Didumas kur I yra vartotojo pajamos, p1p2 yra prekės kaina, x2 yra 2-osios prekės kiekis. Šiuo atveju yra vienas ir du pranašumai:keičiamas.

Pasirinkite tinkamą teiginys, atitinkantis Keinso rinkos ekonomikos teoriją 1) bendras pusiausvyros atvejis rinkos ekonomikoje esant nedarbui, o visiškas užimtumas yra tik ypatingas atvejis; 2) investicijų paklausa mažėja didėjant palūkanų normoms.

Pasirinkite teisestvirti teiginiai, kurių įgyvendinimas padidina ekonominio ir matematinio modelio parametrų nustatymo patikimumą ir tikslumą. 1. Priimta modelio parametrų nustatymo metodika turi būti teisinga patikimumo užtikrinimo požiūriu, 2. Turi būti pakankamai pradinės informacijos apie objekto įvesties ir išvesties rodiklius, kad būtų galima rasti matematinį modelį. 3. įvesties rodiklių vektorius turi labai kisti per tiriamą intervalą, 4. Priimtas a priori, modelis turi reikšmingai atspindėti faktinius tiriamo objekto modelius.

Pavyzdinė lygtisty porinė regresija y=-3+2x, tada imties porinės koreliacijos koeficientas gali būti lygus..(-3,2,0.6,-2,-0.6) ...0,7 arba 0,6.

Pasirinktinai Porinės regresijos lygtis yra y=-3+2x. Tada imties poros koreliacijos koeficientas gali būti lygus: 0,7.

kur - prieauginio kapitalo intensyvumo koeficientas; C(t) – vartojimo apimtis; Y(t) – pajamų apimtis; kokiu atveju jis bus maksimalus, o kokiu atveju – nulis, jei C(t) = const: maksimumas pasiekiamas , ir yra lygus nuliui, kai Y(0)=C(0).

Hipotezės, naudojamas apskaičiuojant darbo paklausos funkciją klasikiniame rinkos ekonomikos modelyje: Firmos yra visiškai konkurencingos tiekdamos prekes ir samdydamos darbo jėgą. Esant kitoms sąlygoms, ribinis darbo produktas mažėja didėjant darbo naudojimui.

Suteiktos funkcijos paklausa ir siūlo S=2p+1,5, kur p – prekės kaina. tada pusiausvyros kaina yra . ATSAKYMAS: x1= 0,34+0,18+340.....x2=0;25+0,53+280.

Suteiktos funkcijospaklausa ir siūlo S=2p+1,5, kur p – prekės kaina. tada pusiausvyros kaina =1 .

Suteiktos funkcijos paklausa ir siūlo S=2p+1,5, kur p – prekės kaina. tada pusiausvyros kaina = 5,5.

Suteiktos funkcijos paklausa q=(p+6)/(p+2) ir pasiūla s=2p-2, kur p – prekės kaina. Tada pusiausvyros kaina yra: 2.

Pateikiamos funkcijospaklausa q=p+6/p+2 ir ankstesnė s=2p-2...2.

Jei išsaugotasvienodomis sąlygomis, tada didėjant kainai Giffin prekių paklausa: ...auga.

Jei modelyjeSolow atsižvelgti į investicijų atsilikimą koncentruoto atsilikimo forma, tada ryšys tarp investicijų I(t) ir lėšų įvedimo V(t) gali būti atspindėtas lygties forma...V(t) = I(t-t)().

Jei nuo grubiosvidaus produktas atėmus nusidėvėjimo mokesčius, gauname:naujai sukurta vertė (N.D.).

Jei iš bendrojo vidaus Produktas, atėmus nusidėvėjimo mokesčius, gauname: grynas vidaus produktas.

Jei kryžius paklausos elastingumo kainos koeficientas >0, tada...(I produktas pakeičia j).

Jei gamybos funkcijay=f(x 1;x 2), tada savybė reiškia, kad padidėjus vieno ištekliaus naudojimui, ribinis efektyvumas¶ 2 f(x i)/¶x 1 ¶x 2 ³0.

Jei gamyba funkcija yra vienalytė funkcija, kurios laipsnis p > 0, tada esant p = 2 ir gamybos mastui padidėjus 3 kartus, kiek kartų padidėja produkcijos apimtis... 9.

Jei gamybafunkcija yra vienalytė funkcija, kurios laipsnis p > 0, tada esant p = 2 ir gamybos mastui padidėjus 4 kartus, kiek kartų padidėja produkcijos apimtis...16.

