Šiame straipsnyje aptarsime:

• kas yra kolineariniai vektoriai;
• kokios yra kolinearinių vektorių sąlygos;
• kokios yra kolinearinių vektorių savybės;
• kokia yra kolinearinių vektorių tiesinė priklausomybė.

1 apibrėžimas

Kolineariniai vektoriai yra vektoriai, kurie yra lygiagrečiai tai pačiai linijai arba yra toje pačioje tiesėje.

1 pavyzdys

Sąlygos kolineariniams vektoriams

Du vektoriai yra kolineariniai, jei yra viena iš šių sąlygų:

• 1 sąlyga . Vektoriai a ir b yra kolinearūs, jei yra toks skaičius λ, kad a = λ b ;
• 2 sąlyga . Vektoriai a ir b yra kolineriniai su vienodu koordinačių santykiu:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• 3 sąlyga . Vektoriai a ir b yra kolinearūs, jei vektorių sandauga ir nulinis vektorius yra lygūs:

a ∥ b ⇔ a , b = 0

1 pastaba

2 sąlyga netaikoma, jei viena iš vektoriaus koordinačių yra lygi nuliui.

2 pastaba

3 sąlyga taikomas tik tiems vektoriams, kurie yra pateikti erdvėje.

Vektorių kolineariškumo tyrimo uždavinių pavyzdžiai

1 pavyzdys

Tiriame vektorių a \u003d (1; 3) ir b \u003d (2; 1) kolineariškumą.

Kaip apsispręsti?

Šiuo atveju būtina naudoti 2-ąją kolineariškumo sąlygą. Pateiktiems vektoriams tai atrodo taip:

Lygybė neteisinga. Iš to galime daryti išvadą, kad vektoriai a ir b yra nekolineariniai.

Atsakymas : a | | b

2 pavyzdys

Kokia vektoriaus a = (1 ; 2) ir b = (- 1 ; m) reikšmė yra būtina, kad vektoriai būtų kolinearūs?

Kaip apsispręsti?

Naudojant antrąją kolinearinę sąlygą, vektoriai bus kolineariniai, jei jų koordinatės yra proporcingos:

Tai rodo, kad m = -2.

Atsakymas: m = -2.

Vektorių sistemų tiesinės priklausomybės ir tiesinės nepriklausomybės kriterijai

Teorema

Vektorių sistema vektorių erdvėje yra tiesiškai priklausoma tik tuo atveju, jei vienas iš sistemos vektorių gali būti išreikštas likusiais sistemos vektoriais.

Įrodymas

Tegu sistema e 1 , e 2 , . . . , e n yra tiesiškai priklausomas. Užrašykime šios sistemos tiesinę kombinaciją, lygią nuliniam vektoriui:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

kurioje bent vienas iš derinio koeficientų nėra lygus nuliui.

Tegu a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n.

Abi lygybės puses padalijame iš nulinio koeficiento:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Pažymėti:

A k - 1 a m , kur m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

Tokiu atveju:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + βn e n = 0

arba e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Iš to seka, kad vienas iš sistemos vektorių išreiškiamas visais kitais sistemos vektoriais. Ką ir reikėjo įrodyti (p.t.d.).

Tinkamumas

Tegul vienas iš vektorių yra tiesiškai išreikštas visais kitais sistemos vektoriais:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Vektorių e k perkeliame į dešinę šios lygybės pusę:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Kadangi vektoriaus e k koeficientas lygus -1 ≠ 0, gauname netrivialų nulio atvaizdavimą vektorių e 1 , e 2 , sistema. . . , e n , o tai savo ruožtu reiškia, kad pateikta vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma. Ką ir reikėjo įrodyti (p.t.d.).

Pasekmė:

• Vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma, kai nė vienas jos vektorius negali būti išreikštas visais kitais sistemos vektoriais.
• Vektorių sistema, kurioje yra nulinis vektorius arba du vienodi vektoriai, yra tiesiškai priklausoma.

