Subiectul acestui număr este atribuirea transformărilor afine sub formă de matrice. Acest subiect este în esență un rezumat a tot ceea ce a fost spus mai devreme.

Definiție.Transformarea plană se numește afin, Dacă

• este unul la unu;
• imaginea oricărei linii drepte este o linie dreaptă.

Transformarea se numește unu la unu, Dacă

• puncte diferite merg la altele diferite;
• un punct merge la fiecare punct.

Coordonate omogene

Dacă luăm în considerare transferul paralel, se dovedește că o matrice 2x2 nu mai este suficientă pentru a o defini. Dar poate fi specificat folosind o matrice 3x3. Apare întrebarea, de unde să obțineți a treia coordonată a unui punct bidimensional?

Definiție.Coordonate omogene - coordonatele care au proprietatea că obiectul pe care îl definesc nu se modifică atunci când toate coordonatele sunt înmulțite cu același număr.

Coordonate vectoriale omogene(X y) este un triplu de numere(x", y", h), unde x = x"/h, y = y"/h și h - un număr real (cazul când h = 0 este special).

NotăAceste coordonate nu vă permit să specificați în mod unic un punct din plan. De exemplu,(1, 1, 1) și (2, 2, 2) stabiliți același punct(1, 1) . Se recomandă să luați un set(x, y, 1) , care va descrie toate punctele planului.

Matricea de transformare pentru coordonate omogene are o dimensiune de 3x3. Să luăm în considerare câteva transformări în coordonate omogene.

Compresie/tensiune

Această transformare înmulțește coordonatele punctului corespunzătoare cu factorii de scalare axiali:(x, y) -> (a x * x, a y * y) . Matricea de transformare se va scrie astfel:

[a x 0 0]

Unde un x – întindere axială X,

Ay – întindere axială y.

NotăSe poate observa că, în cazul valorilor negative ale coeficienților de compresie/extensie, reflexia are loc în raport cu axele corespunzătoare. Acest caz poate fi inclus în această transformare, sau poate fi scos ca unul separat, spunând că factorii de scalare iau doar valori pozitive.

Întoarce-te

Matricea de rotație 2x2 a fost discutată în detaliu mai devreme. Acum este completat de un rând și o coloană:

[-sin(phi)cos(phi) 0]

Notă La unghiul phi = n această matrice definește simetria centrală cu privire la origine, care este un caz special de rotație. Veți observa că această simetrie poate fi definită folosind o transformare squash/stretch (permițând factori de scalare negativi).

Transfer paralel

Vectorul original (x, y) merge în (x + t x, y + t y) . Matricea de transformare se va scrie astfel:

[ 1 0 0]

[t x t y 1]

Reflecţie

După cum se precizează în nota privind transformarea squash/stretch, reflexiile se obțin după cum urmează:

[-10 0]

reflecție în jurul axei x

reflecție asupra axei y

Vedere generală a unei transformări afine

O matrice 3x3 a cărei ultima coloană este (0 0 1) T definește o transformare afină a planului:

[ * * 0]

[ * * 0]

[ * * 1]

Conform uneia dintre proprietăți, o transformare afină poate fi scrisă ca:

f (x) = x * R + t,

unde R – matricea inversabilă 2 x2 și t – vector arbitrar. În coordonate omogene, aceasta se va scrie după cum urmează:

[R 1,1 R 1,2 0]

[R 2,1 R 2,2 0]

[ t x t y 1 ]

Dacă înmulțim vectorul rând cu această matrice, obținem rezultatul transformării:

[ xy1 ] *[ R 1,1 R 1,2 0 ]

[R 2,1 R 2,2 0]

[ t x t y 1 ]

[ x’y’1 ]+[ t x t y 1 ]

În acest caz [ x ’ y ’ ]= R *[ x y ]

NotăCititorul curios și-a pus deja întrebarea: care este sensul determinantului matricei R? Cu o transformare afină, zonele tuturor figurilor se schimbă în | R |. (Puteți demonstra strict acest lucru din punct de vedere matematic, dar acest fapt este dat aici fără dovezi.)

Acea. o transformare afină este reprezentată ca o compoziție a unei transformări specificate de matrice R , și transfer paralel. Să examinăm mai detaliat natura acestei matrice și oportunitățile pe care ni le oferă.

Matricea R definește o nouă bază a planului. Acestea. vector(1, 0) merge la (R 1,1, R 1,2), vectorul (0, 1) merge la (R 2,1, R 2,2 ). Noua bază sunt rândurile matricei R.

Exemplu.

Când se reflectă în jurul axei y , vectorul de bază de-a lungul axei ordonatelor este păstrat, iar de-a lungul axei absciselor devine(-10) . Acea. matricea R va arata asa:

Acum devine clar că, pe lângă transformările de mai sus, folosind o transformare afină puteți obține o teșire:

Cele de mai sus oferă informații de bază despre un instrument atât de puternic precum transformarea afină. Rămân multe întrebări: ce subclasă de transformări afine păstrează unghiurile dintre liniile drepte? Cum putem reprezenta o transformare afină ca o compoziție a mai multor subclase? Cum să setați transformări mai complexe, de exemplu, simetria axială în raport cu o linie dreaptă arbitrară?

Răspunsurile la aceste întrebări și o discuție mai detaliată a transformării afine vor fi date separat, ca o secțiune a cursului de geometrie teoretică.

Să ne oprim asupra implementării practice a transformării afine sub forma unui program demonstrativ. Capacitățile unei aplicații care demonstrează rotirea unui plan cu un mouse sunt adăugate la funcțiile de translație paralelă atunci când este apăsată o tastă CTRL .

Deoarece Acest articol este ultimul din această secțiune, codul aplicației demo trebuie să fie adecvat. Să încercăm să ne dăm seama ce blocuri sunt necesare într-o aplicație grafică, în timp ce ne uităm simultan la modul în care sunt implementate în acest program:

• blocul în care este creată fereastra și sunt procesate mesajele sistemului de operare este implementat într-un fișier emain. cpp
• motor grafic care redă imagini, clasă Motor
• stratul necesar pentru a converti coordonatele logice în coordonatele ferestrei și invers, clasa Vizualizarea
• obiect responsabil pentru reacția la acțiunile utilizatorului, clasă Acțiune

Exemplul de mai jos implementează aceste blocuri funcționale, cu comentarii detaliate.

UDC 004.932

Kudrina M.A., Murzin A.V.

Instituția de învățământ bugetar de stat federal de învățământ profesional superior „Universitatea Aerospațială de Stat Samara numită după Ak. S.P. Korolev (universitate națională de cercetare)”, Samara, Rusia

TRANSFORMĂRI AFINE ALE OBIECTELOR ÎN GRAFICA CALCULATORULUI

Una dintre sarcinile tipice care trebuie rezolvată folosind grafica raster este transformarea atât a întregii imagini ca întreg, cât și a fragmentelor sale individuale, cum ar fi deplasarea, rotirea în jurul unui anumit centru, schimbarea dimensiunilor liniare etc.

Această problemă este rezolvată folosind transformări afine.

Transformările afine pot fi foarte utile în următoarele situații:

1. Să compună o imagine plată sau o scenă tridimensională prin aranjarea elementelor de același tip, prin copierea, transformarea și mutarea acestora în locuri diferite din imagine. De exemplu, pentru a crea obiecte simetrice, cum ar fi un fulg de zăpadă. Puteți dezvolta un motiv și apoi creați o imagine a întregului obiect prin reflectarea, rotirea și mișcarea acestui motiv.

2. Pentru a vizualiza obiecte tridimensionale din diferite puncte de vedere. În acest caz, puteți fixa poziția camerei și roti scena sau invers, lăsați scena nemișcată și mișcați camera în jurul ei. Astfel de manipulări pot fi efectuate folosind transformări afine tridimensionale.

