ПЛОЩІСТЬ.

Визначення.Будь-який ненульовий вектор, перпендикулярний до площини, називається її нормальним вектором, і позначається.

Визначення.Рівняння площини виду де коефіцієнти - довільні дійсні числа, одночасно не рівні нулю, називається загальним рівнянням площини.

Теорема.Рівняння визначає площину, що проходить через точку і має нормальний вектор.

Визначення.Рівняння площини виду

де - довільні, не рівні нулю дійсні числа, називається рівнянням площини у відрізках.

Теорема.Нехай – рівняння площини у відрізках. Тоді - координати точок її перетину з осями координат.

Визначення.Загальне рівняння площини називається нормованимабо нормальнимрівнянням площини, якщо

та .

Теорема.Нормальне рівняння площини може бути записане у вигляді де - відстань від початку координат до даної площини, - напрямні косинуси її нормального вектора ).

Визначення. Нормуючим множникомзагального рівняння площини називається число де знак вибирається протилежним знаку вільного члена D.

Теорема.Нехай – множник, що нормує, загального рівняння площини. Тоді рівняння є нормованим рівнянням даної площини.

Теорема.Відстань dвід крапки до площини .

Взаємне розташування двох площин.

Дві площини або збігаються, або є паралельними, або перетинаються прямою.

Теорема.Нехай поверхні задані загальними рівняннями: . Тоді:

1) якщо то площині збігаються;

2) якщо то площини паралельні;

3) якщо або, то площини перетинаються прямою, рівнянням якої служить система рівнянь: .

Теорема.Нехай – нормальні вектори двох площин, тоді один із двох кутів між даними площинами дорівнює:.

Слідство.Нехай ,- Нормальні вектори двох даних площин. Якщо скалярний добуток дані площини є перпендикулярними.

Теорема.Нехай дані координати трьох різних точок координатного простору:

Тоді рівняння –є рівнянням площини, що проходить через ці три точки.

Теорема.Нехай дані загальні рівняння двох площин, що перетинаються: причому. Тоді:

– рівняння бісекторної площини гострого двогранного кута, утвореного перетином даних площин;

– рівняння бісекторної площини тупого двогранного кута.

Зв'язування та пучок площин.

Визначення. Зв'язуванням площинназивається безліч всіх площин, що мають одну загальну точку, яка називається центром зв'язки.

Теорема.Нехай – три площини, що мають єдину загальну точку. Тоді рівняння де – довільні дійсні параметри одночасно не рівні нулю, є рівняння зв'язування площин.

Теорема.Рівняння , де довільні дійсні параметри, одночасно не рівні нулю, є рівнянням зв'язування площин з центром зв'язуванняу точці.

Теорема.Нехай дані загальні рівняння трьох площин:

-їх відповідні нормальні вектори. Для того, щоб три дані площини перетиналися в єдиній точці, необхідно і достатньо, щоб змішаний добуток їх нормальних векторів не дорівнював нулю:

У цьому випадку координати їх єдиної спільної точки є єдиним рішенням системи рівнянь:

Визначення. Пучком площинназивається безліч всіх площин, що перетинаються по одній і тій же прямій, званій віссю пучка.

Теорема.Нехай – дві площини, що перетинаються прямою. Тоді рівняння, де довільні дійсні параметри одночасно не рівні нулю, є рівняння пучка площинз віссю пучка

ПРЯМА.

Визначення.Будь-який ненульовий вектор, колінеарний даної прямої називається її напрямним вектором, і позначається

Теорема. параметричним рівнянням прямоїу просторі: де - координати довільної фіксованої точки даної прямої, - відповідні координати довільного напрямного вектора даної прямої, - параметр.

Слідство.Наступна система рівнянь є рівнянням прямої у просторі і називається канонічним рівнянням прямоїв просторі: де - координати довільної фіксованої точки даної прямої, - відповідні координати довільного напрямного вектора даної прямої.

Визначення.Канонічне рівняння прямого виду - називається канонічним рівнянням прямої, що проходить через дві різні дані точки

Взаємне розташування двох прямих у просторі.

Можливі 4 випадки розташування двох прямих у просторі. Прямі можуть збігатися, бути паралельними, перетинатися в одній точці або схрещуватися.

Теорема.Нехай дані канонічні рівняння двох прямих:

де - їх напрямні вектори, - довільні фіксовані точки, що лежать на прямих відповідно. Тоді:

і ;

і не виконується хоча б одна з рівностей

;

, тобто.

4) прямі схрещуються, якщо , тобто.

Теорема.Нехай

– дві довільні прямі у просторі, задані параметричними рівняннями. Тоді:

1) якщо система рівнянь

має єдине рішення, то прямі перетинаються в одній точці;

2) якщо система рівнянь немає рішень, то прямі схрещуються чи паралельні.

3) якщо система рівнянь має більше рішення, то прямі збігаються.

Відстань між двома прямими у просторі.

Теорема.(Формула відстані між двома паралельними прямими.): Відстань між двома паралельними прямими

Де – їх загальний напрямний вектор, – точки цих прямих, можна обчислити по формуле:

або

Теорема.(Формула відстані між двома прямими схрещуються.): Відстань між двома прямими, що схрещуються.

можна обчислити за такою формулою:

де – модуль змішаного твору напрямних векторів і і вектора, модуль векторного твору напрямних векторів.

Теорема.Нехай – рівняння двох площин, що перетинаються. Тоді наступна система рівнянь є рівнянням прямої лінії, якою перетинаються ці площини: . Напрямний вектор цієї прямої може служити вектор , де ,- Нормальні вектори даних площин.

