Orez. 3.2Poziția relativă a liniilor

Liniile din spațiu pot ocupa una dintre cele trei poziții una față de alta:

1) să fie paralel;

2) se intersectează;

3) se încrucișează.

Paralelse numesc drepte care se află în același plan și nu au puncte comune.

Dacă liniile sunt paralele între ele, atunci pe CN proiecțiile lor cu același nume sunt și ele paralele (a se vedea secțiunea 1.2).

.

Se intersecteazăse numesc drepte care se află în același plan și au un punct comun.

Pentru liniile care se intersectează pe CN, proiecțiile cu același nume se intersectează în proiecțiile punctului A. În plus, proiecțiile frontale () și orizontale () ale acestui punct trebuie să fie pe aceeași linie de comunicație.

.

Încrucișarease numesc drepte care se află în planuri paralele și nu au puncte comune.

Dacă liniile se intersectează, atunci pe CN proiecțiile lor cu același nume se pot intersecta, dar punctele de intersecție ale proiecțiilor cu același nume nu se vor afla pe aceeași linie de legătură.

În fig. 3,4 puncte CU aparține liniei b, și punct D- Drept A. Aceste puncte sunt la aceeași distanță de planul de proiecție frontală. Similar cu punctul EȘi F aparțin unor linii diferite, dar sunt la aceeași distanță de planul orizontal al proiecțiilor. Prin urmare, pe CN proiecțiile lor frontale coincid.

Există două cazuri posibile de localizare a unui punct în raport cu planul: punctul poate aparține planului sau nu îi aparține (Fig. 3.5).

Semn de apartenență a unui punct și a unui plan drept:

Punctul aparține avionului, dacă aparține unei linii situate în acest plan.

Linia dreaptă aparține planului, dacă are două puncte comune cu ea sau are un punct comun cu ea și este paralelă cu o altă dreaptă situată în acest plan.

În fig. 3.5 prezintă un plan și puncte DȘi E. Punct D aparține planului pentru că aparține dreptei l, care are două puncte comune cu acest plan - 1 Și A. Punct E nu aparține avionului, pentru că este imposibil să se tragă o linie dreaptă prin ea aflată într-un plan dat.

Una dintre problemele pentru care se folosesc liniile de nivel este problema construirii proiecțiilor unui punct aparținând unui plan. Să existe o proiecție frontală D 2 a unui punct D aparținând planului definit de urmele k X l (Fig. 111, a). Este necesar să se găsească proiecția orizontală D 1 a punctului D.

Un punct aparține unui plan dacă aparține unei drepte aparținând planului. Rezolvăm problema folosind h orizontală a planului k X l. Prin punctul D 2 trasăm o proiecție frontală h 2 a acestei linii orizontale, care, după cum se știe, trebuie să fie paralelă cu axa x 12 (Fig. 111 b). Acesta va intersecta proiecția frontală k 2 a urmei frontale k până la punctul N 2 ; După ce a tras o linie de legătură verticală, găsim pe axa de proiecție x 12 proiecția orizontală a urmei frontale N a orizontalei (vezi Fig. 108).

TBegin-->Tend-->

Proiecția orizontală h 1 a orizontalei trebuie să fie paralelă cu l 1. Vom găsi proiecția orizontală D 1 a punctului D pe proiecția orizontală h 1 a orizontalei în punctul de intersecție a acesteia cu linia de legătură verticală trasată prin punctul D. 2.

Această problemă ar putea fi rezolvată și cu ajutorul frontalului. În acest caz, ar fi necesar să se deseneze o proiecție frontală f 2 ||k 2 prin punctul D 2. Sfatuim studentii sa finalizeze singuri constructia. Rezultatul ar trebui să fie același cu prima construcție.

Să modificăm puțin condițiile problemei. Să fie date proiecția orizontală E 1 a punctului E și planul ABC, definite de proiecțiile triunghiului (Fig. 112, a), În această problemă nu se poate folosi orizontala planului, deoarece nu există frontal proiecția punctului E. Folosim frontalul f; prin punctul E 1 desenăm o proiecție orizontală (x frontală), găsim proiecția sa frontală l2 și punctul E 1 pe ea.

