Poďme najprv pochopiť rozdiel medzi kruhom a kruhom. Aby sme videli tento rozdiel, stačí zvážiť, aké sú obe čísla. Toto je nekonečný počet bodov v rovine, ktoré sa nachádzajú v rovnakej vzdialenosti od jedného centrálneho bodu. Ale ak kruh pozostáva aj z vnútorného priestoru, potom do kruhu nepatrí. Ukazuje sa, že kruh je kruh, ktorý ho ohraničuje (o-kruh (g)ness) a nespočetný počet bodov, ktoré sú vo vnútri kruhu.

Pre ľubovoľný bod L ležiaci na kružnici platí rovnosť OL=R. (Dĺžka segmentu OL sa rovná polomeru kruhu).

Úsečka, ktorá spája dva body na kruhu je akord.

Tetiva prechádzajúca priamo stredom kruhu je priemer tento kruh (D). Priemer možno vypočítať pomocou vzorca: D=2R

Obvod vypočítané podľa vzorca: C=2\pi R

Oblasť kruhu: S=\pi R^(2)

oblúk kruhu nazývaná tá jej časť, ktorá sa nachádza medzi dvoma jej bodmi. Tieto dva body definujú dva oblúky kruhu. Akord CD spája dva oblúky: CMD a CLD. Rovnaké akordy pretínajú rovnaké oblúky.

Centrálny roh je uhol medzi dvoma polomermi.

dĺžka oblúka možno nájsť pomocou vzorca:

1. Použitie stupňov: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Pomocou radiánovej miery: CD = \alpha R

Priemer, ktorý je kolmý na tetivu, pretína tetivu a oblúky, ktoré preklenuje.

Ak sa tetivy AB a CD kružnice pretínajú v bode N, potom sú produkty segmentov tetiv oddelených bodom N navzájom rovnaké.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

Tangenta ku kruhu

Tangenta ku kruhu Je zvykom nazývať priamku, ktorá má jeden spoločný bod, s kružnicou.

Ak má priamka dva spoločné body, nazýva sa to sekanta.

Ak nakreslíte polomer v bode dotyku, bude kolmý na dotyčnicu ku kružnici.

Z tohto bodu nakreslíme dve dotyčnice k nášmu kruhu. Ukazuje sa, že segmenty dotyčníc sa budú navzájom rovnať a stred kruhu bude v tomto bode umiestnený na osi uhla s vrcholom.

AC=CB

Teraz z nášho bodu nakreslíme ku kružnici dotyčnicu a sečnicu. Dostaneme, že druhá mocnina dĺžky dotyčnicového segmentu sa bude rovnať súčinu celého sečného segmentu jeho vonkajšou časťou.

AC^(2) = CD \cdot BC

Môžeme dospieť k záveru: súčin celočíselného segmentu prvého sekantu jeho vonkajšou časťou sa rovná súčinu celočíselného segmentu druhého sekantu jeho vonkajšou časťou.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

Uhly v kruhu

Miery stupňov stredového uhla a oblúka, na ktorom spočíva, sú rovnaké.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Vpísaný uhol je uhol, ktorého vrchol je na kruhu a ktorého strany obsahujú tetivy.

Môžete to vypočítať tak, že poznáte veľkosť oblúka, pretože sa rovná polovici tohto oblúka.

\uhol AOB = 2 \uhol ADB

Na základe priemeru, vpísaného uhla, rovné.

\uhol CBD = \uhol CED = \uhol CAD = 90^ (\circ)

Vpísané uhly, ktoré sa opierajú o rovnaký oblúk, sú identické.

Vpísané uhly založené na tej istej tetive sú rovnaké alebo ich súčet sa rovná 180^ (\circ) .

\uhol ADB + \uhol AKB = 180^ (\circ)

\uhol ADB = \uhol AEB = \uhol AFB

Na tej istej kružnici sú vrcholy trojuholníkov s rovnakými uhlami a danou základňou.

Uhol s vrcholom vo vnútri kruhu a umiestnený medzi dvoma tetivami je totožný s polovicou súčtu uhlových veľkostí oblúkov kruhu, ktoré sú vo vnútri daného a vertikálnych uhlov.

\uhol DMC = \uhol ADM + \uhol DAM = \frac(1)(2) \vľavo (\cup DmC + \cup AlB \right)

Uhol s vrcholom mimo kruhu a umiestneným medzi dvoma sečnami je identický s polovicou rozdielu uhlových veľkostí oblúkov kruhu, ktoré sú vo vnútri uhla.

\uhol M = \uhol CBD - \uhol ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Vpísaný kruh

Vpísaný kruh je kruh dotýkajúci sa strán mnohouholníka.

V bode, kde sa pretínajú osi uhlov mnohouholníka, sa nachádza jeho stred.

Kruh nemusí byť vpísaný do každého mnohouholníka.

Oblasť mnohouholníka s vpísaným kruhom sa nachádza podľa vzorca:

S=pr,

p je semiperimeter mnohouholníka,

r je polomer vpísanej kružnice.

