Այս դասում մենք կսովորենք, թե ինչպես կարելի է քառակուսի եռանկյունները բաժանել գծային գործոնների: Դրա համար անհրաժեշտ է հիշել Վիետայի թեորեմը և դրա հակադարձությունը։ Այս հմտությունը կօգնի մեզ արագ և հարմար կերպով քայքայել քառակուսի եռանկյունները գծային գործակիցների, ինչպես նաև պարզեցնել արտահայտություններից բաղկացած կոտորակների կրճատումը:

Այսպիսով, վերադառնանք քառակուսի հավասարմանը, որտեղ:

Այն, ինչ ունենք ձախ կողմում, կոչվում է քառակուսի եռանկյուն:

Թեորեմը ճշմարիտ է.Եթե ​​քառակուսի եռանդամի արմատներն են, ապա ինքնությունը ճշմարիտ է

Որտեղ է առաջատար գործակիցը, հավասարման արմատներն են:

Այսպիսով, մենք ունենք քառակուսի հավասարում` քառակուսի եռանկյուն, որտեղ քառակուսի հավասարման արմատները կոչվում են նաև քառակուսի եռանդամի արմատներ: Հետևաբար, եթե մենք ունենք քառակուսի եռանդամի արմատներ, ապա այս եռանկյունը քայքայվում է գծային գործակիցների։

Ապացույց:

Այս փաստի ապացույցն իրականացվում է Վիետայի թեորեմի միջոցով, որը մենք դիտարկել ենք նախորդ դասերում:

Հիշենք, թե ինչ է մեզ ասում Վիետայի թեորեմը.

Եթե ​​քառակուսի եռանդամի արմատներն են, որոնց համար , ապա .

Այս թեորեմը ենթադրում է հետևյալ պնդումը, որ.

Մենք տեսնում ենք, որ, համաձայն Վիետայի թեորեմի, այսինքն, փոխարինելով այս արժեքները վերը նշված բանաձևով, մենք ստանում ենք հետևյալ արտահայտությունը.

Ք.Ե.Դ.

Հիշեցնենք, որ մենք ապացուցեցինք այն թեորեմը, որ եթե քառակուսի եռանդամի արմատներն են, ապա տարրալուծումը վավեր է:

Այժմ հիշենք քառակուսի հավասարման օրինակ, որի վրա մենք ընտրել ենք արմատները՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը: Այս փաստից մենք կարող ենք ստանալ հետևյալ հավասարությունը՝ շնորհիվ ապացուցված թեորեմի.

Այժմ ստուգենք այս փաստի ճիշտությունը՝ պարզապես ընդլայնելով փակագծերը.

Մենք տեսնում ենք, որ մենք ճիշտ ենք ֆակտորել, և ցանկացած եռանկյուն, եթե այն ունի արմատներ, կարող է այս թեորեմի համաձայն գծային գործոնների վերածվել բանաձևի համաձայն.

Այնուամենայնիվ, եկեք ստուգենք, թե արդյոք որևէ հավասարման համար հնարավոր է նման ֆակտորիզացիա.

Օրինակ վերցնենք հավասարումը. Նախ ստուգենք խտրականի նշանը

Եվ մենք հիշում ենք, որ մեր սովորած թեորեմը կատարելու համար D-ն պետք է մեծ լինի 0-ից, հետևաբար այս դեպքում ֆակտորավորումն ըստ ուսումնասիրված թեորեմի անհնար է։

Հետևաբար ձևակերպում ենք նոր թեորեմ՝ եթե քառակուսի եռանկյունը արմատներ չունի, ապա այն չի կարող քայքայվել գծային գործոնների։

Այսպիսով, մենք դիտարկել ենք Վիետայի թեորեմը՝ քառակուսի եռանկյունը գծային գործակիցների քայքայելու հնարավորությունը, և այժմ կլուծենք մի քանի խնդիր։

Առաջադրանք թիվ 1

Այս խմբում մենք իրականում խնդիրը կլուծենք առաջադրվածին հակառակ: Մենք ունեինք հավասարում, և մենք գտանք դրա արմատները՝ քայքայվելով գործոնների: Այստեղ մենք կանենք հակառակը. Ենթադրենք, մենք ունենք քառակուսի հավասարման արմատներ

Հակադարձ խնդիրը հետևյալն է. գրեք քառակուսի հավասարում այնպես, որ դրանք լինեն դրա արմատները:

Այս խնդիրը լուծելու 2 եղանակ կա.

Քանի որ հավասարման արմատներն են, ուրեմն քառակուսի հավասարում է, որի արմատներին տրված են թվեր: Այժմ բացենք փակագծերը և ստուգենք.

Սա առաջին ձևն էր, որով մենք ստեղծեցինք քառակուսի հավասարում տրված արմատներով, որը չունի այլ արմատներ, քանի որ ցանկացած քառակուսի հավասարում ունի առավելագույնը երկու արմատ:

Այս մեթոդը ներառում է հակադարձ Վիետայի թեորեմի օգտագործումը:

Եթե ​​հավասարման արմատներն են, ապա դրանք բավարարում են այն պայմանին, որ .

Կրճատված քառակուսի հավասարման համար , , այսինքն այս դեպքում , եւ .

Այսպիսով, մենք ստեղծել ենք քառակուսի հավասարում, որն ունի տրված արմատները։

Առաջադրանք թիվ 2

Դուք պետք է կրճատեք կոտորակը:

Մենք ունենք եռանկյուն համարիչում և եռանդամ՝ հայտարարում, և եռանդամները կարող են գործոնացվել կամ չգործել: Եթե ​​և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը գործոնացված են, ապա դրանց մեջ կարող են լինել հավասար գործոններ, որոնք կարող են կրճատվել։

Առաջին հերթին անհրաժեշտ է ֆակտորիզացնել համարիչը։

Նախ, դուք պետք է ստուգեք, թե արդյոք այս հավասարումը կարող է գործոնավորվել, գտնել տարբերակիչը: Քանի որ , ապա նշանը կախված է արտադրյալից (պետք է 0-ից փոքր լինի), այս օրինակում, այսինքն՝ տրված հավասարումն ունի արմատներ։

Լուծելու համար մենք օգտագործում ենք Վիետայի թեորեմը.

