ВИЩА МАТЕМАТИКА

Числові ряди

лекція.Числові ряди

1. Визначення числового ряду. Збіжність

2. Основні властивості числових рядів

3. Ряди з позитивними членами. Ознаки збіжності

4. Знакорядні ряди. Ознака збіжності Лейбниця

5. Знакозмінні ряди

Запитання для самоперевірки

Література

лекція. ЧИСЛОВІ РЯДИ

1. Визначення числового ряду. Збіжність.

2. Основні властивості числових рядів.

3. Ряди з позитивними членами. Ознаки збіжності.

4. Знакорядні ряди. Ознака збіжності Лейбниця.

5. Знакозмінні ряди.

1. Визначення числового ряду. Збіжність

У математичних додатках, і навіть під час вирішення деяких завдань економіки, статистиці та інших галузях розглядаються суми з нескінченним числом доданків. Тут ми дамо визначення того, що розуміється під такими сумами.

Нехай задана нескінченна числова послідовність

, , …, , …

Визначення 1.1. Числовим поручабо просто порядназивається вираз (сума) виду

. (1.1) називаються членами ряду, – загальнимабо n – мчленом низки.

Щоб задати ряд (1.1), достатньо задати функцію натурального аргументу

обчислення -го члена ряду за його номером

Приклад 1.1. Нехай

. Ряд (1.2)

називається гармонійним рядом .

Приклад 1.2. Нехай

, Ряд (1.3)

називається узагальненим гармонійним рядом. В окремому випадку при

виходить гармонійний ряд.

приклад 1.3. Нехай

=. Ряд (1.4)

називається поруч геометричної прогресії.

З членів ряду (1.1) утворюємо числову послідовність частковихсумде

- Сума перших членів ряду, яка називається n-й частковою сумою, т. е. , , ,

…………………………….

, (1.5)

…………………………….

Числова послідовність

при необмеженому зростанні номера може бути:

1) мати кінцеву межу;

2) не мати кінцевої межі (межа не існує або дорівнює нескінченності).

Визначення 1.2. Ряд (1.1) називається схожим,якщо послідовність його часткових сум (1.5) має кінцеву межу, тобто.

У цьому випадку число

називається сумоюряду (1.1) і пишеться.

Визначення 1.3.Ряд (1.1) називається розбіжним,якщо послідовність його часткових сум не має кінцевої межі.

Розбіжному ряду не приписують жодної суми.

Таким чином, завдання знаходження суми ряду, що сходить (1.1) рівносильна обчисленню межі послідовності його часткових сум.

Розглянемо кілька прикладів.

приклад 1.4.Довести, що ряд

сходиться, і знайти його суму.

Знайдемо n- ю часткову суму цього ряду

.

Загальний член

ряду представимо у вигляді.

Звідси маємо:

. Отже, даний ряд сходиться і його сума дорівнює 1:

приклад 1.5. Дослідити на збіжність ряд

(1.6)

Для цього ряду

. Отже, цей ряд розходиться.

Зауваження. При

ряд (1.6) є сумою нескінченного числа нулів і є, очевидно, схожим.

приклад 1.6.Дослідити на збіжність ряд

(1.7)

Для цього ряду

У цьому випадку межа послідовності часткових сум

не існує, і низка розходиться.

приклад 1.7.Дослідити на збіжність ряд геометричної прогресії (1.4):

Неважко показати, що n-я часткова сума ряду геометричної прогресії при

задається формулою.

Розглянемо випадки:

Тоді і .

Отже, ряд сходиться і його сума дорівнює

1 властивість.

Відкидання кінцевого числа членів впливає збіжність ч.р.

Розглянемо Нехай

Якщо існує кінцева межа праворуч (29.1), то існує і межа зліва, і рядиться

2 властивість.

Якщо ряд збігається і має суму S, то ряд

с = const, сходиться та має суму cS.

Нехай тоді

3 властивість.