Теорема.Нехай дано канонічне рівняння прямої: де . Тоді наступна система рівнянь є рівнянням даної прямої, заданої перетином двох площин: .

Теорема.Рівняння перпендикуляра, опущеного з точки на пряму має вигляд де координати векторного твору, координати напрямного вектора даної прямої. Довжину перпендикуляра можна знайти за формулою:

Теорема.Рівняння загального перпендикуляра двох прямих, що схрещуються, має вигляд: де.

Взаємне розташування прямої та площини у просторі.

Можливі три випадки взаємного розташування прямої у просторі та площині:

Теорема.Нехай площина задана загальним рівнянням, а пряма задана канонічним чи параметричним рівнянням або, де вектор – нормальний вектор площини – координати довільної фіксованої точки прямої, – відповідні координати довільного напрямного вектора прямої. Тоді:

1) якщо , то пряма перетинає площину точки, координати якої можна знайти із системи рівнянь

2) якщо і, то пряма лежить на площині;

3) якщо і, то пряма паралельна площині.

Слідство.Якщо система (*) має єдине рішення, то пряма перетинається із площиною; якщо система (*) немає рішень, то пряма паралельна площині; якщо система (*) має безліч рішень, то пряма лежить на площині.

Вирішення типових завдань.

Завдання №1 :

Скласти рівняння площини, що проходить через точку паралельно до векторів.

Знайдемо нормальний вектор площини:

= =

Як нормальний вектор площини можна взяти вектор тоді загальне рівняння площини набуде вигляду:

Щоб знайти , потрібно замінити у цьому рівнянні координатами точки, що належить площині.

Завдання №2 :

Дві грані куба лежать на площинах і обчислити обсяг цього куба.

Очевидно, що площини є паралельними. Довжиною ребра куба є відстань між площинами. Виберемо на першій площині довільну точку: нехай знайдемо.

Знайдемо відстань між площинами як відстань від точки до другої площини:

Отже, об'єм куба дорівнює ()

Завдання №3 :

Знайти кут між гранями іпірамідиc вершинами

Кут між площинами – це кут між нормальними векторами до цих площин. Знайдемо нормальний векторплощини: [,];

, або

Аналогічно

Завдання №4 :

Скласти канонічне рівняння прямої .

Отже,

Вектор іперпендикулярні до прямої, тому,

Отже, канонічне рівняння прямий набуде вигляду.

Завдання №5 :

Знайти відстань між прямими

і .

Прямі паралельні, т.к. їх напрямні вектори ірівні. Нехай крапка належить першій прямій, а точка лежить на другій прямій. Знайдемо площу паралелограма, побудованого на векторах.

[,];

Шуканою відстанню є висота паралелограма, опущена з точки:

Завдання №6 :

Обчислити найкоротшу відстань між прямими:

Покажемо, що прямі схрещуються, тобто. вектори,іні належать одній площині: ≠ 0.

1 спосіб:

Через другу пряму проведемо площину, паралельну першій прямій. Для площини, що шукається, відомі належать їй векториии точка. Нормальний векторплоскостіє векторний твір векторів, тому .

Отже, як нормальний вектор площини можна взяти вектор тому рівняння площини набуде вигляду: знаючи, що точка належить площині найдемо і запишемо рівняння:

Шукана відстань - ця відстань від точки першої прямої до площини знаходиться за формулою:

13.

2 спосіб:

На векторах і побудуємо паралелепіпед.

Шукана відстань - це висота паралелепіпеда, опущена з точки, на його основу, побудованого на векторах.

Відповідь: 13 одиниць.

Завдання №7 :

Знайти проекцію точки на площину

Нормальний вектор площини є напрямним вектором прямої:

Знайдемо точку перетину прямої

та площині:

.

Підставивши в рівняння площини, знайдемо, а потім

Зауваження.Щоб знайти точку , симетричну точці щодо площини, потрібно (аналогічно попередній задачі) знайти проекцію точки на площину, потім розглянути відрізок з відомимипочатками серединою, скориставшись формулами,.

Завдання №8 :

Знайти рівняння перпендикуляра, опущеного з точки на пряму .

1 спосіб:

2 спосіб:

Завдання вирішимо другим способом:

Площина перпендикулярна заданої прямої, тому напрямний вектор прямої є нормальним вектором площини. Знаючи нормальний вектор площини та точку на площині, запишемо її рівняння:

Знайдемо точку перетину площини та прямої, записаної параметрично:

,

Складемо рівняння прямої, що проходить через точки і:

.

Відповідь: .

У такий же спосіб можна вирішити й такі завдання:

Завдання №9 :

Знайти точку , симетричну точці щодо прямої .

Завдання №10 :

Даний трикутник з вершинами Знайти рівняння висоти, опущеної з вершини на бік.

Хід рішення абсолютно аналогічний попереднім завданням.

Відповідь: .

Завдання №11 :

Знайти рівняння загального перпендикуляра до двох прямих: .

0.

Зважаючи на те, що площина проходить через точку, запишемо рівняння цієї площини:

Точка належить, тому рівняння площини набуде вигляду:.

Відповідь:

Завдання №12 :

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку і перетинає прямі .

Перша пряма проходить через точку та має напрямний вектор; друга – проходить через крапки має напрямний вектор

Покажемо, що ці прямі є такими, що схрещуються, для цього складемо визначник, рядки якого є координатами векторів ,, вектори не належать одній площині.

Проведемо площину через крапку і першу пряму:

Нехай - довільна точка площини тоді вектори, ікомпланарні. Рівняння площині має вигляд:.

Аналогічно складемо рівняння площини, що проходить через крапку і другу пряму: 0.

Шукана пряма є перетин площин, тобто.

