Instrukcijos

Prieš surasdami šaknies išvestinę, atkreipkite dėmesį į kitas sprendžiamame pavyzdyje esančias funkcijas. Jei problema turi daug radikalių išraiškų, naudokite šią taisyklę kvadratinės šaknies išvestinei rasti:

(√x)" = 1 / 2√x.

Ir norėdami rasti kubo šaknies išvestinę, naudokite formulę:

(³√x)" = 1/3 (³√x)²,

kur ³√x žymi x kubinę šaknį.

Jei diferencijavimui yra trupmeninis kintamasis, tada šaknį paverskite laipsnio funkcija su atitinkamu eksponentu. Kvadratinės šaknies laipsnis bus ½, o kubinės šaknies laipsnis bus ⅓:

√x = x^½,
³√х = x ^ ⅓,

kur ^ žymi eksponenciją.

Norėdami rasti galios funkcijos išvestinę apskritai ir konkrečiai x^1, x^⅓, naudokite šią taisyklę:

(x^n)" = n * x^(n-1).

Šaknies išvestinei šis ryšys reiškia:

(x^½)" = ½ x ^ (-½) ir
(x^⅓)" = ⅓ x ^ (-⅔).

Išskyrę viską, atidžiai pažiūrėkite į likusį pavyzdį. Jei jūsų atsakyme yra labai sudėtinga išraiška, tikriausiai galite jį supaprastinti. Dauguma mokyklinių pavyzdžių yra sudaryti taip, kad galutinis rezultatas būtų mažas skaičius arba kompaktiška išraiška.

Daugelyje išvestinių uždavinių šaknys (kvadratas ir kubas) randamos kartu su kitomis funkcijomis. Norėdami rasti šaknies išvestinę šiuo atveju, naudokite šias taisykles:
konstantos (pastovaus skaičiaus, C) išvestinė lygi nuliui: C" = 0;
pastovus koeficientas išimamas iš išvestinio ženklo: (k*f)" = k * (f)" (f yra savavališka funkcija);
kelių funkcijų sumos išvestinė lygi išvestinių sumai: (f + g)" = (f)" + (g)";
dviejų funkcijų sandaugos išvestinė lygi... ne, ne išvestinių sandaugai, o tokiai išraiškai: (fg)" = (f)"g + f (g)";
dalinio išvestinė taip pat nėra lygi išvestinių daliniui, o randama pagal tokią taisyklę: (f/g)" = ((f)"g – f(g)") / g².

pastaba

Šiame puslapyje galite internete apskaičiuoti funkcijos išvestinę ir gauti išsamų problemos sprendimą. Funkcijos išvestinių sprendimas atliktas naudojant diferencijavimo taisykles, kurias studentai studijuoja institute atlikdami matematinę analizę. Norint rasti funkcijos išvestinę, reikia įvesti diferencijavimo funkciją į lauką „Funkcija“ pagal duomenų įvedimo taisykles.

Naudingas patarimas

Funkcijos išvestinė yra funkcijos prieaugio ir argumento prieaugio santykio riba, kai argumento prieaugis linkęs į nulį: Matematinė šio apibrėžimo prasmė nėra labai lengva suprasti, nes mokykloje algebros kursas funkcijos ribos samprata arba visai nenagrinėjama, arba tiriama labai paviršutiniškai. Tačiau norint išmokti rasti įvairių funkcijų išvestinius, tai nėra būtina.

Šaltiniai:

• išvestinė x šaknis

Sudėtingo tipo funkcijos ne visada atitinka sudėtingos funkcijos apibrėžimą. Jei yra funkcijos y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, tai ji negali būti laikoma kompleksine, skirtingai nei y = sin 2 x.

Šiame straipsnyje bus parodyta sudėtingos funkcijos samprata ir jos identifikavimas. Dirbkime su formulėmis išvestinei rasti su sprendimų pavyzdžiais išvadoje. Išvestinės lentelės ir diferenciacijos taisyklių naudojimas žymiai sumažina išvestinės paieškos laiką.

Pagrindiniai apibrėžimai

1 apibrėžimas

Sudėtinga funkcija yra ta, kurios argumentas taip pat yra funkcija.

