При вирішенні лінійних рівнянь ми прагнемо знайти корінь, тобто таке значення для змінної, яке перетворить рівняння на правильну рівність.

Щоб знайти корінь рівняння потрібно рівносильними перетворення привести дане нам рівняння до виду

\(x=[число]\)

Це і буде корінням.

Тобто, ми перетворюємо рівняння, роблячи його з кожним кроком все простіше, доки не зведемо до примітивного рівняння «ікс = число», де корінь – очевидний. Найчастіше застосовуваними під час вирішення лінійних рівнянь є такі перетворення:

Наприклад: додамо \(5\) до обох частин рівняння \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Зверніть увагу, що той самий результат ми могли б отримати швидше - просто записавши п'ятірку з іншого боку рівняння і змінивши її знак. Власне, саме так і робиться шкільний «перенесення через рівно зі зміною знака на протилежний».

2. Множення або розподіл обох частин рівняння на однакове число або вираз.

НаприкладРозділимо рівняння \(-2x=8\) на мінус два

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Зазвичай цей крок виконується наприкінці, коли рівняння вже наведено до виду \(ax=b\), і ми ділимо на \(a\), щоб прибрати його зліва.

3. Використання властивостей та законів математики: розкриття дужок, приведення подібних доданків, скорочення дробів тощо.

Додаємо (2x) ліворуч і праворуч

Віднімаємо \(24\) з обох частин рівняння

Знову наводимо подібні доданки

Тепер ділимо рівняння на (-3), тим самим прибираючи перед іксом у лівій частині.

Відповідь : \(7\)

Відповідь знайдено. Однак давайте його перевіримо. Якщо сімка дійсно корінь, то при підстановці її замість ікса в початкове рівняння має вийти правильна рівність - однакові числа ліворуч і праворуч. Пробуємо.

Перевірка:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Зійшлося. Значить, сімка і справді є коренем вихідного лінійного рівняння.

Не лінуйтеся перевіряти підстановкою знайдені відповіді, особливо якщо ви вирішуєте рівняння на контрольній або іспиті.

Залишається питання – а як визначити, що робити із рівнянням на черговому кроці? Як саме його перетворювати? Ділити на щось? Або віднімати? І що саме віднімати? На що ділити?

Відповідь проста:

Ваша мета – привести рівняння до виду \(x=[число]\), тобто зліва ікс без коефіцієнтів і чисел, а праворуч – лише число без змінних. Тому дивіться, що вам заважає та робіть дію, зворотне тому, що робить компонент, що заважає.

Щоб краще це зрозуміти, розберемо кроки рішення лінійного рівняння \(x+3=13-4x\).

Давайте подумаємо: чим це рівняння відрізняється від (x = [число])? Що нам заважає? Що не так?

Ну, по-перше, заважає трійка, бо ліворуч має бути лише самотній ікс, без чисел. А що "робить" трійка? Додаєтьсядо ікса. Значить, щоб її прибрати віднімемотаку ж трійку. Але якщо ми віднімаємо трійку зліва, то маємо відняти її і праворуч, щоб рівність не була порушена.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Добре. Тепер що заважає? \(4x\) праворуч, адже там мають бути лише числа. \(4x\) віднімається- прибираємо додатком.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Тепер наводимо подібні доданки ліворуч і праворуч.

Вже майже готове. Залишилося забрати п'ятірку зліва. Що вона робить"? Помножуєтьсяна ікс. Тому прибираємо її розподілом.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

Рішення завершено, корінь рівняння – двійка. Можете перевірити підстановку.

Зауважимо, що найчастіше корінь у лінійних рівняннях лише один. Однак можуть зустрітися два особливі випадки.

Особливий випадок 1 – у лінійному рівнянні немає коріння.

приклад . Розв'язати рівняння \(3x-1=2(x+3)+x\)

Рішення :

Відповідь : немає коренів

Насправді, те, що ми прийдемо до такого результату, було видно раніше, ще коли ми отримали \(3x-1=3x+6\). Вдумайтесь: як можуть бути рівні \(3x\) з яких відняли \(1\), і \(3x\) до яких додали \(6\)? Очевидно, що ніяк, адже з тим самим зробили різні дії! Зрозуміло, що результати відрізнятимуться.

Особливий випадок 2 – у лінійному рівнянні нескінченна кількість коренів.