Освітнім результатом після вивчення цієї теми є сформованість компонентів, заявлених у вступі, сукупності компетенцій (знати, вміти, володіти) на двох рівнях: пороговий та просунутий. Пороговий рівень відповідає оцінці «задовільно», просунутий рівень відповідає оцінкам «добре» чи «відмінно» залежно від результатів захисту кейс-задань.

Для самостійної діагностики даних компонентів вам пропонуються наступні завдання.

МІНОБРНАУКИ РОСІЇ

Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти «Югорський державний університет» (ПІВДУ)

НИЖНІВАРТІВСЬКИЙ НАФТОВИЙ ТЕХНІКУМ

(філія) федеральної державної бюджетної освітньої установи

вищої професійної освіти «Югорський державний університет»

(ННТ (філія) ФДБОУ ВПО «ПІВДЕНЬ»)

РОЗГЛЯДНО

На засіданні кафедри ЄІЕД

Протокол №__

«____»___________20__ р.

Зав.кафедрою_________Л.В. Рвачова

ЗАТВЕРДЖЕНО

Зам. директора з навчальної роботи

ННТ (філії) ФДБОУ ВПО «ПІВДЕНЬ»

«____»___________20__ р.

Р.І. Хайбуліна

Методична розробка заняття

Викладач: О.М. Карсакова

Нижньовартівськ

2014-

Заняття №58

«Взаємне розташування прямих та площин у просторі»

Дисципліна: Математика

Дата: 19.12.14

Група: ЗРЕ41

Цілі:

Освітні:

Вивчення можливих випадків взаємного розташування прямих та площин у просторі;

Формування навичокчитання та побудови креслень просторових конфігурацій;

Розвиваючі:

Сприяти розвитку просторової уяви та геометричного мислення;

Розвиток точного, інформативного мовлення;

Формування пізнавальної та творчої діяльності;

Розвиток самостійності, ініціативності;

Виховні:

Сприяти естетичному сприйняттю графічних зображень;

Виховання акуратного, точного виконання геометричних побудов;

Розвиток уважного та дбайливого ставлення до навколишнього світу.

Тип заняття: засвоєння нових знань;

Обладнання та матеріали: ПК,МД проектор, карти із завданнями, зошити, лінійки, олівці.

Література:

Н.В. Богомолов «Практичні заняття з математики», 2006р.

А.А. Дадаян "Математика", 2003р.

О.М. Афанасьєва, Я.С. Бродський «Математика для технікумів», 2010р.

План заняття:

Етап заняття

Ціль етапу

Час (хв)

Організаційний момент

Оголошення теми заняття; постановка цілей;

Актуалізація знань

Перевірка опорних знань

а) фронтальне опитування

Повторити аксіоми стереометрії; взаємне розташування прямих у просторі; корекція прогалин у знаннях

Вивчення нового матеріалу

Засвоєння нових знань;

Розв'язання геометричних завдань.

Формування умінь та навичок

Творче застосування знань

а) Дивне поряд

Розвиток уваги тадбайливого ставлення до природи

б) Цікавий кросворд

Підсумки заняття

Узагальнення знань, умінь, навичок; оцінка діяльності студентів

Домашнє завдання

Інструктаж з домашнього завдання

Хід заняття:

1. Організаційний момент (3 хв.)

(Повідомлення теми заняття; постановка цілей; висвітлення основних етапів).

Сьогодні ми розглянемо взаємне положення прямої та площини у просторі, дізнаємося ознаки паралельності та перпендикулярності прямої та площини, застосуємо отримані знання до вирішення геометричних завдань та виявимо дивовижні предмети навколо нас.

2. Актуалізація знань (7 хв.)

Ціль: Мотивація пізнавальної діяльності

Геометрія - одна з найдавніших наук, що займається вивченням властивостей геометричних фігур на площині та просторі. Геометричні знання необхідні людині для розвитку просторової уяви та правильного сприйняття навколишньої дійсності. Будь-яке знання спирається на основні поняття - базу, без якої неможливе подальше засвоєння нових знань. До таких понять відносять початкові поняття стереометрії та аксіоми.

Початковими (Базовими) називають поняття, що приймаються без визначення. У стереометрії ними єточка, пряма, площина та відстань . Маючи ці поняття, ми даємо визначення іншим геометричним поняттям, формулюємо теореми, описуємо ознаки і вибудовуємо докази.

3. Перевірка знань учнів на тему: « Аксіоми стереометрії», «Взаємне розташування прямих у просторі " (15 хв.)

Ціль: Повторити початкові аксіоми та теореми стереометрії; застосувати отримані знання до розв'язання геометричних завдань; корекція прогалин у знаннях.

Завдання 1. Сформулюйте аксіоми стереометрії. (Презентація).

Аксіома – твердження, яке приймається без доказу.

Аксіоми стереометрії

А1: У просторі є площина і точка, що їй не належить.

А2: Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, проходить площина і до того ж лише одна.

А3: Якщо дві точки прямої лежать у площині, то всі точки прямої лежать у цій площині.

А4: Якщо дві площини мають загальну точку, вони мають спільну пряму, де лежать все загальні точки цих площин.

Завдання 2. Сформулюйте теореми стереометрії (наслідки із аксіом). (Презентація).

Наслідки з аксіом

Теорема 1. Через пряму і не лежачу на ній точку проходить площину, і до того ж тільки одна.

Теорема 2. Через дві прямі, що перетинаються, проходить площину, і притому тільки одна.

Теорема 3. Через дві паралельні прямі проходить площину, і лише одна.

Завдання 3. Застосуйте отримані знання для вирішення найпростіших стереометричних завдань. ( Презентація ) .

