Чотиривимірне обертання Всесвіту.

Якщо Всесвіт замкнутий, він повинен обертатися. Всі її точки повинні рухатися з однією і тією ж 4-швидкістю, і з тією ж кутовою швидкістю.

Звичайний м'ячик Ви так не розкрутите. Крапки м'ячика біля осі обертання рухаються з меншою лінійною швидкістю, ніж екваторіальні точки.

Але замкнутий Всесвіт виявляється ідеальним щодо обертання. Вона виявляється просторово однорідною та ізотропною. Як таке може бути? Адже на малюнку зліва видно явну анізотропію, - ми бачимо дві осі обертання.

Цей малюнок дійсно допомагає нам зрозуміти чотиривимірне обертання тривимірної неевклідової гіперсфери. x 2 +y 2 +z 2 +q 2 =r 2, зануреної в Евклідове чотиривимірний простір. Але у цьому рівнянні фігурує просторова координата q, що на малюнку ми ототожнили з кольором.

Давайте замінимо її на тимчасову координату t, помножену на швидкість світла, щоб отримати метри, і на уявну одиницю i, адже простір-час псевдоевклідово. Тобто отримуємо рівняння: x 2 +y 2 +z 2 +(ict) 2 =r 2, псевдоевклідової гіперсфери

Ви могли б подивитися на це обертання у площині (x,ict), відкривши мою програму, але зараз файли з розширенням exe не завантажуються на сайт. Найближчим часом я спробую зробити анімований gif-малюнок.

Зазначимо, що там обертається електрон, пробігаючи за свій класичний час праву та ліву гіперболу. Там же ви бачите як "тінь" електрона малює коло.

Це коло ми отримаємо, якщо розділимо кожен елемент гіперболи на відповідний релятивістський множник, і підсумуємо їх. В результаті одержуємо 2p ri. (Це наводить на думку, що пседвоокружність у замкнутому Всесвіті перетворюється на квазізамкнене коло не тільки для електрона, але і для всіх частинок у Всесвіті, включаючи галактики.Отже, куди подіється асиметрія? Для цього згадаємо що квадрат 4-швидкості v g , icg )у спеціальній теорії відносності є інваріантом і він дорівнює -

Беремо будь-яку точку замкнутого Всесвіту, що обертається. У будь-якої точки існує дві осі-площини. На одній осі вона знаходиться, а інша вісь розташована перпендикулярно. Обидві є коло. Вісь на якій знаходиться розглянута частка містить координату часу і будь-яку іншу, просторову. Нехай це буде (z, ict). Ця вісь рухається із швидкістю с. Для нашої досліджуваної частки ця швидкість буде чисто тимчасовою, оскільки вона рухається разом з цією віссю, а отже, спочиває щодо цієї осі. Інші точки на осі будуть отримувати тим більшу просторову частину, чим далі вони знаходяться від точки, що досліджується. А за тимчасовою складовою 4-швидкості темп часу падає, тим більше, чим далі вона знаходиться від точки, що досліджується. Отже, робимо висновок: галактики у двох протилежних напрямках, в які упирається ця вісь-площина, матимуть поперечне червоне усунення через просторово-часовий поворот по координаті z.

Оскільки інша вісь-площина обертається в перпендикулярному напрямку, там теж буде спостерігатися поперечне червоне зміщення, але там воно обумовлено поперечним рухом в площині (x, y).

Таке обертання пояснює дуже багато речей:
наявність спини у кожної частки;
наявність квантової ψ-функції;
право-ліва асиметрія у спіральностях галактик;
чому умовний вік Всесвіту 13,34 млрд. років, завжди!
аномально швидке обертання периферійних частин галактик;
критична щільність Всесвіту може бути меншою...

Якщо швидкості обертання вздовж осей трохи відрізняються, то ми можемо побачити мультипольну структуру в реліктовому тлі, і невелику анізотропію в червоних зміщеннях галактик.

Світові лінії.

На gif-анімованому малюнку ми бачимо рух куль. Насправді уявну картину необхідно дещо ускладнити, уявивши світові лінії галактик.

Для галактик, що обертаються в площині (z, ict), час ототожнюємо з кольором. Якщо час із цього боку малюнка йде одному напрямку, то з протилежного боку малюнка час йде назад. Цьому не варто дивуватися.

Як відомо, таке вже у фізиці зустрічалося, - позитрон це електрон, який живе у часі. А на сторінках про квантовану швидкість, ми розвинули цю ідею і побачили, що кожна елементарна частка живе в часі "туди-сюди".

Складова частка "спалахує" в моменти стикувань квазізамкнутих кіл.

І, якщо після завершення обходу, якась із елементарних частинок спізнюється чи випереджає інші частки, то момент просторово-часової синхронізації вона отримує елементарне зміна швидкості, чи інакше кажучи - здійснює елементарний поворот у просторі-часу.

Такі ж елементарні повороти в просторі-часі ми побачимо якщо простежимо за рухом куль на нашому малюнку, що обертається, доповненим іншим малюнком.

Зробимо елементарний перехід із центру цього малюнка в будь-який бік.

Число галактик поняття відносне. Біля нашої Галактики існують супутники, БМО та ММО. Цілком можливо, що зараз зароджуються й інші супутники, - від Галактики відокремлюються якісь скупчення зірок. Згодом це будуть незалежні галактики з великою кількістю зірок. Питання, звідки береться матерія.

По-перше, - входження речовини у світловий конус зверху. По-друге, – гамма-сплески. Цей процес викладено на сторінці Модель Хойла та 4d обертання. Виявляється, що чотиривимірне обертання Всесвіту у двох взаємно перпендикулярних площинах не тільки відповідає спостереженням, а й реанімує Стаціонарну модель Всесвіту, створену Фредом Хойлом, Германом Бонді та Томасом Голдом.

Деякі корисні програми з інших джерел.

Kissing Number

Проблеми з поєднанням balls нескінченно arise в багатьох situations, особливо в coding theory (the balls are formed by sets of inputs that error-correction would map into single codeword).
Найважливішим питанням у цьому регіоні є Kepler's питання: який є most dense packing spheres in space? , However, що звичайний хребет packing is densest packing в яких сфери центрів form a lattice.)

Яскраво намічений "kissing number problem" refers to the local density of packings: how many balls can touch another ball? Це може бутизрозуміло, як версія Kepler's проблема для фізичної статки, ніж euclidean geometry.

У математичних, сфери packing problems concern arrangements of no-overlapping identical spheres which fill a space. Зазвичай space involved є три-dimensional euclidean space. Хоча, сфера packing проблем може бути generalised до двох dimensional space (де в "spheres" є коло), в n-dimensional space (у ньому "spheres" є hyperspheres) і не-Euclidean spaces така як hyperbolic space.
Регулярне розміщення (також називається periodic or lattice arrangement) є одним в яких центрах сфери формують дуже симметричний формат називається латиці. Arrangements in which the spheres не є arranged в lattice are called irregular або aperiodic arrangements. Regular arrangements are easier to handle than irregular ones-their high degree of symmetry makes it easier to classify them and to measure their densities.

Номер еквівалентних hyperspheres in dimensions nякі можуть користуватися подібним hypersphere без будь-яких інтересів, також деякі називаються Newton номер, contact number, coordination number, or ligancy.

Додаткові значення для латичних пакетів є відомими для n=1 до 9 і n=24 (Conway and Sloane 1993, Sloane and Nebe). Odlyzko and Sloane (1979) характеризується ефектом значення для 24-D.

Додаткові значення для загальних packings є відомі для n=1, 2, 3, 4, 8, і 24. Musin розробив боротьбу методу в 2003 році на prove 24-dimensional case, і його метод також забезпечує proofs for three and four dimensions ( Pfender та Ziegler 2004).

SO(4)

У математичних, SO(4) є чотири-dimensional rotation group; що це, група ротацій про fixed point в чотири-dimensional euclidean space. Назва називається з факту, що це (isomorphic to) особливу ортогональну групу на 4.

Simple rotations
A simple rotation R about rotation centre O leaves an entire plane Через O (axis-plane) pointwise invariant...

Half-lines from O in the axis-plane A no displaced; half-lines від O orthogonal до A є displaced через α; all other half-lines are displaced through an angle< α.

Double rotations
A double rotation R about a rotation centre O leaves only O invariant. Будь-яка дворазова ротація має на одному один ряд загальних ортогональних планів A і B через O, що є внесок, як whole, i.e. rotated в нихсели.

У цілому нині ротація англійських α в плані A і β в плані B є різними.
У тому випадку A і B є лише кілька варіативних планів, і напівліні від O в A, B є розміщені через α, β, і напівліні від O не в або B будуть displaced через angles strictly between α and β.

Isoclinic ротації

Якщо ротація літери з двома ротаціями є еквівалентно, вони є infinitely багато invariant плани, щоб залишити тільки два, і всі перші-лінії від О, які розходяться через той самий янг. Такі ротації називаються ізоклінічними або екзюганськими ротаціями, або Clifford displacements. Beware: не всі плани через O є invariant під ізоклінічними ротаціями; тільки плани, які є спантеличені за межі-лінії і відповідні розлучені, перші-рівні є внесок.

ГЕОМЕТРИЧНИЙ ОБРАЗ ЧОТИРОХМІРНОЇ КУЛІ.

Єгоров Нестер Олександрович- студент 4 курсу, кафедра алгебри та геометрії ІМІ СВФУ, РФ, м. Якутськ: E@ студент 4 курсу, кафедра алгебри та геометрії ІМІ СВФУ, РФ, м. Якутськ. mail

egrvnester

ru

У цій роботі дається подання чотиривимірної кулі в чотиривимірному просторі за допомогою його тривимірних перерізів. Для пояснення труднощів, пов'язаних із сприйняттям об'єктів чотиривимірного простору, використовується метод, який ґрунтується на розгляді просторів з нижчою розмірністю. Актуальність даного підходу у тому, що дозволяє зрозуміти будову геометричних образів чотиривимірного простору, і навіть сприяє розвитку просторового і абстрактного мислення. Ця робота цікавить учнів старших класів, студентів факультетів математичних і природничих наук, і навіть вчителів математики. Вона викладається наочним методом, без використання формул, на основі лише шкільного курсу геометрії.

У науковій та популярній літературі, у засобах масової інформації, часто згадуються багатовимірні простори та об'єкти. Існують різні теорії про багатовимірність нашого Всесвіту. Людині властиво геометричні об'єкти представляти у наочній формі. Тому багато хто, почувши словосполучення «чотиримірну кулю», відразу ж намагаються наочно уявити її у своїй уяві. Ми добре представляємо двовимірну кулю (це коло, що лежить на площині), тривимірна куля – об'єкт, який часто зустрічається в нашому житті. Але в чотиривимірному випадку, ми ніяк не можемо побудувати в нашій уяві геометричний образ чотиривимірної кулі. Це з появою четвертого, недоступного нам, виміру.

