Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Малий кут атаки - [А.С.Гольдберг. Англо-російський енергетичний словник. 2006 р.] Тематики енергетика загалом Синоніми малий кут атаки EN negative incidencelow incidence …

негативний кут різання- — Тематики нафтогазова промисловість EN negative cutting anglenegative cutting anglenegative rake … Довідник технічного перекладача

негативний кут скосу верхньої поверхні щітки- [ГОСТ 21888 82 (МЕК 276 68, МЕК 560 77)] Тематики машини електричні, що обертаються в цілому … Довідник технічного перекладача

кут установки крила Енциклопедія «Авіація»

кут установки крила- Кут установки крила. кут установки крила кут φ0 між центральною хордою крила та базовою віссю літака (див. рис.). Залежно від аеродинамічного компонування літака цей кут може бути як позитивним, і негативним. Зазвичай … Енциклопедія «Авіація»

Кут установки крила- Кут (φ)0 між центральною хордою крила і базовою віссю літака. Залежно від аеродинамічного компонування літака цей кут може бути як позитивним, і негативним. Зазвичай він знаходиться в межах від -2 (°) до +3 (°). Кут (φ)0… … Енциклопедія техніки

КУТ ЗНИЖЕННЯ- (Depressed angle) кут, утворений лінією піднесення (див.) з горизонтом, коли перша проходить нижче за горизонт, тобто негативний кут піднесення. Самойлов К. І. Морський словник. М. Л.: Державне Військово-морське Видавництво НКВМФ Союзу… … Морський словник

КУТ ОПТИЧНИХ ОСЕЙ- Гострий кут між опт. осями в двовісних до лах. У. о. о. називають позитивним, коли гострою бісектрисою є Ng і негативним, коли гострою бісектрисою є Np (див. Кристал оптично двовісний). Істинний У. о. о. позначається ... Геологічна енциклопедія

Кастор (кут)- Цей термін має й інші значення, див. Кастор. θ кастор, червона лінія вісь повороту колеса. На малюнку кастор позитивний (кут відраховується за годинниковою стрілкою, перед автомобілем знаходиться ліворуч).

Кастор (Кут нахилу осі повороту)- θ кастор, червона лінія вісь повороту колеса. На малюнку кастор позитивний (кут відраховується за годинниковою стрілкою, перед автомобілем знаходиться зліва) Кастор (англ. caster) кут поздовжнього нахилу осі повороту колеса автомобіля. Кастор… … Вікіпедія

передній кут- 3.2.9 передній кут: Кут між передньою поверхнею та основною площиною (див. рис. 5). 1 негативний передній кут; 2 позитивний передній кут Рисунок 5 Передні кути

У тригонометрії важливим поняттям є кут повороту. Нижче ми будемо послідовно давати уявлення про поворот, і вводити всі супутні поняття. Почнемо із загального уявлення про поворот, скажімо про повний обіг. Далі перейдемо до поняття кута повороту та розглянемо його основні характеристики, такі як напрямок та величина повороту. Нарешті дамо визначення повороту фігури навколо точки. Всю теорію за текстом постачатимемо пояснювальними прикладами та графічними ілюстраціями.

Навігація на сторінці.

Що називають поворотом точки навколо точки?

Відразу зазначимо, що поряд із фразою «поворот навколо точки» будемо також використовувати словосполучення «поворот біля точки» та «поворот щодо точки», що означає одне й те саме.

Введемо поняття повороту точки навколо точки.

Спочатку дамо визначення центру повороту.

Визначення.

Точку, щодо якої здійснюється поворот, називають центром повороту.

Тепер скажемо, що виходить внаслідок повороту точки.

В результаті повороту деякої точки A щодо центру повороту O виходить точка A 1 (яка у разі деякої кількості може збігатися з A), причому точка A 1 лежить на колі з центром у точці O радіуса OA. Іншими словами, при повороті щодо точки O точка A переходить у точку A 1 , що лежить на колі з центром у точці O радіуса OA .

