Clasă: 8

Prezentare pentru lecție

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Scopul lecției:învață cum să construiești simetria axială a figurilor geometrice.

Sarcini:

1. Educational:

• luați în considerare punctele și figurile simetrice în raport cu o dreaptă;
• învață cum să construiești puncte simetrice și să recunoști figuri cu simetrie axială;
• considera simetria axiala drept o proprietate a unor figuri geometrice.
• fă-ți o idee despre simetria în matematică și în lumea din jurul nostru.

Dezvoltare:

• dezvoltarea gândirii logice;
• activarea activității mentale prin utilizarea tehnologiei informației

Educational: dezvoltarea inteligenței, atenției, percepției, memoriei, gândirii, imaginației, dezvoltă cultura generală a individului.

Forme de organizare a activităților educaționale:întreaga clasă, individual, pereche.

Tip de lecție: Studiul și consolidarea primară a noilor cunoștințe.

Planul lecției:

• simetria unui punct în raport cu o dreaptă;
• construirea simetriei axiale a unui punct pe un plan;
• simetria figurii în raport cu o linie dreaptă;
• construirea simetriei axiale a figurilor geometrice;
• aplicarea cunoştinţelor dobândite la rezolvarea problemelor.

Echipament: proiector; ecran; tablă cu două fețe (cretă, marker); pătrat; Înmânează; indicatorul profesorului; creioane colorate; conducători.

În timpul orelor

eu. Organizarea începutului lecției

Slide.

Bună băieți, stați jos.

Astăzi la clasă vom face o mulțime de sarcini creative și distractive. Deci, atenție la ecran!

II. Comunicarea temei, a scopului și a obiectivelor lecției

Tema lecției noastre este „Simetria în matematică și în lumea din jurul nostru”.

Astăzi, în lecție, ne vom familiariza cu conceptul de simetrie, vom învăța cum să construim puncte care sunt simetrice față de o dreaptă; Vom rezolva probleme de construire a simetriei figurilor geometrice.

La finalizarea sarcinilor, vom evalua munca. Conform instrucțiunilor mele, pentru fiecare sarcină completată corect veți completa unul dintre cercurile situate în partea de sus Fișa 1 (anexă).

III. Asimilarea noilor cunoștințe

Slide.

Să începem prin a ne asigura că definim termenul „simetrie”.

Ce crezi că înseamnă cuvântul „simetrie”?

Unde putem găsi simetrie în viață?

Voi rezuma răspunsurile dvs. Simetria (din grecescul Symmetria - proporționalitate), în sens larg, este imuabilitatea structurii unui obiect material în raport cu transformările sale.

Simetria joacă un rol imens în artă și arhitectură. Dar poate fi văzut atât în ​​muzică, cât și în poezie.

Simetria se găsește pe scară largă în natură, în special în cristale, plante și animale. Simetria poate fi găsită nu numai în geometrie, ci și în alte ramuri ale matematicii, de exemplu în algebră - atunci când se construiesc grafice ale funcțiilor.

Există două tipuri de simetrie: axială și centrală. Să completăm diagrama din fișă Foaia 1.

Astăzi vom lua în considerare doar simetria axială.

Găsiți o propoziție care spune care două puncte sunt numite simetrice.

OPR: Două puncte A și A1 se numesc simetrice față de linia a dacă această dreaptă trece prin mijlocul segmentului AA1 și perpendiculară pe acesta.

Să analizăm definiția. Ce condiții trebuie îndeplinite pentru a putea spune fără ambiguitate că punctul A este simetric față de punctul A1 în raport cu dreapta a? ( AA 1⊥ a și AO=OA 1)

Să scriem într-un limbaj mai geometric între paranteze condiția pentru simetria punctelor A și A 1 .

Să învățăm cum să construim împreună un punct simetric față de o dreaptă dată relativ la o dreaptă. Pentru aceasta vom găsi în fișă Exercitiul 1. Să luăm în mâini un pătrat și un creion. (profesorul construiește pe tablă)

Etape ale rezolvării problemei: (pe ecran)

• Construiți o perpendiculară de la punctul A la dreapta a;
• O – punctul de intersecție al dreptei perpendiculare și drepte a;
• Extindeți perpendiculara dincolo de linia a;
• Plasați un segment egal cu segmentul OA pe continuarea perpendicularei;
• AO=OA 1
• Punctele A și A 1 sunt simetrice față de dreapta a.

Hai să o facem sarcină orală: Care puncte din imagini sunt simetrice?

Răspuns: Numai figura 2.

Cine e gata să explice?

Cine este de acord cu răspunsul, ridicați mâinile? Completați un cerc în partea de sus Foaia 1.

Multe figuri au și simetrie axială.

AOD: Se spune că figura este simetrică în raport cu o linie dreaptăA, dacă pentru fiecare punct al figurii există un punct simetric față de el față de dreapta A aparține și acestei figuri.

VII. Consolidarea cunoștințelor

Să ne uităm la formele geometrice și să stabilim dacă au simetrie axială sau nu.

Lucrăm cu sarcina 2 Fișa2.

- Sarcina 2: Pe figurile geometrice prezentate, desenați toate axele de simetrie și notați câte sunt în coloana „Număr de axe”.

Puteți consulta vecinul de birou.

Figura	Numărul de axe de simetrie	Activități educaționale
Colț neîntors	1 axa de simetrie -	Student la tablă bisectoare a unghiului
Triunghi isoscel	1 axă de simetrie - bisectoare, mediană, înălțime	Profesor: Prin definiție, un triunghi isoscel are laturile egale; prin proprietatea unui triunghi isoscel, bisectoarea trasă din vârful unghiului este mediana și altitudinea, ceea ce înseamnă că axa de simetrie coincide cu mediana, bisectoarea și altitudinea triunghiului. Nu există alte axe de simetrie
	4 axe de simetrie	Pe cont propriu (2 axe – diagonale; 2 axe – linii drepte care trec prin punctele medii ale laturilor)
Cerc	există un număr infinit de axe de simetrie	Pe cont propriu Linii care trec prin centrul unui cerc

Deci, să verificăm soluția problemei de pe ecran și să corectăm orice inexactități în rezolvarea problemei.

Ridicați mâinile, cine a desenat toate axele pătratului? Un cerc a fost pictat.

Ridicați mâinile, cine a identificat corect axa cercului? Un cerc a fost pictat.

Crezi că toate figurile geometrice au axe de simetrie? Adevărat, nu toate. Să ne uităm la ecran.

Pune-ți pixurile deoparte, hai să decidem verbal sarcină : Câte axe are: segment; Drept; Ray?

Să raționăm. Analizăm fiecare caz secvenţial.

Cine este gata să răspundă?

Cei care sunt de acord au ridicat mâna. Completați unul dintre cercuri.

Gimnastica pentru ochi 1 min.

- Ochii noștri sunt obosiți de munca grea. Să le dăm ocazia să se relaxeze puțin făcând niște exerciții pentru ochi.

VIII. Generalizare și sistematizare

Acum să rezolvăm două probleme practice folosind fișa „materiale pentru lecție”.

Sarcina 3: Construiți un segment simetric cu cel dat.

Să analizăm starea problemei: Cum se construiește un segment simetric față de unul dat în raport cu o dreaptă?

Ce este un segment? ( O parte a unei linii drepte, limitată pe ambele părți.)

Ce este suficient de construit pentru a rezolva problema? ( Simetria punctelor care sunt capetele segmentului.)

Concluzie: Deoarece segmentul este limitat de două puncte, este suficient să construiți puncte simetrice față de punctele A și B în raport cu dreapta c și să le conectați.

Lucrăm independent, o singură persoană la consiliu.

X. Rezumatul lecției

Despre ce concept am învățat astăzi în clasă? ( Simetrie.)

Ce tip de simetrie am luat în considerare? ( Axial.)

Ce ai învățat la lecție? ( Construiți un punct simetric față de o dreaptă dată; construiți o axă de simetrie a figurilor geometrice; construiți o figură simetrică față de una dată în raport cu o dreaptă dată.)

Acum toată lumea numără cercurile pline.

Ridică-ți mâinile, cine are exact 4 sau 5 cercuri umplute? Pune un „5” lângă cercuri.

Ridică-ți mâinile, cine are exact 3 cercuri umplute? Puneți un semn „4” lângă cercuri.

Pentru cei care au primit mai puține cercuri, nu vă supărați - pur și simplu nu ați putut găsi imediat răspunsul la întrebarea pusă.

În concluzie, simetria poate fi găsită aproape oriunde dacă știi să o cauți. Din cele mai vechi timpuri, multe popoare au avut o idee de simetrie în sens larg - ca echilibru și armonie. Creativitatea umană în toate manifestările sale tinde spre simetrie. Prin simetrie, omul a încercat întotdeauna, în cuvintele matematicianului german Hermann Weyl, „să înțeleagă și să creeze ordine, frumusețe și perfecțiune”.

Vă mulțumim pentru munca dvs. activă.

