Շատ հաճախ կոտորակի համարիչն ու հայտարարը հանրահաշվական արտահայտություններ են, որոնք նախ պետք է տարանջատել գործոնների, իսկ հետո, դրանց մեջ գտնելով նույնը, նրանց մեջ բաժանել և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը, այսինքն՝ կրճատել կոտորակը։ 7-րդ դասարանի հանրահաշիվ դասագրքի մի ամբողջ գլուխ նվիրված է բազմանդամի ֆակտորիզացման առաջադրանքներին: Ֆակտորինգ կարելի է անել 3 ճանապարհ, ինչպես նաև այս մեթոդների համակցությունը:

1. Բազմապատկման կրճատ բանաձեւերի կիրառում

Ինչպես հայտնի է բազմանդամը բազմապատկել բազմանդամով, անհրաժեշտ է մեկ բազմանդամի յուրաքանչյուր անդամը բազմապատկել մյուս բազմանդամի յուրաքանչյուր անդամով և ավելացնել ստացված արտադրյալները։ Կան բազմանդամների բազմապատկման առնվազն 7 (յոթ) ընդհանուր դեպքեր, որոնք ներառված են հայեցակարգում: Օրինակ,

Աղյուսակ 1. Ֆակտորիզացիա 1-ին ճանապարհով

2. Ընդհանուր գործոնը փակագծից հանելը

Այս մեթոդը հիմնված է բազմապատկման բաշխիչ օրենքի կիրառման վրա։ Օրինակ,

Բնօրինակ արտահայտության յուրաքանչյուր տերմինը բաժանում ենք այն գործակցի վրա, որը հանում ենք, և միևնույն ժամանակ ստանում ենք փակագծերի արտահայտությունը (այսինքն՝ եղածը մեր հանածի վրա բաժանելու արդյունքը մնում է փակագծերում)։ Նախևառաջ անհրաժեշտ է ճիշտ որոշել բազմապատկիչը, որը պետք է փակագծված լինի։

Փակագծերում բազմանդամը կարող է նաև ընդհանուր գործոն լինել.

«Factorize» առաջադրանքը կատարելիս պետք է հատկապես զգույշ լինել ընդհանուր գործոնը փակագծերից հանելիս նշանների նկատմամբ։ Փակագծում յուրաքանչյուր անդամի նշանը փոխելու համար (բ - ա), հանում ենք ընդհանուր գործոնը -1 , մինչդեռ փակագծում յուրաքանչյուր անդամ բաժանվում է -1-ի. (բ - ա) = - (ա - բ) .

Այն դեպքում, երբ փակագծերում դրված արտահայտությունը քառակուսի է (կամ ցանկացած նույնիսկ հզորության), ապա փակագծերում գտնվող թվերը կարող են փոխանակվել ամբողջովին անվճար, քանի որ փակագծերից հանված մինուսները բազմապատկելիս դեռ կվերածվեն պլյուսի. (բ - ա) 2 = (ա - բ) 2, (բ - ա) 4 = (ա - բ) 4 և այլն…

3. Խմբավորման մեթոդ

Երբեմն արտահայտության մեջ ոչ բոլոր տերմիններն ունեն ընդհանուր գործոն, այլ միայն որոշները: Ապա դուք կարող եք փորձել խմբային պայմաններ փակագծերում, որպեսզի յուրաքանչյուրից որոշ գործոն հանվի: Խմբավորման մեթոդընդհանուր գործոնների կրկնակի փակագծում է:

4. Միանգամից մի քանի մեթոդների կիրառում

Երբեմն անհրաժեշտ է կիրառել ոչ թե մեկ, այլ մի քանի եղանակ՝ բազմանդամը գործոնների միանգամից վերածելու համար:

Սա թեմայի ամփոփումն է։ «Ֆակտորիզացիա». Ընտրեք հաջորդ քայլերը.

• Անցեք հաջորդ վերացականին.

• 1. Ընդհանուր գործոնը փակագծերից հանելը և խմբավորման եղանակը. Որոշ դեպքերում նպատակահարմար է որոշ տերմիններ փոխարինել համանման տերմինների գումարով (տարբերությամբ) կամ ներմուծել փոխադարձաբար չեղյալ համարվող պայմաններ։
• 2. Օգտագործելով կրճատված բազմապատկման բանաձևերը:Երբեմն պետք է փակագծերից հանել գործոնները, խմբավորել տերմինները, ընտրել լրիվ քառակուսի և միայն դրանից հետո ներկայացնել խորանարդների գումարը, քառակուսիների տարբերությունը կամ խորանարդների տարբերությունը որպես արտադրյալ։
• 3. Օգտագործելով Բեզութի թեորեմը և անորոշ գործակիցների մեթոդը.

Օրինակ . Բազմապատկել:

P 3 (x)= x 3 +4x 2 +5x+2;

Քանի որ P 3 (-1)=0, ապա P 3 (x) բազմանդամը բաժանվում է x+1-ի։ Օգտագործելով անորոշ գործակիցների մեթոդը՝ գտնում ենք բազմանդամի բաժանման գործակիցը.

P 3 (x)= x 3 +4x 2 +5x+2 x+1 երկանդամով:

Թող որ քանորդը լինի x 2 + բազմանդամ: Քանի որ x 3 +4x 2 +5x+2=(x+1) (x 2 +)=

X 3 +(+1) x 2 +() x+, մենք ստանում ենք համակարգը.

Որտեղ. Հետևաբար, P 3 (x)=(x+1)·(x2 +3x+2):

Քանի որ x 2 +3x+2=x 2 +x+2x+2=x (x+1)+2 (x+1)=(x+1) (x+2), ապա P 3 (x)=( x+1) 2 (x+2).

4. Օգտագործելով Բեզութի թեորեմը և բաժանումը «սյունակի» վրա։

Օրինակ . Գործոնացնել

P 4 (x) \u003d 5 x 4 +9 x 3 -2 x 2 -4 x -8:

Լուծում . Քանի որ P 4 (1) = 5+9-2-4-8 = 0, ապա P 4 (x)-ը բաժանվում է (x-1-ի): Բաժանումը «սյունակի» վրա գտնում ենք քանորդը

Հետևաբար,

P 4 (x) \u003d (x-) (5 x 3 +14x 2 +12x + 8) \u003d

= (x-1) P 3 (x).