Вважають, що точка O при повороті навколо самої себе перетворюється на саму себе. Тобто, внаслідок повороту навколо центру повороту O точка O перетворюється на саму себе.

Також варто зазначити, що поворот точки А навколо точки O варто розглядати як переміщення в результаті руху точки А по колу з центром у точці радіусу O OA .

Для наочності наведемо ілюстрації повороту точки А навколо точки O на рисунках, розташованих нижче, переміщення точки А в точку А 1 покажемо за допомогою стрілки.

Повний оборот

Можна виконати такий поворот точки A щодо центру повороту O , що точка А пройшовши всі точки кола, опиниться на колишньому місці. При цьому кажуть, що точка А здійснила довкола точки O .

Дамо графічну ілюстрацію повного обігу.

Якщо ж не зупинятися на одному обороті, а продовжувати рух точки по колу, то можна виконати два, три тощо повних оборотів. На кресленні нижче праворуч показано, як можуть бути зроблені два повні обороти, а зліва - три обороти.

Поняття кута повороту

З введеного в першому пункті поняття повороту точки зрозуміло, що існує безліч варіантів повороту точки А навколо точки O . Дійсно, будь-яку точку кола з центром у точці O радіуса OA можна розглядати як точку A 1 отриману в результаті повороту точки А . Тому, щоб відрізняти один поворот від іншого, вводиться поняття кута повороту.

Однією з характеристик кута повороту є напрямок повороту. У напрямку повороту судять про те, як здійснюється поворот точки – за годинниковою стрілкою або проти годинникової стрілки.

Іншою характеристикою кута повороту є його величина. Кути повороту вимірюються в тих же одиницях, що і найбільш поширені градуси і радіани. Тут варто зауважити, що кут повороту може виражатися в градусах будь-яким дійсним числом із проміжку від мінус нескінченності до плюс нескінченності, на відміну від кута в геометрії, величина якого в градусах позитивна і не перевищує 180 .

Для позначення кутів повороту зазвичай використовуються малі літери грецького алфавіту: і т.д. Для позначення великої кількості кутів повороту часто застосовують одну літеру з нижніми індексами, наприклад, .

Тепер поговоримо про характеристики кута повороту докладніше та по порядку.

Напрямок повороту

Нехай на колі з центром у точці O відмічені точки A та A 1 . У точку А 1 можна потрапити з точки A , виконавши поворот навколо центру O або за годинниковою стрілкою або проти годинникової стрілки. Ці повороти логічно вважати різними.

Проілюструємо повороти у позитивному та негативному напрямку. На кресленні нижче зліва показаний поворот у позитивному напрямі, а праворуч – у негативному.

Розмір кута повороту, кут довільної величини

Кут повороту точки, відмінної від центру повороту, повністю визначається зазначенням його величини, з іншого боку, за величиною кута повороту можна будувати висновки про тому, як цей поворот було здійснено.

Як ми згадували вище, величина кута повороту в градусах виражається числом від −∞ до +∞ . При цьому знак плюс відповідає повороту за годинниковою стрілкою, а знак мінус – поворотом проти годинникової стрілки.

Тепер залишилося встановити відповідність між величиною кута повороту та тим, якому повороту вона відповідає.

Почнемо з кута повороту, що дорівнює нулю градусам. Цьому куту повороту відповідає рух точки А в себе. Іншими словами, при повороті на 0 градусів довкола точки O точка А залишається на місці.

Переходимо до повороту точки А навколо точки O при якому поворот відбувається в межах половини обороту. Вважатимемо, що точка А перетворюється на точку А 1 . І тут абсолютна величина кута AOA 1 градусах вбирається у 180 . Якщо поворот відбувався в позитивному напрямку, то величина кута повороту вважається рівною величині кута AOA 1 а якщо поворот відбувався в негативному напрямку, то його величина вважається рівною величині кута АОА 1 зі знаком мінус. Наприклад наведемо малюнок, що показує кути повороту в 30, 180 і −150 градусів.