Un punct într-un plan poate fi construit nu numai folosind orizontală și frontală, ci și folosind o linie dreaptă în poziție generală. În unele cazuri este chiar mai convenabil.

TBegin-->
TEnd-->

Construcția unei linii generale aparținând unui plan general nu este fundamental diferită de construcția orizontalelor și a fronturilor aparținând planului. Construcția se bazează pe o poziție cunoscută din geometrie: o dreaptă aparține unui plan dacă are două puncte comune cu acest plan. Astfel, dacă intersectăm una dintre proiecțiile planului cu o dreaptă arbitrară și folosim două puncte de intersecție ale acestei drepte cu drepte aparținând planului pentru a construi o a doua proiecție a dreptei, atunci putem rezolva problema. De exemplu, să rezolvăm problema anterioară folosind o linie dreaptă în poziție generală (Fig. 112, b). Prin punctul E 1 trasăm o dreaptă D 1 F 1 de orice pantă; găsim proiecția frontală D 2 F 2 a dreptei DF folosind punctele de intersecție ale lui D 1 și F 1. La intersecția proiecției frontale D 2 F 2 cu linia de comunicație verticală, găsim proiecția frontală E 1 a punctului E.

programul de azi: Animal Planet, Bloomberg, Channel 3, CNN, Ajara TV, Classic Sport, Amazing Life, AB Moteurs Luxe HD, Jetix, Jetix Play, Mezzo, HD Cinema, Discovery Channel, MCM, MGM, HD Life, Discovery Ştiinţă.

Un punct aparține unei linii dacă proiecțiile sale se află pe proiecțiile cu același nume de pe această dreaptă (Fig. 21a).

Un punct aparține unui plan dacă se află pe o dreaptă situată în acest plan (Fig. 21b).

O dreaptă aparține unui plan dacă trece prin două puncte situate în acest plan (Fig. 21c).

O linie este paralelă cu un plan dacă este paralelă cu orice dreaptă situată în acel plan. Figura 22 prezintă o dreaptă t paralelă cu o dreaptă b aparținând planului Σ: t // b О Σ (aÇ b).

Figura 22

Prin orice punct din spațiu puteți desena un număr infinit de drepte paralele cu un plan dat.

Aceasta este o sarcină pentru a determina punctul comun al unei linii și al unui plan. Se mai numește și punctul de întâlnire. Să considerăm intersecția unei drepte cu un plan de o anumită poziție.

Planul Σ este definit de triunghiul ABC și este un plan proiectat orizontal. Punctul de întâlnire al dreptei k cu planul Σ este determinat de proiecția orizontală. Proiecția frontală a punctului K este finalizată folosind o linie de comunicație. Notația simbolică va arăta astfel: k Ç Σ (ABC) = K.

Vizibilitatea liniei în raport cu planul este determinată folosind punctele 1 și 2 concurente frontal.

Figura 23

Intersecția unei linii cu un plan general este prezentată în Figura 24. În acest caz, este necesar să se încadreze linia în planul de proiectare.

tО Σ ^ П 2 - linie dreaptă t aparține planului Σ, care este perpendicular pe planul orizontal al proiecțiilor. Linia de intersecție a acestui plan cu acesta este linia (1, 2). Apoi se găsește punctul de intersecție al acestei drepte cu linia dreaptă t, care va fi punctul de întâlnire al dreptei și al planului. Vizibilitatea unei linii în raport cu un plan este determinată folosind puncte concurente. Să luăm punctele 3 și 4 concurente orizontal. Deoarece punctul 3, care aparține dreptei, s-a dovedit a fi mai jos decât punctul 4, prin urmare, linia de pe planul orizontal din dreapta punctului de intersecție este invizibilă. Apoi luăm punctele 1 și 5 concurente frontal. Punctul 1, care aparține planului, se află mai aproape, prin urmare, linia dreaptă este în spatele planului și este invizibilă pe proiecția frontală de la punctul 1 la punctul K.

