Piramidă- acesta este un poliedru, în care o față este baza piramidei - un poligon arbitrar, iar restul sunt fețe laterale - triunghiuri cu un vârf comun, numit vârful piramidei. Perpendiculara coborâtă de la vârful piramidei până la baza ei se numește înălțimea piramidei. O piramidă se numește triunghiular, pătrangular etc., dacă baza piramidei este un triunghi, patrulater etc. O piramidă triunghiulară este un tetraedru - un tetraedru. Patraunghiular - pentagon etc.

Piramidă, Piramida trunchiată

Piramida corectă

Dacă baza piramidei este un poligon regulat, iar înălțimea cade în centrul bazei, atunci piramida este regulată. Într-o piramidă obișnuită, toate muchiile laterale sunt egale, toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale. Înălțimea triunghiului feței laterale a unei piramide regulate se numește - apotema piramidei regulate.

Piramida trunchiată

O secțiune paralelă cu baza piramidei împarte piramida în două părți. Partea piramidei dintre baza ei și această secțiune este trunchi de piramidă . Această secțiune pentru o piramidă trunchiată este una dintre bazele sale. Distanța dintre bazele unei piramide trunchiate se numește înălțimea piramidei trunchiate. O piramidă trunchiată se numește regulată dacă piramida din care a fost derivată a fost regulată. Toate fețele laterale ale unei piramide trunchiate obișnuite sunt trapeze isoscele egale. Înălțimea trapezului feței laterale a unei piramide trunchiate obișnuite se numește - apotema unei piramide trunchiate obișnuite.

Poliedre. Elemente esentiale. Poliedre convexe și neconvexe.

Poliedru este un corp mărginit a cărui suprafață este formată dintr-un număr finit de poligoane. Poligoanele care alcătuiesc o suprafață poliedrică se numesc ei margini, laturile lor sunt ale ei coaste, iar vârfurile lor sunt culmi suprafață cu mai multe fațete. Se numesc segmente care leagă vârfurile unui poliedru care nu aparțin aceleiași fețe diagonalele. Un poliedru simplu (bidimensional sau tridimensional) se numește convex, dacă este situat pe o parte a oricărui plan care îi conține fața (de exemplu: cub, prismă, piramide, piramide trunchiate etc.). Teorema Descartes–Euler asupra poliedrelor. T1: Suma numărului de vârfuri și a numărului de fețe ale unui poliedru convex este cu 2 unități mai mare decât numărul muchiilor acestuia (B+G=P+2). T2: Caracteristica lui Euler a unui poliedru convex este egală cu doi. Poliedre regulate convexe. Poliedrul se numește corect dacă toate fețele sale sunt poligoane regulate și toate unghiurile poliedrice de la vârfuri sunt egale și regulate. Un unghi poliedric se numește regulat dacă toate unghiurile sale diedrice sunt egale între ele și toate unghiurile sale plane sunt egale între ele. Notă: 1. Se spune că 2 poliedre regulate sunt de același tip dacă au aceleași următoarele caracteristici: numărul de vârfuri - B, numărul de fețe - G, numărul de muchii - P, numărul de vârfuri pe fiecare față - n, numărul de fețe în fiecare vârf s. 2. Poliedre regulate convexe nu trebuie confundate cu o prismă regulată, o piramidă regulată sau o piramidă trunchiată dreaptă, deoarece pentru figurile numite, numai marginile bazelor sunt egale, iar marginile laterale pot să nu fie egale cu marginile bazei și, în plus, nu toate fețele lor sunt poligoane egale. Există 5 tipuri de poliedre convexe regulate: tetraedru, hexaedru, octaedru, dodecaedru, icosaedru. Poliedru neconvex– un poliedru situat pe laturile opuse planului uneia dintre fetele sale. Există 4 tipuri (sau corpuri Kepler-Poinsot): icosaedru mai mare, dodecaedru stelat mic, dodecaedru stelat mai mare.