приклад . Розв'язати лінійне рівняння \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

Рішення :

Відповідь : будь-яке число

Це, до речі, було помітно ще раніше, на етапі: (8x + 12 = 8x + 12). Справді, ліворуч і праворуч – однакові вирази. Який ікс не підстав - буде одне і те ж число і там, і там.

Більш складні лінійні рівняння.

Вихідне рівняння не завжди відразу виглядає як лінійне, іноді воно маскується під інші, більш складні рівняння. Однак у процесі перетворень маскування спадає.

приклад . Знайдіть корінь рівняння \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

Рішення :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		Здавалося б, тут є ікс у квадраті – це не лінійне рівняння! Але не поспішайте. Давайте застосуємо
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		Чому результат розкриття \((x-4)^(2)\) стоїть у дужці, а результат \((3+x)^(2)\) немає? Тому що перед першим квадратом стоїть мінус, який змінить усі знаки. І щоб не забути про це – беремо результат у дужки, яку тепер розкриваємо.
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		Наводимо подібні доданки
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		Знову наводимо такі.
		Ось так. Виявляється, вихідне рівняння – цілком лінійне, а ікси в квадраті лише ширма, щоб нас заплутати. :) Дорішуємо, ділячи рівняння на (2), і отримуємо відповідь.

Відповідь : \(x=5\)

приклад . Розв'язати лінійне рівняння \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6 )\)

Рішення :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		Рівняння не схоже на лінійне, дроби якісь... Однак позбавимося знаменників, помноживши обидві частини рівняння на загальний знаменник усіх – шістку
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3))\) \(=\) \(\frac( 9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Розкриваємо дужку зліва
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Тепер скорочуємо знаменники
\(3(x+2)-2=9+7x\)		Ось тепер схоже на звичайне лінійне! Дорішуємо його.
		Переносом через збираємо ікси праворуч, а числа зліва
		Ну і поділивши на \(-4\) праву та ліву частину, отримуємо відповідь

Відповідь : \ (x = -1,25 \)

Лінійне рівняння- Це рівняння алгебри. У цьому рівнянні повна міра складових його багаточленів дорівнює одиниці.

Лінійні рівняння представляють у такому вигляді:

У загальній формі: a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + b = 0

У канонічній формі: a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b.

Лінійне рівняння з однією змінною.

Лінійне рівняння з 1-ою змінною наводиться до вигляду:

ax+ b=0.

Наприклад:

2х + 7 = 0. Де а = 2, b = 7;

0,1 х - 2,3 = 0.Де а=0,1, b=-2,3;

12х + 1/2 = 0.Де а = 12, b = 1/2.

Число коренів залежить від aі b:

Коли a= b=0 , Отже, рівняння є необмежену кількість рішень, оскільки .

Коли a=0 , b≠ 0 , Отже, у рівняння немає коренів, оскільки .

Коли a ≠ 0 , Отже, у рівняння є лише один корінь.

Лінійне рівняння із двома змінними.

Рівнянням зі змінною xє рівність типу A(x)=B(x), де A(x)і B(x)- Вирази від x. При підстановці множини Tзначень xв рівняння отримуємо істинну числову рівність, яка називається безліччю істинностіцього рівняння чи розв'язання заданого рівняння, а всі такі значення змінної коріння рівняння.

Лінійні рівняння 2-х змінних представляють у такому вигляді:

У загальній формі: ax + by + c = 0,

У канонічній формі: ax + by = -c,

У формі лінійної функції: y = kx + m, де .

Рішенням чи корінням цього рівняння є така пара значень змінних (x; y), яка перетворює його на тотожність . Цих рішень (коренів) у лінійного рівняння з двома змінними необмежену кількість. Геометричною моделлю (графіком) даного рівняння є пряма y=kx+m.

Якщо у рівнянні є ікс у квадраті, то таке рівняння називається

І т.п., логічно познайомитися з рівняннями та іншими видами. Наступними по черзі йдуть лінійні рівняння, цілеспрямоване вивчення яких починається під час уроків алгебри у 7 класі.

Зрозуміло, спочатку треба пояснити, що таке лінійне рівняння, дати визначення лінійного рівняння, його коефіцієнтів, показати його загальний вигляд. Далі можна розбиратися, скільки розв'язків має лінійне рівняння в залежності від значень коефіцієнтів, і як знаходиться коріння. Це дозволить перейти до вирішення прикладів і тим самим закріпити вивчену теорію. У цій статті ми це зробимо: детально зупинимося на всіх теоретичних та практичних моментах, що стосуються лінійних рівнянь та їх вирішення.