• Studiați subiectul „Simetrie”
• Explorați întrebarea „Simetrie în lumea din jurul nostru”
• Luați în considerare diferite tipuri de simetrie în obiectele naturale

• De ce o persoană trebuie să știe despre simetrie?

• 1. Dezvăluie semnificația conceptelor de bază ale simetriei.
• 2. Arată că natura este o lume a simetriei.

• studiul literaturii;
• compararea caracteristicilor esențiale;
• analiză, comparație, generalizare.

• O simetrie!
• Îți cânt imnul!
• Te recunosc peste tot în lume.
• Ești în Turnul Eiffel, într-un mic muschiu,
• Esti in Pomul de Crăciun lângă poteca pădurii.
• Cu tine în prietenie și lalele și trandafir,
• Și roiul de zăpadă este o creație a înghețului!

• Tema muncii mele de cercetare științifică este „Simetria cu mai multe fețe”.
• Am ales acest subiect pentru că întâlnim simetrie peste tot - în natură, arhitectură, artă, știință. Aș dori să devin mai familiar cu simetria în matematică și biologie, tehnologie și arhitectură întrucât conceptul de simetrie este utilizat pe scară largă de toate domeniile științei moderne.

• Ce este simetrie ?
• Ce sens profund se află în acest concept?
• De ce simetria pătrunde literalmente în întreaga lume din jurul nostru?

• Simetrie (din grecescul symetria - „proporționalitate”) - un concept care înseamnă persistență, repetabilitate, „invarianță” oricăror caracteristici structurale ale obiectului studiat atunci când anumite transformări sunt efectuate cu acesta .

• Simetrie - acesta este echilibrul,

ordine,

frumuseţe,

perfecţiune.

• a) simetria în jurul unui punct (simetria centrală); b) simetria faţă de o dreaptă (simetrie axială);
• c) simetria fata de plan (simetria oglinzii);
• G) Simetria rotației (întoarce)
• d) Simetria de alunecare

OA 1 = OA

Definiție

Punctele A și A 1 sunt numite simetric fata de punct DESPRE, dacă O este mijlocul segmentului AA 1.

Definiție

Cifra este numită simetric fata de centru

Simetria punctelor în raport cu o dreaptă

Definiție

Două puncte A și A 1 sunt numite simetric fata de dreapta a , dacă această dreaptă trece prin mijlocul segmentului AA 1 și este perpendiculară pe acesta.

Figura simetrică în raport cu o linie dreaptă

Definiție

Cifra este numită simetric față de drept , dacă pentru fiecare punct al unei figuri aparține și punctul simetric cu acesta. Drept l numită axa de simetrie a figurii.

• Transformare în care fiecare punct A al figurii (corpului) este rotit cu același unghi α în jurul unui centru dat O se numește rotație sau rotație a planului. Punctul O se numește centru de rotație, iar unghiul α se numește unghi de rotație. Punctul O este un punct fix al acestei transformări.

Simetria centrală este o rotație a unei figuri cu 180°.

• Simetrie de alunecare este o transformare în care simetria axială și translația paralelă sunt efectuate secvenţial.

• un segment intră într-un segment egal;
• unghiul merge într-un unghi egal cu acesta;
• cercul se transformă într-un cerc egal;
• orice poligon merge într-un poligon egal etc.
• liniile paralele se transformă în paralele, perpendiculare în perpendiculare.

Deci, în avion avem patru tipuri de mișcări care traduc figura F într-o cifră egală F 1 :

• transfer paralel;
• simetrie axială (reflexie dintr-o linie dreaptă);
• rotație în jurul unui punct (caz parțial - simetrie centrală);
• reflexie „alunecătoare”.

• SIMETRIA RADIALĂ

(simetrie radială) - simetrie față de orice plan care trece prin axa longitudinală a corpului animalului.

Simetrie bilaterală (simetrie bilaterală) - simetrie de reflexie în oglindă, în care un obiect are un plan de simetrie, față de care cele două jumătăți ale sale sunt simetrice în oglindă.

Simetria are multe fețe.

Este asociat cu ordinea, proporționalitatea și proporționalitatea părților, frumusețea și armonia, cu oportunitatea și utilitatea.

În timp ce lucram la proiect, am atins misterioasa frumusețe matematică. Matematica este un limbaj, limbajul naturii. Fără să cunoști limba, nu poți înțelege frumusețea lumii din jurul tău.

Dar un lucru este sigur: Lumea este simetrică!

• 1. Această lume uimitor de simetrică” - L. Tarasov
• 2. „Dicționar explicativ” - V. Dalya
• „Geometrie 7-9 clase” - L. Atanasyan
• Malahov V.V. // Jurnal. total biologie. 1977. T.38.
• I.G Zenkevich „Estetica unei lecții de matematică”.
• http://900igr.net/fotografii/geometrija/Simmetrija/O-simmetrii.html

Ignatovskaya Elena, Dorokhov Anatoly

Uită-te in jur! Admirăm o floare strălucitoare, un fluture frumos, un fulg de nea misterios, copaci înalți, cupole de biserică, sculpturi frumoase și sportivi zvelți. Care este baza acestei frumuseți? Simetria este plăcută ochiului și este adesea asociată cu frumusețea. „Simetria este ideea prin care omul a încercat să înțeleagă și să creeze ordine, frumusețe și perfecțiune”, a scris celebrul om de știință G. Weil. Multe procese care au loc în lume pot fi luate în considerare folosind un model matematic. După ce am studiat bazele matematice ale conceptului de simetrie, vom învăța să vedem frumusețea lumii și să o creăm cu propriile noastre mâini!

Metoda proiectului permite școlarilor să treacă de la stăpânirea cunoștințelor gata făcute la dobândirea lor conștientă.

Acest proiect a fost pregătit de elevii de clasa a VIII-a în timp ce studiau tema „Simetria axială și centrală”. Scopul său este de a dezvolta conceptul de simetrie, capacitatea de a vedea fenomenele de simetrie din lumea înconjurătoare, extinde înțelegerea ariilor de aplicare a matematicii și a legăturii acesteia cu alte subiecte. Pe lângă scopurile principale, am urmărit încă unul: atingerea frumosului, diverse tipuri de artă.

Proiectul a fost susținut la conferința școlară științifică și practică „Matematica în lumea modernă”, este folosit de profesor la lecțiile de matematică la studierea temei „Simetria axială și centrală”.

Descarca:

Previzualizare:

Lumea din jurul nostru este o lume a simetriei

Ignatovskaya Elena, Dorokhov Anatoly, elevi de clasa 8 „B”, Sigodina Larisa Vladimirovna,

profesor de matematică

MBOU „Școala de învățământ secundar nr. 1 Blagoveshchensk”

Slide 1

Conceptul de simetrie străbate întreaga istorie veche de secole a creativității umane. Din cele mai vechi timpuri, multe popoare au avut ideea de simetrie în sens larg - ca echivalent al echilibrului și armoniei. Formele de percepție și expresie în multe domenii ale științei și artei se bazează în cele din urmă pe simetrie, utilizate și manifestate în concepte și mijloace specifice inerente domeniilor individuale ale științei și tipurilor de artă. Astăzi vă invităm să luați în considerare manifestarea acestei idei în diverse domenii.

Slide 2

Simetria (din grecescul „proporționalitate”) este proprietatea unui obiect geometric de a se combina cu el însuși sub anumite transformări care formează un grup.

Ideea de simetrie este adesea punctul de plecare în ipotezele și teoriile oamenilor de știință din secolele trecute, care au crezut în armonia matematică a universului și au văzut în această armonie o manifestare a principiului divin. Grecii antici credeau că universul este simetric pur și simplu pentru că simetria este frumoasă.

Slide 3

Principalele tipuri de simetrie sunt axiale, centrale și oglindă.

Slide 4

Două puncte A și A 1 se numesc simetrice fata de dreapta a daca aceasta dreapta trece prin mijlocul segmentului AA 1 și perpendicular pe acesta.

Slide 5

Simetria centrală.

Două puncte A și A 1 sunt numite simetrice față de punctul O dacă O este punctul mijlociu al segmentului AA 1.

Slide 6

Dacă o transformare de simetrie față de un plan transformă o figură (corp) în sine, atunci figura se numește simetrică față de plan, iar acest plan se numește planul de simetrie al acestei figuri. În unele surse, această simetrie se numește simetrie în oglindă.

Slide 7

Uită-te la o frunză de arțar, un fulg de zăpadă, un fluture. Ceea ce au în comun este că sunt simetrice. O frunză obișnuită a căzut dintr-un copac pe mânecă. Forma sa nu este întâmplătoare, este strict naturală. Foaia este, parcă, lipită împreună din două jumătăți identice, una dintre aceste jumătăți fiind situată în oglindă față de cealaltă. Frunza are simetrie în oglindă, dar are și simetrie axială.

Slide 8

Oh, simetrie! Îți cânt imnul!

Te recunosc peste tot în lume.

Te afli în Turnul Eiffel, într-un mic muschiu.

Te afli într-un pom de Crăciun lângă o potecă din pădure.