Якщо ряди сходяться і мають суми відповідно, то ряд сходяться і має суму

1. Ряди із позитивними членами. Ознаки порівняння збіжності позитивних рядів. Позитивні ряди

Якщо a n ≥ 0 (n= 1, 2, 3, ...), то ряд a 1 +a 2 +a 3 + ... називається позитивним. У тому випадку, коли за всіх nвиявляється a n> 0, називатимемо ряд суворо позитивним.

Позитивні ряди мають багато властивостей, що зближують їх із звичайними сумами кінцевого числа доданків.

Легко бачити, що часткова сума S n =a 1 +a 2 + ... +a nпозитивного ряду зростає(Можливо, не суворо) зі збільшенням n. Так як будь-яка зростаюча числова послідовність має кінцеву чи нескінченну межу (причому члени послідовності не перевищують цієї межі), то для будь-якого позитивного ряду існує межа

Ця межа буде кінцевою або нескінченною, зважаючи на те, обмежена зверху чи ні безліч часткових сум ( S n). Таким чином, має місце

Теорема 1. Позитивний ряд сходиться тоді і лише тоді, коли множина його часткових сум обмежена зверху.

Зрозуміло, у ряду не позитивного обмеженість безлічі часткових сум не забезпечує збіжності, як це видно з прикладу ряду 1 + (-1) + 1 + (-1) + ...

Зазначимо ще, що часткові суми позитивного ряду, що сходить, не перевищують його суми.

Доведена теорема зводить питання про збіжність позитивного ряду до простішого питання про обмеженість безлічі його часткових сум.

Розглянемо, наприклад, ряд (24)

в котрому α > 1. Суму цього ряду можна записати так:

Оскільки сума містить 2 kдоданків, а найбільше є перше, то ця сума не перевищує числа

Тому

Стояча справа справа сума є часткова сума геометричної прогресії

Як було доведено раніше, ця прогресія сходиться (т.к. α > 1), і сума її дорівнює

Оскільки прогресія (25) також є поруч позитивним, її часткові суми не перевищують її суми (26). Тим більше

Ця нерівність встановлена ​​для будь-кого m. Але для кожного nможна знайти таке m, що 2 m - 1 >n.

Тому при всякому nвиявляється і ряд (24) сходиться.

Слід зазначити, що безпосереднє застосування теореми 1 зустрічається порівняно рідко.

Зазвичай застосовують засновані на ній, але зручніші ознаки збіжності рядів. Найпростіший із них - це так званий ознака порівняння рядів

Якщо кожен член позитивного ряду не більше, ніж член іншого ряду, що має той же номер, то другий ряд називається мажорантнимпо відношенню до першого.

Інакше кажучи, ряд b 1 +b 2 +b 3 + ... є мажорантним по відношенню до ряду a 1 +a 2 +a 3 + ..., якщо за всіх nбуде a n ≤b n .

Легко зрозуміти, що часткова сума даного ряду не більше, ніж часткова сума ряду мажорантного, що має той же номер. Отже, якщо обмежені зверху часткові суми мажорантного ряду, це й поготів для вихідного ряду. Звідси випливає

Теорема 2.Якщо для позитивного ряду існує мажорантний ряд, що сходиться, то і сам цей ряд сходиться. Якщо ж цей ряд розходиться, то розходиться й усякий мажорантний йому ряд.

Розглянемо, наприклад, ряд (27)

припускаючи α < 1. Ясно, что этот ряд - мажорантный по отношению к гармоническому ряду, и потому ряд (27) расходится.

