Išvesdami pačią pirmąją lentelės formulę, vadovausimės išvestinės funkcijos apibrėžimu taške. Paimkime kur x– bet koks tikrasis skaičius, ty x– bet koks skaičius iš funkcijos apibrėžimo srities. Užrašykime funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykio ribą:

Reikėtų pažymėti, kad pagal ribinį ženklą gaunama išraiška, kuri nėra nulio neapibrėžtis, padalyta iš nulio, nes skaitiklyje yra ne be galo maža reikšmė, o tiksliai nulis. Kitaip tariant, pastovios funkcijos prieaugis visada yra lygus nuliui.

Taigi, pastovios funkcijos išvestinėyra lygus nuliui visoje apibrėžimo srityje.

Galios funkcijos išvestinė.

Galios funkcijos išvestinės formulė turi formą , kur eksponentas p– bet koks tikrasis skaičius.

Pirmiausia įrodykime natūraliojo rodiklio formulę, tai yra už p = 1, 2, 3, …

Naudosime išvestinės apibrėžimą. Užrašykime galios funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykio ribą:

Norėdami supaprastinti išraišką skaitiklyje, pereiname prie Niutono dvinario formulės:

Vadinasi,

Tai įrodo natūraliojo eksponento laipsnio funkcijos išvestinės formulę.

Eksponentinės funkcijos išvestinė.

Pateikiame išvestinės formulės išvedimą pagal apibrėžimą:

Atėjome į netikrumą. Norėdami jį išplėsti, pristatome naują kintamąjį ir . Tada . Paskutiniame perėjime naudojome perėjimo prie naujos logaritminės bazės formulę.

Pakeiskime pradinę ribą:

Jei prisiminsime antrąją reikšmingą ribą, gauname eksponentinės funkcijos išvestinės formulę:

Logaritminės funkcijos išvestinė.

Įrodykime logaritminės funkcijos išvestinės formulę visiems x iš apibrėžimo srities ir visų galiojančių bazės reikšmių a logaritmas Pagal išvestinės priemonės apibrėžimą turime:

Kaip pastebėjote, įrodinėjimo metu transformacijos buvo atliekamos naudojant logaritmo savybes. Lygybė yra tiesa dėl antrosios nepaprastos ribos.

Trigonometrinių funkcijų dariniai.

Norėdami išvesti trigonometrinių funkcijų išvestinių formules, turėsime prisiminti kai kurias trigonometrijos formules, taip pat pirmąją reikšmingą ribą.

Pagal mūsų turimos sinusinės funkcijos išvestinės apibrėžimą .

Naudokime sinusų skirtumo formulę:

Belieka pereiti prie pirmosios nepaprastos ribos:

Taigi funkcijos išvestinė nuodėmė x Yra cos x.

Lygiai taip pat įrodoma kosinuso išvestinės formulė.

Todėl funkcijos išvestinė cos x Yra – nuodėmė x.

Tangento ir kotangento išvestinių lentelės formules išvesime naudodami įrodytas diferenciacijos taisykles (trupmenos išvestinę).

Hiperbolinių funkcijų dariniai.

Diferencijavimo taisyklės ir eksponentinės funkcijos išvestinės formulė iš išvestinių lentelės leidžia išvesti hiperbolinio sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento išvestinių formules.

Atvirkštinės funkcijos išvestinė.

Norėdami išvengti painiavos pateikimo metu, apatiniame indekse pažymėkime funkcijos argumentą, pagal kurį atliekamas diferencijavimas, tai yra, tai yra funkcijos išvestinė f(x) Autorius x.

Dabar suformuluokime atvirkštinės funkcijos išvestinės radimo taisyklė.

Tegul funkcijos y = f(x) Ir x = g(y) tarpusavyje atvirkštiniai, apibrėžti intervalais ir atitinkamai. Jeigu taške yra baigtinė nulinė funkcijos išvestinė f(x), tada taške yra atvirkštinės funkcijos baigtinė išvestinė g(y), ir . Kitame įraše .

Šią taisyklę galima performuluoti bet kuriai x iš intervalo , tada gauname .