Tiesiškai priklausomų vektorių savybės

1. 2 ir 3 dimensijų vektoriams sąlyga įvykdyta: du tiesiškai priklausomi vektoriai yra kolineariniai. Du kolineariniai vektoriai yra tiesiškai priklausomi.
2. 3 dimensijų vektorių sąlyga įvykdyta: trys tiesiškai priklausomi vektoriai yra vienodi. (3 koplanariniai vektoriai – tiesiškai priklausomi).
3. n matmenų vektoriams sąlyga yra įvykdyta: n + 1 vektoriai visada yra tiesiškai priklausomi.

Vektorių tiesinės priklausomybės arba tiesinės nepriklausomybės uždavinių sprendimo pavyzdžiai

3 pavyzdys

Patikrinkime vektorių a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 tiesinę nepriklausomybę.

Sprendimas. Vektoriai yra tiesiškai priklausomi, nes vektorių matmenys yra mažesni už vektorių skaičių.

4 pavyzdys

Patikrinkime vektorių a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , - 1 , 1 tiesinį nepriklausomumą.

Sprendimas. Mes randame koeficientų reikšmes, kai tiesinis derinys bus lygus nuliniam vektoriui:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Vektorinę lygtį rašome tiesine forma:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Šią sistemą išsprendžiame Gauso metodu:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Iš 2-osios eilutės atimame 1-ąją, iš 3-osios - 1-ąją:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Atimkite 2-ąją iš 1-osios eilutės, 2-ąją pridėkite prie 3-osios:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Iš sprendimo matyti, kad sistema turi daug sprendimų. Tai reiškia, kad yra tokių skaičių x 1 , x 2 , x 3 reikšmių nenulinė kombinacija, kurios linijinis derinys a , b , c yra lygus nuliniam vektoriui. Taigi vektoriai a , b , c yra tiesiškai priklausomas. ​​​​​​​

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Vektoriai, jų savybės ir veiksmai su jais

Vektoriai, veiksmai su vektoriais, tiesinė vektorinė erdvė.

Vektoriai yra riboto skaičiaus realiųjų skaičių sutvarkyta rinkinys.

Veiksmai: 1. Vektoriaus padauginimas iš skaičiaus: lambda * vektorius x \u003d (lamda * x 1, lambda * x 2 ... lambda * x n). (3,4, 0,7) * 3 \u003d (9, 12,0,21) )

2. Vektorių sudėjimas (jie priklauso tai pačiai vektorių erdvei) vektorius x + vektorius y \u003d (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vektorius 0=(0,0…0)---n E n – n matmenų (tiesinės erdvės) vektorius x + vektorius 0 = vektorius x

Teorema. Kad n vektorių sistema n matmenų tiesinėje erdvėje būtų tiesiškai priklausoma, būtina ir pakanka, kad vienas iš vektorių būtų tiesinis kitų vektorių derinys.

Teorema. Bet kuri n+ 1-ojo n-matės tiesinės erdvės yavl vektorių aibė. tiesiškai priklausomas.

Vektorių sudėjimas, vektorių dauginimas iš skaičių. Vektorių atėmimas.

Dviejų vektorių suma yra vektorius, nukreiptas nuo vektoriaus pradžios iki vektoriaus pabaigos, su sąlyga, kad pradžia sutampa su vektoriaus pabaiga. Jei vektoriai pateikiami pagal jų plėtimąsi baziniais vektoriais, tada sudėjus vektorius gaunamos atitinkamos jų koordinatės.

Panagrinėkime tai naudodami Dekarto koordinačių sistemos pavyzdį. Leisti

Parodykime tai

3 paveikslas tai rodo

Bet kurio baigtinio skaičiaus vektorių sumą galima rasti taikant daugiakampio taisyklę (4 pav.): norint sudaryti baigtinio vektorių skaičiaus sumą, pakanka suderinti kiekvieno sekančio vektoriaus pradžią su ankstesnio vektoriaus pabaiga. ir sukurti vektorių, jungiantį pirmojo vektoriaus pradžią su paskutinio pabaiga.