Формування на інтуїтивному рівні зрозумілого читачеві уявлення про геометричний образ чотиривимірної кулі є метою нашої роботи. У ньому не використовуються суворі визначення, математичні формули. Усі поняття, терміни розуміються лише інтуїтивно. Весь матеріал викладається у популярній формі.

Актуальність роботи полягає в тому, що вона дозволяє зрозуміти будову геометричних образів чотиривимірного простору, а також сприяє розвитку просторового та абстрактного мислення та цікавить учнів старших класів, студентів факультетів математичних та природничих наук, а також вчителів математики.

Рисунок 1. а) Пряма чотиривимірному просторі перетинає тривимірну кулю тільки в одній внутрішній точці; б) Пряма на площині перетинає двовимірну кулю по відрізку; в) Пряма, розташована у просторі, перетинає двовимірну кулю тільки в одній точці

Чотиривимірний простір певною мірою є незвичайним простором. Ми знаємо, що у тривимірному просторі пряма лінія перетинає обмежений тривимірний опуклий об'єм (наприклад, куля) по відрізку. Виняток становить випадок, коли пряма лінія стосується цього об'єкта. У чотиривимірному просторі може відбуватися інакше. Пряма лінія може «пронизати» тривимірну кулю наскрізь, зачепивши лише одну внутрішню точку, не потривоживши її оточення (рис. 1, а)). Це робить можливим для чотиривимірної людини (якби вона існувала) забрати всі наші речі з сумки, не розкриваючи і не розрізаючи її, що здається дуже незвичайним і незрозумілим. Щоб зрозуміти це, розглянемо двовимірний простір (двовимірний простір – це площина, вкладена у тривимірний простір). Пряма на площині перетинатиме коло, розташоване в площині по відрізку, а пряма простору, що лежить поза площиною, перетне коло тільки в одній точці (рис. 1, б), с)).

Щоб епізод пропажі речей із сумки був зрозумілішим, намалюємо на дошці двовимірну людину, намалюємо його нирки, камінь у нирці. Потім візьмемо в руки ганчірку і акуратно, не зачіпаючи нирки двовимірної людини, зітремо камінь (рис. 2). Тепер можемо привітати самого себе з тим, що ми тільки-но успішно провели операцію з видалення каменю з нирки без використання розрізів, і що наш пацієнт здоровий. Те, що непідвладне двовимірному хірургу, виявилося простою справою для звичайної тривимірної людини.

Малюнок 2. Видалення каменю із двовимірної нирки тривимірним лікарем без резервів

Далі ми будемо користуватися даним прийомом, пов'язаним із переходом на розмірність нижче для пояснення труднощів, пов'язаних із сприйняттям об'єктів, що знаходяться у чотиривимірному просторі. Труднощі сприйняття двовимірної людини, коли вона намагається зрозуміти тривимірний світ, аналогічні нашим при сприйнятті чотиривимірного простору, оскільки вони пов'язані в обох випадках появою нового недоступного виміру.

Два тривимірні простори можуть перетинатися або бути паралельними в чотиривимірному просторі. Розглянемо випадок, коли вони перетинаються.

Малюнок 3. Два тривимірні простори перетинаються в чотиривимірному просторі по площині

Якщо дві площини x і y перетинаються прямою l (рис. 4), то тривимірні простори P і Q перетинаються площиною α (рис. 3). Для двовимірної людини пряма l (якщо вона непрозора) буде стіною, що розділила її на дві частини. А напівплощини y 1 і y 2 для нього не існують, оскільки знаходяться в недоступному для нього третьому вимірі. Для тривимірної людини такою стіною, що розбиває весь простір на дві частини, буде площина (рис. 3).

Далі, розглянемо дві площини x і y, що перетинаються, по одній з яких котиться двовимірний м'яч (рис. 4). Зауважимо, що двовимірна людина бачить лише пряму l із площини y, оскільки вона знаходиться у її просторі x. Напівплощини y 1 і y 2 йому невидимі, тому двовимірна людина, що знаходиться в площині x, побачить точку (плоский м'яч торкнувся прямої), яка потім роздвоїться (м'яч перетнув пряму). Далі, у міру руху м'яча, точки будуть розходитися, поки пряма перетину площин не збігатиметься з діаметром м'яча, потім все відбуватиметься у зворотному порядку.

Малюнок 4. Двовимірна людина бачить лише точку торкання кола з його площиною

Тепер неважко зрозуміти, що ми побачимо, перебуваючи в тривимірному просторі P, у разі коли м'яч, запущений ногою футболіста, що перебуває в Q, перетне наш простір. Спочатку на площині. з'явиться точка, яка відразу ж перетворюється на поступово зростаюче коло, що є перетином площини α і м'яча. Досягнувши свого максимуму, при радіусі, що дорівнює радіусу футбольного м'яча, вона поступово почне зменшуватися доти, поки не виродиться назад у крапку і зникне з поля зору (рис. 5). Що ж ми побачимо, коли слідом за м'ячем пробіжить сам футболіст, залишимо уявити читачеві. Для інтересу ж уявімо, що станеться, якщо футболіст якимось неймовірним способом, перебуваючи в просторі Q, випадково згорне в наш простір P (див. рис. 6).

Малюнок 5. Вид м'яча, що перетнув простір спостерігача, в динаміці

Малюнок 6. П'явіння футболу у просторі P з простору Q

У двовимірному варіанті легко уявити дві паралельні площини. Тривимірний простір можна як нескінченну сукупність паралельних «злиплих» площин. Таке уявлення можна отримати, дивлячись на колоду карт, де кожна карта асоціюється з площиною чи книгою, де роль площин виконують аркуші цієї книги.

Чотиривимірний простір також представляє сукупність «злиплих», але вже тривимірних паралельних просторів. Спробуйте уявити у своїй уяві два паралельні (злиплі), тобто розташовані дуже близько один до одного, тривимірні простори. У вас нічого не вийде. Простір, які ми хочемо уявити у своїй уяві, або починають перетинатися, або не хочуть зближуватися, відштовхуючись один від одного. Розберемося через нашу невдачу. Для цього проаналізуємо, як спробує представити двовимірна людина, що живе в площині x, дві паралельні площини y і z, що дуже близько лежать один до одного. Так як для двовимірної людини не існує третього виміру h (рис. 7а)), то він буде змушений розташувати їх у своєму просторі, хоча в реальності вони розташовуватимуться перпендикулярно (або під деяким кутом) перетинаючи площину x (рис. 7б)). Тепер відразу стає очевидним, у чому полягає причина нашої невдачі. Ми намагаємося помістити два тривимірні простори в один тривимірний простір, в якому перебуваємо (рис. 7с)), коли вони повинні простягатися по четвертому, недоступному нам виміру. Зрозуміло, що вони ніяк не зможуть здаватися злиплими.

Зауважимо, що тривимірне простір можна уявити як слід, що залишається площиною в результаті її руху по заданому напрямку (рис. 8).

Малюнок 7. а) Двовимірна людина намагається уявити дві паралельні площини; б) Реальне розташування паралельних площин; с) Ми намагаємось помістити два тривимірні простори в один тривимірний простір

Рисунок 8. Тривимірний простір, який отримує рух площини

Тепер, як і раніше, розглянемо простори P і Q, що перетинаються площиною α (рис. 9а)). Кожен із просторів можна отримати рухом площини α відповідно до напрямків осей координат x і t. Далі проведемо в просторі P площину на дуже близькій відстані паралельно площині. Очевидно, ? Тоді простір Q і простір Q β , отримані рухом відповідно площин α і β, паралельні, і будуть знаходитися на дуже близькій відстані один від одного (на відстані, що дорівнює відстані між площинами α і β, вимірювання x). Тоді два тривимірні тіла, наприклад, дві кулі, що знаходяться в абсолютно різних, але близьких один до одного паралельних просторах Q і Q β, можуть виявитися дуже близькими («злиплими») (рис. 9б)).

Малюнок 9. а) Площина β з ласкості P близька і паралельна площині і не знаходиться в просторі Q ; б) Сукупності площин, отриманих рухом площин α та β за напрямком t , утворюють близькі один до одного аралельні простори Q і Q β Зображені кулі, що знаходяться в цих просторах, близькі один до одного по всіх точках («злиплі» кулі)

Весь чотиривимірний простір можна розглядати як сукупність паралельних, дуже близько розташованих («злиплих») тривимірних просторів. Якщо в якості четвертого виміру взяти час, то рух людини на машині часу буде відповідати переходу з одного паралельного простору до іншого. У цьому випадку, на відміну від просторів, що перетинаються, коли ми бачимо тільки перетин об'єкта, який рухається по другому простору, перетинаючи наш, перед нами несподівано виникне машина часу з людиною, що сидить в ній, яка розчиниться в минулому або майбутньому в залежності від напрямку її руху .

Таким чином: ми зрозуміли, що тривимірні простори перетинаються площиною; чотиривимірний простір можна представити як сукупність «злиплих» паралельних тривимірних просторів; отримали уявлення про «зліплі» тривимірні тіла, що знаходяться в паралельних просторах.

Що являє собою чотиривимірну кулю? Щоб відповісти на це питання, проаналізуємо те, як влаштована наша звичайна тривимірна куля, з точки зору двовимірної людини. Безумовно, повністю кулю він бачити неспроможна, у його зору знаходиться лише двовимірна сфера - коло, що облямовує двовимірне коло, і є перетином світу двовимірної людини з кулею (те, що усередині кола, йому видно. Рис10 а)). При переході в паралельні простори коло звужуватиметься, поки не виродиться в крапку (рис. 10 б)).

Малюнок 10. а) Двовимірній людині видно лише частину кола, що облямовує перетином площини та кулі; б) При переході людини в паралельні площині окржність поступово виродиться в крапку

У разі чотиривимірної кулі поле зору людини обмежене простором, в якому він знаходиться. За аналогією можна припустити, що він бачить сферу, що облямовує кулю, що є перетином даного тривимірного простору з чотиривимірною кулею. При переході в паралельні простори сфера також зменшуватиметься в радіусі, доки не виродиться в крапку (рис. 11 а)). Тепер постараємося докладніше розібратися, що за кулі ми бачимо, і як вони утворюють чотиривимірну кулю.

Розглянемо тривимірну кулю 2 (рис. 11 б)) та її перерізу паралельними площинами. Сукупність цих паралельних площин утворюють тривимірне простір з вимірами y, z, t, в якому знаходиться куля 2, що шукається. Кожна з цих площин своїм рухом у напрямку x утворюють «злиплі» тривимірні простори. Саме у цих просторах знаходяться тривимірні кулі (див. куля 1), які ми спостерігаємо при (описаних вище) переходах у паралельні простір (рис. 11а)). Сукупність даних куль утворюватиме чотиривимірну кулю. Таким чином, чотиривимірна куля є сукупність куль, що злипаються по всіх точках, зменшуються в розмірах, яка і утворює геометричний образ чотиривимірної кулі. Однак ми не можемо побачити загальну цільну картину кулі, тому що не можемо бачити поза нашим простором.

