Розглянемо операційний спосіб розв'язання диференціальних рівнянь з прикладу рівняння третього порядку.

Нехай потрібно знайти окреме рішення лінійного диференціального рівняння третього порядку з постійними коефіцієнтами

що задовольняє початковим умовам:

з 0, з 1, з 2 - задані числа.

Користуючись властивістю диференціювання оригіналу, запишемо:

У рівнянні (6.4.1) перейдемо від оригіналів до зображень

Отримане рівняння називають операторнимабо рівнянням у зображеннях. Дозволяють його щодо Y.

Алгебраїчні багаточлени від змінної нар.

Рівність називають операторним розв'язком диференціального рівняння (6.4.1).

Знаходячи оригінал y(t), Що відповідає знайденому зображенню отримуємо окреме рішення диференціального рівняння.

Приклад: методом операційного обчислення знайти окреме рішення диференціального рівняння, що задовольняє заданим початковим умовам

Перейдемо від оригіналів до зображень

Запишемо вихідне рівняння у зображеннях і вирішимо його щодо Y

Щоб знайти оригінал отриманого зображення, знаменник дробу розкладемо на множники і запишемо отриманий дріб у вигляді найпростіших дробів.

Знайдемо коефіцієнти А, В,і З.

Користуючись таблицею, запишемо оригінал отриманого зображення.

Приватне вирішення вихідного рівняння.

Аналогічно застосовується операційний метод для вирішення систем лінійних диференціальних рівнянь із постійними коефіцієнтами

Невідомі функції.

Переходимо до зображень

Отримуємо систему зображувальних рівнянь

Вирішуємо систему методом Крамера. Знаходимо визначники:

Знаходимо рішення зображувальної системи X(p), Y(p), Z(p).

Отримали рішення системи

За допомогою операційного обчислення можна знаходити розв'язки лінійних диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами, рівнянь у приватних похідних; обчислювати інтеграли. У цьому вирішення завдань значно спрощується. Застосовується під час вирішення завдань рівнянь математичної фізики.

Запитання для самоконтролю.

1. Яка функція називається оригіналом?

2. Яка функція називається зображенням оригіналу?

3. Функція Хевісайда та її зображення.

4. Отримати зображення для функцій оригіналів, використовуючи визначення зображення: f(t) = t , .

5. Отримати зображення для функцій , використовуючи властивості перетворень Лапласа.

6. Знайти функції оригінали, користуючись таблицею зображень: ;

7. Знайти окреме рішення лінійного диференціального рівняння методами операційного обчислення.

Література: стор 411-439, стор 572-594.

Приклади: стор. 305-316.

ЛІТЕРАТУРА

1. Данко П.Є. Вища математика у вправах та завданнях. У 2-х год. Ч. I: Навч. посібник для втузов./П.Є. Данко, О.Г. Попов, Т.Я. Кожевнікова - М.: Вищ. шк., 1997. - 304с.

2. Данко П.Є. Вища математика у вправах та завданнях. У 2-х год. Ч. II: Навч. посібник для втузов./П.Є. Данко, О.Г. Попов, Т.Я. Кожевнікова - М.: Вищ. шк., 1997. - 416с.

3. Каплан І.А. Практичні заняття з вищої математики. Частина 4. / І.А. Каплан – Видавництво Харківського державного університету, 1966 р., 236 с.

4. Піскунов Н.С. Диференціальне та інтегральне обчислення. У 2-х томах, тому 1: навч. посібник для втузов./Н.С. Піскунов - М.: вид. «Наука», 1972. – 456 с.

5. Піскунов Н.С. Диференційне та інтегральне обчислення для втузів. У 2-х томах, тому 2: навч. Посібник для втузов./ Н.С. Піскунов -М.: вид. «Наука», 1972. - 456 с.

6. Письмовий Д.Т. Конспект лекцій з вищої математики: повний курс.-4-е вид. / Д.Т. Письмовий-М.: Айріс-прес, 2006.-608 с. - (Вища освіта).

7. Слобідська В.А. Стислий курс вищої математики. Вид. 2-ге, перероб. та дод. Навч. посібник для втузов. / В.А. Слобідська - М.: Вищ. шк., 1969. - 544с.

Конспект лекцій Вища математика

для студентів напряму 6.070104 «Морський та річковий транспорт»

спеціальності «Експлуатація суднових енергетичних установок»

денної та заочної форми навчання 2 курс

Тираж______екз. Підписано до друку ______________

Замовлення № __________. Обсяг__2,78__п.л.

Вид-во «Керченський державний морський технологічний університет»

98309 р. Керч, Орджонікідзе, 82

Як вирішити диференціальне рівняння
методом операційного обчислення?

На даному уроці буде детально розібрано типове і поширене завдання комплексного аналізу – знаходження приватного рішення ДК 2-го порядку з постійними коефіцієнтами методом операційного обчислення. Знову і знову позбавляю вас упередження, що матеріал неймовірно складний і недоступний. Смішно, але для освоєння прикладів можна взагалі не вміти диференціювати, інтегрувати і навіть не знати, що таке комплексні числа. Потрібна навичка застосування методу невизначених коефіцієнтів, який детально розібраний у статті Інтегрування дробово-раціональних функцій. Фактично наріжним каменем завдання є звичайні дії алгебри, і я впевнений, що матеріал доступний навіть для школяра.

Спочатку стислі теоретичні відомості про аналізований розділ математичного аналізу. Основна суть операційного обчисленняполягає в наступному: функція дійсноюзмінною за допомогою так званого перетворення Лапласавідображається в функцію комплексноїзмінної :

Термінологія та позначення:
функція називається оригіналом;
функція називається зображенням;
великою літерою позначається перетворення Лапласа.

Говорячи простою мовою, дійсну функцію (оригінал) за певними правилами потрібно перетворити на комплексну функцію (зображення). Стрілочка означає саме це перетворення. А самі «певні правила» і є перетворенням Лапласа, яке ми розглянемо лише формально, чого для вирішення завдань буде цілком достатньо.

Здійсненно і зворотне перетворення Лапласа, коли зображення перетворюється на оригінал:

Навіщо це все потрібно? У ряді завдань вищої математики буває дуже вигідно перейти від оригіналів до зображень, оскільки в цьому випадку рішення завдання значно спрощується (жарт). І саме одне з таких завдань ми й розглянемо. Якщо ви дожили до операційного обчислення, то формулювання має бути вам добре знайоме:

Знайти приватне рішення неоднорідного рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами за заданих початкових умов.

Примітка: іноді диференціальне рівняння може бути однорідним: для нього у вищевикладеному формулюванні також застосуємо метод операційного обчислення. Однак у практичних прикладах однорідне ДК 2-го порядкузустрічається вкрай рідко, і далі йтиметься про неоднорідні рівняння.

І зараз буде розібрано третій спосіб - рішення ДУ за допомогою операційного обчислення. Ще раз наголошую на тій обставині, що мова йде про знаходження приватного рішення, Крім того, початкові умови суворо мають вигляд(«Ікси» рівні нулям).

До речі, про «ікси». Рівняння можна переписати у такому вигляді:
, де "ікс" - незалежна змінна, а "гравець" - функція. Я не випадково про це говорю, оскільки в цьому завдання найчастіше використовуються інші літери:

Тобто роль незалежної змінної грає змінна «те» (замість «ікса»), а роль функції відіграє змінна «ікс» (замість «гравця»)

Розумію, незручно звичайно, але краще дотримуватись позначень, які зустрічаються у більшості задачників та методичок.

Отже, наше завдання з іншими літерами записується так:

Знайти окреме рішення неоднорідного рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами за заданих початкових умов .

Сенс завдання анітрохи не змінився, змінилися лише літери.