Jei taip atsitiks vartotojų pajamų padidėjimas, tada paklausa keičiasi (nurodykite teisingą teiginį): nuo mažo elastingumo prekių iki didelio elastingumo prekių. Sumažėja mažo elastingumo prekių vartojimo apimtis.

Jei PF turi peržiūrėti y=f(x 1 ;x 2), savybė, reiškianti, kad didėjant vieno ištekliaus naudojimui, didėja kito išteklių ribinis efektyvumas, išreikštas formule: ¶ 2 f(x i)/¶x 1 ¶x 2 ³0.

Jei išsaugotas vienodomis sąlygomis, tada didėjant kainai Giffin prekių paklausa: auga.

Priklausomybė tarp gamybos sąnaudas o gamybos apimtis išreiškiama funkcija yra lygūs: 3.

Priklausomybė mtarp gamybos kaštų ir gamybos apimties išreiškiama funkcija .Tuomet ribiniai gamybos kaštai yra yra lygūs:23.

Priklausomybėtarp gamybos kaštų C ir gamybos apimties Q išreiškiama funkcija . Tada gamybos apimties Q = 10 ribiniai kaštai yra lygūs: .. 3 .

Priklausomybė tarp gamybos savikaina C ir produkcijos apimtis Q išreiškiama C = 20-0,5*Q. Tada elastingumas c/c, kai gamybos apimtis Q=10, yra lygus: -1/3.

Apibrėžta gamybaformos funkcija: Y=3 K 0,5 *L 0,5 tada vidutinis darbo produktas lygus K=25,L=100……1.5.

Vartotojo užduotispasirinkimas yra:Raskite prekių skaičių iš tam tikros aibės, kuriai esant vartotojo naudingumas yra didžiausias.

Užduotis vartotojo pasirinkimas yra: Problema yra pasirinkti vartotojų paketą (x, x), kuris maksimaliai padidina naudingumo funkciją esant tam tikram biudžeto apribojimui.

Vartotojo užduotis pasirinkimas yra: rasti prekių skaičių iš tam tikros rinkinio, kuris maksimaliai padidina vartotojo naudingumo funkciją.

Mažėjimo dėsnis gamybos efektyvumas pasižymi tuo, kad didėjant sunaudojamų resursų kiekiui... ATSAKYMAS: minimalus galimas išvesties tūris .

Mažėjimo dėsnis gamybos efektyvumas pasižymi tuo, kad didėjant sunaudojamų išteklių kiekiui: Kiekvienas papildomas išteklių vienetas duoda vis mažesnį produkcijos padidėjimą.

Mažėjimo dėsnis gamybos efektyvumas pasižymi tuo, kad didėjant sunaudojamų išteklių kiekiui.. ATSAKYMAS: didžiausia galima išvesties apimtis (y) didėja.

Iš Eq. Slutskį galima gauti (kiekis prekė, kaina prekės). Tai atitinka: (galimi keli atsakymai): 1) Gifino gaminys, 2) menkavertis produktas.

Kokios hipotezės? Klasikiniame rinkos ekonomikos modelyje naudojami darbo paklausos funkcijai nustatyti: firmos yra visiškai konkurencingos siūlydamos prekes ir samdydamos darbo jėgą; jei kiti dalykai yra vienodi, darbo produktas mažėja, nes didėja vergų jėga.

Kokie papildomi sdėl klaidos sunku sukurti EMM... sudėtinga atlikti aktyvų ekonomikos eksperimentą.Be to, praktiškai kiekvienas ekonominis objektas ar procesas yra unikalus, todėl neįmanoma paprasčiausiai atkartoti kadaise sukurtų modelių.

Kokia praktiškaproblemos išsprendžiamos naudojant EMM. 1. Ekonominių objektų ir procesų analizė 2. Ekonomikos prognozavimas ir ekonominių procesų raidos numatymas 3. Valdymo sprendimų rengimas visuose ūkio lygiuose.

Koks teiginysatitinka pilkos permatomos dėžutės problemos sprendimą: Yra informacija apie įvesties ir išvesties rodiklius, o tam tikros struktūros modelis yra žinomas arba priimtas kaip pagrindas. Identifikavimo užduotis šiuo atveju yra rasti šio modelio parametrus.

Koks teiginys atitinka pilkosios dėžutės problemos sprendimą: Be įvesties ir išvesties parametrų, nurodoma keitiklio operacinė sistema. būti sumažintas iki tam tikrų puslapių.