Кути повороту більші 180 градусів і менші −180 градусів визначаються на основі наступного досить очевидного властивості послідовних поворотів: кілька послідовних поворотів точки A навколо центру O дорівнює одному повороту, величина якого дорівнює сумі величин цих поворотів.

Наведемо приклад, що ілюструє цю властивість. Виконаємо поворот точки А щодо точки O на 45 градусів, а потім повернемо цю точку на 60 градусів, після чого повернемо цю точку на −35 градусів. Позначимо проміжні точки при таких поворотах як A1, A2 і A3. У цю точку А 3 ми могли потрапити, виконавши один поворот точки A на кут 45+60+(−35)=70 градусів.

Отже, кути повороту, більші за 180 градусів, ми будемо представляти як кілька послідовних поворотів на кути, сума величин яких дає величину вихідного кута повороту. Наприклад, кут повороту 279 градусів відповідає послідовним поворотам на 180 і 99 градусів, або на 90, 90, 90 і 9 градусів, або на 180, 180 і -81 градус, або на 279 послідовних поворотів по 1 градусу.

Аналогічно визначаються кути повороту, менші −180 градусів. Наприклад, кут повороту -520 градусів можна інтерпретувати як послідовні повороти точки на -180, -180 і -160 градусів.

Підведемо підсумок. Ми визначили кут повороту, величина якого у градусах виражається деяким дійсним числом із проміжку від −∞ до +∞ . У тригонометрії ми будемо працювати саме з кутами повороту, хоча слово "поворот" часто опускають, і кажуть просто "кут". Таким чином, у тригонометрії ми будемо працювати з кутами довільної величини, під якими розумітимемо кути повороту.

На закінчення цього пункту зазначимо, що повний оборот у позитивному напрямку відповідає куту повороту в 360 градусів (або 2 π радіанів), а в негативному - куті повороту в −360 градусів (або 2 π радий). При цьому зручно великі кути повороту представляти як кілька повних оборотів і ще один поворот на кут величиною від −180 до 180 градусів. Наприклад візьмемо кут повороту 1 340 градусів. Нескладно 1340 уявити як 360 · 4 + (-100) . Тобто, вихідному куту повороту відповідають 4 повні обороти в позитивному напрямку і наступний поворот на −100 градусів. Інший приклад: кут повороту −745 градусів можна інтерпретувати як два обороти проти годинникової стрілки та наступний поворот на −25 градусів, оскільки −745=(−360)·2+(−25) .

Поворот фігури навколо точки на кут

Поняття повороту точки легко розширюється на поворот будь-якої фігури навколо точки на кут(Йдеться про такий поворот, що і точка, щодо якої здійснюється поворот, і фігура, яку повертають, лежать в одній площині).

Під поворотом фігури розумітимемо поворот всіх точок фігури навколо заданої точки на даний кут.

Як приклад наведемо ілюстрацію наступному дії: виконаємо поворот відрізка AB на кут щодо точки O це відрізок при повороті перейде у відрізок A 1 B 1 .

Список літератури.

• Алгебра:Навч. для 9 кл. середовищ. шк./Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова; За ред. С. А. Теляковського.- М.: Просвітництво, 1990.- 272 с.: іл.- isbn 5-09-002727-7
• Башмаков М. І.Алгебра та початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. середовищ. шк. - 3-тє вид. - М: Просвітництво, 1993. - 351 с.: іл. - ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебрата початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин та ін; За ред. А. Н. Колмогорова. - 14-те вид. - М.: Просвітництво, 2004. - 384 с.: Іл. - ISBN 5-09-013651-3.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.

Пара різних променів Оа і Оb, що виходять з однієї точки, називається кутом і позначається символом (а, b). Точка О називається вершиною кута, а промені Оа u Оb - сторонами кута. Якщо А і В – дві точки променів Оа та Оb, то (а, b) позначається також символом АОВ (рис. 1.1).

Кут (а, Ь) називають розгорнутим, якщо промені Оа і Ob, що виходять з однієї точки, лежать на одній прямій і не збігаються (тобто протилежно спрямовані).

