Dar mokykloje kiekvienas iš mūsų studijavo lygtis ir, greičiausiai, lygčių sistemas. Tačiau nedaugelis žino, kad yra keletas būdų jas išspręsti. Šiandien mes išsamiai išanalizuosime visus linijinių algebrinių lygčių sistemos, susidedančios iš daugiau nei dviejų lygybių, sprendimo būdus.

Istorija

Šiandien žinoma, kad lygčių ir jų sistemų sprendimo menas atsirado Senovės Babilone ir Egipte. Tačiau lygybės pažįstama forma atsirado po to, kai pasirodė lygybės ženklas „=“, kurį 1556 m. įvedė anglų matematikas Record. Beje, šis ženklas pasirinktas ne be priežasties: jis reiškia du lygiagrečius lygius segmentus. Iš tiesų, geresnio lygybės pavyzdžio nėra.

Šiuolaikinių nežinomųjų ir laipsnių ženklų raidžių žymenų įkūrėjas yra prancūzų matematikas, tačiau jo žymėjimai gerokai skyrėsi nuo šiandieninių. Pavyzdžiui, nežinomo skaičiaus kvadratą jis pažymėjo raide Q (lot. „quadratus“), o kubą – raide C (lot. „cubus“). Šis žymėjimas dabar atrodo nepatogus, tačiau tuo metu tai buvo pats suprantamiausias būdas rašyti tiesinių algebrinių lygčių sistemas.

Tačiau to meto sprendimo metodų trūkumas buvo tas, kad matematikai laikė tik teigiamas šaknis. Taip gali būti dėl to, kad neigiamos vertės neturėjo praktinės naudos. Vienaip ar kitaip, būtent italų matematikai Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano ir Raphaelis Bombelli XVI amžiuje pirmieji suskaičiavo neigiamas šaknis. O šiuolaikinė forma, pagrindinis sprendimo būdas (per diskriminantą) buvo sukurtas tik XVII amžiuje Dekarto ir Niutono darbų dėka.

XVIII amžiaus viduryje šveicarų matematikas Gabrielis Krameris rado naują būdą, kaip palengvinti tiesinių lygčių sistemų sprendimą. Šis metodas vėliau buvo pavadintas jo vardu ir jį naudojame iki šiol. Tačiau apie Cramerio metodą pakalbėsime šiek tiek vėliau, bet dabar aptarkime tiesines lygtis ir jų sprendimo būdus atskirai nuo sistemos.

Tiesinės lygtys

Tiesinės lygtys yra paprasčiausios lygtys su kintamuoju (kintamaisiais). Jie klasifikuojami kaip algebriniai. parašyta bendra forma taip: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b. Vėliau, kurdami sistemas ir matricas, turėsime jas pavaizduoti šia forma.

Tiesinių algebrinių lygčių sistemos

Šio termino apibrėžimas yra toks: tai lygčių rinkinys, turintis bendrus nežinomus dydžius ir bendrą sprendimą. Paprastai mokykloje visi sprendė sistemas su dviem ar net trimis lygtimis. Tačiau yra sistemų su keturiais ar daugiau komponentų. Pirmiausia išsiaiškinkime, kaip juos užrašyti, kad ateityje būtų patogu spręsti. Pirma, linijinių algebrinių lygčių sistemos atrodys geriau, jei visi kintamieji bus parašyti kaip x su atitinkamu indeksu: 1, 2, 3 ir pan. Antra, visos lygtys turi būti suformuotos į kanoninę formą: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b.

Po visų šių žingsnių galime pradėti kalbėti apie tai, kaip rasti tiesinių lygčių sistemų sprendimus. Tam labai pravers matricos.

Matricos

Matrica yra lentelė, susidedanti iš eilučių ir stulpelių, o jų sankirtoje yra jos elementai. Tai gali būti konkrečios reikšmės arba kintamieji. Dažniausiai, norint nurodyti elementus, po jais dedami apatiniai indeksai (pavyzdžiui, 11 arba 23). Pirmasis indeksas reiškia eilutės numerį, o antrasis - stulpelio numerį. Su matricomis, kaip ir su bet kuriuo kitu matematiniu elementu, galima atlikti įvairias operacijas. Taigi galite:

2) Padauginkite matricą iš bet kurio skaičiaus arba vektoriaus.

3) Transponuoti: matricos eilutes paverskite stulpeliais, o stulpelius – eilėmis.

4) Padauginkite matricas, jei vienos iš jų eilučių skaičius lygus kitos stulpelių skaičiui.