Քանի որ P 3 (-2) = -40+56-24+8=0, ապա P 3 (x) = 5 x 3 +14x 2 +12x+8 բազմանդամը բաժանվում է x+2-ի։

Գտնենք գործակիցը՝ բաժանելով «սյունակը».

Հետևաբար,

P 3 (x) \u003d (x + 2) (5 x 2 + 4x + 4):

Քանի որ 5 x ​​2 +4x+4 քառակուսի եռանդամի դիսկրիմինանտը D = -24 է<0, то этот

քառակուսի եռանկյունը չի քայքայվում գծային գործակիցների։

Այսպիսով, P 4 (x) = (x-1) (x+2) (5 x 2 +4x+4)

5. Բեզութի թեորեմի և Հորների սխեմայի օգտագործումը։ Այս մեթոդներով ստացված գործակիցը կարող է ֆակտորիզացվել ցանկացած այլ կերպ կամ նույն կերպ։

Օրինակ . Բազմապատկել:

P 3 (x) \u003d 2 x 3 -5 x 2 -196 x + 99;

Լուծում .

Եթե ​​այս բազմանդամն ունի ռացիոնալ արմատներ, ապա դրանք կարող են լինել միայն 1/2, 1, 3/2, 3, 9/2, 11/2, 9, 33, 99, 11 թվերի մեջ։

Այս բազմանդամի արմատը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք հետևյալ հայտարարությունը.

Եթե ​​որոշակի հատվածի ծայրերում բազմանդամի արժեքներն ունեն տարբեր նշաններ, ապա միջակայքի վրա. (ա; բ) կա այս բազմանդամի առնվազն մեկ արմատ:

Տրված բազմանդամի համար P 3 (0) =99, P 3 (1) = - 100: Հետևաբար, (0; 1) միջակայքում կա այս բազմանդամի առնվազն մեկ արմատ: Հետևաբար, վերը գրված 24 թվերի շարքում խորհուրդ է տրվում նախ ստուգել այն թվերը, որոնք պատկանում են միջակայքին.

(0; 1): Այս թվերից միայն մեկն է պատկանում այս միջակայքին։

P 3 (x) արժեքը x=1/2-ում կարելի է գտնել ոչ միայն ուղղակի փոխարինմամբ, այլ նաև այլ եղանակներով, օրինակ՝ Հորների սխեմայի համաձայն, քանի որ P ()-ը հավասար է բաժանման մնացորդին։ բազմանդամ P (x) x-ով: Ավելին, շատ օրինակներում այս մեթոդը նախընտրելի է, քանի որ գործակիցների գործակիցները նույնպես հայտնաբերվում են միաժամանակ։

Այս օրինակի համար Horner սխեմայի համաձայն մենք ստանում ենք.

Քանի որ P 3 (1/2) = 0, ապա x =1/2 P 3 (x) բազմանդամի արմատն է, իսկ P 3 (x) բազմանդամը բաժանվում է x-1/2-ի, այսինքն. 2 x 3 -5 x 2 -196 x + 99 \u003d (x-1/2) (2 x 2 -4 x-198):

Քանի որ 2 x 2 -4 x-198 = 2 (x 2 -2 x+1-100) = 2 ((x-1) 2 -10 2) = 2 (x+9) (x-11), ապա

P 3 (x) \u003d 2 x 3 -5 x 2 -196 x + 99 \u003d 2 (x-1/2) (x + 9) (x-11):

Բազմանդամ օղակի հայեցակարգը

Թող TOԵվ Լկոմուտատիվ օղակներ

Սահմանում 1 : Մատանի TOկոչվում է պարզ օղակի երկարացում Կօգտագործելով տարրեր xև գրիր.

L=K[x]եթե բավարարված են հետևյալ պայմանները.

ռինգի ենթահեռացում

Հիմնական հավաքածու K[x]նշվում է նշաններով L, K[x]:

Սահմանում 2 Պարզ ընդլայնում L=K[x]մատանիներ Կօգտագործելով x- օղակի պարզ տրանսցենդենտալ երկարացում Կօգտագործելով xեթե բավարարված են հետևյալ պայմանները.

ռինգի ենթահեռացում

Եթե, ապա

Սահմանում 3 : Տարր xկոչվում է տրանսցենդենտալ ռինգի վրա Կ, եթե պայմանը բավարարված է՝ , եթե, ապա

Առաջարկ. Թող K[x]պարզ տրանսցենդենտալ ընդլայնում: Եթե ​​և որտեղ, ապա

Ապացույց . Ըստ պայմանի՝ առաջին արտահայտությունից հանում ենք երկրորդը, ստանում ենք՝ քանի որ տարրը xտրանսցենդենտալ ավելի Կ, ապա (3)-ից ստանում ենք.

Եզրակացություն. Կոմուտատիվ օղակի պարզ տրանսցենդենտալ ոչ զրոյական երկարացման ցանկացած տարր Կօգտագործելով տարրը xընդունում է եզակի ներկայացում որպես տարրի ամբողջ թվով ոչ բացասական հզորությունների գծային համակցություն x

Սահմանում: Բազմանդամ օղակ անհայտից xոչ զրոյական օղակի վրա Կկոչվում է ոչ զրոյական կոմուտատիվ օղակի պարզ տրանսցենդենտալ երկարացում Կօգտագործելով տարրը x.

Թեորեմ . Ցանկացած ոչ զրոյական կոմուտատիվ օղակի համար Կ,կա տարրի հետ պարզ տրանսցենդենտալ ընդլայնում x, k[x]

Գործողություններ բազմանդամների վրա

Թող k[x] լինի ոչ զրոյական կոմուտատիվ օղակի բազմանդամ օղակ Կ

Սահմանում 1: K[x]-ին պատկանող f և g բազմանդամները կոչվում են հավասար և գրվում են f = g, եթե f և g բազմանդամների բոլոր գործակիցները հավասար են միմյանց՝ կանգնած անհայտի նույն հզորության վրա։ x.