Patikrinkime šių formulių pagrįstumą.

Raskime atvirkštinę natūraliojo logaritmo funkciją (Čia y yra funkcija ir x- argumentas). Išsprendę šią lygtį x, gauname (čia x yra funkcija ir y– jos argumentas). Tai yra, ir tarpusavyje atvirkštines funkcijas.

Iš išvestinių lentelės matome, kad Ir .

Įsitikinkite, kad formulės, skirtos rasti atvirkštinės funkcijos išvestines, duoda tuos pačius rezultatus:

Kaip matote, gavome tuos pačius rezultatus kaip ir išvestinių išvestinių lentelėje.

Dabar turime žinių, kaip įrodyti atvirkštinių trigonometrinių funkcijų išvestinių formules.

Pradėkime nuo arcsinuso išvestinės.

. Tada, naudodami atvirkštinės funkcijos išvestinės formulę, gauname

Belieka tik atlikti transformacijas.

Kadangi arcsininis diapazonas yra intervalas , Tai (žr. skyrių apie pagrindines elementariąsias funkcijas, jų savybes ir grafikus). Todėl mes to nesvarstome.

Vadinasi, . Arsininės išvestinės apibrėžimo sritis yra intervalas (-1; 1) .

Lanko kosinuso atveju viskas daroma lygiai taip pat:

Raskime arktangento išvestinę.

Nes atvirkštinė funkcija yra .

Išreikškime arctangentą arkosinusu, kad supaprastintume gautą išraišką.

Leisti arctgx = z, Tada

Vadinasi,

Lanko kotangento išvestinė randama panašiai:

Pateikiamas sinuso - sin(x) išvestinės formulės įrodymas ir išvedimas. Sin 2x, sinuso kvadrato ir kubo išvestinių skaičiavimo pavyzdžiai. N-osios eilės sinuso išvestinės formulės išvedimas.

Turinys

Taip pat žiūrėkite: Sinusas ir kosinusas – savybės, grafikai, formulės

Išvestinė kintamojo x atžvilgiu iš x sinuso yra lygi x kosinusui:
(sin x)′ = cos x.

Įrodymas

Norėdami gauti sinuso išvestinės formulę, naudosime išvestinės apibrėžimą:
.

Norėdami rasti šią ribą, turime transformuoti išraišką taip, kad ją sumažintume iki žinomų dėsnių, savybių ir taisyklių. Norėdami tai padaryti, turime žinoti keturias savybes.
1) Pirmosios ypatingos ribos reikšmė yra tokia:
(1) ;
2) Kosinuso funkcijos tęstinumas:
(2) ;
3) Trigonometrinės formulės. Mums reikės šios formulės:
(3) ;
4) Funkcijos ribos aritmetinės savybės:
Jei ir , tada
(4) .

Taikykime šias taisykles savo limitui. Pirmiausia transformuojame algebrinę išraišką
.
Norėdami tai padaryti, taikome formulę
(3) .
Mūsų atveju
; . Tada
;
;
;
.

Dabar atlikime pakeitimą. adresu , . Taikykime pirmą reikšmingą ribą (1):
.

Atlikime tą patį pakeitimą ir naudokime tęstinumo savybę (2):
.

Kadangi egzistuoja aukščiau apskaičiuotos ribos, taikome savybę (4):

.

Sinuso išvestinės formulė įrodyta.

Pavyzdžiai

Pažvelkime į paprastus pavyzdžius, kaip rasti funkcijų, turinčių sinusą, išvestinių. Rasime šių funkcijų išvestinius:
y = sin 2x; y = nuodėmė 2x ir y = nuodėmė 3x.

1 pavyzdys

Raskite išvestinę iš nuodėmė 2x.

Pirmiausia suraskime paprasčiausios dalies išvestinę:
(2x)′ = 2(x)′ = 2 1 = 2.
Mes taikome.
.
čia .

(sin 2x)′ = 2 cos 2x.

2 pavyzdys

Raskite sinuso kvadrato išvestinę:
y = nuodėmė 2x.

Perrašykime pradinę funkciją suprantamesne forma:
.
Raskime paprasčiausios dalies išvestinę:
.
Taikome sudėtingos funkcijos išvestinės formulę.