3. Pentru a proiecta obiecte tridimensionale pe un plan și a afișa scena într-o fereastră. Deci, de exemplu, pentru proiecția axonometrică, se folosește o secvență de două rotații ale planului de proiecție, iar pentru afișarea într-o fereastră se folosește o combinație de scalare și translație.

Transformările afine pe plan sunt, în general, descrise prin următoarele formule:

J X = Ax + By + C, . Programul vă permite să automatizați procesul de compunere a sarcinilor de testare.

LITERATURĂ

1. Porev V. N. Grafică pe computer. - Sankt Petersburg: BHV-Petersburg, 2002. - 432 p. : bolnav.

2. Dealul F. Open GL. Programare grafica pe computer. Pentru profesionisti. - Sankt Petersburg: Peter,

2002. - 1088 p.: ill. ISBN 5-318-00219-6

3. Kudrina M.A., Kudrin K.A., Vytyagov A.A., Ionov D.O. Dezvoltarea unui sistem de învățare la distanță pentru cursul „Grafică pe computer” folosind Moodle: Proceedings of the international symposium Reliability and quality. 2010. T. I. P. 165.

4. Kudrina M.A., Kudrin K.A., Degtyareva O.A. Certificare material pedagogic de măsurare pentru cursul „Grafică pe calculator” // Fiabilitate și calitate 2008. Proceedings of the international. simpozion. Penza, 2008, p. 162-163.

5. Kudrina M.A. Utilizarea materialelor de certificare și măsurare pedagogică pentru curs

„Grafica pe computer” în procesul educațional”//Educație - investiții în succes: Materiale științifice -

Proprietăți ale transformării afine

1. Imaginea liniilor paralele este linii paralele.

Dovada prin contradictie. Să presupunem că imaginea dreptelor paralele l și m sunt dreptele l" și m" care se intersectează în punctul A" (Fig. 8). Datorită transformării unu-la-unu, punctul are o imagine inversă, care notăm cu A. Dar deoarece A"єl", atunci Aєl . Similar cu Аєm. Aceasta contrazice paralelismul dreptelor l și m.

2. În timpul unei transformări afine se păstrează relația dintre două segmente situate pe aceeași linie: (Fig. 9)

Într-adevăr, prin definiția unei transformări afine:

3. În timpul unei transformări afine se păstrează relația segmentelor paralele.

Dat: AB||CD. După proprietatea 2 va exista și A"B"||C"D" (Fig. 10)

Trebuie să dovedim:

Pentru a demonstra acest lucru, să facem AC, apoi DL||AC. Să construim, de asemenea, A"C" și D"L"||A"C". Prin proprietatea 2, linia dreaptă DL merge în D"L" și, prin urmare, . Acum prin definiție: . Dar AL=CD, A"L"=C"L", așa că de aici obținem imediat ceea ce ne trebuie.

4. În timpul unei transformări afine, unghiul și raportul segmentelor arbitrare, în general, nu sunt păstrate, deoarece orice triunghi poate fi transformat în oricare altul. Prin urmare, altitudinea și bisectoarea unui triunghi sunt de obicei transformate în alte linii, iar mediana se transformă într-o mediană, deoarece mijlocul segmentului se transformă în mijloc.

5. Cu o transformare afină, un paralelogram trece într-un paralelogram, un trapez într-un trapez.

Cifre echivalente

Similar conceptului de egalitate și similitudine a figurilor, este introdus conceptul de echivalență afină a acestora.

Se spune că o figură F1 este echivalentă afin cu o figură F2 dacă F1 poate fi transformată în F2 printr-o transformare afină.

Corectitudinea acestei definiții rezultă din faptul că transformările afine formează un grup și, prin urmare, echivalența afină introdusă aici are tranzitivitate, reflexivitate și simetrie.

Să notăm câteva clase de cifre afin echivalente.

1). Toate triunghiurile sunt echivalente în mod afine (reduce din teorema principală).

2). Toate paralelogramele sunt echivalente afin.

3). Pentru echivalența afină a trapezelor este necesar și suficient ca bazele lor să fie proporționale.

Corespondența perspectivă-afină a două planuri

Să presupunem că două plane w și w" se intersectează de-a lungul dreptei xx (Fig. 1). Să definim o dreaptă l care intersectează ambele plane. Să marchem un punct arbitrar A pe planul w și să-l proiectăm pe planul w ", trasând o linie dreaptă prin A, paralelă cu l. Fie ca dreapta proeminentă să intersecteze planul w" în punctul A". Punctul A" poate fi considerat ca o proiecție a punctului A pe planul w". O astfel de proiecție se numește paralelă și se determină prin specificarea dreptei l.

Din însăși construcția proiecției A" a punctului A, este clar că, la rândul său, punctul A poate fi considerat ca o proiecție a punctului A" pe planul w. Astfel, proiecția paralelă este un aparat care are exact aceeași semnificație în raport cu ambele planuri w și w." Ea atribuie fiecărui punct (A) al primului plan un punct complet specific (A") al celui de-al doilea și invers. . Obținem o corespondență perechi de puncte ale planurilor w și w.” Această corespondență este unu-la-unu, adică fiecare punct al unui plan corespunde unui punct unic al celui de-al doilea și invers.

Corespondența dintre planurile w și w”, stabilită folosind o proiecție paralelă, se numește perspectivă-afină sau înrudită.

Dacă luăm în considerare procesul de tranziție de la unul dintre aceste planuri (de exemplu, w) la un alt plan (w"), în care fiecare punct (A) al unui plan (w) trece la punctul corespunzător (A") al altuia plan (w"), ca unilateral, atunci se numește transformarea planului (w) în plan (w") - În acest caz, punctul A se numește imaginea inversă, iar punctul A" este imaginea sa .

Proiectând un plan paralel w pe planul w" efectuăm o transformare perspectivă-afină a planului w în planul w" .

De asemenea, putem numi colecția tuturor punctelor planului w un câmp de puncte w și să vorbim despre transformarea unui câmp de puncte w într-un câmp de puncte w.”

Să ne punem sarcina de a studia proprietățile corespondenței perspectivă-afină a planurilor.

Să ne ocupăm, în primul rând, de chestiunea punctelor duble, sau fixe, ale corespondenței noastre, adică a unor astfel de puncte care coincid cu punctele lor corespunzătoare. Deoarece fiecare punct dublu trebuie să aparțină atât unuia cât și celuilalt plan, ele trebuie să se afle pe dreapta de intersecție xx a planurilor w și w." Pe de altă parte, este evident că fiecare punct de pe dreapta xx este un punct dublu, întrucât îi corespunde ea însăși.Dreapta se numește axă de corespondență.Potrivit celei precedente, axa de corespondență poate fi definită drept locul punctelor duble.

Astfel, o linie dreaptă pe un plan corespunde unei drepte pe celălalt. Această proprietate a corespondenței perspectivă-afină se numește coliniaritate. În virtutea însăși definiției unei proiecții paralele a unei figuri ca loc geometric al proiecțiilor tuturor punctelor acestei figuri, fiecare punct situat pe o dreaptă corespunde întotdeauna unui punct situat pe dreapta corespunzătoare. Prin urmare, apartenența reciprocă a unui punct și a unei linii pe un plan implică apartenența reciprocă a elementelor corespunzătoare pe al doilea.

2. Următoarea proprietate a corespondenței perspectivă-afină se referă la așa-numitul raport simplu a trei puncte de pe o dreaptă.