Знайдіть кілька точок, які лежать у площиніα

Знайдіть кілька точок, які не лежать у площиніα

Знайдіть кілька прямих, які лежать у площиніα .

Знайдіть кілька прямих, які не лежать у площиніα

Знайдіть кілька прямих, які перетинають пряму ВЗ.

Знайдіть кілька прямих, які не перетинають прямуЗ.

Завдання 4. Пе Розрахуйте способи взаємного розташування прямих у просторі. ( Презентація ) .

1.Паралельні прямі

2. Пересічні прямі

3.Схрещуються прямі

Завдання 5. Дайте визначення паралельним прямим.(Презентація).

1) Паралельними називають прямі, які лежать в одній площині та не мають спільних точок

Завдання 6. Дайте визначення прямим, що перетинається.(Презентація).

Дві прямі перетинаються, якщо вони лежать в одній площині та мають спільну точку.

Завдання 7. Дайте визначення прямим, що схрещується.(Презентація).

Прямі називаються схрещуються, якщо вони лежать у різних площинах.

Завдання 8. Визначте взаємне розташування прямих. (Презентація).

1.Схрещуються

2.Пересікаються

3.Паралельні

4.Схрещуються

5.Пересікаються

4. Вивчення нового матеріалу на тему: «Взаємне розташування прямої та площини у просторі " (20 хв.) (Презентація).

Ціль: Вивчити способи взаємного розташування прямої та площини; застосувати отримані знання до розв'язання геометричних завдань;

Як у просторі можуть розташовуватися пряма та площина?

Пряма лежить у площині

Площина та пряма паралельні

Площина та пряма перетинаються

Площина та пряма перпендикулярні

Колидана пряма лежить у цій площині?

Пряма лежить у площині, якщо вони мають хоча б дві загальні точки.

Колидана пряма паралельна даній площині?

Пряма та площина називаються паралельними, якщо вони не перетинаються і не мають спільних точок.

Колиця пряма перетинає цю площину?

Площина і пряма називаються такими, що перетинаються, якщо вони мають загальну точку перетину.

Колидана пряма перпендикулярна даній площині?

Пряма площина, що перетинає, називається перпендикулярною цій площині, якщо вона перпендикулярна кожній прямій, що лежить в даній площині і проходить через точку перетину.

Ознака паралельності прямої та площини

Площина і лежача на ній пряма паралельні, якщо в даній площині знайдеться хоч одна пряма, паралельна даній прямій.

Ознака перпендикулярності прямої та площини

Якщо пряма, що перетинає площину, перпендикулярна двом прямим, що перетинаються, лежать у площині, то вона перпендикулярна цій площині.

5. Розв'язання геометричних завдань. (Презентація).

Завдання 1. Визначте взаємне розташування прямих та площин.

Паралельні

Перетинаються

Перетинаються

Паралельні

Завдання 2. Назвіть площини, у яких лежать точки М і N .

Завдання 3. Знайдіть точку F – точку перетину прямих MN і D С. Яку властивість має точка F ?

Завдання 4. Знайдіть точку перетину прямої KN та площині АВС.

6.Творче застосування знань.

а) Дивне поряд.

Ціль: Розвиток математичної уваги тадбайливого ставлення до природи.

Завдання 1. Наведіть приклади взаємного розташування прямих у просторі навколишнього світу (5 хв.)

Паралельні

Пересічні

Схрещуються

Лампи денного світла

циркуль

Баштовий кран

Батареї опалення

Перехрестя доріг

Вертоліт, літак

Ніжки стола

годинникові стрілки

антена

Клавіші піаніно

млин

ножиці

Струни на гітарі

гілки дерев

Транспортна розв'язка

б) Цікавий кросворд (15 хв.) (Презентація).

Ціль: Показати спільність математичних понять

Завдання - відгадайте зашифроване слово - дві прямі, що знаходяться у різних площинах.

Запитання:

1. Розділ геометрії, що вивчає властивості фігур у просторі (12 літер).

2.Твердження, що не вимагає доказу.

3. Найпростіша фігура планіметрії та стереометрії (6 букв).

4. Розділ геометрії, що вивчає властивості фігур на площині (11 літер).

5. Захисний пристрій воїна у вигляді кола, овалу, прямокутника.

6. Теорема, яка задає характеристики предметів.

8. Планіметрія – площина, стереометрія –…

9. Жіночий одяг у формі трапеції (4 літери).

10. Крапка, що належить обом прямим.

11. Яку форму мають гробниці фараонів у Єгипті? (8 букв)

12. Яку форму має цегла? (14 літер)

13. Одна з основних фігур стереометрії.

14. Вона може бути прямою, кривою, ламаною.

Відповіді:

7. Підсумок заняття (3хв).

Виконання поставленої мети;

Придбання навичок дослідницької роботи;

застосування знань до вирішення геометричних завдань;

Ми познайомилися з різними видами положення прямої та площини у просторі. Опанування цими знаннями допоможе щодо інших геометричних понять на наступних заняттях.

8. Домашнє завдання (2 хв).

Завдання 1. Заповнити таблицю взаємного розташування прямої та площини прикладами з навколишнього світу.

, Конкурс «Презентація до уроку»

Клас: 10

Презентація до уроку

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Мета уроку: повторення та узагальнення вивченого матеріалу на тему "Взаємне розташування прямих і площин у просторі".

• навчальні: розглянути можливі випадки взаємного розташування прямих та площин у просторі; формувати навичку читання креслень, просторових змін до завдань.
• розвиваючі: розвивати просторову уяву учнів під час вирішення геометричних завдань, геометричне мислення, інтерес до предмета, пізнавальну та творчу діяльність учнів, математичну мову, пам'ять, увагу; виробляти самостійність у освоєнні нових знань.
• виховні: виховувати в учнів відповідальне ставлення до навчальної праці, формувати емоційну культуру та культуру спілкування, розвивати почуття патріотизму, любові до природи.

