Operații cu fracții obișnuite
Să ne amintim cum să efectuăm calcule simple cu fracții obișnuite. Pentru a înmulți fracțiile, trebuie să înmulțiți numărătorii lor și să scrieți rezultatul la numărător, apoi să înmulțiți numitorii și să scrieți rezultatul la numitor:
Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt divizibile cu același număr, atunci fiecare dintre ele este de obicei împărțit la acesta și aceasta se numește „reducerea fracției”: 
Uneori, reducerea se efectuează în timpul înmulțirii fracțiilor:
Dacă fracțiile sunt amestecate (cu partea întreagă evidențiată), atunci acestea trebuie convertite în fracții obișnuite (formate doar dintr-un numărător și un numitor). Pentru a face acest lucru, întreaga parte este înmulțită cu numitorul, numărătorul este adăugat și rezultatul este scris în numărător, dar numitorul rămâne același: 
Pentru a converti o fracție improprie (numărătorul este mai mare decât numitorul) într-o fracție mixtă (selectați întreaga parte), trebuie să împărțiți numărătorul la numitorul cu restul. Atunci câtul incomplet va fi întreaga parte, restul va fi numărătorul, iar numitorul va rămâne același: 
Pentru a converti o fracție comună într-o zecimală, trebuie să aduceți acest numitor la numitorul 10, 100, 1000 etc.:
Sau împărțiți numărătorul la numitor: 
Pentru a înmulți o fracție comună cu o zecimală, trebuie fie să convertiți fracția comună într-o zecimală, fie zecimala într-o zecimală: 
Pentru a împărți un număr la o fracție comună, trebuie să schimbați numărătorul cu numitorul din această fracție și să înmulțiți numărul cu fracția rezultată: 
Pentru a scrie un număr întreg ca fracție, trebuie să-l scrieți cu numitorul 1: 
Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, trebuie să adăugați numărătorii lor și să scrieți numărătorul noii fracții, lăsând numitorul același. Pentru a scădea fracții cu numitori similari, trebuie să scădeți numărătorii lor și să scrieți numărătorul noii fracții, lăsând numitorul același. Dacă fracțiile au o parte întreagă, atunci trebuie mai întâi să adunați sau să scădeți părțile întregi: 
Puteți adăuga fracții cu numitori diferiți în felul următor:
înmulțiți numărătorul și numitorul fiecărei fracții cu factori suplimentari, astfel încât noul numitor să fie egal cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor fracțiilor originale. Să adunăm fracțiile rezultate cu același numitor:
Se întâmplă că partea fracțională a subtraendului este mai mică decât minuend, atunci trebuie să luăm 1 din întreaga parte a minuendului:
Acțiuni cu zecimale:
Regula 1 : Pentru a adăuga (scădea) fracții zecimale, trebuie să: 1) le scrieți una sub alta, astfel încât virgula să fie sub virgulă (dacă fracțiile au un număr diferit de zecimale, atunci trebuie egalate folosind zerouri; 2) efectuați adunarea (scăderea), ignorând virgula; 3) puneți o virgulă sub virgulă în răspuns (dacă este necesar, aruncați zerourile după virgulă).
4,12
3,78
7,90=7,9
12,76 0
8,674
4,086
Regula 2 : Pentru a înmulți două fracții zecimale, trebuie să 1) efectuați înmulțirea fără să acordați atenție virgulelor; 2) separați cu virgulă atâtea cifre în dreapta câte sunt după virgulă în ambii factori împreună.
0,671
2,9
6039
1342
1,9459
2,35
1,4
940
235
3,290=3,29
Regula 3 : Pentru a împărți un număr la o fracție zecimală, trebuie să: 1) faceți un număr natural din fracția zecimală deplasând punctul zecimal la dreapta; 2) în dividend, mutați virgula la același număr de cifre ca în fracția zecimală (sau adăugați 0 dacă este un număr natural); 3) după aceasta, împărțiți la un număr natural (amintindu-vă să puneți o virgulă în câtul unde se termină împărțirea părții întregi).
Regula 4. Pentru a înmulți o fracție zecimală cu 10, 100, 1000 etc., trebuie să mutați punctul zecimal din această fracție la dreapta cu atâtea cifre câte zerouri există în factorul după unu.
7,567·10 =75,67
3,1 100 = 310
23,981 100 = 23981
Pentru a împărți o fracție zecimală la 10, 100, 1000 etc., trebuie să mutați punctul zecimal din această fracție la stânga cu atâtea cifre câte zerouri există în factorul după unu.
7, 567 : 10 = 0,7567
3,1 : 100 = 0, 031
2,398 : 1000 = 0, 002398
Vom dedica acest material unui subiect atât de important ca fracțiile zecimale. În primul rând, să definim definițiile de bază, să dăm exemple și să ne oprim asupra regulilor de notație zecimală, precum și asupra cifrelor fracțiilor zecimale. În continuare, evidențiem principalele tipuri: fracții finite și infinite, periodice și neperiodice. În partea finală vom arăta cum sunt situate punctele corespunzătoare numerelor fracționale pe axa de coordonate.