Відразу скажемо, що тут ми розглядатимемо лише лінійні рівняння з однією змінною, а вже в окремій статті вивчатимемо принципи вирішення лінійних рівнянь із двома змінними.

Навігація на сторінці.

Що таке лінійне рівняння?

Визначення лінійного рівняння дається у вигляді його записи. Причому різних підручниках математики і алгебри формулювання визначень лінійних рівнянь мають деякі відмінності, які впливають суть питання.

Наприклад, у підручнику алгебри для 7 класу Ю. Н. Макарічева та ін. Лінійне рівняння визначається наступним чином:

Визначення.

Рівняння виду a x = bде x – змінна, a і b – деякі числа, називається лінійним рівнянням з однією змінною.

Наведемо приклади лінійних рівнянь, які відповідають озвученому визначенню. Наприклад, 5 x = 10 - це лінійне рівняння з однією змінною x тут коефіцієнт a дорівнює 5 а число b є 10 . Інший приклад: −2,3·y=0 – це також лінійне рівняння, але із змінною y , у якому a=−2,3 та b=0 . А в лінійних рівняннях x=−2 та −x=3,33 a не присутні у явному вигляді та дорівнюють 1 та −1 відповідно, при цьому у першому рівнянні b=−2 , а у другому - b=3,33 .

А роком раніше в підручнику математики Віленкіна Н. Я. лінійними рівняннями з одним невідомим крім рівнянь виду a x = b вважали і рівняння, які можна привести до такого виду за допомогою перенесення доданків з однієї частини рівняння в іншу з протилежним знаком, а також за допомогою приведення подібних доданків. Відповідно до цього визначення, рівняння виду 5 x = 2 x 6 і т.п. також лінійні.

У свою чергу у підручнику алгебри для 7 класів А. Г. Мордковича дається таке визначення:

Визначення.

Лінійне рівняння з однією змінною x- Це рівняння виду a x + b = 0, де a і b - деякі числа, звані коефіцієнтами лінійного рівняння.

Наприклад, лінійними рівняннями такого виду є 2·x−12=0 , тут коефіцієнт a дорівнює 2 , а b – дорівнює −12 і 0,2·y+4,6=0 з коефіцієнтами a=0,2 і b =4,6. Але в той же час там наводяться приклади лінійних рівнянь, що мають вигляд не x + b = 0, а x = b, наприклад, 3 x = 12 .

Давайте, щоб у нас надалі не було різночитань, під лінійним рівняннями з однією змінною x і коефіцієнтами a і b розумітимемо рівняння виду a x + b = 0 . Такий вид лінійного рівняння є найбільш виправданим, оскільки лінійні рівняння – це алгебраїчні рівнянняпершого ступеня. А всі інші вказані вище рівняння, а також рівняння, які за допомогою рівносильних перетворень наводяться до вигляду a x + b = 0, будемо називати рівняннями, що зводяться до лінійних рівнянь. При такому підході рівняння 2 · x + 6 = 0 - це лінійне рівняння, а 2 · x = -6 , 4 +25 · y = 6 + 24 · y, 4 · (x +5) = 12 і т.п. - Це рівняння, що зводяться до лінійних.

Як розв'язувати лінійні рівняння?

Тепер настав час розібратися, як вирішуються лінійні рівняння a x + b = 0 . Іншими словами, час дізнатися, чи має лінійне рівняння коріння, і якщо має, то скільки їх і як їх знайти.

Наявність коренів лінійного рівняння залежить від значень коефіцієнтів a і b. При цьому лінійне рівняння a x + b = 0 має

• єдиний корінь при a≠0 ,
• не має коріння при a=0 і b≠0 ,
• має нескінченно багато коренів при a = 0 і b = 0, у цьому випадку будь-яке число є коренем лінійного рівняння.

Пояснимо, як було отримано ці результати.

Ми знаємо, що для вирішення рівнянь можна переходити від вихідного рівняння до рівносильних рівнянь , тобто до рівнянь з тими ж коренями або також як і вихідне, що не має коріння. Для цього можна використовувати такі рівносильні перетворення:

• перенесення доданку з однієї частини рівняння до іншої з протилежним знаком,
• а також множення або розподіл обидві частин рівняння на те саме відмінне від нуля число.

Отже, в лінійному рівнянні з однієї змінної виду a x + b = 0 ми можемо перенести доданок b з лівої частини в праву частину з протилежним знаком. При цьому рівняння набуде вигляду a x = − b .