Jis žymimas taip: f (g (x)). Turime, kad funkcija g (x) laikoma argumentu f (g (x)).

2 apibrėžimas

Jei yra funkcija f ir ji yra kotangentinė funkcija, tada g(x) = ln x yra natūraliojo logaritmo funkcija. Pastebime, kad kompleksinė funkcija f (g (x)) bus parašyta kaip arctg(lnx). Arba funkcija f, kuri yra funkcija, pakelta iki 4 laipsnio, kur g (x) = x 2 + 2 x - 3 laikoma visa racionalia funkcija, gauname, kad f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Akivaizdu, kad g (x) gali būti sudėtingas. Iš pavyzdžio y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 aišku, kad g reikšmė turi trupmenos kubinę šaknį. Ši išraiška gali būti pažymėta kaip y = f (f 1 (f 2 (x))). Iš to, kur mes turime, kad f yra sinusinė funkcija, o f 1 yra funkcija, esanti po kvadratine šaknimi, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 yra trupmeninė racionali funkcija.

3 apibrėžimas

Įdėjimo laipsnis nustatomas bet kuriuo natūraliuoju skaičiumi ir rašomas taip y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

4 apibrėžimas

Funkcijų sudėties sąvoka reiškia įdėtųjų funkcijų skaičių pagal problemos sąlygas. Norėdami išspręsti, naudokite formulę, skirtą formos sudėtingos funkcijos išvestinei rasti

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Pavyzdžiai

1 pavyzdys

Raskite y = (2 x + 1) 2 formos kompleksinės funkcijos išvestinę.

Sprendimas

Sąlyga rodo, kad f yra kvadratinė funkcija, o g(x) = 2 x + 1 laikoma tiesine funkcija.

Taikykime išvestinę sudėtingos funkcijos formulę ir parašykime:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Būtina rasti išvestinę su supaprastinta pradine funkcijos forma. Mes gauname:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Iš čia mes tai turime

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 – 1 + 4 · 1 · x 1 – 1 = 8 x + 4

Rezultatai buvo tokie patys.

Sprendžiant tokio tipo uždavinius, svarbu suprasti, kur bus formų f ir g (x) funkcija.

2 pavyzdys

Turėtumėte rasti sudėtingų funkcijų, kurių formos y = sin 2 x ir y = sin x 2, išvestines.

Sprendimas

Pirmasis funkcijos žymėjimas sako, kad f yra kvadrato funkcija, o g (x) yra sinuso funkcija. Tada mes tai gauname

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

Antrasis įrašas rodo, kad f yra sinusinė funkcija, o g(x) = x 2 reiškia laipsnio funkciją. Iš to išplaukia, kad sudėtingos funkcijos sandaugą rašome kaip

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Išvestinės y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) formulė bus parašyta kaip y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . . ( f n (x))))) · f 1" (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2" (f 3 (. . . (f n (x)) )))) · . . . fn "(x)

3 pavyzdys

Raskite funkcijos y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) išvestinę.

Sprendimas

Šis pavyzdys parodo, kaip sunku rašyti ir nustatyti funkcijų vietą. Tada y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) reiškia kur f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) yra sinuso funkcija, didinimo funkcija iki 3 laipsnių, funkcija su logaritmu ir baze e, arctangentine ir tiesine funkcija.

Iš sudėtingos funkcijos apibrėžimo formulės turime tai

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4" (x)

Mes gauname tai, ką turime rasti

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) kaip sinuso išvestinė pagal išvestinių lentelę, tada f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ()) x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) kaip laipsnio funkcijos išvestinė, tada f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) kaip logaritminė išvestinė, tada f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) kaip arctangento išvestinė, tada f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Surasdami išvestinę f 4 (x) = 2 x, pašalinkite 2 iš išvestinės ženklo naudodami laipsnio funkcijos, kurios eksponentas lygus 1, išvestinės formulę, tada f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Sujungiame tarpinius rezultatus ir gauname

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Tokių funkcijų analizė primena lizdines lėles. Diferencijavimo taisyklės ne visada gali būti taikomos aiškiai naudojant išvestinę lentelę. Dažnai reikia naudoti formulę sudėtingų funkcijų išvestinėms rasti.