Cu tine în prietenie este o lalea și un trandafir și un roi de zăpadă - crearea înghețului!

Slide 9

Privind în jur, putem observa simetrie.

Slide 10

Să ne uităm la exemple de forme geometrice care au simetrie.

Un triunghi isoscel, un dreptunghi, un pătrat, un cerc și un triunghi echilateral au simetrie axială.

Slide 11

Simetria centrală poate fi văzută într-un paralelogram, cerc, pătrat, dreptunghi.

Slide 12 Simetria în algebră.

O parabolă are simetrie axială, în timp ce o parabolă cubică are simetrie centrală.

Slide 13

Pitagoreii au atras atenția asupra fenomenelor de simetrie în natura vie încă din Grecia Antică în legătură cu dezvoltarea doctrinei armoniei (secolul al V-lea î.Hr.). În secolul al XIX-lea, au apărut lucrări izolate despre simetrie în lumea vegetală și animală.

Corpul uman este construit pe principiul simetriei bilaterale. Cei mai multi dintre noi

vede creierul ca o singură structură, în realitate este împărțit în două jumătăți. Aceste două părți - cele două emisfere - se potrivesc strâns una cu cealaltă. În deplină concordanță cu simetria generală a corpului uman, fiecare emisferă este o imagine în oglindă aproape exactă a celeilalte.

Slide 14

Orientarea verticală a axei corpului caracterizează simetria arborelui. Frunzele, florile, ramurile și fructele au o simetrie pronunțată.

Slide 15

Simetria apare pe scară largă în natură, în special la plante, cum ar fi simetria unei flori. O floare este considerată simetrică atunci când fiecare periant este format dintr-un număr egal de părți. Florile cu părți pereche sunt considerate flori cu dublă simetrie etc. Simetria triplă este comună pentru monocotiledonate, în timp ce simetria cvintupla este comună pentru dicotiledonate.

Slide 16

Simetria la animale înseamnă corespondența în dimensiune, formă și contur, precum și aranjarea relativă a părților corpului situate pe părțile opuse ale liniei de separare.

Simetria sferică apare la radiolari și pești-soare, ale căror corpuri sunt de formă sferică, iar părțile sunt distribuite în jurul centrului sferei și se extind din aceasta. Astfel de organisme nu au nici față, nici spate, nici părți laterale ale corpului, niciun plan trasat prin centru împarte animalul în jumătăți egale.

Cu simetrie radială sau radială, corpul are forma unui cilindru scurt sau lung sau a unui vas cu ax central, din care părți ale corpului se extind radial. Acestea sunt celenterate, echinoderme și stele de mare.

Cu simetria bilaterală, există trei axe de simetrie, dar doar o pereche de laturi simetrice. Pentru că celelalte două laturi - abdominală și dorsală - nu sunt asemănătoare între ele. Acest tip de simetrie este caracteristic pentru majoritatea animalelor, inclusiv insecte, pești, amfibieni, reptile, păsări și mamifere.

Slide 17

Principiile simetriei sunt un instrument în fizică pentru găsirea de noi legi ale naturii. Printre principiile simetrice se numără principiul relativității lui Galileo și Einstein.

Slide 18- 19 Simetria în chimie.

Simetria este descoperită la nivel atomic în studiul materiei. Se manifestă în structuri atomice ordonate geometric ale moleculelor care sunt inaccesibile observației directe.

În 1810, D. Dalton, dorind să le arate ascultătorilor săi cum atomii se combină pentru a forma compuși chimici, a construit modele din lemn de bile și tije. Aceste modele s-au dovedit a fi ajutoare vizuale excelente.

O moleculă de apă are un plan de simetrie. Nimic nu se schimbă dacă schimbați atomi perechi într-o moleculă; un astfel de schimb este echivalent cu operația de oglindire. Toate solidele sunt cristale, iar cristalele au simetrie.

În imagine vedeți cristale de topaz, beril și cuarț fumuriu.

Simetria formei externe este clar vizibilă în figură. Cristale de sare gema, cuarț, aragonit.

Slide 20-23

Fiecare fulg de nea este un mic cristal de apă înghețată. Forma fulgilor de zăpadă poate fi foarte diversă, dar toți au simetrie. Fulgii de zăpadă naturali reali au întotdeauna șase axe de simetrie.

Slide 24-26

Simetria joacă un rol imens în artă, mai ales clar în ornamente și arhitectură.

Conceptul de simetrie străbate întreaga istorie veche de secole a creativității umane. Se găsește deja la originile dezvoltării umane. Omul a folosit mult timp simetria în arhitectură. Oferă armonie și completitudine templelor antice, turnurilor castelelor medievale și clădirilor moderne. De exemplu, clădirea Teatrului Bolșoi din Moscova. Frumusețea acestei clădiri este asociată cu simetria. Un alt exemplu este Catedrala Sf. Vasile din Piața Roșie din Moscova. Aceasta este o compoziție de zece temple diferite, fiecare templu fiind simetric geometric. Totuși, catedrala în ansamblu nu are nici oglindă, nici simetrie axială.

Slide 27

Dantela oferă exemple izbitoare de simetrie.

Slide 28

Simetria a fost folosită de diferite popoare pentru a colora obiectele casnice și culturale.

Slide 29

Un model care se repetă periodic pe o panglică lungă se numește ornament. În practică, ornamentele se găsesc sub diferite forme: picturi murale, fontă, basoreliefuri din ipsos sau ceramică. Ornamentele sunt folosite de pictori și artiști atunci când decorează o cameră. Timp de multe secole, oamenii au crezut în puterea protectoare a ornamentului, crezând că protejează de necazuri și aduce fericire și prosperitate. Treptat, funcția amuletei s-a pierdut, dar sarcina sa principală a rămas - de a face obiectul mai elegant și mai atractiv, expresiv artistic.

Slide 30

Ornamentele acopereau pereții în antichitate, vezi ornamente egiptene antice. Ornamentele create de faimosul artist olandez modern Escher sunt frumoase. Artistul olandez Maurice Escher folosește efecte de simetrie cu o ingeniozitate extraordinară în picturile sale originale cu puzzle unice. Nu este adevărat că imaginile cu șopârle albe, roșii și negre, strâns împletite între ele, care umplu complet întregul plan al imaginii, sunt percepute ca un fel de imn la simetria atotpervazivă.

Slide 31

Simetria oglinzii se mai numește și simetrie heraldică, așa cum se poate observa în stemele diferitelor țări. Vulturul cu două capete a servit bine statul rus, ca simbol al ținuturilor rusești unite din jurul unui oraș bogat și un lider inteligent, cu voință puternică. În 1997, a fost sărbătorită aniversarea de jumătate de mileniu a stemei Rusiei. De-a lungul a 5 secole, soarta istorică a Rusiei s-a schimbat de multe ori, dar emblema de stat a țării noastre - numele său figurativ a servit invariabil Patria și rămâne simbolul său principal și astăzi.

Slide 32

Unele litere au simetrie. De exemplu, litera A. M, T, Sh, P au o axă de simetrie verticală. Literele B, Z, K, S, E, E au simetrie orizontală.

Iar literele Zh, N, O, F, X au simetrie pe ambele axe. Simetria se vede și în cuvintele: radar, ordine, cazac, colibă. Astfel de cuvinte care citesc la fel în ambele direcții se numesc palindrom. Există fraze întregi cu această proprietate (dacă nu țineți cont de spațiile dintre cuvinte): „Căutați un taxi”, „Argentina atrage un negru”,

„Argentinianul îl apreciază pe negru”, „Lesha a găsit un bug pe raft.” Mulți poeți erau îndrăgostiți de ei.

Slide 33 Simetria în muzică.

Sufletul muzicii, ritmul, constă în repetarea corectă periodică a unor părți ale unei opere muzicale. Repetarea corectă a părților identice în ansamblu este esența muzicii. Putem aplica pe bună dreptate conceptul de simetrie unei opere muzicale, că această lucrare este scrisă folosind note. Compoziția are cea mai directă relație cu simetria. Marele poet german J. W. Goethe a susținut că fiecare compoziție se bazează pe simetrie ascunsă. A stăpâni legile compoziției înseamnă a stăpâni legile simetriei.

Slide 34

Obiectele cu adevărat simetrice ne înconjoară literalmente din toate părțile. Avem de-a face cu simetrie oriunde există ordine. Simetria se opune haosului, dezordinei. Se dovedește că simetria este echilibru, ordine, frumusețe, perfecțiune.

Simetria este diversă și omniprezentă. Ea creează frumusețe și armonie.

Literatură:

1. Vilenkin N.Ya. În spatele paginilor unui manual de matematică. Aritmetic. Algebră. Geometrie. O carte pentru elevii din clasele 10-11 ai instituțiilor de învățământ general: - M: Prosveshchenie, 1996.

