§1. Ц ентр тяжкості однорідного тіла.

Розглянемо тверде тіло вагою Pта обсягом Vу системі координат Oxyzде осі xі yпов'язані з поверхнею землі, а вісь zнаправлена ​​в зеніт.

Якщо розбити тіло на елементарні частини об'ємом∆ V i , то на кожну його частину діятиме сила тяжіння∆ P iнаправлена ​​до центру Землі. Припустимо, що розміри тіла значно менші за розміри Землі, тоді систему сил, прикладених до елементарних частин тіла можна вважати не схожою, а паралельною (рис.1), і до неї застосовні всі висновки попереднього розділу.

Рис.1.Паралельна система сил

Центром тяжкості твердого тіланазивається центр паралельних сил важкості елементарних частин цього тіла.

При визначенні центру важкості корисні кілька теорем.

1) Якщо однорідне тіло має площину симетрії, то центр тяжкості його знаходиться у цій

площині.

2) Якщо однорідне тіло має вісь симетрії, центр тяжкості тіла знаходиться на цій осі.

3) Якщо однорідне тіло має центр симетрії, центр тяжкості тіла знаходиться в цій точці.

§2. Способи визначення координат центру важкості.

1. Симетрія.Якщо однорідне тіло має площину, вісь чи центр симетрії (рис.2), його центр ваги лежить відповідно у площині симетрії, осі симетрії чи центрі симетрії.

Рис.2.Центр тяжкості тіл, що мають вісь симетрії

2. Розбиття.Тіло розбивається на кінцеве число частин (рис.3), кожної з яких становище центру тяжкості і площа відомі.

Рис.3.Центр тяжкості суцільний

складної геометричної фігури

Центр тяжкості та площа першої фігури;

Координата центру тяжкості суцільної складної геометричної фігури по осі x;

Координата центру тяжкості суцільної складної геометричної фігури по осіy;

3. Метод негативних площ.Окремий випадок способу розбиття (рис.4). Він застосовується до тіл, що мають вирізи, якщо центри ваги тіла без вирізу та вирізаної частини відомі. Тіло у вигляді пластинки з вирізом є комбінацією суцільної пластинки (без вирізу) з площею S 1 та площі вирізаної частини S 2 .

Рис.4.Центр ваги складної геометричної фігури,

Має отвір

- центр ваги та площа першої фігури;

- центр ваги та площа другої фігури;

x;

Координата центру важкості складної геометричної фігури по осіy;

§3.Координати центру важкості деяких простих фігур.

1. Центр тяжкості трикутника.Центр тяжкості трикутника лежить у точці перетину його медіан(рис.5). До оординати центру тяжкості трикутника є середнім арифметичним з координат його вершин:x c =1/3 (x 1 +x 2 +x 3) ; y c =1/3 (y 1 + y 2 + y 3).

Рис.5.Центр тяжкості трикутника

2. Центр тяжкості прямокутника.Центр тяжкості прямокутника лежить у точці перетину його діагоналей(Рис.6) . До оординати центру тяжкості прямокутника розраховуються за формулами:x c =b/2 ; y c = h/2.

Мал. 6. Центр тяжкості трикутника

3. Центр тяжкості півкола.Центр ваги півкола лежить на осі симетрії(рис.7). До оординати центру ваги півкола розраховуються за формулами:x c =D/2 ; y c =4R/3 π.

Мал. 7.Центр ваги півкола

4. Центр тяжкості кола.Центр тяжкості кола лежить у центрі(Рис.8) . До оординати центру тяжкості кола розраховуються за формулами:x c =R ; y c =R.

Мал. 8.Центр тяжкості кола

Запитання для самоперевірки:

Що називається центром паралельних сил?

Що називається центром тяжкості тіла?

Чому сили тяжіння Землі, які діють точку тіла, можна прийняти систему паралельних сил?

Запишіть формулу визначення положення центру тяжкості неоднорідних і однорідних тіл, формулу визначення положення центру тяжкості плоских перерізів?

Запишіть формулу для визначення положення центру ваги простих геометричних фігур: прямокутника, квадрата, трапеції та половини кола?

Як використовуються властивості симетрії щодо центрів тяжкості тіл?

У чому полягає суть способу негативних площ?

Якою графічною побудовою можна знайти центр тяжіння трикутника?