Як вирішити це завдання методом операційного обчислення?

Насамперед, знадобиться таблиця оригіналів та зображень. Це ключовий інструмент вирішення і без неї не обійтися. Тому, наскільки це можливо, постарайтеся роздрукувати зазначений довідковий матеріал. Відразу ж поясню, що означає буква «пе»: комплексну змінну (замість звичного «зет»). Хоча для вирішення завдань цей факт не має особливого значення, пе так і пе.

За допомогою таблиці оригінали і необхідно перетворити на деякі зображення. Далі слідує ряд типових дій, і використовується зворотне перетворення Лапласа (теж є в таблиці). Таким чином, буде знайдено приватне рішення.

Всі завдання, що приємно, вирішуються за досить жорстким алгоритмом.

Приклад 1

, ,

Рішення:На першому кроці перейдемо від оригіналів до відповідних зображень. Використовуємо ліву сторону.

Спочатку знаємося з лівою частиною вихідного рівняння. Для перетворення Лапласа справедливі правила лінійностіТому всі константи ігноруємо і окремо працюємо з функцією та її похідними.

За табличною формулою №1 перетворюємо функцію:

За формулою №2 , враховуючи початкову умову, перетворюємо похідну:

За формулою №3, враховуючи початкові умови, перетворюємо другу похідну:

Не плутаємось у знаках!

Зізнаюся, правильніше говорити не «формули», а «перетворення», але для простоти іноді називатиму начинку таблиці формулами.

Тепер розуміємося з правою частиною, в якій знаходиться багаточлен. В силу того ж правила лінійностіперетворення Лапласа, з кожним доданком працюємо окремо.

Дивимося на перший доданок: – це незалежна змінна «те», помножена на константу. Константу ігноруємо та, використовуючи пункт №4 таблиці, виконуємо перетворення:

Дивимося на другий доданок: -5. Коли константа перебуває одна, то пропускати її вже не можна. З одиночною константою надходять так: для наочності її можна як твори: , а до одиниці застосувати перетворення:

Таким чином, для всіх елементів (оригіналів) диференціального рівняння за допомогою таблиці знайдено відповідні зображення:

Підставимо знайдені зображення у вихідне рівняння:

Подальше завдання полягає в тому, щоб висловити операторне рішеннячерез все інше, а саме через один дріб. При цьому доцільно дотримуватись наступного порядку дій:

Для початку розкриваємо дужки у лівій частині:

Наводимо подібні доданки в лівій частині (якщо вони є). У разі складаємо числа –2 і –3. Чайникам настійно рекомендую не пропускати цей етап:

Зліва залишаємо доданки, в яких присутній, інші доданки переносимо направо зі зміною знака:

У лівій частині виносимо за дужки операторне рішення, у правій частині наводимо вираз до спільного знаменника:

Багаточлен зліва слід розкласти на множники (якщо це можливо). Вирішуємо квадратне рівняння:

Таким чином:

Скидаємо у знаменник правої частини:

Мета досягнута – операторне рішення виражене через один дріб.

Дія друга. Використовуючи метод невизначених коефіцієнтів, Операційне рішення рівняння слід розкласти у суму елементарних дробів:

Прирівняємо коефіцієнти при відповідних ступенях і вирішимо систему:

Якщо виникли труднощі з , будь ласка, надолужте втрачене у статтях Інтегрування дробово-раціональної функціїі Як розв'язати систему рівнянь?Це дуже важливо, оскільки розкладання на дроби по суті найважливіша частина завдання.

Отже, коефіцієнти знайдені: і операторне рішення постає перед нами в розібраному вигляді:

Зверніть увагу, що константи записані не в чисельниках дробів. Така форма запису вигідніша, ніж . А вигідніше, бо фінальна дія пройде без плутанини та помилок:

Заключний етап завдання полягає в тому, щоб за допомогою зворотного перетворення Лапласа перейти від зображень до відповідних оригіналів. Використовуємо правий стовпець таблиці оригіналів та зображень.

Можливо, не всім зрозуміло перетворення. Тут використано формулу пункту №5 таблиці: . Якщо докладніше: . Власне, для подібних випадків формулу можна модифікувати: . Та й усі табличні формули пункту №5 дуже легко переписати аналогічним чином.

Після зворотного переходу шукане приватне рішення ДК виходить на блюдечку з блакитною облямівкою:

Було:

Стало:

Відповідь:приватне рішення:

За наявності часу завжди бажано виконувати перевірку. Перевірка виконується за стандартною схемою, яка вже розглядалася на уроці Неоднорідні диференціальні рівняння 2-го порядку. Повторимо:

Перевіримо виконання початкової умови:
- Виконано.

Знайдемо першу похідну:

Перевіримо виконання другої початкової умови:
- Виконано.

Знайдемо другу похідну:

Підставимо , і в ліву частину вихідного рівняння:

Отримано праву частину вихідного рівняння.

Висновок: завдання виконане правильно.

Невеликий приклад для самостійного вирішення:

Приклад 2

За допомогою операційного обчислення знайти окреме рішення диференціального рівняння за заданих початкових умов.

Зразок чистового оформлення завдання наприкінці уроку.

Найбільш приватний гість у диференціальних рівняннях експоненти, тому розглянемо кілька прикладів із ними, рідними:

Приклад 3

, ,

Рішення:За допомогою таблиці перетворення Лапласа (ліва частина таблиці) перейдемо від оригіналів до відповідних зображень.

Спочатку розглянемо ліву частину рівняння. Там відсутня перша похідна. Ну, і що з того? Чудово. Роботи менші. Враховуючи початкові умови, за табличними формулами №№1,3 знаходимо зображення:

Тепер дивимося на праву частину: твір двох функцій. Для того, щоб скористатися властивостями лінійностіПеретворення Лапласа, необхідно розкрити дужки: . Так як константи знаходяться у творах, то на них забиваємо, і, використовуючи групу №5 табличних формул, знаходимо зображення:

Підставимо знайдені зображення у вихідне рівняння:

Нагадую, що подальше завдання полягає в тому, щоб висловити операторне рішення через єдиний дріб.

У лівій частині залишаємо доданки, в яких присутній, інші доданки переносимо у праву частину. Заодно в правій частині починаємо потихеньку наводити дроби до спільного знаменника:

Зліва виносимо за дужки, праворуч наводимо вираз до спільного знаменника:

У лівій частині отримано нерозкладний на множники багаточлен. Якщо многочлен не розкладається на множники, його, бідолаху, відразу треба скинути на дно правої частини, забетонувавши ноги в тазику. А в чисельнику розкриваємо дужки і наводимо подібні доданки:

Настав найретельніший етап: методом невизначених коефіцієнтіврозкладемо операторне рішення рівняння на суму елементарних дробів:

Таким чином:

Зверніть увагу, як розкладений дріб: , Незабаром поясню, чому саме так.

Фініш: перейдемо від зображень до відповідних оригіналів, використовуємо правий стовпець таблиці:

У двох нижніх перетвореннях використані формули №№6,7 таблиці, і дріб попередньо розкладалася якраз для «припасування» під табличні перетворення.

В результаті, приватне рішення:

Відповідь:шукане приватне рішення:

Схожий приклад для самостійного вирішення:

Приклад 4

Знайти часткове рішення диференціального рівняння методом операційного обчислення.

Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку.

