Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby – v súlade so zákonom, súdnym konaním, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí vládnych orgánov na území Ruskej federácie – poskytnúť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Malý uhol nábehu - [A.S. Goldberg. Anglicko-ruský energetický slovník. 2006] Témy energetika všeobecne Synonymá nízky uhol nábehu EN negatívny výskytnízky výskyt ...

negatívny uhol rezu- - Témy ropný a plynárenský priemysel EN negatívne rezanie uhol negatívne rezanie uhol negatívne ... Technická príručka prekladateľa

negatívny uhol skosenia hornej plochy kefy- [GOST 21888 82 (IEC 276 68, IEC 560 77)] Témy elektrických točivých strojov všeobecne... Technická príručka prekladateľa

krídlový uhol Encyklopédia "Letenie"

krídlový uhol- Uhol inštalácie krídla. uhol inštalácie krídla φ0 medzi stredovou pásnicou krídla a osou základne lietadla (pozri obrázok). V závislosti od aerodynamickej konfigurácie lietadla môže byť tento uhol kladný alebo záporný. Zvyčajne… Encyklopédia "Letenie"

Uhol krídla- uhol (φ)0 medzi stredovou tetivou krídla a základnou osou lietadla. V závislosti od aerodynamickej konfigurácie lietadla môže byť tento uhol kladný alebo záporný. Zvyčajne je v rozsahu od ―2(°) do +3(°). Uhol (φ)0… … Encyklopédia techniky

UHOL PODVODU- (Stlačený uhol) uhol, ktorý zviera elevačná čiara (cm) s horizontom, keď prvý prejde pod horizontom, t. j. negatívny elevačný uhol. Samoilov K.I. Marine slovník. M.L.: Štátne námorné vydavateľstvo zväzu NKVMF... ... Marine Dictionary

UHOL OPTICKÝCH OSIÍ- ostrý uhol medzi opt. nápravy v dvojosových hriadeľoch. U. o. O. nazývaný ako pozitívny, keď je akútna osová čiara Ng a negatívna, keď je akútna osová časť Np (pozri Opticky biaxiálny kryštál). Pravda U. o. O. je určený ... ... Geologická encyklopédia

Koliesko (uhol)- Tento výraz má iné významy, pozri Castor. θ koliesko, červená čiara je os riadenia kolesa. Na obrázku je kladka kladná (uhol sa meria v smere hodinových ručičiek, predná časť auta je vľavo) ... Wikipedia

Koliesko (uhol otočenia)- θ koliesko, červená čiara je os riadenia kolesa. Na obrázku je kladka kladná (uhol sa meria v smere hodinových ručičiek, predná časť auta je vľavo) Castor (anglicky caster) je uhol pozdĺžneho sklonu osi otáčania kolesa auta. Castor... ...Wikipedia

uhol sklonu- 3.2.9 Uhol sklonu: Uhol medzi povrchom sklonu a základnou rovinou (pozri obrázok 5). 1 negatívny uhol sklonu; 2 kladný uhol čela Obrázok 5 Uhly čela

Dôležitým pojmom v trigonometrii je uhol natočenia. Nižšie dôsledne poskytneme predstavu o obrate a predstavíme všetky súvisiace koncepty. Začnime všeobecnou myšlienkou otočenia, povedzme úplného otočenia. Ďalej prejdime ku konceptu uhla natočenia a zvážme jeho hlavné charakteristiky, ako je smer a veľkosť otáčania. Nakoniec uvádzame definíciu rotácie obrazca okolo bodu. Celú teóriu poskytneme v texte s vysvetľujúcimi príkladmi a grafickými ilustráciami.

Navigácia na stránke.

Čo sa nazýva rotácia bodu okolo bodu?

Okamžite si všimnime, že spolu s frázou „rotácia okolo bodu“ budeme používať aj frázy „rotácia okolo bodu“ a „rotácia okolo bodu“, ktoré znamenajú to isté.

Poďme sa predstaviť koncept otáčania bodu okolo bodu.