Рис.1.1

Два кути вважаються рівними, якщо один кут можна накласти на інший так, щоб сторони кутів збігалися. Бісектрисою кута називається промінь з початком у вершині кута, що ділить кут на два рівні кути.

Говорять, що промінь ОС, що виходить із вершини кута АОВ, лежить між його сторонами, якщо він перетинає відрізок АВ (рис. 1.2). Говорять, що точка С лежить між сторонами кута, якщо через цю точку можна провести промінь з початком у вершині кута, що лежить між сторонами кута. Безліч точок площини, що лежать між сторонами кута, утворює внутрішню область кута (рис. 1.3). Безліч точок площини, що не належать внутрішній області та сторонам кута, утворює зовнішню область кута.

Кут (а, b) вважають більше кута (c, d), якщо кут (с, d) можна накласти на кут (а, b) так, що після поєднання однієї пари сторін друга сторона кута (с, d) лежатиме між сторонами кута (а, b). На рис. 1.4 АОВ більше за АОС.

Нехай промінь лежить між сторонами кута (а, b) (рис. 1.5). Пари променів а, с і с, b утворюють два кути. Про вугілля (а, b) говорять, що він є сумою двох кутів (а, с) та (с, b), і пишуть: (а, b) = (а, с) + (с, b).

Рис.1.3

Зазвичай у геометрії мають справу з кутами, меншими від розгорнутого. Однак в результаті складання двох кутів може вийти кут, більший за розгорнутий. В цьому випадку ту частину площини, яка вважається внутрішньою областю кута, відзначають дугою. На рис. 1.6 внутрішня частина кута АОВ, отриманого в результаті складання кутів АОС та СОВ та більшого розгорнутого, відзначена дугою.

Рис.1.5

Існують також кути великі 360 °. Такі кути утворюються, наприклад, обертанням пропелера літака, обертанням барабана, на який намотується канат, і т.д.

Надалі при розгляді кожного кута умовимося вважати одну із сторін цього кута його початковою стороною, а іншу - кінцевою стороною.

Будь-який кут, наприклад, кут АОВ (рис. 1.7), можна отримати в результаті обертання рухомого променя навколо вершини О від початкової сторони кута (ОА) до його кінцевої сторони (ОВ). Ми вимірюватимемо цей кут, враховуючи повну кількість оборотів, зроблених при цьому навколо точки О, а також напрямок, в якому відбувалося обертання.

Позитивні та негативні кути.

Нехай ми маємо кут, утворений променями ОА та ВВ (рис.1.8). Рухомий промінь, обертаючись навколо точки Від свого початкового положення (ОА), може зайняти кінцеве положення (ОВ) при двох різних напрямках обертання. Ці напрями показані малюнку 1.8 відповідними стрілками.

Рис.1.7

Подібно до того, як на числовій осі один з двох напрямків вважається позитивним, а інший негативним, розрізняють і два різні напрямки обертання рухомого променя. Умовилися вважати позитивним напрямом обертання той напрямок, який протилежний напряму обертання годинникової стрілки. Напрямок обертання, що збігається із напрямком обертання годинникової стрілки, вважається негативним.

Відповідно до цих визначень кути також поділяються на позитивні та негативні.

Позитивним кутом називається кут, утворений обертанням рухомого променя навколо початкової точки у позитивному напрямку.

На малюнку 1.9 дано деякі позитивні кути. (Напрямок обертання рухомого променя показано на кресленнях стрілками.)

Негативним кутом називається кут, утворений обертанням рухомого променя навколо початкової точки у негативному напрямку.

На малюнку 1.10 зображено деякі негативні кути. (Напрямок обертання рухомого променя показано на кресленнях стрілками.)

Але два збігаються променя можуть утворити і кути +360°п і -360°п (п = 0,1,2,3,...). Позначимо через байт найменший можливий невід'ємний кут повороту, що переводить промінь ОА в положення ВВ. Якщо тепер промінь ВВ зробить додатково повний оборот навколо точки, то отримаємо іншу величину кута, а саме: АВО = б + 360 °.