Запишіть формулу, яка визначає центр тяжіння трикутника.

Намалюйте схему системи та позначте на ній центр тяжіння.Якщо знайдений центр ваги знаходиться поза системою об'єктів, ви отримали неправильну відповідь. Можливо, ви виміряли відстань від різних точок відліку. Повторіть виміри.

• Наприклад, якщо на гойдалках сидять діти, центр ваги буде десь між дітьми, а не праворуч чи ліворуч від гойдалок. Також центр ваги ніколи не збігатиметься з точкою, де сидить дитина.
• Ці міркування вірні у двовимірному просторі. Намалюйте квадрат, де помістяться всі об'єкти системи. Центр тяжкості повинен знаходитись усередині цього квадрата.

Перевірте математичні обчислення, якщо ви отримали невеликий результат.Якщо точка відліку знаходиться на одному кінці системи, маленький результат поміщає центр тяжіння біля кінця системи. Можливо, це правильна відповідь, але в переважній більшості випадків такий результат свідчить про помилку. Коли ви обчислювали моменти, ви перемножували відповідні ваги та відстані? Якщо замість множення ви склали ваги та відстані, ви отримаєте набагато менший результат.

Виправте помилку, якщо ви знайшли кілька центрів ваги.Кожна система має лише один центр важкості. Якщо ви знайшли кілька центрів важкості, швидше за все, ви не склали всі моменти. Центр тяжкості дорівнює відношенню «сумарного» моменту до «сумарної» ваги. Не потрібно ділити "кожний" момент на "кожну" вагу: так ви знайдете положення кожного об'єкта.

Перевірте точку відліку, якщо відповідь відрізняється на певне значення.У прикладі відповідь дорівнює 3,4 м. Припустимо, ви отримали відповідь 0,4 м чи 1,4 м, чи інше число, що закінчується на «,4». Це тому, що як точка відліку ви вибрали не лівий кінець дошки, а точку, яка розташована правіше на цілу величину. Насправді, ваша відповідь вірна, незалежно від того, яку точку відліку ви обрали! Просто запам'ятайте: точка відліку завжди знаходиться в положенні x = 0. Ось приклад:

• У нашому прикладі точка відліку знаходилася на лівому кінці дошки, і ми знайшли, що центр ваги знаходиться на відстані 3,4 м від цієї точки відліку.
• Якщо в якості точки відліку вибрати точку, яка розташована на відстані 1 м праворуч від лівого кінця дошки, ви отримаєте відповідь 2,4 м. Тобто центр ваги знаходиться на відстані 2,4 м від нової точки відліку, яка, у свою чергу, знаходиться на відстані 1 м від лівого кінця дошки. Таким чином, центр ваги знаходиться на відстані 2,4+1=3,4 м від лівого кінця дошки. Вийшла стара відповідь!
• Примітка: при вимірі відстані пам'ятайте, що відстань до «лівої» точки відліку є негативною, а до «правої» – позитивною.

Вимірюйте відстані по прямих лініях.Припустимо, на гойдалках дві дитини, але одна дитина набагато вища за іншу, або одна дитина висить під дошкою, а не сидить на ній. Проігноруйте таку різницю та виміряйте відстані по прямій лінії дошки. Вимір відстаней під кутами призведе до близьких, але не зовсім точних результатів.

• У разі завдання з гойдалками-дошкою пам'ятайте, що центр ваги знаходиться між правим і лівим кінцями дошки. Пізніше ви навчитеся обчислювати центр тяжкості складніших двовимірних систем.

Примітка.Центр тяжкості симетричної фігури знаходиться на осі симетрії.

Центр тяжкості стрижня перебуває в середині висоти. При вирішенні завдань використовуються такі методи:

1. Спосіб симетрії: центр тяжкості симетричних фігур знаходиться на осі симетрії;

2. метод поділу: складні перерізи поділяємо на кілька простих частин, становище центрів тяжкості яких легко визначити;

3. Метод негативних площ: порожнини (отвори) розглядаються як частина перерізу з негативною площею.

Приклади розв'язання задач

Приклад1.Визначити становище центру тяжкості фігури, поданої на рис. 8.4.

Рішення

Розбиваємо фігуру на три частини:

Аналогічно визначається уЗ = 4,5 див.