Z toho vyplýva, že polomer vpísanej kružnice je:

r = \frac(S)(p)

Súčty dĺžok protiľahlých strán budú rovnaké, ak je kružnica vpísaná do konvexného štvoruholníka. A naopak: kruh je vpísaný do konvexného štvoruholníka, ak sú súčty dĺžok protiľahlých strán v ňom rovnaké.

AB+DC=AD+BC

Do ktoréhokoľvek z trojuholníkov je možné vpísať kruh. Iba jeden jediný. V bode, kde sa pretínajú osy vnútorných uhlov obrazca, bude ležať stred tejto vpísanej kružnice.

Polomer vpísanej kružnice sa vypočíta podľa vzorca:

r = \frac(S)(p) ,

kde p = \frac(a + b + c)(2)

Opísaný kruh

Ak kružnica prechádza každým vrcholom mnohouholníka, potom sa takáto kružnica nazýva ohraničené okolo mnohouholníka.

Stred opísanej kružnice bude v priesečníku kolmých osi strán tohto obrázku.

Polomer možno nájsť jeho výpočtom ako polomer kružnice opísanej okolo trojuholníka definovaného akýmikoľvek 3 vrcholmi mnohouholníka.

Platí nasledujúca podmienka: kruh možno opísať okolo štvoruholníka iba vtedy, ak súčet jeho opačných uhlov je rovný 180^( \circ) .

\uhol A + \uhol C = \uhol B + \uhol D = 180^ (\circ)

V blízkosti akéhokoľvek trojuholníka je možné opísať kruh, a to len jeden. Stred takejto kružnice bude umiestnený v bode, kde sa pretínajú kolmice strán trojuholníka.

Polomer opísanej kružnice možno vypočítať podľa vzorcov:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4S)

a, b, c sú dĺžky strán trojuholníka,

S je plocha trojuholníka.

Ptolemaiova veta

Nakoniec zvážte Ptolemaiovu vetu.

Ptolemaiova veta hovorí, že súčin uhlopriečok je totožný so súčtom súčinov protiľahlých strán vpísaného štvoruholníka.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Tento článok obsahuje minimálny súbor informácií o kruhu, ktorý je potrebný na úspešné absolvovanie skúšky z matematiky.

obvod sa nazýva množina bodov umiestnených v rovnakej vzdialenosti od daného bodu, ktorý sa nazýva stred kružnice.

Pre akýkoľvek bod ležiaci na kružnici platí rovnosť (dĺžka úsečky sa rovná polomeru kružnice.

Úsečka, ktorá spája dva body na kružnici, sa nazýva akord.

Tetiva prechádzajúca stredom kružnice sa nazýva priemer kruhy () .

obvod:

Oblasť kruhu:

Oblúk kruhu:

Časť kružnice uzavretá medzi dvoma jej bodmi sa nazýva oblúk kruhy. Dva body na kruhu definujú dva oblúky. Tetiva spája dva oblúky: a . Rovnaké akordy tvoria rovnaké oblúky.

Uhol medzi dvoma polomermi sa nazýva centrálny roh :

Ak chcete zistiť dĺžku oblúka, vytvoríme pomer:

a) uhol sa udáva v stupňoch:

b) uhol sa udáva v radiánoch:

Priemer kolmý na tetivu , rozdelí tento akord a oblúky, ktoré odčíta, na polovicu:

Ak akordy a kruhy sa pretínajú v bode , potom sú produkty segmentov akordov, na ktoré sú rozdelené bodom, navzájom rovné:

Tangenta ku kruhu.

Priamka, ktorá má jeden bod spoločný s kružnicou, sa nazýva dotyčnica do kruhu. Čiara, ktorá má dva body spoločné s kružnicou, sa nazýva sekanta.

Dotyčnica ku kružnici je kolmá na polomer nakreslený k bodu dotyčnice.

Ak sú z daného bodu ku kružnici nakreslené dve dotyčnice, potom dotyčnicové segmenty sú si navzájom rovné a stred kruhu leží na osi uhla s vrcholom v tomto bode:

Ak sa z daného bodu ku kružnici nakreslí dotyčnica a sečnica, potom druhá mocnina dĺžky dotyčnicového segmentu sa rovná súčinu celého sečnového segmentu jeho vonkajšou časťou :

Dôsledok: súčin celého segmentu jedného sekantu jeho vonkajšou časťou sa rovná súčinu celého segmentu druhého sekantu jeho vonkajšou časťou:

Uhly v kruhu.