Ce este notația zecimală a numerelor fracționale
Așa-numita notație zecimală a numerelor fracționale poate fi folosită atât pentru numere naturale, cât și pentru numere fracționale. Arată ca un set de două sau mai multe numere cu o virgulă între ele.
Punctul zecimal este necesar pentru a separa întreaga parte de partea fracțională. De regulă, ultima cifră a unei fracții zecimale nu este zero, cu excepția cazului în care punctul zecimal apare imediat după primul zero.
Care sunt câteva exemple de numere fracționale în notație zecimală? Acesta ar putea fi 34, 21, 0, 35035044, 0, 0001, 11.231.552, 9 etc.
În unele manuale puteți găsi utilizarea unui punct în loc de virgulă (5. 67, 6789. 1011 etc. Această opțiune este considerată echivalentă, dar este mai tipică pentru sursele în limba engleză).
Definiţia decimals
Pe baza conceptului de notație zecimal de mai sus, putem formula următoarea definiție a fracțiilor zecimale:
Definiția 1
Decimale reprezintă numere fracționale în notație zecimală.
De ce trebuie să scriem fracții în această formă? Ne oferă unele avantaje față de cele obișnuite, de exemplu, o notație mai compactă, mai ales în cazurile în care numitorul conține 1000, 100, 10 etc., sau un număr mixt. De exemplu, în loc de 6 10 putem specifica 0,6, în loc de 25 10000 - 0,0023, în loc de 512 3 100 - 512,03.
Cum să reprezinte corect fracțiile obișnuite cu zeci, sute, mii la numitor în formă zecimală va fi discutat într-un material separat.
Cum să citești corect zecimale
Există câteva reguli pentru citirea notațiilor zecimale. Astfel, acele fracții zecimale care corespund echivalentelor lor obișnuite sunt citite aproape în același mod, dar cu adăugarea cuvintelor „zero zecimi” la început. Astfel, intrarea 0, 14, care corespunde cu 14.100, este citită ca „zero virgulă paisprezece sutimi”.
Dacă o fracție zecimală poate fi asociată cu un număr mixt, atunci se citește în același mod ca acest număr. Deci, dacă avem fracția 56, 002, care corespunde cu 56 2 1000, citim această intrare ca „cincizeci și șase virgulă două miimi”.
Semnificația unei cifre într-o fracție zecimală depinde de locul în care se află (la fel ca și în cazul numerelor naturale). Deci, în fracția zecimală 0,7, șapte sunt zecimi, în 0,0007 sunt zece miimi, iar în fracția 70.000,345 înseamnă șapte zeci de mii de unități întregi. Astfel, în fracțiile zecimale există și conceptul de valoare locului.
Numele cifrelor situate înainte de virgulă zecimală sunt similare cu cele care există în numere naturale. Numele celor localizați după sunt prezentate clar în tabel:
Să ne uităm la un exemplu.
Exemplul 1
Avem fracția zecimală 43.098. Are un patru pe locul zecilor, un trei pe locul unităților, un zero pe locul zecimii, 9 pe locul sutimii și 8 pe locul miilor.
Se obișnuiește să se distingă rândurile fracțiilor zecimale după prioritate. Dacă trecem prin numere de la stânga la dreapta, atunci vom trece de la cel mai semnificativ la cel mai puțin semnificativ. Se dovedește că sutele sunt mai vechi de zeci, iar părți pe milion sunt mai tinere de sutimi. Dacă luăm fracția zecimală finală pe care am citat-o ca exemplu mai sus, atunci locul cel mai înalt sau cel mai mare din ea va fi locul sutelor, iar locul cel mai mic sau cel mai mic va fi locul 10-mii.
Orice fracție zecimală poate fi extinsă în cifre individuale, adică prezentată ca o sumă. Această acțiune se realizează în același mod ca și pentru numerele naturale.
Exemplul 2
Să încercăm să extindem fracția 56, 0455 în cifre.
Vom obține:
56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005
Dacă ne amintim proprietățile adunării, putem reprezenta această fracție sub alte forme, de exemplu, ca suma 56 + 0, 0455 sau 56, 0055 + 0, 4 etc.
Ce sunt zecimalele finale?
Toate fracțiile despre care am vorbit mai sus sunt zecimale finite. Aceasta înseamnă că numărul de cifre după virgulă zecimală este finit. Să derivăm definiția:
Definiția 1
zecimalele finale sunt un tip de fracție zecimală care are un număr finit de zecimale după semnul zecimal.
Exemple de astfel de fracții pot fi 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231 032, 49 etc.
Oricare dintre aceste fracții poate fi convertită fie într-un număr mixt (dacă valoarea părții lor fracționale este diferită de zero) sau într-o fracție obișnuită (dacă partea întreagă este zero). Am dedicat un articol separat modului în care se face acest lucru. Aici vom indica doar câteva exemple: de exemplu, putem reduce fracția zecimală finală 5, 63 la forma 5 63 100, iar 0, 2 corespunde lui 2 10 (sau orice altă fracție egală cu aceasta, pentru exemplu, 4 20 sau 1 5.)
