Графіки тригонометричних функцій кратних кутів. Графік функції y=sin x Графік функції y sin 2

Урок та презентація на тему: "Функція y=sin(x). Визначення та властивості"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 10 класу від 1С
Вирішуємо задачі з геометрії. Інтерактивні завдання на побудову для 7-10 класів
Програмне середовище "1С: Математичний конструктор 6.1"

Що вивчатимемо:

Властивості функції Y = sin (X).
Графік функції.
Як будувати графік та його масштаб.
приклади.

Властивості синусу. Y=sin(X)

Діти, ми вже познайомилися з тригонометричними функціями числового аргументу. Ви пам'ятаєте їх?

Давайте познайомимося ближче із функцією Y=sin(X)

Запишемо деякі властивості цієї функції:
1) Область визначення – безліч дійсних чисел.
2) Функція непарна. Згадаймо визначення непарної функції. Функція називається непарною якщо виконується рівність: y(-x)=-y(x). Як пам'ятаємо з формул привида: sin(-x)=-sin(x). Визначення виконалося, отже Y = sin (X) - непарна функція.
3) Функція Y=sin(X) зростає на відрізку та зменшується на відрізку [π/2; π]. Коли ми рухаємось по першій чверті (проти годинникової стрілки), ордината збільшується, а під час руху по другій чверті вона зменшується.

4) Функція Y=sin(X) обмежена знизу та зверху. Ця властивість випливає з того, що
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Найменше значення функції дорівнює -1 (при х = - π/2+ πk). Найбільше значення функції дорівнює 1 (при х = π/2+ πk).

Давайте, скориставшись властивостями 1-5, збудуємо графік функції Y=sin(X). Будуватимемо наш графік послідовно, застосовуючи наші властивості. Почнемо будувати графік на відрізку.

Особливу увагу варто привернути до масштабу. На осі ординат зручніше прийняти одиничний відрізок, що дорівнює 2 клітинам, а на осі абсцис - одиничний відрізок (дві клітини) прийняти рівним π/3 (дивіться малюнок).

Побудова графіка функції синус x, y=sin(x)

Порахуємо значення функції на нашому відрізку:

Побудуємо графік за нашими точками, з урахуванням третьої якості.

Таблиця перетворень для формул привиду

Скористаємося другою властивістю, яка говорить, що наша функція непарна, а це означає, що її можна відобразити симетрично щодо початку координат:

Ми знаємо, що sin(x+2π) = sin(x). Це означає, що у відрізку [- π; π] графік виглядає так само, як на відрізку [π; 3π] або або [-3π; - π] і так далі. Нам залишається акуратно перемалювати графік на попередньому малюнку на всю вісь абсцис.

Графік функції Y=sin(X) називають синусоїдою.

Напишемо ще кілька властивостей згідно з побудованим графіком:
6) Функція Y=sin(X) зростає будь-якому відрізку виду: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k – ціле число і зменшується на будь-якому відрізку виду: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – ціле число.
7) Функція Y=sin(X) – безперервна функція. Подивимося на графік функції і переконаємося, що наша функція не має розривів, це означає безперервність.
8) Область значень: відрізок [-1; 1]. Це також добре видно з графіка функції.
9) Функція Y = sin (X) - періодична функція. Подивимося знову на графік і побачимо, що функція набуває одні й самі значення, через деякі проміжки.

Приклади завдань із синусом

1. Розв'язати рівняння sin(x)= x-π

Рішення: Побудуємо 2 графіки функції: y=sin(x) і y=x-π (див. рисунок).
Наші графіки перетинаються в одній точці А(π;0), і є відповідь: x = π

2. Побудувати графік функції y=sin(π/6+x)-1

Рішення: Шуканий графік вийде шляхом перенесення графіка функції y=sin(x) на π/6 одиниць вліво та 1 одиницю вниз.

Рішення: Побудуємо графік функції та розглянемо наш відрізок [π/2; 5π/4].
На графіку функції видно, що найбільші та найменші значення досягаються на кінцях відрізка, у точках π/2 та 5π/4 відповідно.
Відповідь: sin(π/2) = 1 – найбільше значення, sin(5π/4) = найменше значення.

Завдання на синус для самостійного вирішення

Розв'яжіть рівняння: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
Побудувати графік функції y=sin(π/3+x)-2
Побудувати графік функції y=sin(-2π/3+x)+1
Знайти найбільше та найменше значення функції y=sin(x) на відрізку
Знайти найбільше та найменше значення функції y=sin(x) на відрізку [- π/3; 5π/6]

Тепер ми розглянемо питання, як будувати графіки тригонометричних функцій кратних кутів. ωx, де ω - Деяке позитивне число.

Для побудови графіка функції у = sin ωxпорівняємо цю функцію з вивченою нами функцією у = sin x. Припустимо, що при х = x 0 функція у = sin хприймає значення, що дорівнює 0 . Тоді

у 0 = sin x 0 .