Методи навчання: словесний, наочний, діяльнісний

Форми навчання: колективна, індивідуальна

Засоби навчання (у тому числі технічні засоби навчання): комп'ютер, мультимедійний проектор, екран, друковані засоби (роздавальний матеріал),

Вступне слово вчителя.

Сьогодні на уроці ми підіб'ємо підсумки вивчення взаємного розташування прямих і площин у просторі.

Урок допомогли підготувати учні вашого класу, які методом самостійного пошуку фотографій, розглянули різні варіанти взаємного розташування прямих та площин у просторі.

Вони не лише зуміли розглянути різні варіанти взаємного розташування прямих та площин у просторі, а й виконали творчу роботу – створили мультимедійну презентацію.

Яке може бути взаємне розташування прямих у просторі (паралельні, що перетинаються, схрещуються)

Дати визначення паралельних прямих у просторі, навести приклади з життя, у природі

Перелічити ознаки паралельності прямих

Дати визначення прямих, що перетинаються, в просторі, навести приклади з життя, в природі

Дати визначення прямих, що схрещуються, в просторі, навести приклади з життя, в природі

Яке може бути взаємне розташування площин у просторі (паралельні, що перетинаються)

Дати визначення паралельних площин у просторі, навести приклади з життя, у природі

Дати визначення площин, що перетинаються в просторі, навести приклади з життя, в природі

Яке може бути взаємне розташування прямих і площин у просторі (паралельні, перпендикулярні, що перетинаються)

Дати визначення кожного поняття та розглянути приклади з життя

Підбиття підсумків презентацій.

Як ви оцінюєте творчу підготовку до уроку ваших однокласників?

Закріплення.

Математичний диктант із копіркою, учні виконують на окремих аркушах за готовими кресленнями та здають на перевірку. Копію перевіряють та самостійно виставляють оцінки.

ABCDA 1 B 1 C 1 D1 – куб.

K, M, N - середини ребер B 1 C 1 , D 1 D, D 1 C 1 відповідно,

P - точка перетину діагоналей грані AA 1 B 1 B.

Визначте взаємне розташування:

1. прямих: В 1 М та ВD, PM та B 1 N, AC та MN, B 1 M та PN (слайди 16 - 19);
2. прямий та площини: KN та (ABCD), B 1 D та (DD 1 C 1 C), PM та (BB 1 D 1 D), MN та (AA 1 B 1 B) (слайди 21 - 24);
3. площин: (AA 1 B 1 B) та (DD 1 C 1 C), (AB 1 C 1 D) та (BB 1 D 1 D), (AA 1 D 1 D) та (BB 1 C 1 C) ( слайди 26 - 28)

Самоперевірка. Слайди 29,30,31.

Домашнє завдання. Розгадайте кросворд.

1. Розділ геометрії, в якому вивчаються властивості фігур у просторі.

2. Математичне твердження, що не потребує доказів.

3. Одна з найпростіших фігур та планіметрії та стереометрії.

4. Розділ геометрії, в якому вивчаються властивості фігур на площині.

5. Захисний пристрій воїна у вигляді кола, овалу, прямокутника.

6. Теорема, у якій за заданою властивістю необхідно визначити предмет.

8. Планіметрія - площина, стереометрія - :

9. Жіночий одяг у формі трапеції.

10. Одна точка, що належить обом прямим.

11. Яку форму мають гробниці фараонів у Єгипті?

12. Яку форму має цегла?

13. Одна з основних фігур у стереометрії.

14. Вона може бути прямою, кривою, ламаною.

Міністерство освіти і науки Республіки Бурятія

Державна бюджетна освітня установа

середньої професійної освіти

Бурятський республіканський індустріальний технікум

Методична розробка уроку

математики
тема:

«Прямі та площини у просторі»

Розробив: викладач математики Атутова А.Б.

Методист: ______________ Шатаєва С.С.

Анотація

Методична розробка написана для викладачів з метою ознайомлення методики узагальнення та систематизації знань у формі гри. Матеріали методичної розробки можна використовувати викладачами математики щодо теми «Прямі і площині у просторі».

Технологічна карта уроку

Тема розділу:Прямі та площини у просторі

Тип уроку:Урок узагальнення та систематизації знань

Вигляд уроку:Урок-гра

Цілі уроку:

Освітня:закріплення знань та умінь про взаємне розташування прямих та площин у просторі; створення умов контролю та взаємоконтролю

Розвиваюча:формування вміння перенесення знань у нову ситуацію, розвиток умінь об'єктивно оцінювати свої сили та можливості; розвиток математичного кругозору; мислення та мови; уваги та пам'яті.

Виховна:виховання наполегливості та завзятості у досягненні мети; вміння працювати в команді; виховання інтересу до математики та її додатків.

Валеологічна:створення сприятливої ​​атмосфери, що знижує елементи психологічної напруги.

Методи навчання уроку:Частково-пошуковий, словесний, наочний.

Форма організації уроку:командна, парна, індивідуальна.

Міжпредметні зв'язки:історія, російська мова, фізика, література.

Засоби навчання:Картки із завданнями, тести, кросворд, портрети математиків, жетони.

Література:

1. Дадаян А.А. Математика, М., Форум: ІНФРА-М, 2003, 2006, 2007.

2. Апанасов П.Т. Збірник задач з математики. М., Вища школа, 1987

План уроку

1.Організаційна частина. Повідомлення теми та цільова установка на урок.