Dar procesul invers, adică. scrierea unei fracții comune în formă zecimală poate să nu fie întotdeauna posibilă. Deci, 5 13 nu poate fi înlocuit cu o fracție egală cu numitorul 100, 10 etc., ceea ce înseamnă că nu se poate obține o fracție zecimală finală din aceasta.
Principalele tipuri de fracții zecimale infinite: fracții periodice și neperiodice
Am indicat mai sus că fracțiile finite sunt așa numite deoarece au un număr finit de cifre după virgulă. Cu toate acestea, poate fi infinit, caz în care fracțiile în sine vor fi numite și infinite.
Definiția 2
Fracțiile zecimale infinite sunt cele care au un număr infinit de cifre după virgulă.
Evident, astfel de numere pur și simplu nu pot fi scrise în întregime, așa că indicăm doar o parte din ele și apoi adăugăm o elipsă. Acest semn indică o continuare infinită a succesiunii de zecimale. Exemplele de fracții zecimale infinite includ 0, 143346732…, 3, 1415989032…, 153, 0245005…, 2, 66666666666…, 69, 748768152…. etc.
„Coada” unei astfel de fracții poate conține nu numai secvențe de numere aparent aleatorii, ci și o repetare constantă a aceluiași caracter sau grup de caractere. Fracțiile cu numere alternative după virgulă se numesc periodice.
Definiția 3
Fracțiile zecimale periodice sunt acele fracții zecimale infinite în care o cifră sau un grup de mai multe cifre se repetă după virgulă. Partea care se repetă se numește perioada fracției.
De exemplu, pentru fracția 3, 444444.... perioada va fi cifra 4, iar pentru 76, 134134134134... - grupa 134.
Care este numărul minim de caractere care poate fi lăsat în notația unei fracții periodice? Pentru fracțiile periodice, va fi suficient să scrieți întreaga perioadă o dată în paranteze. Deci, fracția 3, 444444... Ar fi corect să-l scrieți ca 3, (4) și 76, 134134134134... – ca 76, (134).
În general, intrările cu mai multe puncte între paranteze vor avea exact aceeași semnificație: de exemplu, fracția periodică 0,677777 este aceeași cu 0,6 (7) și 0,6 (77) etc. Înregistrările de forma 0, 67777 (7), 0, 67 (7777), etc. sunt, de asemenea, acceptabile.
Pentru a evita greșelile, introducem uniformitatea notației. Să fim de acord să scriem o singură perioadă (cea mai scurtă secvență posibilă de numere), care este cea mai apropiată de virgulă zecimală, și să o închidem în paranteze.
Adică, pentru fracția de mai sus, vom considera intrarea principală ca fiind 0, 6 (7) și, de exemplu, în cazul fracției 8, 9134343434, vom scrie 8, 91 (34).
Dacă numitorul unei fracții obișnuite conține factori primi care nu sunt egali cu 5 și 2, atunci când sunt convertiți în notație zecimală, aceștia vor avea ca rezultat fracții infinite.
În principiu, putem scrie orice fracție finită ca una periodică. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să adăugăm un număr infinit de zerouri la dreapta. Cum arată la înregistrare? Să presupunem că avem fracția finală 45, 32. În formă periodică va arăta ca 45, 32 (0). Această acțiune este posibilă deoarece adăugarea zerourilor la dreapta oricărei fracții zecimale ne dă rezultatul unei fracții egale cu aceasta.
O atenție deosebită trebuie acordată fracțiilor periodice cu o perioadă de 9, de exemplu, 4, 89 (9), 31, 6 (9). Ele sunt o notație alternativă pentru fracții similare cu o perioadă de 0, așa că sunt adesea înlocuite atunci când se scriu cu fracții cu o perioadă zero. În acest caz, se adaugă unul la valoarea cifrei următoare, iar (0) este indicat în paranteze. Egalitatea numerelor rezultate poate fi ușor verificată prin reprezentarea lor ca fracții obișnuite.
De exemplu, fracția 8, 31 (9) poate fi înlocuită cu fracția corespunzătoare 8, 32 (0). Sau 4, (9) = 5, (0) = 5.
Fracțiile periodice zecimale infinite sunt clasificate ca numere raționale. Cu alte cuvinte, orice fracție periodică poate fi reprezentată ca o fracție obișnuită și invers.
Există, de asemenea, fracții care nu au o secvență care se repetă la nesfârșit după virgulă. În acest caz, ele se numesc fracții neperiodice.
Definiția 4
Fracțiile zecimale neperiodice includ acele fracții zecimale infinite care nu conțin punct după virgulă, adică. grup repetat de numere.
Uneori, fracțiile neperiodice arată foarte asemănătoare cu cele periodice. De exemplu, 9, 03003000300003 ... la prima vedere pare să aibă o perioadă, dar o analiză detaliată a zecimalei confirmă că aceasta este încă o fracție neperiodică. Trebuie să fii foarte atent cu astfel de numere.