Малюнок 11. а) Видимі людиною, при переходах у паралельні простори кулі, що зменшуються у розмірах; б) Чотиривимірна куля являє собою сукупність куль, що зменшуються «злилися», є перерізами чотиривимірної кулі тривимірними просторами, паралельними простору P

Розглянемо чотиривимірну кулю з різних боків. Спостерігач, що знаходиться в тривимірному просторі P з вимірами y, z, t і дивиться у напрямку t, бачитиме кулю (рис. 12), яка складається з перерізів куль, що утворюють чотиривимірну кулю (на рис. 11 це куля 2).

Спостерігач, що знаходиться в просторі Q і дивиться в напрямку x, також побачить тривимірну кулю (рис 12). Таким чином, спостерігачі, що знаходяться в просторах P і Q, бачать одну і ту ж картинку - тривимірну кулю. Однак кулі, які вони спостерігають, є різними геометричними об'єктами, що знаходяться в різних просторах і перетинаються двовимірним колом.

Малюнок 12. Спостерігачі, що перебувають у просторах, що перетинаються P і Q бачать тривимірну кулю. Однак насправді вони оглядають різні кулі, що перетинаються кугою.

На жаль, як було зазначено вище, поле нашого зору обмежується тривимірним простором, тому ми не можемо бачити чотиривимірні образи в цілому. Тим не менш, британський математик Ч. Хінтон (1853-1907) розробив особливий метод побудови моделей геометричних фігур у чотиривимірному просторі за їхніми тривимірними перерізами. Цей метод докладно викладено у його монографіях , . Хінтон стверджував, що в результаті багаторічної роботи, в основі якої лежав цей особливий метод, він навчився подумки представляти геометричні образи в чотиривимірному просторі. Він також вважав, що людина, яка досить добре оволоділа цим методом, набуде інтуїтивного уявлення про чотиривимірний простір.

Список літератури:

1.Hinton Charles H. New Era of Thought, orig. 1888, reprinted 1900, Swan Sonnenschein & Co. Ltd., London – с. 240.

Ще коли я був студентом-першокурсником у мене з одним моїм одногрупником вийшла гаряча суперечка. Він казав, що чотиривимірний куб уявити не можна ні в якому вигляді, а я запевняв, що його можна уявити досить виразно. Тоді я навіть зробив із скріпок проекцію гіперкуба на наш тривимірний простір… Але давайте про все по-порядку.

Що таке гіперкуб та чотиривимірний простір

У нашому звичному просторі три виміри. З геометричної точки зору це означає, що в ньому можна вказати три взаємно-перпендикулярні прямі. Тобто для будь-якої прямої можна знайти другу, перпендикулярну до першої, а для пари можна знайти третю пряму, перпендикулярну до двох перших. Знайти четверту пряму, перпендикулярну до трьох наявних, вже не вдасться.

Чотиривимірний простірвідрізняється від нашого лише тим, що в ньому є ще один додатковий напрямок. Якщо у вас вже є три взаємно перпендикулярні прямі, то ви можете знайти четверту, таку, що вона буде перпендикуляра всім трьом.

Гіперкубце просто куб у чотиривимірному просторі.

Чи можна уявити чотиривимірний простір та гіперкуб?

Це питання схоже на питання: «чи можна уявити Тайну Вечерю, подивившись на однойменну картину (1495-1498) Леонардо да Вінчі (1452-1519)?»

З одного боку, ви звичайно не уявите те, що бачив Ісус (він сидить обличчям до глядача), тим більше ви не відчуєте запаху саду за вікном і смаку їжі на столі, не почуєте співу птахів… Ви не отримаєте повного уявлення про те, що відбувалося в той вечір, але не можна сказати, що ви не дізнаєтеся нічого нового і що картина не становить жодного інтересу.

Аналогічна ситуація і з питанням про гіперкуб. Цілком уявити його не можна, але можна наблизитися до розуміння, яким він є.

Побудова гіперкубу

0-мірний куб

Почнемо з початку – з 0-мірного куба. Цей куб містить 0 взаємно перпендикулярних граней, тобто це просто точка.

1-мірний куб

В одновимірному просторі ми маємо лише один напрямок. Зсуваємо точку в цьому напрямку та отримуємо відрізок.

Це одновимірний куб.

2-мірний куб

У нас з'являється другий вимір, зрушуємо наш одномірний куб (відрізок) у напрямку другого виміру та отримуємо квадрат.

Це куб у двовимірному просторі.

3-мірний куб

З появою третього виміру чинимо аналогічно: зрушуємо квадрат і отримуємо звичайний тривимірний куб.

4-мірний куб (гіперкуб)

Тепер у нас з'явився четвертий вимір. Тобто у нашому розпорядженні є напрямок, перпендикулярний всім трьом попереднім. Скористаємося ним так само. Чотиривимірний куб виглядатиме ось так.

Звичайно, тривимірний і чотиривимірний куби не можна зобразити на двовимірній площині екрану. Те, що намалював я – це проекції. Про проекції ми поговоримо трохи пізніше, а поки що трохи голих фактів і цифр.

Кількість вершин, ребер, граней

Зверніть увагу, що межею гіперкуба є наш звичайний тривимірний куб. Якщо уважно подивитися на малюнок гіперкуба, то можна знайти вісім кубів.

Проекції та зір мешканця чотиривимірного простору

Декілька слів про зір

Ми живемо у тривимірному світі, але бачимо його двовимірним. Це пов'язано з тим, що сітківка наших очей розташована в площині, що має лише два виміри. Саме тому ми здатні сприймати двовимірні картини та знаходити їх схожими на реальність.

(Звичайно, завдяки акомодації, око може оцінити відстань до об'єкта, але це вже побічне явище, пов'язане з оптикою, вбудованою в наше око.)

Очі мешканця чотиривимірного простору повинні мати тривимірну сітківку. Така істота може відразу побачити тривимірну фігуру повністю: всі її межі та начинки. (Так само ми можемо побачити двовимірну фігуру, всі її грані і начинки.)

Таким чином, за допомогою наших органів зору ми не здатні сприйняти чотиривимірний куб так, як його сприймав би мешканець чотиривимірного простору. На жаль. Залишається тільки сподіватися на уявний погляд і фантазію, які, на щастя, не мають фізичних обмежень.

Проте, зображуючи гіперкуб на площині, я змушений робити його проекцію на двовимірний простір. Зважайте на цю обставину, при вивченні малюнків.

Перетину ребер

Звичайно, ребра гіперкуба не перетинаються. Перетини з'являються лише на малюнках. Втім, це не повинно викликати подиву, адже ребра звичайного куба на малюнках теж перетинаються.

Довжини ребер

Всі грані і ребра чотиривимірного куба рівні. На малюнку вони виходять не рівними тільки тому, що розташовані під різними кутами напряму погляду. Однак можна розгорнути гіперкуб так, що всі проекції матимуть однакову довжину.

До речі, на цьому малюнку виразно видно вісім кубів, які є гранями гіперкубу.

Гіперкуб усередині порожній

У це важко повірити, але між кубами, що обмежують гіперкуб, міститься деякий простір (фрагмент чотиривимірного простору).

Щоб це краще зрозуміти, розглянемо двовимірну проекцію звичайного тривимірного куба (я спеціально зробив її дещо схематичною).

Чи можна по ній здогадатися, що всередині куба є певний простір? Так, але тільки застосувавши уяву. Око цього простору не бачить.

Це тому, що ребра, які у третьому вимірі (яке не можна зобразити на плоскому малюнку), тепер перетворилися на відрізки, що у площині малюнка. Вони більше не забезпечують обсягу.

Квадрати, що обмежують простір куба, наклалися один на одного. Але можна уявити, що у вихідній фігурі (тривимірному кубі) ці квадрати розташовувалися в різних площинах, а не один поверх іншого в одній площині, як це вийшло на малюнку.

Так само справа і з гіперкубом. Куби-грані гіперкуба насправді не накладаються, як це здається нам на проекції, а розташовуються у чотиривимірному просторі.

Розгортки

Отже, мешканець чотиривимірного простору може побачити тривимірний об'єкт одночасно з усіх боків. Чи можемо ми одночасно з усіх боків побачити тривимірний куб? Оком – ні. Але люди вигадали спосіб, як зобразити на плоскому малюнку всі грані тривимірного куба одночасно. Таке зображення називається розгорткою.

Розгортка тривимірного куба

Як утворюється розгортка тривимірного куба, всі напевно знають. Цей процес показано на анімації.

Для наочності краю граней куба зроблені напівпрозорими.

Слід зазначити, що ми здатні сприйняти цю двовимірну картинку лише завдяки уяві. Якщо розглянути фази розгортання з суто двомірної точки зору, то процес здаватиметься дивним і зовсім не наочним.

Він виглядає, як поступова поява спершу контурів спотворених квадратів, а потім їхнє розповзання на свої місця з одночасним прийняттям необхідної форми.

Якщо дивитися на куб, що розгортається в напрямку однієї з його граней (з цієї точки зору куб виглядає як квадрат), то процес утворення розгортки ще менш наочний. Все виглядає як виповзання квадратів із початкового квадрата (не розгорнутого куба).

Але не наочнарозгортка тільки для око.

Як зрозуміти 4-х мірний простір?

Саме завдяки уяві з неї можна отримати багато інформації.

Розгортка чотиривимірного куба

Зробити анімований процес розгортання гіперкуба хоч наочним просто неможливо. Але цей процес можна уявити. (Для цього треба подивитися на нього очима чотиривимірної істоти.)

Розгортка виглядає так.

Тут видно всі вісім кубів, що обмежують гіперкуб.

Однаковими квітами пофарбовані грані, які мають поєднатися при згортанні. Сірими залишені грані для яких парних не видно. Після згортки верхня грань верхнього куба повинна поєднатися з нижньою гранню нижнього куба. (Аналогічно згортається розгортка тривимірного куба.)

Зверніть увагу, що після згортки всі грані восьми кубиків прийдуть у дотик, замкнувши гіперкуб. І нарешті, представляючи процес згортання, не забувайте, що при згортанні відбувається не накладення кубів, а обертання ними якоїсь (гіперкубічної) чотиривимірної області.

Сальвадор Далі (1904-1989) багато разів зображував розп'яття, а хрести фігурують у багатьох його картинах. На картині "Розп'яття" (1954) використовується розгортка гіперкуба.

Простір-час та евклідовий чотиривимірний простір

Сподіваюся, що вам вдалося уявити гіперкуб. Але чи вдалося вам наблизитися до розуміння, як влаштовано чотиривимірний простір-час у якому ми живемо? На жаль, не зовсім.

Тут ми говорили про евклідове чотиривимірне простір, але простір-час має зовсім інші властивості. Зокрема, при будь-яких поворотах відрізки залишаються завжди нахилені до осі часу або під кутом менше 45 градусів або під кутом більше 45 градусів.

Властивості простору часу я присвятив серію нотаток.

Тривимірність зображення

Світ тривимірний. Його зображення двовимірне. Важливим завданням живопису і тепер фотографії є ​​передача тривимірності простору. Деякі прийоми володіли вже римляни, потім вони були забуті і почали повертатися в класичний живопис з Ренесансом.