Aptarkime visas šias technikas plačiau, nes jos mums pravers ateityje. Atimti ir sudėti matricas yra labai paprasta. Kadangi imame tokio paties dydžio matricas, kiekvienas vienos lentelės elementas koreliuoja su kiekvienu kitos elementu. Taigi šiuos du elementus pridedame (atimame) (svarbu, kad jie savo matricose stovėtų tose pačiose vietose). Dauginant matricą iš skaičiaus arba vektoriaus, jūs tiesiog padauginate kiekvieną matricos elementą iš to skaičiaus (arba vektoriaus). Perkėlimas yra labai įdomus procesas. Labai įdomu kartais tai pamatyti realiame gyvenime, pavyzdžiui, keičiant planšetinio kompiuterio ar telefono orientaciją. Piktogramos darbalaukyje vaizduoja matricą, o pasikeitus vietai ji persikelia ir tampa platesnė, bet mažėja.

Pažvelkime į kitą procesą, pavyzdžiui: nors mums to nereikės, vis tiek bus naudinga tai žinoti. Dvi matricas galite padauginti tik tuo atveju, jei stulpelių skaičius vienoje lentelėje yra lygus eilučių skaičiui kitoje. Dabar paimkime vienos matricos eilutės elementus, o kitos – atitinkamo stulpelio elementus. Padauginkime juos vieną iš kito ir tada sudėkime (ty, pavyzdžiui, elementų a 11 ir a 12 sandauga iš b 12 ir b 22 bus lygi: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Taip gaunamas vienas lentelės elementas, kuris toliau pildomas panašiu būdu.

Dabar galime pradėti svarstyti, kaip sprendžiama tiesinių lygčių sistema.

Gauso metodas

Ši tema pradedama gvildenti mokykloje. Mes gerai žinome sąvoką „dviejų tiesinių lygčių sistema“ ir žinome, kaip jas išspręsti. Bet ką daryti, jei lygčių skaičius yra didesnis nei dvi? Tai mums padės

Žinoma, šį metodą patogu naudoti, jei iš sistemos sudarote matricą. Bet jūs neturite jo transformuoti ir išspręsti gryna forma.

Taigi, kaip šis metodas išsprendžia tiesinių Gauso lygčių sistemą? Beje, nors šis metodas pavadintas jo vardu, jis buvo atrastas senovėje. Gaussas siūlo taip: atlikti operacijas su lygtimis, kad galiausiai visa rinkinys būtų sumažintas į laipsnišką formą. Tai yra, būtina, kad iš viršaus į apačią (jei išdėstyta teisingai) nuo pirmosios lygties iki paskutinės nežinomasis mažėtų. Kitaip tariant, reikia pasirūpinti, kad gautume, tarkime, tris lygtis: pirmoje – trys nežinomieji, antroje – du, trečioje – vienas. Tada iš paskutinės lygties randame pirmąjį nežinomąjį, jo reikšmę pakeičiame antrąja arba pirmąja lygtimi ir randame likusius du kintamuosius.

Cramerio metodas

Norint įvaldyti šį metodą, labai svarbu turėti matricų pridėjimo ir atėmimo įgūdžių, taip pat reikia mokėti rasti determinantus. Todėl, jei visa tai darysite prastai arba visai nežinote, kaip, teks mokytis ir praktikuotis.

Kokia šio metodo esmė ir kaip jį padaryti taip, kad būtų gauta tiesinių Cramerio lygčių sistema? Viskas labai paprasta. Turime sudaryti tiesinių algebrinių lygčių sistemos skaitinių (beveik visada) koeficientų matricą. Norėdami tai padaryti, tiesiog paimame skaičius priešais nežinomuosius ir išdėstome juos lentelėje tokia tvarka, kokia jie yra įrašyti sistemoje. Jei prieš skaičių yra ženklas „-“, užrašome neigiamą koeficientą. Taigi, mes sudarėme pirmąją nežinomųjų koeficientų matricą, neįskaitant skaičių po lygybės ženklų (natūralu, lygtis turėtų būti sumažinta iki kanoninės formos, kai tik skaičius yra dešinėje, o visi nežinomieji su koeficientais yra įjungti kairė). Tada reikia sukurti dar kelias matricas – po vieną kiekvienam kintamajam. Norėdami tai padaryti, mes pakeičiame kiekvieną stulpelį su koeficientais pirmoje matricoje paeiliui skaičių stulpeliu po lygybės ženklo. Taigi gauname keletą matricų ir randame jų determinantus.

Po to, kai radome lemiamus veiksnius, tai yra mažas dalykas. Turime pradinę matricą ir yra keletas gautų matricų, atitinkančių skirtingus kintamuosius. Norėdami gauti sistemos sprendimus, gautos lentelės determinantą padalijame iš pradinės lentelės determinanto. Gautas skaičius yra vieno iš kintamųjų reikšmė. Panašiai randame visus nežinomuosius.