Prismă. Elemente esentiale. Prisme drepte și înclinate. Prisma corectă. Construirea unei imagini a unei prisme.

prisma - un poliedru în care 2 fețe, numite bazele prismei, sunt egale și laturile corespunzătoare sunt paralele, iar fețele rămase sunt paralelograme, fiecare dintre ele fiind laturile corespunzătoare ale bazelor. Laturile fețelor laterale se numesc coaste de bază, laturile bazelor se numesc coaste de bază, vârfurile bazelor se numesc vârfuri ale prismei. Toate sunt egale între ele, egale și paralele cu laturile corespunzătoare ale bazelor. Înălțimea unei prisme este distanța dintre planuri și bazele sale. Prisma se numește Drept, dacă marginile sale laterale sunt perpendiculare pe bază. În acest caz, nervurile laterale au înălțimea prismei drepte. O prismă dreaptă are fețe laterale dreptunghiulare. Prismă oblică- o prismă ale cărei margini laterale nu sunt perpendiculare pe bază. Se numește prismă dreaptă corect, dacă baza sa este un poliedru regulat . Constructie: Mai întâi se construiește una dintre fundații. Acesta va fi un poligon plat. Apoi marginile laterale ale prismei sunt desenate din vârfurile poligonului sub formă de segmente paralele de lungime egală. Capetele acestor segmente sunt conectate și se obține o altă bază a prismei. Marginile invizibile sunt desenate cu linii întrerupte.

Paralelipiped. Elemente esentiale. Proprietățile unui paralelipiped. Paralepiped drept și dreptunghiular. cub Construirea unei imagini a unei paralele și a unui cub.

Un paralelipiped este o prismă a cărei bază este un paralelogram. Paralepipedul are 8 vârfuri, 12 muchii, 6 fețe. Elemente: 2 fețe ale unui paralelipiped care nu au muchie comună se numesc opuse, iar cele care au muchie comună se numesc adiacente. Două vârfuri ale unei paralele care nu aparțin aceleiași fețe se numesc opuse. Segmentul care leagă vârfuri opuse se numește diagonală paralelă. Lungimile a trei muchii ale unei paralele dreptunghiulare având un vârf comun se numesc dimensiunile acesteia. Proprietăți: 1. Într-un paralelipiped, toate diagonalele sale se intersectează într-un punct și sunt tăiate în două de acest punct. 2. Laturile opuse ale paralelei sunt egale și paralele în perechi. 3. Fețele laterale ale unui paralelipiped drept sunt dreptunghiuri. 4. Pătratul lungimii diagonale a unui paralelipiped dreptunghic este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale. Dreptunghiular paralelipiped - un paralelipiped drept, a cărui bază este dreptunghiuri paralele și egale între ele . Drept Un paralelipiped este un paralelipiped ale cărui margini laterale sunt perpendiculare pe bază. Cu toate acestea, în cazul general, baza unui paralelipiped drept este un paralelogram. Dar la baza unui paralelipiped dreptunghiular trebuie să existe un dreptunghi. cub este un paralelipiped dreptunghiular, ale cărui margini sunt egale, adică toate fețele fiind pătrate. Pătratul diagonalei unui cub = 3*A (pătrat), A este dimensiunea cubului. Constructie: Puteți construi un paralelipiped folosind o riglă obișnuită și triunghiulară. Esența construcțiilor este de a trasa paralel toate liniile unei figuri geometrice; Pentru a construi un cub în toate aceste poziții, este suficient să construiți fața frontală, să trasați linii de la cele patru colțuri până la punctul de fuga, să așezați marginile superioare și inferioare pe aceste linii și să le conectați împreună.

Piramidă. Elemente esentiale. Piramida corectă, proprietățile sale. Construirea unei imagini a unei piramide.

Piramidă- un poliedru, a cărui față este un poligon plat (baza piramidei), iar fețele rămase (fețele laterale) sunt triunghiuri cu un vârf comun, iar vârful lor comun - vârful piramidei.