приклад 2.Знайти положення центру ваги симетричної стрижневої ферми ADBE(Рис. 116), розміри якої такі: АВ = 6м, DE = 3 м та EF = 1м.

Рішення

Оскільки ферма симетрична, її центр ваги лежить на осі симетрії DF.При обраній (рис. 116) системі координатних осей абсцис центру тяжіння ферми

Невідомою, отже, є лише ордината у Сцентр тяжкості ферми. Для її визначення розбиваємо ферму окремі частини (стрижні). Довжини визначаються з відповідних трикутників.

З ΔAEFмаємо

З ΔADFмаємо

Центр тяжкості кожного стрижня лежить у його середині, координати цих центрів легко визначаються із креслення (рис. 116).

Знайдені довжини та ординати центрів тяжкості окремих частин ферми заносимо до таблиці та за формулою

визначаємо ординату у зцентру важкості даної плоскої ферми.

Отже, центр тяжкості Звсієї ферми лежить на осі DFсиметрії ферми на відстані 1,59 м від точки F.

приклад 3.Визначити координати центру важкості складеного перерізу. Перетин складається з листа та прокатних профілів (рис. 8.5).

Примітка.Часто рами зварюють із різних профілів, створюючи необхідну конструкцію. Таким чином, зменшується витрата металу та утворюється конструкція високої міцності.

Для стандартних прокатних профілів відомі власні геометричні характеристики. Вони наводяться у відповідних стандартах.

Рішення

1. Позначимо фігури номерами та випишемо з таблиць необхідні дані:

1 – швелер № 10 (ГОСТ 8240-89); висота h = 100 мм; ширина полиці b= 46 мм; площа перерізу А 1= 10,9 см 2;

2 – двотавр № 16 (ГОСТ 8239-89); висота 160 мм; ширина полиці 81 мм; площа перерізу А 2 - 20,2 см 2;

3 – лист 5x100; товщина 5мм; ширина 100мм; площа перерізу A 3 = 0,5 10 = 5 см2.

2. Координати центрів ваги кожної фігури можна визначити за кресленням.

Складовий переріз симетричний, тому центр ваги знаходиться на осі симетрії та координата хЗ = 0.

3. Визначення центру важкості складеного перерізу:

приклад 4.Визначити координати центру тяжкості перерізу, показаного на рис. 8, а.Перетин складається з двох куточків 56x4 та швелера № 18. Виконати перевірку правильності визначення положення центру тяжіння. Вказати його положення на перетині.

Рішення

1. : два куточки 56 х 4 і швелер № 18. Позначимо їх 1, 2, 3 (див. рис. 8, а).

2. Вкажемо центри важкостікожного профілю, використовуючи табл. 1 та 4 дод. I, і позначимо їх З 1, З 2, 3 .

3. Виберемо систему координатних осей.Ось усумісний із віссю симетрії, а вісь хпроведемо через центри ваги куточків.

4. Визначимо координати центру тяжкості перерізу.Тому що вісь узбігається з віссю симетрії, вона проходить через центр тяжкості перерізу, тому х з= 0. Координату у звизначимо за формулою

Користуючись таблицями програми, визначимо площі кожного профілю та координати центрів тяжіння:

Координати у 1і у 2рівні нулю, тому що вісь хпроходить через центри ваги куточків. Підставимо отримані значення формулу для визначення у з:

5. Вкажемо центр тяжкості перерізу на рис. 8, а й позначимо його літерою С.Покажемо відстань у С = 2,43 см від осі хдо точки З.

Оскільки куточки симетрично розташовані, мають однакову площу та координати, то А 1 = А 2, у 1 = у 2.Тому формула для визначення у Сможе бути спрощена:

6. Виконаємо перевірку.Для цього вісь хпроведемо по нижньому краю полиці куточка (рис. 8, б). Ось узалишимо, як у першому рішенні. Формули для визначення х Зі у Сне змінюються:

Площі профілів залишаться такими ж, а координати центрів ваг куточків та швелера зміняться. Випишемо їх:

Знаходимо координату центру важкості:

За знайденими координатами х зі у знаносимо на малюнок точку С. Знайдене двома способами положення центру тяжіння знаходиться в одній точці. Перевіримо це. Різниця між координатами у с,знайденими при першому та другому рішенні, становить: 6,51 - 2,43 = 4,08 см.