Fracțiile neperiodice sunt clasificate ca numere iraționale. Ele nu sunt convertite în fracții obișnuite.
Operații de bază cu zecimale
Cu fracții zecimale pot fi efectuate următoarele operații: comparare, scădere, adunare, împărțire și înmulțire. Să ne uităm la fiecare dintre ele separat.
Compararea zecimalelor poate fi redusă la compararea fracțiilor care corespund zecimalelor originale. Dar fracțiile neperiodice infinite nu pot fi reduse la această formă, iar transformarea fracțiilor zecimale în fracții obișnuite este adesea o sarcină care necesită multă muncă. Cum putem efectua rapid o acțiune de comparare dacă trebuie să facem asta în timp ce rezolvăm o problemă? Este convenabil să comparăm fracțiile zecimale după cifră în același mod în care comparăm numerele naturale. Vom dedica un articol separat acestei metode.
Pentru a adăuga unele fracții zecimale cu altele, este convenabil să folosiți metoda adunării pe coloane, ca și în cazul numerelor naturale. Pentru a adăuga fracții zecimale periodice, trebuie mai întâi să le înlocuiți cu unele obișnuite și să numărați conform schemei standard. Dacă, conform condițiilor problemei, trebuie să adăugăm fracții neperiodice infinite, atunci trebuie să le rotunjim mai întâi la o anumită cifră, apoi să le adunăm. Cu cât cifra la care rotunjim este mai mică, cu atât va fi mai mare acuratețea calculului. Pentru scăderea, înmulțirea și împărțirea fracțiilor infinite este necesară și prerotunjirea.
Găsirea diferenței dintre fracțiile zecimale este inversul adunării. În esență, folosind scăderea, putem găsi un număr a cărui sumă cu fracția pe care o scădem ne va da fracția pe care o minimizăm. Vom vorbi despre asta mai detaliat într-un articol separat.
Înmulțirea fracțiilor zecimale se face în același mod ca și pentru numerele naturale. Metoda de calcul a coloanei este, de asemenea, potrivită pentru aceasta. Reducem din nou această acțiune cu fracții periodice la înmulțirea fracțiilor ordinare după regulile deja studiate. Fracțiile infinite, așa cum ne amintim, trebuie să fie rotunjite înainte de calcule.
Procesul de împărțire a zecimalelor este inversul înmulțirii. Când rezolvăm probleme, folosim și calcule în coloană.
Puteți stabili o corespondență exactă între fracția zecimală finală și un punct de pe axa de coordonate. Să ne dăm seama cum să marchem un punct pe axă care va corespunde exact cu fracția zecimală necesară.
Am studiat deja cum să construim puncte corespunzătoare fracțiilor obișnuite, dar fracțiile zecimale pot fi reduse la această formă. De exemplu, fracția comună 14 10 este aceeași cu 1, 4, astfel încât punctul corespunzător va fi îndepărtat de la origine în direcția pozitivă exact la aceeași distanță:
Puteți face fără a înlocui fracția zecimală cu una obișnuită, dar folosiți ca bază metoda expansiunii cu cifre. Deci, dacă trebuie să marchem un punct a cărui coordonată va fi egală cu 15, 4008, atunci vom prezenta mai întâi acest număr ca sumă 15 + 0, 4 +, 0008. Pentru început, să lăsăm deoparte 15 segmente întregi de unitate în direcția pozitivă de la începutul numărătorii inverse, apoi 4 zecimi dintr-un segment și apoi 8 zece miimi dintr-un segment. Ca rezultat, obținem un punct de coordonate care corespunde fracției 15, 4008.
Pentru o fracție zecimală infinită, este mai bine să utilizați această metodă, deoarece vă permite să vă apropiați cât doriți de punctul dorit. În unele cazuri, este posibil să construiți o corespondență exactă cu o fracție infinită pe axa de coordonate: de exemplu, 2 = 1, 41421. . . , iar această fracție poate fi asociată cu un punct de pe raza de coordonate, distanță de 0 prin lungimea diagonalei pătratului, a cărui latură va fi egală cu un segment unitar.
Dacă nu găsim un punct pe axă, ci o fracție zecimală corespunzătoare acestuia, atunci această acțiune se numește măsurarea zecimală a unui segment. Să vedem cum să facem acest lucru corect.
Să presupunem că trebuie să ajungem de la zero la un punct dat pe axa de coordonate (sau să ne apropiem cât mai mult posibil în cazul unei fracții infinite). Pentru a face acest lucru, amânăm treptat segmentele de unitate de la origine până ajungem la punctul dorit. După segmente întregi, dacă este necesar, măsurăm zecimi, sutimi și fracții mai mici, astfel încât potrivirea să fie cât mai precisă. Ca rezultat, am primit o fracție zecimală care corespunde unui punct dat de pe axa de coordonate.
Mai sus am arătat un desen cu punctul M. Privește-l din nou: pentru a ajunge în acest punct, trebuie să măsurați un segment de unitate și patru zecimi din acesta de la zero, deoarece acest punct corespunde fracțiunii zecimale 1, 4.