Այս դեպքում, քանի որ գործ ունենք արմատների հետ, բավական դժվար կլինի պարզապես արմատներ հավաքել։ Բայց մենք տեսնում ենք, որ գործակիցները հավասարակշռված են, այսինքն, եթե մենք ենթադրենք, որ և այս արժեքը փոխարինենք հավասարման մեջ, ապա ստացվում է հետևյալ համակարգը. այսինքն՝ 5-5=0։ Այսպիսով, մենք ընտրել ենք այս քառակուսի հավասարման արմատներից մեկը։

Մենք կփնտրենք երկրորդ արմատը՝ փոխարինելով այն, ինչ արդեն հայտնի է հավասարումների համակարգում, օրինակ՝ , այսինքն. .

Այսպիսով, մենք գտել ենք քառակուսի հավասարման երկու արմատները և կարող ենք փոխարինել դրանց արժեքները սկզբնական հավասարման մեջ՝ այն գործոնավորելու համար.

Հիշեք սկզբնական խնդիրը, մեզ անհրաժեշտ էր կրճատել կոտորակը:

Փորձենք լուծել խնդիրը համարիչի փոխարեն փոխարինելով .

Պետք է չմոռանալ, որ այս դեպքում հայտարարը չի կարող հավասար լինել 0-ի, այսինքն.

Եթե ​​այս պայմանները բավարարված են, ապա մենք կրճատել ենք սկզբնական կոտորակը մինչև ձևը:

Առաջադրանք թիվ 3 (առաջադրանք պարամետրով)

Պարամետրի ինչ արժեքներով է քառակուսի հավասարման արմատների գումարը

Եթե ​​այս հավասարման արմատները գոյություն ունեն, ապա , հարցն այն է, թե երբ.

Ֆակտորիզացնելու համար անհրաժեշտ է պարզեցնել արտահայտությունները։ Սա անհրաժեշտ է, որպեսզի հետագայում կարողանանք կրճատել։ Բազմանդամի տարրալուծումը իմաստ ունի, երբ նրա աստիճանը երկրորդից ցածր չէ։ Առաջին աստիճանով բազմանդամը կոչվում է գծային:

Հոդվածում կբացահայտվեն տարրալուծման բոլոր հասկացությունները, տեսական հիմքերը և բազմանդամի ֆակտորինգի մեթոդները։

Տեսություն

Թեորեմ 1

Երբ n աստիճանով ցանկացած բազմանդամ, որն ունի P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ձև: . . + a 1 x + a 0 , ներկայացված են որպես կայուն գործակից ունեցող արտադրյալ՝ ամենաբարձր աստիճանով a n և n գծային գործակիցներով (x - x i), i = 1 , 2 , … , n , ապա P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) . . . · (x - x 1) , որտեղ x i , i = 1 , 2 , … , n - սրանք բազմանդամի արմատներն են:

Թեորեմը նախատեսված է x i, i = 1, 2, …, n բարդ տիպի արմատների համար և a k, k = 0, 1, 2,…, n բարդ գործակիցների համար: Սա ցանկացած տարրալուծման հիմքն է։

Երբ a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n ձևի գործակիցները իրական թվեր են, ապա բարդ արմատները կառաջանան խոնարհված զույգերով: Օրինակ, x 1 և x 2 արմատները կապված են P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ձևի բազմանդամի հետ: . . + a 1 x + a 0 համարվում են բարդ խոնարհված, ապա մյուս արմատները իրական են, հետևաբար մենք ստանում ենք, որ բազմանդամը ստանում է P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) ձևը: . . (x - x 3) x 2 + p x + q, որտեղ x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

Մեկնաբանություն

Բազմանդամի արմատները կարող են կրկնվել։ Դիտարկենք հանրահաշվի թեորեմի ապացույցը, Բեզուտի թեորեմի հետևանքները։

Հանրահաշվի հիմնարար թեորեմ

Թեորեմ 2

n աստիճան ունեցող ցանկացած բազմանդամն ունի առնվազն մեկ արմատ:

Բեզուտի թեորեմը

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ձևի բազմանդամը բաժանելուց հետո: . . + a 1 x + a 0 on (x - s), ապա ստանում ենք մնացորդը, որը հավասար է s կետի բազմանդամին, ապա ստանում ենք.

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) , որտեղ Q n - 1 (x) բազմանդամ է n - 1 աստիճանով:

Եզրակացություն Բեզութի թեորեմից

Երբ P n (x) բազմանդամի արմատը համարվում է s , ապա P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ։ . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) . Այս եզրակացությունը բավարար է, երբ օգտագործվում է լուծումը նկարագրելու համար:

Քառակուսի եռանդամի գործոնացում

a x 2 + b x + c ձևի քառակուսի եռանկյունը կարող է վերագրվել գծային գործակիցների: ապա մենք ստանում ենք, որ a x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) , որտեղ x 1 և x 2 արմատներ են (բարդ կամ իրական):

Սա ցույց է տալիս, որ տարրալուծումն ինքնին կրճատվում է մինչև ավելի ուշ քառակուսի հավասարումը լուծելու համար:

Օրինակ 1

Գործոնացնել քառակուսի եռանկյունը:

Լուծում

Անհրաժեշտ է գտնել 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 հավասարման արմատները: Դա անելու համար դուք պետք է գտնեք տարբերակիչի արժեքը ըստ բանաձևի, այնուհետև մենք ստանում ենք D \u003d (- 5) 2 - 4 4 1 \u003d 9: Ուստի մենք ունենք դա

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

Այստեղից մենք ստանում ենք, որ 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1:

Ստուգումն իրականացնելու համար անհրաժեշտ է բացել փակագծերը։ Այնուհետև մենք ստանում ենք ձևի արտահայտություն.