Вимірювання кутів дугами кола. Одиниці виміру дуг та кутів

У ряді випадків виявляється зручним вимірювати кути за допомогою дуг кола. Можливість такого виміру основа на відомому реченні планиметрії у тому, що у одному колі (чи рівних колах) центральні кути і відповідні їм дуги перебувають у прямої пропорційної залежності.

Нехай деяка дуга цього кола прийнята за одиницю виміру дуг. Відповідний цій дузі центральний кут приймемо за одиницю виміру кутів. За такої умови будь-яка дуга кола та відповідний цій дузі центральний кут будуть містити те саме число одиниць вимірювання. Тому, вимірюючи дуги кола, можна визначати і величину відповідних цих дуг центральних кутів.

Розглянемо дві найпоширеніші системи вимірювання дуг та кутів.

Градусний замір вимірювання кутів

При градусному вимірі кутів як основна одиниця виміру кутів (еталонного кута, з яким порівнюються різні кути) береться кут в один градус (позначається 1?). Кут в один градус - це кут, що дорівнює 1/180 частини розгорнутого кута. Кут, що дорівнює 1/60 частини кута в 1°, - це кут в одну хвилину (позначається 1"). Кут, що дорівнює 1/60 частини кута в одну хвилину, - це кут в одну секунду (позначається 1").

Радіанний замір вимірювання кутів

Поряд із градусною мірою вимірювання кутів у геометрії та тригонометрії використовується й інша міра вимірювання кутів, яка називається радіанною. Розглянемо коло радіусу R з центром О. Проведемо два радіуси О А і ОВ так, щоб довжина дуги АВ дорівнювала радіусу кола (рис. 1.12). Центральний кут АОВ, що вийшов при цьому, буде кутом в один радіан. Кут 1 радіан приймається за одиницю вимірювання радіанної міри вимірювання кутів. При радіанному вимірі кутів розгорнутий кут дорівнює р радіан.

Градусна та радіанна одиниці виміру кутів пов'язані рівностями:

1 радіан = 180? / р57 ° 17 "45"; 1?=р/180 радіана0,017453радіана;

1"=р/180 * 60 радіана0,000291 радіана;

1""=р/180*60*60 радіана0,000005 радіана.

Градусну (або радіанну) міру кута також називають величиною кута. Величину кута АОВ іноді позначають /

Класифікація кутів

Кут, рівний 90°, або радіанною мірою р/2, називається прямим кутом; його часто позначають літерою d. Кут, менший за 90°, називається гострим; кут, більший за 90°, але менший за 180°, називається тупим.

Два кути, що мають одну загальну сторону і в сумі 180°, називаються суміжними кутами. Два кути, що мають одну загальну сторону і в сумі 90°, називаються додатковими кутами.

Кут: ° π rad =

Перетворити на: радіани градуси 0 - 360° 0 - 2π позитивне негативне Обчислювати

Коли прямі перетинаються, виходить чотири різні області по відношенню до точки перетину.
Ці нові області називають кутами.

На картинці видно 4 різних кута, утворених перетином прямих AB і CD

Зазвичай кути вимірюються у градусах, що позначається як °. Коли об'єкт здійснює повне коло, тобто рухається з точки D через B, C, A, а потім назад до D, то кажуть, що він повернувся на 360 градусів (360 °). Таким чином, градус - це $\frac(1)(360)$ кола.

Кути понад 360 градусів

Ми говорили про те, що коли об'єкт робить повне коло навколо точки, він проходить 360°, проте, коли об'єкт робить більше одного кола, він робить кут понад 360 градусів. Це звичайне явище у повсякденному житті. Колесо проходить багато кіл, коли автомобіль рухається, тобто воно утворює кут більше 360 °.