У Прикладі 4 одна з початкових умов дорівнює нулю. Це, безумовно, спрощує рішення, і найідеальніший варіант, коли обидві початкові умови нульові: . У цьому випадку похідні перетворюються на зображення без хвостів:

Як зазначалося, найбільш складним технічним моментом завдання є розкладання дробу методом невизначених коефіцієнтів, і в моєму розпорядженні є досить трудомісткі приклади. Тим не менш, монстрами залякувати нікого не буду, розглянемо ще пару типових різновидів рівняння:

Приклад 5

p align="justify"> Методом операційного обчислення знайти приватне рішення диференціального рівняння, що задовольняє заданим початковим умовам.
, ,

Рішення:За допомогою таблиці перетворення Лапласа перейдемо від оригіналів до відповідних зображень. Враховуючи початкові умови :

З правою частиною теж жодних проблем:

(Нагадую, що константи-множники ігноруються)

Підставимо отримані зображення у вихідне рівняння та виконуємо стандартні дії, які, я сподіваюся, ви вже добре відпрацювали:

Константу в знаменнику виносимо за межі дробу, головне, потім про неї не забути:

Думав, чи ще додатково виносити двійку з чисельника, проте, прикинувши, дійшов висновку, що даний крок практично не спростить подальшого рішення.

Особливістю завдання є отриманий дріб. Здається, що її розкладання буде довгим і важким, але враження оманливе. Звичайно, бувають складні речі, але в будь-якому випадку – вперед, без страху та сумнівів:

Те, що деякі коефіцієнти вийшли дробовими, непокоїти не повинно, така ситуація не рідкість. Аби техніка обчислень не підвела. До того ж завжди є можливість виконати перевірку відповіді.

В результаті операторне рішення:

Перейдемо від зображень до відповідних оригіналів:

Таким чином, приватне рішення:

Розмір: px

Починати показ зі сторінки:

Транскрипт

1 Рішення диференціальних рівнянь з допомогою перетворення Лапласа (операційний метод) Операційне обчислення одне із найбільш економічних методів інтегрування лінійних диференціальних рівнянь із постійними коефіцієнтами і дуже популярний в інженерів. Метод був запропонований відомим американським електротехніком та фізиком О. Хевісайдом (892 р.). Він запропонував формальні правила поводження з оператором d dx та деякими функціями від цього оператора, використовуючи які вирішив низку найважливіших завдань електродинаміки. Однак операційне літочислення не отримало в працях О. Хевісайда математичного обґрунтування («його математика виникала у фізичному контексті, з якого її нелегко було виділити» [, с. 8]), багато його результатів залишалися недоведеними. Лише у 2-і роки XX століття метод отримав обґрунтування в роботах Бромвіча (T. J. I A. Bromwich) та Карсона (J. R. Carson) 2.. Поняття оригіналу та зображення за Лапласом Визначення. Функцією-оригіналом називається будь-яка комплекснозначна функція f(x) дійсного аргументу x, що задовольняє умовам:) f(x) безперервна при x, за винятком, можливо, кінцевого числа точок точок розриву -го роду; 2) для всіх x< f(x) = ; 3) существуют такие постоянные M >і a >, у яких f(x) M e ax для x. () Диференціальні та інтегральні рівняння: навчальний посібник для студентів фізико-технічного факультету: о 3 год. Частина 2/cост. : Н. Ю. Свєтова, Є. Є. Семенова. Петрозаводськ: Вид-во ПетрГУ, Спроби суворого обґрунтування та «математично прийнятного» викладу обчислення нагадували «загальний штурм» англійський математик Бромвіч (96), американський інженер Карсон (925), голландський інженер-електрик Ван-дер-Поль (). теорій, пов'язаних обчислення Хевісайда з перетворенням Лапласа, з теорією функцій комплексної змінної.

2 2 Точна нижня грань a всіх чисел a, котрим справедлива нерівність (), називається показником зростання функції f(x). Зауважимо, що з будь-якої обмеженої функції показник зростання a =. Найпростішим оригіналом є функція Хевісайда (, x; χ(x) =, x<. Очевидно, для любой функции ϕ(x) { ϕ(x), x, ϕ(x) χ(x) =, x <. Если при x функция ϕ(x) удовлетворяет условиям и 3 определения, то функция ϕ(x)χ(x) является оригиналом. В дальнейшем для сокращения записи будем, как правило, записывать ϕ(x) вместо ϕ(x)χ(x), считая, что рассматриваемые нами функции продолжены нулем для отрицательных значений аргумента x. Определение 2. Функция F (p) комплексного переменного p (p C), определяемая интегралом F (p) = e px f(x) dx, () называется преобразованием Лапласа, или изображением по Лапласу 3, функции f(x). Для указания соответствия между оригиналом и изображением будем использовать следующую запись 4: f(x) F (p). 3 В мемуарах П. Лапласа (782 82) современные оригинал и изображение именуются fonction determinant и fonction generatrice «определяющая функция» и «производящая». Эти названия, хотя и признанные неудачными, сохранились до XX в. Хевисайд употреблял названия «подоператорная функция» (892). Оператор он обозначал буквой p, которая употребляется в современном исчислении . 4 Названия original и image и знак предложил Ван дер Поль в статьях гг. В русской литературе термин изображение и символ, по-видимому, впервые появились в книге харьковских математиков А. М. Эфроса и А. М. Данилевского «Операционное исчисление и контурные интегралы» (937), а термин оригинал только в 953 г. . Используются и другие варианты записи соответствия между оригиналами и изображениями. Например, f(x) F (p) или L{f(x)} = F (p).

3 Для будь-якого оригіналу f(x) його зображення F(p) визначено у напівплощині Re p > a (a показник зростання функції f(x)), де невласний інтеграл () сходиться. приклад. Використовуючи визначення, знайти зображення функції f(x) = sin 3x. Рішення. Для функції f(x) = sin 3x маємо a =. Тому зображення F (p) буде визначено у напівплощині Re p >. Застосуємо формулу () до заданої функції, використовуючи при виконанні перетворень правило інтегрування частинами і обмеження на безліч значень змінної p, що забезпечує збіжність інтеграла: F (p) = px cos 3x = 3 p 2 9 p 2 Отримали рівність: Звідки знаходимо + x=+ + 3 p x=+ x= + 3 p e px cos 3x dx = + e px sin 3x dx = 3 p 2 9 p 2 F (p ). F(p) = 3 p 2 9 p 2 F(p). F (p) = 3 p Таким чином, справедлива наступна відповідність: sin 3x 3 p 2, Re p >. + 9 e px sin 3x dx = 3

4 4 2. Властивості перетворення Лапласа На практиці при побудові зображень використовуються різні прийоми, що ґрунтуються на властивостях перетворення Лапласа. Перерахуємо основні властивості, справедливість яких легко встановити за допомогою визначень зображення та оригіналу. Властивість лінійності. Якщо f(x) F(p), g(x) G(p), то для будь-яких α, β C αf(x) + βg(x) αf(p) + βg(p), Re p > max( a, b). Тут і далі a, b показники зростання функцій f(x) та g(x) відповідно. 2. Теорема подібності. Якщо f(x) F (p), то для будь-якого α > f(αx) α F (p α), Re p > αa. 3. Теорема усунення. Якщо f(x) F (p), то для будь-якого λ C e λx f(x) F (p λ), Re p > a + Re λ. 4. Диференціювання оригіналу. Нехай функція f(x) n разів диференційована. Тоді f(x) pf(p) f(+), f(x) p 2 F(p) pf(+) f(+), f(n) (x) p n F(p) p n f(+). .. pf (n 2) (+) f (n) (+), де f (k) (+) = lim x + f (k) (x), k =, n. Зауваження. При побудові зображень похідних безперервних в нулі функцій запису аргументу функції і її похідних знак "плюс"опускається. 5. Диференціювання зображення. Якщо f(x) F (p), то, зокрема, при n = маємо F(n) (p) (x) n f(x), Re p >. F(p) xf(x).