А далі напрошується поділ обох частин рівняння на число a. Але є одне але: число a може дорівнювати нулю, в цьому випадку такий поділ неможливий. Щоб впоратися з цією проблемою, спочатку вважатимемо, що число a відмінне від нуля, а випадок рівного нулю a розглянемо окремо трохи пізніше.

Отже, коли a не дорівнює нулю, ми можемо обидві частини рівняння a·x=−b розділити на a , після цього воно перетворюється на вигляд x=(−b):a , цей результат можна записати з використанням дробової риси як .

Таким чином, при a≠0 лінійне рівняння a x + b = 0 рівносильне рівнянню , звідки видно його корінь .

Нескладно показати, що це коріння єдине, тобто, лінійне рівняння не має іншого коріння. Це дозволяє зробити метод протилежного.

Позначимо корінь як х 1 . Припустимо, існує ще один корінь лінійного рівняння, який позначимо x 2 , причому x 2 ≠x 1 , що в силу визначення рівних чисел через різницюеквівалентно умові x 1 −x 2 ≠0. Оскільки x 1 і x 2 коріння лінійного рівняння a x + b = 0, то мають місце числові рівності a x 1 + b = 0 і a x 2 + b = 0 . Ми можемо виконати віднімання відповідних частин цих рівностей, що нам дозволяють зробити властивості числових рівностей , маємо a x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , звідки a x 1 x 2)+( b−b)=0 і далі a·(x 1 −x 2)=0 . А ця рівність неможлива, тому що і a≠0 і x 1 −x 2 ≠0 . Так ми дійшли суперечності, що доводить єдиність кореня лінійного рівняння a x + b = 0 при a≠0 .

Так ми вирішили лінійне рівняння a x + b = 0 при a≠0. Перший результат, наведений на початку цього пункту, є обґрунтованим. Залишилися ще два, які відповідають умові a = 0.

При a = 0 лінійне рівняння a x + b = 0 набуває вигляду 0 x + b = 0 . З цього рівняння і властивості множення чисел на нуль випливає, що яке б число ми не взяли як x, при його підстановці рівняння 0 x + b = 0 вийде числова рівність b = 0 . Це рівність правильне, коли b=0 , а інших випадках при b≠0 це рівність неправильне.

Отже, при a = 0 і b = 0 будь-яке число є коренем лінійного рівняння a x + b = 0 , так як за цих умов підстановка замість x будь-якого числа дає правильну числову рівність 0 = 0 . А при a = 0 і b ≠ 0 лінійне рівняння a x + b = 0 не має коренів, так як за цих умов підстановка замість x будь-якого числа призводить до невірної числової рівності b = 0 .

Наведені обґрунтування дозволяють сформувати послідовність дій, що дозволяє вирішити будь-яке лінійне рівняння. Отже, алгоритм вирішення лінійного рівняннятакий:

• Спочатку по запису лінійного рівняння знаходимо значення коефіцієнтів a і b.
• Якщо a=0 і b=0 , це рівняння має нескінченно багато коренів, саме, будь-яке число є коренем цього лінійного рівняння.
• Якщо ж відмінно від нуля, то
• коефіцієнт b переноситься в праву частину з протилежним знаком, при цьому лінійне рівняння перетворюється на вигляд a x = − b ,
• після чого обидві частини отриманого рівняння діляться на відмінне від нуля число a, що дає шуканий корінь вихідного лінійного рівняння.

Записаний алгоритм є вичерпною відповіддю питанням, як вирішувати лінійні рівняння.

На закінчення цього пункту варто сказати, що схожий алгоритм застосовується для вирішення рівнянь виду a x = b. Його відмінність у тому, що з a≠0 відразу виконується розподіл обох частин рівняння цього числа, тут b вже у потрібної частини рівняння і потрібно здійснювати його перенесення.

Для вирішення рівнянь виду a x = b застосовується такий алгоритм:

• Якщо a=0 і b=0 , то рівняння має безліч коренів, якими є будь-які числа.
• Якщо a=0 і b≠0 то вихідне рівняння не має коренів.
• Якщо ж a від нуля, то обидві частини рівняння діляться на відмінне від нуля число a , звідки перебуває єдиний корінь рівняння, рівний b/a .

Приклади розв'язування лінійних рівнянь

Переходимо до практики. Розберемо, як застосовується алгоритм розв'язання лінійних рівнянь. Наведемо рішення характерних прикладів, що відповідають різним значенням коефіцієнтів лінійних рівнянь.