Să considerăm trei puncte A, B, C situate pe aceeași linie dreaptă (Figura 1). Raportul simplu al punctelor A, B, C este determinat de formula:

corespondență afină de transformare geometrică

În această formulă, punctele A și B sunt considerate principale (sau de bază), iar punctul C este considerat împărțitor. Un raport simplu (ABC) este raportul dintre lungimile acelor segmente pe care le formează punctul de despărțire cu cele principale. Dacă punctul C se află în afara segmentului A B, atunci ambele segmente AC și BC sunt direcționate egal și, prin urmare, în acest caz raportul simplu (ABC) este pozitiv. În cazul în care punctul de împărțire C este între A și B, raportul simplu (ABC) este negativ.

În desenul 1 puteți vedea că punctele A, B, C ale planului w corespund punctelor A, B, C ale planului w. Deoarece liniile drepte proeminente AA, BB, SS sunt paralele, vom avea:

sau (ABC) = (A"B"C").

Ajungem la concluzia că într-o corespondență perspectivă-afină, raportul simplu a trei puncte pe o dreaptă a unui plan este întotdeauna egal cu raportul simplu a trei puncte corespondente ale altuia.

3. Înainte de a trece la considerarea altor proprietăți ale corespondenței perspectivă-afină, să ne oprim asupra chestiunii posibilei locații a planurilor corespunzătoare w și w" în spațiu.

Până acum, am presupus că aceste planuri sunt necoincidente și care se intersectează de-a lungul dreptei xx pentru a stabili corespondența perspectivă-afină discutată mai sus prin proiecție paralelă. Odată ce o astfel de corespondență a fost stabilită, ar fi posibilă aducerea ambelor planuri în coincidență prin rotirea oricăruia dintre ele în jurul axei xx. În acest caz, toate imaginile geometrice situate într-unul și celălalt plan nu suferă nicio modificare. În consecință, atât în ​​orice moment de rotație a planului, cât și atunci când acesta este combinat cu un al doilea plan, nu se încalcă corespondența perspectivă-afină stabilită anterior.

Liniile drepte care leagă punctele corespunzătoare, cum ar fi AA", BB", SS",..., rămân paralele în orice poziție a planului rotativ, precum și după alinierea acestuia cu un plan staționar. Acest lucru este evident din faptul că că fiecare două dintre liniile drepte menționate (de exemplu, AA" și BB") se află întotdeauna în același plan, definit de o pereche de linii drepte care se intersectează (AB și A"B") și decupează segmente proporționale pe laturi a unghiului, deoarece (ABX) = (A"B"X). La combinarea planurilor w și w" liniile drepte proiectante (AA", BB",...) se vor dovedi a se afla în planul format din două coincidente. planele w și w” (fig. 2).

Un interes deosebit pentru noi este cazul poziției combinate a planurilor, deoarece în acest caz putem folosi un desen plat care ilustrează corespondența stabilită fără distorsiuni.

În cazul combinației, fiecare punct al planului (dublu) poate fi considerat ca aparținând planului w sau w" și notat în funcție de aceasta printr-o majusculă fără prim sau cu prim. Astfel, avem o transformare de planul în sine, iar starea sa inițială (planul înainte de transformare) este notă cu litera w, iar noua stare (planul după transformare) este notă cu litera w”.

Rețineți că, după combinarea planurilor, axa de corespondență xx încetează să mai fie linia de intersecție a acestor plane, dar păstrează a doua definiție ca locație geometrică a punctelor duble sau fixe.

4. Acum am putea abandona aparatul spațial (proiecție paralelă), care ne-a servit la stabilirea unei corespondențe perspectivă-afină între două planuri, și să-l determinăm pe acesta din urmă pentru un plan dublu fără a merge în spațiu. În acest scop, demonstrăm următoarea presupunere: Transformarea perspectivă-afină a unui plan în sine este complet determinată de axa (xx) și de o pereche de puncte corespunzătoare (A, A").

Dovada. Să fie date axa xx și o pereche de puncte corespunzătoare (AA") ale transformării perspectivă-afină (Fig. 3). Să demonstrăm că pentru orice punct din plan este posibil să se construiască un corespondent bine definit și unic. punctul B”.

Să desenăm o linie dreaptă AB. Fie X punctul de intersecție cu axa xx. Deoarece punctul X corespunde lui însuși (ca situat pe axă), atunci linia dreaptă AX corespunde dreptei A"X. În cele din urmă, punctul B" trebuie să se afle pe linia A"X și dreapta proeminentă BB", paralelă cu A A . Acest lucru ne permite să construim punctul necesar B." Astfel, au existat suficiente date, iar punctul corespunzător B” reprezintă singura soluție.

Rețineți că corespondența perspectivă-afină se va realiza efectiv, deoarece construcția indicată nu poate duce la o contradicție. Acest lucru poate fi ușor verificat prin reducerea construcției la un aparat de proiecție paralelă.

De fapt, dacă îndoim desenul 3 de-a lungul liniei xx astfel încât planele w și w" să formeze un unghi diedru, atunci toate liniile drepte care se proiectează (liniile drepte care leagă punctele corespunzătoare, de exemplu BB") se vor dovedi a fi paralele la dreapta AA" (datorită proporţionalităţii segmentelor). În consecinţă, corespondenţa pe care am construit-o poate fi considerată ca rezultat al unei proiecţii paralele.

Notă. Dacă în desenul 3 am atribuit punctul B planului w, notându-l cu C, atunci construirea punctului corespunzător ne-ar conduce la punctul C, care, după cum se vede din desenul 3, nu coincide întotdeauna cu B." se dovedește că o condiție necesară și suficientă pentru o astfel de coincidență, adică independența corespondenței perspectivă-afină față de faptul că punctul este atribuit unuia sau altui plan, este împărțirea segmentului A A" la jumătate în punctul de intersecție cu axa xx.

Prin urmare, în acest caz, corespondența este simetrie oblică sau directă (față de axa xx).

5. În studiul suplimentar al corespondenței perspectivă-afină, ne vom baza pe proprietățile stabilite mai sus: 1) coliniaritate și 2) egalitate de relații simple de triplete de puncte corespondente.

Rețineți că în transformările perspectivă-afine aceste proprietăți exprimă imuabilitatea, sau invarianța, a conceptului de linie dreaptă și a conceptului de relație simplă a trei puncte ale unei linii.

Din aceste proprietăți se poate deriva o serie întreagă de alți „invarianți” ai transformării perspectivă-afină, care, astfel, nu mai sunt independenți. Să demonstrăm mai întâi invarianța paralelismului dreptelor. Să presupunem că pe planul w avem două drepte a și b, care pe planul w" corespund dreptelor a" și b". Să presupunem că dreptele a și b sunt paralele (a || b). Să demonstrăm că un „|| b". Să aplicăm o demonstrație prin contradicție. Să presupunem că liniile a" și b" se intersectează și notăm punctul de intersecție cu litera M" (Fig. 4). Apoi, din cauza corespondenței unu-la-unu a planurilor w și w, punctul M corespunde planului w. Punctul M din planul w corespunde punctului M din planul w. Punctul M trebuie să aparțină atât dreptei a cât și dreapta b. În consecință, M este punctul de intersecție al dreptelor a și b. Astfel, ajungem la o contradicție. Presupunerea că liniile a" și b" se intersectează este imposibilă. Prin urmare a" || b".

Astfel, paralelismul liniilor este o proprietate invariantă a unei transformări perspectivă-afine.

Să conectăm B cu D și să tragem o linie CF || prin C. DВ. Pe planul w" dreapta СF va corespunde dreptei С"F" D"В" (datorită invarianței paralelismului) și, prin urmare, punctului F va corespunde punctului F". Știind că relația simplă a trei puncte este invariabilă, putem scrie:

Astfel, ajungem la egalitate:

Acesta din urmă arată că relația dintre două segmente paralele este un invariant al corespondenței perspectivă-afină.