5 5 6. Інтегрування оригіналу. Якщо f(x) F (p), то x f(ξ) dξ F (p) p, Re p > α. 7. Інтегрування зображення. Якщо інтеграл і F(p)f(x), то pF(p)dpf(x)x, Rep>α. p F (p) dp сходиться 8. Теорема про множення зображень (теорема про пакунок) Якщо f(x) F(p), g(x) G(p), то F(p)g(p) x f(t) g(x t) dt = x f(x t)g(t) dt, коли Re p > max(a, b). Інтеграли у правій частині відповідності називають згорткою функцій f(x) та g(x). 9. Теорема запізнення. Якщо f(x) F (p), то для будь-якого ξ > f(x ξ)χ(x ξ) e ξp F (p), Re p > α. Оригінал зображення відновлюється єдиним чином, з точністю до значень у точках розриву. На практиці зазвичай використовують готові таблиці оригіналів та зображень 5. У таблиці перераховані основні оригінали та зображення, які часто зустрічаються в додатках. Приклад 2. Використовуючи властивості перетворення Лапласа та таблицю основних оригіналів та зображень, знайти зображення наступних функцій: f(x) = e 4x sin 3x cos 2x; 3) f(x) = x 2 e 3x; 2) f(x) = e(x2) sin(x2); 4) f(x) = sin2 x x. 5 Діткін В. А., Прудніков А. П. Довідник з операційного обчислення. М., 965.

6 6 Таблиця. Основні оригінали та зображення Оригінал Зображення Оригінал Зображення p cos ωx p p 2 + ω 2 x n n! p n+ e λx p + λ sin ωx x cos ωx x n e λx n! (p + λ) n+ x sin ωx ω p 2 + ω 2 p 2 ω 2 (p 2 + ω 2) 2 2pω (p 2 + ω 2) 2 Рішення.) Перетворимо вираз для функції f(x) наступним чином: f(x) = e 4x sin 3x cos 2x = 2 e 4x (sin 5x + sin x) = = 2 e 4x sin 5x + 2 e 4x sin x. Оскільки sin x 5 p 2 і sin 5x + p , то, використовуючи властивість лінійності та теорему зміщення, для зображення функції f(x) матимемо: F (p) = () 5 2 (p + 4) (p + 4 )) Оскільки sin x p 2 +, ex sin x (p) 2 +, то, використовуючи теорему запізнення, матимемо f(x) = e x 2 sin (x 2) F (p) = e 2p (p)) Так як x 2 2 p 3 то по теоремі зміщення маємо: f(x) = x 2 e 3x F (p) = 2 (p 3) 3.

7 Наведемо для порівняння спосіб побудови зображення функції f(x) = x 2 e 3x із застосуванням властивості диференціювання зображення: Отримали той самий результат. 4) Так як e 3x p 3; xe 3x d() = dp p 3 (p 3) 2; x 2 e 3x d () 2 dp (p 3) 2 = (p 3) 3. sin 2 x = 2 2 cos 2x 2p 2 p p 2 + 4, то, використовуючи властивість інтегрування зображення, матимемо: sin 2 x ( x 2p) 2 p p 2 dp = + 4 p (= 4 ln p2) 4 ln(p2 + 4) = p 4 ln p 2 p p = 4 ln p2 + 4 p Відновлення оригіналу за зображенням Нехай зображення Y (p) являє собою правильний раціональний дріб (є раціональною функцією). Якщо дріб розкласти на суму найпростіших (елементарних) дробів, то для кожного з них відповідний оригінал можна знайти, використовуючи властивості перетворення Лапласа та таблицю оригіналів та їх зображень. Дійсно, A p a A eax; A (p a) n A (n)! xn e ax.

8 8 Виконавши перетворення дробу Ap + B A (p a) + aa + B A (p a) (p a) 2 = + b2 (pa) 2 + b 2 = (pa) 2 + b 2 + aa + B (pa) 2 + b 2, отримаємо Ap + B (pa) 2 + b 2 A eax cos bx + aa + B e ax sin bx. b Для побудови оригіналу, що відповідає дробу Ap + B ((p a) 2 + b 2) n, можна скористатися теоремою множення. Наприклад, при n = 2 маємо Ap + B ((p a) 2 + b 2) 2 = Ap + B (pa) 2 + b 2 (pa) 2 + b 2. Так як і то При n = 3: Ap + B (p a) 2 + b 2 A eax cos bx + aa + B e ax sin bx = h (x) b (p a) 2 + b 2 b eax sin bx = g(x), Ap + B ((p a) 2 + b 2) 2 = x Ap + B ((p a) 2 + b 2) 2 (pa) 2 + b 2 g (x t) h (t) dt = h 2 (t). x g(x t) h 2 (t) dt, Аналогічно можна розглядати відновлення оригіналів і за n > 3. Знаменник раціональної функції Y (p) є багаточленом порядку k. Якщо він має k різних нулів p i, i =, k, то розклавши

9 знаменник на множники (p i), відповідний оригінал для Y (p) можна знайти за формулою: y (x) = k (Y (p) (p i) e px) p = pi. (2) i= Добуток Y (p)(p p i) дає раціональну функцію, знаменник якої не містить множника (p p i), і обчислений при p = p i визначає коефіцієнт, з яким дріб входить у p p i розкладання функції Y (p) на суму елементарних дробів. Приклад 3. Знайти оригінал, який відповідає зображенню: Y (p) = p 3 p. Рішення. Розклавши задане зображення на суму елементарних дробів: p 3 p = p(p)(p +) = p + 2(p) + 2(p +), знайдемо оригінал Відповідь: y(x) = + ch x. y(x) = + 2 ex + 2 e x = + ch x. Приклад 4. Знайти оригінал зображення: Y (p) = p(p 2 +). Рішення. Оскільки p 2 sin x, то, застосовуючи властивість інтегрування оригіналу, отримаємо: p(p 2 +) x Відповідь: y(x) = cos x. sin t dt = cos t x = cos x. Приклад 5. Знайти оригінал, що відповідає зображенню: Y (p) = (p 2 + 4) 2. 9

10 Рішення. Застосовуючи властивість зображення згортки, матимемо: Y(p) = (p 2 + 4) 2 = p p x sin 2(x t) sin 2t dt. Обчисливши інтеграл, отримаємо шуканий вираз для оригіналу. Відповідь: y(x) = 6 sin 2x x cos 2x. 8 Приклад 6. Знайти оригінал, що відповідає зображенню: Y (p) = p p 3 p 2 6p. Рішення. Оскільки p 3 p 2 6p = p(p 3)(p + 2), то знаменник дробу Y (p) має три прості корені: p =, p 2 = 3 і p 3 = 2. Побудуємо відповідний оригінал за допомогою формули (2): y(x) = (p2 + 2)e px (p 3)(p + 2) + (p2 + 2)e px p= p(p + 2) + (p2 + 2)e px p = 3 p (p 3) = p = 2 = e3x e 2x. Приклад 7. Знайти оригінал, що відповідає зображенню: Y(p) = ep2p(p+)(p2+4). Рішення. Представимо дріб, що входить у вираз у вигляді найпростіших дробів: p(p +)(p 2 + 4) = A p + B p + + Cp + D p Застосовуючи до розкладання метод невизначених коефіцієнтів, отримаємо: Зображення набуде вигляду: A = 4 ; B = D = 5; C = 2. Y(p) = e p 2 4 p 5 e p 2 p + pe p 2 2 p e p 2 5 p (а)

11 Використовуючи співвідношення: p χ(x), p + e x χ(x), p p cos 2x χ(x), p sin 2x χ(x) 2 та враховуючи теорему запізнення, отримаємо для зображення (а) оригінал, що шукається. Відповідь: y(x) = (4 5 e (x 2) cos (2x) sin (2x) 2) χ (x) Розв'язання задачі Коші для диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами Метод розв'язання різних класів рівнянь за допомогою перетворення Лапласа отримав назву операційного методу. Властивість перетворення Лапласа диференціювання оригіналу дозволяє зводити рішення лінійних диференціальних рівнянь із постійними коефіцієнтами до розв'язання рівнянь алгебри. Розглянемо задачу Коші для неоднорідного рівняння з початковими умовами y(n) + a y (n) a n y + a n y = f(x) (3) y() = y, y () = y,..., y (n) ( ) = y n. (4) Нехай функції f(x) і шуканого рішення виконані умови існування перетворення Лапласа. Позначимо через Y(p) зображення невідомої функції (оригіналу) y(x), а через F(p) зображення правої частини f(x): y(x) Y(p), f(x) F(p). За правилом диференціювання оригіналу маємо y (x) py (p) y, y (x) p 2 Y (p) py y, y (n) (x) p n Y (p) p n y p n 2 y... y n.