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

Ստուգումից հետո մենք հասնում ենք սկզբնական արտահայտությանը: Այսինքն՝ կարելի է եզրակացնել, որ ընդլայնումը ճիշտ է։

Օրինակ 2

Գործոնացրեք 3 x 2 - 7 x - 11 ձևի քառակուսի եռանկյունը:

Լուծում

Մենք ստանում ենք, որ անհրաժեշտ է հաշվարկել 3 x 2 - 7 x - 11 = 0 ձևի քառակուսի հավասարումը:

Արմատները գտնելու համար անհրաժեշտ է որոշել դիսկրիմինանտի արժեքը: Մենք դա հասկանում ենք

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 1816 թ

Այստեղից մենք ստանում ենք, որ 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6:

Օրինակ 3

Գործոնացնել 2 x 2 + 1 բազմանդամը:

Լուծում

Այժմ դուք պետք է լուծեք 2 x 2 + 1 = 0 քառակուսի հավասարումը և գտնեք դրա արմատները: Մենք դա հասկանում ենք

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

Այս արմատները կոչվում են բարդ խոնարհված, ինչը նշանակում է, որ տարրալուծումն ինքնին կարող է ներկայացվել որպես 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i:

Օրինակ 4

Ընդարձակեք քառակուսի եռանկյունը x 2 + 1 3 x + 1:

Լուծում

Նախ պետք է լուծել x 2 + 1 3 x + 1 = 0 ձևի քառակուսային հավասարումը և գտնել դրա արմատները:

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i

Արմատները ձեռք բերելով՝ գրում ենք

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

Մեկնաբանություն

Եթե ​​դիսկրիմինանտի արժեքը բացասական է, ապա բազմանդամները կմնան երկրորդ կարգի բազմանդամներ։ Այստեղից հետևում է, որ մենք դրանք չենք տարրալուծելու գծային գործոնների։

Երկրորդից բարձր աստիճանի բազմանդամի գործակցման մեթոդներ

Քայքայումը ենթադրում է ունիվերսալ մեթոդ. Բոլոր դեպքերի մեծ մասը հիմնված է Բեզութի թեորեմի հետևանքի վրա: Դա անելու համար հարկավոր է ընտրել x 1 արմատի արժեքը և իջեցնել դրա աստիճանը՝ բազմանդամի վրա 1-ի բաժանելով՝ բաժանելով (x - x 1) . Ստացված բազմանդամը պետք է գտնի x 2 արմատը, և որոնման գործընթացը ցիկլային է, մինչև մենք ստանանք ամբողջական ընդլայնում:

Եթե ​​արմատը չի հայտնաբերվել, ապա օգտագործվում են ֆակտորացման այլ մեթոդներ՝ խմբավորում, լրացուցիչ տերմիններ։ Այս թեման ենթադրում է ավելի մեծ հզորություններով և ամբողջ թվային գործակիցներով հավասարումների լուծում։

Ընդհանուր գործոնը փակագծերից հանելը

Դիտարկենք այն դեպքը, երբ ազատ անդամը հավասար է զրոյի, ապա բազմանդամի ձևը դառնում է P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ։ . . + a 1 x.

Կարելի է տեսնել, որ նման բազմանդամի արմատը հավասար կլինի x 1 \u003d 0, այնուհետև կարող եք բազմանդամը ներկայացնել P n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 + արտահայտության տեսքով: . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + ... + a 1)

Համարվում է, որ այս մեթոդը ընդհանուր գործոնը փակագծերից հանում է:

Օրինակ 5

Գործոնացնել երրորդ աստիճանի բազմանդամը 4 x 3 + 8 x 2 - x:

Լուծում

Մենք տեսնում ենք, որ x 1 \u003d 0 տրված բազմանդամի արմատն է, այնուհետև մենք կարող ենք x-ը փակել ամբողջ արտահայտությունից: Մենք ստանում ենք.

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Անցնենք քառակուսի եռանկյունի 4 x 2 + 8 x - 1 արմատները գտնելուն։ Գտնենք տարբերակիչն ու արմատները.

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Այնուհետեւ հետեւում է, որ

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Սկզբից եկեք դիտարկենք տարրալուծման մեթոդը, որը պարունակում է P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + ձևի ամբողջ թվային գործակիցներ: . . + a 1 x + a 0, որտեղ ամենաբարձր հզորության գործակիցը 1 է:

Երբ բազմանդամն ունի ամբողջ թվային արմատներ, ապա դրանք համարվում են ազատ անդամի բաժանարարներ։

Օրինակ 6

Ընդարձակեք f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 արտահայտությունը:

Լուծում

Մտածեք, թե արդյոք կան ամբողջ թվային արմատներ: Պետք է դուրս գրել 18 թվի բաժանարարները։ Մենք ստանում ենք, որ ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18: Հետևում է, որ այս բազմանդամն ունի ամբողջ թվային արմատներ։ Դուք կարող եք ստուգել Horner սխեմայի համաձայն: Այն շատ հարմար է և թույլ է տալիս արագորեն ստանալ բազմանդամի ընդլայնման գործակիցները.

Հետևում է, որ x \u003d 2 և x \u003d - 3 սկզբնական բազմանդամի արմատներն են, որոնք կարող են ներկայացվել որպես ձևի արտադրյալ.