Հետևանք . Բազմանդամ գրելիս տերմինների հերթականությունը էական չէ։ Բազմանդամների գրառումից զրոյական գործակցով անդամներ վերագրելը և բացառելը բազմանդամը չի փոխի:

Սահմանում 2. F և g բազմանդամների գումարը հավասարությամբ սահմանված f + g բազմանդամն է.

Սահմանում 3 - բազմանդամների արտադրյալ՝ նշանակված, որը որոշվում է կանոնով.

Բազմանդամների աստիճանը

Թող փոխադարձ զանգ հնչի: k[x] բազմանդամ օղակ դաշտի վրա Կ : ,

Սահմանում Թող լինի ցանկացած բազմանդամ: Եթե, ապա ոչ բացասական n ամբողջ թիվը բազմանդամների աստիճանն է զ. Միաժամանակ գրում են n=deg զ.

Թվերը բազմանդամի գործակիցներն են, որտեղ է առաջատար գործակիցը։

Եթե, զ- նորմալացված. Զրոյական բազմանդամի աստիճանն անորոշ է։

Բազմանդամի աստիճանի հատկություններ

Կ- ամբողջականության տարածք

Ապացույց :

Քանի որ և. TO- ամբողջականության տարածք.

Եզրակացություն 1 : k[x] դաշտի վրայով TO(ամբողջականության տարածքը) իր հերթին ամբողջականության տարածք է: Ամբողջականության ցանկացած տիրույթի համար կա առանձնահատուկության տիրույթ:

Հետևանք 2 Ամբողջականության տիրույթում գտնվող ցանկացած k[x]-ի համար TOկա մասնավոր դաշտ։

Բաժանում երկանդամով և բազմանդամի արմատներով:

Թող տարրը կոչվի բազմանդամի արժեք զփաստարկից.

Բեզուտի թեորեմը Ցանկացած բազմանդամի և տարրի համար կա տարր՝ .

Ապացույց Թող լինի ցանկացած բազմանդամ

Հետևանք Բազմանդամը բաժանելու մնացորդը հավասար է:

Սահմանում Տարրը կոչվում է բազմանդամի արմատ զ, Եթե.

Թեորեմ Թող տարրը լինի արմատը զեթե և միայն բաժանելու դեպքում զ

Ապացույց:

Անհրաժեշտություններ. Բեզութի թեորեմից հետևում է, որ բաժանելիության հատկություններից հետևում է, որ

Բավարարություն. Թող դա: հ.տ.դ.

Ամբողջականության շրջանի վրա բազմանդամ արմատների առավելագույն քանակը:

Թեորեմ Թող K-ն լինի ամբողջականության շրջանը: Բազմանդամի արմատների թիվը զամբողջականության ոլորտում կայլևս ոչ մի աստիճան nբազմանդամ զ.

Ապացույց :

Բազմանանդամի աստիճանի ինդուկցիայով: Թող բազմանդամը զունի զրոյական արմատներ, և դրանց թիվը չի գերազանցում:

Թող թեորեմն ապացուցվի ցանկացածի համար։

Ցույց տանք, որ 2-րդ կետը ենթադրում է բազմանդամների թեորեմի պնդման ճշմարտացիությունը։

Թող և, հնարավոր է երկու դեպք.

• Ա) բազմանդամ զարմատներ չունի, հետևաբար թեորեմի պնդումը ճիշտ է։
• Բ) բազմանդամ զունի առնվազն արմատ, Բեզութի թեորեմով, քանի որ կ- ամբողջականության տարածքը, ապա ըստ 3 հատկության (բազմանդամի աստիճաններ), հետևում է, որ

Որովհետեւ, k-ամբողջականության տարածք:

Այսպիսով, բազմանդամի բոլոր արմատները բազմանդամի արմատն է էքանի որ, ըստ ինդուկցիոն վարկածի, բազմանդամի բոլոր արմատների թիվը էոչ ավելի n, հետևաբար, զայլևս չունի ( n+ 1) արմատ.

Հետևանք : Թող կ- ամբողջականության տարածքը, եթե բազմանդամի արմատների թիվը զավելի շատ համար n,որտեղ, ապա զզրոյական բազմանդամ է:

Բազմանդամների հանրահաշվական և ֆունկցիոնալ հավասարություն

Թող - որոշ բազմանդամ, այն սահմանում է ինչ-որ ֆունկցիա

Ընդհանրապես, ցանկացած բազմանդամ կարող է սահմանել մեկ ֆունկցիա:

Թեորեմ : Թող կ- ամբողջականության տարածքը, այսպիսով, և-ով սահմանված բազմանդամների և հավասարության (նույնական հավասարություն ()) հավասարության համար:

Ապացույց :

Անհրաժեշտություններ. Թող և լինի ամբողջականության տիրույթը, .

Թող, այսինքն

Բավարարություն. Եկեք այդպես ձևացնենք։ Հաշվի առեք, քանի որ կամբողջականության տիրույթը, ապա բազմանդամը հունի մի շարք արմատներ, հետևանքից հետևում է, որ հզրոյական բազմանդամ. Այսպիսով, հ.թ.դ.

Մնացորդով բաժանելիության թեորեմ

Սահմանում Էվկլիդեսյան մատանին Կամբողջականության այդպիսի տարածքը կոչվում է k,որ ֆունկցիան սահմանված է հավաքածուի վրա ժ,ընդունում է ոչ բացասական ամբողջ արժեքներ և բավարարում է պայմանը

Այս տարրերի տարրերի որոնման գործընթացում կոչվում է բաժանում մնացորդով, - թերի քանորդ, - բաժանման մնացորդ:

Թող լինի բազմանդամ օղակ դաշտի վրա:

Թեորեմ (մնացորդով բաժանման մասին) Թող լինի բազմանդամների օղակ դաշտի վրա, և բազմանդամը գոյություն ունի բազմանդամների եզակի զույգ այնպիսին, որ կամ պայմանը բավարարված է: կամ