Vektorių sudėjimo operacijos savybės:

Šiose išraiškose m, n yra skaičiai.

Vektorių skirtumas vadinamas vektoriumi.Antrasis narys – vektorius, priešingas vektoriui kryptimi, bet lygus jam ilgio.

Taigi vektorių atimties operacija pakeičiama sudėjimo operacija

Vektorius, kurio pradžia yra koordinačių pradžioje, o pabaiga taške A (x1, y1, z1), vadinamas taško A spindulio vektoriumi ir žymimas arba tiesiog. Kadangi jo koordinatės sutampa su taško A koordinatėmis, jo išplėtimas vektoriais turi formą

Vektorius, prasidedantis taške A(x1, y1, z1) ir besibaigiantis taške B(x2, y2, z2), gali būti parašytas kaip

čia r 2 yra taško B spindulio vektorius; r 1 - taško A spindulio vektorius.

Todėl vektoriaus išplėtimas ortų atžvilgiu turi formą

Jo ilgis lygus atstumui tarp taškų A ir B

PAdauginimas

Taigi plokščiosios problemos atveju vektoriaus sandauga iš a = (ax; ay) ir skaičiaus b randama pagal formulę

a b = (ax b; ay b)

1 pavyzdys Raskite vektoriaus a = (1; 2) sandaugą iš 3.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Taigi erdvinės problemos atveju vektoriaus a = (ax; ay; az) ir skaičiaus b sandauga randama pagal formulę

a b = (ax b; ay b; az b)

1 pavyzdys. Raskite vektoriaus a = (1; 2; -5) sandaugą iš 2.

2a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Taškinė vektorių sandauga ir kur yra kampas tarp vektorių ir ; jei bet kuri, tada

Iš skaliarinio sandaugos apibrėžimo matyti, kad

kur, pavyzdžiui, yra vektoriaus projekcijos į vektoriaus kryptį reikšmė.

Vektoriaus skaliarinis kvadratas:

Taškinio produkto savybės:

Taškų sandauga koordinatėse

Jeigu Tai

Kampas tarp vektorių

Kampas tarp vektorių – kampas tarp šių vektorių krypčių (mažiausias kampas).

Vektorinė sandauga (dviejų vektorių vektorinė sandauga.)- yra pseudovektorius, statmenas plokštumai, sudarytas iš dviejų veiksnių, kuris yra dvinarės operacijos „vektoriaus dauginimas“ trimatėje euklidinėje erdvėje vektoriuose rezultatas. Produktas nėra nei komutacinis, nei asociatyvus (jis yra antikomutacinis) ir skiriasi nuo vektorių taškinės sandaugos. Daugelyje inžinerijos ir fizikos problemų būtina mokėti sukurti vektorių statmeną dviem esamiems – vektorinė sandauga suteikia tokią galimybę. Kryžminė sandauga naudinga vektorių statmenumui „matuoti“ – dviejų vektorių kryžminės sandaugos ilgis lygus jų ilgių sandaugai, jei jie statmeni, ir sumažėja iki nulio, jei vektoriai lygiagretūs arba antilygiagretūs.

Vektorinis produktas apibrėžiamas tik trimatėse ir septynių matmenų erdvėse. Vektorinės sandaugos, kaip ir skaliarinės sandaugos, rezultatas priklauso nuo Euklido erdvės metrikos.

Skirtingai nuo skaliarinės sandaugos apskaičiavimo iš vektorių koordinačių trimatėje stačiakampėje koordinačių sistemoje formulės, vektorinės sandaugos formulė priklauso nuo stačiakampės koordinačių sistemos orientacijos arba, kitaip tariant, nuo jos „chiralumo“.

Vektorių kolineariškumas.