Koks teiginys, pagal Keyneso modelį, bus tiesa:Kai palūkanų normos kyla, vartotojų paklausa didėja, o investicijų paklausa mažėja(Vartojimo prekių paklausa auga tiesiškai didėjant prekių pasiūlai, investicinių prekių paklausa mažėja tiesiškai, didėjant palūkanų normai).

Galutinis produktas dinaminio balanso modelyje, palyginti su galutiniu produktu, statinio balanso modelyje neapima eksportuoti.

Galutinis produktas dinaminio balanso modelyje, palyginti su galutiniu produktu, statinio balanso modelyje neapima: tarpsektorines kapitalo investicijas.

Koeficientas paklausos elastingumas kainai E ii p<-1. Это соответствует товару с: didelis paklausos elastingumas.

Makroekonominė pusiausvyra modeliai laikomi tais kurie apibūdina ekonomikos būklę, kai visų jėgų, linkusių išvesti ekonomiką iš šios būsenos, rezultatas yra lygus 0.

Leontjevo modelis(statinis balansas) apima tokios formos lygtį: x i -Sa ij =y j .

Tarpindustrinis modelisX1 ir X2 apimties pagamintos produkcijos balansas su tiesioginių kaštų koeficientų matrica o galutinis produktas, kurio tūris yra atitinkamai 340 ir 280 vienetų, turi tokią formą: x 1 =0,34x1 +0,18x2 +340; x 2 = 0,25 x 2 + 0,53 x 2 + 280...

Törnqvist modelis n „paklausos-pajamų“ tipas (kitos raidės): atsakyk : prabangos prekės (2 grupė).

Törnqvist modelis, „paklausos-pajamos“ formos Y=a 3 Z(Z-b 3)/Z+C 3:prabangos daiktai.

Harrod-Domar modelis diferencialinės lygties pavidalu
turi tokį sprendimą: ).

Ant izokvanto Cobb-Douglas gamybos funkcija:

Prisijungęs

Prisijungęs abejingumo vartotojų rinkiniai turi: tos pačios vertybės ATSAKYMAS: V(t)= I(t-τ).

Prie gamybosCobb-Douglas funkcijos izokvante: Rodomi kapitalo ir darbo verčių deriniai, teikiantys tą pačią produkciją.

Išilgai linijosabejingumo vartotojų rinkinys turi:toks pat individo poreikių patenkinimo lygis.

Kai didinate pajamų paklausos pokyčiai (nurodykite teisingą teiginį): ATSAKYMAS: Didėjant pajamoms, paklausa iš pirmos ir antros grupių prekių pereina prie trečios ir ketvirtos grupių prekių, o pirmosios grupės prekių vartojimas absoliučiais dydžiais mažėja.

Kai didinatepajamų paklausos pokyčiai (nurodykite teisingą teiginį): Nuo mažo elastingumo prekių iki didelio elastingumo prekių Sumažėja mažo elastingumo prekių vartojimo apimtis.

Naudingumo limitas1 produktas u = 8 ir 2 produktas u = 2. kiek asmuo turėtų padidinti 2 produktų suvartojimą, jei jis sumažino pirmojo produkto suvartojimą vienu vienetu...4.

Ribinės komunalinės paslaugos pirmasis produktas , ir antrasis produktas . Kiek asmuo turėtų padidinti antrojo produkto suvartojimą, jei jis sumažino pirmojo produkto suvartojimą vienu vienetu? atsakymas: nesu tikras: 3.

Naudojantžymėjimai: - bendrųjų investicijų dalis BVP, a - tarpinio produkto dalis bendrojoje produkcijoje, X (t) - bendroji produkcija pagal Solow modelį, negamybinio vartojimo fondo vertė C (t) nustatoma pagal formulę. :С(t)=(1- ) *(1-a)*X(t).

AnalizuojantLeontjevo modelis (statistinis įvesties balansas) rodo, kad galutinių produktų suma ir sąlyginai grynųjų produktų suma:…lygūs vienas kitam.

Naudojantžymėjimas: - bendrųjų investicijų dalis bendrajame vidaus produkte, a- tarpinio produkto dalis bendrojoje produkcijoje, X(t) - bendroji produkcija R. Solow modelyje, negamybinio vartojimo fondo vertė C(t) randama pagal formulę: C(t)=(1-j)*(1-a)*X(t) .

Su mažai gamybos apimties didinimas sąlyginai kintamieji 1 produkto kaštai: likti nepakitę. (padidinti, galbūt)

Kai aprašoma Proceso tyrimui PFCD pagalba privatūs efektai buvo tokie: lėšoms E k = 2, darbui E l = 8. Šiuo atveju apibendrintas efektyvumas E yra lygus: 16.

