Aukščiau buvo nurodytas nuolatinis atsitiktinis kintamasis, naudojant paskirstymo funkciją. Šis nustatymo būdas nėra vienintelis. Nuolatinis atsitiktinis dydis taip pat gali būti nurodytas naudojant funkciją, vadinamą pasiskirstymo tankis arba tikimybės tankis (dažnai vadinamas diferencialinė funkcija ).

Ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymo tankis X iškviesti funkciją f(x)- pirmoji paskirstymo funkcijos išvestinė F(x):

f(x)=F"(x).

Iš šio apibrėžimo išplaukia, kad paskirstymo funkcija yra primityvus pasiskirstymo tankiui. Žinodami pasiskirstymo tankį, galime apskaičiuoti tikimybę, kad nuolatinis atsitiktinis kintamasis įgis reikšmę, priklausančią tam tikram intervalui.

Teorema. Tikimybė, kad nuolatinis atsitiktinis kintamasis X ims reikšmę, priklausančią intervalui ( a, b), yra lygus tam tikram pasiskirstymo tankio integralui, paimtam diapazone nuo A prieš b:

Žinant pasiskirstymo tankį f(x), galime rasti paskirstymo funkciją F(x) pagal formulę

.

Pasiskirstymo tankio savybės:

1 nuosavybė. Pasiskirstymo tankis yra neneigiama funkcija:
.

Geometriškai ši savybė reiškia, kad pasiskirstymo tankio diagramai priklausantys taškai yra arba virš ašies Oi, arba šioje ašyje. Pasiskirstymo tankio grafikas vadinamas pasiskirstymo kreivė .

2 nuosavybė. Netinkamas pasiskirstymo tankio integralas nuo
prieš
yra lygus vienam:

.

Geometriškai tai reiškia, kad visas kreivinės trapecijos plotas, ribojamas Ox ašies ir pasiskirstymo kreivės, yra lygus vienetui.

Visų pirma, jei visos atsitiktinio dydžio reikšmės priklauso intervalui ( a, b), tai

.

Matematinis diskretinio atsitiktinio dydžio lūkestis

Pasiskirstymo dėsnis visiškai apibūdina atsitiktinį kintamąjį. Tačiau dažnai tai iš anksto nežinoma ir tenka naudoti netiesioginę informaciją. Daugeliu atvejų šių netiesioginių charakteristikų visiškai pakanka sprendžiant praktines problemas ir nebūtina nustatyti skirstymo dėsnio. Tokios savybės vadinamos skaitinės charakteristikos atsitiktinės reikšmės varnelės. Ir pirmasis iš jų yra matematinis lūkestis.

Matematinis diskretinio atsitiktinio dydžio lūkestis X yra visų galimų verčių sandaugų suma ( x 1 , x 2 , …, x n) apie jų tikimybes ( p 1 , p 2 , …, p n):

Reikėtų pažymėti, kad M(x) Yra neatsitiktinis (pastovi. Tai galima įrodyti M(x) yra maždaug lygus (ir kuo tikslesnis, tuo didesnis bandymų skaičius n) iki stebimų atsitiktinio dydžio verčių aritmetinio vidurkio.

Matematinis lūkestis turi štai ką savybių:

· Tikėtina vertė pastovus lygus pastoviausiam:

.

· Pastovus daugiklis galima išimti iš matematinio lūkesčio ženklo:

.

· Tikėtina vertė darbai du nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai X Ir Y(tai yra, vieno iš jų pasiskirstymo dėsnis nepriklauso nuo galimų kito verčių) yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai:

· Tikėtina vertė sumos dviejų atsitiktinių dydžių yra lygus terminų matematinių lūkesčių sumai:

Čia po suma X+Y atsitiktiniai dydžiai suprantami kaip naujas atsitiktinis dydis, kurio reikšmės yra lygios kiekvienos reikšmės sumoms X su visomis įmanomomis vertybėmis Y; galimų verčių tikimybės X+Y nepriklausomiems atsitiktiniams dydžiams X Ir Y yra lygūs terminų tikimybių sandaugoms, o priklausomiesiems – vieno nario tikimybių ir kito sąlyginės tikimybės sandaugoms. Taigi, jei X Ir Y yra nepriklausomi ir jų platinimo dėsniai

Jei gaminamas n nepriklausomi bandymai,

kurių kiekvieno įvykio tikimybė A pastovus ir lygus p, tada matematinis lūkestis pasirodymų skaičius įvykius A serijoje:

.