Ապացույց Բազմանդամի առկայությունը: Թող, այսինքն. Թեորեմը ճշմարիտ է, ակնհայտորեն, եթե - զրո կամ, քանի որ կամ: Եկեք ապացուցենք թեորեմը, երբ. Ապացուցումը կիրականացնենք բազմանդամի աստիճանի ինդուկցիայի միջոցով, ենթադրենք թեորեմն ապացուցված է (բացառությամբ եզակիության) բազմանդամի համար։ Եկեք ցույց տանք, որ այս դեպքում թեորեմի պնդումը գործում է . Իսկապես, թող լինի բազմանդամի առաջատար գործակիցը, հետևաբար, բազմանդամը կունենա նույն առաջատար գործակիցը և նույն աստիճանը, ինչ բազմանդամը, հետևաբար բազմանդամը կունենա կամ զրո բազմանդամ է։ Եթե, ապա, հետևաբար, և մենք ստանում ենք: Եթե, ապա ինդուկտիվ ենթադրությամբ, ուրեմն, այսինքն, մենք ստանում ենք կամ. Ապացուցված է բազմանդամի գոյությունը։

Եկեք ցույց տանք, որ նման զույգ բազմանդամները եզակի են:

Թող գոյություն ունենա կամ, հանենք. Երկու դեպք կա կամ.

Մյուս կողմից. աստիճանի պայմանով կամ, կամ.

Եթե. Այսպիսով, ստացվում է հակասություն. Եզակիությունը ապացուցված է.

Եզրակացություն 1 Դաշտի վրայի բազմանդամների օղակը Էվկլիդյան տարածությունն է:

Հետևանք 2 Բազմանդամների օղակն ավարտված է, հիմնական իդեալների օղակն է (ցանկացած իդեալ ունի յուրահատուկ գեներատոր)

Ցանկացած Էվկլիդյան օղակ գործոնային է: Բազմանդամ օղակը կոչվում է գործոնային օղակ:

Էվկլիդեսի ալգորիթմը. Երկու բազմանդամների GCD

Թող բազմանդամների օղակն ավարտված լինի:

Սահմանում 1 Թողեք և, եթե կա բազմանդամ, ապա բաժանման մնացորդը զրո է, ապա այն կոչվում է բազմանդամի բաժանարար և նշանակվում է.

Սահմանում 2 Բազմանդամների ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը կոչվում է բազմանդամ.

և (- ընդհանուր բաժանարար և).

(ցանկացած ընդհանուր բաժանարարին և):

Բազմանդամների ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը նշանակվում է gcd(;): Ցանկացած բազմանդամների ընդհանուր բաժանարարները ներառում են բոլոր զրոյական աստիճանի բազմանդամները, այսինքն՝ ոչ զրոյական դաշտից: Կարող է պարզվել, որ երկու տրված բազմանդամներ և չունեն ընդհանուր բաժանարարներ, որոնք զրո բազմանդամներ չեն:

Սահմանում Եթե ​​բազմանդամները և չունեն ընդհանուր բաժանարարներ, որոնք զրոյական աստիճանի բազմանդամներ չեն, ապա դրանք կոչվում են համապարփակ:

Լեմմա Եթե ​​դաշտի վրայից բազմանդամները գործում են, ապա բազմանդամների ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը և կապված է gcd-ի հետ: ~

Գրառում ( a ~ բ) նշանակում է, որ (և) ըստ սահմանման.

Ապացույց :Թող և

և սրանից հետևում է, որ մենք սովորեցնում ենք, որ բազմանդամի ընդհանուր բաժանարար է և.

ընդհանուր բաժանարար և, մենք ստանում ենք

Էվկլիդեսի ալգորիթմը

Մտածեք, օգտագործելով կոնկրետ օրինակներ, թե ինչպես կարելի է ֆակտորիզացնել բազմանդամը:

Մենք կընդլայնենք բազմանդամները՝ համաձայն .

Ֆակտորինգի բազմանդամներ.

Ստուգեք, արդյոք կա ընդհանուր գործոն: այո, այն հավասար է 7cd-ի։ Դուրս բերենք փակագծերից.

Փակագծերում արտահայտությունը բաղկացած է երկու տերմինից. Այլևս չկա ընդհանուր գործոն, արտահայտությունը խորանարդների գումարի բանաձև չէ, ինչը նշանակում է, որ տարրալուծումն ավարտված է։

Ստուգեք, արդյոք կա ընդհանուր գործոն: Ոչ Բազմանդամը բաղկացած է երեք անդամից, ուստի մենք ստուգում ենք, արդյոք կա լրիվ քառակուսի բանաձև։ Երկու անդամը արտահայտությունների քառակուսիներն են՝ 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², երրորդ անդամը հավասար է այս արտահայտությունների արտադրյալի կրկնակիին՝ 2∙5x∙3y=30xy: Այսպիսով, այս բազմանդամը կատարյալ քառակուսի է: Քանի որ կրկնակի արտադրյալը մինուս նշանով է, ուրեմն սա է.

Մենք ստուգում ենք՝ արդյոք հնարավոր է փակագծերից հանել ընդհանուր գործոնը։ Կա ընդհանուր գործոն, այն հավասար է a. Դուրս բերենք փակագծերից.

Փակագծերում երկու տերմին կա. Ստուգում ենք՝ քառակուսիների տարբերության բանաձեւ կա՞, թե՞ խորանարդների տարբերության։ a²-ը a-ի քառակուսին է, 1=1²: Այսպիսով, փակագծերում արտահայտությունը կարելի է գրել ըստ քառակուսիների տարբերության բանաձևի.

Կա ընդհանուր գործակից, այն հավասար է 5-ի: Փակագծերից հանում ենք.

փակագծերում երեք տերմին է. Ստուգեք, արդյոք արտահայտությունը կատարյալ քառակուսի է: Երկու անդամները քառակուսիներ են՝ 16=4², իսկ a²-ն a-ի քառակուսին է, երրորդ անդամը հավասար է 4-ի և a-ի արտադրյալի կրկնապատիկի՝ 2∙4∙a=8a: Հետեւաբար, դա կատարյալ քառակուսի է: Քանի որ բոլոր տերմինները «+» նշանով են, փակագծերում արտահայտությունը գումարի լրիվ քառակուսին է.

Ընդհանուր գործակիցը -2x հանված է փակագծերից.