2. Polya D. Descoperire matematică - M.: Nauka, 1970

3. Batkin L. M. Leonardo da Vinci și trăsăturile gândirii creative renascentiste. – M.: Art, 1990

4. Gutkov A. Lumea arhitecturii: Limbajul arhitecturii. –M.: Mol. Garda, 1985

5. N.V. Korneva, Yu.E. Novoselova, E.S. Timakina lecție integrată clasa a IX-a

Conferința regională de cercetare „Junior”

Cercetare

Simetrie în lumea din jurul nostru

(sectiunea stiinte exacte)

Efectuat: Merizanova Anna,

elev de clasa a VIII-a,

Eliseenko Vera,

elev de clasa a VIII-a

supraveghetor: Kolesnikova

Liudmila Alexandrovna,

profesor de matematică

Introducere

În acest an școlar am discutat acest subiect în lecțiile de matematică. Ne-a interesat subiectul „Simetrie”. Și am decis să creăm un proiect pe această temă, pentru că... În manualul de geometrie, se acordă puțină atenție studierii temei „Simetrie”, în timp ce elevii pun adesea întrebarea: de ce este nevoie, unde se găsește, de ce este studiat.

Dar simetria se găsește în natură, și în știință și în artă - unitatea și opoziția simetriei se găsesc în orice.

Simetria este caracteristică diverselor fenomene care stau la baza tuturor lucrurilor; ea descrie multe fenomene ale vieții și multe științe

În urma muncii noastre, ne-am pus următoarele întrebări:

De ce trebuie să știi simetria, unde în lumea din jurul tău apare aceasta?

Ne-am propus un obiectiv:

formează idei despre simetrie , prin sistematizarea cunoștințelor despre simetrie, precum și prin analiza fenomenelor naturale și a activității umane.

Pentru a dezvălui tema lucrării noastre de cercetare, au fost stabilite următoarele sarcini:

Învață să recunoști, printre altele, figuri simetrice.

Familiarizați-vă cu utilizarea simetriei în natură, viața de zi cu zi, artă și tehnologie.

Demonstrați aplicațiile variate ale matematicii în viața reală.

Realizează gradul de interes pentru subiect și evaluează posibilitățile de a-l stăpâni din punct de vedere al unei perspective viitoare (arată posibilitățile de aplicare a cunoștințelor dobândite în viitoarea ta profesie de artist, arhitect, biolog, inginer civil).

Pentru a scrie lucrarea, am folosit diverse metode:

studiul și analiza literaturii științifice;

metoda de generalizare inductivă, specificare;

utilizarea echipamentelor informatice.

Capitolul 1. Primele idei despre simetrie

În acest capitol descriem primele idei despre simetrie, informații istorice pe această temă; sunt date câteva exemple de figuri simetrice; sunt luate în considerare exemple cu caracter de cercetare pe tema: „Simetrie”.

Dezvoltarea istorică și înțelegerea conceptului de simetrie

În procesul de dezvoltare istorică și înțelegere a simetriei, o etapă specială a simetriei ca măsură a frumuseții și armoniei este asociată cu munca remarcabilului matematician Hermann Weyl „Simetria” (1952). G. Weil a înțeles simetria ca nemăsurabilitate (invarianța) oricărui obiect în timpul transformărilor: un obiect este simetric în cazul în care este supus unei anumite operații, după care va arăta la fel ca înainte de transformare.

Cuvântul grecesc „simetrie” înseamnă „proporționalitate”, „proporționalitate”, „asemănare în aranjarea părților”. Cu toate acestea, cuvântul „simetrie” este adesea înțeles ca un concept mai larg: regularitatea schimbărilor în anumite fenomene (anotimpuri, zi și noapte etc.), echilibrul dintre stânga și dreapta, egalitatea fenomenelor naturale. De fapt, avem de-a face cu simetrie oriunde se observă orice ordine. Conceptul de simetrie a fost utilizat pe scară largă în psihologie și morală. Astfel, marele Aristotel credea că simetria are sensul unei anumite măsuri medii la care o persoană virtuoasă ar trebui să se străduiască în acțiunile sale. Medicul roman Galen (secolul al II-lea d.Hr.) a înțeles simetria ca o stare de spirit la fel de îndepărtată de ambele extreme, de exemplu, de durere și bucurie, apatie și entuziasm. Simetria, înțeleasă ca pace și echilibru, se opune haosului și dezordinei. Acest lucru este dovedit de gravura lui Marius Escher „Ordinea și haosul” (Fig. 196), unde, așa cum a scris artistul însuși, „un dodecaedru stelat, un simbol al frumuseții și ordinii, este înconjurat de o sferă transparentă. Reflectă o colecție fără sens de lucruri inutile.”

Idee matematică de simetrie

Ideile despre simetrie prezentate mai sus sunt de natură generală și nu sunt exacte și stricte pentru matematică.

Definiția 1. Simetrie – aceasta este proporționalitatea, aceeași în aranjarea părților a ceva pe laturile opuse ale unui punct, drept sau plan.

O definiție matematică strictă a simetriei s-a format relativ recent - în secolul al XIX-lea, când au fost introduse conceptele de oglindă și simetrie rotațională.

Rozetele și fulgii de nea sunt figuri simetrice și foarte frumoase.

În planimetrie, există simetrie axială (simetrie față de o linie dreaptă), simetrie centrală (simetrie față de un punct), precum și rotațională, oglindă și portabilă.

Definiția 2. Două puncte A și A 1 sunt numite simetric fata de dreapta a, dacă această dreaptă trece prin mijlocul segmentului AA 1 și este perpendiculară pe acesta.

Fiecare punct este drept A

Definiția 2 . Se spune că figura este simetrică în raport cu o linie dreaptă A, dacă pentru fiecare punct al figurii există un punct simetric față de el față de dreapta A aparține și acestei figuri. Drept A numit axa de simetrie cifre. Se spune că cifra are simetrie axială. Forme care au o axă de simetrie: dreptunghi, romb, pătrat, triunghi echilateral, triunghi isoscel, cerc etc.

DESPRE
definiția 3. Două puncte A și A 1 sunt numite simetric fata de punctul O, dacă O este mijlocul segmentului AA 1. Punct DESPRE este considerat simetric fata de sine.

Definiția 4. Cifra este numită simetric fata de punctul O, dacă pentru fiecare punct al figurii există un punct simetric față de acesta în raport cu punctul DESPRE aparține și acestei figuri. Punct DESPRE, numit centrul de simetrie al figurii. Se spune că cifra are simetria centrală. Exemple de figuri care au simetrie centrală: cerc, paralelogram, triunghi etc.

Matematica studiază multe figuri care au atât simetrie axială, cât și centrală (cerc, pătrat etc.), doar simetrie axială (de exemplu, un triunghi isoscel) și doar simetrie centrală (de exemplu, un paralelogram general).

Pentru a înțelege acest subiect, am efectuat o serie de sarcini de cercetare.

Sarcini de cercetare.

Exercitiul 1. Pe o linie dreaptă AB găsiți un punct a cărui distanță este suma a două puncte date MȘi N ar fi cel mai mic.

Discuţie.1 caz. Lăsa MȘi N se află pe părțile opuse ale , cea mai scurtă distanță dintre ele este
, prin urmare, punctul necesar X se află la intersecția și .

ÎN orice alt punct Drept AB nu are această proprietate, din moment ce
.

Cazul 2 . MȘi N culca pe o parte Construieste M 1 , simetric M relativ la , după care problema se reduce la cazul 1. dacă

Atunci punctul necesar X este punctul de intersecție al dreptelor MNȘi AB.

Sarcina 2. Date linii drepte ABși puncte MȘi N. Găsește pe un astfel de punct astfel încât diferența (modulo distanța sa de puncte MȘi N a fost cel mai mare.

DESPRE discuţie.1 caz. Puncte MȘi N se află pe o parte a dreptei AB (și, în plus, la distanțe diferite de aceasta. Apoi punctul X al dreptei AB, pentru care diferența de distanțe față de punctele MȘi N cel mai mare, este punctul de intersecție al dreptei AB cu continuarea segmentului MN. Apoi
orice alt punct X 1 al dreptei AB nu are această proprietate, deoarece
(un corolar al axiomei triunghiului). Dacă MȘi N este la aceeași distanță de , problema nu are soluție.

2petrecându-se. Puncte MȘi N culcați pe părțile opuse ale . Apoi punctul necesar
, Unde
.

Dacă puncte MȘi N sunt pe părți opuse și la aceeași distanță de acesta, atunci problema nu are soluții.

Sarcina 3. Investigați dacă următoarele au un centru de simetrie: 1) un segment; 2) grinda; 3) pătrat.

Discuţie. 1) da; 2) nu; 3 da

Sarcina 4. Investigați care dintre următoarele puncte ale alfabetului latin au un centru de simetrie: A, O, M, X.

Discuţie. O și X

Discuţie. 1) doi; 2) „mulțime infinită”: orice dreaptă perpendiculară pe una dată, precum și linia în sine; 3) unul.

Sarcina 6. Explorați care dintre următoarele litere au o axă de simetrie: A, B, d, E, O în alfabet.

Discuţie. A, E, O

Concluzie: Aceste exemple ne arată că chiar și punctele din alfabet au o poziție simetrică. Diverse forme geometrice au o axă de simetrie.