Dacă nu putem ajunge la un punct în procesul de măsurare zecimală, atunci înseamnă că acesta corespunde unei fracții zecimale infinite.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Când adăugați fracții zecimale, trebuie să le scrieți una sub alta, astfel încât aceleași cifre să fie una sub cealaltă, iar virgula să fie sub virgulă și adăugați fracțiile în același mod în care adăugați numere naturale. Să adăugăm, de exemplu, fracțiile 12,7 și 3,442. Prima fracție conține o zecimală, iar a doua fracțiune conține trei. Pentru a efectua adunarea, transformăm prima fracție astfel încât să fie trei cifre după virgulă: , apoi
Scăderea fracțiilor zecimale se face în același mod. Să aflăm diferența dintre numerele 13,1 și 0,37:
La înmulțirea fracțiilor zecimale, este suficient să înmulțiți numerele date, fără să acordați atenție virgulelor (cum ar fi numerele naturale), apoi, ca urmare, să separați câte cifre de la dreapta cu virgulă sunt după virgulă în ambii factori în total.
De exemplu, să înmulțim 2,7 cu 1,3. Avem. Folosim o virgulă pentru a separa două cifre din dreapta (suma cifrelor factorilor după virgulă este două). Ca rezultat, obținem 2,7 1,3 = 3,51.
Dacă produsul conține mai puține cifre decât trebuie separate prin virgulă, atunci zerourile lipsă sunt scrise în față, de exemplu:
Să luăm în considerare înmulțirea unei fracții zecimale cu 10, 100, 1000 etc. Să presupunem că trebuie să înmulțim fracția 12,733 cu 10. Avem . Separând trei cifre la dreapta cu o virgulă, obținem Dar. Mijloace,
12.733 10=127,33. Astfel, înmulțirea unei fracții zecimale cu 10 se reduce la mutarea virgulei zecimale cu o cifră la dreapta.
În general, pentru a înmulți o fracție zecimală cu 10, 100, 1000, trebuie să mutați punctul zecimal din această fracție cu 1, 2, 3 cifre la dreapta, adăugând, dacă este necesar, un anumit număr de zerouri la fracția de pe dreapta). De exemplu,
Împărțirea unei fracții zecimale la un număr natural se efectuează în același mod ca și împărțirea unui număr natural la un număr natural, iar virgula din coeficient este plasată după ce se completează împărțirea părții întregi. Să împărțim 22,1 la 13:
Dacă partea întreagă a dividendului este mai mică decât divizorul, atunci răspunsul este zero numere întregi, de exemplu:
Să considerăm acum împărțirea unei zecimale la o zecimală. Să presupunem că trebuie să împărțim 2,576 la 1,12. Pentru a face acest lucru, atât în dividend, cât și în divizor, mutați virgula la dreapta cu atâtea cifre câte sunt după punctul zecimal din divizor (în acest exemplu, două). Cu alte cuvinte, dacă înmulțim dividendul și divizorul cu 100, coeficientul nu se va modifica. Apoi trebuie să împărțiți fracția 257,6 la numărul natural 112, adică problema se reduce la cazul deja luat în considerare:
Pentru a împărți o fracție zecimală cu, trebuie să mutați punctul zecimal din această fracție la stânga (și, dacă este necesar, adăugați numărul necesar de zerouri la stânga). De exemplu, .
La fel cum împărțirea nu este întotdeauna fezabilă pentru numerele naturale, nu este întotdeauna fezabilă pentru fracțiile zecimale. De exemplu, să împărțim 2,8 la 0,09.
Farafonova Natalia Igorevna
După finalizarea subiectului „Acțiuni cu fracții zecimale”, pentru a exersa abilitățile de numărare și a verifica stăpânirea materialului, puteți efectua lucru individual cu elevii folosind carduri. Fiecare elev trebuie să îndeplinească sarcinile pentru toate activitățile fără erori. Există multe opțiuni pentru fiecare acțiune, acest lucru oferă fiecărui elev posibilitatea de a rezolva sarcina pentru fiecare acțiune cu zecimale de mai multe ori și de a obține un rezultat fără erori sau de a finaliza sarcina cu un număr minim de erori. Deoarece fiecare elev realizează o sarcină individuală, profesorul are posibilitatea, pe măsură ce îi sunt prezentate sarcinile finalizate, să le discute personal cu fiecare elev. Dacă un elev face greșeli, profesorul le corectează și se oferă să facă sarcina dintr-o altă opțiune. Deci, până când elevul finalizează întreaga sarcină sau cea mai mare parte fără erori. Este mai bine să faceți cartonașe pe hârtie colorată.
La ultima etapă de lucru, vă puteți propune rezolvarea unui exemplu care conține mai multe acțiuni.
Pentru fiecare opțiune fără erori, indiferent de încercarea sarcinii efectuate corect, elevilor li se poate acorda o notă excelentă sau se poate acorda o notă medie după finalizarea tuturor lucrărilor, la discreția profesorului.
Adăugarea de zecimale.