Kiti metodai

Yra keletas kitų būdų, kaip gauti tiesinių lygčių sistemų sprendimus. Pavyzdžiui, vadinamasis Gauso-Jordano metodas, kuris naudojamas kvadratinių lygčių sistemos sprendimams rasti ir taip pat siejamas su matricų naudojimu. Taip pat yra Jacobi metodas, skirtas tiesinių algebrinių lygčių sistemai išspręsti. Lengviausiai pritaikomas prie kompiuterio ir naudojamas kompiuterijoje.

Sudėtingi atvejai

Sudėtingumas paprastai atsiranda, kai lygčių skaičius yra mažesnis už kintamųjų skaičių. Tada galime tvirtai pasakyti, kad arba sistema yra nenuosekli (ty neturi šaknų), arba jos sprendimų skaičius linkęs į begalybę. Jei turime antrąjį atvejį, tai turime užrašyti bendrą tiesinių lygčių sistemos sprendimą. Jame bus bent vienas kintamasis.

Išvada

Čia mes priėjome prie pabaigos. Apibendrinkime: išsiaiškinome, kas yra sistema ir matrica, ir sužinojome, kaip rasti bendrą tiesinių lygčių sistemos sprendimą. Be to, svarstėme ir kitus variantus. Sužinojome, kaip galima išspręsti tiesinių lygčių sistemą: Gauso metodą, kalbėjome apie sudėtingus atvejus ir kitus sprendimų paieškos būdus.

Tiesą sakant, ši tema yra daug platesnė, ir jei norite ją geriau suprasti, rekomenduojame perskaityti daugiau specializuotos literatūros.

Homogeninė tiesinių lygčių sistema AX = 0 visada kartu. Jis turi netrivialius (nulinius) sprendimus, jei r= rangas A< n .

Vienarūšėse sistemose pagrindiniai kintamieji (kurių koeficientai sudaro pagrindinį mažąjį) išreiškiami laisvaisiais kintamaisiais formos santykiais:

Tada n-r Tiesiškai nepriklausomi vektoriniai sprendimai bus:

o bet koks kitas sprendimas yra linijinis jų derinys. Vektoriniai sprendimai sudaryti normalizuotą pagrindinę sistemą.

Tiesinėje erdvėje homogeninės tiesinių lygčių sistemos sprendinių rinkinys sudaro matmenų poerdvę n-r; - šios poerdvės pagrindas.

Sistema m tiesines lygtis su n nežinomas(arba, linijinė sistema

Čia x 1 , x 2 , …, x n a 11 , a 12 , …, a mn- sistemos koeficientai - ir b 1 , b 2 , … b m a iji) ir nežinomas ( j

Sistema (1) vadinama vienalytisb 1 = b 2 = … = b m= 0), kitaip - nevienalytis.

Sistema (1) vadinama kvadratas, jei numeris m lygtys lygios skaičiui n nežinomas.

Sprendimas sistemos (1) - rinkinys n numeriai c 1 , c 2 , …, c n, kad kiekvieno pakeitimas c i vietoj x iį sistemą (1) visas savo lygtis paverčia tapatybėmis.

Sistema (1) vadinama Bendras ne sąnarių

Sprendimai c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) ir c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n įvairių

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

tam tikras neapibrėžtas. Jei lygčių yra daugiau nei nežinomųjų, ji vadinama iš naujo apibrėžta.

Tiesinių lygčių sistemų sprendimas

Matricinių lygčių sprendimas ~ Gauso metodas

Tiesinių lygčių sistemų sprendimo metodai skirstomi į dvi grupes:

1. tikslūs metodai, kurie yra baigtiniai sistemos šaknų skaičiavimo algoritmai (sistemų sprendimas naudojant atvirkštinę matricą, Cramerio taisyklę, Gauso metodą ir kt.),

2. iteraciniai metodai, kurios leidžia konvergenciniais iteraciniais procesais gauti sistemos sprendimą tam tikru tikslumu (iteracijos metodas, Seidelio metodas ir kt.).

Dėl neišvengiamo apvalinimo net tikslių metodų rezultatai yra apytiksliai. Naudojant iteracinius metodus, papildomai pridedama metodo klaida.

Efektyvus iteracinių metodų panaudojimas labai priklauso nuo sėkmingo pradinės aproksimacijos pasirinkimo ir proceso konvergencijos greičio.