Dacă segmentele AB și CD se află pe aceeași linie dreaptă (Fig. 6), atunci relația lor este, de asemenea, invariabilă în corespondența perspectivă-afină. Într-adevăr, fie PQ un segment arbitrar paralel cu dreapta AB. Atunci noi avem:

6. Să trecem la luarea în considerare a zonelor figurilor corespunzătoare. Să demonstrăm următoarea lemă: Distanțele dintre două puncte corespunzătoare (A, A") față de axa de corespondență (xx) sunt într-un raport constant, independent de alegerea unei perechi de puncte corespunzătoare. Demonstrare. Să presupunem că punctele A și B corespund punctelor A" și B" ( Fig. 7) Coborând perpendicularele din aceste puncte pe axa xx, obținem distanțele acestora față de axă. Distanțele vor fi întotdeauna considerate pozitive, indiferent de direcția perpendicularelor.

Putem scrie:

Dar după cum se vede din desen:

Egalitatea rezultată demonstrează lema formulată mai sus.

Notăm raportul constant al distanțelor punctelor corespunzătoare cu k. Să demonstrăm următoarea teoremă.

Raportul ariilor a două triunghiuri corespondente este constant și egal cu.

Demonstrarea teoremei se descompune în următoarele cazuri:

1. Triunghiurile au o latură comună pe axa xx.

Astfel de triunghiuri sunt prezentate în Figura 8. Raportul ariilor lor va fi exprimat după cum urmează:

2. Triunghiurile au un vârf comun pe axa xx.

Acestea sunt cele două triunghiuri din desenul 9. Laturile corespunzătoare BC și BC ale acestor triunghiuri trebuie să se intersecteze pe axa xx (în punctul X). Cazul luat în considerare se reduce la precedentul. De fapt, pe baza celui precedent, putem scrie:

Prin urmare vom avea:

3. Cazul general a două triunghiuri corespondente.

Să avem două triunghiuri corespunzătoare ABC și A"B"C în desenul 10. Luați în considerare unul dintre aceste triunghiuri, de exemplu ABC. Aria acestui triunghi poate fi reprezentată după cum urmează:

Toate triunghiurile din partea dreaptă a acestei egalități se referă la cele două cazuri deja luate în considerare, prin urmare, aplicând lor teorema dovedită, putem rescrie egalitatea găsită mai sus după cum urmează:

Prin urmare,

7. Proprietatea pe care am derivat-o a ariilor a două triunghiuri corespondente poate fi extinsă cu ușurință în cazul poligoanelor corespondente. De fapt, fiecare poligon poate fi împărțit în mai multe triunghiuri, iar aria poligonului este exprimată prin suma ariilor triunghiurilor sale constitutive.

Pentru poligonul corespunzător obținem o împărțire similară în triunghiuri. Dacă notăm ariile a două poligoane corespondente cu literele S și S”, iar ariile celor două triunghiuri constitutive corespondente cu litere, atunci putem scrie:

Deoarece, în plus, pentru ariile triunghiurilor corespunzătoare avem:

Astfel obținem:

În cele din urmă, putem generaliza teorema relației de arie la cazul a două arii mărginite de curbe corespunzătoare de formă arbitrară.

Să notăm zonele mărginite de două curbe corespunzătoare prin și. Să înscriem poligonul în curba care mărginește aria și să notăm aria acestui poligon cu litera S. Vom crește numărul de laturi ale poligonului înscris la infinit, cu condiția ca fiecare latură să tinde spre zero, atunci vom obține:

Pentru zonă vom avea un proces similar: ,

unde S" desemnează aria poligonului corespunzătoare poligonului S. Deoarece pe parcursul întregului proces (modificări de poligoane), conform teoremei dovedite mai sus, acestea trebuie să aibă:

apoi trecerea la limită dă =k.

Prin urmare,

Proprietatea rezultată poate fi reprezentată ca un invariant al corespondenței perspectivă-afină.

De fapt, să notăm cu și zonele mărginite de două curbe de formă arbitrară, iar prin „și” - ariile mărginite de curbele corespunzătoare, apoi, conform celor dovedite, vom avea:

sau, rearanjarea termenilor de mijloc ai proporției:

care poate fi exprimat în următoarele cuvinte: raportul dintre oricare două zone nu se modifică (este invariant) în corespondența perspectivă-afină.

Potrivirea afină generală

O corespondență perspectivă-afină între două planuri poate fi obținută folosind proiecția paralelă.

Să considerăm acum corespondența a două plane formate prin utilizarea repetată a proiecției paralele. Deci, în desenul 11, planul w este proiectat paralel cu dreapta l pe planul w." Acest plan este proiectat paralel cu dreapta l" pe planul w. În cele din urmă, acesta din urmă este proiectat paralel cu dreapta l" pe planul w. " Astfel, se stabilește o corespondență între planurile w și w"" în care punctele A, B, C ale primului plan corespund punctelor A"", B"", C" ale celui de-al doilea. Este ușor de verificat că acest lucru corespondența poate să nu fie o proiecție paralelă, dar are în același timp proprietățile invariante ale unei corespondențe perspectivă-afine. De fapt, corespondența planurilor w și w"" este un lanț de proiecții paralele succesive. Deoarece fiecare astfel de proiecție păstrează coliniaritate și o relație simplă de trei puncte, atunci aceleași proprietăți trebuie, Evident, corespondența rezultată între planele w și w""" există și.

Același lucru se poate spune despre celelalte proprietăți invariante considerate în cazul corespondenței perspectivă-afină, care se dovedește astfel a fi doar acel caz special când liniile care leagă punctele corespunzătoare sunt paralele între ele:

Tocmai din acest motiv, o astfel de corespondență se numește perspectivă-afină.

Corespondența planurilor w și w""" se numește afină. Am ajuns la acest concept folosind un lanț de transformări perspectivă-afine (sau proiecții paralele). Dacă le notăm pe fiecare dintre ele cu literele P, P, P" și transformarea rezultată prin litera A , putem reprezenta transformarea afină A cu următoarea formulă simbolică:

A = P * P" * P",

în care partea dreaptă este un „produs” al transformărilor perspectivă-afine, adică rezultatul aplicării lor secvențiale.

Același raționament ar putea fi efectuat fără a părăsi un plan, pentru care este suficient să luăm în considerare lanțul de transformări perspectivă-afine ale planului în sine. Fiecare dintre transformări poate fi specificată printr-o axă și o pereche de puncte corespunzătoare. Deci, de exemplu, în desenul 12, prima transformare P este specificată de axa xx și perechea (A, A"); a doua P" - de axă și perechea (A", A"); al treilea P" - axa x "x" și perechea (A" "A""). În transformarea rezultată A, punctul A corespunde punctului A"". Același desen arată construcția punctului B"" , corespunzător punctului B.

Cele de mai sus arată că transformările obținute folosind un lanț de proiecții paralele (sau transformări perspectivă-afine) au proprietățile de coliniaritate și păstrarea unei relații simple de trei puncte.