Najprv definujme stred otáčania.

Definícia.

Bod, okolo ktorého sa rotácia vykonáva, sa nazýva stred otáčania.

Teraz si povedzme, čo sa stane v dôsledku otáčania bodu.

V dôsledku otáčania určitého bodu A vzhľadom na stred otáčania O sa získa bod A 1 (ktorý sa v prípade určitého čísla môže zhodovať s bodom A) a bod A 1 leží na kružnici s stred v bode O polomeru OA. Inými slovami, pri otáčaní vzhľadom na bod O prechádza bod A do bodu A 1 ležiaceho na kružnici so stredom v bode O s polomerom OA.

Verí sa, že bod O, keď sa otáča okolo seba, sa mení na seba. To znamená, že v dôsledku rotácie okolo stredu otáčania O sa bod O zmení na seba.

Za zmienku tiež stojí, že rotácia bodu A okolo bodu O by sa mala považovať za posun v dôsledku pohybu bodu A v kruhu so stredom v bode O s polomerom OA.

Pre názornosť uvedieme ilustráciu rotácie bodu A okolo bodu O, na obrázkoch nižšie znázorníme pohyb bodu A do bodu A 1 pomocou šípky.

Úplná zákruta

Bod A je možné otočiť vzhľadom na stred otáčania O tak, že bod A, ktorý prejde všetkými bodmi kružnice, bude na rovnakom mieste. V tomto prípade hovoria, že bod A sa pohyboval okolo bodu O.

Uveďme grafickú ilustráciu úplnej revolúcie.

Ak sa nezastavíte pri jednej otáčke, ale pokračujete v pohybe bodu po kružnici, môžete vykonať dve, tri a tak ďalej celé otáčky. Na obrázku nižšie je znázornené, ako možno vykonať dve úplné otáčky vpravo a tri otáčky vľavo.

Koncepcia uhla otáčania

Z konceptu otáčania bodu uvedeného v prvom odseku je zrejmé, že existuje nekonečné množstvo možností otáčania bodu A okolo bodu O. Akýkoľvek bod na kružnici so stredom v bode O s polomerom OA možno považovať za bod A 1 získaný ako výsledok rotácie bodu A. Preto, aby sme rozlíšili jeden obrat od druhého, uvádzame koncepcia uhla natočenia.

Jednou z charakteristík uhla natočenia je smer otáčania. Smer otáčania určuje, či sa bod otáča v smere alebo proti smeru hodinových ručičiek.

Ďalšou charakteristikou uhla natočenia je jeho rozsah. Rotačné uhly sa merajú v rovnakých jednotkách ako: najčastejšie sú stupne a radiány. Tu stojí za zmienku, že uhol natočenia môže byť vyjadrený v stupňoch akýmkoľvek reálnym číslom od mínus nekonečna do plus nekonečna, na rozdiel od uhla v geometrii, ktorého hodnota v stupňoch je kladná a nepresahuje 180.

Na označenie uhla natočenia sa zvyčajne používajú malé písmená gréckej abecedy: atď. Na označenie veľkého počtu uhlov rotácie sa často používa jedno písmeno s dolnými indexmi, napr. .

Teraz poďme hovoriť o charakteristikách uhla natočenia podrobnejšie a v poriadku.

Smer otáčania

Nech sú body A a A1 vyznačené na kruhu so stredom v bode O. Do bodu A 1 sa dostanete z bodu A otočením okolo stredu O buď v smere alebo proti smeru hodinových ručičiek. Je logické považovať tieto odbočky za odlišné.

Znázornime rotácie v pozitívnom a negatívnom smere. Na obrázku nižšie je znázornená rotácia v pozitívnom smere vľavo a v negatívnom smere vpravo.

Hodnota uhla natočenia, uhol ľubovoľnej hodnoty

Uhol natočenia iného bodu ako je stred otáčania je úplne určený uvedením jeho veľkosti, na druhej strane podľa veľkosti uhla natočenia možno posúdiť, ako sa toto otáčanie uskutočnilo.