Du nuliniai (nelygūs 0) vektoriai vadinami kolineariniais, jei jie yra lygiagrečiose tiesėse arba toje pačioje tiesėje. Leidžiame, bet nerekomenduojame, sinonimą – „lygiagretus“ vektorius. Kolineariniai vektoriai gali būti nukreipti ta pačia kryptimi („bendrai nukreipti“) arba priešingai (pastaruoju atveju jie kartais vadinami „antikolineariniais“ arba „antilygiagrečiais“).

Mišrus vektorių sandauga( a, b, c)- vektoriaus a skaliarinė sandauga ir vektorių b ir c vektorinė sandauga:

(a,b,c)=a ⋅(b×c)

kartais ji vadinama triguba vektorių skaliarine sandauga, matyt, dėl to, kad gaunamas skaliarinis (tiksliau – pseudoskalaras).

Geometrinė reikšmė: mišrios sandaugos modulis yra skaitiniu būdu lygus vektorių suformuoto gretasienio tūriui (a, b, c) .

Savybės

Mišrus produktas yra simetriškas visų savo argumentų atžvilgiu: tai yra, e. bet kurių dviejų veiksnių permutacija pakeičia gaminio ženklą. Iš to išplaukia, kad mišrus sandauga dešinėje Dekarto koordinačių sistemoje (ortonormaliu pagrindu) yra lygus matricos determinantui, sudarytai iš vektorių ir:

Mišrus sandauga kairiojoje Dekarto koordinačių sistemoje (ortonormaliu pagrindu) yra lygus matricos, sudarytos iš vektorių ir paimtos su minuso ženklu, determinantui:

Visų pirma,

Jei bet kurie du vektoriai yra lygiagretūs, tada su bet kuriuo trečiuoju vektoriumi jie sudaro mišrią sandaugą, lygią nuliui.

Jei trys vektoriai yra tiesiškai priklausomi (t. y. lygiagrečiai, yra toje pačioje plokštumoje), tada jų mišrus sandauga yra nulis.

Geometrinė reikšmė – mišrus sandauga absoliučia verte yra lygus gretasienio tūriui (žr. pav.), kurį sudaro vektoriai ir; ženklas priklauso nuo to, ar šis vektorių trigubas yra dešinysis ar kairysis.

Vektorių panašumas.

Trys vektoriai (ar daugiau) vadinami koplanariniais, jei jie, redukuoti iki bendros pradžios, yra toje pačioje plokštumoje

Lyginimo savybės

Jei bent vienas iš trijų vektorių yra lygus nuliui, tai trys vektoriai taip pat laikomi lygiagrečiais.

Trigubas vektorių, turinčių kolinearinių vektorių porą, yra koplanarinis.

Mišrus koplanarinių vektorių sandauga. Tai yra trijų vektorių koplanarumo kriterijus.

Bendraplaniai vektoriai yra tiesiškai priklausomi. Tai taip pat yra koplanarumo kriterijus.

Trimatėje erdvėje 3 nevienaplaniai vektoriai sudaro pagrindą

Tiesiškai priklausomi ir tiesiškai nepriklausomi vektoriai.

Tiesiškai priklausomos ir nepriklausomos vektorių sistemos.Apibrėžimas. Vektorių sistema vadinama tiesiškai priklausomas, jei yra bent vienas netrivialus tiesinis šių vektorių derinys, lygus nuliniam vektoriui. Priešingu atveju, t.y. jei tik trivialus tiesinis duotųjų vektorių derinys yra lygus nuliniam vektoriui, vektoriai vadinami tiesiškai nepriklausomas.

Teorema (tiesinės priklausomybės kriterijus). Kad vektorių sistema tiesinėje erdvėje būtų tiesiškai priklausoma, būtina ir pakanka, kad bent vienas iš šių vektorių būtų tiesinis kitų vektorių derinys.

1) Jei tarp vektorių yra bent vienas nulinis vektorius, tai visa vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma.

Iš tiesų, jei, pavyzdžiui, , tai, darant prielaidą , turime netrivialią tiesinę kombinaciją .▲

2) Jei kai kurie vektoriai sudaro tiesiškai priklausomą sistemą, tai visa sistema yra tiesiškai priklausoma.