12 2 Тоді в силу властивості лінійності перетворення Лапласа після його застосування до лівої та правої частин рівняння (3) отримаємо операторне рівняння M(p)Y(p) N(p) = F(p), (5) де M(p) характеристичний багаточлен рівняння (3): M(p) = p n + a p n a n p + a n y, N(p) багаточлен, що містить початкові дані завдання Коші (звертається в нуль при нульових початкових даних): N(p) = y (p n + a p n a n) + + y (p n 2 + a p n a n 2) y n 2 (p + a) + y n, F(p) зображення функції f(x). Дозволяючи операторне рівняння (5), отримуємо зображення Лапласа Y(p) шуканого рішення y(x) у вигляді Y(p) = F(p) + N(p). M(p) Відновлюючи оригінал для Y(p), знаходимо рішення рівняння (3), що задовольняє початковим умовам (4). Приклад 8. Знайти розв'язок диференціального рівняння: y(x) + y(x) = e x, що задовольняє умові: y() =. Рішення. Нехай y(x) Y(p). Оскільки y(x) py(p) y() = py(p), e x p +, то, застосувавши до заданого рівняння перетворення Лапласа, використовуючи властивість лінійності, отримаємо рівняння алгебри щодо Y(p): py(p) + Y (p) = p +. Звідки знаходимо вираз для Y(p):

13 Оскільки маємо Y(p) = p + e x, (p +) 2 + p +. (p +) 2 xe x, Y (p) y (x) = e x x + e x. Перевірка: Покажемо, що знайдена функція є рішенням завдання Коші. Підставляємо вираз для функції y(x) та її похідної в задане рівняння: y(x) = e x x + e x e x = e x x e x x + e x x + e x = e x. Після приведення подібних доданків у лівій частині рівняння отримуємо правильну тотожність: e x e x. Отже, побудована функція є рішенням рівняння. Перевіримо, чи задовольняє вона початковій умові y() = : y() = e + e =. Отже, знайдена функція є вирішенням завдання Коші. Відповідь: y(x) = e x x + e x. Приклад 9. Розв'язати задачу Коші y + y =, y() =, y () =. Рішення. Нехай y(x) Y(p). Оскільки 3 y (x) p 2 Y (p) py() y (), /p, то, застосувавши до рівняння перетворення Лапласа, з урахуванням початкових умов отримаємо (p 2 +)Y (p) = p = Y ( p) = p(p2+). Розкладемо дріб на найпростіші дроби: Y(p) = p За таблицею знайдемо y(x) = cos x. p p 2 +.

14 4 Відновити оригінал зображення можна і застосувавши властивість інтегрування оригіналу (див. приклад 4). Відповідь: y(x) = cos x. приклад. Розв'язати задачу Коші y +3y = e 3x, y() =, y() =. Рішення. Нехай y(x) Y(p). Оскільки y py (p) y(), y (x) p 2 Y (p) py() y (), та e 3x p + 3, то, враховуючи початкові умови, отримаємо операторне рівняння (p 2 + 3p) Y(p) + = p + 2 = Y (p) = p + 3 (p + 3) 2 p. Розкладемо раціональну функцію на найпростіші дроби: p + 2 (p + 3) 2 p = A p + B p C (p + 3) 2 = A (p2 + 6p + 9) + B (p 2 + 3p) + Cp p (p + 3) 2. Складемо систему рівнянь для знаходження коефіцієнтів A, B та C: A + B =, 6A + 3B + C =, 9A = 2, вирішуючи яку знайдемо A = 2/9, B = 2/9, C = /3. Отже, Y(p) = 2 9 p p (p + 3) 2. Використовуючи таблицю, отримаємо відповідь. Відповідь: y(x) = e 3x 3 xe 3x. приклад. Знайти рішення диференціального рівняння: y(x) + 2y(x) + 5y(x) =, що задовольняє умовам: y() =, y() = 2, y() =. Рішення. Нехай y(x) Y(p). Оскільки, враховуючи задані умови, маємо y(x) p Y (p) y() = py(p) () = py(p) +, y (x) p 2 Y (p) p y() y () = = p 2 Y (p) p () 2 = p 2 Y (p) + p 2, y (x) p 3 Y (p) p 2 y () p y () y () = = p 3 Y ( p) p 2 () p 2 = p 3 Y (p) + p 2 2p,

15 після застосування до заданого рівняння перетворення Лапласа отримаємо наступне операторне рівняння: p 3 Y (p) + p 2 2p + 2p 2 Y (p) + 2p 4 + 5pY (p) + 5 = або після перетворень: Y (p) (p 3 + 2p 2 + 5p) = p 2. Вирішуючи це рівняння щодо Y(p), отримаємо Y(p) = p 2 p(p 2 + 2p + 5). Отриманий вираз розкладемо на прості дроби: p 2 p(p 2 + 2p + 5) = A p + Bp + C p 2 + 2p + 5. За допомогою методу невизначених коефіцієнтів знайдемо A, B, C. Для цього наведемо дроби до загального знаменника і прирівняємо коефіцієнти при рівних ступенях p: p 2 p(p 2 + 2p + 5) = Ap2 + 2Ap + 5A + Bp 2 + Cp p(p p + 5) Отримаємо систему рівнянь алгебри щодо A, B, C: рішенням якої будуть: A + B =, 2A + C =, 5A =, A = 5, B = 4 5, C = 2 5. Тоді Y (p) = 5p + 5 4p + 2 p 2 + 2p + 5. Щоб знайти оригінал другого дробу, виділимо в його знаменнику повний квадрат: p 2 + 2p + 5 = (p +) 2 + 4, тоді в чисельнику виділимо доданок p+: 4p+2 = 4(p+)+6 і розкладемо дріб на суму двох дробів : 5 4p + 2 p 2 + 2p + 5 = 4 5 p + (p +) (p +) Далі, скориставшись теоремою зміщення та таблицею відповідності зображень та оригіналів, отримаємо рішення вихідного рівняння. Відповідь: y(x) = e x cos 2x e x sin 2x.

16 6 Операційним методом може бути побудовано загальне рішення рівняння (3). І тому треба конкретні значення y, y,..., y (n) початкових умов замінити на довільні постійні C, C 2,..., C n. Список літератури. Александрова Н. В. Історія математичних термінів, понять, позначень: Словник-довідник. М.: Вид-во ЛКІ, с. 2. Васильєва А. Б. Диференціальні та інтегральні рівняння, варіаційне обчислення в прикладах та завданнях / А. Б. Васильєва, Г. Н. Медведєв, Н. А. Тихонов, Т. А. Уразгільдіна. М.: ФІЗ-МАТЛІТ, с. 3. Сидоров Ю. В. Лекції з теорії функцій комплексного змінного/Ю. В. Сидоров, М. В. Федорюк, М. І. Шабунін.М.: Наука, 989.