Yra keletas skirtumų tarp sudėtingos išvaizdos ir sudėtingų funkcijų. Turint aiškų gebėjimą tai atskirti, išvestines rasti bus ypač lengva.

4 pavyzdys

Būtina apsvarstyti galimybę pateikti tokį pavyzdį. Jei yra y = t g 2 x + 3 t g x + 1 formos funkcija, tai ji gali būti laikoma g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 formos kompleksine funkcija. . Akivaizdu, kad būtina naudoti sudėtingos išvestinės formulę:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Formos y = t g x 2 + 3 t g x + 1 funkcija nelaikoma sudėtinga, nes ji turi t g x 2, 3 t g x ir 1 sumą. Tačiau t g x 2 laikoma sudėtinga funkcija, tada gauname g (x) = x 2 ir f formos laipsnio funkciją, kuri yra liestinės funkcija. Norėdami tai padaryti, atskirkite pagal kiekį. Mes tai gauname

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 už 2 x

Pereikime prie sudėtingos funkcijos išvestinės paieškos (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Gauname, kad y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Sudėtingo tipo funkcijos gali būti įtrauktos į sudėtingas funkcijas, o pačios sudėtingos funkcijos gali būti sudėtingo tipo funkcijų komponentai.

5 pavyzdys

Pavyzdžiui, apsvarstykite sudėtingą funkciją, kurios forma yra y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Šią funkciją galima pavaizduoti kaip y = f (g (x)), kur f reikšmė yra 3 bazinio logaritmo funkcija, o g (x) laikoma dviejų funkcijų, kurios formos h (x) = suma. x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 ir k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Akivaizdu, kad y = f (h (x) + k (x)).

Apsvarstykite funkciją h(x). Tai yra santykis l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 iki m (x) = e x 2 + 3 3

Turime, kad l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) yra dviejų funkcijų n (x) = x 2 + 7 ir p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , kur p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) yra sudėtinga funkcija su skaitiniu koeficientu 3, o p 1 yra kubo funkcija, p 2 pagal kosinuso funkciją, p 3 (x) = 2 x + 1 pagal tiesinę funkciją.

Mes nustatėme, kad m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) yra dviejų funkcijų q (x) = e x 2 ir r (x) = 3 3 suma, kur q (x) = q 1 (q 2 (x)) yra sudėtinga funkcija, q 1 yra funkcija su eksponentine, q 2 (x) = x 2 yra laipsnio funkcija.

Tai rodo, kad h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Pereinant prie formos k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) išraiškos, aišku, kad funkcija pateikiama komplekso s ( x) = ln 2 x = s 1 (s 2 (x)) su racionaliu sveikuoju skaičiumi t (x) = x 2 + 1, kur s 1 yra kvadrato funkcija, o s 2 (x) = ln x yra logaritminė su bazė e.

Iš to seka, kad išraiška bus tokia: k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Tada mes tai gauname

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 () x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Remiantis funkcijos struktūromis, paaiškėjo, kaip ir kokias formules reikia naudoti norint supaprastinti išraišką ją diferencijuojant. Norint susipažinti su tokiomis problemomis ir jų sprendimo samprata, reikia atsigręžti į funkcijos diferencijavimą, ty surasti jos išvestinę.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Išvestinės radimo operacija vadinama diferenciacija.

Išsprendus paprasčiausių (ir nelabai paprastų) funkcijų išvestinių radimo uždavinius, išvestinę apibrėžiant kaip argumento prieaugio santykio ribą, atsirado išvestinių lentelė ir tiksliai apibrėžtos diferenciacijos taisyklės. . Pirmieji darinių paieškos srityje pradėjo dirbti Izaokas Niutonas (1643-1727) ir Gotfrydas Vilhelmas Leibnicas (1646-1716).

Todėl mūsų laikais, norint rasti bet kurios funkcijos išvestinę, nereikia skaičiuoti minėtos funkcijos prieaugio ir argumento prieaugio santykio ribos, o tik pasinaudoti lentele dariniai ir diferenciacijos taisyklės. Išvestinei rasti tinka toks algoritmas.