.
čia .

Galite taikyti vieną iš trigonometrijos formulių. Tada
.

3 pavyzdys

Raskite sinuso kubo išvestinę:
y = nuodėmė 3x.

Aukštesnės eilės išvestinės priemonės

Atkreipkite dėmesį, kad vedinys iš nuodėmė x pirmoji eilė gali būti išreikšta sinusu taip:
.

Raskime antros eilės išvestinę naudodamiesi kompleksinės funkcijos išvestinės formule:

.
čia .

Dabar galime pastebėti tą skirtumą nuodėmė x sukelia jo argumento padidėjimą . Tada n-osios eilės išvestinė turi tokią formą:
(5) .

Įrodykime tai matematinės indukcijos metodu.

Jau patikrinome, ar , formulė (5) galioja.

Tarkime, kad formulė (5) galioja tam tikrai reikšmei. Įrodykime, kad iš to išplaukia, kad formulė (5) yra patenkinta .

Parašykime formulę (5) adresu:
.
Šią lygtį išskiriame naudodami sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklę:

.
čia .
Taigi mes radome:
.
Jei pakeisime , tada ši formulė įgaus formą (5).

Formulė įrodyta.

Taip pat žiūrėkite:

Darinys

Matematinės funkcijos išvestinės (diferenciacijos) skaičiavimas yra labai dažna problema sprendžiant aukštąją matematiką. Paprastoms (elementarioms) matematinėms funkcijoms tai yra gana paprastas dalykas, nes elementariųjų funkcijų išvestinių lentelės jau seniai buvo sudarytos ir yra lengvai prieinamos. Tačiau sudėtingos matematinės funkcijos išvestinės radimas nėra nereikšminga užduotis ir dažnai reikalauja didelių pastangų ir laiko.

Raskite išvestinę priemonę internete

Mūsų internetinė paslauga leidžia atsikratyti beprasmiškų ilgų skaičiavimų ir rasti išvestį internete per vieną akimirką. Be to, naudodamiesi mūsų svetainėje esančia paslauga www.svetainė, galite paskaičiuoti internetinis darinys tiek iš elementarios funkcijos, tiek iš labai sudėtingos, neturinčios analitinio sprendimo. Pagrindiniai mūsų svetainės pranašumai, lyginant su kitomis, yra šie: 1) nėra griežtų reikalavimų matematinės funkcijos įvedimo būdui apskaičiuojant išvestinę (pavyzdžiui, įvesdami funkciją sinusas x galite įvesti kaip sin x arba sin (x) arba sin[x] ir tt d.); 2) internetinis išvestinis apskaičiavimas įvyksta iš karto režime prisijungęs ir absoliučiai nemokamai; 3) leidžiame rasti funkcijos išvestinę bet koks užsakymas, keisti išvestinės eilės tvarką labai lengva ir suprantama; 4) leidžiame internete rasti beveik bet kokios matematinės funkcijos išvestį, net ir labai sudėtingų, kurių negali išspręsti kitos paslaugos. Pateiktas atsakymas visada yra tikslus ir jame negali būti klaidų.

Naudodamiesi mūsų serveriu galėsite 1) apskaičiuoti išvestinę priemonę internetu už jus, pašalindami daug laiko reikalaujančius ir varginančius skaičiavimus, kurių metu galite padaryti klaidą ar rašybos klaidą; 2) jei matematinės funkcijos išvestinę skaičiuojate patys, tuomet suteikiame galimybę gautą rezultatą palyginti su mūsų paslaugos skaičiavimais ir įsitikinti, kad sprendimas yra teisingas ar rasti įsivėlė klaidą; 3) naudotis mūsų paslauga, o ne naudoti paprastų funkcijų išvestinių lenteles, kuriose dažnai reikia laiko surasti norimą funkciją.

Viskas, ką jums reikia padaryti, tai rasti išvestį internete- yra naudotis mūsų paslauga

Patogumui ir aiškumui studijuojant temą pateikiame suvestinę lentelę.