приклад.

Розв'яжіть лінійне рівняння 0·x−0=0 .

Рішення.

У цьому лінійному рівнянні a=0 і b=−0 , що саме, b=0 . Отже, це рівняння має безліч коренів, будь-яке число є коренем цього рівняння.

Відповідь:

x – будь-яке число.

приклад.

Чи має рішення лінійне рівняння 0 x + 2,7 = 0?

Рішення.

У разі коефіцієнт a дорівнює нулю, а коефіцієнт b цього лінійного рівняння дорівнює 2,7 , тобто, відмінний від нуля. Тому лінійне рівняння не має коріння.

Навчитися вирішувати рівняння - це одне з головних завдань, які ставить алгебра перед учнями. Починаючи з найпростішого, коли воно складається з однієї невідомої, і переходячи до складніших. Якщо не засвоєно дій, які потрібно виконати з рівняннями з першої групи, буде важко розібратися з іншими.

Для продовження розмови потрібно домовитись про позначення.

Загальний вид лінійного рівняння з однією невідомою та принцип його вирішення

Будь-яке рівняння, яке може призвести до запису такого виду:

а * х = в,

називається лінійним. Це загальна формула. Але часто у завданнях лінійні рівняння записані у неявному вигляді. Тоді потрібно виконати тотожні перетворення, щоб отримати загальноприйнятий запис. До цих дій належать:

• розкриття дужок;
• переміщення всіх доданків зі змінною величиною в ліву частину рівності, а інших - у праву;
• приведення подібних доданків.

Якщо невідома величина стоїть у знаменнику дробу, потрібно визначити її значення, у яких вираз нічого очікувати мати сенсу. Інакше кажучи, потрібно дізнатися область визначення рівняння.

Принцип, яким вирішуються все лінійні рівняння, зводиться до того що, щоб розділити значення правої частини рівності на коефіцієнт перед змінної. Тобто «х» дорівнюватиме в/а.

Приватні випадки лінійного рівняння та їх вирішення

Під час міркувань можуть бути такі моменти, коли лінійні рівняння приймають одне із особливих видів. Кожен із них має конкретне рішення.

У першій ситуації:

а * х = 0, причому а ≠ 0.

Вирішенням такого рівняння завжди буде х = 0.

У другому випадку «а» набуває значення дорівнює нулю:

0 * х = 0.

Відповіддю такого рівняння буде будь-яке число. Тобто має нескінченну кількість коренів.

Третя ситуація виглядає так:

0 * х = в, де у ≠ 0.

Це рівняння немає сенсу. Тому що коріння, яке задовольняє йому, не існує.

Загальний вигляд лінійного рівняння із двома змінними

З його назви стає зрозумілим, що невідомих величин у ньому вже дві. Лінійні рівняння із двома зміннимивиглядають так:

а * х + в * у = с.

Оскільки в записі зустрічаються дві невідомі, то відповідь буде виглядати як пара чисел. Тобто недостатньо вказати лише одне значення. Це буде неповна відповідь. Пара величин, у яких рівняння перетворюється на тотожність, є рішенням рівняння. Причому у відповіді завжди першою записують ту змінну, яка йде раніше за абеткою. Іноді кажуть, що ці числа йому задовольняють. Причому таких пар може бути безліч.

Як вирішити лінійне рівняння із двома невідомими?

Для цього потрібно просто підібрати будь-яку пару чисел, яка виявиться правильною. Для простоти можна прийняти одну з невідомих рівною якомусь простому числу, а потім знайти другу.

При вирішенні часто доводиться виконувати дії спрощення рівняння. Вони називаються тотожними перетвореннями. Причому для рівнянь завжди справедливі такі властивості:

• кожне доданок можна перенести на протилежну частину рівності, замінивши в нього знак на протилежний;
• ліву та праву частини будь-якого рівняння дозволено ділити на одне й те саме число, якщо воно не дорівнює нулю.

Приклади завдань із лінійними рівняннями

Перше завдання.Розв'язати лінійні рівняння: 4х = 20, 8 (х - 1) + 2х = 2 (4 - 2х); (5х + 15) / (х + 4) = 4; (5х + 15)/(х + 3) = 4.

У рівнянні, яке йде в цьому списку першим, досить просто виконати поділ 20 на 4. Результат дорівнюватиме 5. Це і є відповідь: х=5.