Kai aprašoma Atsakymas: 3 (2 laipsnio o.5 padauginus iš 4,5 laipsnio o.5).

Kai aprašoma 3 kartus. (2 ne visai tiksliai)

Kai aprašomatiriamas procesas naudojant formos Cobb-Douglas gamybos funkciją privatus....efektyvumas buvo toks: fondams Ek=2, darbo jėgai EL=4,5. Šiuo atveju apibendrintas efektyvumo rodiklis E yra lygus. .. 3( 2 iki laipsnio o.5, padauginto iš 4,5 iki laipsnio o.5).

Kai aprašomatiriamas procesas naudojant formos Cobb-Douglas gamybos funkciją privatus....efektyvumas buvo toks: fondams Ek=2, darbo jėgai EL=8. Šiuo atveju apibendrintas efektyvumo rodiklis E yra lygus:4 arba 16.

Kai aprašoma tiriamas procesas naudojant formos Cobb-Douglas gamybos funkciją privatus....efektyvumas buvo toks: fondams Ek=2, darbo jėgai EL=4,5. Šiuo atveju apibendrintas efektyvumo rodiklis E yra lygus.

Kai aprašoma tiriamo proceso, naudojant Cobb-Douglas gamybos funkciją, tapo žinoma, kad apibendrintas gamybos efektyvumo rodiklis E = 1,5, o gamybos skalė M = 2. Šiuo atveju bendroji produkcija padidėjo 3 kartus.

StatantEMM, pagrįsta žinomais objekto įvesties ir išvesties rodikliais, dažniausiai naudojamas kaip modelio valdymo savybių atspindžio artumo kriterijus...mažiausia kvadratinių skirtumų suma.

Kai priimtasužrašas...Kapitalo išleidimas į pensiją ir bendrųjų investicijų suma.

Kai priimtasžymėjimas f(Kо) - darbo našumas stacionarioje trajektorijoje, - kapitalo ir darbo santykis stacionarioje trajektorijoje atrodo kaip...().

Kai priimtasŽymėjimas Solow modelyje, sąlyga, kad ekonomika pasiektų stacionarią trajektoriją, turi formos atsakymą: k(t)=k iki laipsnio 0=konst.

Su priimtu užrašu…viena iš R. Solow modelio lygčių santykiniais vienetais bus tokia: dk(t)/dt=(-(g+m)k(t)/(1)+j(1 -a)f/(2) Šioje lygtyje terminai (1) ir (2) atspindi poveikį kapitalo ir darbo santykio pokyčiui.

Išskyrus, kad vienodos sąlygos augant kainoms prekių paklausa Giffin paklausa viskam auga .

Sprendžiant ;p1x1+p2x2=I kur I=1000, p1=5, p2=10ed.. Koks yra antrojo gaminio 1 sandaugos kiekis….100 vienetų – 1 prekė ir 50 vnt. – antrasis.

Sprendžiantvartotojų pasirinkimo problemos gavo lygčių sistemą ;p1x1+p2x2=I kur I=1000, p1=10, p2=5ed.. Koks yra 2 sandaugos 1 sandaugos kiekis? ….50, 100.

Kai didėjapajamos, prekės paklausa pastovia kaina paprastai...Padidėja (kinta pagal sinusoidinį dėsnį).

Gamyba Aš esu funkcija , tada ribinis produktas, kai Kt=4, Lt=25 yra lygus 2,5.

Gamybos funkcija , tada ribinis produktas, kai Kt=4, Lt=25 yra lygus...0.2.

Gamyba Kt=1100, Lt=9900. Kokia yra ribinė kapitalo grąža?...1,5 (arba 10)

Gamybos funkcija malonus vadinamas: Linijinė, priedų gamybos funkcija.

Gamybos funkcija pateikiama kaip X t =K t 0,5 ´L t 0,5, kur K t yra kapitalas, L t yra darbas. Tada ribinis darbo produktas ¶У/¶L, kai K t =16, L t =25, yra lygus: 0,4.

Cobb gamybos funkcija-Douglasas turi išvaizdą kur Kt=4000, Lt=10. Koks yra ribinis darbo našumas? Atsakymas: 10.

GamybaCobb-Douglas funkcija turi formą kur Kt=9000, Lt=10. Koks yra ribinis darbo našumas?...15.

Gamyba Cobb-Douglas funkcija atrodo taip, kad matematinis korekcijos koeficiento lūkestis yra .. = 1.

Gamybos funkcija Cobb-Douglas yra tokia forma: X t = K t 0,5 ´L t 0,5; K t = 900, L t = 10. Koks yra ribinis darbo našumas ¶Х/¶L: 15.