Основний прийом створення тривимірного простору у живописі – перспектива. Залізничні рейки, віддаляючись від глядача, візуально звужуються. У живописі рейки можна фізично звузити. У фотографії перспектива виникає автоматично: камера зніме рейки такими ж звуженими, як їх бачить око. Однак не допускайте майже змикання: воно виглядатиме вже не перспективою, а дивною фігурою; між рейками, сторонами вулиці, берегами річки має зберігатися помітний просвіт.

Важливо розуміти, що лінійна перспектива є найбільш примітивним, реалістичним способом передачі світу.

Post navigation

Невипадково її поява пов'язані з театральними декораціями (Флоренський, “Зворотна перспектива”). Умовність, простота передачі театральної сцени невеликої глибини, дуже підходить для фотографії, позбавленої різноманітності прийомів, доступних у живописі.

Існують перспективи, значно цікавіші, ніж лінійна. У роботах китайських майстрів є плаваюча перспектива, коли об'єкти зображені одночасно знизу, зверху і спереду. Вона була технічною помилкою некомпетентних художників: легендарний автор цієї техніки, Guo Xi писав, що таке відображення дозволяє усвідомити світ у його тотальності. Аналогічна техніка російського іконопису, в якому глядач може бачити обличчя та спину персонажа одночасно. Цікавим прийомом іконопису, що зустрічається також у західноєвропейських художників, була зворотна перспектива, в якій віддалені об'єкти, навпаки, більш близькі, підкреслюючи важливість. Тільки в наші дні було встановлено, що така перспектива правильна: на відміну від віддалених предметів, ближній план сприймається в зворотній перспективі (Раушенбах). Засобами фотошопу можна досягти зворотної перспективи, збільшуючи об'єкти заднього плану. Для звиклого до законів фотографії глядача виглядати таке зображення буде дивним.

Введення в кадр кута будівлі, від якої обидві сторони розходяться стіни, створює подібність ізометричної перспективи. Мозок розуміє, що стіни знаходяться під прямим кутом, і розкладає решту зображення відповідно. Така перспектива динамічніша за фронтальну і природніша для ближнього плану. Просто вводіть у кадр торцеві кути предметів та близько розташованих будівель.

За рахунок розширення ізометрична перспектива мажорна, що рідко підходить для класичного портрета. Лінійна перспектива за рахунок звуження краще передає мінорні емоції.

На етапі зйомки фотографу доступний ряд інструментів, що підкреслюють перспективу. Об'єкти, що йдуть в далечінь, рівної ширини (колія, вулиця, колони, борозни) своїм звуженням і навіть просто видаленням позначають глядачеві тривимірність простору. Ефект сильніший, якщо знімати з низького ракурсу, щоб збільшити спотворення перспективи. Для зйомки пейзажу цього достатньо, але при невеликій глибині зображення інтер'єрної зйомки ефект малопомітний. Його можна трохи посилити в пост-обробці, завузивши верхню частину зображення (Transform Perspective). Втім, і у пейзажі гіпертрофована перспектива може бути цікавою.

Глибина може бути явною за змістом зображення: будинки розділені вулицею або річкою. Діагональ підкреслює тривимірність; наприклад, міст через річку.

Предмети відомого глядачеві розміру на задньому плані задають масштаб і формують перспективу. У пейзажній зйомці таким предметом може бути автомобіль, а в портретній спробуйте підігнути і підібгати під стілець ногу (від камери), щоб вона, залишаючись видимою, здавалася менше. Можна навіть трохи зменшити цю ногу у постобробці.

Орнамент передає перспективу з допомогою візуального зменшення елементів. Наприклад, велика плитка на підлозі, лінії розмітки на дорозі.

Існує техніка гіпертрофованого переднього плану. Диспропорційно велике, він створює глибину зображення. Порівнюючи масштаб переднього плану та моделі, око приходить до висновку, що модель набагато далі, ніж здається. Гіпертрофованість повинна залишатися ледь помітною, щоб зображення не сприймалося помилкою. Цей прийом підходить не тільки для пост-обробки, але й під час зйомки: спотворіть пропорції, знімаючи об'єктивом 35 або 50мм. Зйомка ширококутним об'єктивом розтягує простір, посилюючи його тривимірність з допомогою порушення пропорцій. Ефект сильніший, якщо знімати модель з близької відстані, але побоюйтеся гротескних пропорцій: лише автори релігійних зображень можуть зображувати людину більше за будову.

Відмінно працює перетин. Якщо яблуко частково закриває собою грушу, мозок не помилиться: яблуко знаходиться попереду груші. Модель, що частково закриває собою меблі, створює тим самим глибину інтер'єру.

Глибину зображення надає також чергування світлих і темних плям. Мозок знає з досвіду, що предмети, що знаходяться поруч, освітлені приблизно однаково, тому інтерпретує по-різному освітлені предмети як розташовані на різній відстані. Для такого ефекту плями чергуються в напрямку осі перспективи — вглиб зображення, а не впоперек нього. Наприклад, знімаючи модель, що лежить від камери у темному кадрі, покладіть відблиски світла біля сідниць та біля ніг. Можна освітлювати/затьмарювати області в пост-обробці.

Послідовність дедалі темніших предметів сприймається зменшується. За рахунок поступового затінення об'єктів, розташованих за активною лінією, можна отримати тонке відчуття перспективи. Аналогічно, глибина передається ослабленням світла: пустіть смугу світла на меблі або на підлозі.

Тривимірне зображення можна отримати за рахунок не лише світлового, а й колірного розмаїття. Цей прийом був відомий фламандським живописцям, які мали на своїх натюрмортах яскраві кольорові плями. Червоний гранат і жовтий лимон поруч виглядатимуть тривимірно навіть за плоского фронтального освітлення. Особливо добре вони виступатимуть уперед на тлі фіолетового винограду: теплий колір на тлі холодного. Яскраві кольорові поверхні добре вириваються із темряви навіть слабким світлом, типовим для натюрморту. Контраст кольорів краще працює із основними кольорами: червоним, жовтим, синім, а не відтінками.

На чорному тлі жовтий колір виступає вперед, синій ховається назад. На білому тлі – навпаки. Насиченість кольору посилює цей ефект. Чому так відбувається? Жовтий колір не буває темним, тому мозок відмовляється вірити в те, що жовтий предмет може бути занурений у темне тло, не освітлений. Синій колір, навпаки, чорний.

Посилення перспективи в пост-обробці зводиться до імітації атмосферного сприйняття: віддалені об'єкти здаються нам світлішими, розмитими, зі зниженим контрастом за яскравістю, насиченістю та тоном.

Крім великих відстаней, атмосферні ефекти природно виглядають у ранковому серпанку, тумані, накуреному барі. Враховуйте погоду: у хмарний день або в сутінках не може бути значної різниці між переднім та заднім планами.

Найсильніший із чинників — контраст за яскравістю. У налаштуваннях це звичайний контраст. Зменште контрастність віддалених предметів, підніміть контрастність переднього плану – і зображення стане опуклим. Мова не про контраст між переднім і заднім планами, а про контрастність заднього плану, яка повинна бути нижчою за контрастність переднього. Цей метод підходить не тільки для пейзажів та жанрової зйомки, а й студійного портрета: підніміть контраст передньої частини обличчя, знизьте контраст на волоссі та вилицях, одязі. Портретні фільтри роблять щось схоже, розмиваючи шкіру моделі та залишаючи різкими очі та губи.

Коригування контрасту - найпростіший спосіб тривимірної пост-обробки зображення. На відміну від інших процесів, глядач практично не помітить змін, що дозволить зберегти максимальну природність.

На зниження розмаїття схоже розмиття, але це різні процеси. Зображення може бути низькоконтрастним, залишаючись різким. В силу обмеженої глибини різкості, розмиття видалених предметів залишається найбільш популярним способом передачі тривимірності на фотографії, і його легко посилити, розмивши далекий план пост-обробки. Тому ж на задньому плані слід мати менше деталей — мозок не очікує помітних предметів вдалині. Тим часом зниження контрасту краще відповідає природному сприйняттю: віддалені гори видно низькоконтрастними, а не розмитими, тому що скануючи пейзаж, погляд постійно перефокусується, йому далека проблема глибини різкості. Розмиваючи задній план, можна заразом підняти різкість переднього. Додатково на передньому плані можна посилити лінії зображення (High Pass Filter або Clarity). Саме висока різкість переднього плану пояснює характерну опуклість зображення високоякісних об'єктивів. Обережно: заради незначного збільшення тривимірності ви можете зробити зображення надто жорстким.

Світліші об'єкти здаються більш віддаленими. Пов'язано це з тим, що в природі ми бачимо далекі об'єкти крізь товщу повітря, що розсіює світло; далекі гори здаються світлими. У пейзажній зйомці слід, тому, обережно ставитися до розташування світлих об'єктів на передньому плані.

Освітліть далекі об'єкти. Чим далі, тим більше вони зливаються з яскравістю і тоном неба. Зверніть увагу, що горизонтальні об'єкти (земля, море) краще освітлюються, ніж вертикальні (стіни, дерева), тому не перестарайтеся з освітленням останніх. У будь-якому випадку об'єкти повинні залишатися помітно менш світлими, ніж небо.

Добре, якщо ви помітили, що освітлення це інший спосіб знизити контраст за яскравістю заднього плану. Ледве затемніть передній план для посилення ефекту опуклості.

Здавалося б, в інтер'єрі все навпаки. Якщо на вулиці око звик до того, що даль світла, то в кімнаті світло часто зосереджене на людині, а інтер'єр занурений у темряву; мозок звик до освітлення переднього плану, а чи не заднього.

На інтер'єрних зображеннях із малою глибиною сцени, на відміну від пейзажних, освітлена модель виступає із темного фону. Але є й протилежний фактор: 99% своєї еволюції, людина спостерігала перспективу на відкритій місцевості, і з появою кімнат мозок ще не встиг перебудуватись. Вермеєр віддавав перевагу світлому фону для портретів, і вони в нього справді опуклі. Освітлення вертикального фону, що рекомендується у фотографії, не тільки відокремлює від нього модель, але й за рахунок освітлення фону надає зображенню невелику тривимірність. Тут ми стикаємося з тим, що мозок аналізує розташування об'єктів за декількома чинниками, і вони можуть бути конфліктуючими.

Цікаво виглядає студійне освітлення, в якому світлові плями лежать на віддалених від камери зонах моделі. Наприклад, підсвічені ті груди, які далі від камери.

Знизьте насиченість кольору на віддалених об'єктах: через товщі повітря, що розділяє нас, далекі гори десатуровані майже до рівня монохрому і вкриті синім серпанком. Насиченість переднього плану можна збільшити.

Оскільки жовтий колір світлий, а синій і червоний темні, то колірний контраст заразом є і контрастом за яскравістю.

Десатуруючи віддалений фон, не дайте йому зникнути. Часто, навпаки, потрібно підняти насиченість далекого плану, щоби проявити його. Це важливіше за тривимірність.