Перша ознака порівняння рядів.Нехай-два знакопозитивних числових ряду і виконується нерівність для всіх k = 1, 2, 3, ...Тоді зі збіжності ряду слід збіжність, та якщо з розбіжності ряду слід розбіжність. Перша ознака порівняння використовується дуже часто і є дуже потужним інструментом дослідження числових рядів на збіжність. Основну проблему представляє підбір відповідного ряду для порівняння. Ряд для порівняння зазвичай (але не завжди) вибирається так, що показник його ступеня k-огочлена дорівнює різниці показників ступеня чисельника та знаменника k-огочлена досліджуваного числового ряду. Наприклад, нехай різниця показників ступеня чисельника і знаменника дорівнює 2 – 3 = -1 , тому, для порівняння вибираємо ряд з k-имчленом, тобто гармонійний ряд. Розглянемо кілька прикладів. приклад.Встановити збіжність чи розбіжність ряду. Рішення.Оскільки межа загального члена низки дорівнює нулю, то необхідну умову збіжності ряду виконано. Неважко помітити, що справедлива нерівність для всіх натуральних k. Ми знаємо, що гармонійний ряд розходиться, отже, за першою ознакою порівняння вихідний ряд також є розбіжним. приклад.Дослідіть числовий рядна збіжність. Рішення.Необхідна умова збіжності числового ряду виконується, оскільки . Очевидно виконання нерівності для будь-якого натурального значення k. Виряджається, тому що узагальнено гармонійний ряд є схожим для s > 1. Таким чином, перша ознака порівняння рядів дозволяє констатувати збіжність вихідного числового ряду. приклад.Визначте збіжність чи розбіжність числового ряду. Рішення.Отже, необхідну умову збіжності числового ряду виконано. Який ряд вибрати для порівняння? Напрошується числовий ряд, а щоб визначитися з s, уважно досліджуємо числову послідовність Члени числової послідовності зростають до нескінченності. Таким чином, починаючи з деякого номера N(а саме, з N = 1619), члени цієї послідовності будуть більше 2 . Починаючи з цього номера N, справедлива нерівність. Числовий ряд сходиться в силу першого властивості рядів, що сходяться, так як виходить з ряду, що сходить, відкиданням перших N – 1члена. Таким чином, за першою ознакою порівняння схожим є ряд, а в силу першої властивості числових рядів, що сходяться, сходиться буде і ряд. Друга ознака порівняння.Нехай-знакопозитивні числові ряди. Якщо, то зі збіжності ряду слід збіжність. Якщо, то з розбіжності числового ряду слід розбіжність. Слідство.Якщо, то зі збіжності одного ряду випливає збіжність іншого, та якщо з розбіжності випливає розбіжність. Досліджуємо рядна збіжність за допомогою другої ознаки порівняння. Як ряд візьмемо ряд, що сходить. Знайдемо межу відношення k-ихчленів числових рядів: Таким чином, за другою ознакою порівняння зі збіжності числового ряду слід збіжність вихідного ряду.

приклад.Дослідити на збіжність числовий ряд. Рішення.Перевіримо необхідну умову збіжності ряду . Умова виконана. Для застосування другої ознаки порівняння візьмемо гармонійний ряд. Знайдемо межу відношення k-ихчленів: Отже, з розбіжності гармонійного ряду випливає розбіжність вихідного ряду за другою ознакою порівняння. Для інформації наведемо третю ознаку порівняння рядів. Третя ознака порівняння.Нехай-знакопозитивні числові ряди. Якщо з деякого номера Nвиконується умова, то зі збіжності ряду слід збіжність, а з розбіжності ряду слід розбіжність.

1. Числові ряди: основні поняття, необхідні умови збіжності ряду. Залишок ряду.

2. Ряди з позитивними членами та ознаки їх збіжності: ознаки порівняння, Даламбера, Коші.

3. Знакоочередние ряди, ознака Лейбніца.

1. Визначення числового ряду. Збіжність

У математичних додатках, і навіть під час вирішення деяких завдань економіки, статистиці та інших галузях розглядаються суми з нескінченним числом доданків. Тут ми дамо визначення того, що розуміється під такими сумами.

Нехай задана нескінченна числова послідовність

Визначення 1.1. Числовим поручабо просто порядназивається вираз (сума) виду

. (1.1)

Числа називаються членами ряду, –загальнимабо n-мчленом низки.