Третє рівняння вимагає, щоб було виконано тотожне перетворення. Воно полягатиме у розкритті дужок та приведенні подібних доданків. Після першої дії рівняння набуде вигляду: 8х - 8 + 2х = 8 - 4х. Потім треба перенести всі невідомі до лівої частини рівності, а решта — до правої. Рівняння виглядатиме так: 8х + 2х + 4х = 8 + 8. Після приведення подібних доданків: 14х = 16. Тепер воно виглядає так само, як і перше, і рішення його легко. Відповіддю буде х = 8/7. Але в математиці потрібно виділяти цілу частину з неправильного дробу. Тоді результат перетвориться, і «х» дорівнюватиме одній цілій і одній сьомій.

У решті прикладів змінні перебувають у знаменнику. Це означає, що спочатку потрібно дізнатися, за яких значень рівняння визначені. Для цього потрібно виключити числа, за яких знаменники звертаються до нуля. У першому прикладі це «-4», у другому воно «-3». Тобто ці значення слід виключити з відповіді. Після цього потрібно помножити обидві частини рівності на вирази у знаменнику.

Розкривши дужки та навівши подібні доданки, у першому з цих рівнянь вийде: 5х + 15 = 4х + 16, а у другому 5х + 15 = 4х + 12. Після перетворень рішенням першого рівняння буде х = -1. Друге виявляється рівним "-3", це означає, що останнє рішень не має.

Друге завдання.Розв'язати рівняння: -7х + 2у = 5.

Припустимо, що перша невідома х = 1, тоді рівняння набуде вигляду -7 * 1 + 2у = 5. Перенісши в праву частину рівності множник «-7» і змінивши у нього знак на плюс, вийде, що 2у = 12. Значить, у =6. Відповідь: одне з розв'язків рівняння х = 1, у = 6.

Загальний вигляд нерівності з однією змінною

Усі можливі ситуації для нерівностей представлені тут:

• а * х > в;
• а*х< в;
• а * х ≥в;
• а * х ≤ ст.

Загалом воно виглядає як найпростіше лінійне рівняння, тільки знак рівності замінений на нерівність.

Правила тотожних перетворень нерівності

Так само як лінійні рівняння та нерівності можна видозмінювати за певними законами. Вони зводяться до наступного:

1. до лівої та правої частин нерівності можна додати будь-яке буквене або числове вираз, причому знак нерівності залишиться тим самим;
2. також можна і помножити або розділити на те саме позитивне число, від цього знову знак не змінюється;
3. при множенні чи розподілі одне і те негативне число рівність залишиться вірним за умови зміни знака нерівності на протилежний.

Загальний вигляд подвійних нерівностей

У завданнях можуть бути такі варіанти нерівностей:

• в< а * х < с;
• в ≤ а * х< с;
• в< а * х ≤ с;
• у ≤ а * х ≤ с.

Подвійними воно називається, тому що обмежене знаками нерівності із двох сторін. Воно вирішується з допомогою тих самих правил, як і звичайні нерівності. І знаходження відповіді зводиться до низки тотожних перетворень. Поки що не буде отримано найпростіше.

Особливості вирішення подвійних нерівностей

Першою є його зображення на координатної осі. Використовувати цей спосіб для простих нерівностей немає потреби. А ось у складних випадках він може бути необхідним.

Для зображення нерівності слід зазначити на осі всі точки, які вийшли під час міркувань. Це і неприпустимі значення, що позначаються виколотими точками, і значення з нерівностей, що вийшло після перетворень. Тут також важливо правильно намалювати крапки. Якщо нерівність сувора, тобто< или >, то ці значення виколоті. У несуворих нерівностях точки потрібно зафарбовувати.

Потім слід позначити сенс нерівностей. Це можна зробити за допомогою штрихування або дуг. Їхнє перетинання вкаже відповідь.

Друга особливість пов'язані з його записом. Тут пропонується два варіанти. Перший – це остаточна нерівність. Другий – у вигляді проміжків. Ось із ним буває, що виникають труднощі. Відповідь проміжками завжди виглядає як змінна зі знаком приналежності та дужок із числами. Іноді проміжків виходить кілька, тоді між дужками потрібно написати символ "і". Ці знаки виглядають так: ∈ та ∩. Дужки проміжків теж грають свою роль. Кругла ставиться тоді, коли точку виключено із відповіді, а прямокутна включає це значення. Знак нескінченності завжди стоїть у круглій дужці.

Приклади розв'язання нерівностей

1. Вирішити нерівність 7 - 5х ≥ 37.