Ako sme uviedli vyššie, uhol natočenia v stupňoch je vyjadrený ako číslo od -∞ do +∞. V tomto prípade znamienko plus zodpovedá otáčaniu v smere hodinových ručičiek a znamienko mínus otáčaniu proti smeru hodinových ručičiek.

Teraz zostáva stanoviť súlad medzi hodnotou uhla natočenia a otočením, ktorému zodpovedá.

Začnime s uhlom rotácie nula stupňov. Tento uhol natočenia zodpovedá pohybu bodu A smerom k sebe. Inými slovami, pri otočení o 0 stupňov okolo bodu O zostane bod A na mieste.

Pristúpime k rotácii bodu A okolo bodu O, v ktorom k rotácii dôjde do pol otáčky. Predpokladajme, že bod A prechádza do bodu A1. V tomto prípade absolútna hodnota uhla AOA 1 v stupňoch nepresahuje 180. Ak k rotácii došlo v kladnom smere, potom sa hodnota uhla rotácie považuje za rovnajúcu sa hodnote uhla AOA 1, a ak rotácia nastala v zápornom smere, potom sa jej hodnota považuje za rovnajúcu sa hodnote uhla. AOA 1 so znamienkom mínus. Ako príklad uvádzame obrázok znázorňujúci uhly otáčania 30, 180 a -150 stupňov.

Uhly rotácie väčšie ako 180 stupňov a menšie ako -180 stupňov sa určujú na základe nasledujúceho celkom zrejmého vlastnosti po sebe idúcich zákrut: niekoľko po sebe idúcich rotácií bodu A okolo stredu O je ekvivalentných jednej rotácii, ktorej veľkosť sa rovná súčtu veličín týchto rotácií.

Uveďme príklad ilustrujúci túto vlastnosť. Otočme bod A vzhľadom k bodu O o 45 stupňov a potom tento bod otočme o 60 stupňov, potom tento bod otočíme o -35 stupňov. Označme medziľahlé body počas týchto zákrut ako A 1, A 2 a A 3. Do rovnakého bodu A 3 by sme sa mohli dostať vykonaním jednej rotácie bodu A pod uhlom 45+60+(−35)=70 stupňov.

Takže uhly rotácie väčšie ako 180 stupňov budeme reprezentovať ako niekoľko po sebe nasledujúcich otočení uhlami, ktorých súčet dáva hodnotu pôvodného uhla natočenia. Napríklad uhol rotácie 279 stupňov zodpovedá po sebe idúcim rotáciám o 180 a 99 stupňov alebo 90, 90, 90 a 9 stupňov alebo 180, 180 a -81 stupňov alebo 279 po sebe idúcich rotáciách o 1 stupeň.

Uhly rotácie menšie ako -180 stupňov sa určujú podobne. Napríklad uhol otočenia -520 stupňov možno interpretovať ako postupné otočenie bodu o -180, -180 a -160 stupňov.

Zhrnúť. Určili sme uhol natočenia, ktorého hodnotu v stupňoch vyjadruje nejaké reálne číslo z intervalu od −∞ do +∞. V trigonometrii budeme špecificky pracovať s uhlami rotácie, hoci slovo „rotácia“ sa často vynecháva a hovoria jednoducho „uhol“. V trigonometrii teda budeme pracovať s uhlami ľubovoľnej veľkosti, pod ktorými rozumieme uhly natočenia.

Na záver tohto bodu si všimneme, že úplná rotácia v pozitívnom smere zodpovedá uhlu rotácie 360 ​​stupňov (alebo 2 π radiánov) a v negatívnom smere - uhlu rotácie −360 stupňov (alebo −2 π rad) . V tomto prípade je vhodné znázorniť veľké uhly otáčania ako určitý počet plných otáčok a ďalšie otočenie pod uhlom v rozsahu od -180 do 180 stupňov. Vezmime si napríklad uhol natočenia 1 340 stupňov. Je ľahké si predstaviť 1 340 ako 360·4+ (-100) . To znamená, že počiatočný uhol otočenia zodpovedá 4 úplným otáčkam v kladnom smere a následnému otočeniu o -100 stupňov. Ďalší príklad: uhol otočenia −745 stupňov možno interpretovať ako dve otáčky proti smeru hodinových ručičiek, po ktorých nasleduje otočenie o −25 stupňov, pretože −745=(−360) 2+(−25) .