Iš tiesų, tegul vektoriai , yra tiesiškai priklausomi. Vadinasi, egzistuoja netrivialus tiesinis derinys, lygus nuliniam vektoriui. Bet tada, darant prielaidą , taip pat gauname netrivialią tiesinę kombinaciją, lygią nuliniam vektoriui.

2. Pagrindas ir matmenys. Apibrėžimas. Tiesiškai nepriklausomų vektorių sistema vektorinė erdvė vadinama pagrinduši erdvė, jei kurį nors vektorių iš galima pavaizduoti kaip tiesinį šios sistemos vektorių derinį, t.y. kiekvienam vektoriui yra realieji skaičiai tokia, kad galioja lygybė.. Ši lygybė vadinama vektoriaus skaidymas pagal pagrindą ir skaičius paskambino vektoriaus koordinatės, palyginti su pagrindu(arba pagrindu) .

Teorema (dėl išplėtimo unikalumo pagrindo atžvilgiu). Kiekvienas erdvės vektorius gali būti išplėstas pagal pagrindą unikaliu būdu, t.y. kiekvieno pagrindo vektoriaus koordinates yra apibrėžti vienareikšmiškai.

Pristatome mūsų tiesinės operacijos vektoriais leidžia sukurti skirtingas išraiškas vektoriniai dydžiai ir transformuoti juos naudodami šioms operacijoms nustatytas savybes.

Remdamiesi duotu vektorių rinkiniu a 1 , ... ir n , galite sudaryti formos išraišką

kur a 1 , ... ir n yra savavališki realieji skaičiai. Ši išraiška vadinama linijinis vektorių derinys a 1 , ..., a n . Skaičiai α i , i = 1, n , yra tiesinės kombinacijos koeficientai. Vektorių aibė taip pat vadinama vektorinė sistema.

Ryšium su įvestu vektorių linijinės kombinacijos samprata, iškyla problema apibūdinti vektorių aibę, kurią galima parašyti kaip tam tikros vektorių sistemos a 1 , ..., a n tiesinę kombinaciją. Be to, natūralūs klausimai, kokiomis sąlygomis yra vektoriaus atvaizdavimas linijinio derinio pavidalu, ir apie tokio vaizdavimo unikalumą.

Apibrėžimas 2.1. Vektoriai a 1 , ... ir n vadinami tiesiškai priklausomas, jei yra tokia koeficientų aibė α 1 , ... , α n, kad

α 1 a 1 + ... + α n a n = 0 (2.2)

ir bent vienas iš šių koeficientų yra nulis. Jei nurodytos koeficientų aibės nėra, tada iškviečiami vektoriai tiesiškai nepriklausomas.

Jei α 1 = ... = α n = 0, tada akivaizdu, kad α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Turėdami tai omenyje, galime pasakyti taip: vektoriai a 1 , ... ir n yra tiesiškai nepriklausomi, jei iš lygybės (2.2) išplaukia, kad visi koeficientai α 1 , ... , α n yra lygūs nuliui.

Toliau pateikta teorema paaiškina, kodėl nauja sąvoka vadinama terminu „priklausomybė“ (arba „nepriklausomybė“), ir pateikia paprastą tiesinės priklausomybės kriterijų.

2.1 teorema. Tam, kad vektoriai a 1 , ... ir n , n > 1 būtų tiesiškai priklausomi, būtina ir pakanka, kad vienas iš jų būtų tiesinis kitų derinys.

◄ Būtinybė. Tarkime, kad vektoriai a 1 , ... ir n yra tiesiškai priklausomi. Pagal 2.1 tiesinės priklausomybės apibrėžimą (2.2) lygybėje kairėje yra bent vienas nenulinis koeficientas, pavyzdžiui, α 1 . Pirmąjį terminą palikę kairėje lygybės pusėje, likusius perkeliame į dešinę, keisdami jų ženklus kaip įprasta. Padalinę gautą lygybę iš α 1, gauname

a 1 =-α 2 / α 1 ⋅ a 2 - ... - α n / α 1 ⋅ a n

tie. vektoriaus a 1 vaizdavimas kaip tiesinė likusių vektorių a 2 , ... ir n kombinacija.