Багато порад із тривимірності фотографії присвячено температурному контрасту. Насправді цей ефект дуже слабкий, легко перебивається контрастом за яскравістю. До того ж, температурний контраст настирливий, впадає у вічі.

Дуже віддалені предмети здаються холоднішого кольору, тому що повітря поглинає тепле оранжеве світло. Фотографуючи модель на пляжі на тлі кораблів, розташованих біля горизонту, в пост-обробці зменшіть колірну температуру далекого моря і суден. Модель у червоному купальнику виступає із синього моря, а модель у жовтому світлі вуличного ліхтаря — із синюватих сутінків.

У цьому полягає окреме тонування: модель робимо тепліше, тло холодніше. Мозок розуміє, що в одній площині різних колірних температур не буває, і сприймає таке тривимірне зображення, на якому модель виступає з фону. Роздільна тонування надає глибину і пейзажам: зробіть передній план теплішим, задній холоднішим.

Важливий виняток із роздільного тонування: на сході та заході сонця, віддалений фон зовсім не холодний, а теплий, з жовтими та червоно-оранжевими тонами. Очевидне рішення - використовувати білошкіру модель у фіолетовому купальнику - не працює, тому що захід сонця наносить теплий відтінок і на тіло моделі.

Узагальним: для надання фотографії тривимірності на основі атмосферних ефектів, необхідно протиставити передній та задній плани. Основне протиставлення - за звичайним контрастом: передній план контрастний, задній - слабоконтрастний. Друге протиставлення — різкістю: передній план різкий, задній — розмитий. Третє протиставлення - по світлі: передній план темний, задній - світлий. Четверте протиставлення – за насиченістю: кольори переднього плану насичені, заднього – десатуровані. П'яте протиставлення – за температурою: передній план теплий, задній – холодний.

Перелічені чинники нерідко різноспрямовані. Жовтий колір яскравіший за синій, а світлі предмети здаються далі темнішими. Природно було б очікувати, що жовтий відступає, а синій — наближається до глядача. Насправді навпаки: теплий колір виступає з холодного фону. Тобто колір виявляється сильнішим чинником, ніж яскравість. Що, на думку, і не дивно: жовтий і червоний добре помітні тільки поблизу, і глядач не очікує їх зустріти на великій відстані.

Підсумок: утримуйте задній план низькоконтрастним, розмитим, світлим, десатурованим, синім. І будьте готові до того, що глядач, який звик до гіпертрофованого 3D кінофільмів, визнає створену вами тривимірність ледь помітною або відсутньою.

У портретній зйомці краще покладатися на перевірений ефект chiaroscuro - гру світлотіні на обличчі моделі, яка зробить зображення досить опуклим. У жанровій зйомці перспектива дає найбільш помітний ефект тривимірності. У натюрморті основним фактором буде перетин предметів.

Не захоплюйтесь перспективою; вона лише фон для фронтальної площини, на якій тремтить ваше зображення. У сучасному живописі, далекому від реалізму, перспектива над пошані.

Завантажити книгу повністю: pdfepubazw3mobifb2litЗміст

Стихії та погода

Наука і техніка

Незвичайні явища

Моніторинг природи

Авторські розділи

Відкриваємо історію

Екстремальний світ

Інфо-довідка

Файловий архів

Дискусії

Послуги

Інфофронт

Інформація НФ ОКО

Експорт RSS

Корисні посилання

Важливі теми

У 1904 р. Анрі Пуанкаре припустив, що будь-який тривимірний об'єкт, що має певні властивості тривимірної сфери, можна перетворити на 3-сферу. На підтвердження цієї гіпотези пішло 99 років. (Увага! Тривимірна сфера – це не те, про що ви подумали.) Російський математик Григорій Перельман довів висловлену сто років тому гіпотезу Пуанкаре та завершив створення каталогу форм тривимірних просторів.

Пуанкаре припустив, що 3-сфера унікальна і ніяке інше компактне 3-різноманіття (некомпактні різноманіття нескінченні або мають краї. Далі розглядаються тільки компактні різноманіття) не має тих властивостей, які роблять її настільки простою. У складніших 3-ма різноманіття є межі, що постають як цегляна стіна, або множинні зв'язки між деякими областями, схожі на лісову стежку, яка то розгалужується, то знову з'єднується. Будь-який тривимірний об'єкт із властивостями 3-сфери можна перетворити на неї саму, тому для топологів він є просто її копією. Доказ Перельмана також дозволяє відповісти на третє питання та провести класифікацію всіх існуючих 3-багатоманітностей.
Вам буде потрібна неабияка уява, щоб уявити собі 3-сферу. На щастя, вона має багато спільного з 2-сферою, типовий приклад якої - гума круглої повітряної кульки: вона двомірна, оскільки будь-яка точка на ній задається всього двома координатами - широтою і довготою. Якщо розглянути досить маленьку її ділянку під потужною лупою, то вона здасться шматочком плоского листа. Крихітній комахі, що повзає по повітряній кульці, він здаватиметься плоскою поверхнею. Але якщо козявка буде досить довго рухатися прямою, то в кінцевому рахунку повернеться в точку відправлення. Так само 3-сферу розміром з наш Всесвіт ми б сприймали як «звичайний» тривимірний простір. Пролетівши досить далеко в будь-якому напрямку, ми зрештою здійснили б «кругосвітню подорож» нею і опинилися б у вихідній точці.
Як ви вже здогадалися, n-мірна сфера називається n-сферою. Наприклад, 1-сфера всім знайома: це просто коло.

Математикам, що доводять теореми про багатовимірні простори, не доводиться уявляти собі об'єкт вивчення: вони поводяться з абстрактними властивостями, керуючись інтуїтивними уявленнями, заснованими на аналогіях з меншим числом вимірів (до таких аналогій потрібно ставитися з обережністю і не приймати їх буквально). Ми також розглядатимемо 3-сферу, виходячи з властивостей об'єктів з меншим числом вимірювань.
1. Почнемо з розгляду кола та обмежує його кола. Для математиків коло – це двовимірна куля, а коло – одномірна сфера. Далі, куля будь-якої розмірності - це заповнений об'єкт, що нагадує кавун, а сфера - це його поверхня, більше схожа на повітряну кульку. Окружність одномірна, тому що положення точки на ній можна задати одним числом.

2. З двох кіл ми можемо побудувати двовимірну сферу, перетворивши один з них на Північну півкулю, а інший - на Південну. Залишилося їх склеїти, і 2-сфера готова.

3. Уявімо мурашки, що повзуть з Північного полюса по великому колу, утвореному нульовим і 180-м меридіаном (ліворуч). Якщо ми відобразимо його шлях на два вихідні кола (праворуч), то побачимо, що комаха рухається прямою лінією (1) до краю північного кола (а), потім перетинає кордон, потрапляє у відповідну точку на південному колі і продовжує слідувати по прямій лінії (2 та 3). Потім мураха знову досягає краю (b), переходить його і знову опиняється на північному колі, прямуючи до вихідної точки - Північного полюса (4). Зауважте, що під час навколосвітньої подорожі по 2-сфері напрямок руху змінюється на протилежний при переході з одного кола на інший.

4. Тепер розглянемо нашу 2-сферу і об'єм (тривимірну кулю), що міститься в ній, і зробимо з ними те ж саме, що з колом і колом: візьмемо дві копії кулі і склеїмо їх межі разом. Наочно показати, як кулі спотворюються у чотирьох вимірах і перетворюються на аналог півкуль, неможливо, та й не потрібно. Досить знати, відповідні точки на поверхнях, тобто. 2-сфери, з'єднані між собою так само, як у випадку з колами. Результат з'єднання двох куль є 3-сферу - поверхня чотиривимірної кулі. (У чотирьох вимірах, де існують 3-сфера і 4-куля, поверхня об'єкта тривимірна.) Назвемо одну кулю північною півкулею, а іншу - південною. За аналогією з колами полюси тепер знаходяться в центрах куль.

5. Уявіть, що розглянуті кулі – великі порожні області простору. Допустимо, з Північного полюса вирушає космонавт на ракеті. Згодом він досягає екватора (1), яким тепер є сфера, що оточує північну кулю. Перетинаючи її, ракета потрапляє в південну півкулю і рухається по прямій лінії через його центр – Південний полюс – до протилежного боку екватора (2 та 3). Там знову відбувається перехід у північну півкулю, і мандрівник повертається на Північний полюс, тобто. у вихідну точку (4). Такий сценарій навколосвітньої подорожі поверхнею 4-мірної кулі! Розглянута тривимірна сфера і є простір, про який йдеться в гіпотезі Пуанкаре. Можливо, наш Всесвіт є саме 3-сферою.

Міркування можна поширити на п'ять вимірів та побудувати 4-сферу, але уявити це надзвичайно складно. Якщо склеїти два n-кулі по навколишніх (n-1)-сферах, то вийде n-сфера, що обмежує (n+1)-куля.

Пройшла половина століття, перш ніж справа про гіпотезу Пуанкаре зрушила з мертвої точки. У 60-х роках. XX ст. математики довели аналогічні їй твердження для сфер п'яти і більше вимірів. У кожному випадку n-сфера дійсно є єдиним і найпростішим n-різноманіттям. Як не дивно, отримати результат для багатовимірних сфер виявилося легше, ніж для 3-4 сфери. Підтвердження для чотирьох вимірів виникло 1982 р. І лише вихідна гіпотеза Пуанкаре про 3-сфері залишалася неподтвержденной.
Вирішальний крок було зроблено у листопаді 2002 р., коли Григорій Перельман, математик із Санкт-Петербурзького відділення математичного інституту ім. Стеклова, надіслав статтю на сайт www.arxiv.org, де фізики та математики з усього світу обговорюють результати своєї наукової діяльності. Топологи відразу вловили зв'язок роботи російського вченого з гіпотезою Пуанкаре, хоча автор її не згадав.

Насправді доказ Перельмана, правильність якого ще нікому не вдалося поставити під сумнів, вирішує набагато ширше коло питань, ніж власне гіпотеза Пуанкаре. Запропонована Вільямом Терстоном (William P. Thurston) з Корнеллського університету процедура геометризації дозволяє провести повну класифікацію 3-багатообразій, в основу якої покладено 3-сферу, унікальну у своїй піднесеній простоті. Якби гіпотеза Пуанкаре була хибною, тобто. існувало б безліч просторів настільки ж простих, як сфера, то класифікація 3-різноманітностей перетворилася б на щось нескінченно складніше. Завдяки Перельману і Терстону у нас з'явився повний каталог усіх допустимих математикою форм тривимірного простору, які міг би прийняти наш Всесвіт (якщо розглядати лише простір без часу).