Atkreipkite dėmesį, kad trečioji ir ketvirtoji savybės yra lengvai apibendrinamos bet kokiam atsitiktinių dydžių skaičiui.

Diskretinio atsitiktinio dydžio sklaida

Matematinis lūkestis yra patogi charakteristika, tačiau dažnai to nepakanka norint įvertinti galimas atsitiktinio dydžio reikšmes arba kaip jos išsibarstę aplink vidurkį. Todėl įvedamos ir kitos skaitinės charakteristikos.

Leisti X yra atsitiktinis dydis su matematiniais lūkesčiais M(X). nukrypimas X 0 yra skirtumas tarp atsitiktinio dydžio ir jo matematinio lūkesčio:

.

Matematinis nuokrypio lūkestis M(X 0) = 0.

Pavyzdys. Tegu kiekybės pasiskirstymo dėsnis X:

Nuokrypis yra tarpinė charakteristika, kurios pagrindu pristatysime patogesnę charakteristiką. dispersija (dispersija ) Diskretusis atsitiktinis dydis vadinamas atsitiktinio dydžio kvadratinio nuokrypio matematiniu lūkesčiu:

Pavyzdžiui, suraskime kiekio dispersiją X su tokiu platinimo įstatymu:

čia . Būtinas nuokrypis:

Sklaidos reikšmę lemia ne tik atsitiktinio dydžio reikšmės, bet ir jų tikimybės. Todėl, jei dviejų atsitiktinių dydžių matematiniai lūkesčiai yra vienodi arba artimi (tai gana įprasta), tada dispersijos dažniausiai skiriasi. Tai leidžia papildomai apibūdinti tiriamąjį atsitiktinį kintamąjį.

Mes išvardijame dispersijos savybes:

Sklaida pastovus reikšmė lygi nuliui:

.

· Pastovus daugiklis Iš dispersijos ženklo galima išimti jį padalijus kvadratu:

.

Sklaida sumos Ir skirtumus du nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai yra lygūs šių kintamųjų dispersijų sumai:

Sklaida pasirodymų skaičius įvykius A V n nepriklausomi testai, kurių kiekviename yra tikimybė Pįvykio atsiradimas pastovus , nustatoma pagal formulę:

,

Kur
yra tikimybė, kad įvykis neįvyks.

Patogi pagalbinė charakteristika, naudojama skaičiavimuose net dažniau nei D(X), yra standartinis nuokrypis (arba standartinis ) atsitiktinis kintamasis:

.

Faktas yra tas D(X) turi atsitiktinio dydžio matmens kvadrato matmenį ir standarto matmenį  X) yra toks pat kaip ir atsitiktiniam dydžiui X. Tai labai patogu norint įvertinti atsitiktinio dydžio sklaidą.

Pavyzdys. Tegu atsitiktinį kintamąjį pateikia skirstinys:

X	2 m	3 m	10m
P	0,1	0,4	0,5

Apskaičiuokite: m

ir standartas: m.

Todėl apie atsitiktinį kintamąjį X galima pasakyti arba - jo matematinė lūkestis yra 6,4 m, kai dispersija yra 13,04 m 2, arba - matematinė lūkestis yra 6,4 m su dispersija
m. Antroji formuluotė akivaizdžiai aiškesnė.

Prisimink tai už sumą n nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai:

Pradiniai ir pagrindiniai teoriniai momentai

Daugeliui praktinių pirmiau pateiktų skaitinių charakteristikų skaičiavimų MX),DX)ir  X) pakankamai. Tačiau norėdami ištirti atsitiktinių dydžių elgseną, taip pat galite naudoti keletą papildomų skaitinių charakteristikų, kurios leidžia sekti atsitiktinių dydžių elgesio niuansus ir apibendrinti aukščiau pateiktą teoriją.