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Մենք դիմում ենք x 2 + 2 x + 3 ձևի քառակուսի եռանդամի տարրալուծմանը:

Քանի որ դիսկրիմինանտը բացասական է, նշանակում է իրական արմատներ չկան։

Պատասխան. f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Մեկնաբանություն

Հորների սխեմայի փոխարեն թույլատրվում է օգտագործել արմատային ընտրություն և բազմանդամի բաժանում բազմանդամի վրա։ Եկեք դիտարկենք P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + ձևի ամբողջ թվային գործակիցներ պարունակող բազմանդամի ընդլայնումը: . . + a 1 x + a 0, որոնցից ամենաբարձրը հավասար չէ մեկի:

Այս դեպքը տեղի է ունենում կոտորակային ռացիոնալ կոտորակների համար:

Օրինակ 7

Գործոնացնել f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15:

Լուծում

Անհրաժեշտ է փոխել y = 2 x փոփոխականը, պետք է անցնել 1-ին հավասար գործակից ունեցող բազմանդամի ամենաբարձր աստիճանի։ Դուք պետք է սկսեք արտահայտությունը 4-ով բազմապատկելով: Մենք դա հասկանում ենք

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Երբ g (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ձևի ստացված ֆունկցիան ունի ամբողջ թվային արմատներ, ապա դրանց գտածոն ազատ անդամի բաժանարարների թվում է: Մուտքը կունենա հետևյալ տեսքը.

± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 10, ± 12, ± 15, ± 20, ± 30, ± 60

Անցնենք այս կետերում g (y) ֆունկցիայի հաշվարկին, որպեսզի արդյունքում ստանանք զրո։ Մենք դա հասկանում ենք

գ (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 գ (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 գ (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 գ (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 գ (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 գ (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 գ (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 գ (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 գ (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 գ (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

Մենք ստանում ենք, որ y \u003d - 5-ը y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ձևի հավասարման արմատն է, ինչը նշանակում է, որ x \u003d y 2 \u003d - 5 2 բնօրինակ ֆունկցիայի արմատն է:

Օրինակ 8

Անհրաժեշտ է բաժանել 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 սյունակով x + 5 2-ով:

Լուծում

Մենք գրում և ստանում ենք.

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Բաժանարարների ստուգումը շատ ժամանակ կխլի, ուստի ավելի շահավետ է վերցնել x 2 + 7 x + 3 ձևի ստացված քառակուսի եռանկյունի ֆակտորիզացիան: Հավասարեցնելով զրոյի՝ գտնում ենք դիսկրիմինատորը։

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Այստեղից հետևում է, որ

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Արհեստական ​​հնարքներ բազմանդամի ֆակտորինգի ժամանակ

Ռացիոնալ արմատները բնորոշ չեն բոլոր բազմանդամներին: Դա անելու համար դուք պետք է օգտագործեք հատուկ մեթոդներ՝ գործոններ գտնելու համար: Բայց ոչ բոլոր բազմանդամները կարող են քայքայվել կամ ներկայացվել որպես արտադրյալ:

Խմբավորման մեթոդ

Լինում են դեպքեր, երբ կարելի է բազմանդամի տերմինները խմբավորել՝ ընդհանուր գործակից գտնելու և փակագծերից հանելու համար։

Օրինակ 9

Գործոնավորե՛ք x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 բազմանդամը:

Լուծում

Քանի որ գործակիցները ամբողջ թվեր են, ուրեմն արմատները ենթադրաբար կարող են լինել նաև ամբողջ թվեր։ Ստուգելու համար մենք վերցնում ենք 1, - 1, 2 և - 2 արժեքները, որպեսզի հաշվարկենք բազմանդամի արժեքը այս կետերում: Մենք դա հասկանում ենք

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

Սա ցույց է տալիս, որ արմատներ չկան, անհրաժեշտ է օգտագործել տարրալուծման և լուծման այլ եղանակ:

Պահանջվում է խմբավորում.

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

Սկզբնական բազմանդամը խմբավորելուց հետո անհրաժեշտ է այն ներկայացնել որպես երկու քառակուսի եռանդամի արտադրյալ։ Դա անելու համար մենք պետք է ֆակտորիզացնենք: մենք դա ստանում ենք

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

Մեկնաբանություն

Խմբավորման պարզությունը չի նշանակում, որ տերմիններ ընտրելը բավական հեշտ է։ Այն լուծելու հստակ ճանապարհ չկա, հետևաբար անհրաժեշտ է օգտագործել հատուկ թեորեմներ և կանոններ։

Օրինակ 10

Գործոնավորե՛ք x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 բազմանդամը:

Լուծում

Տրված բազմանդամը չունի ամբողջ թվային արմատներ։ Պայմանները պետք է խմբավորվեն: Մենք դա հասկանում ենք

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

Ֆակտորինգից հետո մենք ստանում ենք դա

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Օգտագործելով կրճատ բազմապատկման և Նյուտոնի երկանդամների բանաձևերը՝ բազմանդամը ֆակտորիզացնելու համար

Արտաքին տեսքը հաճախ միշտ չէ, որ պարզ է դարձնում, թե որ ճանապարհն օգտագործել տարրալուծման ժամանակ: Փոխակերպումները կատարելուց հետո դուք կարող եք կառուցել Պասկալի եռանկյունից բաղկացած գիծ, ​​հակառակ դեպքում դրանք կոչվում են Նյուտոնի երկանդամ:

Օրինակ 11

Գործոնավորե՛ք x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 բազմանդամը:

Լուծում

Անհրաժեշտ է արտահայտությունը վերածել ձևի

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Փակագծերում նշված գումարի գործակիցների հաջորդականությունը նշվում է x + 1 4 արտահայտությամբ:

Այսպիսով, մենք ունենք x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3:

Քառակուսիների տարբերությունը կիրառելուց հետո ստանում ենք

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Դիտարկենք երկրորդ փակագծում գտնվող արտահայտությունը։ Հասկանալի է, որ այնտեղ ձիեր չկան, ուստի պետք է նորից կիրառել քառակուսիների տարբերության բանաձեւը։ Մենք ստանում ենք նման արտահայտություն

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Օրինակ 12

Factorize x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Լուծում

Փոխենք արտահայտությունը. Մենք դա հասկանում ենք

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Անհրաժեշտ է կիրառել խորանարդների տարբերության կրճատ բազմապատկման բանաձեւը. Մենք ստանում ենք.