Mai jos \(f\) denotă o transformare afină scrisă în sistemul de coordonate carteziene \(O, \boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)\) prin formule
$$
x^(*)=a_(1)x+b_(1)y+c_(1),\ y^(*)=a_(2)x+b_(2)y+c_(2).\label( ref1)
$$
dat fiind
$$
\begin(vmatrix)
a_(1)& b_(1)\\
a_(2) și b_(2)
\end(vmatrix) \neq 0.\label(ref2)
$$

Să considerăm o dreaptă pe plan cu ecuația \(\boldsymbol(r)=\boldsymbol(r)_(0)+\boldsymbol(a)t\) și să găsim imaginea acesteia sub transformarea \(f\). (Imaginea unei linii este înțeleasă ca mulțime de imagini ale punctelor sale.) Vectorul rază al imaginii \(M^(*)\) a unui punct arbitrar \(M\) poate fi calculat după cum urmează:
$$
\overrightarrow(OM^(*))=\overrightarrow(Of(O))+f\overrightarrow((O)M^(*))=\boldsymbol(c)+f(\boldsymbol(r)).\nonumber
$$

Aici \(\boldsymbol(c)\) este un vector constant \(\overrightarrow(Of)(O)\), iar \(\boldsymbol(r)\) este vectorul rază al punctului \(M\). Conform (11) §2 obţinem
$$
\overrightarrow(OM^(*))=\boldsymbol(c)+f(\boldsymbol(r)_(0))+f(\boldsymbol(a))t.\label(ref3)
$$
Deoarece \(f\) este o transformare afină și \(\boldsymbol(a) \neq \boldsymbol(0)\), atunci \(\boldsymbol(a)\) va intra în vectorul \(f(\boldsymbol( a) ) \neq 0\), iar ecuația \eqref(ref3) este ecuația unei drepte. Deci, imaginile tuturor punctelor dreptei \(\boldsymbol(r)=\boldsymbol(r)_(0)+\boldsymbol(a)t\) se află pe linia \eqref(ref3).

Mai mult decât atât, transformarea \(f\) determină o mapare unu-la-unu a unei linii la alta, deoarece cu alegerea punctelor inițiale și a vectorilor de direcție făcută aici, punctul \(M^(*)\) are același valoarea pe linia \eqref(ref3) parametrul \(t\), la fel ca punctul \(M\) de pe linia originală. De aici obținem prima declarație.

Afirmația 1.

Cu o transformare afină:

• o linie dreaptă se transformă într-o linie dreaptă;
• un segment intră într-un segment;
• liniile paralele devin paralele.

Dovada.

Pentru a demonstra a doua afirmație, este suficient să rețineți că un segment de linie dreaptă este format din puncte pentru care valorile parametrilor satisfac o inegalitate de forma \(t_(1) \leq t \leq t_(2)\) a treia afirmație decurge din faptul că în cadrul unei transformări afine vectorii -th coliniari devin coliniari.

Afirmația 2.

În timpul unei transformări afine, raportul dintre lungimile segmentelor paralele nu se modifică.

Dovada.

Fie segmentele \(AB\) și \(CD\) paralele. Aceasta înseamnă că există un număr \(\lambda\) astfel încât \(\overrightarrow(AB)=\lambda \overrightarrow(CD)\). Imaginile vectorilor \(\overrightarrow(AB)\) și \(\overrightarrow(CD)\) sunt conectate prin aceeași dependență \(\overrightarrow(A^(*)B^(*))=\lambda \ săgeată la dreapta(C^( *)D^(*))\). De aici rezultă că
$$
\frac(|\overrightarrow(AB)|)(|\overrightarrow(CD)|)=\frac(|\overrightarrow(A^(*)B^(*))|)(|\overrightarrow(C^(*) )D^(*))|)=|\lambda|.\nonumber
$$

Consecinţă.

Dacă un punct \(C\) împarte segmentul \(AB\) într-o relație \(\lambda\), atunci imaginea sa \(C^(*)\) împarte imaginea \(A^(*)B^ (*) \) segment \(AB\) în aceeași relație \(\lambda\).

Schimbarea zonelor în timpul transformării afine.

Mai întâi, să aruncăm o privire. Să alegem un sistem de coordonate carteziene general \(O, \boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)\) și îl notăm cu \((p_(1), p_(2)) \) și \ ((q_(1), q_(2))\) componente ale vectorilor \(\boldsymbol(p)\) și \(\boldsymbol(q)\) pe care este construit. Putem calcula aria unui paralelogram folosind:
$$
S_(\pm)=S_(\pm) (\boldsymbol(p), \boldsymbol(q))=(p_(1)q_(2)-p_(2)q_(1)) S_(\pm) ( \boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)).\nonumber
$$

Fie ca transformarea afină \(f\) să fie scrisă în sistemul de coordonate ales prin formulele \eqref(ref1). Din ceea ce s-a dovedit anterior rezultă că vectorii \(f(\boldsymbol(p))\) și \(f(\boldsymbol(q))\) au \(f(\boldsymbol(e)_(1)) în baza lor, f(\boldsymbol(e)_(2))\) aceleași componente \((p_(1), p_(2))\) și \((q_(1), q_(2)) \) că și vectorii \(\boldsymbol(p)\) și \(\boldsymbol(q)\) din baza \(\boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)\ ). Imaginea paralelogramului este construită pe vectorii \(f(\boldsymbol(p))\) și \(f(\boldsymbol(q))\), iar aria sa este egală cu
$$
S_(\pm)^(*)=S_(\pm) (f(\boldsymbol(p)), f(\boldsymbol(q)))=(p_(1)q_(2)-p_(2)q_ (1)) S_(\pm) (f(\boldsymbol(e)_(1)), f(\boldsymbol(e)_(2))).\nonnumber
$$

Să calculăm ultimul factor. După cum știm din ceea ce sa dovedit deja, coordonatele vectorilor \(f(\boldsymbol(e)_(1)), f(\boldsymbol(e)_(2))\) sunt egale, respectiv, \ ((a_(1), a_( 2))\) și \((b_(1), b_(2))\). Prin urmare, \(S_(\pm) (f(\boldsymbol(e)_(1)), f(\boldsymbol(e)_(2)))=(a_(1)b_(2)-a_(2) b_(1)) S_(\pm) (\boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2))\) și
$$
S_(\pm)^(*)=(p_(1)q_(2)-p_(2)q_(1))(a_(1)b_(2)-a_(2)b_(1)) S_( \pm) (\boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)).\nonumber
$$
De aici vedem asta
$$
\frac(S_(\pm)^(*))(S_(\pm))=\begin(vmatrix)
a_(1)& b_(1)\\
a_(2) și b_(2)
\end(vmatrix).\label(ref4)
$$

Astfel, raportul dintre aria imaginii unui paralelogram orientat și aria acestui paralelogram este același pentru toate paralelogramele și este egal cu \(a_(1)b_(2)-a_(2)b_ (1)\).

Rezultă că acest determinant nu depinde de alegerea sistemului de coordonate în care este scrisă transformarea, deși se calculează din coeficienți care depind de sistemul de coordonate. Această mărime este un invariant care exprimă proprietatea geometrică a transformării.

Din formula \eqref(ref4) este clar că raportul dintre aria imaginii unui paralelogram neorientat și aria sa este egal cu
$$
S^(*)/S=|a_(1)b_(2)-a_(2)b_(1)|.\label(ref5)
$$

Dacă \(a_(1)b_(2)-a_(2)b_(1) > 0\), atunci orientările tuturor paralelogramelor orientate sunt păstrate în timpul transformării și dacă \(a_(1)b_(2) -a_(2 )b_(1)< 0\), то для каждого ориентированного параллелограмма ориентация образа противоположна его ориентации.

Să ne ocupăm acum de domeniile altor figuri. Fiecare triunghi poate fi extins pentru a forma un paralelogram a cărui aria este de două ori mai mare decât aria triunghiului. Prin urmare, raportul dintre aria imaginii unui triunghi și aria acestui triunghi satisface egalitatea \eqref(ref5).

Fiecare poligon poate fi împărțit în triunghiuri. Prin urmare, formula \eqref(ref5) este valabilă și pentru poligoane arbitrare.

Nu ne vom referi aici la determinarea ariei unei figuri curbilinii arbitrare. Vom spune doar că în acele cazuri când această zonă este definită, ea este egală cu limita ariilor unei anumite secvențe de poligoane înscrise în figura luată în considerare. Din teoria limitelor se cunoaște următoarea presupunere: dacă șirul \(S_(n)\) tinde spre limită \(S\), atunci șirul \(\delta S_(n)\), unde \(\ delta\) este constantă, tinde să limiteze \(\delta S\). Pe baza acestei propuneri, concluzionăm că formula \eqref(ref5) este valabilă în cazul cel mai general.