Փակագծերում նշված է երկու անդամների գումարը: Ստուգում ենք, արդյոք տրված արտահայտությունը խորանարդների գումարն է։ 64=4³, x³-խորանարդ x. Այսպիսով, երկանդամը կարող է ընդլայնվել ըստ բանաձևի.

Ընդհանուր գործոն կա. Բայց քանի որ բազմանդամը բաղկացած է 4 անդամից, մենք նախ և հետո միայն փակագծերից կհանենք ընդհանուր գործակիցը։ Առաջին տերմինը խմբավորում ենք չորրորդով, երկրորդում՝ երրորդով.

Առաջին փակագծերից հանում ենք ընդհանուր գործակիցը 4a, երկրորդից՝ 8b.

Դեռևս ընդհանուր բազմապատկիչ չկա։ Այն ստանալու համար երկրորդ փակագծերից մենք կհանենք «-» փակագծերը, մինչդեռ փակագծերում յուրաքանչյուր նշան կփոխվի հակառակի.

Այժմ փակագծերից հանում ենք ընդհանուր գործակիցը (1-3ա).

Երկրորդ փակագծերում կա ընդհանուր գործոն 4 (սա նույն գործոնն է, որը մենք օրինակի սկզբում չենք հանել փակագծերից).

Քանի որ բազմանդամը բաղկացած է չորս անդամից, մենք կատարում ենք խմբավորում։ Առաջին կիսամյակը խմբավորում ենք երկրորդի հետ, երրորդը՝ չորրորդով.

Առաջին փակագծերում ընդհանուր գործակից չկա, բայց կա քառակուսիների տարբերության բանաձև, երկրորդ փակագծերում ընդհանուր գործակիցը -5 է.

Առաջացել է ընդհանուր գործոն (4մ-3ն)։ Փակագծերից հանենք։

Ֆակտորիզացնելու համար անհրաժեշտ է պարզեցնել արտահայտությունները։ Սա անհրաժեշտ է, որպեսզի հետագայում կարողանանք կրճատել։ Բազմանդամի տարրալուծումը իմաստ ունի, երբ նրա աստիճանը երկրորդից ցածր չէ։ Առաջին աստիճանով բազմանդամը կոչվում է գծային:

Հոդվածում կբացահայտվեն տարրալուծման բոլոր հասկացությունները, տեսական հիմքերը և բազմանդամի ֆակտորինգի մեթոդները։

Տեսություն

Թեորեմ 1

Երբ n աստիճանով ցանկացած բազմանդամ, որն ունի P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ձև: . . + a 1 x + a 0 , ներկայացված են որպես կայուն գործակից ունեցող արտադրյալ՝ ամենաբարձր աստիճանով a n և n գծային գործակիցներով (x - x i), i = 1 , 2 , … , n , ապա P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) . . . · (x - x 1) , որտեղ x i , i = 1 , 2 , … , n - սրանք բազմանդամի արմատներն են:

Թեորեմը նախատեսված է x i, i = 1, 2, …, n բարդ տիպի արմատների համար և a k, k = 0, 1, 2,…, n բարդ գործակիցների համար: Սա ցանկացած տարրալուծման հիմքն է։

Երբ a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n ձևի գործակիցները իրական թվեր են, ապա բարդ արմատները կառաջանան խոնարհված զույգերով: Օրինակ, x 1 և x 2 արմատները կապված են P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ձևի բազմանդամի հետ: . . + a 1 x + a 0 համարվում են բարդ խոնարհված, ապա մյուս արմատները իրական են, հետևաբար մենք ստանում ենք, որ բազմանդամը ստանում է P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) ձևը: . . (x - x 3) x 2 + p x + q, որտեղ x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

Մեկնաբանություն

Բազմանդամի արմատները կարող են կրկնվել։ Դիտարկենք հանրահաշվի թեորեմի ապացույցը, Բեզուտի թեորեմի հետևանքները։

Հանրահաշվի հիմնարար թեորեմ

Թեորեմ 2

n աստիճան ունեցող ցանկացած բազմանդամն ունի առնվազն մեկ արմատ:

Բեզուտի թեորեմը

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ձևի բազմանդամը բաժանելուց հետո։ . . + a 1 x + a 0 on (x - s), ապա ստանում ենք մնացորդը, որը հավասար է s կետի բազմանդամին, ապա ստանում ենք.

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) , որտեղ Q n - 1 (x) բազմանդամ է n - 1 աստիճանով:

Եզրակացություն Բեզութի թեորեմից

Երբ P n (x) բազմանդամի արմատը համարվում է s , ապա P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ։ . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) . Այս եզրակացությունը բավարար է, երբ օգտագործվում է լուծումը նկարագրելու համար:

Քառակուսի եռանդամի գործոնացում

a x 2 + b x + c ձևի քառակուսի եռանկյունը կարող է վերագրվել գծային գործակիցների: ապա մենք ստանում ենք, որ a x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) , որտեղ x 1 և x 2 արմատներ են (բարդ կամ իրական):

Սա ցույց է տալիս, որ տարրալուծումն ինքնին կրճատվում է մինչև ավելի ուշ քառակուսի հավասարումը լուծելու համար:

Օրինակ 1

Գործոնացնել քառակուսի եռանկյունը:

Լուծում

Անհրաժեշտ է գտնել 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 հավասարման արմատները: Դա անելու համար դուք պետք է գտնեք տարբերակիչի արժեքը ըստ բանաձևի, այնուհետև մենք ստանում ենք D \u003d (- 5) 2 - 4 4 1 \u003d 9: Ուստի մենք ունենք դա

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

Այստեղից մենք ստանում ենք, որ 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1:

Ստուգումն իրականացնելու համար անհրաժեշտ է բացել փակագծերը։ Այնուհետև մենք ստանում ենք ձևի արտահայտություն.