Pastovusy = C Galios funkcija y = x p (x p) " = p x p - 1	Eksponentinė funkcijay = a x (a x) " = a x ln a Visų pirma, kaia = emes turime y = e x (e x) " = e x
Logaritminė funkcija (log a x) " = 1 x ln a Visų pirma, kaia = emes turime y = logx (ln x) " = 1 x	Trigonometrinės funkcijos (sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x
Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	Hiperbolinės funkcijos (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Išanalizuokime, kaip gautos nurodytos lentelės formulės arba, kitaip tariant, įrodysime kiekvieno funkcijos tipo išvestinių formulių išvedimą.

Konstantos išvestinė

1 įrodymas

Norėdami išvesti šią formulę, kaip pagrindą imame funkcijos išvestinės taške apibrėžimą. Mes naudojame x 0 = x, kur x paima bet kurio realaus skaičiaus reikšmę arba, kitaip tariant, x yra bet koks skaičius iš funkcijos f (x) = C srities. Funkcijos prieaugio ir argumento prieaugio santykio ribą užrašykime kaip ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Atkreipkite dėmesį, kad išraiška 0 ∆ x patenka po ribiniu ženklu. Tai nėra neapibrėžtis „nulis padalytas iš nulio“, nes skaitiklyje nėra be galo mažos reikšmės, o tiksliai nulis. Kitaip tariant, pastovios funkcijos prieaugis visada yra lygus nuliui.

Taigi, pastovios funkcijos f (x) = C išvestinė yra lygi nuliui visoje apibrėžimo srityje.

1 pavyzdys

Pateikiamos pastovios funkcijos:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0, f 5 (x) = - 8 7

Sprendimas

Apibūdinkime pateiktas sąlygas. Pirmoje funkcijoje matome natūraliojo skaičiaus 3 išvestinę. Šiame pavyzdyje turite paimti išvestinę iš A, Kur A- bet koks tikrasis skaičius. Trečiasis pavyzdys mums pateikia iracionaliojo skaičiaus 4 išvestinę. 13 7 22, ketvirtasis yra nulio išvestinė (nulis yra sveikas skaičius). Galiausiai penktuoju atveju turime racionaliosios trupmenos išvestinę - 8 7.

Atsakymas: duotų funkcijų išvestinės yra nulis bet kuriai realiai x(visoje apibrėžimo srityje)

f 1 "(x) = (3)" = 0, f 2 "(x) = (a)" = 0, a ∈ R, f 3 " (x) = 4. 13 7 22" = 0, f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Galios funkcijos išvestinė

Pereikime prie laipsnio funkcijos ir jos išvestinės formulės, kurios forma yra: (x p) " = p x p - 1, kur eksponentas p yra bet koks tikrasis skaičius.

2 įrodymas

Čia yra formulės įrodymas, kai eksponentas yra natūralusis skaičius: p = 1, 2, 3, …

Mes vėl remiamės išvestinės apibrėžimu. Užrašykime galios funkcijos prieaugio ir argumento prieaugio santykio ribą:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Norėdami supaprastinti išraišką skaitiklyje, naudojame Niutono dvejetainę formulę:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Taigi:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + ... + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + .. + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p - 1 + 0 + 0 + ... + 0 = p ! 1 ! · (p - 1) ! · x p - 1 = p · x p - 1

Taigi, mes įrodėme laipsnio funkcijos išvestinės formulę, kai rodiklis yra natūralusis skaičius.

3 įrodymas

Pateikti įrodymus bylai, kai p- bet koks realusis skaičius, išskyrus nulį, naudojame logaritminę išvestinę (čia turėtume suprasti skirtumą nuo logaritminės funkcijos išvestinės). Norint geriau suprasti, patartina ištirti logaritminės funkcijos išvestinę ir papildomai suprasti numanomos funkcijos išvestinę ir kompleksinės funkcijos išvestinę.

Panagrinėkime du atvejus: kada x teigiamas ir kada x neigiamas.

Taigi x > 0. Tada: x p > 0 . Logaritmuokime lygybę y = x p į bazę e ir pritaikykime logaritmo savybę:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

Šiame etape mes gavome netiesiogiai nurodytą funkciją. Apibrėžkime jo išvestinę:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Dabar svarstome atvejį, kai x – neigiamas skaičius.