Matricinių lygčių sprendimas

Apsvarstykite sistemą n tiesinės algebrinės lygtys atžvilgiu n nežinomas X 1 , X 2 , …, x n:

.

(15)

Matrica A, kurių stulpeliai yra atitinkamų nežinomųjų koeficientai, o eilutės yra nežinomųjų koeficientai atitinkamoje lygtyje, vadinamas sistemos matrica; matrica-stulpelis b, kurio elementai yra dešiniosios sistemos lygčių pusės, vadinamas dešinės pusės matrica arba tiesiog dešinėje sistemos pusėje. Stulpelių matrica X, kurio elementai yra nežinomi nežinomieji, vadinamas sisteminis sprendimas.

Jei matrica A- neypatingas, tai yra det A n e lygi 0, tada sistema (13) arba jai ekvivalentiška matricinė lygtis (14) turi unikalų sprendimą.

Tiesą sakant, su sąlyga, kad det A nėra lygus 0 yra atvirkštinė matrica A-1. Abi (14) lygties puses padauginus iš matricos A-1 gauname:

(16)

Formulė (16) pateikia (14) lygties sprendimą ir ji yra unikali.

Naudojant funkciją patogu spręsti tiesinių lygčių sistemas išspręsti.

lspręsti ( A, b)

Grąžinamas sprendimo vektorius x toks kad Oi= b.

Argumentai:

A- kvadratinė, ne vienaskaita matrica.

b- vektorius, turintis tiek pat eilučių, kiek eilučių yra matricoje A .

8 paveiksle pavaizduotas trijų tiesinių lygčių sistemos sprendimas trijuose nežinomuose.

Gauso metodas

Gauso metodas, dar vadinamas Gauso eliminacijos metodu, susideda iš to, kad sistema (13) redukuojama nuosekliai pašalinant nežinomus į lygiavertę sistemą su trikampe matrica:

Matricos žymėjime tai reiškia, kad pirmiausia (tiesioginis Gauso metodo metodas), atliekant elementariąsias operacijas su eilutėmis, išplėstinė sistemos matrica redukuojama į laipsnišką formą:

ir tada (atvirkščiai Gauso metodui) ši žingsnių matrica transformuojama taip, kad pirmoje n stulpelius gauname vienetų matricą:

.

Paskutinis, ( n+ 1) šios matricos stulpelyje yra sistemos (13) sprendimas.

Mathcad programoje Gauso metodo judesiai pirmyn ir atgal atliekami pagal funkciją rref(A).

9 paveiksle parodytas tiesinių lygčių sistemos sprendimas naudojant Gauso metodą, kuriame naudojamos šios funkcijos:

rref( A)

Grąžinama matricos žingsninė forma A.

padidinti ( A, IN)

Grąžina masyvą, sudarytą pagal vietą A Ir IN greta. Masyvai A Ir IN turi turėti tiek pat eilučių.

submatrica ( A, ir, jr, ic, jc)

Pateikia submatricą, kurią sudaro visi elementai su ir Autorius jaunesnysis ir stulpeliai su ic Autorius jc.Įsitikinti, kad ir jaunesnysis Ir

ic jc, priešingu atveju eilučių ir (arba) stulpelių tvarka bus pakeista.

9 pav.

Metodo aprašymas

n tiesinių lygčių sistemai su n nežinomųjų (savavališkame lauke)

kai sistemos matricos determinantas Δ skiriasi nuo nulio, sprendinys rašomas forma

(i-tas sistemos matricos stulpelis pakeičiamas laisvųjų terminų stulpeliu).
Kita forma Cramerio taisyklė formuluojama taip: bet kokiems koeficientams c1, c2, ..., cn galioja ši lygybė:

Šioje formoje Cramerio formulė galioja be prielaidos, kad Δ skiriasi nuo nulio; net nebūtina, kad sistemos koeficientai būtų vientiso žiedo elementai (sistemos determinantas gali būti netgi nulio daliklis koeficiento žiedas). Taip pat galime daryti prielaidą, kad arba aibės b1,b2,...,bn ir x1,x2,...,xn, arba aibė c1,c2,...,cn, nesudaro koeficiento žiedo elementų. sistemos, bet kai kurie moduliai virš šio žiedo. Šioje formoje Cramerio formulė naudojama, pavyzdžiui, gramo determinanto ir Nakayamos lemos formulės įrodyme.