Înălţime- o perpendiculară coborâtă de la vârful piramidei până la planul bazei acesteia, precum și lungimea acestei perpendiculare.

Piramida se numește corect, dacă baza sa este un poligon regulat și înălțimea lui trece prin centrul acestui poligon.

Înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite este apotema.

Secțiunea unei piramide printr-un plan care trece prin vârful piramidei și diagonala bazei - secțiunea diagonală a piramidei.

Proprietățile unei piramide obișnuite:

1. Apotemele sunt egale.

2. Înălțimea trece prin centrul bazei.

3. Coastele laterale sunt egaleîntre ei

4. toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale

5. aria suprafeței laterale a unei piramide regulate este egală cu jumătate din produsul dintre perimetrul bazei și apotema

6. toate fețele laterale formează unghiuri egale cu planul bazei unei piramide regulate

7. toate înălțimile fețelor laterale sunt egale între ele

Pentru a descrie piramida corectă, desenați mai întâi un poligon regulat situat la bază, iar centrul acestuia este punctul O. Apoi desenați un segment vertical OS, ilustrând înălțimea piramidei. Punctul S este conectat la toate vârfurile bazei.

Formula pentru suprafața laterală pentru o piramidă obișnuită: ½ h * P bază

Definiție

Piramidă este un poliedru compus dintr-un poligon \(A_1A_2...A_n\) și \(n\) triunghiuri cu un vârf comun \(P\) (nu se află în planul poligonului) și laturile opuse acestuia, care coincid cu laturile poligonului.
Denumire: \(PA_1A_2...A_n\) .
Exemplu: piramidă pentagonală \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Triunghiuri \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), etc. sunt numite fetele laterale piramide, segmente \(PA_1, PA_2\), etc. – coaste laterale, poligon \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – bază, punctul \(P\) – top.

Înălţime piramidele sunt o perpendiculară coborâtă de la vârful piramidei până la planul bazei.

Se numește o piramidă cu un triunghi la bază tetraedru.

Piramida se numește corect, dacă baza sa este un poligon regulat și este îndeplinită una dintre următoarele condiții:

\((a)\) marginile laterale ale piramidei sunt egale;

\((b)\) înălțimea piramidei trece prin centrul cercului circumscris lângă bază;

\((c)\) nervurile laterale sunt înclinate față de planul bazei la același unghi.

\((d)\) fețele laterale sunt înclinate față de planul bazei la același unghi.

Tetraedru regulat este o piramidă triunghiulară, ale cărei fețe sunt triunghiuri echilaterale egale.

Teorema

Condițiile \((a), (b), (c), (d)\) sunt echivalente.

Dovada

Să aflăm înălțimea piramidei \(PH\) . Fie \(\alpha\) planul bazei piramidei.

1) Să demonstrăm că din \((a)\) rezultă \((b)\) . Fie \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Deoarece \(PH\perp \alpha\), atunci \(PH\) este perpendiculară pe orice dreaptă situată în acest plan, ceea ce înseamnă că triunghiurile sunt dreptunghiulare. Aceasta înseamnă că aceste triunghiuri sunt egale în cateta comună \(PH\) și ipotenuză \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Aceasta înseamnă \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Aceasta înseamnă că punctele \(A_1, A_2, ..., A_n\) sunt la aceeași distanță de punctul \(H\), prin urmare, ele se află pe același cerc cu raza \(A_1H\) . Acest cerc, prin definiție, este circumscris poligonului \(A_1A_2...A_n\) .

2) Să demonstrăm că \((b)\) implică \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) dreptunghiulară și egală pe două picioare. Aceasta înseamnă că unghiurile lor sunt de asemenea egale, prin urmare, \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).

3) Să demonstrăm că \((c)\) implică \((a)\) .

Similar cu primul punct, triunghiuri \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) dreptunghiular atât de-a lungul piciorului cât și unghiul ascuțit. Aceasta înseamnă că și ipotenuzele lor sunt egale, adică \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Să demonstrăm că \((b)\) implică \((d)\) .