Це дорівнює відстані між осями х при першому та другому рішенні: 5,6 - 1,52 = 4,08 см.

Відповідь: у з= 2,43 см, якщо вісь х проходить через центри ваги куточків, або у с = 6,51 см, якщо вісь х проходить по нижньому краю полиці куточка.

Приклад 5.Визначити координати центру тяжкості перерізу, зображеного на рис. 9, а.Перетин складається з двотавра № 24 та швелера №.24а. Показати положення центру тяжіння на перерізі.

Рішення

1.Розіб'ємо перетин на профілі прокату: двотавр та швелер. Позначимо їх цифрами 1 та 2.

3. Вкажемо центри ваги кожного профілюЗ 1 і 2 , використовуючи таблиці додатків.

4. Виберемо систему осей координат. Ось х сумісний з віссю симетрії, а ось у проведемо через центр тяжкості двотавра.

5. Визначимо координати центру тяжкості перерізу. Координата у с = 0, тому що вісь хзбігається з віссю симетрії. Координату х з визначимо за формулою

За табл. 3 та 4 дод. I і схемою перерізу визначимо

Підставимо числові значення у формулу та отримаємо

5. Нанесемо точку С (центр тяжкості перерізу) за знайденими значеннями х с і у с (див. рис. 9, а).

Перевірку рішення необхідно виконати самостійно при положенні осей, як показано на рис. 9, б. В результаті рішення отримаємо х с = 11,86 см. Різниця між значеннями х с при першому та другому рішенні дорівнює 11,86 - 6,11 = 5,75 см, що дорівнює відстані між осями у при тих же рішеннях b дв /2 = 5,75 див.

Відповідь: х с = 6,11 см, якщо вісь у проходить через центр тяжкості двотавра; х с = 11,86 см, якщо вісь у проходить через ліві крайні точки двотавра.

Приклад 6.Залізничний кран спирається на рейки, відстань між якими АВ = 1,5 м (рис. 1.102). Сила ваги візка крана G r = 30 кН, центр ваги візка знаходиться в точці С, що лежить на лінії KL перетину площини симетрії візка з площиною малюнка. Сила тяжкості лебідки крана Q л = 10 кН прикладена у точці D.Сила тяжкості противаги G„=20 кН прикладена в точці Е. Сила тяжіння стріли G c = 5 кН прикладена в точці Н. Виліт крана щодо лінії KL дорівнює 2 м. Визначити коефіцієнт стійкості крана в ненавантаженому стані та який вантаж Fможна підняти цим краном за умови, що коефіцієнт стійкості має бути не менше двох.

Рішення

1. У ненавантаженому стані у крана виникає небезпека перекидання при повороті навколо рейки. А.Отже, щодо точки Амомент стійкості

2. Перекидальний момент щодо точки Астворюється силою тяжкості противаги, тобто.

3. Звідси коефіцієнт стійкості крана у ненавантаженому стані

4. При навантаженні стріли крана вантажем Fвиникає небезпека перекидання крана з поворотом біля рейки В. Отже, щодо точки Умомент стійкості

5. Перекидальний момент щодо рейки У

6. За умовою завдання експлуатація крана дозволяється за коефіцієнта стійкості k B ≥ 2 , тобто.

Контрольні питання та завдання

1. Чому сили тяжіння до Землі, що діють на точки тіла, можна прийняти за систему паралельних сил?

2. Запишіть формули визначення положення центру тяжкості неоднорідних і однорідних тіл, формули визначення положення центру тяжкості плоских перерізів.

3. Повторіть формули для визначення положення центру ваги простих геометричних фігур: прямокутника, трикутника, трапеції та половини кола.

4.
Що називають статичним моментом майдану?

5. Обчисліть статичний момент цієї фігури щодо осі Ox. h= 30 див; b= 120 см; з= 10 див (рис. 8.6).

6. Визначте координати центру ваги заштрихованої фігури (рис. 8.7). Розміри наведені в мм.

7. Визначте координату уфігури 1 складеного перерізу (рис. 8.8).

При вирішенні скористатися довідковими даними таблиць ГОСТ «Сталь гарячекатана» (див. Додаток 1).