Atsitiktinio dydžio k-osios eilės pradinis momentas X vadinamas matematiniu kiekio lūkesčiu X k :

Apibrėžimas . tęstinis vadinamas atsitiktiniu dydžiu, kuris gali gauti visas reikšmes iš kokio nors baigtinio ar begalinio intervalo.

Ištisiniam atsitiktiniam dydžiui įvedama pasiskirstymo funkcijos sąvoka.

Apibrėžimas. paskirstymo funkcija Atsitiktinio dydžio X tikimybės vadinamos funkcija F(x), kuri kiekvienai x reikšmei nustato tikimybę, kad atsitiktinis dydis X įgis mažesnę nei x reikšmę, tai yra:

F(x) = P(X< x)

Dažnai vietoj termino „paskirstymo funkcija“ vartojamas terminas „integrali paskirstymo funkcija“.

Paskirstymo funkcijos savybės:

1. Paskirstymo funkcijos reikšmės priklauso intervalui:

0 ≤ F(х) ≤ 1.

2. Paskirstymo funkcija yra nemažėjanti funkcija, tai yra:

jei x > x ,

tada F(x) ≥ F(x).

3. Tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis įgis intervale esančią reikšmę, yra apibrėžtasis integralas
. ☻

Geometriškai gauta tikimybė yra lygi figūros plotui, kurį iš viršaus riboja pasiskirstymo kreivė ir remiantis atkarpa [a, b] (3.8 pav.).

Ištisinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija gali būti išreikšta tikimybių tankiu naudojant formulę:

.

Geometriškai pasiskirstymo funkcija yra lygi figūros plotui, kurį iš viršaus riboja pasiskirstymo kreivė ir kuris yra į kairę nuo taško x (3.9 pav.).

Geometriškai tikimybės tankio savybės 1 ir 4 reiškia, kad jo grafikas - pasiskirstymo kreivė - yra ne žemiau abscisių ašies, o bendras figūros plotas, kurį riboja pasiskirstymo kreivė ir abscisių ašis, yra lygus vienetui.

1. Atsitiktinis dydis, paskirstytas pagal dvinario dėsnį, jo matematinį lūkestį ir dispersiją. Poisson platinimo dėsnis.

Apibrėžimas. Diskretus atsitiktinis dydis X turi binominio skirstymo dėsnis su parametrais npq, jei jis įgauna reikšmes 0, 1, 2,..., m,..., n su tikimybėmis

kur 0<р

Kaip matote, tikimybės P(X=m) randamos naudojant Bernulio formulę, todėl dvinario skirstinio dėsnis yra įvykio A atvejų skaičiaus X=m pasiskirstymo dėsnis n nepriklausomų bandymų, kiekviename iš kuri gali įvykti su ta pačia tikimybe p .

Binomio dėsnio skirstymo serija yra tokia:

Akivaizdu, kad dvinario dėsnio apibrėžimas yra teisingas, nes pagrindinė platinimo serijos savybė
padaryta, nes yra ne kas kita, kaip visų Niutono dvinario išplėtimo terminų suma:

Tikėtina vertė atsitiktinis dydis X, paskirstytas pagal dvinarį dėsnį,

ir jo dispersija

Apibrėžimas. Diskretus atsitiktinis dydis X turi Poisson platinimo dėsnis su parametru λ > 0, jei jis ima reikšmes 0, 1, 2,..., m, ... (begalinė, bet skaičiuojama reikšmių rinkinys) su tikimybėmis
,

Puasono dėsnio paskirstymo serija yra tokia:

Akivaizdu, kad Puasono dėsnio apibrėžimas yra teisingas, nes pagrindinė skirstinio serijos savybė
patenkintas, nes serijos suma.

Ant pav. 4.1 pavaizduotas pagal Puasono dėsnį Р(Х=m)=Р m (λ) paskirstyto atsitiktinio dydžio skirstinio daugiakampis (daugiakampis), kurio parametrai λ = 0,5, λ = 1, λ = 2, λ = 3,5.

Teorema. Matematinis lūkestis ir dispersija atsitiktiniai dydžiai, pasiskirstę pagal Puasono dėsnį, sutampa ir yra lygūs šio dėsnio parametrui λ, t.y.

Ir

"