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Բազմանդամի ֆակտորինգի ժամանակ փոփոխականը փոխարինելու մեթոդ

Փոփոխական փոխելիս աստիճանը կրճատվում է, իսկ բազմանդամը գործոնացվում է:

Օրինակ 13

Գործոնացնել x 6 + 5 x 3 + 6 ձևի բազմանդամը:

Լուծում

Պայմանով պարզ է, որ անհրաժեշտ է փոխարինել y = x 3: Մենք ստանում ենք.

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Ստացված քառակուսային հավասարման արմատներն են y = - 2 և y = - 3, ապա

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Անհրաժեշտ է կիրառել խորանարդների գումարի կրճատ բազմապատկման բանաձեւը. Մենք ստանում ենք ձևի արտահայտություններ.

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

Այսինքն՝ մենք ստացել ենք ցանկալի ընդլայնումը։

Վերևում քննարկված դեպքերը կօգնեն բազմանդամը տարբեր ձևերով դիտարկել և գործակցել:

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Այս դասում մենք կսովորենք, թե ինչպես կարելի է քառակուսի եռանկյունները բաժանել գծային գործոնների: Դրա համար անհրաժեշտ է հիշել Վիետայի թեորեմը և դրա հակադարձությունը։ Այս հմտությունը կօգնի մեզ արագ և հարմար կերպով քայքայել քառակուսի եռանկյունները գծային գործակիցների, ինչպես նաև պարզեցնել արտահայտություններից բաղկացած կոտորակների կրճատումը:

Այսպիսով, վերադառնանք քառակուսի հավասարմանը, որտեղ:

Այն, ինչ ունենք ձախ կողմում, կոչվում է քառակուսի եռանկյուն:

Թեորեմը ճշմարիտ է.Եթե ​​քառակուսի եռանդամի արմատներն են, ապա ինքնությունը ճշմարիտ է

Որտեղ է առաջատար գործակիցը, հավասարման արմատներն են:

Այսպիսով, մենք ունենք քառակուսի հավասարում` քառակուսի եռանկյուն, որտեղ քառակուսի հավասարման արմատները կոչվում են նաև քառակուսի եռանդամի արմատներ: Հետևաբար, եթե մենք ունենք քառակուսի եռանդամի արմատներ, ապա այս եռանկյունը քայքայվում է գծային գործակիցների։

Ապացույց:

Այս փաստի ապացույցն իրականացվում է Վիետայի թեորեմի միջոցով, որը մենք դիտարկել ենք նախորդ դասերում:

Հիշենք, թե ինչ է մեզ ասում Վիետայի թեորեմը.

Եթե ​​քառակուսի եռանդամի արմատներն են, որոնց համար , ապա .

Այս թեորեմը ենթադրում է հետևյալ պնդումը, որ.

Մենք տեսնում ենք, որ, համաձայն Վիետայի թեորեմի, այսինքն, փոխարինելով այս արժեքները վերը նշված բանաձևով, մենք ստանում ենք հետևյալ արտահայտությունը.

Ք.Ե.Դ.

Հիշեցնենք, որ մենք ապացուցեցինք այն թեորեմը, որ եթե քառակուսի եռանդամի արմատներն են, ապա տարրալուծումը վավեր է:

Այժմ հիշենք քառակուսի հավասարման օրինակ, որի վրա մենք ընտրել ենք արմատները՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը: Այս փաստից մենք կարող ենք ստանալ հետևյալ հավասարությունը՝ շնորհիվ ապացուցված թեորեմի.

Այժմ ստուգենք այս փաստի ճիշտությունը՝ պարզապես ընդլայնելով փակագծերը.

Մենք տեսնում ենք, որ մենք ճիշտ ենք ֆակտորել, և ցանկացած եռանկյուն, եթե այն ունի արմատներ, կարող է այս թեորեմի համաձայն գծային գործոնների վերածվել բանաձևի համաձայն.

Այնուամենայնիվ, եկեք ստուգենք, թե արդյոք որևէ հավասարման համար հնարավոր է նման ֆակտորիզացիա.

Օրինակ վերցնենք հավասարումը. Նախ ստուգենք խտրականի նշանը

Եվ մենք հիշում ենք, որ մեր սովորած թեորեմը կատարելու համար D-ն պետք է մեծ լինի 0-ից, հետևաբար այս դեպքում ֆակտորավորումն ըստ ուսումնասիրված թեորեմի անհնար է։

Հետևաբար ձևակերպում ենք նոր թեորեմ՝ եթե քառակուսի եռանկյունը արմատներ չունի, ապա այն չի կարող քայքայվել գծային գործոնների։

Այսպիսով, մենք դիտարկել ենք Վիետայի թեորեմը՝ քառակուսի եռանկյունը գծային գործակիցների քայքայելու հնարավորությունը, և այժմ կլուծենք մի քանի խնդիր։

Առաջադրանք թիվ 1

Այս խմբում մենք իրականում խնդիրը կլուծենք առաջադրվածին հակառակ: Մենք ունեինք հավասարում, և մենք գտանք դրա արմատները՝ քայքայվելով գործոնների: Այստեղ մենք կանենք հակառակը. Ենթադրենք, մենք ունենք քառակուսի հավասարման արմատներ

Հակադարձ խնդիրը հետևյալն է. գրեք քառակուսի հավասարում այնպես, որ դրանք լինեն դրա արմատները:

Այս խնդիրը լուծելու 2 եղանակ կա.

Քանի որ հավասարման արմատներն են, ուրեմն քառակուսի հավասարում է, որի արմատներին տրված են թվեր: Այժմ բացենք փակագծերը և ստուգենք.