De exemplu, să găsim expresia pentru aria unei elipse în termenii semi-axelor sale. Mai devreme am observat că o elipsă cu semiaxele \(a\) și \(b\) poate fi obținută prin comprimarea unui cerc cu raza \(a\) la o dreaptă care trece prin centrul său. Raportul de compresie este \(b/a\). Într-una dintre ele am primit o înregistrare de coordonate a compresiei la linia dreaptă \(x^(*)=x\), \(y^(*)=\lambda y\). Determinantul coeficienților din aceste formule este egal cu \(\lambda\), adică în cazul nostru \(b/a\). Astfel, raportul dintre aria elipsei și aria cercului este \(b/a\), iar această zonă este \(S=(b/a)\pi a^(2)\ ). În sfârșit avem
$$
S=\pi ab.\nonnumber
$$

Imagini ale liniilor de ordinul doi.

Am văzut că o linie dreaptă se transformă într-o linie dreaptă. Acesta este un caz special al următoarei afirmații.

Afirmația 3.

O transformare afină transformă o linie algebrică într-o linie algebrică de același ordin.

Dovada.

De fapt, fie linia \(L\) din sistemul de coordonate cartezian \(O, \boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)\) are o ecuație algebrică de ordinul \(p \). Știm deja că imaginile tuturor punctelor dreptei \(L\) sub transformarea afină \(f\) au în sistemul de coordonate \(f(O), f(\boldsymbol(e)_(1)) , f(\boldsymbol(e)_(2))\) sunt aceleași coordonate ca și imaginile lor inverse în sistemul de coordonate \(O, \boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2) \). În consecință, coordonatele imaginilor din sistem \(f(O), f(\boldsymbol(e)_(1)), f(\boldsymbol(e)_(2))\) sunt legate prin aceeași algebrică ecuația de ordin \(p\ ). Este suficient pentru a trage concluzia de care avem nevoie.

Din afirmația dovedită mai sus, în special, rezultă că o linie de ordinul doi sub o transformare afină se va transforma într-o linie de ordinul doi. Vom dovedi o afirmație mai puternică. După cum știm deja, liniile de ordinul doi pot fi împărțite în . Vom vedea că clasa liniei este păstrată sub transformarea afină. Pe această bază, clasele de linii enumerate în teorema menționată sunt numite clase afine. Deci, să demonstrăm o nouă afirmație.

Afirmația 4.

O linie de ordinul doi aparținând uneia dintre clasele afine se poate transforma doar într-o linie a aceleiași clase în cadrul oricărei transformări afine. Fiecare linie de ordinul doi poate fi transformată printr-o transformare afină adecvată în orice altă linie din aceeași clasă afină.

Dovada.

Vom numi o dreaptă mărginită dacă se află în interiorul unui paralelogram. Este ușor de observat că, cu o transformare afină, o linie mărginită trebuie să devină mărginită, iar o linie nemărginită trebuie să devină nemărginită.

1. O elipsă este o linie de ordinul doi mărginită. Pe lângă elipse, sunt limitate doar liniile formate dintr-un punct, adică o pereche de linii imaginare care se intersectează. Deoarece o elipsă este limitată și constă din mai mult de un punct, se poate transforma doar într-o elipsă.
2. Hiperbola are două ramuri separate. Această proprietate poate fi formulată în așa fel încât invarianța ei în cadrul transformărilor afine să fie clară. Și anume, există o linie dreaptă care nu intersectează o hiperbolă, ci intersectează unele dintre coardele acesteia.Din toate liniile de ordinul doi, numai hiperbolele și perechile de drepte paralele au această proprietate. Ramurile unei hiperbole nu sunt linii drepte și, prin urmare, sub o transformare afină, se poate transforma doar într-o hiperbolă.
3. O parabolă este o linie nelimitată de ordinul doi, constând dintr-o bucată nerectilinie. Nicio altă linie de ordinul doi nu are această proprietate și, prin urmare, o parabolă se poate transforma doar într-o parabolă.
4. Dacă o dreaptă de ordinul doi reprezintă un punct (o pereche de drepte imaginare care se intersectează), o dreaptă (o pereche de drepte care coincid), o pereche de drepte care se intersectează sau o pereche de paralele, atunci din proprietățile dovedite anterior ale transformărilor afine rezultă că această linie nu se poate transforma într-o linie de altă clasă.

Să demonstrăm a doua parte a propoziției. În ceea ce am demonstrat deja, ecuațiile canonice ale dreptelor de ordinul doi sunt scrise într-un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian și conțin parametrii \(a, b, ...\) Dacă renunțăm la ortonormalitatea bazei, putem face mai departe simplificări ale ecuațiilor canonice și aduceți-le într-o formă care nu conține parametri . De exemplu, înlocuind coordonatele \(x'=x/a\), \(y'=y/b\) transformă ecuația elipsei \(x^(2)a^(2)+y^(2) )b^(2 )=1\) în ecuația \(x'^(2)+y'^(2)=1\), oricare ar fi \(a\) și \(b\). (Ultima ecuație nu este o ecuație a unui cerc, deoarece noul sistem de coordonate nu este dreptunghiular cartezian.)

Cititorul poate arăta cu ușurință că ecuațiile canonice ale liniilor de ordinul doi pot fi transformate în următoarele ecuații prin trecerea la un sistem de coordonate adecvat:

1. \(x^(2)+y^(2)=1\);
2. \(x^(2)+y^(2)=0\);
3. \(x^(2)-y^(2)=1\);
4. \(x^(2)-y^(2)=0\);
5. \(y^(2)=2x\);
6. \(y^(2)-1=0\);
7. \(y^(2)=0\).

Vom numi un astfel de sistem de coordonate un sistem de coordonate canonic afin.

Rezultă de mai devreme că o transformare afină care combină sistemele de coordonate canonice afine a două linii din aceeași clasă afină combină și aceste linii. Aceasta completează dovada.

Descompunerea transformării ortogonale.

Teorema 1.

Fiecare transformare ortogonală este descompusă într-un produs de translație paralelă, rotație și, eventual, simetrie axială.

Dovada.

Fie \(f\) o transformare ortogonală și \(\vartriangle ABC\) un triunghi dreptunghic isoscel cu unghi drept \(A\). La transformarea \(f\), se va transforma într-un triunghi egal \(\vartriangle A^(*)B^(*)C^(*)\) cu un unghi drept la vârful \(A^(*) \). Teorema se va dovedi dacă, efectuând translația paralelă secvenţială \(p\), rotația \(q\) și (dacă este necesar) simetria axială \(r\), putem combina triunghiurile \(ABC\) și \( A^ (*)B^(*)C^(*)\). Într-adevăr, produsul \(rqp\) este o transformare afină la fel ca \(f\), iar o transformare afină este determinată în mod unic de imaginile a trei puncte care nu se află pe aceeași linie. Prin urmare, \(rqp\) coincide cu \(f\).

Deci, să traducem \(A\) și \(A^(*)\) prin transfer paralel \(p\) la vectorul \(\overrightarrow(AA^(*))\) (dacă \(A=A) ^(* )\), atunci \(p\) este transformarea identităţii). Apoi, prin rotirea \(q\) în jurul punctului \(A^(*)\), \(p(B)\) este compatibil cu \(B^(*)\) (poate că această transformare va fi, de asemenea, identică ). Punctul \(q(p(C))\) fie coincide cu \(C^(*)\), fie este simetric cu acesta în raport cu dreapta \(A^(*)B^(*)\ ). În primul caz, obiectivul a fost deja atins, iar în al doilea, va fi necesară simetria axială față de linia dreaptă specificată. Teorema a fost demonstrată.