Щоб задати ряд (1.1) достатньо задати функцію натурального аргументу обчислення члена ряду за його номером

Приклад 1.1. Нехай. Ряд

(1.2)

називається гармонійним рядом.

Приклад 1.2. Нехай ,Ряд

(1.3)

називається узагальненим гармонійним рядом. В окремому випадку при виходить гармонійний ряд.

приклад 1.3. Нехай =. Ряд

називається поруч геометричної прогресії.

З членів ряду (1.1) утворюємо числову послідовність часткових сум де - Сума перших членів ряду, яка називається n-й частковою сумою, тобто.

…………………………….

…………………………….

Числова послідовність при необмеженому зростанні номера може:

1) мати кінцеву межу;

2) не мати кінцевої межі (межа не існує або дорівнює нескінченності).

Визначення 1.2. Ряд (1.1) називається схожим,якщо послідовність його часткових сум (1.5) має кінцеву межу, тобто.

У цьому випадку число називається сумоюряду (1.1) та пишеться

Визначення 1.3.Ряд (1.1) називається розбіжним,якщо послідовність його часткових сум немає кінцевої межі.

Розбіжному ряду не приписують жодної суми.

Таким чином, завдання знаходження суми ряду, що сходить (1.1) рівносильна обчисленню межі послідовності його часткових сум.

Розглянемо кілька прикладів.

приклад 1.4.Довести, що ряд

сходиться, і знайти його суму.

Знайдемо n-ю часткову суму цього ряду.

Загальний член ряду представимо у вигляді .

Звідси маємо: . Отже, даний ряд сходиться і його сума дорівнює 1:

приклад 1.5. Дослідити на збіжність ряд

Для цього ряду

. Отже, цей ряд розходиться.

Зауваження.При ряд (1.6) є сумою нескінченного числа нулів і є, очевидно, схожим.

2. Основні властивості числових рядів

Властивості суми кінцевого числа доданків відрізняються від властивостей ряду, тобто суми нескінченного числа доданків. Так, у разі кінцевого числа доданків їх можна групувати в будь-якому порядку, від цього сума не зміниться. Існують ряди, що сходяться (умовно сходяться, які будуть розглянуті в розділі 5), для яких, як показав Ріман * , Змінюючи належним чином порядок прямування їх членів, можна зробити суму ряду рівною будь-якому числу, і навіть розбіжний ряд.

приклад 2.1.Розглянемо розбіжний ряд виду (1.7)

Згрупувавши його члени попарно, отримаємо схожий числовий ряд із сумою, що дорівнює нулю:

З іншого боку, згрупувавши його члени попарно, починаючи з другого члена, отримаємо також ряд, що сходить, але вже з сумою, що дорівнює одиниці:

Ці ряди мають деякі властивості, які дозволяють діяти з ними, як з кінцевими сумами. Так їх можна множити на числа, почленно складати та віднімати. У них можна об'єднувати в групи будь-які складові, що стоять поруч.

Теорема 2.1.(Необхідна ознака збіжності низки).

Якщо ряд (1.1) сходиться, його спільний член прагне нулю при необмеженому зростанні n, тобто.

Доказ теореми випливає з того, що , і якщо

S - сума ряду (1.1), то

Умова (2.1) є необхідною, але недостатньою умовою для збіжності ряду. Т. е., якщо загальний член ряду прагне до нуля при , то це не означає, що ряд сходиться. Наприклад, для гармонійного ряду (1.2) однак, як показано нижче, він розходиться.

Слідство(Достатня ознака розбіжності ряду).

Якщо загальний член ряду не прагне нуля, то цей ряд розходиться.

приклад 2.2.Дослідити на збіжність ряд

.

Для цього ряду

Отже, цей ряд розходиться.

Розглянуті вище розбіжні ряди (1.6), (1.7) також є такими через те, що для них не виконується необхідна ознака збіжності. для ряду (1.7) межа не існує.