Սա առաջին ձևն էր, որով մենք ստեղծեցինք քառակուսի հավասարում տրված արմատներով, որը չունի այլ արմատներ, քանի որ ցանկացած քառակուսի հավասարում ունի առավելագույնը երկու արմատ:

Այս մեթոդը ներառում է հակադարձ Վիետայի թեորեմի օգտագործումը:

Եթե ​​հավասարման արմատներն են, ապա դրանք բավարարում են այն պայմանին, որ .

Կրճատված քառակուսի հավասարման համար , , այսինքն այս դեպքում , եւ .

Այսպիսով, մենք ստեղծել ենք քառակուսի հավասարում, որն ունի տրված արմատները։

Առաջադրանք թիվ 2

Դուք պետք է կրճատեք կոտորակը:

Մենք ունենք եռանկյուն համարիչում և եռանդամ՝ հայտարարում, և եռանդամները կարող են գործոնացվել կամ չգործել: Եթե ​​և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը գործոնացված են, ապա դրանց մեջ կարող են լինել հավասար գործոններ, որոնք կարող են կրճատվել։

Առաջին հերթին անհրաժեշտ է ֆակտորիզացնել համարիչը։

Նախ, դուք պետք է ստուգեք, թե արդյոք այս հավասարումը կարող է գործոնավորվել, գտնել տարբերակիչը: Քանի որ , ապա նշանը կախված է արտադրյալից (պետք է 0-ից փոքր լինի), այս օրինակում, այսինքն՝ տրված հավասարումն ունի արմատներ։

Լուծելու համար մենք օգտագործում ենք Վիետայի թեորեմը.

Այս դեպքում, քանի որ գործ ունենք արմատների հետ, բավական դժվար կլինի պարզապես արմատներ հավաքել։ Բայց մենք տեսնում ենք, որ գործակիցները հավասարակշռված են, այսինքն, եթե մենք ենթադրենք, որ և այս արժեքը փոխարինենք հավասարման մեջ, ապա ստացվում է հետևյալ համակարգը. այսինքն՝ 5-5=0։ Այսպիսով, մենք ընտրել ենք այս քառակուսի հավասարման արմատներից մեկը։

Մենք կփնտրենք երկրորդ արմատը՝ փոխարինելով այն, ինչ արդեն հայտնի է հավասարումների համակարգում, օրինակ՝ , այսինքն. .

Այսպիսով, մենք գտել ենք քառակուսի հավասարման երկու արմատները և կարող ենք փոխարինել դրանց արժեքները սկզբնական հավասարման մեջ՝ այն գործոնավորելու համար.

Հիշեք սկզբնական խնդիրը, մեզ անհրաժեշտ էր կրճատել կոտորակը:

Փորձենք լուծել խնդիրը համարիչի փոխարեն փոխարինելով .

Պետք է չմոռանալ, որ այս դեպքում հայտարարը չի կարող հավասար լինել 0-ի, այսինքն.

Եթե ​​այս պայմանները բավարարված են, ապա մենք կրճատել ենք սկզբնական կոտորակը մինչև ձևը:

Առաջադրանք թիվ 3 (առաջադրանք պարամետրով)

Պարամետրի ինչ արժեքներով է քառակուսի հավասարման արմատների գումարը

Եթե ​​այս հավասարման արմատները գոյություն ունեն, ապա , հարցն այն է, թե երբ.

Արտադրանք ստանալու համար բազմանդամների ընդլայնումը երբեմն շփոթեցնող է թվում: Բայց դա այնքան էլ դժվար չէ, եթե դուք քայլ առ քայլ հասկանաք գործընթացը։ Հոդվածը մանրամասնում է, թե ինչպես կարելի է ֆակտորիզացնել քառակուսի եռանկյունը:

Շատերը չեն հասկանում, թե ինչպես կարելի է ֆակտորիզացնել քառակուսի եռանկյունը և ինչու է դա արվում: Սկզբում կարող է թվալ, որ սա անօգուտ վարժություն է։ Բայց մաթեմատիկայում ոչինչ հենց այնպես չի արվում։ Փոխակերպումն անհրաժեշտ է արտահայտությունը պարզեցնելու և հաշվարկի հարմարության համար:

Բազմանդամ, որն ունի ax² + bx + c ձև, կոչվում է քառակուսի եռանդամ:«ա» տերմինը պետք է լինի բացասական կամ դրական: Գործնականում այս արտահայտությունը կոչվում է քառակուսի հավասարում: Հետեւաբար, երբեմն նրանք այլ կերպ են ասում՝ ինչպես ընդլայնել քառակուսի հավասարումը:

Հետաքրքիր է!Քառակուսի բազմանդամը կոչվում է իր ամենամեծ աստիճանի պատճառով՝ քառակուսի: Եվ եռանկյուն՝ 3 բաղադրիչ տերմինների պատճառով։

Բազմանդամների մի քանի այլ տեսակներ.

• գծային երկանդամ (6x+8);
• խորանարդ քառանկյուն (x³+4x²-2x+9):

Քառակուսի եռանդամի գործոնացում

Նախ, արտահայտությունը հավասար է զրոյի, ապա պետք է գտնել x1 և x2 արմատների արժեքները: Կարող է արմատներ չլինեն, կարող են լինել մեկ կամ երկու արմատ: Արմատների առկայությունը որոշվում է տարբերակիչով: Դրա բանաձեւը պետք է անգիր հայտնի լինի՝ D=b²-4ac:

Եթե ​​D-ի արդյունքը բացասական է, արմատներ չկան։ Եթե ​​դրական է, ապա երկու արմատ կա. Եթե ​​արդյունքը զրոյական է, ապա արմատը մեկ է: Արմատները նույնպես հաշվարկվում են բանաձևով.

Եթե ​​դիսկրիմինանտի հաշվարկը զրոյի է բերում, կարող եք կիրառել բանաձևերից որևէ մեկը: Գործնականում բանաձևը պարզապես կրճատ է՝ -b / 2a:

Տարբերակիչի տարբեր արժեքների բանաձևերը տարբեր են:

Եթե ​​D-ն դրական է.