Щоб глибше зрозуміти гіпотезу Пуанкаре та доказ Перельмана, слід ближче познайомитись із топологією. У цьому розділі математики форма об'єкта не має значення, ніби він зроблений з тіста, яке можна розтягувати, стискати і згинати. Навіщо ж нам замислюватися про речі чи простори з уявного тесту? Справа в тому, що точна форма об'єкта – відстань між усіма його точками – відноситься до структурного рівня, який називають геометрією. Розглядаючи об'єкт із тесту, топологи виявляють його фундаментальні властивості, що не залежать від геометричної структури. Вивчення топології схоже пошук найбільш загальних рис, властивих людям, шляхом розгляду «пластилінового людини», якого можна перетворити на будь-якого конкретного індивіда.
У популярній літературі часто зустрічається побите твердження, що з погляду топології чашка нічим не відрізняється від бублика. Річ у тім, що чашку з тіста можна перетворити на бублик, просто змінюючи матеріал, тобто. нічого не зліплюючи і не роблячи отворів. З іншого боку, щоб зробити бублик із кулі, в ньому неодмінно потрібно зробити дірку або розкотити його в циліндр і зліпити кінці, тому куля - це зовсім не бублик.
Топологів найбільше цікавлять поверхні кулі та бублика. Тому замість суцільних тіл слід уявляти повітряні кульки. Їхня топологія, як і раніше, різна, оскільки сферичну повітряну кульку неможливо перетворити на кільцеву, яка називається тором. Спочатку вчені вирішили розібратися, скільки взагалі існує об'єктів із різною топологією та як їх можна охарактеризувати. Для 2-ма різноманіття, які ми звикли називати поверхнями, відповідь витончена і проста: все визначається кількістю «дірок» або, що те ж саме, кількістю ручок. До кінця ХІХ ст. математики зрозуміли, як класифікувати поверхні, і встановили, що найпростіша їх - сфера. Звичайно, топологи почали замислюватися про тривимірні різноманіття: чи унікальна 3-сфера у своїй простоті? Вікова історія пошуків відповіді сповнена невірних кроків та помилкових доказів.
Анрі Пуанкаре впритул зайнявся цим питанням. Він був одним із двох найсильніших математиків початку XX ст. (Іншим був Давид Гільберт). Його називали останнім універсалом – він успішно працював у всіх розділах як чистої, так і прикладної математики. Крім того, Пуанкаре зробив величезний внесок у розвиток небесної механіки, теорію електромагнетизму, а також у філософію науки, про яку написав кілька популярних книг.
Пуанкаре став засновником топології алгебри і, використовуючи її методи, в 1900 р. сформулював топологічну характеристику об'єкта, названу гомотопією. Щоб визначити гомотопію різноманіття, потрібно подумки занурити в нього замкнуту петлю. Потім слід з'ясувати, чи можна стягнути петлю в крапку, переміщуючи її всередині різноманіття. Для тора відповідь буде негативним: якщо розташувати петлю по колу тора, то стягнути їх у крапку вдасться, т.к. заважатиме «дірка» бублика. Гомотопія – це кількість різних шляхів, які можуть перешкодити стягуванню петлі.

На n-сфері будь-яку, навіть хитромудро закручену петлю завжди можна розплутати і стягнути в крапку. (Петлі дозволяється проходити через саму себе.) Пуанкаре припускав, що 3-сфера - єдине 3-різноманітність, на якому в крапку можна стягнути будь-яку петлю. На жаль, він так і не зміг довести своє припущення, яке згодом почали називати гіпотезою Пуанкаре.

Проведений Перельманом аналіз 3-різноманітностей тісно пов'язаний з процедурою геометризації. Геометрія має справу з фактичною формою об'єктів та різноманіття, зроблених вже не з тіста, а з кераміки. Наприклад, чашка та бублик геометрично різні, оскільки їх поверхні вигнуті по-різному. Кажуть, що чашка та бублик – два приклади топологічного тора, якому надано різні геометричні форми.
Щоб зрозуміти, навіщо Перельман використовував геометризацію, розглянемо класифікацію 2-ма різноманіття. Кожній топологічній поверхні призначено унікальну геометрію, викривлення якої розподілено по різноманіттю рівномірно. Наприклад, для сфери – це ідеально сферична поверхня. Інша можлива геометрія для топологічної сфери - яйце, але його кривизна не скрізь розподілена рівномірно: гострий кінець вигнутий сильніше, ніж тупий.
2-різноманітності утворюють три геометричні типи. Сфера характеризується позитивною кривизною. Геометризований тор - плоский, йому властива нульова кривизна. Всі інші 2-ма різноманіття з двома або більше «дірками» мають негативну кривизну. Їм відповідає поверхня, схожа на сідло, яке спереду та ззаду згинається вгору, а ліворуч та праворуч -вниз. Таку геометричну класифікацію (геометризацію) 2-багатообразий Пуанкаре розробив разом із Паулем Кебе (Paul Koebe) та Феліксом Клейном (Felix Klein), ім'ям якого названо пляшку Клейна.

Виникає природне бажання застосувати подібний метод до 3-ма різноманіттям. Чи можна знайти для кожного з них таку унікальну конфігурацію, у якої кривизна була б рівномірно розподілена по всьому різноманіттю?
Виявилося, що 3-ма різноманіття набагато складніше своїх двовимірних побратимів і більшості з них не можна поставити у відповідність однорідну геометрію. Їх слід розділяти на частини, яким відповідає одна з восьми канонічних геометрій. Ця процедура нагадує розкладання числа на прості множники.

Яким чином можна геометризувати різноманіття і надати йому всюди рівномірне викривлення? Потрібно взяти якусь довільну геометрію з різними виступами та поглибленнями, а потім згладити всі нерівності. На початку 90-х років. XX ст. до аналізу 3-різноманітностей приступив Гамільтон, який скористався рівнянням потоку Річчі, названим так на честь математика Грегоріо Річчі-Курбастро (Gregorio Ricci-Curbastro). Воно в чомусь схоже на рівняння теплопровідності, яке описує теплові потоки, що протікають у нерівномірно нагрітому тілі до тих пір, поки його температура не стане скрізь однаковою. Так само рівняння потоку Річчі задає таку зміну кривизни різноманіття, що веде до вирівнювання всіх виступів і заглиблень. Наприклад, якщо почати з яйця, воно поступово стане сферичним.

Перельман додав до рівняння потоку Річчі новий член. Внесена зміна не усунула проблему особливостей, але дозволила провести набагато глибший аналіз. Російський учений показав, що над різноманіттям у вигляді гантелі можна провести «хірургічну» операцію: відрізати тонку трубку по обидва боки від перетиску, що з'являється, і закласти відкриті трубки, що стирчать з куль, сферичними ковпачками. Потім слід продовжувати зміну «прооперованого» різноманіття відповідно до рівняння потоку Річчі, а до всіх пережимів застосовувати вищеописану процедуру. Перельман також показав, що сигароподібні особливості не можуть з'являтися. Таким чином, будь-яке 3-різноманітність можна звести до набору частин з однорідною геометрією.
Коли потік Річчі і «хірургічну операцію» застосовують до всіх можливих 3-багатообразий, будь-яке з них, якщо воно так само просте, як 3-сфера (інакше кажучи, характеризується такою ж гомотопією), обов'язково зводиться до тієї ж однорідної геометрії, що та 3-сфера. Отже, з топологічної погляду, розглянуте різноманіття і є 3-сфера. Таким чином, 3-сфера є унікальною.

Цінність статей Перельмана полягає у доказі гіпотези Пуанкаре, а й у нових методах аналізу. Вчені всього світу вже використовують у своїх роботах результати, отримані російським математиком, та застосовують розроблені ним методи в інших галузях. Виявилося, що потік Річчі пов'язаний із так званою групою перенормування, яка визначає, як змінюється сила взаємодій залежно від енергії зіткнення частинок. Наприклад, за низьких енергій сила електромагнітної взаємодії характеризується числом 0,0073 (приблизно 1/137). Однак коли два електрони стикаються лоб у лоб при швидкості, що дорівнює швидкості світла, значення цієї сили наближається до 0,0078. Математика, що описує зміну фізичних сил, дуже схожа на математику, яка описує геометризацію різноманіття.
Збільшення енергії зіткнення еквівалентне вивченню сили на менших відстанях. Тому група перенормування подібна до мікроскопа зі змінним коефіцієнтом збільшення, який дозволяє досліджувати процес на різних рівнях деталізації. Так само потік Річчі є мікроскопом для розгляду різноманітностей. Виступи та поглиблення, видимі при одному збільшенні, зникають за іншого. Цілком ймовірно, що в масштабах довжини Планка (близько 10 -35 м) простір, в якому ми живемо, виглядає як піна зі складною топологічною структурою. Крім того, рівняння загальної теорії відносності, що описують характеристики гравітації та великомасштабної структури Всесвіту, тісно пов'язані з рівнянням потоку Річчі. Хоч як це парадоксально, член, доданий Перельманом до виразу, який використовував Гамільтон, виникає у теорії струн, претендує звання квантової теорії гравітації. Не виключено, що в статтях російського математика вчені знайдуть ще багато корисної інформації не тільки про абстрактні 3-ма різноманіття, але також і про простір, в якому ми живемо.

Якийсь час тому на сайті препринтів arXiv.org з'явилося відразу дві роботи, присвячені задачі про щільне впакування куль у просторах розмірності 8 і 24. але про це нижче). Прорив - а йдеться про справжній революційний прорив - став можливим завдяки роботам Марини В'язовської, математики українського походження, яка зараз працює в Німеччині. Ми розповімо історію цього досягнення у десяти коротких сюжетах.

1.

У XVI столітті в Англії проживав відомий придворний діяч та поет сер Волтер Релі. Знаменитий він був, насамперед тим, що, якось, кинув перед королевою в калюжу свій дорогий плащ, щоб її Величність забруднила ніг. Але нам він цікавий не тому.

Була у сера Уолтера Релі пристрасть - дуже він любив грабувати іспанські судна та шукати Ельдорадо. І ось одного разу побачив Релі на кораблі купу складених ядер. І подумав (траплялося таке з британськими придворними), мовляв, було б непогано, якби можна було б дізнатися скільки ядер у купі, не перераховуючи їх. Користь від такого знання, особливо якщо тобі подобається грабувати іспанський флот, очевидна.

Уолтер Релі

Сам Релі був у математиці не дуже, тому він поставив це завдання своєму помічнику Томасу Герріоту. Той, своєю чергою, був у математиці сильний (Херріот, до речі, є винахідником знаків «>» і «<» для сравнения численных величин), поэтому довольно быстро решил эту задачу. Но Хэрриот был хорошим математиком, поэтому он задался вопросом: а как лучше всего укладывать ядра? Сам он немного подумал, но решить задачу не смог.

За коментарями він звернувся до відомого математика свого часу Йоганна Кеплера - тоді помічника Тихо Браге. Кеплер відповіді не дав, але завдання запам'ятав. В 1611 він опублікував невелику брошурку, в якій обговорював чотири питання: чому стільники у бджіл шестикутні, чому пелюстки квітів найчастіше групуються п'ятірками ( Кеплер, мабуть, мав на увазі тількирозоцвітих - прим. N+1), чому зерна граната мають форму додекаедрів (нехай і неправильних) і чому, нарешті, сніжинки мають форму шестикутників.