Властивість 2.1.Східність або розбіжність ряду не зміниться, якщо довільним чином видалити з нього, додати до нього, переставити в ньому кінцеве число членів (при цьому для ряду, що сходить, його сума може змінитися).

Доказ якості випливає з того, що ряд (1.1) та будь-який його залишок сходяться або розходяться одночасно.

Властивість 2.2.Ряд, що сходить, можна множити на число, тобто, якщо ряд (1.1) сходиться, має суму S і c - деяке число, тоді

Доказ випливає з того, що для кінцевих сум справедливі рівність

Властивість 2.3.ряди, Що Збігаються, можна почленно складати і віднімати, тобто якщо ряди ,

сходяться,

сходиться та її сума дорівнює тобто.

.

Доказ випливає з властивостей межі кінцевих сум, тобто.

1. Якщо сходиться а 1 +а 2 +а 3 +…+а n +…=, то сходиться й ряд а m+1 +а m+2 +а m+3 +…, отриманий із цього ряду відкиданням перших m членів. Цей отриманий ряд називається m-им залишком ряду. І навпаки: зі збіжності m-го залишку ряду випливає збіжність даного ряду. Тобто. збіжність та розбіжність ряду не порушується, якщо додати або відкинути кінцеве число його членів.

2 . Якщо ряд а 1 +а 2 +а 3 +… сходиться та її сума дорівнює S, то ряд Са 1 +Са 2 +…, де З= як і сходиться та її сума дорівнює СS.

3. Якщо ряди а 1 +а 2 +… і b 1 +b 2 +… сходяться та їх суми рівні відповідно S1 та S2, то ряди (а 1 +b 1)+(а 2 +b 2)+(а 3 +b 3)+… та (а 1 -b 1)+(а 2 -b 2)+(а 3 -b 3)+… також сходяться. Їх суми відповідно дорівнюють S1+S2 та S1-S2.

4. а). Якщо ряд сходиться, його n-ый член прагне 0 при необмеженому зростанні n (зворотне твердження неправильно).

- необхідний ознака (умова)збіжності ряду.

б). Якщо
то ряд розбіжний – достатня умоварозбіжності ряду.

-Ради такого виду досліджуються тільки по 4 властивості. Це розбіжнілави.

Знакопозитивні ряди.

Ознаки збіжності та розбіжності знакопозитивних рядів.

Знакопозитивні ряди – це ряди, всі члени яких позитивні. Ці ознаки збіжності та розбіжності ми розглядатимемо для знакопозитивних рядів.

1. Перша ознака порівняння.

Нехай дано два знакопозитивні ряди а 1 +а 2 +а 3 +…+а n +…= (1) і b 1 +b 2 +b 3 +…+b n +…= (2).

Якщо члени ряду (1) не більшеb n і ряд (2) сходиться, то ряд (1) також сходиться.

Якщо члени ряду (1) не меншевідповідних членів низки (2), тобто. а n b n і ряд (2) розходиться, то ряд (1) також розходиться.

Ця ознака порівняння справедлива, якщо нерівність виконується не для всіх n, а лише починаючи з деякого.

2. Друга ознака порівняння.

Якщо існує кінцева і відмінна від нуля межа
, то обидва ряди сходяться чи розходяться одночасно.

-ряди такого виду розходятьсяза другою ознакою порівняння. Їх треба порівнювати з гармонійним рядом.

3. Ознака Даламбер.

Якщо знакопозитивного ряду (а 1 +а 2 +а 3 +…+а n +…= ) існує
(1), то ряд сходиться, якщо q<1, расходится, если q>

4. Ознака Коші радикальна.

Якщо для знакопозитивного ряду існує межа
(2), то ряд сходиться, якщо q<1, расходится, если q>1. Якщо q=1, то питання залишається відкритим.

5. Ознака Коші інтегральна.

Згадаймо невласні інтеграли.

Якщо існує межа
. Це невласний інтеграл і позначається
.

Якщо ця межа закінчена, то кажуть, що невласний інтеграл сходиться. Ряд, відповідно, сходиться чи розходиться.