ОПЕРАЦІЙНЕ ЗЛІЧЕННЯ Операційне обчислення відноситься до символічних обчислень, в основі яких лежать побудова математичного аналізу як системи формальних операцій над штучно введеним

Заняття 18 Оригінали та їх зображення Операційне обчислення є одним із методів математичного аналізу, який ми будемо застосовувати до вирішення диференціальних рівнянь та систем. Суть застосування цього методу

Зрівняння математичної фізики Збірник прикладів та вправ Петрозаводськ 1 Петрозаводський державний університет Математичний факультет Рівняння математичної фізики Збірник прикладів та вправ

Зміст Вступ. Основні поняття.... 4 1. Інтегральні рівняння Вольтерри... 5 Варіанти домашніх завдань.... 8 2. Резольвента інтегрального рівняння Вольтерри. 10 Варіанти домашніх завдань.... 11

1 Тема 4. Операторний метод розв'язання лінійних диференціальних рівнянь та систем 4.1 Перетворення Лапласа Орігіналом називається будь-яка функція f(t) дійсного змінного t, що задовольняє наступним

ЕЛЕМЕНТИ ОПЕРАЦІЙНОГО ЗЛІЧЕННЯ ВИДАВНИЦТВО ТДТУ МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ ГОУ ВПО «Тамбівський державний технічний університет» ЕЛЕМЕНТИ ОПЕРАЦІЙНОГО

Математичний аналіз Розділ: операційне числення Тема: Перетворення Лапласа та його властивості Лектор Пахомова Є.Г. 2011 11. Оригінал та зображення. Теорема звернення ВИЗНАЧЕННЯ 1. Нехай: R C. Функція

Комплексні числа, функції та дії над ними y модуль R дійсна частина дійств число, yim уявна частина дійсне число iy алгебраїчна форма запису компл числа Головне значення аргументу

Рішення типових варіантів контрольної роботи на тему Інтеграли функції однієї змінної Методичні вказівки УДК 517.91 Методичні вказівки містять докладні рішення типових варіантів контрольної роботи

Глава 1 Операційне обчислення. 1. Визначення перетворення Лапласа. Перетворення Лапласа ставить у відповідність функції f(t) дійсної змінної t функцію F() комплексної змінної = x + iy

МІНІСТЕРСТВО ТРАНСПОРТУ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ ФЕДЕРАЛЬНА ДЕРЖАВНА БЮДЖЕТНА ОСВІТАЛЬНА УСТАНОВА ВИЩОЇ ОСВІТИ «РОСІЙСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ ТРАН

ФЕДЕРАЛЬНА ДЕРЖАВНА БЮДЖЕТНА ОСВІТАЛЬНА УСТАНОВА ВИЩОЇ ОСВІТИ «МОСКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ШЛЯХІВ ПОВІДОМЛЕННЯ ІМПЕРАТОРА МИКОЛА II

82 4. Розділ 4. Функціональні та статечні ряди 4.2. Заняття 3 4.2. Заняття 3 4.2.. Розкладання функції в ряд Тейлора ВИЗНАЧЕННЯ 4.2.. Нехай функція y = f(x) нескінченно диференційована в околиці

Лекція ІНТЕГРУВАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ДРОБІВ Раціональні дроби Інтегрування найпростіших раціональних дробів Розкладання раціонального дробу на найпростіші дроби Інтегрування раціональних дробів Раціональні

ТЕМА 5 Лінійне рівняння Вольтерра -го роду Основні визначення та теореми Рівняння y = λ K(,) y() d+ f(), [, або в операторній формі y = λ By+ f, називається рівнянням Вольтерра -го роду Нехай

Лекція 6 Операційне літочислення Перетворення Лапласа Образи простих функцій Основні властивості перетворення Лапласа Зображення похідної оригіналу Операційне літочислення Перетворення Лапласа

Заняття 19 Розв'язання диференціальних рівнянь та систем операційним методом 19.1 Розв'язання лінійних диференціальних рівнянь із постійними коефіцієнтами Нехай потрібно знайти приватне рішення лінійного

2.2. Операторний метод розрахунку перехідних процесів. Теоретичні відомості. Розрахунок перехідних процесів у складних ланцюгах класичним методом часто утруднений знаходженням постійних інтегрування.

ДОРОХІВ ВМ КЕРІВНИЦТВО ДО РІШЕННЯ ЗАВДАНЬ З ОПЕРАЦІЙНОГО ЗЛІЧЕННЯ МОСКВА, 4 ПЕРЕДМОВА У цьому навчальному посібнику викладено теоретичні основи операційного обчислення Викладаються методи вирішення завдань

Міністерство освіти і науки Російської Федерації ФДБОУ ВПО «Російський хіміко-технологічний університет ім. ДІ Менделєєва» Новомосковський інститут (філія) Контрольна робота 8 з математики (Операційне

УДК 53.7 ПРО ОДНИЙ МЕТОД ЗНАХОДЖЕННЯ ПРИВАТНОГО РІШЕННЯ ЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ З ПОСТОЯННИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ Жанибекова А.А., [email protected]Казахстансько-британський технічний університет,

ІНТЕГРАЛЬНЕ ЗЛІЧЕННЯ НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ Першорядна функція та невизначений інтеграл первісної Лемма Функція F(називається первісною для функції f(на проміжку X, якщо F (= f(X Функція,

Рівняння першого порядку, не дозволені щодо похідної Розглянемо рівняння першого порядку, не дозволені щодо похідної: F (x, y, y) = 0, (1) де F задана функція своїх

II ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ Диференціальні рівняння першого порядку Визначення Співвідношення, в яких невідомі змінні та їх функції знаходяться під знаком похідної чи диференціала, називаються

ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ ОПЕРАЦІЙНЕ ЗЛІЧЕННЯ В результаті вивчення даної теми студент повинен навчитися: знаходити тригонометричну та показову форми комплексного числа

Міністерство освіти і науки Російської Федерації "МАТІ" Російський державний технологічний університет ім. К.Е. Ціолковського Кафедра «Вища математика» Комплексні числа та операційне обчислення

1 Тема 3. Лінійні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами 3.1 Лінійне однорідне рівняння Диференційне рівняння виду y(n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) де a

НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ. Первісна і невизначений інтеграл Основне завдання диференціального обчислення полягає у знаходженні похідної (або диференціалу) цієї функції. Інтегральне числення

Міністерство освіти і науки РФ Ачинська філія федеральної державної автономної освітньої установи вищої професійної освіти «Сибірський федеральний університет» МАТЕМАТИКА

Межа функції. Актуальність вивчення теми Теорія меж відіграє основну роль математичному аналізі, дозволяє визначити характер поведінки функції при заданому зміні аргументу. За допомогою

Первісна і невизначений інтеграл Основні поняття та формули 1. Визначення первісної та невизначеної інтегралу. Визначення. Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на проміжку

Глава 1 Диференціальні рівняння 1.1 Поняття диференційному рівнянні 1.1.1 Завдання, які призводять до диференціальних рівнянь. У класичній фізиці кожній фізичній величині ставиться у відповідність

ЗВИЧАЙНІ ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ Основні поняття Диференціальні рівняння з змінними, що розділяються Багато завдань науки і техніки наводяться до диференціальних рівнянь Розглянемо

Методична розробка Розв'язання задач по ТФКП Комплексні числа Операції над комплексними числами Комплексна площина Комплексне число можна представити в алгебраїчній та тригонометричній експоненціальній

Лекція 3 Ряди Тейлора і Маклорена Застосування статечних рядів Розкладання функцій у статечні ряди Ряди Тейлора і Маклорена Для додатків важливо вміти цю функцію розкладати в статечний ряд, ті функцію