1 opțiune
7,468 + 2,85
9,6 + 0,837
38,64 + 8,4
3,9 + 26,117
Opțiunea 2
19,45 + 34,8
4,9 + 0,716
75,86 + 4,2
5,6 + 44,408
Opțiunea 3
24,38 + 7,9
6,5 + 0,952
48,59 + 1,8
35,906 + 2,8
Opțiunea 4
7,6 + 319,75
888,99 + 4,5
64,15 + 18,9
4,5 + 0,738
Opțiunea 5
7,62 + 8,9
25,38 + 0,09
12,842 + 8,6
412 + 78,83
Opțiunea 6
70,7 + 3,8645
3,65 + 0,89
61,22 + 31.719
12,842 + 8,6
Răspunsuri: Opțiunea 1: 10.318; 10,437; 47,04; 30,017;
Opțiunea 2: 54,25; 5,616; 80,06; 50,008;
Opțiunea 3: 32,28; 7,452; 50,19; 38,706;
Opțiunea 4: 327,35; 893,49; 83,05; 5,238;
Opțiunea 5: 16,52; 25,47; 21,442; 490,83;
Opțiunea 6: 74,5645; 4,54; 92,939; 21,442;
Scăderea zecimalelor.
1 opțiune
26,38 - 9,69
41,12 - 8,6
5,2 - 3,445
7 - 0,346
Opțiunea 2
47,62 - 8,78
54,06 - 9,1
7,1 - 6,346
3 - 1,551
Opțiunea 3
50,41 - 9,62
72,03 - 6,3
9,2 - 5,453
4 - 2,662
Opțiunea 4
60,01 - 8,364
123,61 - 69,8
8,7 - 4,915
10 - 3,817
Opțiunea 5
6,52 - 3,8
7,41 - 0,758
67,351 - 9,7
22 - 0,618
Opțiunea 6
4,5 - 0,496
61,3 - 20,3268
24,7 - 15,276
50 - 2,38
Răspunsuri: Opțiunea 1: 16,69; 32,52; 1,755; 6,654;
Opțiunea 2: 38,84; 44,96; 0,754; 1,449;
Opțiunea 3: 40,79; 65,73; 3,747; 1,338;
Opțiunea 4: 51,646; 53,81; 3,785; 6,183;
Opțiunea 5: 2,72; 6,652; 57,651; 21,382;
Opțiunea 6: 4.004; 40,9732; 9,424; 47,62;
Înmulțirea zecimalelor.
1 opțiune
7.4 3.5
20.2 3.04
0,68 0,65
2,5 840
Opțiunea 2
2,8 9,7
6.05 7.08
0,024 0,35
560 3.4
Opțiunea 3
6,8 5,9
6.06 8.05
0,65 0,014
720 4.6
Opțiunea 4
34,7 8,4
9.06 7.08
0,038 0,29
3,6 540
Opțiunea 5
62,4 2,5
0,038 9
1,8 0,009
4,125 0,16
Opțiunea 6
0,28 45
20,6 30,5
2,3 0,0024
0,0012 0,73
Opțiunea 7
68 0,15
0,08 0,012
1.4 1.04
0,32 2,125
Opțiunea 8
4,125 0,16
0,0012 0,73
1.4 1.04
720 4.6
Răspunsuri: Opțiunea 1: 25,9; 61,408; 0,442; 2100;
Opțiunea 2: 27,16; 42,834; 0,0084; 1904;
Opțiunea 3: 40,12; 48,783; 0,0091; 3312;
Opțiunea 4: 291,48; 64,1448; 0,01102; 1944;
Opțiunea 5: 156; 0,342; 0,0162; 0,66;
Opțiunea 6: 12,6; 628,3; 0,00552; 0,000876;
Opțiunea 7: 10,2; 0,00096; 1,456; 0,68;
Opțiunea 8: 0,66; 0,000876; 1,456; 3312;
Împărțirea unei fracții zecimale la un număr natural.
1 opțiune
62,5: 25
0,5: 25
9,6: 12
1,08: 8
Opțiunea 2
0,28: 7
0,2: 4
16,9: 13
22,5: 15
Opțiunea 3
0,75: 15
0,7: 35
1,6: 8
0,72: 6
Opțiunea 4
2,4: 6
1,5: 75
0,12: 4
1,69: 13
Opțiunea 5
3,5: 175
1,8: 24
10,125: 9
0,48: 16
Opțiunea 6
0,35: 7
1,2: 3
0,2: 5
7,2: 144
Opțiunea 7
151,2: 63
4,8: 32
0,7: 25
2,3: 40
Opțiunea 8
397,8: 78
5,2: 65
0,9: 750
3,4: 80
Opțiunea 9
478,8: 84
7,3: 4
0,6: 750
5,7: 80
Opțiunea 10
699,2: 92
1,8: 144
0,7: 875
6,3: 24
Răspunsuri: Opțiunea 1: 2,5; 0,02; 0,8; 0,135;
Opțiunea 2: 0,04; 0,05; 1,3; 1,5;
Opțiunea 3: 0,05; 0,02; 0,2; 0,12;
Opțiunea 4: 0,4; 0,02; 0,03; 0,13;
Opțiunea 5: 0,02; 0,075; 1,125; 0,03;
Opțiunea 6: 0,05; 0,4; 0,04; 0,05;
Opțiunea 7: 2,4; 0,15; 0,28; 0,0575;
Opțiunea 8: 5,1; 0,08; 0,0012; 0,0425;
Opțiunea 9: 5,7; 1,825; 0,0008; 0,07125;
Opțiunea 10: 7,6; 0,0125; 0,0008; 0,2625;
Împărțirea cu fracția zecimală.