Norėdami rasti išvestinę, jums reikia išraiškos po pirminiu ženklu suskaidyti paprastas funkcijas į komponentus ir nustatyti kokius veiksmus (produktas, suma, koeficientas)šios funkcijos yra susijusios. Toliau elementariųjų funkcijų išvestinius randame išvestinių lentelėje, o sandaugos, sumos ir dalinio išvestinių formules - diferenciacijos taisyklėse. Išvestinių lentelė ir diferenciacijos taisyklės pateikiamos po pirmųjų dviejų pavyzdžių.

1 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Iš diferenciacijos taisyklių sužinome, kad funkcijų sumos išvestinė yra funkcijų išvestinių suma, t.y.

Iš išvestinių lentelės sužinome, kad „x“ išvestinė lygi vienetui, o sinuso – kosinusui. Šias reikšmes pakeičiame išvestinių suma ir randame išvestinę, kurios reikia pagal problemos sąlygą:

2 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Diferencijuojame kaip sumos, kurioje antrasis narys turi pastovų koeficientą, išvestinę, kurią galima išimti iš išvestinės ženklo:

Jei vis tiek kyla klausimų, iš kur kažkas atsiranda, jie dažniausiai išsiaiškinami susipažinus su išvestinių išvestinių dalių lentele ir paprasčiausiomis diferenciacijos taisyklėmis. Šiuo metu pereiname prie jų.

Paprastų funkcijų išvestinių lentelė

1. Konstantos (skaičiaus) išvestinė. Bet koks skaičius (1, 2, 5, 200...), kuris yra funkcijos išraiškoje. Visada lygus nuliui. Tai labai svarbu atsiminti, nes to reikalaujama labai dažnai
2. Nepriklausomo kintamojo išvestinė. Dažniausiai „X“. Visada lygus vienam. Tai taip pat svarbu atsiminti ilgą laiką
3. Laipsnio išvestinė. Sprendžiant uždavinius, reikia konvertuoti ne kvadratines šaknis į galias.
4. Kintamojo išvestinė į laipsnį -1
5. Kvadratinės šaknies vedinys
6. Sinuso išvestinė
7. Kosinuso išvestinė
8. Tangento išvestinė
9. Kotangento išvestinė
10. Arsinuso vedinys
11. Arkosino darinys
12. Arktangento vedinys
13. Lanko kotangento išvestinė
14. Natūralaus logaritmo išvestinė
15. Logaritminės funkcijos išvestinė
16. Rodiklio išvestinė
17. Eksponentinės funkcijos išvestinė

Diferencijavimo taisyklės

1. Sumos arba skirtumo išvestinė
2. Produkto darinys
2a. Išraiškos, padaugintos iš pastovaus koeficiento, išvestinė
3. Dalinio išvestinė
4. Sudėtinės funkcijos išvestinė

1 taisyklė.Jei funkcijos

yra diferencijuojamos tam tikru momentu, tada funkcijos skiriasi tame pačiame taške

ir

tie. algebrinės funkcijų sumos išvestinė lygi šių funkcijų išvestinių algebrinei sumai.

Pasekmė. Jei dvi diferencijuojamos funkcijos skiriasi pastoviu nariu, tai jų išvestinės yra lygios, t.y.

2 taisyklė.Jei funkcijos

yra diferencijuojami tam tikru momentu, tada jų produktas skiriasi tame pačiame taške

ir

tie. Dviejų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi kiekvienos iš šių funkcijų sandaugų ir kitos išvestinei sumai.

1 išvada. Pastovų koeficientą galima išimti iš išvestinės ženklo:

2 išvada. Kelių diferencijuojamų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi kiekvieno veiksnio ir visų kitų išvestinės sandaugų sumai.

Pavyzdžiui, trims daugintuvams:

3 taisyklė.Jei funkcijos

tam tikru momentu skiriasi Ir , tada šioje vietoje jų koeficientas taip pat yra diferencijuotasu/v , ir

tie. dviejų funkcijų dalinio išvestinė yra lygi trupmenai, kurios skaitiklis yra vardiklio sandaugų ir skaitiklio išvestinės bei skaitiklio ir vardiklio išvestinės sandaugų skirtumas, o vardiklis yra kvadratas buvęs skaitiklis.