Типового варіанта «Комплексні числа Багаточлени та раціональні дроби» Завдання Дані два комплексні числа і cos sn Знайдіть і результат запишіть в формі алгебри результат запишіть в тригонометричній

Федеральна агенція з освіти Федеральна державна освітня установа вищої професійної освіти ПІВДЕННИЙ ФЕДЕРАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецька Методичні

З П ПЕРЕБРАЖЕНСЬКИЙ, СР ТИХОМИРІВ ІНТЕГРУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ ЗА ДОПОМОГОЮ СТІПЕННИХ РЯДІВ 987 ЗМІСТ Передмова Формулювання завдання 3 Варіанти завдання 3 Приклад виконання

Математичний аналіз Розділ: Невизначений інтеграл Тема: Інтегрування раціональних дробів Лектор Пахомова Є.Г. 0 р. 5. Інтегрування раціональних дробів ВИЗНАЧЕННЯ. Раціональним дробом називається

Міністерство транспорту Російської Федерації ФЕДЕРАЛЬНА ДЕРЖАВНА БЮДЖЕТНА ОСВІТАЛЬНА УСТАНОВА ВИЩОЇ ОСВІТИ «РОСІЙСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТУ (МІІТ)» Інститут економіки та фінансів

ОПЕРАЦІЙНЕ ЗЛІЧЕННЯ Перетворення Лапласа і формула звернення Нехай у проміжку Діріхлі а саме: Інтеграл Фур'є (l l) а) обмежена на цьому відрізку; функція задовольняє умовам б) кусково-безперервна

Міністерство освіти Російської Федерації Російський державний університет нафти та газу імені ІМ Губкіна ВІ Іванов Методичні вказівки до вивчення теми «ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ» (для студентів

57 Розглянемо інтегрування найпростішого раціонального дробу четвертого типу (M N) d () p q p Зробимо заміну змінної, поклавши d. де p q. Тоді Інтеграл M N d p p p q q a, M p N Mp q d M (p q) p

Диференціальне рівняння n-го порядку називається лінійним, якщо воно першого ступеня щодо функції y та її похідних y..., y(n) тобто має вигляд a 0 y(n) + a 1 y (n 1) +. .. + a ny = f(x), де

Математичний аналіз Розділ: Невизначений інтеграл Тема: Інтегрування раціональних дробів Лектор Рожкова С.В. 0 р. 5. Інтегрування раціональних дробів ВИЗНАЧЕННЯ. Раціональним дробом називається

Міністерство зв'язку та масових комунікацій Російської Федерації Державна освітня установа вищої професійної освіти ПОВОЛЖСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙ

Диференціальні рівняння першого порядку дозволені щодо похідної Теорема існування та єдиності рішення У загальному випадку диференціальне рівняння першого порядку має вигляд F()

Т А Матвєєва В Б ветлична Д К Агішева А Зотова ПЕЦІАЛЬНІ ГОЛОВИ МАТЕМАТИКИ: ОПЕРАЦІЙНЕ ЩИЛЕННЯ ФЕДЕРАЛЬНЕ АГЕНТСТВО З ОСВІТИ ВОЛЖКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНТИТУТ

ІНТЕГРАЛЬНЕ ЗЛІЧЕННЯ НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ Першорядна функція та невизначений інтеграл первісної Функція F() називається першорядною для функції f() на проміжку X, якщо F / () = f() X.

5. 4 Основні методи інтегрування Безпосереднє інтегрування. Обчислення інтегралів, засноване на приведення підінтегрального виразу до табличної форми та використання властивостей невизначеного

Лекція 3 Математичний опис систем управління У теорії управління при аналізі та синтезі систем управління мають справу з їх математичною моделлю Математична модель САУ є рівняннями

Інтегрування системи диференціальних рівнянь методом виключення змінних Один з основних методів інтегрування системи диференціальних рівнянь полягає в наступному: з нормальної рівнянь

Деякі завдання класичної механіки, механіки суцільних середовищ, акустики, оптики, гідродинаміки, перенесення випромінювання зводяться до рівнянь у приватних похідних

Прості невизначені інтеграли Приклади розв'язання задач Наступні інтеграли зводяться до табличних шляхом тотожного перетворення підінтегрального виразу. 1. dx = dx = 2x 2/3/3 + 2x 1/2 + C. >2.

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ Інтегрування раціональних дробів Раціональним дробом називається дріб виду P Q, де P і Q багаточлени Раціональний дріб називається правильним, якщо ступінь многочлена P нижче ступеня

[Ф] Філіппов АВ Збірник завдань з диференціальних рівнянь Москва-Іжевськ: НДЦ «Регулярна та хаотична динаміка» 00 URL: http://librarbsaz/kitablar/846pf [М] Матвєєв НМ Збірник завдань та вправ з

Е заняття. Ряди Тейлора. Підсумовування статечних рядів Матем. аналіз, дод. матем., 3-й семестр Знайти розкладання функції в степеневий ряд за ступенями, обчислити радіус збіжності статечного ряду: A f()

Завдання 1.1. Знайти у вказаній області відмінні від тотожного нуля рішення y = y(x) диференціального рівняння, що задовольняють заданим крайовим умовам (завдання Штурма-Ліувіля) Розв'язання

9. Первісна та невизначений інтеграл 9.. Нехай на проміжку I R задана функція f(). Функцію F() називають первісної функції f() на проміжку I, якщо F() = f() для будь-якого I, та первісної

~ ~ Невизначений і певний інтеграли Поняття первісної та невизначеного інтеграла. Визначення: Функція F називається первісною по відношенню до функції f, якщо ці функції пов'язані наступним

Лекція 5 7 Теорема Гільберта-Шмідта Розглянемо інтегральний оператор A, ядро якого K(задовольняє наступним умовам: K(s) симетричне, безперервне за сукупністю змінних на [, ]

Міністерство освіти Республіки Білорусь Білоруський державний університет Фізичний факультет Кафедра вищої математики та математичної фізики О А Кононова, Н І Іллінкова, Н К Філіппова Лінійні

Тема 9 Ступінні ряди Ступіньним рядом називається функціональний ряд виду при цьому числа... коефіцієнтами ряду, а точка розкладання ряду.,...,... R... називаються центром

СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ З ПОСТОЯННИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ Приведення до одного рівняння -го порядку З практичної точки зору дуже важливі лінійні системи з постійними коефіцієнтами

Інтеграли та диференціальні рівняння Модуль 1. Невизначений інтеграл Лекція 1.2 Анотація Раціональні дроби. Розкладання правильного раціонального дробу на суму найпростіших. Інтегрування найпростіших

Формула розкладання Хевісайду

Нехай зображення функції є дробово-раціональну функцію.

Теорема.Нехай, де і - функції, що диференціюються. Введемо як полюси функції, тобто. коріння (нули) її знаменника. Тоді, якщо, отримаємо формулу Хевісайда:

Доказ проведемо для випадку, коли і багаточлени ступенів ті пвідповідно, при цьому т п. Тоді - правильний раціональний дріб. Подаємо у вигляді суми найпростіших дробів:

Звідси Коефіцієнти знайдемо з тотожності (17.2), переписавши його як

Помножимо обидві частини останньої рівності і перейдемо до межі при. Враховуючи, що і, отримаємо

звідки слід (17.1). Теорему доведено.

Зауваження 1.Якщо коефіцієнти многочленів і речові, то комплексне коріння многочлена попарно пов'язані. Отже, у формулі (17.1) комплексно сполученими величинами будуть складові, що відповідають комплексно сполученим корінням багаточлена, і формула Хевісайда набуде вигляду

де перша сума поширена попри всі речові коріння многочлена, друга - попри всі його комплексні коріння з позитивними уявними частинами.