Simetria ornamentului vechi rusesc

D Ornamentul rusesc se caracterizează atât prin forme vegetale, cât și geometrice, precum și prin imagini cu păsări, animale și animale fantastice. Ornamentul rusesc este exprimat în mod clar în sculptură în lemn și broderie. Cele mai utilizate au fost așa-numitele împletituri - panglici care se întrepătrund, curele și tulpini de flori. În secolul al XVII-lea Arhitectul Stepan Ivanov a creat faimosul său ornament „Ochi de păun”.

Potrivit academicianului B. A. Rybakov, un celebru arheolog și istoric de renume mondial, baza ornamentului vechi rusesc includea idei universale, diferite despre lume. Conștiința slavului antic a fost condiționată de percepțiile mitologice ale realității. Toate acestea s-au reflectat în motivele caracteristice ornamentului rusesc.

Motiv împletituri, caracteristică brățărilor Rusal, pe care B. A. Rybakov le-a interpretat ca un semn al apei și al regatului domnitorului subteran Pereplut.

Motiv antic zeița Mokoshi ca întruchipare specifică a ideii Marelui Strămoș, comună tuturor popoarelor la o anumită etapă a existenței istorice. Mokosha (Makosh) este singura imagine feminină din mitologia rusă antică. Numele ei aduce în minte flegmă, umezeală, apă. Mokosh a patronat toate activitățile femeilor, în special spinning, și era venerat în principal de femei.

Motiv copacul Vieții.

Printre modelele tradiționale folosite de secole în artele decorative și aplicate rusești se numără un model care înfățișează arborele vieții cu păsări situate simetric pe sau în apropierea acestuia.

Vechiul ornament rusesc combina apa, ploaia, soarele și flora în părțile sale supraterane și subterane (rădăcină).

Elementul de apă a fost reprezentat de șiruri de puncte și linii care reproduc picăturile de ploaie, precum și linii în zig-zag, care servesc ca exemplu de simetrie figurativă.

Pământul era reprezentat printr-un dreptunghi, împărțit prin diagonale în patru părți cu un model care se repetă în ele. Această configurație este caracterizată de simetria axială în combinație cu simetria centrală. Aceste tipuri de simetrie predomină în reprezentarea lumii vegetale.

Din cele mai vechi timpuri, ornamentul rusesc a dezvoltat un sistem special de aranjare a simbolurilor reprezentând mișcarea Soarelui în jurul Pământului. Există mai multe tipuri de semne solare; ele se caracterizează prin simetrie de rotație. Cel mai comun este un cerc împărțit pe raze în diferite sectoare („Roata lui Jupiter”), precum și un cerc cu o cruce în interior.

Concluzie: După ce am analizat literatura despre această problemă, am ajuns la concluzia că simbolurile simetrice se găsesc adesea în ornamentele antice rusești. În bijuteriile tradiționale naționale și articolele de uz casnic puteți găsi toate tipurile de simetrie pe un plan: centrală, axială, rotativă, portabilă.

1.4. Simetria de-a lungul secolelor

În reflecțiile sale asupra imaginii lumii, oamenii folosesc activ ideea de simetrie de mult timp. Potrivit legendei, termenul de „simetrie” a fost inventat de sculptorul Pitagora din Rhegium, care locuia în orașul Regulus. El a definit abaterea de la simetrie prin termenul „asimetrie”. Grecii antici credeau că universul este simetric pur și simplu pentru că este frumos. Considerând sfera ca fiind cea mai simetrică și perfectă formă, au ajuns la concluzia că Pământul era sferic și că se mișca pe o sferă în jurul unui anumit „foc central”, unde cele 6 planete cunoscute atunci se mișcau și ele împreună cu Luna, Soarele, iar stelele.

Reprezentanții primei școli științifice din istoria omenirii, adepți ai lui Pitagora din Samoa, au încercat să conecteze simetria cu numărul.

Folosind pe scară largă ideea de armonie și simetrie, oamenii de știință antici le plăcea să se îndrepte nu numai către forme sferice, ci și către poliedre regulate, pentru construcția cărora au folosit „raportul de aur”. Poliedrele regulate au fețe care sunt poligoane regulate de același tip, iar unghiurile dintre fețe sunt egale. Grecii antici au stabilit un fapt uimitor: există doar cinci poliedre convexe regulate, ale căror nume sunt asociate cu numărul de fețe - tetraedru, octaedru, icosaedru, cub, dodecaedru.

Capitolul 2. Simetria în jurul nostru

Acest capitol descrie o teorie care indică diverse reprezentări ale simetriei în natură, în acest capitol demonstrăm că structurile create de om au și figuri simetrice;

2.1. Rolul simetriei în cunoașterea naturii

Simetria cristalelor este o consecință a structurii lor interne: atomii și moleculele lor au un aranjament reciproc ordonat, formând o rețea simetrică de atomi - așa-numita rețea cristalină.

Elementele de simetrie lipsă au fost identificate de academicianul Axel Vilhelmovici Gadolin (1828-1892). Celebrul profesor de mineralogie din orașul german Marburg Johann Hessel în 1830. Și-a publicat lucrarea despre simetria cristalelor. Din anumite motive, munca lui a trecut neobservată. Dar în 1897 Lucrarea lui Hessel a fost republicată, iar de atunci numele lui a intrat în istoria științei.

ȘI Astfel, au învățat să studieze și să compare simetria cristalelor. Există 9 elemente de simetrie și doar 32 de seturi diferite de elemente de simetrie - grupuri de simetrie, care determină forma exterioară a cristalelor. Dar, deoarece numărul de elemente de simetrie ale cristalelor este finit, atunci numărul mulțimilor lor - combinații care descriu simetria formei externe - este finit. Rezultă că simetria este o lege strictă și cuprinzătoare care guvernează regnul cristalelor. Determină forma cristalului, numărul fețelor și marginilor sale și, de asemenea, îi dictează structura internă.

Simetria poate fi găsită la creaturile marine, cum ar fi stelele de mare, aricii de mare și unele meduze.

eu
Frunzele, ramurile, florile și fructele plantelor au o simetrie puternică. Unele dintre ele se caracterizează doar prin simetrie în oglindă, sau numai prin simetrie rotațională, alunecare.

Este interesant că printre plantele aceleiași specii există și cele care au atât structuri ale frunzelor din stânga cât și din dreapta.

Natura vie este caracterizată nu numai de tipuri binecunoscute de simetrie. Astfel, tulpina curbată a unei plante și forma răsucită a unei moluște nu sunt mai puțin simetrice decât un cristal. Dar aceasta este o simetrie diferită - curbilinie, care a fost descoperită în 1926.

Și în 1960 Academicianul A.V. Şubnikov a introdus în considerare simetria asemănării. Figuri similare sunt considerate a fi de aceeași formă. Simetria similarității constă în transferul (rotirea) unei figuri în timp ce simultan micșorând sau mărind dimensiunea acesteia.

Simetria în structurile arhitecturale

Simetria domină nu numai în natură, ci și în creativitatea umană. Lucrările de arhitectură demonstrează exemple excelente de simetrie. Clădirile vechi rusești sunt interesante, în special bisericile din lemn. Subțire și expresivă, tăiată în cifre de opt, i.e. cu corturi octogonale simetrice, ele corespundeau perfect conceptului de frumos în Rus' medieval.

Un exemplu este Catedrala Sf. Vasile din Piața Roșie din Moscova. Templul este format din zece temple diferite, fiecare dintre acestea fiind strict simetrică, dar în ansamblu nu are nici o oglindă, nici simetrie de rotație.

M Este posibil să oferim multe exemple de utilizare a simetriei și asimetriei în sculptură. De exemplu, sculptura maestrului peloponezian de la școala lui Pitagora „Cărușul delfic”, care îl înfățișează pe câștigătorul la concursurile de căruțe trase de cai. Figura unui tânăr într-un chiton lung este în general simetrică, dar o ușoară rotație a trunchiului și a capului rupe simetria oglinzii, ceea ce creează iluzia mișcării, iar statuia pare vie.

Louis Pasteur credea că asimetria este cea care distinge trăirea de neviu, crezând că simetria este gardianul păcii, iar asimetria este motorul vieții. Un exemplu al modului în care paradoxul simetriei servește nu numai pentru a transmite mișcarea, ci și pentru a spori impresia este imaginea unei vaze grecești din Peștera Kamares de pe insula Creta.

Concluzie

Simetria este ceva comun, caracteristic diferitelor fenomene, care stă la baza tuturor lucrurilor, iar asimetria exprimă anumite caracteristici individuale ale lucrurilor și fenomenelor. În natură, în știință și în artă, unitatea și opoziția dintre simetrie și asimetrie se dezvăluie în orice. Lumea există datorită unității acestor două opuse.