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

Ստուգումից հետո մենք հասնում ենք սկզբնական արտահայտությանը: Այսինքն՝ կարելի է եզրակացնել, որ ընդլայնումը ճիշտ է։

Օրինակ 2

Գործոնացրեք 3 x 2 - 7 x - 11 ձևի քառակուսի եռանկյունը:

Լուծում

Մենք ստանում ենք, որ անհրաժեշտ է հաշվարկել 3 x 2 - 7 x - 11 = 0 ձևի քառակուսի հավասարումը:

Արմատները գտնելու համար անհրաժեշտ է որոշել դիսկրիմինանտի արժեքը: Մենք դա հասկանում ենք

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 1816 թ

Այստեղից մենք ստանում ենք, որ 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6:

Օրինակ 3

Գործոնացնել 2 x 2 + 1 բազմանդամը:

Լուծում

Այժմ դուք պետք է լուծեք 2 x 2 + 1 = 0 քառակուսի հավասարումը և գտնեք դրա արմատները: Մենք դա հասկանում ենք

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

Այս արմատները կոչվում են բարդ խոնարհված, ինչը նշանակում է, որ տարրալուծումն ինքնին կարող է ներկայացվել որպես 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i:

Օրինակ 4

Ընդարձակեք քառակուսի եռանկյունը x 2 + 1 3 x + 1:

Լուծում

Նախ պետք է լուծել x 2 + 1 3 x + 1 = 0 ձևի քառակուսային հավասարումը և գտնել դրա արմատները:

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i

Արմատները ձեռք բերելով՝ գրում ենք

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

Մեկնաբանություն

Եթե ​​դիսկրիմինանտի արժեքը բացասական է, ապա բազմանդամները կմնան երկրորդ կարգի բազմանդամներ։ Այստեղից հետևում է, որ մենք դրանք չենք տարրալուծելու գծային գործոնների։

Երկրորդից բարձր աստիճանի բազմանդամի գործակցման մեթոդներ

Քայքայումը ենթադրում է ունիվերսալ մեթոդ. Բոլոր դեպքերի մեծ մասը հիմնված է Բեզութի թեորեմի հետևանքի վրա: Դա անելու համար հարկավոր է ընտրել x 1 արմատի արժեքը և իջեցնել դրա աստիճանը՝ բազմանդամի վրա 1-ի բաժանելով՝ բաժանելով (x - x 1) . Ստացված բազմանդամը պետք է գտնի x 2 արմատը, և որոնման գործընթացը ցիկլային է, մինչև մենք ստանանք ամբողջական ընդլայնում:

Եթե ​​արմատը չի հայտնաբերվել, ապա օգտագործվում են ֆակտորացման այլ մեթոդներ՝ խմբավորում, լրացուցիչ տերմիններ։ Այս թեման ենթադրում է ավելի մեծ հզորություններով և ամբողջ թվային գործակիցներով հավասարումների լուծում։

Ընդհանուր գործոնը փակագծերից հանելը

Դիտարկենք այն դեպքը, երբ ազատ անդամը հավասար է զրոյի, ապա բազմանդամի ձևը դառնում է P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ։ . . + a 1 x.

Կարելի է տեսնել, որ նման բազմանդամի արմատը հավասար կլինի x 1 \u003d 0, այնուհետև կարող եք բազմանդամը ներկայացնել P n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 + արտահայտության տեսքով: . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + ... + a 1)

Համարվում է, որ այս մեթոդը ընդհանուր գործոնը փակագծերից հանում է:

Օրինակ 5

Գործոնացնել երրորդ աստիճանի բազմանդամը 4 x 3 + 8 x 2 - x:

Լուծում

Մենք տեսնում ենք, որ x 1 \u003d 0 տրված բազմանդամի արմատն է, այնուհետև մենք կարող ենք x-ը փակել ամբողջ արտահայտությունից: Մենք ստանում ենք.

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Անցնենք քառակուսի եռանկյունի 4 x 2 + 8 x - 1 արմատները գտնելուն։ Գտնենք տարբերակիչն ու արմատները.

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Այնուհետեւ հետեւում է, որ

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Սկզբից եկեք դիտարկենք տարրալուծման մեթոդը, որը պարունակում է P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + ձևի ամբողջ թվային գործակիցներ: . . + a 1 x + a 0, որտեղ ամենաբարձր հզորության գործակիցը 1 է:

Երբ բազմանդամն ունի ամբողջ թվային արմատներ, ապա դրանք համարվում են ազատ անդամի բաժանարարներ։

Օրինակ 6

Ընդարձակեք f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 արտահայտությունը:

Լուծում

Մտածեք, թե արդյոք կան ամբողջ թվային արմատներ: Պետք է դուրս գրել 18 թվի բաժանարարները։ Մենք ստանում ենք, որ ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18: Հետևում է, որ այս բազմանդամն ունի ամբողջ թվային արմատներ։ Դուք կարող եք ստուգել Horner սխեմայի համաձայն: Այն շատ հարմար է և թույլ է տալիս արագորեն ստանալ բազմանդամի ընդլայնման գործակիցները.

Հետևում է, որ x \u003d 2 և x \u003d - 3 սկզբնական բազմանդամի արմատներն են, որոնք կարող են ներկայացվել որպես ձևի արտադրյալ.

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Մենք դիմում ենք x 2 + 2 x + 3 ձևի քառակուսի եռանդամի տարրալուծմանը:

Քանի որ դիսկրիմինանտը բացասական է, նշանակում է իրական արմատներ չկան։

Պատասխան. f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Մեկնաբանություն

Հորների սխեմայի փոխարեն թույլատրվում է օգտագործել արմատային ընտրություն և բազմանդամի բաժանում բազմանդամի վրա։ Եկեք դիտարկենք P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + ձևի ամբողջ թվային գործակիցներ պարունակող բազմանդամի ընդլայնումը: . . + a 1 x + a 0, որոնցից ամենաբարձրը հավասար չէ մեկի:

Այս դեպքը տեղի է ունենում կոտորակային ռացիոնալ կոտորակների համար:

Օրինակ 7

Գործոնացնել f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15:

Լուծում

Անհրաժեշտ է փոխել y = 2 x փոփոխականը, պետք է անցնել 1-ին հավասար գործակից ունեցող բազմանդամի ամենաբարձր աստիճանի։ Դուք պետք է սկսեք արտահայտությունը 4-ով բազմապատկելով: Մենք դա հասկանում ենք

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Երբ g (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ձևի ստացված ֆունկցիան ունի ամբողջ թվային արմատներ, ապա դրանց գտածոն ազատ անդամի բաժանարարների թվում է: Մուտքը կունենա հետևյալ տեսքը.

± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 10, ± 12, ± 15, ± 20, ± 30, ± 60

Անցնենք այս կետերում g (y) ֆունկցիայի հաշվարկին, որպեսզի արդյունքում ստանանք զրո։ Մենք դա հասկանում ենք

գ (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 գ (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 գ (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 գ (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 գ (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 գ (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 գ (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 գ (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 գ (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 գ (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

Մենք ստանում ենք, որ y \u003d - 5-ը y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ձևի հավասարման արմատն է, ինչը նշանակում է, որ x \u003d y 2 \u003d - 5 2 բնօրինակ ֆունկցիայի արմատն է:

Օրինակ 8

Անհրաժեշտ է բաժանել 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 սյունակով x + 5 2-ով:

Լուծում

Մենք գրում և ստանում ենք.

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Բաժանարարների ստուգումը շատ ժամանակ կխլի, ուստի ավելի շահավետ է վերցնել x 2 + 7 x + 3 ձևի ստացված քառակուսի եռանկյունի ֆակտորիզացիան: Հավասարեցնելով զրոյի՝ գտնում ենք դիսկրիմինատորը։

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Այստեղից հետևում է, որ

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Արհեստական ​​հնարքներ բազմանդամի ֆակտորինգի ժամանակ

Ռացիոնալ արմատները բնորոշ չեն բոլոր բազմանդամներին: Դա անելու համար դուք պետք է օգտագործեք հատուկ մեթոդներ՝ գործոններ գտնելու համար: Բայց ոչ բոլոր բազմանդամները կարող են քայքայվել կամ ներկայացվել որպես արտադրյալ:

Խմբավորման մեթոդ

Լինում են դեպքեր, երբ կարելի է բազմանդամի տերմինները խմբավորել՝ ընդհանուր գործակից գտնելու և փակագծերից հանելու համար։

Օրինակ 9

Գործոնավորե՛ք x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 բազմանդամը:

Լուծում

Քանի որ գործակիցները ամբողջ թվեր են, ուրեմն արմատները ենթադրաբար կարող են լինել նաև ամբողջ թվեր։ Ստուգելու համար մենք վերցնում ենք 1, - 1, 2 և - 2 արժեքները, որպեսզի հաշվարկենք բազմանդամի արժեքը այս կետերում: Մենք դա հասկանում ենք

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

Սա ցույց է տալիս, որ արմատներ չկան, անհրաժեշտ է օգտագործել տարրալուծման և լուծման այլ եղանակ:

Պահանջվում է խմբավորում.

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

Սկզբնական բազմանդամը խմբավորելուց հետո անհրաժեշտ է այն ներկայացնել որպես երկու քառակուսի եռանդամի արտադրյալ։ Դա անելու համար մենք պետք է ֆակտորիզացնենք: մենք դա ստանում ենք

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

Մեկնաբանություն

Խմբավորման պարզությունը չի նշանակում, որ տերմիններ ընտրելը բավական հեշտ է։ Այն լուծելու հստակ ճանապարհ չկա, հետևաբար անհրաժեշտ է օգտագործել հատուկ թեորեմներ և կանոններ։

Օրինակ 10

Գործոնավորե՛ք x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 բազմանդամը:

Լուծում

Տրված բազմանդամը չունի ամբողջ թվային արմատներ։ Պայմանները պետք է խմբավորվեն: Մենք դա հասկանում ենք

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

Ֆակտորինգից հետո մենք ստանում ենք դա

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Օգտագործելով կրճատ բազմապատկման և Նյուտոնի երկանդամների բանաձևերը՝ բազմանդամը ֆակտորիզացնելու համար

Արտաքին տեսքը հաճախ միշտ չէ, որ պարզ է դարձնում, թե որ ճանապարհն օգտագործել տարրալուծման ժամանակ: Փոխակերպումները կատարելուց հետո դուք կարող եք կառուցել Պասկալի եռանկյունից բաղկացած գիծ, ​​հակառակ դեպքում դրանք կոչվում են Նյուտոնի երկանդամ:

Օրինակ 11

Գործոնավորե՛ք x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 բազմանդամը:

Լուծում

Անհրաժեշտ է արտահայտությունը վերածել ձևի

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Փակագծերում նշված գումարի գործակիցների հաջորդականությունը նշվում է x + 1 4 արտահայտությամբ:

Այսպիսով, մենք ունենք x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3:

Քառակուսիների տարբերությունը կիրառելուց հետո ստանում ենք

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Դիտարկենք երկրորդ փակագծում գտնվող արտահայտությունը։ Հասկանալի է, որ այնտեղ ձիեր չկան, ուստի պետք է նորից կիրառել քառակուսիների տարբերության բանաձեւը։ Մենք ստանում ենք նման արտահայտություն

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Օրինակ 12

Factorize x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Լուծում

Փոխենք արտահայտությունը. Մենք դա հասկանում ենք

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Անհրաժեշտ է կիրառել խորանարդների տարբերության կրճատ բազմապատկման բանաձեւը. Մենք ստանում ենք.

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Բազմանդամի ֆակտորինգի ժամանակ փոփոխականը փոխարինելու մեթոդ

Փոփոխական փոխելիս աստիճանը կրճատվում է, իսկ բազմանդամը գործոնացվում է:

Օրինակ 13

Գործոնացնել x 6 + 5 x 3 + 6 ձևի բազմանդամը:

Լուծում

Պայմանով պարզ է, որ անհրաժեշտ է փոխարինել y = x 3: Մենք ստանում ենք.

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Ստացված քառակուսային հավասարման արմատներն են y = - 2 և y = - 3, ապա

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Անհրաժեշտ է կիրառել խորանարդների գումարի կրճատ բազմապատկման բանաձեւը. Մենք ստանում ենք ձևի արտահայտություններ.