Прямокутник. Оскільки прямокутник має дві осі симетрії, його центр тяжкості перебуває в перетині осей симетрії, тобто. у точці перетину діагоналей прямокутника.

Трикутник. Центр тяжкості лежить у точці перетину його медіан. З геометрії відомо, що медіани трикутника перетинаються в одній точці і діляться щодо 1:2 від основи.

Коло. Оскільки коло має дві осі симетрії, його центр тяжкості перебуває на перетині осей симетрії.

Півколо. Півколо має одну вісь симетрії, центр тяжіння лежить на цій осі. Інша координата центру тяжкості обчислюється за такою формулою: .

Багато конструктивних елементів виготовляють із стандартного прокату – куточків, двотаврів, швелерів та інших. Усі розміри, а також геометричні характеристики прокатних профілів це табличні дані, які можна знайти в довідковій літературі в таблицях нормального сортаменту (ГОСТ 8239-89, ГОСТ 8240-89).

приклад 1. Визначити становище центру тяжкості фігури, представленої малюнку.

Рішення:

Вибираємо осі координат, так щоб вісь Ох пройшла по крайньому нижньому розміру габаритному, а вісь Оу - по крайньому лівому габаритному розміру.

Розбиваємо складну фігуру на мінімальну кількість простих фігур:

прямокутник 20х10;

трикутник 15х10;

коло R=3 див.

Обчислюємо площу кожної простої фігури, її координати центру ваги. Результати обчислень заносимо до таблиці

№ фігури	Площа фігури А,	Координати центру важкості

Відповідь: С(14,5; 4,5)

Приклад 2 . Визначити координати центру важкості складеного перерізу, що складається з листа та прокатних профілів.

Рішення.

Вибираємо осі координат, оскільки показано малюнку.

Позначимо фігури номерами та випишемо з таблиці необхідні дані:

№ фігури	Площа фігури А,	Координати центру важкості

Обчислюємо координати центру ваги фігури за формулами:

Відповідь: З(0; 10)

Лабораторна робота №1 «Визначення центру важкості складених плоских фігур»

Ціль: Визначити центр тяжкості заданої плоскої складної фігури досвідченим та аналітичним способами та порівняти їх результати.

Порядок виконання роботи

Накреслити у зошитах свою плоску фігуру за розмірами, із зазначенням осей координат.

Визначити центр тяжкості аналітичним способом.

1. Розбити фігуру на мінімальну кількість фігур, центри тяжкості яких ми знаємо, як визначити.

   Вказати номери площ та координати центру ваги кожної фігури.

   Обчислити координати центру ваги кожної фігури.

   Обчислити площу кожної фігури.

   Обчислити координати центру тяжкості всієї фігури за формулами (положення центру тяжкості нанести на креслення фігури):

Установка для дослідного визначення координат центру ваги способом підвішування складається з вертикальної стійки 1 (див. рис.), до якої прикріплена голка 2 . Плоска фігура 3 виготовлена ​​з картону, в якому легко проколоти отвір. Отвори А і У проколюються в довільно розташованих точках (краще на віддаленій відстані один від одного). Плоска фігура підвішується на голку спочатку у точці А , а потім у точці У . За допомогою схилу 4 , закріпленого на тій же голці, на фігурі прокреслюють олівцем вертикальну лінію, що відповідає нитці схилу. Центр ваги З фігури перебуватиме в точці перетину вертикальних ліній, нанесених при підвішуванні фігури в точках А і У .

В інженерній практиці трапляється, що виникає необхідність обчислити координати центру важкості складної плоскої фігури, що складається з простих елементів, для яких розташування центру важкості відоме. Таке завдання є частиною завдання визначення...

Геометричних характеристик складових поперечних перерізів балок та стрижнів. Часто з подібними питаннями доводиться стикатися інженерам-конструкторам вирубних штампів при визначенні координат центру тиску, розробникам схем навантаження різного транспорту при розміщенні вантажів, проектувальникам будівельних металевих конструкцій при доборі перерізів елементів і, звичайно, студентам при вивченні дисциплін «Теоретична механіка» та « ».

Бібліотека елементарних постатей.

Для симетричних плоских фігур центр ваги збігається із центром симетрії. До симетричної групи елементарних об'єктів належать: коло, прямокутник (зокрема квадрат), паралелограм (зокрема ромб), правильний багатокутник.