Йоганн Кеплер

Брошура призначалася в подарунок, тому була швидше філософським і розважальним чтивом, ніж справжньою науковою роботою. Відповідь на перше запитання Кеплер пов'язував із двома умовами - між сотами не повинно бути прогалин, а сума площ осередків має бути мінімальною. Друге питання автор пов'язав з числами Фібоначчі, а розмова про сніжинки наштовхнула Кеплера на міркування про атомарні симетрії.

Третє питання породило гіпотезу у тому, що гексагональна щільна упаковка(Вона на малюнку нижче) є щільною (що означає це в математичному сенсі теж нижче). Зрозуміло, на Херріота Кеплер послатися не вважав за потрібне. Тому це твердження отримало назву гіпотези Кеплера. Закон Стіглера - він принцип Арнольда - у дії.

Так, через 7 років після виходу цієї брошурки серу Волтеру Релі відтяли голову. Втім, із завданням про щільне пакування це ніяк не було пов'язано.

2.

За сучасними мірками завдання, яке вирішував Харріот, було нескладним. Тому розберемо її докладніше. А заразом і краще зрозуміємо, як влаштована гексагональна щільна упаковка.

Отже, головна умова, щоб купа ядер не розкотилася під час гойдання. Отже, викладаємо ядра в ряд на палубі. У наступний ряд кладемо ядра так, щоб кулі розміщувалися у щілинах між сферами першого ряду. Якщо в першому ряду n куль, то в другому n - 1 (бо щілин між кулями на одиницю менше, ніж самих куль). Наступний ряд буде ще на одиницю менше ядер. І так далі, поки ми не отримаємо такий трикутник (якщо дивитися на розкладку зверху):

Ті, хто пам'ятає, що таке арифметична прогресія, легко порахують, що, якщо в першому ряду було n куль, то в такому трикутнику n(n + 1)/2 куль. Якщо дивитись зверху, то між кулями є зручні виїмки. Туди і складатимемо другий шар куль. Вийде трикутник, організований як перший, тільки у якого на одиницю менше кульок осторонь. Отже, ми поклали до купи ще n(n - 1)/2 кулі.

Продовжимо викладати шари до того часу, поки отримаємо шар із однієї кулі. Отримали трикутну піраміду із ядер. Щоб дізнатися, скільки в ній всього ядер, потрібно скласти кількість ядер у кожному шарі. Якщо перший шар був зі стороною n, то отримаємо шарів n, які в сумі дадуть n(n + 1)(n + 2)/6. Допитливий читач помітить, що це точно біноміальний коефіцієнт C 3 n + 2 . Цей комбінаторний збіг тут недарма, але заглиблюватися ми в нього не будемо.

До речі, окрім цього завдання, Герріот зміг визначити, яку приблизно частку займають ядра в досить великому контейнері, якщо прийняти форму останнього за куб. Виявилося, що частка становить π/(3√2) ≈ 0,74048.

3.

Що означає слово міцнау формулюванні завдання? Релі, Герріот, та й сам Кеплер не давали на це точної відповіді. Малася на увазі міцна в якомусь розумному розумінні. Однак для математики таке формулювання не підходить. Її треба уточнити.

Давайте спустимося на розмірність нижче і подивимося, як все влаштовано на площині. Для двовимірного випадку завдання перетворюється на таке: нехай на площині заданий нескінченний набір кіл, що не перетинаються по внутрішній частині (але, можливо, стикаються - тобто мають спільну точку на кордоні). Намалюємо квадрат. Порахуємо суму площ шматків кіл, що потрапили всередину квадрата. Візьмемо відношення цієї суми до площі квадрата, і збільшуватимемо бік квадрата, дивлячись за зміною співвідношення.

Ми отримуємо функцію f(a), де a- Сторона квадрата. Якщо нам пощастило, то ця функція зі зростанням аргументу буде наближатися асимптотично до деякого числа. Це число називається щільністю цієї упаковки. Важливо, що сама функція в якийсь момент може давати значення більшої щільності. Дійсно, якщо квадрат маленький, то цілком міститься у колі і певне відношення одно 1. Але нас цікавить щільність у середньому, тобто, кажучи неформально «для квадрата з досить великою стороною».

Серед усіх таких густин можна знайти максимальну. Саме вона, а також упаковка, що її реалізує, і називатиметься щільною.

«Щільна упаковка не обов'язково єдина (в асимптотичному сенсі). Найгустіших упаковок у 3-мірному просторі - нескінченно багато, і це знав ще Кеплер,» - каже Олег Мусін із Техаського університету в Браунсвіллі.

Після того, як ми визначили поняття найміцніша упаковка, легко зрозуміти, що таке визначення легко поширити на простір довільної розмірності n. Дійсно, замінимо кола на кулі відповідної розмірності, тобто безлічі точок, відстань від яких до фіксованої (називається центром) не перевищує деякої величини, яка називається радіусом кулі. Знову розташуємо їх так, щоб будь-які два у кращому випадку стосувалися, у гіршому – взагалі не мали спільних точок. Визначимо таку ж, як і в попередньому випадку, функцію, взявши об'єм n-вимірного куба і суму об'ємів відповідних n-вимірних куль.

4.

Отже, ми зрозуміли, що гіпотеза Кеплера - це завдання про щільне впакування тривимірних куль у тривимірному просторі. А що там із площиною (якщо ми з неї почали)? Або навіть із прямою? З прямою все просто: куля на прямій - це відрізок. Пряму можна повністю покрити однаковими відрізками, що перетинаються по кінцях. При такому покритті функція f(a)постійна та дорівнює 1.

На площині все виявилося дещо складнішим. Отже, нехай спочатку на площині задано безліч точок. Ми говоримо, що це безліч точок утворює грати, якщо можна знайти пару векторів v і w таких, що всі точки виходять як N * v + M * w де N і М - цілі числа. Аналогічним чином грати можна визначити в просторі скільки завгодно великої розмірності - просто потрібно більше векторів.

Грати важливі з багатьох причин (наприклад, саме у вузлах грати воліють розташовуватися атоми, коли йдеться про тверді матеріали), але для математиків вони хороші тим, що дуже зручні для роботи. Тому з усіх упаковок окремо виділяють клас, у яких центри куль розташовуються у вузлах ґрат. Якщо обмежитися таким випадком, то на площині існує п'ять типів решіток. Щільну упаковку з них дає так, в якій точки розставлені у вершинах правильних шестикутників - як стільники бджіл або атоми графена. Цей факт було доведено Лагранжем у 1773 році. Точніше: Лагранж не цікавився щільними упаковками, а цікавився квадратичними формами. Вже в XX з'ясувалося, що з його результатів форми випливає результат про щільність упаковки для двовимірних решіток.

«У 1831 році Людвіг Зібер написав книгу про тернарні квадратичні форми. У цій книзі була висунута гіпотеза, яка еквівалентна гіпотезі Кеплера для ґратчастих упаковок. Сам Зібер зумів довести лише слабку форму своєї гіпотези та перевірити її для великої кількості прикладів. Рецензію на цю книгу написав великий Карл Фрідріх Гаус. У цій рецензії Гаусс наводить справді дивовижний доказ, що вмістився у 40 рядків. Це, як ми зараз говоримо, "олімпіадні" докази доступні для розуміння школяру старших класів. Багато математиків намагалися знайти прихований сенс у доказі Гауса, але поки що ніхто не досяг успіху», - говорить Олег Мусін.

Що буде, однак, якщо відмовитись від умови сітківки? Тут все виявляється дещо складнішим. Першу повноцінну спробу розібратися з цим випадком зробив норвезький математик Аксель Туе. Якщо заглянути на сторінку, присвячену Туе у Вікіпедії, то нічого про щільну упаковку ми там не знайдемо. Воно і зрозуміло - Туе опублікував дві роботи, що більше нагадують есе, ніж нормальні математичні роботи, в яких, як йому здавалося, повністю вирішив завдання про щільну упаковку. Проблема була лише в тому, що нікого, окрім самого Туе, його міркування не переконали.

Ласло Фейєш Той

Danzer, Ludwig / Wikimedia Commons

Остаточно завдання вирішив угорський математик Ласло Фейеш Тот у 1940 році. Виявилося, до речі, що розташування кіл на площині, що реалізує найбільш щільну упаковку єдино.

5.

Із завданням про щільну упаковку тісно пов'язана задача про контактне число. Давайте знову розглянемо коло на площині. Скільки навколо нього можна розташувати кіл такого ж радіусу, щоб усі вони стосувалися центрального? Відповідь шість. Справді, подивимося на два сусідні кола, що стикаються з нашим центральним. Подивимося відстань від центру центрального кола до центрів цих двох. Воно одно 2R, де R- Радіус кола. Відстань між центрами сусідніх кіл не перевищує 2R.Обчислюючи кут при центрі центрального кола по теоремі косінусів отримуємо, що він не менше 60 градусів. Сума всіх центральних кутів має давати 360 градусів, отже таких кутів може бути не більше 6. А розташування кіл з шістьма кутами ми знаємо.

Отримане число називається контактним числом площини. Аналогічний питання можна поставити для просторів будь-якої розмірності. Нехай простота рішення на площині не вводить читача в оману - завдання про контактні числа якщо і простіше завдання про щільну упаковку, то не сильно. Але результатів у цьому напрямі справді отримано більше.

Для тривимірного простору контактне число стало предметом суспільної суперечки між самим Ісааком Ньютоном та Джеймсом Грегорі у 1694 році. Перший вважав, що контактне число має бути 12, а друге - що 13. Штука в тому, що 12 куль навколо центрального розташувати нескладно - центри таких куль лежать у вершинах правильного ікосаедра (їх у нього якраз 12 штук). Але ці кулі не стикаються! На перший погляд здається, що їх можна посунути так, щоб пролізла ще одна, 13-та куля. Це майже правда: якщо кулі трохи розсунути, зробивши відстань між їхніми центрами та центром центрального 2R,а всього 2.06R,то 13 куль уже помістяться. Але для куль Грегорі був неправий - цей факт довели ван дер Ваарден і Шютте в 1953 році.

Для розмірності 4 це завдання було вирішено Олегом Мусіним у 2003 році. Там контактне число виявилося 24.

6.

Крім цих розмірностей 1, 2, 3 і 4 контактні числа відомі ще в розмірності 8 і 24. Чому саме ці розмірності? Справа в тому, що для них існують дуже цікаві грати, які називаються E8 і грати Ліча.

Отже, ми вже з'ясували, що таке ґрати. Важливою характеристикою ґрат для математики є її симетричність. Під симетричністю розуміється, звичайно, не суб'єктивні відчуття (та й хто цю решітку в розмірності, наприклад, чотири й уявить?), а кількість різних типів рухів простору, які цю решітку переводять у себе. Пояснимо на прикладі.