Примітка 2.Кожен член формули (17.1) є записане в комплексній формі коливання, де. Таким чином, речовим корінням () відповідають аперіодичні коливання, комплексним корінням з негативними речовими частинами - загасаючі коливання, суто уявним корінням - незагасаючі гармонічні коливання.

Якщо знаменник не має коріння з позитивними речовими частинами, то при досить великих значеннях отримаємо режим, що встановився:

Чисто уявне коріння багаточлена з позитивними уявними частинами.

Коливання, що відповідають корінням з негативними речовими частинами, експоненційно згасають при і тому не входять до режиму.

приклад 1.Знайти оригінал зображення

Рішення. Маємо. Випишемо коріння многочлена: .

За формулою (17.1)

Тут, оскільки числа - коріння рівняння. Отже,

приклад 2.Знайти оригінал зображення

де а 0; .

Рішення. Тут функція, крім очевидного кореня, має безліч коренів, що є нулями функції. Вирішуючи рівняння, отримаємо, звідки

Таким чином, коріння знаменника мають вигляд і де

За формулою (17.3) знаходимо оригінал

Операторний метод розв'язання диференціальних рівнянь

Диференційне рівняння.Розглянемо завдання Коші для лінійного диференціального рівняння

(тут) з початковими умовами

Переходячи в (18.1) до зображень, через лінійність перетворення Лапласа матимемо

Зображення похідних, використовуючи теорему 3 § 16 та початкові умови (18.2), запишемо у вигляді

Підставивши (18.4) до (18.3), після нескладних перетворень отримаємо операторне рівняння

де (характеристичний багаточлен); .

З рівняння (18.5) знайдемо операторне рішення

Розв'язанням задачі Коші (18.1), (18.2) є оригінал операторного рішення (18.6):

Для завдання Коші у прийнятих позначеннях можна записати

Операторне рівняння має вигляд

розкладемо операторне рішення на найпростіші дроби:

За допомогою формул, отриманих у § 15, отримаємо оригінали:

Таким чином, вирішення завдання Коші матиме вигляд

приклад 1.Вирішити завдання Коші для диференціального рівняння з початковими умовами, де.

Рішення.

Його рішення має вигляд

Використовуючи теорему 2 § 16, послідовно знайдемо:

приклад 2.Розв'язати задачу Коші для диференціального рівняння з початковими нульовими умовами, де - ступінчаста імпульсна функція.

Рішення. Запишемо операторне рівняння

та його рішення

З теореми 2 § 16 випливає

відповідно до теореми запізнення (§ 15)

Звісно,

приклад 3.На точку масою т, прикріплену до пружини жорсткістю зі що знаходиться на гладкій горизонтальній площині, діє сила, що періодично змінюється. У момент часу точка зазнала удару, що несе імпульс. Нехтуючи опором, знайти закон руху точки, якщо у початковий час вона лежала на початку координат.

Рішення. Рівняння руху запишемо у вигляді

де – пружна сила; - функція Дірака. Розв'яжемо операторне рівняння

Якщо (випадок резонансу), то

По теоремі запізнення

Звісно,

Інтеграл (формула) Дюамелі. Розглянемо завдання Коші для рівняння (18.1) за початкових умов. Операторне рішення у цьому випадку має вигляд

Нехай вагова функція - оригінал. тоді за теоремою 1 § 16 отримаємо

Співвідношення (18.7) називається інтегралом (формулою) Дюамеля.

Зауваження.За ненульових початкових умов формула Дюамеля безпосередньо не застосовується. В цьому випадку необхідно попередньо перетворити вихідне завдання до задачі з однорідними (нульовими) початковими умовами. Для цього введемо нову функцію, вважаючи

де - Початкові значення шуканого рішення.

Як легко бачити, і, отже, .

Таким чином, функція - рішення рівняння (18.1) з правою частиною, отриманою в результаті підстановки (18.8) (18.1), при нульових початкових даних.

Використовуючи (18.7), знайдемо в.

приклад 4.За допомогою інтеграла Дюамеля знайти рішення задачі Коші

із початковими умовами.

Рішення. Початкові дані ненульові. Вважаємо, відповідно (18.8), . Тоді, і визначення отримаємо рівняння з однорідними початковими умовами.

Для задачі, що розглядається, характеристичний багаточлен, вагова функція. За формулою Дюамеля

Звісно,

Системи лінійних диференціальних рівнянь із постійними коефіцієнтами.Завдання Коші для системи лінійних диференціальних рівнянь у матричному записі має вигляд

де - Вектор шуканих функцій; - Вектор правих частин; - матриця коефіцієнтів; - Вектор початкових даних.

Операційне обчислення нині стало одним із найважливіших розділів практичного математичного аналізу. Операційний метод безпосередньо використовується при вирішенні звичайних диференціальних рівнянь та систем таких рівнянь; його можна використовувати і при вирішенні диференціальних рівнянь у приватних похідних.

Засновниками символічного (операційного) обчислення вважають російських учених М. Є. Ващенко – Захарченко та А. В. Лєтнікова.

Операційне обчислення звернуло увагу після того, як англійський інженер-електрик Хевісайд, використовуючи символічне обчислення, отримав ряд важливих результатів. Але недовіра до символічного обчислення зберігалося доти, поки Джорджі, Бромвіч, Карсон, А. М. Ефрос, А. І. Лур'є, В. А. Діткін та інші не встановили зв'язку операційного обчислення з інтегральними перетвореннями.

Ідея розв'язання диференціального рівняння операційним методом полягає в тому, що від диференціального рівняння щодо шуканої функції-оригіналу f ( t ) переходять до рівняння щодо іншої функції F ( p ), званою зображенням f ( t ) . Отримане (операційне) рівняння зазвичай вже алгебраїчне (значить простіше порівняно з вихідним). Вирішуючи його щодо зображення F ( p ) і переходячи потім до відповідного оригіналу, знаходять потрібне рішення даного диференціального рівняння.

Операційний метод розв'язання диференціальних рівнянь можна порівняти з обчисленням різних виразів за допомогою логарифмів, коли, наприклад, при множенні обчислення ведуться не над самими числами, а над їх логарифмами, що призводить до заміни множення більш простою операцією – додаванням.

Так само як і за логарифмування, при використанні операційного методу потрібні:

1) таблиця оригіналів та відповідних їм зображень;

2) знання правил виконання операцій над зображенням, що відповідають діям, які проводяться над оригіналом.

§1. Оригінали та зображення функцій за Лапласом

Визначення 1. Будемо дійсну функцію дійсного аргументу f (t) називати оригіналом, якщо вона задовольняє трьом вимогам:

1) f (t) 0 , при t 0

2) f ( t ) зростає не швидше за деяку показову функцію

, при t0 , де M 0, s 00 - деякі дійсні постійні, s 0 називають показником зростання функції f(t) .

3) На будь-якому кінцевому відрізку  a , bпозитивної півосі Otфункція f (t) задовольняє умовам Дирихле, тобто.

a) обмежена,

b) або безперервна, або має лише кінцеве число точок розриву I роду,

c) має кінцеву кількість екстремумів.

Функції, що відповідають цим трьом вимогам, називаються в операційному обчисленні що зображуються за Лапласом або оригіналами .

Найпростішим оригіналом є поодинока функція Хевісайду

Якщо функція

задовольняє умові 2 і задовольняє 1, то твір задовольнятиме і умові 1, тобто. буде оригіналом. Для спрощення запису будемо, як правило, множник H (t) опускати, вважаючи, що всі функції, що розглядаються, рівні нулю при негативних значеннях t .

Інтегралом Лапласа для оригіналу f (t) називається невласний інтеграл виду