Для того, щоб дізнатися кількість циклів (пройдених кіл) при обертанні об'єкта, ми вважаємо кількість разів, яку потрібно додати 360 до самого себе, щоб отримати число, що дорівнює або менше, ніж даний кут. Так само ми знаходимо число, яке ми множимо на 360, щоб отримати число менше, але найближче до цього куту.

Приклад 2
1. Знайти кількість кіл, описаних об'єктом, що утворює кут
a) 380°
b) 770 °
c) 1000 °
Рішення
a) 380 = (1 × 360) + 20
Об'єкт описав одне коло та 20°
Оскільки $20^(\circ) = \frac(20)(360) = \frac(1)(18)$ кола
Об'єкт описав $1\frac(1)(18)$ кіл.

B) 2 × 360 = 720
770 = (2 × 360) + 50
Об'єкт описав два кола та 50°
$50^(\circ) = \frac(50)(360) = \frac(5)(36)$ кола
Об'єкт описав $2\frac(5)(36)$ кола
c) 2 × 360 = 720
1000 = (2 × 360) + 280
$280^(\circ) = \frac(260)(360) = \frac(7)(9)$ кіл
Об'єкт описав $2\frac(7)(9)$ кіл

Коли об'єкт обертається за годинниковою стрілкою, він утворює негативний кут обертання, а коли обертається проти годинникової стрілки - позитивний кут. До цього моменту ми розглядали лише позитивні кути.

У формі діаграми негативний кут може бути зображений так, як показано нижче.

Малюнок нижче показує знак кута, який вимірюється від загальної прямої, 0 осі (осі абсцис - х осі)

Це означає, що за наявності негативного кута ми можемо отримати відповідний йому позитивний кут.
Наприклад, нижня частина вертикальної прямої це 270 °. Коли вимірюється в негативний бік, отримаємо -90°. Ми просто віднімаємо 270 з 360. Маючи негативний кут, ми додаємо 360, щоб отримати відповідний позитивний кут.
Коли кут дорівнює -360 °, це означає, що об'єкт здійснив більше одного кола за годинниковою стрілкою.

Приклад 3
1. Знайти відповідний позитивний кут
a) -35°
b) -60 °
c) -180 °
d) - 670 °

2. Знайти відповідний негативний кут 80 °, 167 °, 330 ° і 1300 °.
Рішення
1. Для того, щоб знайти відповідний позитивний кут, ми додаємо 360 до значення кута.
a) -35 ° = 360 + (-35) = 360 - 35 = 325 °
b) -60 ° = 360 + (-60) = 360 - 60 = 300 °
c) -180 ° = 360 + (-180) = 360 - 180 = 180 °
d) -670 ° = 360 + (-670) = -310
Це означає одне коло за годинниковою стрілкою (360)
360 + (-310) = 50 °
Кут дорівнює 360 + 50 = 410 °

2. Для того, щоб отримати відповідний негативний кут, ми віднімаємо 360 від значення кута.
80 ° = 80 - 360 = - 280 °
167 ° = 167 - 360 = -193 °
330 ° = 330 - 360 = -30 °
1300 ° = 1300 - 360 = 940 (пройдено одне коло)
940 - 360 = 580 (пройдено друге коло)
580 - 360 = 220 (пройдено третє коло)
220 - 360 = -140 °
Кут дорівнює -360 - 360 - 360 - 140 = -1220 °
Таким чином 1300 ° = -1220 °

Радіан

Радіан - це кут із центру кола, в який укладена дуга, довжина якої дорівнює радіусу даного кола. Це одиниця виміру кутової величини. Такий кут приблизно дорівнює 57.3 °.
У більшості випадків, це позначається як радий.
Таким чином $1 радий \approx 57.3^(\circ)$

Радіус = r = OA = OB = AB
Кут BOA дорівнює одному радіану

Оскільки довжина кола задається як $2pi r$, то в колі $2pi радіусів, а значить в цілому колі $2pi радіан.

Радіани зазвичай виражаються через $\pi$ щоб уникнути десяткових частин у обчисленнях. У більшості книг, абревіатура радий (rad)не зустрічається, але читач повинен знати, що, коли йдеться про вугілля, він заданий через $\pi$, а одиницями виміру автоматично стають радіани.