Перетворимо це співвідношення так:

Отже, функція у = sin ωxпри х = x 0 / ω приймає те саме значення у 0 , що і функція у = sin хпри х = x 0 . А це означає, що функція у = sin ωxповторює свої значення в ω раз частіше, ніж функція у = sin x. Тому графік функції у = sin ωxвиходить шляхом "стиснення" графіка функції у = sin xв ω разів уздовж осі х.

Наприклад, графік функції у = sin 2хвиходить шляхом «стиснення» синусоїди у = sin xудвічі вздовж осі абсцис.

Графік функції у = sin x / 2 виходить шляхом «розтягування» синусоїди у = sin х у два рази (або «стиснення» в 1 / 2 рази) вздовж осі х.

Оскільки функція у = sin ωxповторює свої значення в ω раз частіше, ніж функція
у = sin x, то період її ω разів менше періоду функції у = sin x. Наприклад, період функції у = sin 2хдорівнює 2π / 2 = π , а період функції у = sin x / 2 дорівнює π / x / 2 = 4π .

Цікаво провести дослідження поведінки функції у = sin аxна прикладі анімації, яку дуже просто можна створити у програмі Maple:

Аналогічно будуються графіки та інших тригонометричних функцій кратних кутів. На малюнку представлено графік функції у = cos 2х, який виходить шляхом «стиснення» косинусоїди у = cos худвічі вздовж осі абсцис.

Графік функції у = cos x / 2 виходить шляхом «розтягування» косінусоїди у = cos худвічі вздовж осі х.

На малюнку ви бачите графік функції у = tg 2x, отриманий «стисненням» тангенсоїди у = tg xудвічі вздовж осі абсцис.

Графік функції у = tg x / 2 , отриманий «розтягуванням» тангенсоїди у = tg xудвічі вздовж осі х.

І, нарешті, анімація, виконана програмою Maple:

Вправи

1. Побудувати графіки даних функцій та вказати координати точок перетину цих графіків з осями координат. Визначити періоди даних функцій.

а). y = sin 4x / 3 г). y = tg 5x / 6 ж). y = cos 2x / 3

б). у = cos 5x / 3 д). у = ctg 5x / 3 з). у = ctg x / 3

в). y = tg 4x / 3 е). у = sin 2x / 3

2. Визначити періоди функцій у = sin (πх)і у = tg (πх / 2).

3. Наведіть два приклади функції, які приймають усі значення від -1 до +1 (включаючи ці два числа) і періодично змінюються з періодом 10.

4 *. Наведіть два приклади функцій, які приймають всі значення від 0 до 1 (включаючи ці два числа) і періодично змінюються з періодом π / 2.

5. Наведіть два приклади функцій, які набувають усіх дійсних значень і періодично змінюються з періодом 1.

6 *. Наведіть два приклади функцій, які приймають усі негативні значення та нуль, але не набувають позитивних значень і змінюються періодично з періодом 5.

Як побудувати графік функції y = sin x? Для початку розглянемо графік синуса на проміжку.

Одиничний відрізок беремо довжиною 2 клітинки зошита. На осі Oy відзначаємо одиницю.

Для зручності число π/2 округляємо до 1,5 (а не до 1,6, як потрібно за правилами округлення). І тут відрізку довжиною π/2 відповідають 3 клітини.

На осі Ox відзначаємо не поодинокі відрізки, а відрізки довжиною π/2 (через кожні 3 клітини). Відповідно, відрізку довжиною π відповідає 6 клітин, відрізку довжиною π/6 - 1 клітина.

За такого вибору одиничного відрізка графік, зображений на аркуші зошита в клітинку, максимально відповідає графіку функції y=sin x.

Складемо таблицю значень синуса на проміжку:

Отримані точки відзначимо на координатній площині:

Так як y = sin x - непарна функція, графік синуса симетричний щодо початку відліку - точки O (0; 0). З урахуванням цього факту продовжимо побудову графіка вліво, то точки -?

Функція y = sin x - періодична з періодом T = 2π. Тому графік функції, взятий на проміжку [-π;π], повторюється нескінченне число разів праворуч і ліворуч.

"Йошкар-Олінський технікум сервісних технологій"

Побудова та дослідження графіка тригонометричної функції y=sinx у табличному процесоріMS Excel

/методична розробка/

Йошкар – Ола

Тема. Побудова та дослідження графіка тригонометричної функціїy = sinx у табличному процесорі MS Excel

Тип уроку- Інтегрований (отримання нових знань)

Цілі:

Дидактична мета - дослідити поведінку графіків тригонометричної функціїy= sinxзалежно від коефіцієнтів за допомогою комп'ютера

Навчальні:

1. З'ясувати зміну графіка тригонометричної функції y= sin xзалежно від коефіцієнтів

2. Показати впровадження комп'ютерних технологій у навчання математики, інтеграцію двох предметів: алгебри та інформатики.