Після нескладних перетворень виходить: -5х ≥ 30. Розділивши на «-5» можна отримати такий вираз: х ≤ -6. Це вже відповідь, але її можна записати і по-іншому: х∈(-∞;-6).

2. Розв'яжіть подвійну нерівність -4< 2x + 6 ≤ 8.

Спочатку потрібно скрізь відняти 6. Вийде: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

Лінійним рівнянням з невідомими x 1 , х 2 , ..., x n називають рівняння виду

A 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b;

числа a та a 2 , a 2 , ..., a n називають коефіцієнтами при невідомих, число b - вільним членом рівняння.

Лінійні рівняння з одним невідомим вміли вирішувати ще у Стародавньому Вавилоні та в Єгипті більш ніж 4 тис. років тому. Наведемо, наприклад, завдання з папірусу Рінда (його називають також папірусом Ахмеса), що зберігається в Британському музеї і належить до періоду 2000-1700 років. до зв. е..: «Знайти число, якщо відомо, що від додавання до нього 2/3 його і віднімання від отриманої суми її третини виходить число 10». Розв'язання цього завдання зводиться до розв'язання лінійного рівняння

x + (2/3)x − (1/3)(x + (2/3)x) = 10, звідки x = 9.

Наведемо також завдання Метродора, про життя якого нічого не відомо, крім того, що він є автором цікавих завдань, складених у віршах.

Тут похований Діофант і камінь могильний
При рахунку майстерному розповість нам,
Наскільки довгим був його вік.
Велінням бога він хлопчиком був шосту частину свого життя;
За дванадцятою частиною потім пройшла його світла юність.
Сьому частину життя додамо - перед нами вогнище Гіменея.
П'ять років протікали; І прислав Ґіменів йому сина.
Але горе дитині! Щойно половину він прожив
Тих років, що батько, як помер нещасний.
Чотири роки страждав Діофант від втрати такої тяжкої
І помер, проживши для науки. Скажи мені,
Скільки років досягнувши, смерть сприйняв Діофант?

Вирішуючи лінійне рівняння

(1/6) x + (1/12) x + (1/7) x + 5 + (1/2) x + 4 = x,

знаходимо, що x = 84 - стільки років прожив Діофант.

Сам Діофант багато уваги приділяв невизначеним рівнянням (так називають алгебраїчні рівняння або системи таких рівнянь з двома та великим числом невідомих з цілими коефіцієнтами, для яких розшукуються цілі чи раціональні рішення; число невідомих має бути більшим за кількість рівнянь). Ці рівняння називаються діофантовими рівняннями. Щоправда, Діофант, який жив межі II–III ст., переважно займався невизначеними рівняннями вищих ступенів.

Систему рівнянь алгебри, кожне з яких має вигляд (1), називають лінійною системою. Коефіцієнти рівнянь, що входять до системи, зазвичай нумерують двома індексами, перший з яких - номер рівняння, а другий (як і в (1)) - номер невідомого. Наприклад, систему m рівнянь із n невідомими записують у вигляді

$\Left. \begin(aligned) ((a)_(11))((x)_(1))+((a)_(12))((x)_(2))+\ldots+((a)_ (1n))((x)_(n))=((b)_(1)), \\((a)_(21))((x)_(1))+((a)_ (22))((x)_(2))+\ldots+((a)_(2n))((x)_(n))=((b)_(2)), \\ ((a )_(m1))((x)_(1))+((a)_(m2))((x)_(2))+\ldots+((a)_(mn))((x) _(n))=((b)_(m)). \\ \end(aligned) \right\)(2)$

Розглянемо систему двох лінійних рівнянь із двома невідомими:

$\Left. \begin(aligned) ((a)_(11))((x)_(1))+((a)_(12))((x)_(2))=((b)_(1 )), \\ ((a)_(21))((x)_(1))+((a)_(22))((x)_(2))=((b)_(2 )), \\ \end(aligned) \right\)(3)$

Помножимо перше рівняння системи (3) на a 22 і віднімемо з отриманого рівняння друге, помножене на a 12 ; аналогічно помножимо друге рівняння системи (3) на a 11 і віднімемо з отриманого рівняння перше, помножене на a 21 . Після цього вийде система:

$\Left. \begin(aligned) (a 11 a 22 - a 12 a 21)x 2 = a 11 b 2 -b 1 a 21 , (a 11 a 22 - a 12 a 21)x 1 = b 1 a 22 - a 12 b 2 , \end(aligned) \right\)(4)$