35) Kronecker-Capelli teorema

Kad m nehomogeninių tiesinių lygčių sistema n nežinomųjų būtų nuosekli, būtina ir pakanka būtinumo įrodymo. Tegul sistema (1.13) yra nuosekli, tai yra, yra tokių skaičių X 1 =α 1 , X 2 =α 2 , …, x n = α n , Ką (1.15) Iš paskutinio išplėstinės matricos stulpelio atimkime jos pirmąjį stulpelį, padaugintą iš α 1, antrąjį - iš α 2, ..., n-tąjį - padaugintą iš α n, tai yra iš paskutinio matricos stulpelio. (1.14) turėtume atimti kairiąsias lygčių puses ( 1.15). Tada gauname matricą kurių rangas dėl elementariųjų transformacijų nepasikeis ir . Bet tai akivaizdu, taigi ir pakankamumo įrodymas. Apibrėžtumo dėlei tegul viršutiniame kairiajame matricos kampe yra r eilės mažoji nulis: Tai reiškia, kad likusias matricos eilutes galima gauti kaip tiesines pirmųjų r eilučių kombinacijas, tai yra, matricos m-r eilutes galima pavaizduoti kaip pirmųjų r eilučių sumas, padaugintas iš kai kurių skaičių. Bet tada sistemos (1.13) pirmosios r lygtys yra nepriklausomos, o likusios yra jų pasekmės, tai yra, pirmųjų r lygčių sistemos sprendimas automatiškai yra likusių lygčių sprendimas. Galimi du atvejai. 1. r=n. Tada sistema, susidedanti iš pirmųjų r lygčių, turi tiek pat lygčių ir nežinomųjų ir yra nuosekli, o jos sprendimas yra unikalus. 2.r (1.16) „Laisvas“ nežinomas x r +1, x r +2 , …, x n gali būti pateiktos bet kokios reikšmės. Tada nežinomieji gauna atitinkamas reikšmes x 1 , x 2 , …, x r. Sistema (1.13) šiuo atveju yra nuosekli, bet neapibrėžta. komentuoti. R eilės nepilnametis, kur r X 1 , X 2 , …, X r taip pat vadinami pagrindiniais, kiti nemokami. Sistema (1.16) vadinama sutrumpinta. Jei žymimi laisvieji nežinomieji x r +1 =c 1 , x r +2 =c 2 , …, x n = c n - r, tada nuo jų priklausys pagrindiniai nežinomieji, tai yra, m lygčių sistemos su n nežinomųjų sprendinys turės formą X = ( x 1 (c 1 , …, c n - r), x 2 (c 1 , …, c n - r), …, x r(c 1 , …, c n - r), c 1 , c 2 , …, c n - r) T , kur T simbolis reiškia perkelti. Šis sistemos sprendimas vadinamas bendruoju.

36) tikrumas, neapibrėžtumas
Sistema m tiesines lygtis su n nežinomas(arba, linijinė sistema) tiesinėje algebroje yra formos lygčių sistema

Čia x 1 , x 2 , …, x n- nežinomi dalykai, kuriuos reikia nustatyti. a 11 , a 12 , …, a mn- sistemos koeficientai - ir b 1 , b 2 , … b m– laisvieji nariai – manoma, kad jie žinomi. Koeficientų indeksai ( a ij) sistemos žymi lygčių skaičius ( i) ir nežinomas ( j), kai šis koeficientas yra atitinkamai.

Sistema (1) vadinama vienalytis, jei visi jo laisvieji terminai yra lygūs nuliui ( b 1 = b 2 = … = b m= 0), kitaip - nevienalytis.

Sistema (1) vadinama Bendras, jei jis turi bent vieną sprendimą ir ne sąnarių, jei ji neturi vieno sprendimo.

(1) tipo jungtinė sistema gali turėti vieną ar daugiau sprendimų.

Sprendimai c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) ir c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n(2) vadinamos (1) formos jungtinės sistemos įvairių, jei pažeidžiama bent viena iš lygybių:

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

Vadinama (1) formos jungtinė sistema tam tikras, jei jis turi unikalų sprendimą; jei jis turi bent du skirtingus sprendimus, tada jis vadinamas neapibrėžtas

37) Tiesinių lygčių sistemų sprendimas Gauso metodu

Tegul originali sistema atrodo taip

Matrica A vadinama pagrindine sistemos matrica, b- laisvųjų narių kolona.

Tada, atsižvelgiant į elementariųjų transformacijų per eilutes savybę, pagrindinė šios sistemos matrica gali būti sumažinta į laipsnišką formą (tos pačios transformacijos turi būti taikomos laisvųjų terminų stulpeliui):

Tada vadinami kintamieji pagrindiniai kintamieji. Visi kiti vadinami Laisvas.

[taisyti] Suderinamumo sąlyga

Pirmiau nurodyta sąlyga visiems gali būti suformuluota kaip būtina ir pakankama suderinamumo sąlyga:

Prisiminkite, kad jungtinės sistemos rangas yra jos pagrindinės matricos (arba išplėstinės matricos, nes jos yra lygios) rangas.