З десяти фігур, представлених малюнку вище, лише дві є базовими. Тобто, використовуючи трикутники та сектори кіл, можна скомбінувати майже будь-яку фігуру, яка має практичний інтерес. Будь-які довільні криві можна, розбивши на ділянки, замінити дугами кіл.

Вісім фігур, що залишилися, є найпоширенішими, тому вони і були включені в цю своєрідну бібліотеку. У нашій класифікації ці елементи є базовими. Прямокутник, паралелограм та трапецію можна скласти із двох трикутників. Шестикутник – це сума із чотирьох трикутників. Сегмент кола – це різниця сектора кола та трикутника. Кільцевий сектор кола – різниця двох секторів. Коло – це сектор кола з кутом α=2*π=360˚. Півколо – це, відповідно, сектор кола з кутом α=π=180˚.

Розрахунок у Excel координат центру важкості складеної фігури.

Передавати та сприймати інформацію, розглядаючи приклад, завжди легше, ніж вивчати питання на суто теоретичних викладках. Розглянемо розв'язання задачі "Як знайти центр тяжкості?" на прикладі складової фігури, зображеної малюнку, розташованому нижче цього тексту.

Складовий переріз є прямокутником (з розмірами a1 =80 мм, b1 =40 мм), до якого зліва зверху додали рівнобедрений трикутник (з розміром основи a2 =24 мм та висотою h2 =42 мм) і з якого праворуч зверху вирізали півколо (з центром у точці з координатами x03 =50 мм та y03 =40 мм, радіусом r3 = 26 мм).

На допомогу для виконання розрахунку залучимо програму MS Excel або програму OOo Calc . Будь-яка з них легко впорається із нашим завданням!

У осередках з жовтою заливкою виконаємо допоміжні попередні розрахунки .

У осередках зі світло-жовтою заливкою вважаємо результати.

Синій шрифт – це вихідні дані .

Чорний шрифт – це проміжні результати розрахунків .

червоний шрифт – це остаточні результати розрахунків .

Розпочинаємо розв'язання задачі – починаємо пошук координат центру тяжкості перерізу.

Вихідні дані:

1. Назви елементарних фігур, що утворюють складовий переріз, впишемо відповідно

в комірку D3: Прямокутник

в комірку E3: Трикутник

в комірку F3: Півколо

2. Користуючись представленою в цій статті «Бібліотекою елементарних постатей», визначимо координати центрів ваги елементів складеного перерізу xciі yciв мм щодо довільно вибраних осей 0x і 0y і запишемо

у комірку D4: =80/2 = 40,000

xc 1 = a 1 /2

у комірку D5: =40/2 =20,000

yc 1 = b 1 /2

у комірку E4: =24/2 =12,000

xc 2 = a 2 /2

у комірку E5: =40+42/3 =54,000

yc 2 = b 1 + h 2 /3

у комірку F4: =50 =50,000

xc 3 = x03

у комірку F5: =40-4*26/3/ПІ() =28,965

yc 3 = y 03 -4* r3 /3/ π

3. Розрахуємо площі елементів F 1 , F 2 , F3 у мм2, скориставшись знову формулами з розділу "Бібліотека елементарних фігур"

у комірці D6: =40*80 =3200

F1 = a 1 * b1

у комірці E6: =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 /2

у комірці F6: =-ПІ()/2*26^2 =-1062

F3 =-π/2*r3 ^2

Площа третього елемента – півкола – негативна тому, що це виріз – пусте місце!

Розрахунок координат центру тяжкості:

4. Визначимо загальну площу підсумкової фігури F0 в мм2

в об'єднаному осередку D8E8F8: =D6+E6+F6 =2642

F0 = F 1 + F 2 + F3

5. Обчислимо статичні моменти складової фігури Sxі Syв мм3 щодо вибраних осей 0x та 0y

в об'єднаному осередку D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

Sx = yc1 * F1 + yc2 * F2 + yc3 * F3

в об'єднаному осередку D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

Sy = xc1 * F1 + xc2 * F2 + xc3 * F3

6. І на завершення розрахуємо координати центру важкості складеного перерізу Xcі Ycмм в обраній системі координат 0x - 0y

в об'єднаному осередку D11E11F11: =D10/D8 =30,640

Xc = Sy / F0

в об'єднаному осередку D12E12F12: =D9/D8 =22,883

Yc = Sx / F0

Завдання вирішено, розрахунок в Excel виконано - знайдено координати центру тяжкості перерізу, складеного при використанні трьох простих елементів!