2.Актуалізація знань та умінь студентів.

3. Вирішення практичних завдань

4. Тестове завдання. Відповіді на запитання.

5. Повідомлення про математиків

6. Рішення кросворду

7. Упорядкування математичних слів.

Хід уроку

За словами Платона, Бог завжди є вченим саме цієї спеціальності. Про цю науку Цицерон сказав: "Греки вивчали її, щоб пізнати світ, а римляни - щоб вимірювати земельні ділянки". То про яку науку йдеться?

Геометрія – одне з найдавніших наук. Її зародження викликано багатьма практичними потребами людей: виміром відстаней, обчисленням площ земельних ділянок, місткості судин, виготовленням знаряддям праці та ін. встановлені в давнину.

Сьогодні ми зробимо надзвичайне сходження на вершину «Піка знань» – «Прямі та площини у просторі». Першість оспорюватимуть три команди. Та команда, яка першою досягне вершини «Піка знань», стане переможцем. Для початку сходження на вершину команда повинна вибрати собі назву, яка має бути короткою, оригінальною і пов'язаною з математикою.

Для початку гри пропоную провести розминку.

I етап.

Завдання кожній команді:

Вам пропонується відгадати загадки, пов'язані з математичними термінами.

Загадки

1. 
   Я невидимка! У цьому суть моя.

Хоча мене не можна виміряти,

Так я мізерна і мала.

1. 
   Я тут! Зараз я вертикальна!

Але можу будь-хто прийняти нахил,

Можу і лягти горизонтально.

1. 
   Дивись уважно за мною:

Коли з точки поза прямою

Мене опустять на пряму

І проведуть похилу будь-яку,

То я завжди коротший, ніж вона.

1. 
   Мені слугує головою вершина.

А те, що ви вважаєте ногами,

Усі називають сторонами.

А зараз спробуйте відповісти на такі запитання:

Перерахуйте відомі аксіоми стереометрії;

Взаємне розташування прямих у просторі;

Взаємне розташування прямої та площини;

Взаємне розташування двох площин.

Визначення паралельних, схрещуються, перпендикулярних до прямих.

Тепер у дорогу! Підйом до «Піку знань» буде нелегким, на шляху можуть бути і завали, і обвали, і замети. Але є й привали, де ви можете відпочити, набратися сил і дізнатися про щось нове, цікаве. Щоб просунутися наперед, треба показати свої знання. Кожна команда пройде «своєю драбинкою», при правильному виборі рішення вийде слово. Це слово стане гаслом вашої команди.

Капітани команд вибирають один із трьох конвертів, у яких знаходяться завдання для всієї команди. Завдання виконують спільно. Навпроти кожної відповіді дана певна літера, якщо команда правильно вирішить, то з літер вийде слово.

II етап.

Завдання для першої команди:

Відповіді: а) ( H); б) ( З); в) ( Е).

Відповіді: а) СВ = 9см ( H); б) СВ = 8см ( А); в) СВ = 7см ( До).

1. 
   Яка мінімальна кількість точок визначає пряму?

Відповіді: а) одна ( До); б) дві ( А); о третій( З).

Знайдіть довжину вектора.

Відповіді: а) ( До); б) ( А); в) ( З).

Відповіді: а) АС = 12,5(З); б) АС = 24 (Н); в) АС = 28 (Ю).
Завдання для другої команди:

Відповіді: а) ( П); б) ( Л); в) ( У).

Відповіді: а) СВ = 5см ( М); б) СВ = 6см ( Р); в) СВ = 4см ( До).

1. 
   Яке мінімальне число точок визначає площину?

Відповіді: а) одна ( Про); б) дві ( П); о третій( Е).

Відповіді: а) АС = 30(Ю); б) АС = 28 (Л); в) АС = 32 (З).
Завдання для третьої команди:

Відповіді: а) ( Т); б) ( Р); в) ( А).

Відповіді: а) СВ = 12см ( Е); б) СВ = 9см ( Р); в) СВ = 14см ( У).

1. 
   Скільки площин можна провести за дві точки?

Відповіді: а) одну ( Е); б) дві ( П); в) безліч ( Ш).

Відповіді: а) АС = 20(Т); б) АС = 18 (Г); в) АС = 24 (У).

III етап.

Ще одна важка ділянка шляху доведеться вам подолати.

Довірливості я співаю хвалу,

Ну і перевірка теж не тягар …

У певному місці, на розі

Зустрічалися катет та гіпотенуза.

У катета вона була одна.

Гіпотенузу він любив, не вірячи пліткам,

Але, в той же час, на розі сусідньому

З іншим зустрічалася катетом вона.

І все закінчилося конфузом –

Ось після цього й вір гіпотенузам.

Запитання учасникам команд(за правильну відповідь – жетончик)

Як називається ставлення протилежного катета до гіпотенузи?

Як називається ставлення прилеглого катета до гіпотенузи?

Яке відношення катетів називається тангенсом?

Яке відношення катетів називається котангенсом?

Сформулюйте теорему Піфагора. Для яких трикутників вона застосовна.

Що називається відстанню від точки до площини?

Що називається кутом? Які кути ви знаєте?

Яка постать називається двогранним кутом? приклади.

Сформулюйте ознаку паралельності прямої та площини.

Сформулюйте ознаку прямих, що схрещуються.

Сформулюйте ознаку паралельності двох площин.

Сформулюйте ознаку паралельності прямої та площини.
IV етап.

Ми подолали частину нашого шляху та трохи втомилися. Тепер зупинимося на привал. І послухаємо цікаві історії життя великих математиків. Повідомлення про великих математиків – домашнє завдання. (Евклід, Архімед, Піфагор, Лобачевський Микола Іванович, Софія Василівна Ковалевська.)