Trebuie avut în vedere faptul că expansiunea rezultată a transformării ortogonale nu este unică. Mai mult, o rotație sau o translație paralelă poate fi descompusă într-un produs al simetriilor axiale, produsul translației și rotației paralele poate fi reprezentat ca o singură rotație și așa mai departe. Nu vom specifica cum să facem acest lucru, dar vom clarifica următoarea proprietate generală a tuturor acestor extinderi.

Afirmația 5.

Pentru orice extindere a unei transformări ortogonale în produsul oricărui număr de translații paralele, rotații și simetrii axiale, paritatea numărului de simetrii axiale incluse în expansiune este aceeași.

Dovada.

Pentru a demonstra acest lucru, să luăm în considerare o bază arbitrară pe plan și să urmărim schimbarea orientării acestuia (direcția celei mai scurte rotații de la \(\boldsymbol(e)_(1)\) la \(\boldsymbol(e)_ (2)\)) în timpul transformărilor efectuate. Rețineți că rotația și translația paralelă nu schimbă orientarea niciunei baze, dar simetria axială modifică orientarea oricărei baze. Prin urmare, dacă o anumită transformare ortogonală schimbă orientarea bazei, atunci orice extindere a acesteia trebuie să includă un număr impar de simetrii axiale. Dacă orientarea bazei nu se schimbă, atunci numărul de simetrii axiale incluse în expansiune poate fi doar par.

Definiție.

Se numesc transformări ortogonale care pot fi descompuse în produsul translației și rotației paralele transformări ortogonale de primul fel , si restul - transformări ortogonale de al doilea fel .

O transformare ortogonală într-un sistem de coordonate cartezian dreptunghiular se scrie:
$$
\begin(array)(cc)


\end(matrice).\nonnumber
$$
Cu semnele superioare ale coeficienților \(y\) din aceste formule, determinantul compus din coeficienți este egal cu +1, iar cu semnele inferioare este egal cu -1. De aici și din formula \eqref(ref4) urmează următoarea afirmație.

Afirmația 6.

O transformare ortogonală de primul fel este scrisă într-un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian prin formule
$$
\begin(array)(cc)
& x^(*)=x \cos \varphi \mp y \sin \varphi+c_(1),\\
& y^(*)=x \sin \varphi \pm y \cos \varphi+c_(2).
\end(matrice).\nonnumber
$$
cu semne superioare pentru coeficienții lui \(y\), și o transformare ortogonală de al doilea fel - cu semne inferioare.

Descompunerea unei transformări afine.

Am văzut cât de mult poate schimba un plan o transformare afină: un cerc se poate transforma într-o elipsă, un triunghi regulat într-unul complet arbitrar. S-ar părea că niciun unghi nu poate fi păstrat. Cu toate acestea, următoarea afirmație este valabilă

Afirmația 7.

Pentru fiecare transformare afină, există două drepte reciproc perpendiculare care se transformă în linii reciproc perpendiculare.

Dovada.

Pentru a demonstra acest lucru, luați în considerare un cerc. Cu această transformare afină se va transforma într-o elipsă. Fiecare axă de elipsă este setul de puncte medii ale coardelor paralele cu cealaltă axă. În timpul unei transformări afine, coarda se va transforma într-o coardă, paralelismul trebuie păstrat, iar punctul de mijloc al segmentului se va transforma în punctul de mijloc al imaginii sale. Prin urmare, prototipurile axelor elipsei sunt segmente care au aceeași proprietate: fiecare dintre ele este mulțimea punctelor mijlocii ale coardelor unui cerc paralel cu alt segment. Astfel de segmente sunt cu siguranță două diametre reciproc perpendiculare ale cercului. Acesta este ceea ce aveam nevoie: există două diametre reciproc perpendiculare ale cercului, care se transformă în segmente reciproc perpendiculare - axele elipsei.

Este demn de remarcat un caz special: un cerc sub o transformare afină se poate transforma într-un cerc. În acest caz, același raționament se aplică oricăror două diametre reciproc perpendiculare ale imaginii-cercului. Evident, în acest caz, oricare două direcții reciproc perpendiculare rămân perpendiculare.

Definiție.

Două direcții reciproc perpendiculare se numesc direcții principale sau singulare ale transformării afine \(f\) dacă se transformă în direcții reciproc perpendiculare.

Teorema 2.

Fiecare transformare afină este descompusă în produsul unei transformări ortogonale și două compresii la două linii reciproc perpendiculare.

Dovada.

Dovada este similară cu dovada. Luați în considerare transformarea afină \(f\) și alegeți un triunghi dreptunghic isoscel \(ABC\) astfel încât catetele lui \(AB\) și \(AC\) să fie îndreptate de-a lungul direcțiilor principale ale transformării \(f\). Să notăm cu \(A^(*)\), \(B^(*)\) și \(C^(*)\) imaginile vârfurilor sale. Să facem o transformare ortogonală \(g\) astfel încât \(g(A)=A^(*)\), și, respectiv, punctele \(g(B)\) și \(g(C)\) să fie situate pe razele \(A^(*)B^(*)\) şi \(A^(*)C^(*)\). (Acest lucru poate fi realizat cu ușurință, ca în teorema 1, prin translație paralelă, rotație și simetrie axială.)

Fie \(\lambda=|A^(*)B^(*)|/|A^(*)g(B)|\), a \(\mu=|A^(*)C^(*) |/|A^(*)g(C)|\). Atunci contracția lui \(p_(1)\) la dreapta \(A^(*)C^(*)\) în relația \(\lambda\) va transforma \(g(B)\) în \ (p_(1) g(B)=B^(*)\) și nu va deplasa punctele \(A^(*)\) și \(g(C)\). În mod similar, contractarea \(p_(2)\) la linia \(A^(*)B^(*)\) va transforma \(g(C)\) în \(p_(2)g(C)= C^ (*)\) și nu va deplasa punctele dreptei \(A^(*)B^(*)\).

Aceasta înseamnă că produsul \(p_(2)p_(1)g\) duce punctele \(A\), \(B\) și \(C\) la punctele \(A^(*)\) , \ (B^(*)\) și \(C^(*)\) precum și transformarea \(f\) dată nouă. Conform celor dovedite anterior, avem \(p_(2)p_(1)g=f\), după cum este necesar.

În acest articol voi vorbi despre o formulă neobișnuită care vă permite să priviți transformările afine dintr-un unghi nou și mai ales problemele inverse care apar în legătură cu aceste transformări. Voi numi probleme inverse cele care necesită calcularea matricei inverse: găsirea unei transformări prin puncte, rezolvarea unui sistem de ecuații liniare, transformarea coordonatelor la schimbarea bazei etc. Permiteți-mi să fac imediat o rezervă că articolul nu va conține nici descoperiri fundamentale, nici o reducere a complexității algoritmice - voi arăta pur și simplu o formulă simetrică și ușor de reținut cu care puteți rezolva un număr neașteptat de mare de probleme comune. Pentru iubitorii de rigoare matematică, aici există o prezentare mai formalizată (direcționată pentru studenți) și o mică carte de probleme aici.

O transformare afină este de obicei specificată de o matrice și un vector de translație și acționează asupra argumentului vector conform formulei

Cu toate acestea, puteți face fără dacă utilizați o matrice augmentată și coordonate omogene pentru argument (cum știu bine utilizatorii OpenGL). Cu toate acestea, reiese că, pe lângă aceste forme de notație, puteți utiliza și determinantul unei matrice speciale, care conține atât coordonatele argumentului, cât și parametrii care specifică transformarea. Faptul este că determinantul are proprietatea de liniaritate asupra elementelor oricăruia dintre rândurile sau coloanele sale, iar acest lucru îi permite să fie folosit pentru a reprezenta transformări afine. Iată, de fapt, cum puteți exprima acțiunea unei transformări afine asupra unui vector arbitrar:

Nu vă grăbiți să fugiți îngrozit - în primul rând, aici este scrisă o transformare care operează pe spații de dimensiune arbitrară (deci sunt atât de multe lucruri) și, în al doilea rând, deși formula pare greoaie, este ușor de reținut și de utilizat. Pentru început, voi evidenția elemente legate logic cu rame și culoare.