Висновок.

Приклад у статті був обраний дуже простим для того, щоб легше було розібратися в методології розрахунків центру важкого перетину. Метод полягає в тому, що будь-яку складну фігуру слід розбити на прості елементи з відомими місцями розташування центрів тяжіння і зробити підсумкові обчислення для перерізу.

Якщо перетин складено з прокатних профілів – куточків та швелерів, то їх немає необхідності розбивати на прямокутники та квадрати з вирізаними круговими «π/2» секторами. Координати центрів тяжкості цих профілів наведені в таблицях ГОСТів, тобто і куточок і швелер будуть у ваших розрахунках складових перерізів базовими елементарними елементами (про двотаври, труби, прути і шестигранники говорити немає сенсу - це центрально симетричні перерізи).

Розташування осей координат на положення центру ваги фігури, звісно, ​​не впливає! Тому вибирайте систему координат, що спрощує розрахунки. Якщо, наприклад, я розгорнув би в нашому прикладі систему координат на 45 за годинниковою стрілкою, то обчислення координат центрів тяжкості прямокутника, трикутника і півкола перетворилося б на ще один окремий і громіздкий етап розрахунків, який «в розумі» не виконаєш.

Поданий нижче розрахунковий файл Excel у разі програмою не є. Швидше - це малюнок калькулятора, алгоритм, шаблон за яким слідує в кожному конкретному випадку складати свою послідовність формул для осередків з яскравою жовтою заливкою.

Отже, як знайти центр тяжіння будь-якого перетину, ви тепер знаєте! Повний розрахунок всіх геометричних характеристик довільних складних перерізів буде розглянуто в одній з найближчих статей у рубриці « ». Слідкуйте за новинами на блозі.

Для отримання інформації про вихід нових статей і для скачування робочих файлів програм прошу вас підписатися на анонси у вікні, розташованому наприкінці статті або у вікні вгорі сторінки.

Після введення адреси своєї електронної пошти та натискання на кнопку «Отримувати анонси статей» НЕ ЗАБУВАЙТЕ ПІДТВЕРДЖУВАТИ ПЕРЕДПЛАТУ кліком за посиланням у листі, який відразу прийде до вас на вказану пошту (іноді - в папку « Спам » )!

Кілька слів про келих, монету та дві виделки, які зображені на «значку-ілюстрації» на самому початку статті. Багатьом із вас, безумовно, знайомий цей «трюк», який викликає захоплені погляди дітей та непосвячених дорослих. Тема цієї статті – центр важкості. Саме він і точка опори, граючи з нашою свідомістю та досвідом, просто дурять наш розум!

Центр ваги системи «вилки+монета» завжди розташовується на фіксованомувідстані по вертикалі внизвід краю монети, що у свою чергу є точкою опори. Це становище стійкої рівноваги!Якщо похитати вилки, то відразу стає очевидним, що система прагне зайняти своє старе стійке становище! Уявіть маятник – точка закріплення (=точка опори монети на кромку келиха), стрижень-вісь маятника (=у нашому випадку вісь віртуальна, оскільки маса двох вилок розведена в різні боки простору) і вантаж внизу осі (=центр тяжіння всієї системи «вилки» +монета»). Якщо почати відхиляти маятник від вертикалі в будь-який бік (вперед, назад, ліворуч, праворуч), то він неминуче під дією сили тяжіння повертатиметься у вихідне стійкий стан рівноваги(це ж саме відбувається і з нашими вилками та монетою)!

Хто не зрозумів, але хоче зрозуміти – розберіться самостійно. Адже це дуже цікаво «доходити» самому! Додам, що цей принцип використання стійкого рівноваги реалізований й у іграшці ванька–встань-ка. Тільки центр ваги у цієї іграшки розташований вище точки опори, але нижче центру півсфери опорної поверхні.

Завжди радий вашим коментарям, шановні читачі!

Прошу, Шановна працю автора, завантажувати файл ПІСЛЯ ПЕРЕДПЛАТИ на новини статей.