Algoritmas

apibūdinimas

SLAE sprendimo Gauso metodu algoritmas yra padalintas į du etapus.

§ Pirmajame etape atliekamas vadinamasis tiesioginis judėjimas, kai elementariais transformavimais per eilutes sistema įvedama į laiptuotą arba trikampę formą arba nustatoma, kad sistema nesuderinama. Būtent tarp pirmojo matricos stulpelio elementų pasirinkite ne nulį, perkelkite jį į aukščiausią padėtį pertvarkydami eilutes ir gautą pirmąją eilutę atimkite iš likusių eilučių po pertvarkymo, padaugindami ją iš reikšmės. lygus kiekvienos iš šių eilučių pirmojo elemento ir pirmosios eilutės pirmojo elemento santykiui, taigi po juo esantis stulpelis nulinis. Atlikus šias transformacijas, pirmoji eilutė ir pirmasis stulpelis mintyse perbraukiami ir tęsiami tol, kol lieka nulinio dydžio matrica. Jei bet kurioje iteracijoje tarp pirmojo stulpelio elementų nėra nulinio elemento, eikite į kitą stulpelį ir atlikite panašią operaciją.

§ Antrame etape atliekamas vadinamasis atvirkštinis judėjimas, kurio esmė yra išreikšti visus gautus pagrindinius kintamuosius ne pagrindiniais ir sukurti pagrindinę sprendinių sistemą arba, jei visi kintamieji yra pagrindinis, tada skaitiniu būdu išreikškite vienintelį tiesinių lygčių sistemos sprendimą. Ši procedūra prasideda paskutine lygtimi, iš kurios išreiškiamas atitinkamas pagrindinis kintamasis (o yra tik vienas) ir pakeičiamas į ankstesnes lygtis, ir taip toliau, einant „pakopomis“. Kiekviena eilutė tiksliai atitinka vieną pagrindinį kintamąjį, todėl kiekviename žingsnyje, išskyrus paskutinę (viršutinę), situacija tiksliai pakartoja paskutinės eilutės atvejį.

Gauso metodas reikalauja tvarkos O(n 3) veiksmai.

Šis metodas remiasi:

38)Kronecker-Capelli teorema.
Sistema yra nuosekli tada ir tik tada, kai jos pagrindinės matricos rangas yra lygus išplėstinės matricos rangui.

Galite užsisakyti išsamų savo problemos sprendimą!!!

Norėdami suprasti, kas tai yra pagrindinė sprendimų sistema spustelėję galite žiūrėti to paties pavyzdžio vaizdo pamoką. Dabar pereikime prie tikrojo visų būtinų darbų aprašymo. Tai padės išsamiau suprasti šio klausimo esmę.

Kaip rasti pagrindinę tiesinės lygties sprendinių sistemą?

Paimkime, pavyzdžiui, šią tiesinių lygčių sistemą:

Raskime šios tiesinės lygčių sistemos sprendimą. Norėdami pradėti, mes reikia išrašyti sistemos koeficientų matricą.

Paverskime šią matricą į trikampę. Pirmą eilutę perrašome be pakeitimų. Ir visi elementai, esantys žemiau $a_(11)$, turi būti padaryti nuliais. Norėdami vietoj elemento $a_(21)$ padaryti nulį, iš antrosios eilutės turite atimti pirmąjį, o skirtumą įrašyti antroje eilutėje. Norėdami vietoj elemento $a_(31)$ padaryti nulį, iš trečios eilutės turite atimti pirmąją, o skirtumą įrašyti trečioje eilutėje. Norėdami vietoj elemento $a_(41)$ padaryti nulį, iš ketvirtos eilutės reikia atimti pirmąjį, padaugintą iš 2, ir įrašyti skirtumą ketvirtoje eilutėje. Norėdami vietoj elemento $a_(31)$ padaryti nulį, turite iš penktos eilutės atimti pirmąjį, padaugintą iš 2, ir įrašyti skirtumą penktoje eilutėje.

Pirmą ir antrą eilutes perrašome be pakeitimų. Ir visi elementai, esantys žemiau $a_(22)$, turi būti padaryti nuliais. Norėdami vietoj elemento $a_(32)$ padaryti nulį, iš trečios eilutės reikia atimti antrąjį, padaugintą iš 2, ir įrašyti skirtumą trečioje eilutėje. Norėdami vietoj elemento $a_(42)$ padaryti nulį, turite iš ketvirtos eilutės atimti antrąjį, padaugintą iš 2, ir įrašyti skirtumą ketvirtoje eilutėje. Norėdami vietoj elemento $a_(52)$ padaryti nulį, turite iš penktos eilutės atimti antrąjį, padaugintą iš 3, ir įrašyti skirtumą penktoje eilutėje.