Kur ieškoti dalykų kituose puslapiuose

Realiose problemose ieškant sandaugos išvestinės ir koeficiento, visada reikia taikyti kelias diferenciacijos taisykles vienu metu, todėl straipsnyje yra daugiau šių išvestinių pavyzdžių."Produkto išvestinė ir funkcijų dalis".

komentuoti. Neturėtumėte painioti konstantos (ty skaičiaus) kaip sumos termino ir kaip pastovaus koeficiento! Termino atveju jo išvestinė lygi nuliui, o esant pastoviam veiksniui – išimama iš išvestinių ženklo. Tai tipiška klaida, pasitaikanti pradiniame išvestinių studijų etape, tačiau vidutinis studentas išsprendžia kelis vienos ir dviejų dalių pavyzdžius, šios klaidos nebedaro.

Ir jei diferencijuodami produktą ar koeficientą turite terminą u"v, kuriame u- skaičius, pavyzdžiui, 2 arba 5, tai yra konstanta, tada šio skaičiaus išvestinė bus lygi nuliui, todėl visas terminas bus lygus nuliui (šis atvejis aptartas 10 pavyzdyje).

Kita dažnai pasitaikanti klaida yra mechaniškai sudėtingos funkcijos išvestinė sprendžiama kaip paprastos funkcijos išvestinė. Štai kodėl sudėtingos funkcijos išvestinė skirtas atskiras straipsnis. Bet pirmiausia išmoksime rasti paprastų funkcijų išvestinius.

Pakeliui neapsieisite be posakių transformavimo. Norėdami tai padaryti, gali tekti atidaryti vadovą naujuose languose. Veiksmai su galiomis ir šaknimis Ir Veiksmai su trupmenomis .

Jei ieškote sprendimų dėl trupmenų išvestinių su laipsniais ir šaknimis, tai yra, kai funkcija atrodo taip , tada sekite pamoką „Trupmenų sumų su laipsniais ir šaknimis išvestinė“.

Jei turite užduotį, pvz , tada lankysi pamoką „Paprastų trigonometrinių funkcijų dariniai“.

Žingsnis po žingsnio pavyzdžiai – kaip rasti išvestinę

3 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Apibrėžiame funkcijos išraiškos dalis: visa išraiška reprezentuoja sandaugą, o jos veiksniai yra sumos, kurių antrajame viename iš terminų yra pastovus veiksnys. Taikome sandaugų diferenciacijos taisyklę: dviejų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi kiekvienos iš šių funkcijų sandaugų sumai iš kitos išvestinės:

Toliau taikome sumos diferenciacijos taisyklę: algebrinės funkcijų sumos išvestinė lygi šių funkcijų išvestinių algebrinei sumai. Mūsų atveju kiekvienoje sumoje antrasis narys turi minuso ženklą. Kiekvienoje sumoje matome ir nepriklausomą kintamąjį, kurio išvestinė lygi vienetui, ir konstantą (skaičius), kurios išvestinė lygi nuliui. Taigi „X“ virsta vienetu, o minus 5 – nuliu. Antroje išraiškoje „x“ padauginama iš 2, todėl du padauginame iš to paties vieneto kaip ir „x“ išvestinė. Gauname šias išvestines reikšmes:

Rastas išvestis pakeičiame sandaugų suma ir gauname visos funkcijos išvestinę, kurios reikalauja uždavinio sąlyga:

Ir jūs galite patikrinti išvestinės problemos sprendimą.

4 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Turime rasti koeficiento išvestinę. Taikome dalinio diferencijavimo formulę: dviejų funkcijų dalinio išvestinė yra lygi trupmenai, kurios skaitiklis yra skirtumas tarp vardiklio sandaugų ir skaitiklio ir skaitiklio išvestinės bei išvestinės vardiklis, o vardiklis yra buvusio skaitiklio kvadratas. Mes gauname:

Veiksnių išvestinę skaitiklyje jau radome 2 pavyzdyje. Taip pat nepamirškime, kad sandauga, kuri dabartiniame pavyzdyje yra antrasis skaitiklio veiksnys, imamas su minuso ženklu:

Jei ieškote sprendimų problemoms, kuriose reikia rasti funkcijos išvestinę, kurioje yra nuolatinė šaknų ir galių krūva, pvz., , tada sveiki atvykę į klasę "Trupmenų sumų su laipsniais ir šaknimis išvestinė" .