Tinkamumas. Tegu, pavyzdžiui, pirmasis vektorius a 1 gali būti pavaizduotas kaip tiesinė likusių vektorių kombinacija: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n . Perkeldami visus terminus iš dešinės pusės į kairę, gauname a 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, t.y. vektorių a 1 , ... ir n linijinis derinys su koeficientais α 1 = 1, α 2 = - β 2 , ..., α n = - β n , lygus nulinis vektorius.Šiame tiesiniame derinyje ne visi koeficientai yra lygūs nuliui. Pagal 2.1 apibrėžimą vektoriai a 1 , ... ir n yra tiesiškai priklausomi.

Tiesinės priklausomybės apibrėžimas ir kriterijus suformuluoti taip, kad jie reikštų dviejų ar daugiau vektorių buvimą. Tačiau galima kalbėti ir apie tiesinę vieno vektoriaus priklausomybę. Norėdami realizuoti šią galimybę, vietoj "vektoriai yra tiesiškai priklausomi" turime pasakyti "vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma". Nesunku suprasti, kad posakis „vieno vektoriaus sistema yra tiesiškai priklausoma“ reiškia, kad šis vienas vektorius yra lygus nuliui (tiesinėje kombinacijoje yra tik vienas koeficientas ir jis neturi būti lygus nuliui).

Tiesinės priklausomybės sąvoka turi paprastą geometrinį aiškinimą. Šį aiškinimą paaiškina šie trys teiginiai.

2.2 teorema. Du vektoriai yra tiesiškai priklausomi tada ir tik tada, kai jie kolinearinis.

◄ Jei vektoriai a ir b yra tiesiškai priklausomi, tai vienas iš jų, pavyzdžiui, a, išreiškiamas per kitą, t.y. a = λb tam tikram realiajam skaičiui λ. Pagal apibrėžimą 1.7 darbai vektorius pagal skaičių, vektoriai a ir b yra kolinearūs.

Tegul vektoriai a ir b yra kolinearūs. Jei jie abu yra lygūs nuliui, tai akivaizdu, kad jie yra tiesiškai priklausomi, nes bet koks tiesinis jų derinys yra lygus nuliniam vektoriui. Tegul vienas iš šių vektorių nėra lygus 0, pavyzdžiui, vektorius b. λ pažymėkite vektorių ilgių santykį: λ = |а|/|b|. Kolineariniai vektoriai gali būti vienakryptis arba priešingomis kryptimis. Pastaruoju atveju keičiame λ ženklą. Tada, patikrinę 1.7 apibrėžimą, matome, kad a = λb. Pagal 2.1 teoremą vektoriai a ir b yra tiesiškai priklausomi.

Pastaba 2.1. Dviejų vektorių atveju, atsižvelgiant į tiesinės priklausomybės kriterijų, įrodyta teorema gali būti performuluojama taip: du vektoriai yra kolineariniai tada ir tik tada, kai vienas iš jų vaizduojamas kaip kito sandauga skaičiumi. Tai patogus dviejų vektorių kolineariškumo kriterijus.

2.3 teorema. Trys vektoriai yra tiesiškai priklausomi tada ir tik tada, kai jie yra koplanarinis.

◄ Jeigu trys vektoriai a, b, c yra tiesiškai priklausomi, tai pagal 2.1 teoremą vienas iš jų, pavyzdžiui, a, yra tiesinė kitų kombinacija: a = βb + γс. Sujungkime vektorių b ir c pradžią taške A. Tada vektoriai βb, γc turės bendrą pradžią taške A ir lygiagretainis taisyklė jų suma, tie. vektorius a, bus vektorius su pradžia A ir galas, kuri yra lygiagretainio viršūnė, sudaryta iš suminių vektorių. Taigi visi vektoriai yra toje pačioje plokštumoje, tai yra, jie yra vienodi.