1 opțiune
32: 1,25
54: 12,5
6: 125
Opțiunea 2
50,02: 6,1
34,2: 9,5
67,6: 6,5
Opțiunea 3
2,8036: 0,4
3,1: 0,025
0,0008: 0,16
Opțiunea 4
4: 32
303: 75
687,4: 10
1,59: 100
Opțiunea 5
5: 16
336: 35
412,5: 10
24,3: 100
Opțiunea 6
41,82: 6,8
73,44: 3,6
7,2: 0,045
32,89: 4,6
Răspunsuri: Opțiunea 1: 25,6; 4,32; 0,048;
Opțiunea 2: 8,2; 3,6; 10,4;
Opțiunea 3: 7.009; 124; 0,005;
Opțiunea 4: 0,125; 4,04; 68,74; 0,0159;
Opțiunea 5: 0,3125; 9,6; 41,25; 0,243;
Opțiunea 6: 6,15; 20,4; 160; 7,15;
Operații comune cu zecimale.
824,72 - 475: (0,071 + 0,929) + 13,8
(7.351 + 12.649) 105 - 95.48 - 4.52
(3,82 - 1,084 + 12,264) (4,27 + 1,083 - 3,353) + 83
278 - 16,7 - (15,75 + 24,328 + 39,2)
57.18 42 - 74.1: 13 + 21.35: 7
(18,8: 16 + 9,86 3) 40 - 12,73
(2 - 0,25 0,8) : (0,16: 0,5 - 0,02)
(3,625 + 0,25 + 2,75) : (28,75 + 92,25 - 15) : 0,0625
Răspunsuri: 1) 363,52; 2) 2000; 3) 113; 4) 182,022; 5) 2398,91; 6) 1217,47; 7) 6; 8) 1.
În matematică, de la începuturile lor au fost studiate diferite tipuri de numere. Există un număr mare de seturi și subseturi de numere. Printre acestea se numără numere întregi, raționale, iraționale, naturale, pare, impare, complexe și fracționale. Astăzi vom analiza informații despre ultima mulțime - numere fracționale.
Definiţia fractions
Fracțiile sunt numere formate dintr-o parte întreagă și fracții de unitate. La fel ca numerele întregi, există un număr infinit de fracții între două numere întregi. În matematică, operațiile cu fracții se efectuează în același mod ca și cu numere întregi și naturale. Este destul de simplu și poate fi învățat în câteva lecții.
Articolul prezintă două tipuri
Fracții comune
Fracțiile obișnuite sunt partea întreagă a și două numere scrise prin linia fracțională b/c. Fracțiile comune pot fi extrem de convenabile dacă partea fracțională nu poate fi reprezentată în formă zecimală rațională. În plus, este mai convenabil să efectuați operații aritmetice prin linia fracțională. Partea superioară se numește numărător, partea inferioară este numitorul.
Operații cu fracții ordinare: exemple
Proprietatea principală a unei fracții. Laînmulțind numărătorul și numitorul cu același număr care nu este zero, rezultă un număr egal cu cel dat. Această proprietate a unei fracții ajută perfect la aducerea numitorului pentru adunare (acest lucru va fi discutat mai jos) sau la scurtarea fracției, făcând-o mai convenabilă pentru numărare. a/b = a*c/b*c. De exemplu, 36/24 = 6/4 sau 9/13 = 18/26
Reducere la un numitor comun. Pentru a obține numitorul unei fracții, trebuie să prezentați numitorul sub formă de factori, apoi să înmulțiți cu numerele lipsă. De exemplu, 7/15 și 12/30; 7/5*3 și 12/5*3*2. Vedem că numitorii diferă cu doi, așa că înmulțim numărătorul și numitorul primei fracții cu 2. Obținem: 14/30 și 12/30.
Fracții compuse- fracții ordinare cu toată partea evidențiată. (A b/c) Pentru a reprezenta o fracție compusă ca o fracție comună, trebuie să înmulțiți numărul din fața fracției cu numitorul, apoi să îl adăugați cu numărătorul: (A*c + b)/c.
Operații aritmetice cu fracții
Ar fi o idee bună să luați în considerare operațiile aritmetice binecunoscute numai atunci când lucrați cu numere fracționale.