Gamyba Funkcija vadinama dinamine, jei: 1) laikas t pasirodo kaip nepriklausomas kintamasis, turintis įtakos išėjimo tūriui 2) PF parametrai priklauso nuo laiko 3) PF charakteristikos priklauso nuo laiko.

Gamybos funkcija tai- tokia funkcija, kurios nepriklausomas kintamasis ima sunaudotų išteklių (gamybos koeficiento) apimčių reikšmes, o priklausomasis – produkcijos apimčių reikšmes y=f(x).

Gamyba-tion K-D turi formą kiek procentų padidės produkcija Xt, kai kapitalas Kt padidės 1 % (0,4).

Gamybafunkcija vadinama dinamine, jei:Pasirodo laikas t..PF parametrai priklauso nuo laiko …. Gamybos funkcijos charakteristikos priklauso nuo laiko.

Tarpinisproduktas schemoje, atspindinčioje makroekonominių rodiklių ryšį uždaroje šalies ekonomikoje, yra:darbo priemonės ir vartojimo prekės.

Steigimo procesaspusiausvyros kaina voratinklio modelyje...Išlikti nepakitusi.

Tegul funkcija naudingumas turi formą , pradinės prekių kainos ir . Asmens pajamos – 2000 vnt., ir optimalus prekių komplektas ; Jei kaina išaugo keturis kartus, tai kokios bus kompensuojamos asmens pajamos ir optimalaus prekių rinkinio vertės? :I k = 2000; x 1 =50; x 2 = 40.

Tegul funkcija naudingumas turi formą u(x1;x2)=x1*x2, pradinės prekių kainos P1 ir P2. Individualios pajamos = 1000 vnt., o optimalus prekių rinkinys x1 = 100 vnt., x2 = 20 vnt. Jei kaina padidėjo 4 kartus, tai kam bus lygios asmens kompensuojamos pajamos ir optimalaus prekių komplekto vertės (x1 x2)? 2000 50,40.

Pusiausvyros modeliaiyra laikomi...Modeliai, apibūdinantys tokią ek-ki būseną, kai visų jėgų rezultatas. (atsakymas lygus 0)

Padėtis teisinga tvarka FUI konstravimo etapai: 1. Ekonominės problemos išdėstymas ir jos kokybinė analizė 2. Matematinio modelio konstravimas 3. Matematinė modelio analizė 4. Pradinės informacijos parengimas 5. Skaitinis sprendimas 6. Skaitinių rezultatų analizė ir jų taikymas.

Padėtisteisinga tvarka EMM sukūrimo etapai: 1. Ekonominės problemos išdėstymas ir jos kokybinė analizė 2. Matematinio modelio konstravimas 3. Matematinė modelio analizė 4. Pradinės informacijos parengimas 5. Skaitinis sprendimas 6. Skaitinių rezultatų analizė ir jų taikymas.

Kurių pagalba modelis (vienos formulės pavidalu) gali atspindėti bendrąją produkciją, tarpinį produktą, bendrąjį vidaus produktą šalies ekonomikos lygiu: Leontjevo pusiausvyros modelis.

Naudojantkoks modelis gali atspindėti bendrosios produkcijos ir panaudotų išteklių priklausomybę šalies ekonomikos lygmenyje: ...Cobb-Douglas modelis (PFKD)

Naudojantkoks modelis (vienos formulės pavidalu).. ryšys tarp VP, tarpinio produkto, BVP rodiklių….Leontjevo pusiausvyros modelis.

Lygčių sistema Leontjevo modelyje vadinamas produktyviu, jei jis yra išsprendžiamas. atsakymas: neneigiamas Xi>0, kai i=1÷n.

Pagal Klasikiniame rinkos ekonomikos modelyje prekių pasiūlą lemia: visiško užimtumo lygis.

Pagalklasikinis rinkos ekonomikos modelis, esant tokiam pačiam BVP, pinigų pasiūlos padidėjimas sukels...BVP vieneto kainos padidėjimas.

Pagal modelįSolow „auksinė“ kaupimo taisyklė atitinka kaupimo greitį, lygų fizinio kapitalo α elastingumo koeficientui.phi=1.

Pagal modelį Harrord-Domar, kokiam vartojimo apimties padidėjimui jis bus lygus pajamų augimo tempui: ATSAKYMAS: r< 1/в, r=p .

Pagal modelį Harrord-Domar, prie kokio... laiko momentas.