Եթե ​​D-ն զրո է.

Առցանց հաշվիչներ

Ինտերնետում կա առցանց հաշվիչ: Այն կարող է օգտագործվել ֆակտորիզացիայի համար: Որոշ ռեսուրսներ լուծումը քայլ առ քայլ տեսնելու հնարավորություն են տալիս։ Նման ծառայություններն օգնում են ավելի լավ հասկանալ թեման, բայց պետք է փորձել լավ հասկանալ։

Օգտակար տեսանյութ՝ քառակուսի եռանկյունի ֆակտորինգ

Օրինակներ

Առաջարկում ենք դիտարկել քառակուսի հավասարումը ֆակտորիզացնելու պարզ օրինակներ:

Օրինակ 1

Այստեղ հստակ ցույց է տրվում, որ արդյունքը կլինի երկու x, քանի որ D-ն դրական է։ Նրանք պետք է փոխարինվեն բանաձևով: Եթե ​​արմատները բացասական են, ապա բանաձևի նշանը հակադարձվում է:

Մենք գիտենք քառակուսի եռանդամի գործակցման բանաձևը՝ a(x-x1)(x-x2): Արժեքները դնում ենք փակագծերում՝ (x+3)(x+2/3): Ցուցանիշում տերմինից առաջ թիվ չկա: Սա նշանակում է, որ կա միավոր, այն իջեցված է։

Օրինակ 2

Այս օրինակը հստակ ցույց է տալիս, թե ինչպես կարելի է լուծել մեկ արմատ ունեցող հավասարումը:

Փոխարինեք ստացված արժեքը.

Օրինակ 3

Տրված է՝ 5x²+3x+7

Նախ, մենք հաշվարկում ենք խտրականությունը, ինչպես նախորդ դեպքերում:

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Խտրականը բացասական է, ինչը նշանակում է, որ արմատներ չկան:

Արդյունքը ստանալուց հետո արժե բացել փակագծերը և ստուգել արդյունքը։ Բնօրինակ եռանկյունը պետք է հայտնվի:

Այլընտրանքային լուծում

Որոշ մարդիկ երբեք չեն կարողացել ընկերանալ խտրականի հետ։ Քառակուսի եռանկյունը ֆակտորիզացնելու մեկ այլ եղանակ կա: Հարմարության համար մեթոդը ներկայացված է օրինակով:

Տրված է՝ x²+3x-10

Մենք գիտենք, որ պետք է ավարտենք 2 փակագծով՝ (_)(_): Երբ արտահայտությունն այսպիսի տեսք ունի՝ x² + bx + c, յուրաքանչյուր փակագծի սկզբում դնում ենք x՝ (x_) (x_): Մնացած երկու թվերն այն արտադրյալն են, որը տալիս է «c», այսինքն՝ -10 այս դեպքում: Պարզելու համար, թե որոնք են այս թվերը, կարող եք օգտագործել միայն ընտրության մեթոդը: Փոխարինված թվերը պետք է համապատասխանեն մնացած ժամկետին:

Օրինակ՝ հետևյալ թվերը բազմապատկելով՝ ստացվում է -10.

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Ոչ
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Ոչ
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Ոչ
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Տեղավորվում է.

Այսպիսով, x2+3x-10 արտահայտության փոխակերպումն ունի հետևյալ տեսքը՝ (x-2)(x+5):

Կարևոր.Դուք պետք է զգույշ լինեք, որպեսզի չշփոթեք նշանները:

Բարդ եռանդամի տարրալուծում

Եթե ​​«ա»-ն մեկից մեծ է, դժվարություններ են սկսվում։ Բայց ամեն ինչ այնքան էլ դժվար չէ, որքան թվում է։

Ֆակտորիզացնելու համար նախ պետք է տեսնել, թե հնարավո՞ր է ինչ-որ բան հանել:

Օրինակ՝ տրված է 3x²+9x-30 արտահայտությունը: Այստեղ փակագծերից հանված է 3 թիվը.

3 (x²+3x-10): Արդյունքը արդեն հայտնի եռանդամն է։ Պատասխանն ունի հետևյալ տեսքը՝ 3(x-2)(x+5)

Ինչպե՞ս տարրալուծվել, եթե քառակուսի տերմինը բացասական է: Այս դեպքում փակագծից հանվում է -1 թիվը։ Օրինակ՝ -x²-10x-8: Այնուհետև արտահայտությունը կունենա հետևյալ տեսքը.

Սխեման քիչ է տարբերվում նախորդից: Միայն մի քանի նոր բան կա։ Ենթադրենք տրված է արտահայտությունը՝ 2x²+7x+3: Պատասխանը գրված է նաև 2 փակագծերում, որոնք պետք է լրացվեն (_) (_): 2-րդ փակագծում գրված է X, իսկ 1-ինում մնացածը։ Կարծես հետևյալն է՝ (2x_)(x_): Հակառակ դեպքում կրկնվում է նախորդ սխեման։

3 համարը տալիս է թվերը.

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Հավասարումները լուծում ենք՝ փոխարինելով տրված թվերը։ Վերջին տարբերակը տեղավորվում է. Այսպիսով, 2x²+7x+3 արտահայտության փոխակերպումն ունի հետևյալ տեսքը՝ (2x+1)(x+3):

Այլ դեպքեր

Միշտ չէ, որ հնարավոր է փոխակերպել արտահայտությունը: Երկրորդ մեթոդով հավասարման լուծումը պարտադիր չէ։ Բայց տերմինները ապրանքի վերածելու հնարավորությունը ստուգվում է միայն դիսկրիմինատորի միջոցով։

Արժե զբաղվել քառակուսի հավասարումների լուծումով, որպեսզի բանաձևեր օգտագործելիս դժվարություններ չլինեն։