Figura 24

Liniile drepte speciale aparținând planului includ liniile drepte orizontale, frontale și de profil. Construcția acestor linii este utilizată în rezolvarea multor probleme din geometria descriptivă. Imaginea lor este dată în Figura 25. Mai mult, pe plan orizontal orizontală are o dimensiune naturală, pe plan frontal - frontalul și pe planul profilului - linia dreaptă a profilului.

Figura 25

1. Formulați condițiile pentru ca un punct să aparțină unui plan și o dreaptă unui plan.

2. Cum se construiește o dreaptă paralelă cu un plan dat?

3. Amintiți-vă etapele rezolvării problemei determinării punctului de intersecție a unei drepte și a unui plan.

4. Ce puncte se numesc concurente?

5. Cum se desenează linii orizontale și frontale într-un plan?

6. Ce alte avioane drepte speciale cunoașteți?

Definiție. O dreaptă și un plan se numesc paralele dacă nu au puncte comune (a ||)

Un semn de paralelism între o dreaptă și un plan.

Teorema. Dacă o dreaptă care nu se află într-un plan dat este paralelă cu o dreaptă care se află în acest plan, atunci este paralelă cu planul însuși.

Concluzii.

Cazuri de poziție relativă a unei drepte și a unui plan:

A) linia dreaptă se află în plan;
b) o dreaptă și un plan au un singur punct comun;
c) o dreaptă și un plan nu au un singur punct comun.

Cazuri de aranjare reciprocă a avioanelor:

Proprietățile planurilor paralele:

Probleme și teste pe tema „Tema 3. „Paralelismul unei drepte și al unui plan; paralelismul planurilor”.

• Paralelismul planurilor

  Lecții: 1 Teme: 8 Teste: 1

• Paralelismul dreptelor, dreptelor și planului - Paralelism de drepte și plane, nota 10
• Semne de paralelism a două drepte. Axioma dreptelor paralele - linii paralele gradul 7

  Lecții: 2 Teme: 11 Teste: 1

• Poziția relativă a liniilor în spațiu. Unghiul dintre liniile drepte - Paralelism de drepte și plane, nota 10

  Lecții: 1 Teme: 9 Teste: 1

• Perpendicularitatea unei drepte și a unui plan - Perpendicularitatea dreptelor și planelor, nota 10

  Lecții: 1 Teme: 10 Teste: 1

Subiectul „Axiomele stereometriei” joacă un rol important în dezvoltarea conceptelor spațiale, așa că încercați să implicați mai multe modele (carton și ace de tricotat) și desene.

Tema „Paralelism în spațiu” oferă cunoștințe despre paralelismul dreptelor și planurilor în spațiu. Acest material rezumă informațiile cunoscute din planimetrie despre paralelismul dreptelor. Folosind exemplul teoremei privind existența și unicitatea unei drepte paralele cu una dată, vă faceți o idee despre necesitatea de a redovedi faptele cunoscute din planimetrie în cazurile în care vorbim despre puncte și drepte în spațiu , și nu despre un anumit avion.

Problemele de demonstrare sunt rezolvate în multe cazuri prin analogie cu teoremele de demonstrare. Pentru a rezolva problemele de calcul a lungimilor segmentelor, este necesar să se repete cursul planimetriei: egalitatea și asemănarea triunghiurilor, definițiile, proprietățile și caracteristicile unui dreptunghi, paralelogram, romb, pătrat, trapez.

Semnele de apartenență sunt bine cunoscute din cursul de planimetrie. Sarcina noastră este să le luăm în considerare în raport cu proiecțiile obiectelor geometrice.

Un punct aparține unui plan dacă aparține unei linii situate în acest plan.

Apartenența la un plan drept este determinată de unul dintre cele două criterii:

a) o dreaptă trece prin două puncte situate în acest plan;

b) o dreaptă trece printr-un punct și este paralelă cu liniile situate în acest plan.

Folosind aceste proprietăți, să rezolvăm problema ca exemplu. Fie ca planul să fie definit printr-un triunghi ABC. Este necesar să se construiască proiecția lipsă D 1 puncte D aparţinând acestui plan. Succesiunea construcțiilor este următoarea (Fig. 2.5).