Нехай ряд а 1 + а 2 + а 3 + ... + а n + ... = - Знакопозитивний ряд.

Позначимо an = f(x) і розглянемо функцію f(x). Якщо f(x)- функція позитивна, монотонно спадна і безперервна, то, якщо невласний інтеграл сходиться, те й цей ряд сходиться. І навпаки: якщо невласний інтеграл розходиться, то й низка розходиться.

Якщо ряд кінцевий, він сходиться.

Дуже часто зустрічаються ряди
-ряд Деріхле. Він сходиться, якщо p>1, розходиться p<1. Гармонический ряд является рядом Дерихле при р=1. Сходимость и расходимость данного ряда легко доказать с помощью интегрального признака Коши.

1. Основні поняття. Нехай дана нескінченна послідовність чисел

Визначення.Вираз

де – загальний член ряду.

Приклад 7.1

Розглянемо ряд. Тут – загальний член ряду.

Розглянемо суми, складені з кінцевого числа членів ряду (7.1): , , , ..., , . . . Такі суми називаються частковими сумамиряду. називається частковою сумою ряду. Таким чином, часткова сума це сума (кінцевого числа) доданків:

.

(7.3)

Послідовність , , , ..., , ... або .називається послідовністю часткових сум ряду (7.1).

Визначення.Якщо існує кінцева межа , то ряд (1.1) називається схожим,а число – сумою цього ряду. У цьому випадку пишуть

Якщо послідовність немає межі, то ряд (7.1) називається розбіжним.Розбіжний ряд суми не має.

Приклад 7.2

Рішення

Загальний член ряду можна подати у вигляді

, (n= 1, 2, 3, . . .).

Отже, даний ряд сходиться, та її сума дорівнює 1.

Приклад 7.3(геометрична прогресія)

Розглянемо послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, виходить в результаті множення попереднього члена на одне й те число:

Іноді сам ряд (7.5) називають геометричною прогресією.

Часткова сума ряду (7.5) являє собою суму членів геометричної прогресії та

обчислюється за формулою

.

(7.6)

Якщо, тоді. Отже, ряд (7.5) сходиться. Якщо, тоді. Отже, при ряді (7.5) розходиться. Якщо , тоді (7.5) перетворюється на ряд 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... . Для такого ряду та

Отже, за ряд (7.5) розходиться.

При розгляді рядів важливим є питання про збіжність (розбіжність). Для вирішення цього питання у прикладах 7.1 та 7.2 використовувалося визначення збіжності. Найчастіше при цьому використовуються певні властивості ряду, які називаються ознаками збіжності ряду.

Теорема 7.1(Необхідна ознака збіжності). Якщо ряд (7.1) сходиться, його спільний член прагне нулю при необмеженому зростанні , тобто.

Ряд (7.8) називається гармонійнимпоряд.

Для цього ряду. Однак, жодного висновку про збіжність ряду (7.8) поки що зробити не можна, оскільки твердження, зворотне теоремі 7.1, не є вірним.

Покажемо, що низка (7.8) розходиться. Це можна встановити міркуваннями від протилежного. Припустимо, що ряд (7.8) сходиться, і його сума дорівнює S. Тоді = -

- , Що суперечить нерівності

Отже, гармонійний ряд розходиться.

Необхідною ознакою можна скористатися встановлення факту розбіжності ряду. Дійсно, з теореми 7.1 випливає, що якщо загальний член ряду не прагне нуля, то ряд розходиться.

Приклад 7.5

Розглянемо ряд.

Тут, . Межа не дорівнює нулю, отже, ряд розходиться.

Отже, якщо виконується умова (7.7), питання збіжності низки (7.1) залишається відкритим. Ряд може розходитися, а може й сходитися. Для вирішення цього питання можуть

бути використані властивості ряду, з яких випливає збіжність цього ряду. Такі властивості називаються достатніми ознаками збіжностірядів.