Օգտակար տեսանյութ՝ եռանդամի ֆակտորիզացիա

Եզրակացություն

Դուք կարող եք այն օգտագործել ցանկացած ձևով: Բայց ավելի լավ է աշխատել երկուսն էլ դեպի ավտոմատիզմ: Նաև նրանք, ովքեր պատրաստվում են իրենց կյանքը կապել մաթեմատիկայի հետ, պետք է սովորեն, թե ինչպես լավ լուծել քառակուսի հավասարումները և բազմանդամները տարրալուծել գործոնների։ Բոլոր հետևյալ մաթեմատիկական թեմաները կառուցված են սրա վրա։

հետ շփման մեջ

Քառակուսի եռանկյունների ֆակտորիզացիան դպրոցական այն առաջադրանքներից է, որը վաղ թե ուշ բախվում է բոլորին: Ինչպե՞ս դա անել: Ո՞րն է քառակուսի եռանդամի գործակցման բանաձևը: Եկեք քայլ առ քայլ անցնենք այն օրինակներով:

Ընդհանուր բանաձև

Քառակուսի եռանդամների ֆակտորիզացիան իրականացվում է քառակուսի հավասարման լուծումով։ Սա պարզ խնդիր է, որը կարելի է լուծել մի քանի մեթոդներով` գտնելով դիսկրիմինանտը, օգտագործելով Վիետայի թեորեմը, կա նաև դրա լուծման գրաֆիկական տարբերակ: Առաջին երկու մեթոդներն ուսումնասիրվում են ավագ դպրոցում։

Ընդհանուր բանաձևն ունի հետևյալ տեսքը.lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Առաջադրանքի կատարման ալգորիթմ

Քառակուսի եռանկյունները ֆակտորիզացնելու համար պետք է իմանալ Վիթի թեորեմը, ձեռքի տակ ունենալ լուծման ծրագիր, կարողանալ գրաֆիկորեն լուծում գտնել կամ դիսկրիմինանտ բանաձևի միջոցով փնտրել երկրորդ աստիճանի հավասարման արմատները։ Եթե ​​տրված է քառակուսի եռանկյուն, և այն պետք է գործոնավորվի, ապա գործողությունների ալգորիթմը հետևյալն է.

1) Բնօրինակ արտահայտությունը հավասարեցնել զրոյի՝ հավասարումը ստանալու համար:

2) Տրե՛ք նմանատիպ տերմիններ (անհրաժեշտության դեպքում):

3) Գտեք արմատները ցանկացած հայտնի մեթոդով: Գրաֆիկական մեթոդը լավագույնս օգտագործվում է, եթե նախապես հայտնի է, որ արմատները ամբողջ թվեր են և փոքր թվեր: Պետք է հիշել, որ արմատների թիվը հավասար է հավասարման առավելագույն աստիճանին, այսինքն՝ քառակուսի հավասարումն ունի երկու արմատ։

4) փոխարինող արժեք Xարտահայտության մեջ (1):

5) Գրի՛ր քառակուսի եռանկյունների գործոնացումը.

Օրինակներ

Պրակտիկան թույլ է տալիս վերջապես հասկանալ, թե ինչպես է կատարվում այս խնդիրը: Օրինակները ցույց են տալիս քառակուսի եռանդամի ֆակտորիզացիան.

պետք է ընդլայնել արտահայտությունը.

Եկեք օգտագործենք մեր ալգորիթմը.

1) x 2 -17x+32=0

2) համանման ժամկետները կրճատվում են

3) Վիետայի բանաձևի համաձայն, դժվար է գտնել այս օրինակի արմատները, հետևաբար ավելի լավ է օգտագործել տարբերակիչ արտահայտությունը.

D=289-128=161=(12.69) 2

4) Փոխարինեք արմատները, որոնք մենք գտել ենք տարրալուծման հիմնական բանաձևում.

(x-2.155) * (x-14.845)

5) Այնուհետև պատասխանը կլինի.

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)

Եկեք ստուգենք, թե արդյոք դիսկրիմինատորի գտած լուծումները համապատասխանում են Վիետայի բանաձևերին.

14,845 . 2,155=32

Այս արմատների համար կիրառվում է Վիետայի թեորեմը, դրանք ճիշտ են գտնվել, ինչը նշանակում է, որ մեր ստացած ֆակտորիզացիան նույնպես ճիշտ է։

Նմանապես, մենք ընդլայնում ենք 12x 2 + 7x-6:

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

Նախորդ դեպքում լուծումները եղել են ոչ ամբողջ թվեր, այլ իրական թվեր, որոնք հեշտ է գտնել դիմացի հաշվիչը։ Այժմ դիտարկենք ավելի բարդ օրինակ, որտեղ արմատները բարդ են՝ գործոնացնել x 2 + 4x + 9: Վիետայի բանաձևի համաձայն՝ արմատները հնարավոր չէ գտնել, իսկ դիսկրիմինատորը բացասական է։ Արմատները կլինեն բարդ հարթության վրա:

D=-20

Դրա հիման վրա մենք ստանում ենք մեզ հետաքրքրող արմատները -4 + 2i * 5 1/2 և -4-2i * 5 1/2 քանի որ (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Մենք ստանում ենք ցանկալի ընդլայնումը, փոխարինելով արմատները ընդհանուր բանաձևով:

Մեկ այլ օրինակ՝ պետք է ֆակտորիզացնել 23x 2 -14x + 7 արտահայտությունը:

Մենք ունենք հավասարումը 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Այսպիսով, արմատները 14+21,166i և 14-21,166i. Պատասխանը կլինի.

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21.166i ).

Բերենք մի օրինակ, որը կարելի է լուծել առանց խտրականի օգնության։

Թող անհրաժեշտ լինի քայքայել քառակուսի x 2 -32x + 255 հավասարումը: Ակնհայտ է, որ դա կարող է լուծել նաև խտրականը, բայց այս դեպքում ավելի արագ է արմատները գտնելը։

x 1 = 15

x2=17

Միջոցներ x 2 -32x + 255 =(x-15) (x-17).