Jei reikia daugiau sužinoti apie sinusų, kosinusų, liestinių ir kitų trigonometrinių funkcijų išvestis, tai yra, kai funkcija atrodo taip , tada pamoka jums "Paprastų trigonometrinių funkcijų dariniai" .

5 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Šioje funkcijoje matome sandaugą, kurios vienas iš faktorių yra nepriklausomo kintamojo kvadratinė šaknis, su kurio išvestine mes susipažinome išvestinių lentelėje. Naudodami sandaugos diferencijavimo taisyklę ir kvadratinės šaknies išvestinės lentelės reikšmę, gauname:

Išvestinės problemos sprendimą galite patikrinti adresu internetinė išvestinių finansinių priemonių skaičiuoklė .

6 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Šioje funkcijoje matome koeficientą, kurio dividendas yra nepriklausomo kintamojo kvadratinė šaknis. Naudodami koeficientų diferenciacijos taisyklę, kurią pakartojome ir taikėme 4 pavyzdyje, ir kvadratinės šaknies išvestinės reikšmę lentelėje, gauname:

Norėdami atsikratyti trupmenos skaitiklyje, padauginkite skaitiklį ir vardiklį iš .

1. Bendrasis savavališko laipsnio šaknies išvestinės formulės atvejis- trupmena, kurios skaitiklyje yra vienas, o vardiklyje - skaičius, lygus šaknies, kurios išvestinė buvo apskaičiuota, laipsniai, padauginta iš tos pačios galios šaknies, kurios radikalioji išraiška yra kintamasis šaknies, kuriai buvo apskaičiuota išvestinė galia, sumažinta vienetu
2. Kvadratinės šaknies išvestinė- yra ypatingas ankstesnės formulės atvejis. x kvadratinės šaknies išvestinė yra trupmena, kurios skaitiklis yra vienas, o vardiklis du kartus didesnis už x kvadratinę šaknį
3. Kubo šaknies vedinys, taip pat specialus bendrosios formulės atvejis. Kubinės šaknies išvestinė yra viena, padalyta iš trijų x kvadratinių kubinių šaknų.

Žemiau pateikiamos transformacijos, paaiškinančios, kodėl kvadratinių ir kubinių šaknų išvestinių formulės yra visiškai tokios pačios, kaip parodyta paveikslėlyje.

Žinoma, šių formulių visai nereikia atsiminti, jei atsižvelgsite į tai, kad išvestinės galios šaknies ištraukimas yra tas pats, kas pakelti trupmeną, kurios vardiklis lygus tai pačiai galiai. Tada šaknies išvestinės radimas sumažinamas iki formulės, leidžiančios rasti atitinkamos trupmenos laipsnio išvestinę, taikymą.

Kintamojo po kvadratine šaknimi išvestinė

(√x)" = 1 / (2√x) arba 1/2 x -1/2

Paaiškinimas:
(√x)" = (x 1/2)"

Kvadratinė šaknis yra lygiai tokia pati operacija kaip didinimas iki 1/2 laipsnio,Tai reiškia, kad norėdami rasti šaknies išvestinę, galite pritaikyti formulę iš taisyklės, kaip rasti kintamojo išvestinę, į savavališką laipsnį:

(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

Kubo šaknies vedinys (trečios šaknies vedinys)

Kubinės šaknies išvestinė randama lygiai tuo pačiu principu kaip ir kvadratinė šaknis.

Įsivaizduokime kubo šaknį kaip 1/3 laipsnį ir pagal bendrąsias diferenciacijos taisykles suraskime išvestinę. Trumpą formulę galite pamatyti aukščiau esančiame paveikslėlyje, o žemiau paaiškinama, kodėl taip yra.

Galia -2/3 gaunama iš 1/3 atėmus vieną

Laipsninės funkcijos (x iki a laipsnio) išvestinės formulės išvedimas. Nagrinėjamos išvestinės iš x šaknų. Aukštesnės eilės galios funkcijos išvestinės formulė. Išvestinių finansinių priemonių skaičiavimo pavyzdžiai.