Orez. 2.5. A construi proiecții ale unui punct aparținând unui plan

Prin punct D 2 efectuăm o proiecție în linie dreaptă d, întins în avion  ABC, intersectând una dintre laturile triunghiului și punctul A 2. Atunci punctul 1 2 aparține dreptelor A 2 D 2 și C 2 ÎN 2. Prin urmare, putem obține proiecția sa orizontală 1 1 pe C 1 ÎN 1 prin linia de comunicație. Punctele de legătură 1 1 și A 1, obținem o proiecție orizontală d 1 . Este clar că ideea D 1 îi aparține și se află pe linia de legătură de proiecție cu punctul D 2 .

Problemele de a determina dacă îi aparține un punct sau un plan drept sunt rezolvate destul de simplu. În fig. Figura 2.6 prezintă progresul în rezolvarea unor astfel de probleme. Pentru claritatea prezentării problemei, definim planul printr-un triunghi.

Orez. 2.6. Probleme pentru a determina dacă un punct aparține unui plan drept.

Pentru a determina dacă un punct îi aparține E avion  ABC, trageți o linie dreaptă prin proiecția sa frontală E 2 A 2. Presupunând că linia dreaptă a aparține planului  ABC, să-i construim proiecția orizontală A 1 la punctele de intersecție 1 și 2. După cum vedem (Fig. 2.6, a), drept A 1 nu trece prin punct E 1 . Prin urmare, punctul E ABC.

În problema apartenenţei la o linie V planuri triunghiulare ABC(Fig. 2.6, b), este suficient să folosiți una dintre proiecțiile în linie dreaptă V 2 construiesc altul V 1 * având în vedere că V ABC. După cum vedem, V 1* și V 1 nu se potrivesc. Prin urmare, drept V   ABC.

2.4. Linii de nivel într-un plan

Definiția liniilor de nivel a fost dată mai devreme. Se numesc linii de nivel aparținând unui plan dat principal . Aceste linii (linii drepte) joacă un rol semnificativ în rezolvarea unui număr de probleme de geometrie descriptivă.

Să luăm în considerare construirea unor linii de nivel în planul definit de triunghi (Fig. 2.7).

Orez. 2.7. Construirea liniilor principale ale unui plan definit printr-un triunghi

Plan orizontal  ABCîncepem prin a desena proiecția sa frontală h 2, despre care se știe că este paralelă cu axa OH. Deoarece această linie orizontală aparține acestui plan, trece prin două puncte ale planului  ABC, și anume, puncte Ași 1. Având proiecțiile lor frontale A 2 și 1 2, prin linia de comunicație obținem proiecții orizontale ( A 1 există deja) 1 1 . Unind punctele A 1 și 1 1 , avem o proiecție orizontală h 1 plan orizontal  ABC. Proiecția profilului h 3 planuri orizontale  ABC va fi paralel cu axa OH a-prioriu.

Avionul frontal  ABC este construit într-un mod similar (Fig. 2.7), cu singura diferență că desenul său începe cu o proiecție orizontală f 1, deoarece se știe că este paralelă cu axa OX. Proiecția profilului f 3 fronturi trebuie să fie paralele cu axa OZ și să treacă prin proiecții CU 3, 2 3 din aceleași puncte CUși 2.

Linia de profil a planului  ABC are o orizontală R 1 si fata R 2 proiecții paralele cu axele OYȘi OZ, și proiecția profilului R 3 poate fi obținut din față folosind puncte de intersecție ÎNși 3 s  ABC.

Când construiți liniile principale ale unui plan, trebuie să vă amintiți o singură regulă: pentru a rezolva problema, trebuie întotdeauna să obțineți două puncte de intersecție cu un anumit plan. Construcția liniilor principale situate într-un plan definit într-un mod diferit nu este mai complicată decât cea discutată mai sus. În fig. Figura 2.8 prezintă construcția planurilor orizontale și frontale definite de două linii drepte care se intersectează AȘi V.

Orez. 2.8. Construcția liniilor principale ale unui plan definit prin intersectarea liniilor drepte.