Tegul vektoriai a, b, c yra lygiagrečiai. Jei vienas iš šių vektorių yra lygus nuliui, tai akivaizdu, kad tai bus tiesinis kitų vektorių derinys. Pakanka paimti visus tiesinės kombinacijos koeficientus, lygius nuliui. Todėl galime manyti, kad visi trys vektoriai nėra lygūs nuliui. Suderinamas pradėtišie vektoriai bendrame taške O. Tegul jų galai yra atitinkamai taškai A, B, C (2.1 pav.). Nubrėžkite linijas per tašką C, lygiagrečias tiesėms, einančioms per taškų poras O, A ir O, B. Susikirtimo taškus pažymėdami kaip A" ir B", gauname lygiagretainį OA"CB", todėl OC" = OA" + OB " . Vektorius OA" ir nulinis vektorius a= OA yra kolinearūs, todėl pirmąjį iš jų galima gauti antrąjį padauginus iš tikrojo skaičiaus α:OA" = αOA. Panašiai, OB" = βOB , β ∈ R. Dėl to gauname, kad OC" = α OA + βOB , t.y. vektorius c yra vektorių a ir b tiesinė kombinacija. Pagal 2.1 teoremą vektoriai a, b, c yra tiesiškai priklausomi.

2.4 teorema. Bet kurie keturi vektoriai yra tiesiškai priklausomi.

◄ Įrodymas vyksta pagal tą pačią schemą, kaip ir 2.3 teoremoje. Apsvarstykite atsitiktinius keturis vektorius a, b, c ir d. Jei vienas iš keturių vektorių yra lygus nuliui arba tarp jų yra du kolineariniai vektoriai arba trys iš keturių vektorių yra vienodi, tai šie keturi vektoriai yra tiesiškai priklausomi. Pavyzdžiui, jei vektoriai a ir b yra kolinearūs, tada galime sudaryti jų tiesinę kombinaciją αa + βb = 0 su ne nuliniais koeficientais, o tada prie šio derinio pridėti likusius du vektorius, koeficientais laikant nulius. Gauname tiesinę keturių vektorių, lygių 0, kombinaciją, kurioje yra nulinių koeficientų.

Taigi galime daryti prielaidą, kad tarp pasirinktų keturių vektorių nėra nulinių, nėra dviejų kolinearių ir nėra trijų lygiagrečių. Jų bendra pradžia pasirenkame tašką O. Tada vektorių a, b, c, d galai bus kai kurie taškai A, B, C, D (2.2 pav.). Per tašką D nubrėžiame tris plokštumas, lygiagrečias plokštumoms ОВС, OCA, OAB, ir šių plokštumų susikirtimo taškais atitinkamai su tiesėmis OA, OB, OS tegul A", B", С. Gauname gretasienį. OA"C"B"C" B"DA", o vektoriai a, b, c yra ant jo kraštų, išeinančių iš viršūnės O. Kadangi keturkampis OC"DC" yra lygiagretainis, tai OD = OC" + OC " . Savo ruožtu atkarpa OS" yra įstrižainė lygiagretainis OA"C"B", taigi OC" = OA" + OB" , o OD = OA" + OB" + OC" .

Belieka pažymėti, kad vektorių poros OA ≠ 0 ir OA" , OB ≠ 0 ir OB" , OC ≠ 0 ir OC" yra kolinearios, todėl galime pasirinkti koeficientus α, β, γ taip, kad OA" = αOA , OB" = βOB ir OC" = γOC . Galiausiai gauname OD = αOA + βOB + γOC . Vadinasi, vektorius OD išreiškiamas likusiais trimis vektoriais, o visi keturi vektoriai pagal 2.1 teoremą yra tiesiškai priklausomi.

1 apibrėžimas. Vektorių sistema vadinama tiesiškai priklausoma, jei vieną iš sistemos vektorių galima pavaizduoti kaip linijinis derinys kiti sistemos vektoriai, o tiesiškai nepriklausomi – kitaip.