Adunare si scadere. Adunarea și scăderea fracțiilor este la fel de ușor ca și adunarea și scăderea numerelor întregi, cu excepția unei singure dificultăți - prezența unei linii fracționale. Când adăugați fracții cu același numitor, trebuie doar să adăugați numărătorii ambelor fracții, numitorii rămân neschimbați. De exemplu: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7
Dacă numitorii a două fracții sunt numere diferite, mai întâi trebuie să le aduceți la un număr comun (cum s-a discutat mai sus). 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. Scăderea urmează exact același principiu: 8/9 - 2/3 = 8/9 - 6/9 = 2/9.
Înmulțirea și împărțirea. AcțiuniÎnmulțirea cu fracții are loc după următorul principiu: numărătorii și numitorii se înmulțesc separat. În general, formula de înmulțire arată astfel: a/b *c/d = a*c/b*d. În plus, pe măsură ce înmulțiți, puteți reduce fracția eliminând factori similari de la numărător și numitor. Cu alte cuvinte, numărătorul și numitorul sunt împărțite la același număr: 4/16 = 4/4*4 = 1/4.
Pentru a împărți o fracție obișnuită la alta, trebuie să schimbați numărătorul și numitorul divizorului și să înmulțiți două fracții conform principiului discutat mai devreme: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5*11/ 11*25 = 1/5
zecimale
Decimalele sunt versiunea mai populară și mai frecvent utilizată a fracțiilor. Este mai ușor să le scrieți pe o linie sau să le prezentați pe computer. Structura unei zecimale este următoarea: mai întâi se scrie numărul întreg și apoi, după virgulă, se scrie partea fracțională. La baza lor, zecimale sunt fracții compuse, dar partea lor fracțională este reprezentată de un număr împărțit la un multiplu de 10. De aici provine numele lor. Operațiile cu fracții zecimale sunt similare cu operațiile cu numere întregi, deoarece sunt scrise și în sistemul numeric zecimal. De asemenea, spre deosebire de fracțiile obișnuite, zecimale pot fi iraționale. Aceasta înseamnă că pot fi nesfârșite. Sunt scrise astfel: 7, (3). Următoarea intrare arată: șapte virgulă trei, trei zecimi în perioada.
Operații de bază cu numere zecimale
Adunarea și scăderea zecimalelor. Lucrul cu fracții nu este mai dificil decât lucrul cu numere naturale întregi. Regulile sunt absolut asemănătoare cu cele folosite la adunarea sau scăderea numerelor naturale. Ele pot fi considerate o coloană în același mod, dar dacă este necesar, înlocuiți locurile lipsă cu zerouri. De exemplu: 5,5697 - 1,12. Pentru a efectua scăderea coloanelor, trebuie să egalizați numărul de numere după virgulă zecimală: (5,5697 - 1,1200). Deci, valoarea numerică nu se va modifica și poate fi numărată într-o coloană.
Operațiile cu fracții zecimale nu pot fi efectuate dacă una dintre ele are o formă irațională. Pentru a face acest lucru, trebuie să convertiți ambele numere în fracții obișnuite și apoi să utilizați tehnicile descrise mai devreme.
Înmulțirea și împărțirea.Înmulțirea zecimalelor este similară cu înmulțirea fracțiilor naturale. Ele pot fi, de asemenea, înmulțite într-o coloană, simplu, fără a fi atent la virgulă, și apoi separate prin virgulă în valoarea finală același număr de cifre ca și totalul după ce virgulă a fost în două fracții zecimale. De exemplu, 1,5 * 2,23 = 3,345. Totul este foarte simplu și nu ar trebui să provoace dificultăți dacă ați stăpânit deja înmulțirea numerelor naturale.
Împărțirea este, de asemenea, aceeași cu împărțirea numerelor naturale, dar cu o ușoară abatere. Pentru a împărți cu un număr zecimal cu o coloană, trebuie să renunțați la punctul zecimal din divizor și să înmulțiți dividendul cu numărul de cifre după virgulă din divizor. Apoi faceți împărțirea ca în cazul numerelor naturale. Când împărțiți incomplet, puteți adăuga zerouri la dividendul din dreapta, adăugând și un zero la răspuns după virgulă.
Exemple de operații cu fracții zecimale. Decimalele sunt un instrument foarte convenabil pentru aritmetică. Ele combină comoditatea numerelor naturale, a numerelor întregi și a preciziei fracțiilor. În plus, este destul de ușor să convertiți unele fracții în altele. Operațiile cu fracții nu sunt diferite de operațiile cu numere naturale.
- Adunare: 1,5 + 2,7 = 4,2
- Scădere: 3,1 - 1,6 = 1,5
- Înmulțire: 1,7 * 2,3 = 3,91
- Diviziune: 3,6: 0,6 = 6
De asemenea, zecimale sunt potrivite pentru reprezentarea procentelor. Deci, 100% = 1; 60% = 0,6; și invers: 0,659 = 65,9%.
Asta este tot ce trebuie să știi despre fracții. Articolul a examinat două tipuri de fracții - ordinare și zecimale. Ambele sunt destul de simplu de calculat, iar dacă ai stăpânit complet numerele naturale și operațiunile cu ele, poți începe în siguranță să înveți fracțiile.