După ce am analizat lucrarea, am ajuns la concluzia că simetria se găsește adesea în artă, arhitectură, tehnologie și viața de zi cu zi. Astfel, fațadele multor clădiri au simetrie axială. În cele mai multe cazuri, modelele de pe covoare, țesături și tapet de interior sunt simetrice față de axă sau centru. Multe părți ale mecanismelor, cum ar fi angrenajele, sunt simetrice.

Ca rezultat al proiectului:

cunoștințe extinse despre simetrie;

a învăţat ce fenomene din viaţă şi

unele științe sunt descrise prin simetrie;

noi tehnici practice: lucrul cu literatură educațională, științifică și educațională;

a generalizat conceptele, ideile, cunoștințele pe care urmărește să le obțină rezultatul proiectului: ne-am uitat la unde apare simetria în viață.

Bibliografie

Afanasyev A.N., Mitologia Rusiei antice. – M.: Eksmo, 2006.

Weil G. Simetrie. – Ed. al 2-lea, șters – M.: URSS unificat, 2003.

Gnedengo B.V. Eseuri despre istoria matematicii în Rusia. – Ed. a II-a, rev. si suplimentare – M.: KomKniga, 2005.

Motive fine în broderia populară rusă. Muzeul de Artă Populară. – M.: Rusia Sovietică, 1990.

Klimova N. T. Ornamentul popular în compoziția produselor artistice. – M.: Arte plastice, 1993.

Ne obișnuim cu conceptul de simetrie încă din copilărie. Știm că un fluture este simetric: aripile drepte și stângi sunt aceleași; o roată simetrică ale cărei sectoare sunt identice; modele simetrice de ornamente, stele de fulgi de nea.

O literatură cu adevărat vastă este dedicată problemei simetriei. De la manuale și monografii științifice până la lucrări care acordă atenție nu atât la desene și formule, cât la imagini artistice.

Însuși termenul „simetrie” în greacă înseamnă „proporționalitate”, pe care filozofii antici l-au înțeles ca un caz special de armonie - coordonarea părților în întreg. Din cele mai vechi timpuri, multe popoare au avut ideea de simetrie în sens larg - ca echivalent al echilibrului și armoniei.

Simetria este unul dintre cele mai fundamentale și unul dintre cele mai generale modele ale universului: natura neînsuflețită, vie și societate. O întâlnim peste tot. Conceptul de simetrie străbate întreaga istorie veche de secole a creativității umane. Se găsește deja la originile cunoașterii umane; este utilizat pe scară largă de toate domeniile științei moderne, fără excepție. Obiectele cu adevărat simetrice ne înconjoară literalmente din toate părțile; avem de-a face cu simetrie oriunde se observă orice ordine. Se dovedește că simetria este echilibru, ordine, frumusețe, perfecțiune. Este divers, omniprezent. Ea creează frumusețe și armonie. Simetria pătrunde literalmente în întreaga lume din jurul nostru, motiv pentru care subiectul pe care l-am ales va fi întotdeauna relevant.

Simetria exprimă păstrarea a ceva în ciuda unor modificări sau păstrarea a ceva în ciuda unei schimbări. Simetria presupune invariabilitatea nu numai a obiectului în sine, ci și a oricărei proprietăți ale acestuia în raport cu transformările efectuate asupra obiectului. Imuabilitatea anumitor obiecte poate fi observată în raport cu diverse operații - rotații, translații, înlocuire reciprocă a pieselor, reflexii etc. În acest sens, se disting diferite tipuri de simetrie. Să ne uităm la toate tipurile mai detaliat.

SIMETRIA AXIALĂ.

Simetria în jurul unei linii drepte se numește simetrie axială (reflexia în oglindă asupra unei linii drepte).

Dacă punctul A se află pe axa l, atunci este simetric față de el însuși, adică A coincide cu A1.

În special, dacă, la transformarea simetriei față de axa l, figura F se transformă în sine, atunci se numește simetrică față de axa l, iar axa l se numește axa ei de simetrie.

SIMETRIA CENTRALĂ.

O figură se numește simetrică centrală dacă există un punct față de care fiecare punct al figurii este simetric față de un punct al aceleiași figuri. Și anume: mișcarea care schimbă direcțiile față de cele opuse este simetrie centrală.

Punctul O se numește centru de simetrie și este nemișcat. Această transformare nu are alte puncte fixe. Exemple de figuri care au un centru de simetrie sunt un paralelogram, un cerc etc.

Conceptele familiare de rotație și translație paralelă sunt utilizate în definiția așa-numitei simetrii translaționale. Să ne uităm la simetria translației mai detaliat.

1. ÎNTORCI

O transformare în care fiecare punct A al unei figuri (corp) este rotit cu același unghi α în jurul unui centru dat O se numește rotație sau rotație a planului. Punctul O se numește centru de rotație, iar unghiul α se numește unghi de rotație. Punctul O este un punct fix al acestei transformări.

Simetria de rotație a cilindrului circular este interesantă. Are un număr infinit de axe rotative de ordinul 2 și o axă de rotație de ordinul infinit infinit.

2. TRANSFER PARALEL

O transformare în care fiecare punct al unei figuri (corp) se mișcă în aceeași direcție cu aceeași distanță se numește translație paralelă.

Pentru a specifica o transformare de translație paralelă, este suficient să specificați vectorul a.

3. SIMETRIA DE ALUNESARE

Simetria de alunecare este o transformare în care simetria axială și translația paralelă sunt efectuate secvenţial. Simetria de alunecare este o izometrie a planului euclidian. Simetria de alunecare este o compoziție de simetrie față de o linie l și translație într-un vector paralel cu l (acest vector poate fi, de asemenea, zero).

Simetria de alunecare poate fi reprezentată ca o compoziție a 3 simetrii axiale (teorema lui Chales).

SIMmetria oglinzii

Ce ar putea fi mai mult ca mâna sau urechea mea decât propria lor reflectare în oglindă? Și totuși mâna pe care o văd în oglindă nu poate fi pusă în locul mâinii adevărate.

Immanuel Kant.

Dacă o transformare de simetrie față de un plan transformă o figură (corp) în sine, atunci figura se numește simetrică față de plan, iar acest plan se numește planul de simetrie al acestei figuri. Această simetrie se numește simetrie în oglindă. După cum sugerează și numele, simetria oglinzii conectează un obiect și reflectarea acestuia într-o oglindă plană. Două corpuri simetrice nu pot fi „cuibărate unul în celălalt”, deoarece, în comparație cu obiectul în sine, dublul său oglindă-oglindă se dovedește a fi întors pe direcția perpendiculară pe planul oglinzii.

Figurile simetrice, cu toate asemănările lor, diferă semnificativ unele de altele. Dublul observat în oglindă nu este o copie exactă a obiectului în sine. Oglinda nu copiază pur și simplu obiectul, ci schimbă (reprezintă) părțile din față și din spate ale obiectului în raport cu oglinda. De exemplu, dacă alunița este pe obrazul drept, atunci dublu-ul din oglindă este în stânga. Ține o carte lângă oglindă și vei vedea că literele par a fi întoarse pe dos. Totul în oglindă este rearanjat de la dreapta la stânga.

Corpurile sunt numite corpuri egale în oglindă dacă, cu o deplasare adecvată, pot forma două jumătăți ale unui corp simetric în oglindă.

2. 2 Simetrie în natură

O figură are simetrie dacă există o mișcare (transformare neidentică) care o transformă în sine. De exemplu, o figură are simetrie de rotație dacă este translatată în sine printr-o anumită rotație. Dar în natură, cu ajutorul matematicii, frumusețea nu este creată, ca în tehnologie și artă, ci este doar înregistrată și exprimată. Nu numai că mulțumește ochiul și inspiră poeții din toate timpurile și popoarele, dar permite organismelor vii să se adapteze mai bine la mediul lor și pur și simplu să supraviețuiască.

Structura oricărei forme vii se bazează pe principiul simetriei. Din observarea directă putem deduce legile geometriei și simțim perfecțiunea lor incomparabilă. Această ordine, care este o necesitate firească, deoarece nimic din natură nu servește scopurilor pur decorative, ne ajută să găsim armonia generală pe care se bazează întregul univers.

Vedem că natura proiectează orice organism viu după un anumit model geometric, iar legile universului au o justificare clară.

Principiile simetriei stau la baza teoriei relativității, mecanicii cuantice, fizica stării solide, fizica atomică și nucleară și fizica particulelor. Aceste principii sunt exprimate cel mai clar în proprietățile de invarianță ale legilor naturii. Vorbim nu numai despre legile fizice, ci și despre altele, de exemplu, cele biologice.

Vorbind despre rolul simetriei în procesul cunoașterii științifice, ar trebui să subliniem în special utilizarea metodei analogiilor. Potrivit matematicianului francez D. Polya, „nu există, poate, nicio descoperire nici în matematică elementară, nici în matematică superioară, sau, poate, în orice alt domeniu care ar putea fi făcută fără analogii. Majoritatea acestor analogii se bazează pe rădăcini comune”. tipare generale care se manifestă în același mod la diferite niveluri ale ierarhiei.