Pagal statinį Leontjevo modelis, jei pirmosios pramonės šakos galutinis produktas yra y1 = 1000 vnt., o bendroji produkcija x1 = 2500 vnt., kokia yra pirmosios pramonės produkcijos apimtis, kurią suvartoja kitos pramonės šakos? 1.5.(1500 arba 3500).

Pagal statinį Leontjevo modelis, jei pirmosios pramonės šakos galutinis produktas yra y1 = 1500 vnt., o bendroji produkcija x1 = 3500 vnt., kokia yra pirmosios pramonės produkcijos apimtis, kurią suvartoja kitos pramonės šakos? 2000 vienetų .

Statinis modelisLeontjevas įtraukia formos lygtis…. .

Sąlygiškai grynas pgamyba tarp pramonės balanse apima...Nusidėvėjimas, darbas ir grynosios pajamos.

Naudingumo funkcija vartojimas turi formą .Prekės x kaina lygi 10, prekės y lygi 5, vartotojų pajamos lygios 200. Tada optimali vartojimo prekių aibė turi tokią formą: 10,20.

Naudingumo funkcijavartojimas turi formą .Prekės x kaina yra 5, prekės y - 10, vartotojų pajamos - 200. Tada optimalus vartojimo prekių rinkinys turi formą...20.10. (200 arba 400)

Naudingumo funkcijavartotojas turi savybių... ribinis naudingumas mažėja, jei sumažėja vartojimas; padidėjus vieno produkto suvartojimui, padidėja naudingumas; (kiekvieno produkto ribinis naudingumas didėja, jei didėja kitos prekės kiekis).

Pardavimo kaina vienas produktas lygus 7 vienetams. Fiksuotos išlaidos yra lygios 8000 vnt. Kintamieji kaštai lygūs 5 vnt. už 1 vnt Kokia yra nenutrūkstamo gamybos apimtis? 4000 vienetų

Kam jis lygus modelyje Keinso obligacijų paklausa, jei pinigų pasiūla = 1000 vienetų. , pinigų apyvartos greitis realioje rinkoje k=0,1, BVP vieneto kaina p=0,5 vnt., BVP reikšmė 10 000 vnt... 500.

Kas yra lygus Keyneso modelyje obligacijų paklausa, jei pinigų pasiūla = 1000 vnt. , pinigų apyvartos greitis realioje rinkoje k=0,1, BVP vieneto kaina p=0,2 vnt., BVP reikšmė 10 000 vnt... 800.

Tegu duota kokia nors funkcija u=f(M) ir tuo pačiu įvesta koordinačių sistema. Tada savavališkas taškas M nustatomas koordinatėmis x, y. Atitinkamai, šios funkcijos reikšmę taške M nustato koordinatės x, y arba, kaip sakoma, u=f(M) yra dviejų kintamųjų x ir y funkcija. Dviejų kintamųjų x ir y funkcija žymima simboliu f(x; y): jei f(M)=f(x;y), tai formulė u=f(x; y) vadinama to išraiška. funkcija pasirinktoje koordinačių sistemoje. Taigi, ankstesniame pavyzdyje f(M)=AM; jei įvesime Dekarto stačiakampę koordinačių sistemą, kurios pradžia yra taške A, gausime šios funkcijos išraišką:

u=sqrt(x^2 + y^2)

3688 UŽDAVIMAS Duota funkcija f (x, y)=x^2–y^2–16.

Parametrinės tiesės lygtys

x=φ(t), y=ψ(t) (1)

Kai t pasikeičia, reikšmės x ir y paprastai pasikeis, todėl taškas M pasislinks. Vadinamos lygybės (1). parametrinės tiesės lygtys, kuri yra taško M trajektorija; argumentas t vadinamas parametru. Jei parametras t gali būti neįtrauktas iš lygčių (1), tada gauname taško M trajektorijos lygtį formoje

Apžvelkime * Kuri lygtis vadinama kvadratine? * Kokios lygtys vadinamos nepilnomis kvadratinėmis lygtimis? * Kuri kvadratinė lygtis vadinama redukuota? * Kas vadinama kvadratinės lygties šaknimi? * Ką reiškia kvadratinės lygties sprendimas? Kuri lygtis vadinama kvadratine? Kokios lygtys vadinamos nepilnomis kvadratinėmis lygtimis? Kuri kvadratinė lygtis vadinama redukuota? Kokia yra kvadratinės lygties šaknis? Ką reiškia išspręsti kvadratinę lygtį? Kuri lygtis vadinama kvadratine? Kokios lygtys vadinamos nepilnomis kvadratinėmis lygtimis? Kuri kvadratinė lygtis vadinama redukuota? Kokia yra kvadratinės lygties šaknis? Ką reiškia išspręsti kvadratinę lygtį?