Візьмемо ту саму гексагональну решітку, яка реалізує щільну упаковку на площині. Легко зрозуміти, що грати перетворюються на себе, якщо зрушувати їх у вектора v і w, які у визначенні. Але, крім цього, ґрати можна крутити навколо центру шестикутника. І обертань таких аж 6 штук: на 0, 60, 120, 180, 240, 300 градусів. Крім цього, грати можна відображати симетрично щодо будь-якої осі симетрії складеного шестикутника. Невелика вправа показує, що, крім зрушень, ми отримуємо 12 перетворень. В інших ґратах таких перетворень менше, тому ми говоримо, що вони менш симетричні.

Так ось, E8 і грати Ліча - це неймовірно симетричні грати. E8 розташовується у 8-мірному просторі. Ці грати в 1877 році вигадали російські математики Коркін і Золотарьов. Вона складається з векторів, всі координати яких цілі числа, які сума - парна. Такі грати за вирахуванням зрушень 696 729 600 перетворень. Грати Ліча існує в двадцятичотиривимірному просторі. Вона складається з векторів з цілими координатами та умовою – сума координат мінус будь-яка координата, помножена на 4, ділиться на 8. У неї просто колосальна кількість симетрій – 8 315 553 613 086 720 000 штук.

Так ось, у 8-мірному та 24-мірному просторі кулі, розташовані у вершинах цих самих грат, стосуються 240 і 19650 куль відповідно. Дивно, але саме це є контактні числа (дивися пункт 5) для просторів відповідної розмірності.

7.

Тепер повернемося до тривимірної нагоди і гіпотезі Кеплера (та сама, про яку ми говорили на самому початку). Це завдання виявилося в рази складнішим за своїх попередників.

Почнемо з того, що існує безліч упаковок з тією ж щільністю, що і гексагональна щільна. Ми починали її викладати, стартуючи з куль, розкладених у вузлах гексагональних ґрат. Але можна зробити по-іншому: наприклад, на першому рівні скласти кулі квадратом, тобто так, щоб вершини куль розташовувалися у вузлах вже квадратних ґрат. У такому разі кожна куля стосується чотирьох сусідів. Другий шар, як і у випадку гексагональної, будемо класти зверху в щілини між кулями першого шару. Така упаковка називається гранецентрованою кубічною упаковкою.Це, до речі, єдина щільна гратчаста упаковка у просторі.

На перший погляд, здається, що ця упаковка має бути гіршою, адже щілини між чотирма кулями в першому шарі сильно більші (за відчуттями), ніж щілини в щільній гексагональній упаковці. Але коли ми кладемо другий ряд, кулі - саме через те, що щілини більше - занурюються глибше. В результаті, як виявляється, щільність виявляється такою самою, як і раніше. Насправді, звичайно, трюк у тому, що така упаковка виходить, якщо на гексагональну подивитися під іншим кутом.

Виходить, що у тривимірному просторі немає таких чудових унікальних грат, як, наприклад, гексагональна на площині або E8 у 8-мірному просторі. На перший погляд, зовсім незрозуміло, як шукати щільну упаковку в тривимірному просторі.

8.

Рішення гіпотези Кеплера народжувалося кілька етапів.

Спочатку Фейеш Той, той самий угорець, який вирішив завдання про щільну упаковку не площини, висловив таку гіпотезу: для того, щоб зрозуміти, щільніша упаковка чи ні, достатньо розглядати кінцеві кластери куль. Як ми з'ясували, на відміну від площини, якщо центральна куля стосується 12 сусідів, то між ними є щілини. Тому Фейеш Тот запропонував вивчати кластери, які з центральної кулі, його сусідів, і сусідів сусідів.

Штука в тому, що це припущення було зроблено у 60-ті роки минулого століття. А завдання про мінімізації обсягу такого кластера - це по суті нелінійне оптимізаційне завдання на функцію приблизно з 150 змінних (у кожної кулі є центр, він задається трьома координатами). Грубо кажучи, така функція має знайти мінімум за деяких додаткових умов. З одного боку завдання стало кінцевим, але з іншого - абсолютно непідйомним з обчислювальної точки зору для людини. Але Фейеш Той не засмутився і заявив, що дуже скоро потрібну обчислювальну потужність будуть мати комп'ютери. Вони й допоможуть.

Гіпотеза Фейєша Тота дуже сподобалася математикам, і вони почали активно працювати в цьому напрямку. На початку 90-х оцінки на максимальну щільність упаковки куль у тривимірному просторі поступово знижувалися. Ідея була в тому, що в якийсь момент оцінка виявиться рівною густиною гранецентрованої кубічної упаковки і, отже, гіпотеза Кеплера буде доведена. У цей час математик Томас Хейлз опублікував свої перші роботи з упаковки. Для роботи він вибрав об'єкт, який називають зірками Делоне (на честь радянського математика Бориса Делоне). Це був сміливий крок - на той час ефективність таких об'єктів для вивчення завдання упаковки була сумнівною.

Усього через 8 років наполегливої ​​праці, 1998 року, Хейлз завершив доказ гіпотези Кеплера. Він звів доказ кінцевого комбінаторного перебору різних структур типу зірок Делоне. Для кожної такої комбінаторної структури необхідно було максимізувати густину. Так як комп'ютер працює нормально лише з цілими числами (просто тому що в математиці числа - це найчастіше нескінченні дроби), то для кожного випадку Делоне автоматично будував наближення зверху за допомогою символьних раціональних обчислень (раціональні числа, адже якщо не переводити їх у десяткові дроби, просто пара цілих). За такого наближення він отримував оцінку на максимум щільності зверху. В результаті всі оцінки виявилися меншими за ту, яку давала гранецентрована кубічна упаковка.

Багатьох математиків, щоправда, збентежила ситуація, де для побудови наближення будувався комп'ютер. Щоб довести, що в комп'ютерній частині доказу у нього немає помилок, Хейлз зайнявся формалізацією та перевіркою, щоправда, також за допомогою комп'ютера. Ця робота, над якою працювала досить велика міжнародна група, було завершено у серпні 2014 року. У доказі помилок не було знайдено.

9.

Докази для розмірності 8 і 24 не вимагають комп'ютера і частково простіше. Якийсь час тому для оцінки максимальної щільності упаковок у цих розмірах були отримані дуже хороші оцінки. Це зробили математики Кон та Елкієс у 2003 році. До речі, цю оцінку (її ще називають кордон Кона - Елкієса) за кілька років до Кона і Елкієса знайшов російський математик Дмитро Горбачов з Тули. Однак, він опублікував цю роботу російською та в тульському журналі. Кон та Елкієс про цю роботу не знали, а коли їм сказали, то вони, до речі, на неї послалися.

«Кордон Кона - Елкієса з'явився на основі робіт Жан Фредеріка Дельсарта та наших чудових математиків Григорія Кабатянського та Володимира Левенштейна. Асимптотична (за розмірністю простору) оцінка щільності упаковок куль у n-мірному просторі, отримана Кабатянським та Левенштейном, „тримається“ з 1978 року. До речі, це Левенштейн та незалежно американці Одлижко та Слоен вирішили завдання контактних чисел у розмірності 8 та 24 у 1979 році. Вони безпосередньо використовували метод Дельсарта – Кабатянського – Левенштейна» – каже Олег Мусін.

Оцінки Кона та Елкієса, насправді, вірні для всіх упаковок, але у розмірності 8 і 24 вони дають дуже хороше наближення. Наприклад, отримана математиками оцінка всього приблизно 0,0001 відсотка більше, ніж щільність E8 у восьмимірному просторі. Тому постало завдання покращити цю оцінку - адже рішення, здавалося б, вже поруч. Більше того, у 2012 році той самий Дмитро Горбачов подав заявку (і виграв) на грант фонду «Династія». У заявці він прямо заявляв, що планує довести густину упаковки E8 у восьмимірному просторі.

Кажуть, що на таку сміливу заяву Горбачова підштовхнув інший математик, Андрій Бондаренко, по суті – наставник, один із наукових керівників Марини В'язовської, тієї самої, яка вирішила завдання для 8-мірного простору (і у співавторстві, для 24-мірного). Саме Бондаренко вона дякує наприкінці своєї проривної роботи. Так от, у Бондаренка та Горбачова не вийшло, а у В'язовської вийшло. Чому ж?

Марина В'язовська

Humboldt University of Berlin

Оцінка Кона - Елкієса пов'язує щільність упаковки з властивістю деякої функції з відповідної множини. Грубо кажучи, щодо кожної такої функції будується оцінка. Тобто основне завдання: знайти потрібну функцію, щоб та оцінка, яка виходить, виявлялася потрібною нам. Так ось, ключовим інгредієнтом у побудові В'язівської є модулярні форми. Ми вже згадували їх стосовно доказу Великої теореми Ферма, за яку . Це досить симетричний об'єкт, який постійно виникає в різних розділах математики. Саме цей інструментарій дозволив знайти потрібну функцію.

У 24-мірному просторі оцінка була отримана тим самим способом. У цієї роботи більше авторів, але в основі лежить те саме досягнення В'язовської (нехай, звичайно, і трохи адаптоване). До речі, в роботі доведено ще один чудовий факт: грати Ліча реалізує єдину періодичну щільну упаковку. Тобто всі інші періодичні упаковки мають щільність меншу за цю. На думку Олега Мусіна, аналогічний результат для періодичних упаковок може бути вірним у розмірах 4 та 8.

10.

З точки зору додатків завдання про щільну упаковку в просторах великої розмірності - це завдання, в першу чергу, про оптимальне кодування з виправленням помилок.

Припустимо, що Аліса і Боб намагаються налагодити спілкування, використовуючи радіосигнали. Аліса каже, що надсилатиме Бобу сигнал, що складається з 24 різних частот. Боб вимірюватиме амплітуду кожної частоти. В результаті у нього вийде набір із 24 амплітуд. Вони, звичайно, задають крапку у 24-мірному просторі – адже їх 24 штуки. Боб і Аліса беруть, скажімо, словник Даля і надають кожному слову свій набір з 24 амплітуд. Виходить, що ми закодували слова зі словника Даля точками 24-мірного простору.

В ідеальному світі більше нічого не потрібно. Але реальні канали передачі додають шумів, отже, під час розкодування Боб може отримати набір амплітуд, який відповідає жодному слову. Але тоді він може подивитися на найближче до розшифрованого слова слово. Якщо таке одне, то, отже, швидше за все це і є. Щоб завжди можна було таке зробити, потрібно, щоб точки простору розташувалися якнайдалі один від одного. Тобто, наприклад, якщо рівень шуму такий, що вноситься спотворення, що зрушує результат на вектор довжини не більше одного, дві точки коду повинні бути точно на відстані не менше двох. Тоді, навіть із спотвореннями, результат у Боба завжди буде близьким до одного єдиного слова – того, яке й потрібне.

При цьому роздмухувати безліч слів теж не дуже хочеться - у нас досить обмежений діапазон, в якому ми можемо передавати інформацію. Скажімо, буде дивно (та й не дуже ефективно), якщо Аліса та Боб почнуть спілкуватися у рентгенівському діапазоні. Тому в ідеалі, відстань між сусідніми словами коду має бути точно два. А це і означає, що слова розташовуються у вершинах куль, радіусу 1, щільно упакованих у 24-мірному просторі.