$\Left. \begin(aligned) (a_(11)a_(22)−a_(12)a_(21))x_2 = a_(11)b_2−b_1a_(21), \\ (a_(11)a_(22)−a_ (12)a_(21))x_1 = b_1a_(22)−a_(12)b_2, \\ \end(aligned) \right\)(4)$

яка є наслідком системи (3). Систему (4) можна записати у вигляді

$\Left. \begin(aligned) Δ⋅x_1=Δ_1, \\ Δ⋅x_2=Δ_2, \\ \end(aligned) \right\)(5)$

де ∆ - визначник матриці, складеної з коефіцієнтів системи (див. Визначник), ∆ i - визначники матриць, одержуваних із попередньою заміною i-го стовпця на стовпець із вільних членів, i = 1,2. Далі, якщо ∆ ≠ 0, то система (5) має єдине рішення:

x 1 = ∆ 1 /∆, x 2 = ∆ 2 /∆.

Безпосередньою підстановкою перевіряється, що ця пара чисел є також рішенням системи (3). За таким самим правилом шукають рішення системи n лінійних рівнянь з n невідомими: якщо визначник системи ∆ відмінний від нуля, то система має єдине рішення, причому

x i = ∆ i /∆

де ∆ i - визначник матриці, одержуваної з матриці, складеної з коефіцієнтів системи, заміною в ній i-го стовпця на стовпець із вільних членів. Описане правило рішення лінійних систем зветься правилом Крамера. (Г. Крамер – швейцарський математик, 1704–1752).

Якщо ∆ = 0, то повинні звертатися на нуль і ∆ 1 і ∆ 2 (інакше (5), а тим більше (3) не має рішень). При виконанні умови ∆ = ∆ 1 = ∆ 2 = 0, якщо відповідні коефіцієнти при невідомих та вільні члени рівняння системи (3) пропорційні, то система матиме нескінченно багато рішень; якщо хоча б один з коефіцієнтів при невідомих відмінний від нуля (наприклад, якщо a 12 ≠ 0), то x 1 можна взяти будь-яким, тоді

x 2 = b 1 /a 12 − a 11 x 1 /a 12

Залишилося розібрати випадок, коли система має вигляд

$\Left. \begin(aligned) 0⋅x_1+,0⋅x_2=b_, \\ 0⋅x_1+,0⋅x_2=b_, \\ \end(aligned) \right\)$

для якого відповідь очевидна: якщо b 1 = b 2 = 0, то рішенням є будь-яка пара чисел, інакше рішень немає.

У загальному випадку для системи з n рівнянь із n невідомими при ∆ ≠ 0 система має єдине рішення, яке, як говорилося, можна знайти за правилом Крамера. Якщо ∆ = 0 і хоча один із визначників ∆ i , відмінний від нуля, система несовместна (т. е. немає рішень). У випадку, коли ∆ = ∆ 1 = ∆ 2 = ... = ∆ n = 0, система може бути несумісною, або мати нескінченно багато рішень. Встановити, який із цих двох випадків реалізується за допомогою визначників, досить складно, і ми цим не займатимемося. Насправді вирішення лінійних систем правилом Крамера зазвичай користуються. Найчастіше для цих цілей застосовують метод Гауса (див. Невідомі винятки).

Як відомо, лінійне рівняння a 1 x 1 + a 2 x 2 = b визначає пряму на площині (x 1 ; x 2) у разі, коли хоча б один із коефіцієнтів a 1 і a 2 відмінний від нуля. Якщо ми візьмемо на площині дві прямі, то можливі наступні випадки (див. малюнок): 1) прямі паралельні і не мають спільних точок, і тоді система не має рішень; 2) прямі перетинаються, і тоді система має одне рішення; 3) прямі збігаються, і тоді система має безліч рішень. Але дві «випадково» взяті прямі, «як правило», будуть перетинатися, тобто, як правило, система двох лінійних рівнянь із двома змінними матиме одне рішення. Будь-яка точка деякої прямої на площині відповідає рішенню «системи» (що складається з одного рівняння), тобто, як правило, має місце випадок 3 (випадок 2 неможливий, а випадок 1 реалізується, якщо ми візьмемо рівняння 0 x 1 + 0 x 2 = b, де b ≠ 0, що не визначає прямої на площині). Якщо ж на площині взяти 3 або більше прямих, то, взагалі кажучи, вони можуть збігатися або проходити через одну точку, але, як правило, має місце перший випадок - у прямих немає загальної точки.