Jei indikatorius p yra lyginis skaičius, tada galios funkcija yra apibrėžta x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Tada x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Jeigu p yra nelyginis skaičius, tada galios funkcija yra apibrėžta x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p – 1 = p x p – 1

Paskutinis perėjimas galimas dėl to, kad jei p tada yra nelyginis skaičius p - 1 lyginis skaičius arba nulis (jei p = 1), taigi, neigiamas x lygybė (- x) p - 1 = x p - 1 yra teisinga.

Taigi, mes įrodėme bet kurio tikrojo p laipsnio funkcijos išvestinės formulę.

2 pavyzdys

Suteiktos funkcijos:

f 1 (x) = 1 x 2 3, f 2 (x) = x 2 - 1 4, f 3 (x) = 1 x log 7 12

Nustatykite jų darinius.

Sprendimas

Kai kurias pateiktas funkcijas transformuojame į lentelės formą y = x p , remdamiesi laipsnio savybėmis, ir tada naudojame formulę:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - rąstas 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Eksponentinės funkcijos išvestinė

4 įrodymas

Išveskime išvestinę formulę naudodami apibrėžimą kaip pagrindą:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Sulaukėme netikrumo. Norėdami jį išplėsti, parašykime naują kintamąjį z = a ∆ x - 1 (z → 0 kaip ∆ x → 0). Šiuo atveju a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Paskutiniam perėjimui buvo naudojama perėjimo prie naujos logaritmo bazės formulė.

Pakeiskime pradinę ribą:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Prisiminkime antrąją reikšmingą ribą ir tada gausime eksponentinės funkcijos išvestinės formulę:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

3 pavyzdys

Pateikiamos eksponentinės funkcijos:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Būtina rasti jų išvestinius.

Sprendimas

Eksponentinės funkcijos ir logaritmo savybių išvestinei naudojame formulę:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Logaritminės funkcijos išvestinė

5 įrodymas

Pateiksime bet kurios logaritminės funkcijos išvestinės formulės įrodymą x apibrėžimo srityje ir bet kokios leistinos logaritmo bazės a reikšmės. Remdamiesi išvestinės apibrėžimu, gauname:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

Iš nurodytos lygybių grandinės aišku, kad transformacijos buvo pagrįstos logaritmo savybe. Lygybės lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e yra teisinga pagal antrąją žymiąją ribą.

4 pavyzdys

Pateikiamos logaritminės funkcijos:

f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x

Būtina apskaičiuoti jų išvestines.

Sprendimas

Taikykime išvestinę formulę:

f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 "(x) = (ln x)" = 1 x ln e = 1 x

Taigi natūraliojo logaritmo išvestinė yra padalinta iš x.

Trigonometrinių funkcijų dariniai

6 įrodymas

Panaudokime keletą trigonometrinių formulių ir pirmąją nuostabią ribą, kad gautume trigonometrinės funkcijos išvestinės formulę.

Pagal sinusinės funkcijos išvestinės apibrėžimą gauname:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Sinusų skirtumo formulė leis mums atlikti šiuos veiksmus:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Galiausiai panaudojame pirmąją nuostabią ribą:

sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Taigi, funkcijos išvestinė nuodėmė x valios cos x.

Taip pat įrodysime kosinuso išvestinės formulę:

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Tie. funkcijos cos x išvestinė bus – nuodėmė x.

Remdamiesi diferenciacijos taisyklėmis, gauname liestinės ir kotangento išvestinių formules:

t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - nuodėmė 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 nuodėmė 2 x

Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų išvestinės

Skyriuje apie atvirkštinių funkcijų išvestinę pateikiama išsami informacija apie arcsinuso, arkosino, arctangento ir arkotangento išvestinių formulių įrodymą, todėl medžiagos čia nedubliuosime.

Hiperbolinių funkcijų dariniai

Įrodymai 7

Hiperbolinio sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento išvestinių formules galime išvesti naudodami diferenciacijos taisyklę ir eksponentinės funkcijos išvestinės formulę:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter