos, panašios į parodytą Fig. 5.5. Panaši histograma taip pat gali būti sudaryta visų paskirstymo variantų vidurkiui NPV

Jei visos pasiskirstymo reikšmės NPV Kiekviename modeliavimo cikle skaičiavimai yra teigiami, tada projektą galima rekomenduoti vykdyti, kitu atveju, jei visos paskirstymo reikšmės NPV projektų yra neigiami kiekviename modeliavimo skaičiavimų cikle, projektas nerekomenduojamas vykdyti. Visais kitais atvejais būtina palyginti galimybes gauti teigiamas ir neigiamas vertes NPV Dėl histogramos, pateiktos pav. 5.5, galima pastebėti, kad teigiamos reikšmės NPV pasiekiami nuo 4 iki 8 grupių. Atsižvelgiant į lentelėje pateiktus duomenis. 5.18, galima pastebėti, kad šiai imčiai 65% reikšmių NPV teigiamas ir tik 35% neigiamas. Panašią analizę galima atlikti naudojant vidutinę pasiskirstymo reikšmę per visus modeliavimo skaičiavimo ciklus.

Literatūroje, skirtoje investicinių projektų vertinimo Monte Karlo metodu problemoms, siūloma remiantis imtimi apskaičiuoti dar keletą rodiklių. NPV darant prielaidą, kad kiekvienos iteracijos rezultatai per vieną modeliavimo skaičiavimų ciklą turi tą pačią tikimybę p= 1 /P. Remiantis šiuo požiūriu, numatomos vertės NPV lentelėje 5.19. Siūloma naudoti tą pačią schemą „tikėtinam pelnui“ nustatyti naudojant teigiamas reikšmes NPV gautame mėginyje ir „tikėtinas nuostolis“ – remiantis neigiamomis reikšmėmis NPV šiame pavyzdyje.

Atsižvelgiant į tai NPV- Tai yra projekto pasirinkimo kriterijus, o ne prasmingas jo naudingų rezultatų įvertinimas, reikalingas papildomas prasmingas nurodytų „laimėjimų“ ir „pralaimėjimų“ rodiklių aiškinimas. Tačiau tuo atveju, kai galutiniu modeliuojamu rodikliu laikomos tam tikro laikotarpio pajamos, vidutinių teigiamų pajamų ar nuostolių įverčiai gali būti daromi iš imties, gautos modeliavimo metu.

Ar investicinis projektas bus priimtas vykdyti, ar ne, priklauso nuo modeliavimo metu sukurtų verčių pasiskirstymo. NPV ir gautas šio skirstinio charakteristikas. Paskirstymo charakteristikos NPV (žr. 5.19 lentelę) keičiasi su kiekvienu modeliavimo skaičiavimų ciklu. Todėl ypač svarbi yra modeliavimo skaičiavimais nustatyto rezultatų stabilumo analizė, leidžianti gauti papildomos informacijos sprendimams priimti. Esmė ne tiek apie tai, kokios yra konkrečios gautų rezultatų reikšmės, o apie tai, kiek jos yra stabilios ir ar jos reikšmingai pasikeis veikiant faktinei nustatytų rizikos veiksnių įtakai. Šios analizės rezultatai yra santykinio pobūdžio tiek tada, kai ši analizė atliekama vizualiai, tiek kalbant apie pagrindinių statistinių hipotezių tikrinimo kriterijų vertinimą. Todėl sprendimus priimančiam asmeniui svarbu, ar gauti pasiskirstymo charakteristikų svyravimų intervalai atitinka jo idėjas apie atitinkamo rodiklio būsimus svyravimus, ar jo pasitikėjimo lygis tenkina atitinkamą hipotezę.

Galutinis vadovo sprendimas dėl svarstomo projekto įgyvendinimo ar nevykdymo priimamas remiantis visa aukščiau nurodyta informacija, atsižvelgiant į jo polinkį ar nenorą rizikuoti, kuris atsispindi tame, ar šis asmuo mano, kad gali įgyvendinti projektą su gautomis pasiskirstymo charakteristikomis NPV ir ar jis turi tam tikrų galimybių valdyti šio projekto rizikas tuo atveju, jei jo vystymasis eina nepalankiu keliu. Formalūs sprendimo pasirinkimo kriterijai pagal Monte Karlo modeliavimo proceso metu gautą informaciją šiuo metu nėra sukurti, o tai yra laikoma vienu iš pagrindinių šio investicinių projektų vertinimo ir pagrindimo rizikos sąlygomis metodo trūkumų.

Naudojant Monte Karlo metodą, reikia turėti omenyje, kad jo įgyvendinimo procese kalbame apie bendro projekto stabilumo įvertinimą, atsižvelgiant į nustatytų rizikos veiksnių pokyčius (mūsų pavyzdyje kainos ir pusiau kintamos sąnaudos). . Taip yra dėl to, kad šis metodas, kaip ir diskrečioji jautrumo analizė, nėra pagrįstas galimų būsimų identifikuoto išorinės rizikos veiksnio, pavyzdžiui, kainų, pokyčių atitinkamoje rinkoje panaudojimu, o remiasi kompiuteriniu paskirstymų modeliavimu. nustatytų rizikos veiksnių. Rezultatai labai priklauso nuo gautos vertinimo rodiklių imties dydžio, o jų specifinės reikšmės gali labai skirtis priklausomai nuo modeliavimo skaičiavimų ciklo. Tai taip pat yra Monte Karlo metodo, kaip ilgalaikių investicinių projektų rizikos analizės modeliavimo metodo, trūkumas.

Kartais jie atskiria investicijų į projektą sumą ir būsimo verslo išlaidas, atsirandančias iki statybos užbaigimo ir paleidimo, pavyzdžiui, šildymo, apšvietimo, valdymo sąnaudų forma ir atsižvelgia į parametrą H₀ .

Norėdami gauti daugiau informacijos apie hipotezių tikrinimą, žr. Magnusas Ja.R.. Katyševas P.K., Peresetskis A.A. Ekonometrija. Pradedantysis kursas. M.: Delo, 1997. 219-221 p.

Investicinio projekto rizikos valdymas: vadovėlis / red. M. V. Gračevojus, L. B. Sikerina. M.: VIENYBĖ-DANA, 2009. 169-170 p.