Otočte tvar okolo bodu o uhol

Koncept bodovej rotácie sa dá ľahko rozšíriť na otočte ľubovoľný tvar okolo bodu o uhol(hovoríme o takej rotácii, že bod, okolo ktorého sa rotácia vykonáva, aj obrazec, ktorý sa otáča, ležia v rovnakej rovine).

Otočením obrazca rozumieme otáčanie všetkých bodov obrazca okolo daného bodu o daný uhol.

Ako príklad si uveďme nasledujúcu akciu: otočte segment AB o uhol vzhľadom na bod O; tento segment sa po otočení zmení na segment A 1 B 1.

Bibliografia.

• Algebra: Učebnica pre 9. ročník. priem. škola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Vzdelávanie, 1990.- 272 s.: ill.- isbn 5-09-002727-7
• Bašmakov M.I. Algebra a začiatky analýzy: Učebnica. pre 10-11 ročníkov. priem. školy - 3. vyd. - M.: Školstvo, 1993. - 351 s.: chor. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra a začiatok analýzy: Proc. pre 10-11 ročníkov. všeobecné vzdelanie inštitúcie / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn a ďalší; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2004. - 384 s.: i. - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (príručka pre študentov technických škôl): Proc. príspevok.- M.; Vyššie škola, 1984.-351 s., ill.

Dvojica rôznych lúčov Oa a Ob vychádzajúcich z jedného bodu O sa nazýva uhol a označuje sa symbolom (a, b). Bod O sa nazýva vrchol uhla a lúče Oa a Ob sa nazývajú strany uhla. Ak sú A a B dva body lúčov Oa a Ob, potom (a, b) sa tiež označí symbolom AOB (obr. 1.1).

Uhol (a, b) sa nazýva rozložený, ak lúče Oa a Ob, vychádzajúce z toho istého bodu, ležia na rovnakej priamke a nezhodujú sa (t. j. v opačných smeroch).

Obr.1.1

Dva uhly sa považujú za rovnaké, ak jeden uhol možno prekrývať s druhým tak, že strany uhlov sa zhodujú. Osa uhla je lúč s počiatkom vo vrchole uhla, ktorý delí uhol na dva rovnaké uhly.

Hovorí sa, že lúč OS vychádzajúci z vrcholu uhla AOB leží medzi jeho stranami, ak pretína segment AB (obr. 1.2). O bode C sa hovorí, že leží medzi stranami uhla, ak cez tento bod je možné nakresliť lúč s počiatkom vo vrchole uhla a ležiacim medzi stranami uhla. Množina všetkých bodov roviny ležiacich medzi stranami uhla tvorí vnútornú oblasť uhla (obr. 1.3). Súbor bodov roviny, ktoré nepatria do vnútornej oblasti a strán uhla, tvorí vonkajšiu oblasť uhla.

Uhol (a, b) sa považuje za väčší ako uhol (c, d), ak je možné uhol (c, d) prekrývať s uhlom (a, b) tak, že po spojení jedného páru strán druhá strana uhla (c, d) bude ležať medzi stranami uhla (a, b). Na obr. 1,4 AOB je väčšie ako AOC.

Nechajte lúč c ležať medzi stranami uhla (a, b) (obr. 1.5). Dvojice lúčov a, c a c, b zvierajú dva uhly. Uhol (a, b) sa považuje za súčet dvoch uhlov (a, c) a (c, b) a píšu: (a, b) = (a, c) + (c, b).