Kvadratinės lygties sprendimo algoritmas: 1. Nustatykite racionaliausią kvadratinės lygties sprendimo būdą 2. Pasirinkite racionaliausią sprendimo būdą 3. Kvadratinės lygties šaknų skaičiaus nustatymas 4. Kvadratinės lygties šaknų radimas Kad būtų geriau įsiminimas, užpildykite lentelę... Kad geriau įsimintų, užpildykite lentelę... Kad geriau įsimintų, užpildykite lentelę...

Papildoma sąlyga Lygtis Šaknys Pavyzdžiai 1. c = c = 0, a 0 ax 2 = 0 x 1 = 0 2. c = 0, a 0, b 0 ax 2 + bx = 0 x 1 = 0, x 2 = -b /a 3. c = 0, a 0, c 0 ax 2 + c = 0 a) x 1.2 = ±(c/a), kur c/a 0. b) jei c/a 0, tai sprendinių nėra 4. a 0 ax 2 + bx + c = 0 x 1,2 =(-b±D)/2 a, kur D = b 2 – 4 ac, D0 5. c – lyginis skaičius (b = 2k), a 0, 0, c 0 х 2 + 2kx + c = 0 x 1,2 =(-b±D)/а, D 1 = k 2 – ac, kur k = 6. Vietos teoremos atvirkštinė teorema x 2 + px + q = 0x 1 + x 2 = - p x 1 x 2 = q

II. Specialieji metodai 7. Dvinalio kvadrato išskyrimo metodas. Tikslas: Sumažinti bendrąją lygtį iki nepilnos kvadratinės lygties. Pastaba: metodas taikomas bet kurioms kvadratinėms lygtims, bet ne visada patogus naudoti. Naudojamas kvadratinės lygties šaknų formulei įrodyti. Pavyzdys: išspręskite lygtį x 2 -6 x+8=0 8. Didžiausio koeficiento „perkėlimo“ būdas. Kvadratinių lygčių ax 2 + bx + c = 0 ir y 2 +by+ac=0 šaknys yra susietos ryšiais: ir Pastaba: metodas tinka kvadratinėms lygtims su „patogiais“ koeficientais. Kai kuriais atvejais tai leidžia žodžiu išspręsti kvadratinę lygtį. Pavyzdys: išspręskite lygtį 2 x 2 -9 x-5=0 Remiantis teoremomis: Pavyzdys: išspręskite lygtį 157 x x-177=0 9. Jei kvadratinėje lygtyje a+b+c=0, tai viena iš šaknys yra 1, o antroji, pagal Vietos teoremą, yra lygi c / a 10. Jei kvadratinėje lygtyje a + c = b, tai viena iš šaknų yra lygi -1, o antroji pagal Vietos teorema, lygi -c / a Pavyzdys: išspręskite lygtį 203 x x + 17 = 0 x 1 =y 1 /a, x 2 =y 2 /a

III. Bendrieji lygčių sprendimo metodai 11. Faktorizacijos metodas. Tikslas: Sumažinti bendrąją kvadratinę lygtį į formą A(x)·B(x)=0, kur A(x) ir B(x) yra daugianariai x atžvilgiu. Metodai: Bendrojo faktoriaus išėmimas iš skliaustų; Sutrumpintų daugybos formulių naudojimas; Grupavimo metodas. Pavyzdys: išspręskite lygtį 3 x 2 +2 x-1=0 12. Naujo kintamojo įvedimo būdas. Gerai pasirinkus naują kintamąjį, lygties struktūra tampa skaidresnė Pavyzdys: išspręskite lygtį (x 2 +3 x-25) 2 -6(x 2 +3 x-25) = - 8

Tegu  plokštumoje pateikiama Dekarto stačiakampė koordinačių sistema Oxy ir kokia nors tiesė L.

Apibrėžimas. Lygtis F(x;y) = 0 (1) paskambino tiesės lygtisL(atsižvelgiant į nurodytą koordinačių sistemą), jei šią lygtį tenkina bet kurio taško, esančio tiesėje L, x ir y koordinatės, o ne bet kurio taško, esančio ne tiesėje L, x ir y koordinatės.

Tai. linija lėktuve yra taškų (M(x;y)), kurių koordinatės atitinka (1) lygtį, vieta.

(1) lygtis apibrėžia L tiesę.

Pavyzdys. Apskritimo lygtis.