Deci, în înțelegerea modernă, simetria este o categorie filozofică științifică generală care caracterizează structura organizării sistemelor. Cea mai importantă proprietate a simetriei este păstrarea (invarianța) anumitor caracteristici (geometrice, fizice, biologice etc.) în raport cu transformări bine definite. Aparatul matematic pentru studierea simetriei astăzi este teoria grupurilor și teoria invarianților.

Simetria în lumea plantelor

Structura specifică a plantelor este determinată de caracteristicile habitatului la care se adaptează. Orice copac are o bază și un vârf, un „vârf” și un „de jos” care îndeplinesc diferite funcții. Semnificația diferenței dintre părțile superioare și inferioare, precum și direcția gravitației, determină orientarea verticală a axei de rotație a „conului de lemn” și planurile de simetrie. Un copac, cu ajutorul sistemului radicular, absoarbe umezeala și substanțele nutritive din sol, adică de jos, iar funcțiile vitale rămase sunt îndeplinite de coroană, adică de deasupra. În același timp, direcțiile într-un plan perpendicular pe verticală sunt practic imposibil de distins pentru un copac; în toate aceste direcții, aerul, lumina și umiditatea intră în copac în mod egal.

Arborele are o axă de rotație verticală (axa conului) și planuri verticale de simetrie.

Când vrem să desenăm o frunză de plantă sau fluture, trebuie să ținem cont de simetria lor axială. nervura mediană a frunzei servește ca axă de simetrie. Frunzele, ramurile, florile și fructele au o simetrie pronunțată. Frunzele se caracterizează prin simetrie în oglindă. Aceeași simetrie se găsește și în flori, dar în ele simetria în oglindă apare adesea în combinație cu simetria rotațională. De asemenea, sunt frecvente cazuri de simetrie figurativă (ramuri de salcâm, rowan).

În lumea diversă a culorilor, există axe rotative de diferite ordine. Cu toate acestea, cea mai comună este simetria rotațională de ordinul 5. Această simetrie se găsește la multe flori sălbatice (clopot, nu-mă-uita, mușcate, garoafe, sunătoare, cinquefoil), în florile pomilor fructiferi (cireș, măr, par, mandarine etc.), în flori. de plante fructifere și fructe de pădure (căpșuni, zmeură, viburnum, cireș de păsări, rowan, măceș, păducel), etc.

Academicianul N. Belov explică acest fapt prin faptul că axa de ordinul 5 este un fel de instrument al luptei pentru existență, „asigurarea împotriva pietrificării, cristalizării, al cărei prim pas ar fi capturarea lor de către rețea”. Într-adevăr, un organism viu nu are o structură cristalină în sensul că nici măcar organele sale individuale nu au o rețea spațială. Cu toate acestea, structurile ordonate sunt reprezentate foarte larg în el.

În cartea sa „This Right, Left World”, M. Gardner scrie: „Pe Pământ, viața și-a luat naștere sub forme simetrice sferice și apoi a început să se dezvolte pe două linii principale: s-a format lumea plantelor cu simetrie conică, iar lumea a animalelor cu simetrie bilaterală.”

În natură, există corpuri care au simetrie elicoidală, adică alinierea cu poziția lor inițială după rotație cu un unghi în jurul unei axe, cu o deplasare suplimentară de-a lungul aceleiași axe.

Dacă este un număr rațional, atunci axa de rotație se dovedește a fi și axa de translație.

Frunzele de pe tulpină nu sunt aranjate în linie dreaptă, ci înconjoară ramura într-o spirală. Suma tuturor etapelor anterioare ale spiralei, începând de la vârf, este egală cu valoarea pasului următor A+B=C, B+C=D etc.

Simetria elicoidală se observă în aranjarea frunzelor pe tulpinile majorității plantelor. Aranjate în spirală de-a lungul tulpinii, frunzele par să se întindă în toate direcțiile și nu se blochează reciproc de lumină, ceea ce este extrem de necesar pentru viața plantelor. Acest fenomen botanic interesant se numește filotaxie (literalmente „aranjament de frunze”).

O altă manifestare a filotaxiei este structura inflorescenței unei floarea-soarelui sau solzii unui con de brad, în care solzii sunt aranjați sub formă de spirale și linii elicoidale. Acest aranjament se observă în mod deosebit în ananas, care are celule mai mult sau mai puțin hexagonale care formează rânduri care rulează în direcții diferite.

Simetria în lumea animală

Semnificația formei de simetrie pentru un animal este ușor de înțeles dacă este legată de modul de viață și de condițiile de mediu. Simetria la animale înseamnă corespondența în dimensiune, formă și contur, precum și aranjarea relativă a părților corpului situate pe părțile opuse ale liniei de separare.

Simetria rotațională de ordinul 5 se găsește și în lumea animală. Aceasta este o simetrie în care un obiect se aliniază cu el însuși atunci când este rotit în jurul unei axe de rotație de 5 ori. Exemplele includ stea de mare și coajă de arici de mare. Întreaga piele a stelelor de mare este încrustă cu plăci mici de carbonat de calciu care se extind din unele dintre plăci, dintre care unele sunt mobile. O stea de mare obișnuită are 5 planuri de simetrie și 1 axă de rotație de ordinul 5 (aceasta este cea mai mare simetrie dintre animale). Strămoșii ei par să fi avut o simetrie mai mică. Acest lucru este dovedit, în special, de structura larvelor stele: ele, ca majoritatea ființelor vii, inclusiv oamenii, au un singur plan de simetrie. Stelele de mare nu au un plan orizontal de simetrie: au un „de sus” și un „de jos”. Aricii de mare sunt ca niște pernițe vii; corpul lor sferic poartă ace lungi și mobile. La aceste animale, plăcile calcaroase ale pielii s-au contopit și au format o carapace sferică. Există o gură în centrul suprafeței inferioare. Picioarele ambulacrale (sistemul apă-vascular) sunt colectate în 5 dungi pe suprafața cochiliei.

Cu toate acestea, spre deosebire de lumea plantelor, simetria rotațională este rar observată în lumea animală.

Insectele, peștii, ouăle și animalele se caracterizează printr-o diferență între direcțiile „înainte” și „înapoi” care este incompatibilă cu simetria rotațională.

Direcția de mișcare este o direcție fundamental aleasă, față de care nu există simetrie la nicio insectă, nicio pasăre sau pește, nici un animal. În această direcție animalul se grăbește după hrană, în aceeași direcție scapă de urmăritorii săi.

Pe lângă direcția de mișcare, simetria ființelor vii este determinată de o altă direcție - direcția gravitației. Ambele direcții sunt semnificative; ele definesc planul de simetrie al unei fiinţe animale.

Simetria bilaterală (oglindă) este simetria caracteristică tuturor reprezentanților lumii animale. Această simetrie este clar vizibilă la fluture. Simetria aripilor stanga si dreapta apare aici cu rigoare aproape matematica.

Putem spune că fiecare animal (precum și insectele, peștii, păsările) este format din două enantiomorfe - jumătatea dreaptă și stânga. Enantiomorfii sunt, de asemenea, părți pereche, dintre care una cade în jumătatea dreaptă și cealaltă în jumătatea stângă a corpului animalului. Astfel, enantiomorfii sunt urechea dreapta si stanga, ochiul drept si stanga, cornul drept si stanga etc.

Simplificarea condițiilor de viață poate duce la o încălcare a simetriei bilaterale, iar animalele de a fi simetrice bilateral devin simetrice radial. Acest lucru se aplică echinodermelor (stelele de mare, aricii de mare, crinoizii). Toate animalele marine au simetrie radială, în care părți ale corpului iradiază departe de o axă centrală, precum spițele unei roți. Gradul de activitate al animalelor se corelează cu tipul lor de simetrie. Echinodermele simetrice radial sunt de obicei slab mobile, se mișcă încet sau sunt atașate de fundul mării. Corpul unei stele de mare este format dintr-un disc central și 5-20 sau mai multe raze care radiază din acesta. În limbajul matematic, această simetrie se numește simetrie rotațională.

Să remarcăm în sfârșit simetria în oglindă a corpului uman (vorbim despre aspectul și structura scheletului). Această simetrie a fost întotdeauna și este principala sursă a admirației noastre estetice pentru corpul uman bine proporționat. Să nu ne dăm seama deocamdată dacă există cu adevărat o persoană absolut simetrică. Toată lumea, desigur, va avea o aluniță, o șuviță de păr sau un alt detaliu care rupe simetria externă. Ochiul stâng nu este niciodată exact la fel cu cel drept, iar colțurile gurii sunt la înălțimi diferite, cel puțin pentru majoritatea oamenilor. Totuși, acestea sunt doar neconcordanțe minore. Nimeni nu se va îndoi că în exterior o persoană este construită simetric: mâna stângă corespunde întotdeauna cu cea dreaptă și ambele mâini sunt exact aceleași.

Toată lumea știe că asemănarea dintre mâinile noastre, urechile, ochii și alte părți ale corpului este aceeași ca între un obiect și reflectarea lui într-o oglindă. Problemele de simetrie și reflexie în oglindă sunt cele care li se acordă atenție aici.