Mes tai matome paskutinės trys eilutės yra vienodos, taigi, jei iš ketvirtos ir penktos atimsite trečiąjį, jie taps nuliu.

Pagal šią matricą parašyti naują lygčių sistemą.

Matome, kad turime tik tris tiesiškai nepriklausomas lygtis ir penkis nežinomuosius, todėl pagrindinė sprendinių sistema susideda iš dviejų vektorių. Taigi mes turime perkelti paskutinius du nežinomuosius į dešinę.

Dabar mes pradedame išreikšti tuos nežinomus dalykus, kurie yra kairėje pusėje, per tuos, kurie yra dešinėje. Pradedame nuo paskutinės lygties, pirmiausia išreiškiame $x_3$, tada gautą rezultatą pakeičiame antrąja lygtimi ir išreiškiame $x_2$, o tada pirmąja lygtimi ir čia išreiškiame $x_1$. Taigi mes išreiškėme visus nežinomus, kurie yra kairėje pusėje, per nežinomus, kurie yra dešinėje.

Tada vietoj $x_4$ ir $x_5$ galime pakeisti bet kokius skaičius ir rasti $x_1$, $x_2$ ir $x_3$. Kiekvienas penkis iš šių skaičių bus mūsų pradinės lygčių sistemos šaknys. Norėdami rasti vektorius, kurie yra įtraukti į FSR turime pakeisti 1 vietoj $x_4$, o vietoj $x_5$ pakeisti 0, rasti $x_1$, $x_2$ ir $x_3$, o tada atvirkščiai $x_4=0$ ir $x_5=1$.

6.3. HOMOGENINĖS TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS

Įleisti dabar sistemoje (6.1).

Vienalytė sistema visada yra nuosekli. Sprendimas () vadinamas nulis, arba trivialus.

Vienalytė sistema (6.1) turi nulinį sprendinį tada ir tik tada, kai jos rangas ( ) yra mažesnis už nežinomųjų skaičių. Visų pirma, vienalytė sistema, kurioje lygčių skaičius yra lygus nežinomųjų skaičiui, turi nulinį sprendimą tada ir tik tada, kai jos determinantas yra nulis.

Nes šį kartą viskas, vietoj formulių (6.6) gauname:

(6.7)

Formulėse (6.7) yra bet koks homogeninės sistemos (6.1) tirpalas.

1. Homogeninės tiesinių lygčių sistemos (6.1) visų sprendinių aibė sudaro tiesinę erdvę.

2. Tiesinė erdvėRvisi homogeninės tiesinių lygčių sistemos (6.1) sprendiniai sunnežinomieji ir pagrindinės matricos rangas lygusr, turi matmenisn–r.

Bet koks rinkinys (n–r) tiesiškai nepriklausomi vienalytės sistemos (6.1) sprendiniai sudaro pagrindą erdvėjeRvisi sprendimai. Tai vadinama esminis vienalytės lygčių sistemos (6.1) sprendinių aibė. Ypatingas dėmesys skiriamas "normalus" pagrindinė homogeninės sistemos sprendinių rinkinys (6.1):

(6.8)

Pagal pagrindo apibrėžimą bet koks sprendimas X vienalytė sistema (6.1) gali būti pavaizduota forma

(6.9)

Kur – savavališkos konstantos.

Kadangi formulėje (6.9) yra bet koks homogeninės sistemos (6.1) tirpalas, ji duoda bendras sprendimasšią sistemą.

Pavyzdys.

Vadinama tiesinių lygčių sistema, kurioje visi laisvieji nariai lygūs nuliui vienalytis :

Bet kuri vienalytė sistema visada yra nuosekli, nes ji visada buvo nulis (trivialus ) sprendimas. Kyla klausimas, kokiomis sąlygomis vienalytė sistema turės netrivialų sprendimą.

5.2 teorema.Vienalytė sistema turi netrivialų sprendimą tada ir tik tada, kai pagrindinės matricos rangas yra mažesnis už jos nežinomųjų skaičių.

Pasekmė. Kvadratinė vienalytė sistema turi netrivialų sprendimą tada ir tik tada, kai pagrindinės sistemos matricos determinantas nėra lygus nuliui.