3. Формувати навички використання комп'ютерних технологій під час уроків математики

4. Закріпити навички дослідження функцій та побудови їх графіків

Розвиваючі:

1. Розвивати пізнавальний інтерес учнів до навчальних дисциплін та вміння застосовувати свої знання у практичних ситуаціях

2. Розвивати вміння аналізувати, порівнювати, виокремлювати головне

3. Сприяти підвищенню загального рівня розвитку студентів

Виховують :

1. Виховувати самостійність, акуратність, працьовитість

2. Виховувати культуру діалогу

Форми роботи на уроці –комбінована

Дидактичне обладнання та обладнання:

1. Комп'ютери

2. Мультимедійний проектор

4. Роздатковий матеріал

5. Слайди презентації

Хід уроку

I. Організація початку уроку

· Привітання студентів та гостей

· Настрій на урок

II. Цілепокладання та актуалізація теми

Для дослідження функції та побудови її графіка потрібно багато часу, доводиться виконувати багато громіздких обчислень, це не зручно, на допомогу приходять комп'ютерні технології.

Сьогодні ми навчимося будувати графіки тригонометричних функцій серед табличного процесора MS Excel 2007.

Тема нашого заняття «Побудова та дослідження графіка тригонометричної функції y= sinxу табличному процесорі»

З курсу алгебри нам відома схема дослідження функції та побудови її графіка. Згадаймо як це зробити.

Слайд 2

Схема дослідження функції

1. Область визначення функції (D(f))

2. Область значення функції Е(f)

3. Визначення парності

4. Періодичність

5. Нулі функції (y = 0)

6. Проміжки знакостійності (у>0, y<0)

7. Проміжки монотонності

8. Екстремуми функції

III. Первинне засвоєння нового навчального матеріалу

Відкрийте програму MS Excel 2007.

Побудуємо графік функції y=sin x

Побудова графіків у табличному процесоріMS Excel 2007

Графік цієї функції будуватимемо на відрізку xЄ [-2π; 2π]

Значення аргументу братимемо з кроком , щоб графік вийшов точнішим.

Т.к. редактор працює з числами, переведемо радіани до числа, знаючи що П ≈ 3,14 . (Таблиця перекладу в роздатковому матеріалі).

1. Знаходимо значення функції у точці х = -2П. Для решти значення аргументу відповідні значення функції редактор обчислює автоматично.

2. Тепер у нас є таблиця зі значеннями аргументу та функції. За допомогою цих даних ми маємо побудувати графік цієї функції за допомогою майстра діаграм.

3. Для побудови графіка треба виділити потрібний діапазон даних, рядки зі значеннями аргументу та функції

4..jpg" width="667" height="236 src=">

Висновки записуємо у зошит (Слайд 5)

Висновок. Графік функції виду у = sinx + k виходить із графіка функції у = sinx за допомогою паралельного перенесення вздовж осі ОУ на k одиниць

Якщо k >0, то графік зміщується вгору на k одиниць

Якщо k<0, то график смещается вниз на k единиц

Побудова та дослідження функції видуу=k*sinx,k- const

Завдання 2.На робочому Листе2в одній системі координат побудуйте графіки функцій y= sinx y=2* sinx, y= * sinx, на інтервалі (-2π; 2π) і простежте як змінюється вигляд графіка.

(Щоб заново не задавати значення аргументу, давайте скопіюємо наявні значення. Тепер вам треба задати формулу, і по отриманій таблиці побудувати графік.)

Порівнюємо отримані графіки. Розбираємо разом із учнями поведінку графіка тригонометричної функції залежно від коефіцієнтів. (Слайд 6)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif" width="16" height="41 src=">x , на інтервалі (-2π; 2π) і простежте як змінюється вигляд графіка.

Порівнюємо отримані графіки. Розбираємо разом із учнями поведінку графіка тригонометричної функції залежно від коефіцієнтів. (Слайд 8)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg" width="649" height="281 src=">

Висновки записуємо у зошит (Слайд 11)

Висновок. Графік функції виду у = sin (x + k) виходить з графіка функції у = sinx за допомогою паралельного перенесення вздовж осі ОХ на одиниць k одиниць

Якщо k >1, графік зміщується вправо вздовж осі ОХ

Якщо 0

IV. Первинне закріплення здобутих знань

Диференційовані картки із завданням на побудову та дослідження функції за допомогою графіка


	Y=6* sin (x)	Y=1-2 sinх	Y=- sin(3х+)
1. Область визначення
2. Область значення
3. Парність
4. Періодичність
5. Проміжки знакостійності


6. Проміжкимонотонності
Функція зростає
Функція зменшується
7. Екстремуми функції
Мінімум
Максимум