Miera stupňa stredového uhla sa rovná miere stupňa oblúka, na ktorom spočíva:

Uhol, ktorého vrchol leží na kružnici a ktorého strany obsahujú tetivy, sa nazýva vpísaný uhol . Vpísaný uhol sa meria polovicou oblúka, ktorý pretína:

∠∠

Vpísaný uhol založený na priemere je pravý uhol:

∠∠∠

Vpísané uhly zvierajúce rovnaký oblúk sú :

Vpísané uhly zvierajúce rovnakú tetivu sú rovnaké alebo sa ich súčet rovná

∠∠

Vrcholy trojuholníkov s danou základňou a rovnakými uhlami vo vrchole ležia na tej istej kružnici:

Uhol medzi dvoma akordmi (uhol s vrcholom vo vnútri kruhu) sa rovná polovici súčtu uhlových veľkostí oblúkov kruhu uzavretých vo vnútri daného uhla a vo vnútri vertikálneho uhla.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Uhol medzi dvoma sečnami (uhol s vrcholom mimo kruhu) sa rovná polovičnému rozdielu uhlových veľkostí oblúkov kruhu uzavretých vo vnútri uhla.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Vpísaný kruh.

Kruh sa nazýva vpísaný do mnohouholníka ak sa dotýka jeho strán. Stred vpísaného kruhu leží v priesečníku osi uhla mnohouholníka.

Nie každý mnohouholník sa dá vpísať do kruhu.

Oblasť mnohouholníka obsahujúca kruh možno nájsť pomocou vzorca

tu je semiperimeter mnohouholníka, je polomer vpísanej kružnice.

Odtiaľ polomer vpísanej kružnice rovná sa

Ak je kruh vpísaný do konvexného štvoruholníka, potom súčty dĺžok protiľahlých strán sú . Naopak, ak v konvexnom štvoruholníku sú súčty dĺžok protiľahlých strán rovnaké, potom je možné do štvoruholníka vpísať kruh:

Akýkoľvek trojuholník môže byť napísaný kruhom, a to iba jedným. Stred vpísanej kružnice leží v priesečníku priesečníkov vnútorných uhlov trojuholníka.

Polomer vpísanej kružnice rovná sa . Tu

opísaný kruh.

Kruh sa nazýva ohraničené okolo mnohouholníka ak prechádza cez všetky vrcholy mnohouholníka. Stred opísanej kružnice leží v priesečníku odvesničiek strán mnohouholníka. Polomer sa vypočíta ako polomer kružnice opísanej okolo trojuholníka definovaného akýmikoľvek tromi vrcholmi daného mnohouholníka:

Kruh možno opísať okolo štvoruholníka vtedy a len vtedy, ak súčet jeho opačných uhlov je rovný .

V blízkosti akéhokoľvek trojuholníka je možné opísať kruh, navyše iba jeden. Jeho stred leží v priesečníku odvesničiek strán trojuholníka:

Polomer opísanej kružnice vypočítané podľa vzorcov:

Kde je dĺžka strán trojuholníka, je jeho obsah.

Ptolemaiova veta

V napísanom štvoruholníku sa súčin uhlopriečok rovná súčtu súčinov jeho protiľahlých strán:

Video lekcia 2: Kružnica opísaná trojuholníku

Prednáška: Kružnica vpísaná do trojuholníka a kružnica opísaná trojuholníku

Okolo niektorých trojuholníkov môže byť opísaný kruh a do niektorých môže byť vpísaný kruh.

vpísaný trojuholník

Ak všetky vrcholy trojuholníka ležia na kruhu, potom sa takýto trojuholník nazýva zapísané.

Venujte pozornosť, ak je nejaký trojuholník vpísaný do kruhu, potom sú všetky čiary, ktoré spájajú stred kruhu s vrcholmi trojuholníka, rovnaké. Okrem toho majú hodnotu polomeru.

Existujú jednoduché vzorce, ktoré vám umožňujú určiť strany trojuholníka pomocou známeho polomeru kruhu alebo naopak, určiť polomer pozdĺž strán:

Ak je do kruhu vpísaný pravidelný trojuholník, vzorce sú zjednodušené. Chcel by som vám pripomenúť, že pravouhlý trojuholník sa nazýva trojuholník, v ktorom sú všetky strany rovnaké:

Vzorec na nájdenie oblasti pravidelného trojuholníka, ak je vpísaný do kruhu:

Ak sa vo vnútri kruhu nachádza nejaký trojuholník, potom existuje pravidlo pre umiestnenie stredu kruhu.

Ak je do kruhu vpísaný akýkoľvek trojuholník s ostrým uhlom, stred tohto kruhu bude umiestnený vo vnútri trojuholníka:

Ak je do kruhu vpísaný pravidelný trojuholník, stred kruhu sa bude považovať za stred trojuholníka, ako aj za priesečník jeho výšok.

Ak je do kruhu vpísaný pravouhlý trojuholník, potom stred kruhu bude ležať v strede prepony:

Ak je do kruhu vpísaný tupý trojuholník, stred kruhu bude mimo trojuholníka:

Vpísaný kruh

Kruh možno nazvať vpísaným, ak sa v jednom bode dotýka všetkých strán trojuholníka.

Pre trojuholník, do ktorého je vpísaný kruh, platí určité pravidlo.