Obr.1.3

Zvyčajne sa v geometrii zaoberáme uhlami menšími ako je rozvinutý uhol. Pridaním dvoch uhlov však môže vzniknúť uhol väčší ako rozložený. V tomto prípade je časť roviny, ktorá sa považuje za vnútornú oblasť rohu, označená oblúkom. Na obr. 1.6 je vnútorná časť uhla AOB, získaná sčítaním uhlov AOS a COB a väčšieho rozvinutého, označená oblúkom.

Obr.1.5

Existujú aj uhly väčšie ako 360°. Takéto uhly vznikajú napríklad otáčaním vrtule lietadla, otáčaním bubna, na ktorom je navinuté lano atď.

V budúcnosti sa pri zvažovaní každého uhla dohodneme, že jednu zo strán tohto uhla budeme považovať za jeho počiatočnú stranu a druhú za jeho konečnú stranu.

Akýkoľvek uhol, napríklad uhol AOB (obr. 1.7), možno získať otáčaním pohybujúceho sa lúča okolo vrcholu O z počiatočnej strany uhla (OA) na jeho konečnú stranu (OB). Tento uhol zmeriame, pričom vezmeme do úvahy celkový počet otáčok vykonaných okolo bodu O, ako aj smer, v ktorom k rotácii došlo.

Pozitívne a negatívne uhly.

Majme uhol, ktorý zvierajú lúče OA a OB (obr. 1.8). Pohyblivý lúč, ktorý sa otáča okolo bodu O zo svojej počiatočnej polohy (OA), môže zaujať svoju konečnú polohu (OB) v dvoch rôznych smeroch otáčania. Tieto smery sú znázornené na obrázku 1.8 zodpovedajúcimi šípkami.

Obr.1.7

Rovnako ako na číselnej osi je jeden z dvoch smerov považovaný za kladný a druhý záporný, rozlišujú sa aj dva rôzne smery otáčania pohybujúceho sa lúča. Dohodli sme sa, že kladný smer otáčania považujeme za smer opačný k smeru otáčania v smere hodinových ručičiek. Smer otáčania zhodný so smerom otáčania v smere hodinových ručičiek sa považuje za negatívny.

Podľa týchto definícií sa uhly tiež delia na pozitívne a negatívne.

Kladný uhol je uhol vytvorený rotáciou pohybujúceho sa lúča okolo počiatočného bodu v kladnom smere.

Obrázok 1.9 ukazuje niektoré kladné uhly. (Smer otáčania pohybujúceho sa lúča je na výkresoch znázornený šípkami.)

Záporný uhol je uhol vytvorený rotáciou pohybujúceho sa lúča okolo počiatočného bodu v negatívnom smere.

Obrázok 1.10 ukazuje niektoré negatívne uhly. (Smer otáčania pohybujúceho sa lúča je na výkresoch znázornený šípkami.)

Ale dva zhodné lúče môžu zvierať aj uhly +360°n a -360°n (n = 0,1,2,3,...). Označme b najmenší možný nezáporný uhol natočenia, ktorý prenáša lúč OA do polohy OB. Ak teraz lúč OB vykoná ďalšiu plnú otáčku okolo bodu O, získame inú hodnotu uhla, konkrétne: ABO = b + 360°.

Meranie uhlov pomocou kruhových oblúkov. Jednotky pre oblúky a uhly

V niektorých prípadoch sa ukazuje ako vhodné merať uhly pomocou kruhových oblúkov. Možnosť takéhoto merania je založená na známom návrhu planimetrie, že v jednom kruhu (alebo v rovnakých kruhoch) sú stredové uhly a zodpovedajúce oblúky v priamej úmere.

Nech sa nejaký oblúk danej kružnice považuje za jednotku merania oblúkov. Ako jednotku merania uhlov berieme stredový uhol zodpovedajúci tomuto oblúku. Za tejto podmienky bude každý oblúk kruhu a stredový uhol zodpovedajúci tomuto oblúku obsahovať rovnaký počet jednotiek merania. Preto meraním oblúkov kruhu je možné určiť hodnotu stredových uhlov zodpovedajúcich týmto oblúkom.

Pozrime sa na dva najbežnejšie systémy na meranie oblúkov a uhlov.

Miera stupňov uhlov

Pri meraní uhlov v stupňoch sa ako základná jednotka merania uhlov berie uhol jeden stupeň (označuje sa 1?) (referenčný uhol, s ktorým sa porovnávajú rôzne uhly). Uhol jedného stupňa je uhol rovný 1/180 obráteného uhla. Uhol rovný 1/60 uhla 1° je uhol jednej minúty (označený 1"). Uhol rovný 1/60 uhla jednej minúty je uhol jednej sekundy (označený 1").

Radiánová miera uhlov

Spolu s mierou uhlov geometria a trigonometria používajú aj ďalšiu mieru uhlov, nazývanú radián. Uvažujme kružnicu s polomerom R so stredom O. Narysujme dva polomery O A a OB tak, aby dĺžka oblúka AB bola rovná polomeru kružnice (obr. 1.12). Výsledný stredový uhol AOB bude uhol jedného radiánu. Uhol 1 radián sa považuje za radiánovú jednotku merania uhlov. Pri meraní uhlov v radiánoch sa pootočený uhol rovná p radiánom.

Mierne a radiánske jednotky merania uhlov súvisia podľa rovnosti:

1 radián = 180?/R57° 17" 45"; 1?=p/180 radiánov 0,017453 radiánov;

1"=p/180*60 radián 0,000291 radián;

1""=p/180*60*60 radiánov 0,000005 radiánov.

Miera stupňa (alebo radiánu) uhla sa tiež nazýva veľkosť uhla. Uhol AOB sa niekedy označuje /

Klasifikácia uhlov

Uhol rovný 90° alebo v radiánovej miere p/2 sa nazýva pravý uhol; často sa označuje písmenom d. Uhol menší ako 90° sa nazýva ostrý; Uhol väčší ako 90°, ale menší ako 180° sa nazýva tupý.

Dva uhly, ktoré majú jednu spoločnú stranu a ich súčet je 180°, sa nazývajú susedné uhly. Dva uhly, ktoré majú jednu spoločnú stranu a ich súčet je 90°, sa nazývajú doplnkové uhly.

Roh: ° π rad =

Previesť na: radiány stupne 0 - 360° 0 - 2π kladne záporne Vypočítajte

Keď sa čiary pretínajú, existujú štyri rôzne oblasti vzhľadom na priesečník.
Tieto nové oblasti sú tzv rohy.

Na obrázku sú 4 rôzne uhly, ktoré zviera priesečník priamok AB a CD

Uhly sa zvyčajne merajú v stupňoch, ktoré sa označujú ako °. Keď objekt vytvorí úplný kruh, to znamená, že sa pohybuje z bodu D cez B, C, A a potom späť do D, potom sa hovorí, že sa otočil o 360 stupňov (360°). Takže stupeň je $\frac(1)(360)$ kruhu.

Uhly väčšie ako 360 stupňov

Hovorili sme o tom, ako keď objekt vytvorí celý kruh okolo bodu, ide o 360 stupňov, ale keď objekt vytvorí viac ako jeden kruh, vytvorí uhol väčší ako 360 stupňov. Toto je bežný jav v každodennom živote. Koleso pri pohybe auta obieha mnoho kruhov, to znamená, že zviera uhol väčší ako 360°.

Aby sme zistili počet cyklov (dokončených kruhov) pri otáčaní objektu, spočítame, koľkokrát k nemu potrebujeme pripočítať 360, aby sme dostali číslo rovné alebo menšie ako daný uhol. Rovnakým spôsobom nájdeme číslo, ktoré vynásobíme 360, aby sme dostali číslo menšie, ale najbližšie k danému uhlu.

Príklad 2
1. Nájdite počet kruhov opísaných objektom zvierajúcim uhol
a) 380°
b) 770°
c) 1000°
Riešenie
a) 380 = (1 × 360) + 20
Objekt opísal jeden kruh a 20°
Keďže $20^(\circ) = \frac(20)(360) = \frac(1)(18)$ kruh
Objekt opísal $1\frac(1)(18)$ kruhy.

B) 2 x 360 = 720
770 = (2 × 360) + 50
Objekt opísal dva kruhy a 50°
$50^(\circ) = \frac(50)(360) = \frac(5)(36)$ kruh
Objekt opísal $2\frac(5)(36)$ kruhu
c) 2 × 360 = 720
1000 = (2 × 360) + 280
$280^(\circ) = \frac(260)(360) = \frac(7)(9)$ kruhy
Objekt opísal $2\frac(7)(9)$ kruhy

Keď sa objekt otáča v smere hodinových ručičiek, vytvára záporný uhol rotácie a keď sa otáča proti smeru hodinových ručičiek, vytvára kladný uhol. Až do tohto bodu sme zvažovali iba pozitívne uhly.

Vo forme diagramu môže byť záporný uhol znázornený, ako je znázornené nižšie.

Na obrázku nižšie je znázornené znamienko uhla, ktorý sa meria od spoločnej priamky, osi 0 (os x - os x)

To znamená, že ak existuje negatívny uhol, môžeme získať zodpovedajúci pozitívny uhol.
Napríklad spodná časť zvislej čiary je 270°. Pri meraní v zápornom smere dostaneme -90°. Jednoducho odpočítame 270 od 360. Vzhľadom na záporný uhol pridáme 360, aby sme dostali zodpovedajúci kladný uhol.
Keď je uhol -360°, znamená to, že objekt urobil viac ako jeden kruh v smere hodinových ručičiek.

Príklad 3
1. Nájdite zodpovedajúci kladný uhol
a) -35°
b) -60°
c) -180°
d) - 670°

2. Nájdite zodpovedajúci záporný uhol 80°, 167°, 330° a 1300°.
Riešenie
1. Aby sme našli zodpovedajúci kladný uhol, pripočítame k hodnote uhla 360.
a) -35°= 360 + (-35) = 360 - 35 = 325°
b) -60°= 360 + (-60) = 360 - 60 = 300°
c) -180°= 360 + (-180) = 360 - 180 = 180°
d) -670°= 360 + (-670) = -310
To znamená jeden kruh v smere hodinových ručičiek (360)
360 + (-310) = 50°
Uhol je 360 ​​+ 50 = 410°

2. Aby sme získali zodpovedajúci záporný uhol, odpočítame od hodnoty uhla 360.
80° = 80 - 360 = - 280°
167° = 167 - 360 = -193°
330° = 330 - 360 = -30°
1300° = 1300 - 360 = 940 (jedno dokončené kolo)
940 – 360 = 580 (druhé kolo dokončené)
580 – 360 = 220 (tretie kolo dokončené)
220 - 360 = -140°
Uhol je -360 - 360 - 360 - 140 = -1220°
Teda 1300° = -1220°

Radian

Radián je uhol od stredu kruhu, ktorý uzatvára oblúk, ktorého dĺžka sa rovná polomeru kruhu. Toto je jednotka merania uhlovej veľkosti. Tento uhol je približne 57,3°.
Vo väčšine prípadov sa to označuje ako rád.
Takže $1 rad \cca 57,3^(\circ)$

Polomer = r = OA = OB = AB
Uhol BOA sa rovná jednému radiánu

Keďže obvod je daný ako $2\pi r$, potom v kruhu sú polomery $2\pi$ a teda v celom kruhu sú $2\pi$ radiány.

Radiány sú zvyčajne vyjadrené v $\pi$, aby sa pri výpočtoch zabránilo desatinným miestam. Vo väčšine kníh je to skratka rád sa nevyskytuje, ale čitateľ by mal vedieť, že pokiaľ ide o uhol, je špecifikovaný v $\pi$ a jednotky merania sa automaticky stávajú radiánmi.

360 $^(\circ) = 2\pi\rad$
180 $^(\circ) = \pi\rad$,
$90^(\circ) = \frac(\pi)(2) rad$,
$30^(\circ) = \frac(30)(180)\pi = \frac(\pi)(6) rad$,
$45^(\circ) = \frac(45)(180)\pi = \frac(\pi)(4) rad$,
$60^(\circ) = \frac(60)(180)\pi = \frac(\pi)(3) rad$
$270^(\circ) = \frac(270)(180)\pi = \frac(27)(18)\pi = 1\frac(1)(2)\pi\ rad$

Príklad 4
1. Preveďte 240°, 45°, 270°, 750° a 390° na radiány pomocou $\pi$.
Riešenie
Vynásobme uhly $\frac(\pi)(180)$.
$240^(\circ) = 240 \krát \frac(\pi)(180) = \frac(4)(3)\pi=1\frac(1)(3)\pi$
120 $^(\circ) = 120 \krát \frac(\pi)(180) = \frac(2\pi)(3)$
$270^(\circ) = 270 \krát \frac(1)(180)\pi = \frac(3)(2)\pi=1\frac(1)(2)\pi$
750 $^(\circ) = 750 \krát \frac(1)(180)\pi = \frac(25)(6)\pi=4\frac(1)(6)\pi$
$390^(\circ) = 390 \krát \frac(1)(180)\pi = \frac(13)(6)\pi=2\frac(1)(6)\pi$

2. Preveďte nasledujúce uhly na stupne.
a) $\frac(5)(4)\pi$
b) 3,12 $\pi$
c) 2,4 radiánov
Riešenie
$180^(\circ) = \pi$
a) $\frac(5)(4) \pi = \frac(5)(4) \krát 180 = 225^(\circ)$
b) 3,12 $\pi = 3,12 \krát 180 = 561,6^(\circ)$
c) 1 rad = 57,3°
2,4 $ = \frac(2,4 \krát 57,3)(1) = 137,52 $

Záporné uhly a uhly väčšie ako $2\pi$ radiánov

Ak chcete previesť záporný uhol na kladný, pripočítame ho k $2\pi$.
Aby sme previedli kladný uhol na záporný, odpočítame od neho $2\pi$.

Príklad 5
1. Preveďte $-\frac(3)(4)\pi$ a $-\frac(5)(7)\pi$ na kladné uhly v radiánoch.

Riešenie
Pridajte $2\pi$ k uhlu
$-\frac(3)(4)\pi = -\frac(3)(4)\pi + 2\pi = \frac(5)(4)\pi = 1\frac(1)(4)\ pi$

$-\frac(5)(7)\pi = -\frac(5)(7)\pi + 2\pi = \frac(9)(7)\pi = 1\frac(2)(7)\ pi$

Keď sa objekt otočí o uhol väčší ako $2\pi$;, vytvorí viac ako jeden kruh.
Aby sme určili počet otáčok (kružníc alebo cyklov) v takomto uhle, nájdeme číslo, vynásobíme ho $2\pi$, výsledok sa rovná alebo je menší, ale čo najbližšie k tomuto číslu.

Príklad 6
1. Nájdite počet kružníc, ktoré objekt prejde pod danými uhlami
a) $-10\pi$
b) 9 $\pi$
c) $\frac(7)(2)\pi$

Riešenie
a) $-10\pi = 5(-2\pi)$;
$-2\pi$ znamená jeden cyklus v smere hodinových ručičiek, to znamená
objekt urobil 5 cyklov v smere hodinových ručičiek.

b) $9\pi = 4(2\pi) + \pi$, $\pi =$ polovičný cyklus
objekt urobil štyri a pol cyklu proti smeru hodinových ručičiek

c) $\frac(7)(2)\pi=3.5\pi=2\pi+1.5\pi$, $1.5\pi$ sa rovná trom štvrtinám cyklu $(\frac(1.5\pi)(2 \pi)= \frac(3)(4))$
objekt prešiel jednu a tri štvrtiny cyklu proti smeru hodinových ručičiek