Це в легендах, які передаються з покоління до покоління, здається, все просто. Але наукові відкриття є результатом довгих років терплячих пошуків та роздумів. Щоб і на вашу частку випала щаслива випадковість, треба бути готовим до неї.

V етап.

Уявіть собі, що ви потрапили у обвал. Наше завдання – вижити у цій ситуації. А щоб вижити, потрібно виконати тест та вибрати правильну відповідь. Капітанам команд пропонується вибрати пакет із тестами для кожного учасника гри. Тести: «Взаємне розташування прямих у просторі. Паралельність прямих, прямих і площин», «Паралельність площин», «Перпендикулярні прямі в просторі. Перпендикулярність прямої та площини».

Учасник записує своє прізвище та ім'я на листку, номер завдання та напроти нього варіант відповіді. Виправлення та помарки не допускаються. Після виконання завдання команди обмінюються листочками та проводять взаємоконтроль (звіряють правильність відповідей із відповідями на дошці), і навпаки правильної відповіді ставлять один бал. Далі бали однієї команди підсумовуються та підбивають підсумки.

VI етап.

Отже, ви змогли витримати це випробування. Тепер після важкого підйому зберемося разом. Усі дуже втомилися, але що ближче до мети, то завдання стають дедалі легшими. А тепер продовжимо наш шлях до вершини. Кожна група має кросворд. Ваше завдання – вирішити його. Завдання у кросворді у всіх однакове, тому відповіді на нього потрібно тримати в секреті. Отримане ключове слово написати на аркуші паперу і передати журі.

Кросворд

1. Як називається одна з осей прямокутної системи координат.

2. Пропозиція, яка потребує доказів.

4. Міра вимірювання кута.

5. Він у землі, а й у математиці.

6. Твердження, прийняте без доказів.

7. Скільки площин можна провести через три точки, що лежать на одній прямій.

8. Частина геометрії, у якій вивчають плоскі фігури.

9. Наука про числа

10. Як називаються прямі, що не лежать в одній площині.

11. Літера, якою найчастіше позначають невідоме.

12. Через дві точки проходить одна і лише одна…

а

б

з

ц

і

з

з

т

е

о

р

е

м

а

в

е

до

т

о

р

р

а

д

і

а

н

до

о

р

е

н

ь

а

до

з

і

о

м

а

м

н

о

ж

е

з

т

в

о

п

л

а

н

і

м

е

т

р

і

я

а

р

і

ф

м

е

т

і

до

а

з

до

р

е

щ

і

в

а

ю

щ

і

е

з

я

і

до

з

п

р

я

м

а

я

VII етап.

а) Із запропонованих літер складіть слова, що позначають математичні терміни (висота, коло, точка, кут, овал, промінь).

VIII етап .

Математика починається з подиву, - зауважив 2500 років тому Арістотель. Почуття здивування могутнє джерело бажання знати: від подиву до знань один крок. А математика чудовий предмет для подиву!

Підбиваються підсумки. Поздоровлення підкорювачів «Піка знань».

Всім дякую, команди працювали дружно, згуртовано. Тільки спільно, разом можна досягти будь-яких вершин!

додаток

Софія Василівна Ковалевська
Для обклеювання вікон кімнат не вистачило шпалер і стіни кімнати маленької дівчинки обклеїли листами літографованих лекцій М.В.Остроградського з математичного аналізу.

Вже з дитинства вражає безпомилковість вибору її цілей і вірність. У цьому імені – захоплення, у цьому імені символ! Насамперед символ щедрого таланту та яскравого самобутнього характеру. У ній одночасно мешкали і математик і поет. Коли вона навчалася в першому класі, то усно вирішувала завдання на рух, легко справлялася із завданнями геометричного змісту, легко витягувала квадратне коріння з чисел, оперувала негативними величинами і т.д. "Як ти вважаєш?" - Запитали дівчинку. "Я не вважаю, я розумію", - була її відповідь. Згодом вона стала першою жінкою-математиком, професором філософії. Їй належить роман «Нігілістка»

Для того, щоб здобути університетську освіту, їй довелося укласти фіктивний шлюб та виїхати за кордон. Пізніше її визнали професором кількох європейських університетів. Її нагороди визнала і Петербурзька Академія. Але в царській Росії відмовили у викладацькій роботі тільки тому, що вона жінка. Ця відмова протиприродна, безглузда і образлива, аж ніяк не мінус престижу Ковалевської, вона й сьогодні була б окрасою будь-якого університету. В результаті вона змушена була залишити Росію та тривалий час працювати у Стокгольмському університеті.

Евклід
У Греції геометрія стала математичною наукою близько 2500 років тому, але зародилася геометрія в Єгипті на родючих землях Нілу. Щоб збирати податки, царям потрібно було вимірювати площі. Багато знань вимагало і будівництво. Про серйозність знань єгиптян говорить той факт, що єгипетські піраміди коштують уже 5 тисяч років.

Геометрія розвивалася у Греції як жодна інша наука. За період з VII по III століття грецькі геометри як збагатили геометрію численними новими теоремами, а й зробили також серйозні кроки до суворого її обгрунтування. Багатовікова робота грецьких геометрів цей період була підсумована Евклидом - давньогрецький математик. Працював у Олександрії. Головні праці «Початку» (15 книг) містять основи античної матерії, елементарної геометрії, теорії чисел, загальної теорії відносин та місця визначення площ та обсягів. Вплинув на розвиток математики.

(Додаток).

Коли імператор Єгипту запитав давньогрецького вченого, не можна зробити геометрію простіше, той відповів, що «в науці немає царського шляху»

(Додаток).