Mulți artiști au acordat o atenție deosebită simetriei și proporțiilor corpului uman, cel puțin atâta timp cât au fost ghidați de dorința de a urmări natura cât mai îndeaproape în lucrările lor.

În școlile moderne de pictură, dimensiunea verticală a capului este cel mai adesea luată ca o singură măsură. Cu o anumită presupunere, putem presupune că lungimea corpului este de opt ori dimensiunea capului. Mărimea capului este proporțională nu numai cu lungimea corpului, ci și cu dimensiunea altor părți ale corpului. Toți oamenii sunt construiți pe acest principiu, motiv pentru care suntem, în general, asemănători unii cu alții. Cu toate acestea, proporțiile noastre sunt doar aproximativ consistente și, prin urmare, oamenii sunt doar similari, dar nu la fel. În orice caz, toți suntem simetrici! În plus, unii artiști subliniază în mod special această simetrie în lucrările lor.

Simetria noastră oglindă este foarte convenabilă pentru noi, ne permite să ne mișcăm drept și să cotim la dreapta și la stânga cu aceeași ușurință. Simetria oglinzii este la fel de convenabilă pentru păsări, pești și alte creaturi care se mișcă activ.

Simetria bilaterală înseamnă că o parte a corpului unui animal este o imagine în oglindă a celeilalte părți. Acest tip de organizare este caracteristic majorității nevertebratelor, în special anelidelor și artropodelor - crustacee, arahnide, insecte, fluturi; pentru vertebrate - pești, păsări, mamifere. Simetria bilaterală apare mai întâi la viermii plati, în care capetele anterioare și posterioare ale corpului diferă unele de altele.

Să luăm în considerare un alt tip de simetrie care se găsește în lumea animală. Aceasta este simetria elicoidală sau spirală. Simetria elicoidală este simetria în raport cu combinația a două transformări - rotație și translație de-a lungul axei de rotație, adică există mișcare de-a lungul axei șurubului și în jurul axei șurubului.

Exemple de elice naturale sunt: ​​colțul unui narval (un mic cetaceu care trăiește în mările nordice) - elice stângă; coajă de melc – șurub drept; Coarnele berbecului Pamir sunt enantiomorfe (un corn este răsucit într-o spirală cu mâna stângă, iar celălalt într-o spirală cu mâna dreaptă). Simetria spirală nu este ideală, de exemplu, coaja moluștelor se îngustează sau se lărgește la capăt. Deși simetria elicoidală externă este rară la animalele pluricelulare, multe molecule importante din care sunt construite organismele vii - proteine, acizi dezoxiribonucleici - ADN-ul au o structură elicoidală.

Simetria în natura neînsuflețită

Simetria cristalelor este proprietatea cristalelor de a se alinia cu ele însele în diferite poziții prin rotație, reflexie, translație paralelă sau o parte sau o combinație a acestor operații. Simetria formei exterioare (tăietura) a unui cristal este determinată de simetria structurii sale atomice, care determină și simetria proprietăților fizice ale cristalului.

Să aruncăm o privire mai atentă asupra formelor cu mai multe fațete ale cristalelor. În primul rând, este clar că cristalele din diferite substanțe diferă unele de altele prin forme. Sarea gemă este întotdeauna cuburi; cristal de stâncă - prisme întotdeauna hexagonale, uneori cu capete sub formă de piramide triedrice sau hexagonale; diamant - cel mai adesea octaedre regulate (octaedre); gheața este prisme hexagonale, foarte asemănătoare cu cristalul de stâncă, iar fulgii de zăpadă sunt întotdeauna stele cu șase colțuri. Ce îți atrage atenția când te uiți la cristale? În primul rând, simetria lor.

Mulți oameni cred că cristalele sunt pietre frumoase, rare. Ele vin în culori diferite, sunt de obicei transparente și, cel mai bine, au o formă frumoasă, obișnuită. Cel mai adesea, cristalele sunt poliedre, laturile lor (fețele) sunt perfect plate, iar marginile lor sunt strict drepte. Ele încântă ochiul cu jocul minunat de lumină din marginile lor și corectitudinea uimitoare a structurii lor.

Cu toate acestea, cristalele nu sunt deloc rarități ale muzeului. Cristalele ne înconjoară peste tot. Solidele din care construim case și mașini, substanțele pe care le folosim în viața de zi cu zi - aproape toate aparțin cristalelor. De ce nu vedem asta? Faptul este că, în natură, rar întâlnim corpuri sub formă de cristale simple separate (sau, după cum se spune, cristale simple). Cel mai adesea, substanța se găsește sub formă de boabe cristaline strâns lipite de o dimensiune foarte mică - mai puțin de o miime de milimetru. Această structură poate fi văzută doar la microscop.

Corpurile formate din boabe cristaline sunt numite fin cristaline sau policristaline („poli” - în greacă „multe”).

Desigur, corpurile fin cristaline ar trebui, de asemenea, clasificate drept cristale. Apoi se dovedește că aproape toate corpurile solide din jurul nostru sunt cristale. Nisip și granit, cupru și fier, vopsele - toate acestea sunt cristale.

Există excepții; sticla și materialele plastice nu sunt formate din cristale. Astfel de solide se numesc amorfe.

A studia cristalele înseamnă a studia aproape toate corpurile din jurul nostru. Este clar cât de important este acest lucru.

Cristalele simple sunt imediat recunoscute după forma lor regulată. Fețele plate și marginile drepte sunt o proprietate caracteristică a cristalului; corectitudinea formei este legată, fără îndoială, de corectitudinea structurii interne a cristalului. Dacă un cristal este deosebit de alungit într-o anumită direcție, înseamnă că structura cristalului în acea direcție este oarecum specială.

Există un centru de simetrie într-un cub de sare gemă, în octaedrul unui diamant și în steaua unui fulg de nea. Dar într-un cristal de cuarț nu există un centru de simetrie.

Cea mai precisă simetrie se realizează în lumea cristalelor, dar nici aici nu este ideală: crăpăturile și zgârieturile invizibile pentru ochi fac întotdeauna fețe egale ușor diferite unele de altele.

Toate cristalele sunt simetrice. Aceasta înseamnă că în fiecare poliedru cristalin se pot găsi planuri de simetrie, axe de simetrie, un centru de simetrie sau alte elemente de simetrie, astfel încât părți identice ale poliedrului să fie aliniate unele cu altele.

Toate elementele de simetrie repetă aceleași părți ale figurii, toate îi conferă frumusețe și completitudine simetrică, dar centrul de simetrie este cel mai interesant. Nu numai forma, ci și multe proprietăți fizice ale cristalului pot depinde de faptul dacă un cristal are sau nu un centru de simetrie.

Fagurii sunt o adevărată capodopera de design. Ele constau dintr-un număr de celule hexagonale. Acesta este cel mai dens ambalaj, permițând plasarea cât mai avantajoasă a larvei în celulă și, cu volumul maxim posibil, utilizarea cât mai economică a materialului de construcție - ceara.

III Concluzie

Simetria pătrunde literalmente în orice în jur, captând zone și obiecte aparent complet neașteptate. Ea, manifestându-se în cele mai diverse obiecte ale lumii materiale, reflectă, fără îndoială, proprietățile sale cele mai generale, cele mai fundamentale. Principiile simetriei joacă un rol important în fizică și matematică, chimie și biologie, tehnologie și arhitectură, pictură și sculptură, poezie și muzică.

Vedem că natura proiectează orice organism viu după un anumit model geometric, iar legile universului au o justificare clară. Prin urmare, studiul simetriei diferitelor obiecte naturale și compararea rezultatelor acesteia este un instrument convenabil și de încredere pentru înțelegerea legilor de bază ale existenței materiei.

Legile naturii care guvernează imaginea inepuizabilă a fenomenelor în diversitatea lor, sunt supuse, la rândul lor, principiilor simetriei. Există multe tipuri de simetrie, atât în ​​lumea vegetală, cât și în cea animală, dar cu toată diversitatea organismelor vii, principiul simetriei funcționează întotdeauna, iar acest fapt subliniază încă o dată armonia lumii noastre. Simetria stă la baza lucrurilor și fenomenelor, exprimând ceva comun, caracteristic diferitelor obiecte, în timp ce asimetria este asociată cu întruchiparea individuală a acestui lucru comun într-un obiect specific.

Deci, în plan avem patru tipuri de mișcări care transformă figura F într-o cifră egală F1:

1) transfer paralel;

2) simetria axială (reflexia dintr-o linie dreaptă);

3) rotație în jurul unui punct (caz parțial - simetrie centrală);

4) reflexie „alunecare”.

În spațiu, simetria oglinzii se adaugă la tipurile de simetrie de mai sus.

Consider că scopul stabilit în abstract a fost atins. Când îmi scriam eseul, cea mai mare dificultate pentru mine a fost să trag propriile concluzii. Cred că munca mea îi va ajuta pe școlari să-și extindă înțelegerea simetriei. Sper ca eseul meu să fie inclus în fondul metodologic al clasei de matematică.