5.6 pavyzdys. Nustatykite parametro l reikšmes, kurioms esant sistema turi netrivialius sprendimus, ir raskite šiuos sprendimus:

Sprendimas. Ši sistema turės ne trivialų sprendimą, kai pagrindinės matricos determinantas yra lygus nuliui:

Taigi sistema yra netriviali, kai l=3 arba l=2. Jei l=3, pagrindinės sistemos matricos rangas yra 1. Tada paliekant tik vieną lygtį ir darant prielaidą, kad y=a Ir z=b, mes gauname x=b-a, t.y.

Jei l=2, sistemos pagrindinės matricos rangas yra 2. Tada, kaip pagrindą pasirenkant mažąją:

gauname supaprastintą sistemą

Iš čia mes tai randame x=z/4, y=z/2. Tikėdamas z=4a, mes gauname

Visų vienalytės sistemos sprendinių rinkinys turi labai svarbų linijinė savybė : jei X stulpeliai 1 ir X 2 - vienalytės sistemos sprendiniai AX = 0, tada bet koks tiesinis jų derinys a X 1 + b X 2 taip pat bus šios sistemos sprendimas. Tiesa, nuo AX 1 = 0 Ir AX 2 = 0 , Tai A(a X 1 + b X 2) = a AX 1 + b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Būtent dėl ​​šios savybės, jei tiesinė sistema turi daugiau nei vieną sprendinį, tai šių sprendinių bus be galo daug.

Tiesiškai nepriklausomi stulpeliai E 1 , E 2 , Ek, kurie yra vienalytės sistemos sprendiniai, vadinami pamatinė sprendimų sistema vienalytė tiesinių lygčių sistema, jei šios sistemos bendrąjį sprendimą galima parašyti kaip tiesinį šių stulpelių derinį:

Jei vienalytė sistema turi n kintamieji, o sistemos pagrindinės matricos rangas yra lygus r, Tai k = n-r.

5.7 pavyzdys. Raskite pagrindinę šios tiesinių lygčių sistemos sprendinių sistemą:

Sprendimas. Raskime pagrindinės sistemos matricos rangą:

Taigi šios lygčių sistemos sprendinių rinkinys sudaro tiesinę matmenų poerdvę n-r= 5 - 2 = 3. Pagrindu parinksime minorą

Tada, palikę tik pagrindines lygtis (likusioji bus tiesinė šių lygčių kombinacija) ir pagrindinius kintamuosius (likusius, vadinamuosius laisvuosius kintamuosius, perkeliame į dešinę), gauname supaprastintą lygčių sistemą:

Tikėdamas x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, mes randame

Tikėdamas a= 1, b = c= 0, gauname pirmąjį pagrindinį sprendinį; tikėdamas b= 1, a = c= 0, gauname antrąjį pagrindinį sprendinį; tikėdamas c= 1, a = b= 0, gauname trečiąjį pagrindinį sprendinį. Dėl to įgis įprastinė pamatinė sprendimų sistema

Naudojant pagrindinę sistemą, bendras homogeninės sistemos sprendimas gali būti parašytas kaip

X = aE 1 + bE 2 + cE 3. a

Atkreipkime dėmesį į kai kurias nehomogeninės tiesinių lygčių sistemos sprendinių savybes AX = B ir jų ryšį su atitinkama vienalyte lygčių sistema AX = 0.

Bendras nehomogeninės sistemos sprendimasyra lygi atitinkamos vienalytės sistemos bendrojo sprendinio AX = 0 ir savavališko nehomogeninės sistemos konkretaus sprendinio sumai. Tikrai, tegul Y 0 yra savavališkas konkretus nehomogeninės sistemos sprendimas, t.y. AY 0 = B, Ir Y- heterogeninės sistemos bendras sprendimas, t.y. AY=B. Vieną lygybę atėmę iš kitos gauname
A(Y-Y 0) = 0, t.y. Y-Y 0 yra atitinkamos vienalytės sistemos bendras sprendinys AX=0. Vadinasi, Y-Y 0 = X, arba Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Tegul nehomogeninė sistema turi formą AX = B 1 + B 2 . Tada bendras tokios sistemos sprendimas gali būti parašytas kaip X = X 1 + X 2 , kur AX 1 = B 1 ir AX 2 = B 2. Ši savybė išreiškia universalią bet kokių tiesinių sistemų savybę apskritai (algebrinę, diferencinę, funkcinę ir kt.). Fizikoje ši savybė vadinama superpozicijos principas, elektros ir radijo inžinerijoje - superpozicijos principas. Pavyzdžiui, tiesinių elektros grandinių teorijoje srovę bet kurioje grandinėje galima gauti kaip srovių, kurias sukelia kiekvienas energijos šaltinis atskirai, algebrinę sumą.