Саме цими словами грецький математик «батько геометрії» Евклід закінчував кожний математичний висновок (що й потрібно було довести)

Лобачевський Микола Іванович
Російський математик Лобачевський Микола Іванович народився 1792 року. Є творцем неевклідової геометрії. Ректор казанського університету (1827–1846). Відкриття Лобачевського, який не отримав визнання сучасників, здійснило переворот у уявленні про природу простору, в основі якого понад 2000 років лежало вчення Евкліда, і вплинуло на розвиток математичного мислення. Біля будівлі Казанського університету стоїть пам'ятник, споруджений 1896 року на честь великого геометра.
Високий лоб, насуплені брови,

У холодній бронзі - відбитий промінь.

Але навіть нерухомий та суворий

Він, як живий, спокійний і могутній.

Колись тут, на площі широкій,

На цій ось казанській бруківці,

Задумливий, неквапливий, суворий

Він йшов на лекції – великий та живий.

Нехай нових ліній не накреслять руки.

Він тут стоїть, піднесений високо,

Як твердження безсмертя свого,

Як вічний символ торжества науки.

Архімед

Архімед, давньогрецький вчений родом із Сіракуз (Сицилія), належить до тих небагатьох геніїв, творчість яких визначила на віки долю науки і тим самим долю людства. У цьому він схожий із Ньютоном. Між творчістю обох великих геніїв можна провести далекосяжні паралелі. Ті самі області інтересів: математика, фізика, астрономія, та сама неймовірна сила розуму, здатна проникати вглиб явищ.

Архімед був одержимий математикою, часом він забував про їжу і зовсім не дбав про себе. Дослідження Архімеда належали до таких фундаментальних проблем, як визначення площ, обсягів, поверхонь різних фігур та тіл. В основних працях зі статистики та гідростатики дав зразки застосування математики в природознавстві та техніці. Автор багатьох винаходів: архімедів гвинт, визначення сплавів зважуванням у воді, системи підняття великих тягарів, військової метальної техніки, організатор інженерної оборони Сіракуз проти римлян. Архімеду належать слова: «Дайте мені точку опори і зсуну Землю». Значення праць Архімеда для нового числення чудово висловив Лейбніц: «Уважно читаючи твори Архімеда, перестаєш дивуватися всім новітнім відкриттям геометрів»
(Додаток)

Хто з нас не знає закон Архімеда про те, що «будь-яке тіло, занурене у воду, втрачає у своїй вазі стільки, скільки важить витіснена ним вода». Архімед зумів визначити, чи зроблено корону царя із чистого золота чи ювелір підмішав туди значну кількість срібла. Питома вага золота була відома, але труднощі полягали в тому, щоб точно визначити обсяг корони, адже вона мала неправильну форму. Якось він приймав ванну, і частина води вилилася з неї, і тут йому спала на думку ідея: занурюючи корону у воду, можна визначити її об'єм, вимірявши об'єм витісненої нею води. Згідно з легендою, Архімед вискочив голий на вулицю з криком "Евріка". Справді, у цей момент відкрили основний закон гідростатики.

Піфагор
Піфагор - давньогрецький математик, мислитель, релігійний та політичний діяч. Всім відома знаменита теорема елементарної геометрії: квадрат побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника рівновеликий сумі квадратів, побудованих на катетах. Простіше це теорема формулюється так: квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Це теорема Піфагора. За будь-якого непрямокутного трикутника зі сторонами а,b, cта кутами α, β, γ – формула набуває вигляду: c 2 = a 2 + b 2 -2 ab cos γ. В історії математики Стародавню Грецію Піфагору, ім'я якого присвоєно цій теоремі, належить почесне місце. Піфагор зробив значний внесок у розвиток математики та астрономії.

До плодів його одержаних праць належать створення основ теорії чисел. Піфагор заснував релігійно-філософське вчення, що виходило з уявлення про кількість як основу всього існуючого. Числові співвідношення - джерело гармонії космосу, кожна з небесних сфер характеризується певною комбінацією правильних тіл, звучанням певних музичних інтервалів (гармонії сфер). Музика, гармонія та числа були нерозривно пов'язані у вченні піфагорійців. Математика та числова містика були фантастично перемішані в ньому. Однак із цього містичного вчення виросла точна наука пізніх піфагорійців.

Відповіді:

Слово для першої команди: «ЗНАЮ»

Слово для другої команди: «ВМІЮ»

Слово для третьої команди: «Вирішую»

Загадки: Крапка, пряма, перпендикуляр, кут.
Кросворд: ключове слово « Стереометрія»
ТЕСТ №2 Взаємне розташування прямих у просторі.

Паралельність прямих, прямої та площини

№ завдання	1	2	3	4	5	6	7	8	9
відповідь	3	2	3	1	1	1	3	3	1

ТЕСТ №3 Паралельність площин

№ завдання	1	2	3	4	5	6	7	8	9
відповідь	3	2	1	3	2	3	2	3	3

ТЕСТ №5 Перпендикулярні прямі у просторі. Перпендикулярність прямої та площини

№ завдання	1	2	3	4	5	6	7	8	9
відповідь	3	3	1	2	3	1	2	2	2

Список літератури
1. Дадаян, А.А Математика: Навчальний посібник. 2-ге вид.

2. Дадаян, А.А Математика: Задачник.2-е вид. – М.: ФОРУМ: ІНФРА – М., 2007. – 400 с.

3. Лисичкін, В.Т., Соловійчик І.Л. Математика в задачах з рішеннями: Навчальний посібник. 3-тє вид., Стер. – СПб.: Видавництво «Лань», 2011. – 464 с.