Ряди із позитивними членами.Розглянь достатні ознаки збіжності рядів із позитивними членами.

Теорема 7.2. (Ознака Даламбера).

позитивні:

1) якщо ряд (7.1) сходиться;

2) якщо ряд (7.1) сходиться;

Примітка. Ряд (7.1) буде розходитися і в тому випадку, коли , тому що тоді, починаючи з деякого номера N,буде і, отже, не прагне нуля при .

Приклад 7.6

Дослідити на збіжність ряд.

Рішення. , , Тоді =

Знайдена межа менша за одиницю. Отже, цей ряд сходиться.

Приклад 7.7

Дослідити на збіжність ряд.

Рішення. , , Тоді =

= = = = = = = .

Знайдена межа більша за одиницю. Отже, цей ряд розходиться.

Теорема 7.3. (Радикальна ознака Коші).

Нехай дано ряд (7.1), усі члени якого позитивні:

і існує межа

,

(7.11)

(Де позначення знайденої межі). Тоді:

1) якщо ряд (7.1) сходиться;

2) якщо ряд (7.1) сходиться;

3) якщо , аналізований ознака дає відповіді питання про збіжності низки.

Доказ ознаки можна знайти у .

Приклад 7.8

Дослідити на збіжність ряд.

Рішення.

Знайдемо межу (7.11):

Знайдена межа більша за одиницю. Отже, цей ряд розходиться (теорема 7.3).

Узагальнений гармонійний ряд.Узагальненим гармонійним рядомназивається ряд виду

Теорема 7.3. (Теорема Лейбніца). Якщо для ряду(7.13) виконуються дві умови:

1) члени ряду за абсолютною величиною монотонно зменшуються:

2)загальний член ряду прагне нуля:

то ряд(7.13) сходиться.

Доказ ознаки можна знайти, наприклад, у .

Приклад 7.9.

Розглянемо ряд, що чергується.

(7.14)

Для цього ряду умов теореми (7.13) виконано:

Отже ряд (7.12) сходиться.

Наслідок з теореми 7.3.Залишок знакочередного ряду (7.13), що задовольняє умовам теореми Лейбніца, має знак свого першого члена і менший за його абсолютною величиною.

Приклад 7.10.Обчислити з точністю до 0,1 суму ряду, що сходить

Як наближене значення суми ряду ми повинні взяти ту часткову суму, для якої. Відповідно до слідства, . Отже, досить покласти , тобто .

Звідси із точністю до 0,1.

Абсолютна та умовна збіжність. Розглянемо ряд, члени якого мають довільні знаки

Зазначимо, що ряд (7.16) є поруч із позитивними членами і для нього застосовні відповідні теореми, наведені вище.

Теорема 7.4(Ознака абсолютної збіжності). Якщо сходиться ряд (7.16), то сходиться й ряд (7.15).

(Доказ теореми можна знайти, наприклад, у ).

Визначення.

Якщо сходиться ряд (7.16), то відповідний ряд (7.15) називається абсолютно схожим абсолютно східнимся.

Може виявитись, що ряд (7.16) розходиться, а ряд (7.15) сходиться. У цьому випадку ряд (7.15) називається умовно схожим.

Зазначимо, що ряд, що знак чергується (7.13) є окремим випадком ряду, члени якого мають довільні знаки. Тому для дослідження ряду, що чергується, також можна застосувати теорему 7.5.

Приклад 7.11

Рішення

Розглянемо ряд, складений з абсолютних величин членів цього ряду. Цей ряд збігається, тому що це узагальнений гармонійний ряд (7.12) зі значенням Отже, за ознакою абсолютної збіжності (теорема 7.5) вихідний ряд збігається абсолютно.

Приклад 7.12

Ряд досліджувати на збіжність.

Рішення

по теоремі Лейбніца сходить, але ряд, складений з абсолютних величин членів вихідного ряду, розходиться (це гармонійний ряд). Отже, вихідний ряд сходиться умовно.