Turinys

Taip pat žiūrėkite: Galios funkcija ir šaknys, formulės ir grafikas
Galios funkcijų grafikai

Pagrindinės formulės

x išvestinė iš laipsnio a lygi iš karto x iš laipsnio minus vienas:
(1) .

x n-osios šaknies išvestinė iki m-osios laipsnio yra:
(2) .

Laipsninės funkcijos išvestinės formulės išvedimas

Atvejis x > 0

Apsvarstykite kintamojo x laipsnio funkciją su eksponentu a:
(3) .
Čia a yra savavališkas realusis skaičius. Pirmiausia panagrinėkime atvejį.

Norėdami rasti funkcijos (3) išvestinę, naudojame laipsnio funkcijos savybes ir paverčiame ją tokia forma:
.

Dabar randame išvestį naudodami:
;
.
čia .

Formulė (1) buvo įrodyta.

n laipsnio šaknies x išvestinės iki m laipsnio formulės išvedimas

Dabar apsvarstykite funkciją, kuri yra šios formos šaknis:
(4) .

Norėdami rasti išvestinę, transformuojame šaknį į galios funkciją:
.
Lyginant su (3) formule matome, kad
.
Tada
.

Naudodami (1) formulę randame išvestinę:
(1) ;
;
(2) .

Praktiškai nereikia įsiminti formulės (2). Daug patogiau pirmiausia transformuoti šaknis į laipsniškas funkcijas, o tada rasti jų išvestinius naudojant (1) formulę (žr. pavyzdžius puslapio pabaigoje).

Atvejis x = 0

Jei , tai galios funkcija yra apibrėžta kintamojo x = reikšmei 0 . Raskime funkcijos (3) išvestinę ties x = 0 . Norėdami tai padaryti, naudojame darinio apibrėžimą:
.

Pakeiskime x = 0 :
.
Šiuo atveju išvestine turime omenyje dešinės pusės ribą, kuriai .

Taigi mes radome:
.
Iš to aišku, kad , .
adresu , .
adresu , .
Šis rezultatas taip pat gaunamas iš (1) formulės:
(1) .
Todėl formulė (1) galioja ir x = 0 .

Atvejis x< 0

Dar kartą apsvarstykite funkciją (3):
(3) .
Tam tikroms konstantos a reikšmėms ji taip pat apibrėžiama neigiamoms kintamojo x reikšmėms. Būtent, tegul a yra racionalus skaičius. Tada ją galima pavaizduoti kaip neredukuojamą trupmeną:
,
kur m ir n yra sveikieji skaičiai, kurie neturi bendro daliklio.

Jei n yra nelyginis, tada galios funkcija taip pat apibrėžiama neigiamoms kintamojo x reikšmėms. Pavyzdžiui, kai n = 3 ir m = 1 turime x kubinę šaknį:
.
Jis taip pat apibrėžiamas neigiamoms kintamojo x reikšmėms.

Raskime galios funkcijos (3) išvestinę konstantos a, kuriai ji apibrėžta, racionalioms reikšmėms. Norėdami tai padaryti, pavaizduokime x tokia forma:
.
Tada,
.
Išvestinę randame pastatydami konstantą už išvestinės ženklo ribų ir taikydami sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklę:

.
čia . Bet
.
Nuo tada
.
Tada
.
Tai yra, formulė (1) taip pat galioja:
(1) .

Aukštesnės eilės išvestinės priemonės

Dabar suraskime aukštesnės eilės galios funkcijos išvestines
(3) .
Mes jau radome pirmos eilės išvestinį:
.

Paėmę konstantą a už išvestinės ženklo ribų, randame antros eilės išvestinę:
.
Panašiai randame trečios ir ketvirtos eilės išvestinius:
;

.

Iš to aišku, kad savavališkos n-osios eilės vedinys turi tokią formą:
.

pastebėti, kad jei a yra natūralusis skaičius, tada n-oji išvestinė yra pastovi:
.
Tada visos paskesnės išvestinės yra lygios nuliui:
,
adresu .

Išvestinių finansinių priemonių skaičiavimo pavyzdžiai

Pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę:
.

Paverskime šaknis į galias:
;
.
Tada pradinė funkcija įgauna tokią formą:
.

Galių išvestinių radimas:
;
.
Konstantos išvestinė lygi nuliui:
.