Apskritimas– taškų aibė vienodu atstumu nuo duoto taško M 0 (x 0,y 0).

Taškas M 0 (x 0,y 0) – apskritimo centras.

Bet kuriam taškui M(x;y), esančiam ant apskritimo, atstumas MM 0 =R (R=const)

MM 0 ==R

(x-x 0 ) 2 + (oo 0 ) 2 =R 2 –(2) – R spindulio apskritimo, kurio centras yra taške M 0, lygtis (x 0,y 0).

Parametrinė tiesės lygtis.

Tegul taškų L taškų x ir y koordinatės išreiškiamos naudojant parametrą t:

(3) – DSC linijos parametrinė lygtis

kur funkcijos (t) ir (t) yra tolydžios parametro t atžvilgiu (tam tikrame šio parametro kitimo diapazone).

Iš (3) lygties neįtraukus parametro t, gauname (1) lygtį.

Tiesę L laikykime keliu, kurį kerta materialus taškas, nuolat judantis pagal tam tikrą dėsnį. Tegul kintamasis t reiškia laiką, skaičiuojamą nuo tam tikro pradinio momento. Tada judėjimo dėsnio specifikacija parodo judančio taško koordinačių x ir y specifikaciją kaip kai kurias ištisines laiko t funkcijas x=(t) ir y=(t).

Pavyzdys. Išveskime apskritimo, kurio spindulys r>0, kurio centras yra ištakoje, parametrinę lygtį. Tegul M(x,y) yra savavališkas šio apskritimo taškas, o t yra kampas tarp spindulio vektoriaus ir Ox ašies, skaičiuojant prieš laikrodžio rodyklę.

Tada x=r cos x y=r sin t. (4)

(4) lygtys yra nagrinėjamo apskritimo parametrinės lygtys. Parametras t gali įgauti bet kokią reikšmę, tačiau tam, kad taškas M(x,y) vieną kartą apeitų apskritimą, parametro pasikeitimo diapazonas ribojamas iki pusės atkarpos 0t2.

Padalinus kvadratu ir sudėjus lygtis (4), gauname bendrąją apskritimo lygtį (2).

2. Poliarinė koordinačių sistema (psc).

Pasirinkime L ašį ( poliarinė ašis) ir nustatykite šios ašies tašką O ( stulpas). Bet kuris plokštumos taškas yra vienareikšmiškai apibrėžtas polinėmis koordinatėmis ρ ir φ, kur

ρ – poliarinis spindulys, lygus atstumui nuo taško M iki poliaus O (ρ≥0);

φ – kampas tarp vektoriaus krypties OM ir L ašis ( poliarinis kampas). M(ρ ; φ )

Linijos lygtis UCS galima parašyti:

ρ=f(φ) (5) aiški UCS linijos lygtis

F=(ρ; φ) (6) numanoma tiesių lygtis UCS

Ryšys tarp taško Dekarto koordinačių ir polinių koordinačių.

(x;y) (ρ ; φ ) Iš trikampio OMA:

tan φ=(kampo atkūrimasφ pagal žinomussusidaro tangentasatsižvelgiant į tai, kuriame kvadrante yra taškas M).(ρ ; φ )(x;y). x = ρcosφ,y=ρsinφ

Pavyzdys . Raskite taškų M(3;4) ir P(1;-1) polines koordinates.

Jei M:=5, φ=arctg (4/3). P atveju: ρ=; φ=Π+arctg(-1)=3Π/4.

Plokščių linijų klasifikacija.

1 apibrėžimas. Linija vadinama algebrinė, jei kurioje nors Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje, jei ji apibrėžta lygtimi F(x;y)=0 (1), kurioje funkcija F(x;y) yra algebrinis daugianomas.

2 apibrėžimas. Kiekviena nealgebrinė eilutė vadinama transcendentinis.

3 apibrėžimas. Algebrinė linija vadinama eilės tvarkan, jei kurioje nors Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje ši tiesė nustatoma pagal (1) lygtį, kurioje funkcija F(x;y) yra n-ojo laipsnio algebrinis daugianomas.

Taigi n-osios eilės eilutė yra tiesė, apibrėžta kurioje nors Dekarto stačiakampėje sistemoje n laipsnio algebrine lygtimi su dviem nežinomaisiais.

Ši teorema padeda nustatyti 1,2,3 apibrėžimų teisingumą.

Teorema(dokumentas b. l. 107). Jei vienoje Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje tiesė nustatoma pagal n laipsnio algebrinę lygtį, tai bet kurioje kitoje Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje ši tiesė nustatoma pagal to paties laipsnio n algebrinę lygtį.