Așadar, vedem că acțiunea oricărei transformări afine asupra unui vector poate fi reprezentată ca raport a doi determinanți, cu argumentul vectorial inclus doar în cel superior, iar cel inferior este pur și simplu o constantă care depinde doar de parametri.

Vectorul evidențiat cu albastru este argumentul, vectorul pe care se aplică transformarea afină. Aici și mai jos, indicele denotă componenta vectorială. În matricea superioară, componentele ocupă aproape toată prima coloană, cu excepția lor, în această coloană există doar zero (sus) și unul (jos). Toate celelalte elemente din matrice sunt vectori de parametri (numerotați cu un superscript plasat în paranteze pentru a nu fi confundate cu un grad) și unități din ultimul rând. Parametrii o selectează din setul tuturor transformărilor afine pe cea de care avem nevoie. Comoditatea și frumusețea formulei este că sensul acestor parametri este foarte simplu: ei definesc o transformare afină care transformă vectorii în . Prin urmare, vom numi vectorii „intrare” (sunt conturați în dreptunghiuri în matrice) - fiecare dintre ei este scris în componentă în propria sa coloană, cu o unitate adăugată mai jos. Parametrii de „ieșire” sunt scriși deasupra (evidențiați cu roșu), dar acum nu componentă cu componentă, ci ca o entitate întreagă.

Dacă cineva este surprins de o astfel de notație, atunci amintiți-vă produsul vectorial

Unde era o structură foarte asemănătoare și prima linie era ocupată de vectori în același mod. În acest caz, nu este necesar ca dimensiunile vectorilor și să coincidă. Toți determinanții sunt calculați ca de obicei și permit „trucurile” obișnuite, de exemplu, o altă coloană poate fi adăugată la orice coloană.

Cu matricea inferioară totul este extrem de simplu - se obține din cea superioară prin ștergerea primului rând și a primei coloane. Dezavantajul este că trebuie să numărați determinanții, dar dacă această sarcină de rutină este transferată pe un computer, se dovedește că o persoană va trebui doar să completeze corect matricele cu numerele din sarcina sa. În același timp, folosind o singură formulă, puteți rezolva destul de multe probleme comune în practică:

Transformare afină bazată pe trei puncte din plan

Sub acțiunea unei transformări afine necunoscute, trei puncte din plan s-au transformat în alte trei puncte. Să găsim această transformare afină.
Pentru a fi concret, lasă punctele noastre de intrare

iar rezultatul acțiunii de transformare au fost punctele

Să găsim transformarea afină.

De fapt, această problemă poate fi rezolvată în diferite moduri: folosind un sistem de ecuații liniare, coordonate baricentrice... dar vom merge pe drumul nostru. Cred că, din notația folosită, puteți ghici la ce ajung: luăm ecuația pentru dimensiune și o înlocuim ca parametri de intrare și ca parametri de ieșire

și atunci nu mai rămâne decât să calculăm determinanții
Un ochi antrenat poate observa cu ușurință întoarcerea către și transmiterea către.

Când se aplică formula?

Vectorii de intrare și de ieșire pot avea dimensiuni diferite - formula este aplicabilă pentru transformările afine care acționează asupra spațiilor de orice dimensiune. Cu toate acestea, ar trebui să existe suficiente puncte de intrare și ele nu ar trebui să „lipească împreună”: dacă o transformare afină acționează din spațiul -dimensional, punctele ar trebui să formeze un simplex nedegenerat din punct. Dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci este imposibil să restabiliți fără ambiguitate transformarea (prin orice metodă, nu doar aceasta) - formula va avertiza despre acest lucru cu un zero în numitor.

De ce ar trebui un programator să restabilească transformările afine?

Adesea trebuie să găsiți o transformare între două imagini (pentru a calcula poziția camerei, de exemplu). Dacă găsim mai multe puncte speciale (caracteristici) de încredere pe aceste imagini sau pur și simplu nu vrem să începem imediat cu jefuiri și să luptăm cu investitorii, atunci putem folosi această formulă.

Astfel, formula ascunde matricea inversă și înmulțirea cu o altă matrice în plus. Această expresie este soluția standard la problema găsirii unei transformări liniare din puncte. Rețineți că făcând din a doua matrice din produs matricea de identitate, obținem pur și simplu inversul matricei. Cu ajutorul lui se rezolvă un sistem de ecuații liniare și probleme care se reduc la el: găsirea coordonatelor baricentrice, interpolarea prin polinoame Lagrange etc. Totuși, reprezentarea sub forma unui produs a două matrici nu ne permite să obținem acele „două vederi” asociate cu descompunerea în primul rând și în prima coloană.

Interpolarea Lagrange și proprietățile sale

Permiteți-mi să vă reamintesc că interpolarea Lagrange este găsirea unui polinom de cel mai mic grad care trece prin punctele , , , . Nu că aceasta este o sarcină comună în practica de programare, dar să ne uităm oricum la ea.

Cum sunt legate polinoamele și transformările liniare?

Ideea este că polinomul
poate fi considerată ca o transformare liniară care mapează un vector la . Aceasta înseamnă că problema interpolării punctelor , , , se reduce la găsirea unei transformări liniare astfel încât

și știm cum să facem asta. Înlocuiți literele corecte în celulele corecte și obțineți formula

Dovada că acesta va fi un polinom Lagrange (și nu al altcuiva) poate fi găsită în. Apropo, expresia din numitor este determinantul Vandermonde. Știind acest lucru și extinzând determinantul din numărător de-a lungul primei linii, ajungem la o formulă mai familiară pentru polinomul Lagrange.

Problema polinomului Lagrange

Este greu de folosit? Să încercăm problema: găsiți polinomul Lagrange care trece prin punctele , și .

Să înlocuim aceste puncte în formulă

Pe grafic totul va arăta așa.

Proprietățile polinomului Lagrange

Prin extinderea determinantului superior de-a lungul primului rând și primei coloane, privim polinomul Lagrange din două unghiuri diferite. În primul caz, obținem formula clasică de la Wikipedia, iar în al doilea caz, obținem un polinom scris sub forma unei sume de monomii, unde

Și acum putem demonstra afirmații destul de complicate într-un mod relativ simplu. De exemplu, într-o linie se demonstrează că suma polinoamelor de bază Lagrange este egală cu unu și că polinomul Lagrange care interpolează , , , are valoarea , la zero. Ei bine, nu numai Lagrange - o abordare similară poate fi aplicată interpolării prin sinus-cosinus sau alte funcții.

Concluzie

Mulțumesc tuturor celor care au citit până la sfârșit. În acest articol, am rezolvat probleme standard folosind o formulă non-standard. Mi-a plăcut pentru că, în primul rând, arată că transformările afine (liniare), coordonatele baricentrice, interpolarea și chiar polinoamele Lagrange sunt strâns legate. La urma urmei, atunci când soluțiile la probleme sunt scrise uniform, ideea asemănării lor apare de la sine. În al doilea rând, de cele mai multe ori am plasat pur și simplu datele de intrare în celulele corecte fără transformări suplimentare.

Problemele pe care le-am considerat pot fi rezolvate folosind metode destul de familiare. Cu toate acestea, pentru probleme la scară mică sau sarcini educaționale, formula poate fi utilă. În plus, cred că e frumoasă.