$360^(\circ) = 2\pi\ rad$
$180^(\circ) = \pi\ rad$,
$90^(\circ) = \frac(\pi)(2) rad$,
$30^(\circ) = \frac(30)(180)\pi = \frac(\pi)(6) rad$,
$45^(\circ) = \frac(45)(180)\pi = \frac(\pi)(4) rad$,
$60^(\circ) = \frac(60)(180)\pi = \frac(\pi)(3) rad$
$270^(\circ) = \frac(270)(180)\pi = \frac(27)(18)\pi = 1\frac(1)(2)\pi\ rad$

Приклад 4
1. Перетворити 240 °, 45 °, 270 °, 750 ° і 390 ° в радіани через $ \ pi $.
Рішення
Помножимо кути на $\frac(\pi)(180)$.
$240^(\circ) = 240 \times \frac(\pi)(180) = \frac(4)(3)\pi=1\frac(1)(3)\pi$
$120^(\circ) = 120 \times \frac(\pi)(180) = \frac(2\pi)(3)$
$270^(\circ) = 270 \times \frac(1)(180)\pi = \frac(3)(2)\pi=1\frac(1)(2)\pi$
$750^(\circ) = 750 \times \frac(1)(180)\pi = \frac(25)(6)\pi=4\frac(1)(6)\pi$
$390^(\circ) = 390 \times \frac(1)(180)\pi = \frac(13)(6)\pi=2\frac(1)(6)\pi$

2. Перетворити такі кути на градуси.
a) $\frac(5)(4)\pi$
b) $3.12\pi$
c) 2.4 радіан
Рішення
$180^(\circ) = \pi$
a) $\frac(5)(4) \pi = \frac(5)(4) \times 180 = 225^(\circ)$
b) $3.12\pi = 3.12 \times 180 = 561.6^(\circ)$
c) 1 рад = 57.3°
$2.4 = \frac(2.4 \times 57.3)(1) = 137.52$

Від'ємні кути і кути більше, ніж $2\pi$ радіан

Для того щоб перетворити негативний кут на позитивний, ми складаємо його з $2\pi$.
Щоб перетворити позитивний кут на негативний, ми віднімаємо з нього $2\pi$.

Приклад 5
1. Перетворити $-\frac(3)(4)\pi$ і $-\frac(5)(7)\pi$ на позитивні кути в радіанах.

Рішення
Додаємо до кута $2\pi$
$-\frac(3)(4)\pi = -frac(3)(4)pi + 2pi = frac(5)(4)pi = 1frac(1)(4)\ pi$

$-\frac(5)(7)\pi = -frac(5)(7)pi + 2pi = frac(9)(7)pi = 1frac(2)(7)\ pi$

Коли об'єкт обертається на кут більший, ніж $2\pi$;, він робить більше одного кола.
Для того, щоб визначити кількість оборотів (кіл або циклів) в такому вугіллі, ми знаходимо таке число, множачи яке на $2\pi$, результат дорівнює або менше, але якомога ближче до даного числа.

Приклад 6
1. Знайти кількість кіл пройдених об'єктом при даних кутах
a) $-10\pi$
b) $9\pi$
c) $\frac(7)(2)\pi$

Рішення
a) $-10pi = 5(-2pi)$;
$-2\pi$ має на увазі один цикл у напрямку за годинниковою стрілкою, то це означає, що
об'єкт зробив 5 циклів за годинниковою стрілкою.

b) $9\pi = 4(2\pi) + \pi$, $\pi =$ пів циклу
об'єкт зробив чотири з половиною цикли проти годинникової стрілки

c) $\frac(7)(2)\pi=3.5\pi=2\pi+1.5\pi$, $1.5\pi$ дорівнює три чверті циклу $(\frac(1.5\pi)(2\pi)= \frac(3)(4))$
об'єкт пройшов один і три чверті циклу проти годинникової стрілки