Apibrėžimas 1'. Vektorių sistema vadinama tiesiškai priklausoma, jei yra skaičių Su 1 , Su 2 , …, Su k , ne visi lygūs nuliui, kad vektorių tiesinė kombinacija su duotais koeficientais būtų lygi nuliniam vektoriui: = , kitaip sistema vadinama tiesiškai nepriklausoma.

Parodykime, kad šie apibrėžimai yra lygiaverčiai.

Tegul 1 apibrėžimas yra patenkintas, t.y. vienas iš sistemos vektorių yra lygus tiesinei likusiųjų kombinacijai:

Tiesinė vektorių sistemos kombinacija lygi nuliui vektoriui, o ne visi šios kombinacijos koeficientai lygūs nuliui, t.y. 1' apibrėžimas galioja.

Tegul 1 apibrėžimas tenkinamas. Vektorių sistemos tiesinė kombinacija yra , o ne visi derinio koeficientai yra lygūs nuliui, pavyzdžiui, vektoriaus koeficientai.

Vieną iš sistemos vektorių pateikėme kaip tiesinę likusiųjų kombinaciją, t.y. 1 apibrėžimas įvykdytas.

2 apibrėžimas. Vieneto vektorius arba ort vadinamas n matmenų vektorius , kuris i Koordinatė lygi vienetui, o likusioji – nuliui.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

1 teorema. Įvairūs vienetų vektoriai n- matmenų erdvė yra tiesiškai nepriklausoma.

Įrodymas. Tegul tiesinis šių vektorių derinys su savavališkais koeficientais yra lygus nuliniam vektoriui.

Iš šios lygybės išplaukia, kad visi koeficientai yra lygūs nuliui. Mes turime prieštaravimą.

Kiekvienas vektorius n- matmenų erdvė ā (A 1 , A 2 , ..., A n ) gali būti pavaizduotas kaip linijinis vienetinių vektorių derinys, kurio koeficientai lygūs vektoriaus koordinatėms

2 teorema. Jei vektorių sistemoje yra nulinis vektorius, tai ji yra tiesiškai priklausoma.

Įrodymas. Tegu pateikiama vektorių sistema ir vienas iš vektorių lygus nuliui, pavyzdžiui = . Tada su šios sistemos vektoriais galima sudaryti tiesinę kombinaciją, lygią nuliniam vektoriui, ir ne visi koeficientai bus lygūs nuliui:

Todėl sistema yra tiesiškai priklausoma.

3 teorema. Jei kuri nors vektorių sistemos posistemė yra tiesiškai priklausoma, tai visa sistema yra tiesiškai priklausoma.

Įrodymas. Duota vektorių sistema . Tarkime, kad sistema yra tiesiškai priklausoma, t.y. yra skaičiai Su 1 , Su 2 , …, Su r , ne visi lygūs nuliui, kad = . Tada

Paaiškėjo, kad tiesinė visos sistemos vektorių kombinacija yra lygi, o ne visi šios kombinacijos koeficientai yra lygūs nuliui. Todėl vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma.

Pasekmė. Jei vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma, tai bet kuri jos posistemė taip pat yra tiesiškai nepriklausoma.

Įrodymas.

Tarkime priešingai, t.y. kai kurios posistemės yra tiesiškai priklausomos. Iš teoremos išplaukia, kad visa sistema yra tiesiškai priklausoma. Priėjome prieštaravimą.

4 teorema (Steinitzo teorema). Jei kiekvienas iš vektorių yra tiesinė vektorių ir kombinacija m>n, tada vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma.

Pasekmė. Bet kurioje n-mačių vektorių sistemoje negali būti daugiau nei n tiesiškai nepriklausomų vektorių.

Įrodymas. kas n-dimensinis vektorius išreiškiamas tiesine n vienetinių vektorių kombinacija. Todėl, jei sistemoje yra m vektoriai ir m>n, tada pagal teoremą ši sistema yra tiesiškai priklausoma.