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

Այսինքն՝ մենք ստացել ենք ցանկալի ընդլայնումը։

Վերևում քննարկված դեպքերը կօգնեն բազմանդամը տարբեր ձևերով դիտարկել և գործակցել:

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Այս դասում մենք կհիշենք բազմանդամի ֆակտորինգի բոլոր նախկինում ուսումնասիրված մեթոդները և կդիտարկենք դրանց կիրառման օրինակները, բացի այդ, մենք կուսումնասիրենք նոր մեթոդ՝ լրիվ քառակուսի մեթոդ և կսովորենք, թե ինչպես կիրառել այն տարբեր խնդիրներ լուծելիս:

Առարկա:Ֆակտորինգային բազմանդամներ

Դաս.Բազմանդամների գործոնացում. Ամբողջական քառակուսի ընտրության մեթոդ. Մեթոդների համադրություն

Հիշեք ավելի վաղ ուսումնասիրված բազմանդամի գործակցման հիմնական մեթոդները.

Փակագծերից ընդհանուր գործակից հանելու եղանակը, այսինքն՝ գործակիցը, որն առկա է բազմանդամի բոլոր անդամների մեջ։ Դիտարկենք մի օրինակ.

Հիշեցնենք, որ միանդամը հզորությունների և թվերի արտադրյալ է: Մեր օրինակում երկու անդամներն էլ ունեն որոշ ընդհանուր, նույնական տարրեր:

Այսպիսով, փակագծերից հանենք ընդհանուր գործոնը.

;

Հիշեցնենք, որ տրված բազմապատկիչը փակագծով բազմապատկելով՝ կարող եք ստուգել մատուցման ճիշտությունը։

խմբավորման մեթոդ. Միշտ չէ, որ հնարավոր է բազմանդամում ընդհանուր գործակից հանել: Այս դեպքում դուք պետք է նրա անդամներին բաժանեք խմբերի այնպես, որ յուրաքանչյուր խմբում կարողանաք հանել ընդհանուր գործոնը և փորձել բաժանել այն, որպեսզի խմբերում գործոնները հանելուց հետո հայտնվի ընդհանուր գործոն: ամբողջ արտահայտությունը, և ընդլայնումը կարող էր շարունակվել: Դիտարկենք մի օրինակ.

Առաջին կիսամյակը խմբավորել համապատասխանաբար չորրորդ, երկրորդը՝ հինգերորդ, իսկ երրորդը՝ վեցերորդ.

Դուրս բերենք խմբերի ընդհանուր գործոնները.

Արտահայտությունն ունի ընդհանուր գործոն. Եկեք հանենք այն.

Համառոտ բազմապատկման բանաձևերի կիրառում. Դիտարկենք մի օրինակ.

;

Մանրամասն գրենք արտահայտությունը.

Ակնհայտ է, որ մենք ունենք տարբերության քառակուսու բանաձևը, քանի որ կա երկու արտահայտությունների քառակուսիների գումար, և դրանց կրկնակի արտադրյալը հանվում է դրանից: Եկեք գլորենք բանաձևով.

Այսօր մենք կսովորենք մեկ այլ եղանակ՝ լրիվ քառակուսի ընտրության մեթոդը: Այն հիմնված է գումարի քառակուսու և տարբերության քառակուսու բանաձևերի վրա: Հիշեք դրանք.

Գումարի քառակուսու բանաձևը (տարբերությունը);

Այս բանաձեւերի առանձնահատկությունն այն է, որ դրանք պարունակում են երկու արտահայտությունների քառակուսիներ և դրանց կրկնակի արտադրյալ։ Դիտարկենք մի օրինակ.

Գրենք արտահայտությունը.

Այսպիսով, առաջին արտահայտությունն է, իսկ երկրորդը:

Գումարի կամ տարբերության քառակուսու բանաձև կազմելու համար արտահայտությունների կրկնակի արտադրյալը բավարար չէ։ Այն պետք է գումարել և հանել.

Փլուզենք գումարի լրիվ քառակուսին.

Եկեք փոխակերպենք ստացված արտահայտությունը.

Մենք կիրառում ենք քառակուսիների տարբերության բանաձևը, հիշեցնում ենք, որ երկու արտահայտությունների քառակուսիների տարբերությունը արտադրյալն է և գումարները դրանց տարբերությամբ.

Այսպիսով, այս մեթոդը առաջին հերթին բաղկացած է նրանից, որ անհրաժեշտ է նույնականացնել a և b արտահայտությունները, որոնք քառակուսի են, այսինքն՝ որոշել, թե այս օրինակում որ արտահայտություններն են քառակուսի։ Դրանից հետո դուք պետք է ստուգեք կրկնակի արտադրյալի առկայությունը, և եթե այն չկա, ապա գումարեք և հանեք այն, դա չի փոխի օրինակի իմաստը, բայց բազմանդամը կարող է գործոնավորվել՝ օգտագործելով քառակուսու բանաձևերը: հնարավորության դեպքում քառակուսիների գումարը կամ տարբերությունը և տարբերությունը:

Անցնենք օրինակների լուծմանը։

Օրինակ 1 - ֆակտորիզացնել.

Գտեք քառակուսի արտահայտություններ.

Եկեք գրենք, թե որն է նրանց կրկնակի արտադրյալը.

Եկեք գումարենք և հանենք կրկնակի արտադրյալը.

Փլուզենք գումարի լրիվ քառակուսին և տանք նմանատիպերը.

Քառակուսիների տարբերության բանաձևով կգրենք.

Օրինակ 2 - լուծել հավասարումը.

;

Հավասարման ձախ կողմում կա եռանկյուն: Պետք է հաշվի առնել այն: Մենք օգտագործում ենք տարբերության քառակուսու բանաձևը.

Ունենք առաջին արտահայտության քառակուսին և կրկնակի արտադրյալը, երկրորդ արտահայտության քառակուսին բացակայում է, գումարենք և հանենք.

Եկեք փլուզենք ամբողջ քառակուսին և տանք նման պայմաններ.

Եկեք կիրառենք քառակուսիների տարբերության բանաձևը.

Այսպիսով, մենք ունենք հավասարումը

Մենք գիտենք, որ արտադրյալը հավասար է զրոյի միայն այն դեպքում, եթե գործոններից գոնե մեկը հավասար է զրոյի։ Դրա հիման վրա մենք կգրենք հավասարումներ.

Լուծենք առաջին հավասարումը.

Լուծենք երկրորդ հավասարումը.

Պատասխան՝ կամ

;

Մենք գործում ենք նախորդ օրինակի նման՝ ընտրեք տարբերության քառակուսին: