Sínusová veta. Dôkaz sínusovej vety. Dôkaz bežnej vety o sínusoch

Sínusová veta

Sínusová veta určuje vzťah medzi veľkosťou uhlov trojuholníka a jeho protiľahlých strán.

Výrok sínusovej vety:
Strany trojuholníka sú úmerné sínusom opačných uhlov

Kde
R- polomer kružnice opísanej trojuholníku
a, b, c- strany trojuholníka
α, β, γ - veľkosť uhlov oproti týmto stranám

Dôkaz Sinesovej vety

Dôkaz sínusovej vety nastáva pomocou dodatočných konštrukcií.

Zostavme ľubovoľný trojuholník, vpísaný do kruhu. Označme to ako ABC.
Okrem toho zostrojíme priemer kruhu, do ktorého je vpísaný ľubovoľný trojuholník, ale tak, že prechádza jedným z jeho uhlov. Priemer sa rovná dvojnásobku polomeru kružnice (2R).

Zoberme si, že jednou z vlastností pravouhlého trojuholníka vpísaného do kruhu je, že jeho prepona je priemer kružnice, do ktorej je vpísaný.

Označme priemer kružnice opísanej ako BD. Výsledný trojuholník BCD je pravouhlý, pretože jeho prepona leží na priemere kružnice opísanej (vlastnosť uhlov vpísaných do kruhu).

Dodatočne vytvorený trojuholník, ktorý má jednu spoločnú stranu s predtým zostrojeným ľubovoľným trojuholníkom a prepona sa zhoduje s priemerom kruhu - je pravouhlý. To znamená, že trojuholník DBC je pravouhlý.

Aby sme dokázali celú vetu, keďže rozmery trojuholníka ABC sú zvolené ľubovoľne, stačí dokázať, že pomer jednej ľubovoľnej strany k uhlu oproti nej je rovný 2R.

Nech je 2R = a / sin α, teda ak vezmeme z výkresu 2R = BC / sin A.

Pretože, Uhly vpísané do kruhu a pretínajúce rovnaký oblúk sú rovnaké, potom sa uhol CDB rovná buď uhlu CAB (ak body A a D ležia na rovnakej strane priamky BC), alebo sa rovná π - CAB (inak).

Vráťme sa k vlastnostiam goniometrických funkcií. Pretože sin(π − α) = sin α, potom naznačené možnosti konštrukcie trojuholníka povedú stále k rovnakému výsledku.

Vypočítajme hodnotu 2R = a / sin α podľa nákresu 2R = BC / sin A. Na tento účel nahraďte sin A pomerom zodpovedajúcich strán pravouhlého trojuholníka.

2R = BC / hriech A
2R = BC / (BC / DB)
2R = DB

A keďže DB bol skonštruovaný ako priemer kruhu, potom je rovnosť splnená.
Opakovaním rovnakého uvažovania pre ďalšie dve strany trojuholníka dostaneme:

Sínusová veta bola dokázaná.

Strany trojuholníka sú úmerné sínusom opačných uhlov.

dôkaz:

Nech trojuholník ABC, strana AB = c, strana BC = a, strana CA = b.

Skúsme dokázať, že a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Použime vetu o ploche trojuholníka a napíšme ju pre každú dvojicu strán a ich zodpovedajúci uhol:

S = (1/2)*a*b*sin(C),

S = (1/2)*b*c*sin(A),

S = (1/2)*c*a*sin(B).

Keďže ľavé strany prvých dvoch rovníc sú rovnaké, pravé strany sa môžu navzájom rovnať. Dostaneme (1/2)*a*b*sin(C) = (1/2)*b*c*sin(A). Znížime túto rovnosť o ½*b, dostaneme:

a*sin(C) = c*sin(A).

a/sin(A) = c/sin(C).

Keďže ľavé časti druhej a tretej rovnosti sú rovnaké, pravé časti možno navzájom rovnať. Dostaneme (1/2)*b*c*sin(C) = (1/2)*c*a*sin(B). Znížime túto rovnosť o 1/2 * c, dostaneme:

b*sin(A) = a*sin(B).

Vlastnosťou proporcie dostaneme:

a/sin(A) = b/sin(B).

Spojením týchto dvoch výsledkov dostaneme: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Q.E.D.

Riešenie problému

Dá sa dokázať aj nasledujúca skutočnosť. Pomer ktorejkoľvek strany trojuholníka k sínusu opačného uhla sa rovná priemeru kružnice opísanej trojuholníku.

Inými slovami, pre akýkoľvek trojuholník ABC so stranou AB = c, stranou BC = a, stranou CA = b platia tieto rovnosti: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2*R. Tu R je polomer kružnice opísanej trojuholníku.

Potrebujete pomôcť so štúdiom?

Predchádzajúca téma:

Trigonometria je široko používaná nielen v sekcii algebry - začiatok analýzy, ale aj v geometrii. V tomto ohľade je rozumné predpokladať existenciu teorémov a ich dôkazov týkajúcich sa goniometrických funkcií. Vety o kosínusoch a sínusoch skutočne odvodzujú veľmi zaujímavé, a čo je najdôležitejšie, užitočné vzťahy medzi stranami a uhlami trojuholníkov.

Pomocou tohto vzorca môžete odvodiť ktorúkoľvek zo strán trojuholníka:

Dôkaz tvrdenia je odvodený na základe Pytagorovej vety: druhá mocnina prepony sa rovná súčtu štvorcov nôh.

Uvažujme ľubovoľný trojuholník ABC. Od vrcholu C znížime výšku h k základni obrázku, v tomto prípade nie je jeho dĺžka absolútne dôležitá. Teraz, ak vezmeme do úvahy ľubovoľný trojuholník ACB, potom môžeme súradnice bodu C vyjadriť pomocou goniometrických funkcií cos a sin.

Spomeňme si na definíciu kosínusu a zapíšme si pomer strán trojuholníka ACD: cos α = AD/AC | vynásobte obe strany rovnosti AC; AD = AC * cos α.

Zoberieme dĺžku AC ako b a získame výraz pre prvú súradnicu bodu C:
x = b * cosα. Podobne zistíme hodnotu ordináty C: y = b * sin α. Ďalej použijeme Pytagorovu vetu a vyjadríme h striedavo pre trojuholník ACD a DCB:

Je zrejmé, že oba výrazy (1) a (2) sú si navzájom rovné. Porovnajme pravé strany a predstavme podobné:

V praxi tento vzorec umožňuje nájsť dĺžku neznámej strany trojuholníka z daných uhlov. Kosínusová veta má tri dôsledky: pre pravý, ostrý a tupý uhol trojuholníka.

Nahradme hodnotu cos α obvyklou premennou x, potom pre ostrý uhol trojuholníka ABC dostaneme:

Ak sa ukáže, že uhol je správny, potom 2bx z výrazu zmizne, pretože cos 90° = 0. Graficky možno druhý dôsledok znázorniť takto:

V prípade tupého uhla sa znamienko „-“ pred dvojitým argumentom vo vzorci zmení na „+“:

Ako vidno z vysvetlenia, vo vzťahoch nie je nič zložité. Kosínusová veta nie je nič iné ako preklad Pytagorovej vety do goniometrických veličín.

Praktická aplikácia vety

Cvičenie 1. Je daný trojuholník ABC, ktorého strana BC = a = 4 cm, AC = b = 5 cm a cos α = ½. Musíte nájsť dĺžku strany AB.

Aby bol výpočet správny, musíte určiť uhol α. Ak to chcete urobiť, mali by ste sa pozrieť na tabuľku hodnôt pre trigonometrické funkcie, podľa ktorej sa kosínus oblúka rovná 1/2 pre uhol 60 °. Na základe toho použijeme vzorec prvého dôsledku vety:

Úloha 2. Pre trojuholník ABC sú známe všetky strany: AB =4√2,BC=5,AC=7. Musíte nájsť všetky uhly postavy.

V tomto prípade sa nezaobídete bez nákresu podmienok problému.

Keďže hodnoty uhla zostávajú neznáme, na nájdenie riešení by sa mal použiť celý vzorec pre ostrý uhol.

Analogicky nie je ťažké vytvárať vzorce a vypočítať hodnoty iných uhlov:

Súčet troch uhlov trojuholníka by mal byť 180°: 53 + 82 + 45 = 180, preto sa našlo riešenie.

Sínusová veta

Veta hovorí, že všetky strany ľubovoľného trojuholníka sú úmerné sínusom opačných uhlov. Vzťahy sú napísané vo forme trojitej rovnosti:

Klasický dôkaz tvrdenia sa vykonáva na príklade postavy vpísanej do kruhu.

Na overenie pravdivosti tvrdenia na príklade trojuholníka ABC na obrázku je potrebné potvrdiť skutočnosť, že 2R = BC / sin A. Potom dokážte, že ostatné strany súvisia so sínusmi opačných uhlov, ako 2R resp. D kruhu.

Za týmto účelom nakreslite priemer kruhu z vrcholu B. Z vlastnosti uhlov vpísaných do kruhu je ∠GCB priamka a ∠CGB sa rovná buď ∠CAB alebo (π - ∠CAB). V prípade sínusu nie je táto okolnosť významná, keďže sin (π –α) = sin α. Na základe vyššie uvedených záverov možno konštatovať, že:

sin ∠CGB = BC/BG alebo sin A = BC/2R,

Ak vezmeme do úvahy ďalšie uhly obrázku, dostaneme rozšírený vzorec pre sínusovú vetu:

Typické úlohy na precvičovanie znalostí sínusovej vety spočívajú v hľadaní neznámej strany alebo uhla trojuholníka.

Ako je zrejmé z príkladov, riešenie takýchto problémov nespôsobuje ťažkosti a spočíva vo vykonávaní matematických výpočtov.

Zostrojme ľubovoľný trojuholník vpísaný do kruhu. Označme to ako ABC.
Na dokázanie celej vety, keďže rozmery trojuholníka sú zvolené ľubovoľne, stačí dokázať, že pomer jednej ľubovoľnej strany k uhlu oproti nej je rovný 2R. Nech je to 2R = a / sin α, to znamená, ak vezmeme z výkresu 2R = BC / sin A.

Vypočítajme priemer BD pre kružnicu opísanú. Výsledný trojuholník BCD je pravouhlý, pretože jeho prepona leží na priemere kružnice opísanej (vlastnosť uhlov vpísaných do kruhu).

Pretože uhly vpísané do kruhu a spočívajúce na rovnakom oblúku sú rovnaké, potom sa uhol CDB rovná buď uhlu CAB (ak body A a D ležia na rovnakej strane priamky BC), alebo sa rovná π - CAB (inak) .

Vráťme sa k vlastnostiam goniometrických funkcií. Keďže sin(π − α) = sin α, uvedené možnosti konštrukcie trojuholníka povedú stále k rovnakému výsledku.

Vypočítajme hodnotu 2R = a / sin α podľa nákresu 2R = BC / sin A. Aby sme to urobili, nahraďme sin A pomerom zodpovedajúcich strán pravouhlého trojuholníka.

2R = BC / hriech A
2R = BC / (BC / DB)
2R = DB

A keďže DB bol skonštruovaný ako priemer kruhu, potom je rovnosť splnená.
Opakovaním rovnakého uvažovania pre ďalšie dve strany trojuholníka dostaneme:

Sínusová veta bola dokázaná.

Sínusová veta

Poznámka. Toto je časť lekcie s geometrickými problémami (sekčná veta o sínusoch). Ak potrebujete vyriešiť problém s geometriou, ktorý tu nie je, napíšte o ňom do fóra. V úlohách sa namiesto symbolu „druhej odmocniny“ používa funkcia sqrt(), v ktorej sqrt je symbol druhej odmocniny a radikálny výraz je uvedený v zátvorkách.

Sínusová veta:
Strany trojuholníka sú úmerné sínusom opačných uhlov, alebo v rozšírenej formulácii:
a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R
kde R je polomer kružnice opísanej

Teóriu – formuláciu a dôkaz vety pozri podrobne v kapitole „Sínusova veta“ .

Úloha

V trojuholníku XYZ je uhol X=30, uhol Z=15. Kolmica YQ na ZY rozdeľuje stranu XZ na časti XQ a QZ Nájdite XY, ak QZ = 1,5 m

Riešenie.
Výška tvorila dva pravouhlé trojuholníky XYQ a ZYQ.
Na vyriešenie úlohy použijeme sínusovú vetu.
QZ / sin(QYZ) = QY / sin(QZY)

QZY = 15 stupňov, teda QYZ = 180 - 90 - 15 = 75

Keďže dĺžka výšky trojuholníka je už známa, nájdime XY pomocou rovnakej vety o sínusoch.

QY / sin(30) = XY / sin(90)

Zoberme do úvahy tabuľkové hodnoty niektorých goniometrických funkcií:

sínus 30 stupňov sa rovná sin(30) = 1/2
sínus 90 stupňov sa rovná sin(90) = 1

QY = XY sin (30)
3/2 (√3 - 1) / (√3 + 1) = 1/2 XY
XY = 3 (√3 - 1) / (√3 + 1) ≈ 0,8 m

Odpoveď: 0,8 m alebo 3 (√3 - 1) / (√3 + 1)

Sínusová veta (2. časť)

Poznámka. Toto je časť lekcie s geometrickými problémami (sekčná veta o sínusoch). Ak potrebujete vyriešiť problém s geometriou, ktorý tu nie je, napíšte o ňom do fóra .

Pozri teóriu podrobne v kapitole "Sínusová veta" .

Úloha

Strana AB trojuholníka ABC má 16 cm. Uhol A je 30 stupňov. Uhol B je 105 stupňov. Vypočítajte dĺžku strany BC.