Deoarece într-un poligon regulat centrele cercurilor circumscrise și înscrise coincid (în general, acest punct se numește centrul unui poligon regulat), atunci \(H\) este centrul cercului înscris. Să desenăm perpendiculare din punctul \(H\) spre laturile bazei: \(HK_1, HK_2\), etc. Acestea sunt razele cercului înscris (prin definiție). Apoi, conform TTP (\(PH\) este o perpendiculară pe plan, \(HK_1, HK_2\), etc. sunt proiecții perpendiculare pe laturi) înclinate \(PK_1, PK_2\), etc. perpendicular pe laturile \(A_1A_2, A_2A_3\), etc. respectiv. Deci, prin definiție \(\unghi PK_1H, \unghi PK_2H\) egal cu unghiurile dintre fețele laterale și bază. Deoarece triunghiurile \(PK_1H, PK_2H, ...\) sunt egale (ca dreptunghiulare pe două laturi), apoi unghiurile \(\unghi PK_1H, \unghi PK_2H, ...\) sunt egale.

5) Să demonstrăm că \((d)\) implică \((b)\) .

Similar cu al patrulea punct, triunghiurile \(PK_1H, PK_2H, ...\) sunt egale (ca dreptunghiulare de-a lungul catetei și unghi ascuțit), ceea ce înseamnă că segmentele \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) sunt egal. Aceasta înseamnă, prin definiție, \(H\) este centrul unui cerc înscris în bază. Dar pentru că Pentru poligoane regulate, centrele cercului înscris și circumscris coincid, atunci \(H\) este centrul cercului circumscris. Chtd.

Consecinţă

Fețele laterale ale unei piramide regulate sunt triunghiuri isoscele egale.

Definiție

Se numește înălțimea feței laterale a unei piramide regulate trasă din vârful acesteia apotema.
Apotemele tuturor fețelor laterale ale unei piramide regulate sunt egale între ele și sunt, de asemenea, mediane și bisectoare.

Notite importante

1. Înălțimea unei piramide triunghiulare regulate cade în punctul de intersecție a înălțimilor (sau bisectoarelor, sau medianelor) bazei (baza este un triunghi regulat).

2. Înălțimea unei piramide patruunghiulare regulate scade în punctul de intersecție a diagonalelor bazei (baza este un pătrat).

3. Înălțimea unei piramide hexagonale regulate scade în punctul de intersecție a diagonalelor bazei (baza este un hexagon regulat).

4. Înălțimea piramidei este perpendiculară pe orice linie dreaptă aflată la bază.

Definiție

Piramida se numește dreptunghiular, dacă una dintre marginile sale laterale este perpendiculară pe planul bazei.

Notite importante

1. Într-o piramidă dreptunghiulară, muchia perpendiculară pe bază este înălțimea piramidei. Adică \(SR\) este înălțimea.

2. Pentru că Atunci \(SR\) este perpendiculară pe orice dreaptă de la bază \(\triunghi SRM, \triunghi SRP\)– triunghiuri dreptunghiulare.

3. Triunghiuri \(\triunghi SRN, \triunghi SRK\)- de asemenea dreptunghiular.
Adică, orice triunghi format din această muchie și diagonala care iese din vârful acestei muchii aflată la bază va fi dreptunghiular.

\[(\Large(\text(Volumul și suprafața piramidei)))\]

Teorema

Volumul piramidei este egal cu o treime din produsul dintre suprafața bazei și înălțimea piramidei: \

Consecințe

Fie \(a\) latura bazei, \(h\) înălțimea piramidei.

1. Volumul unei piramide triunghiulare regulate este \(V_(\text(triunghi drept.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Volumul unei piramide patruunghiulare regulate este \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. Volumul unei piramide hexagonale regulate este \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Volumul unui tetraedru regulat este \(V_(\text(right tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Teorema

Aria suprafeței laterale a unei piramide regulate este egală cu jumătatea produsului dintre perimetrul bazei și apotema.

\[(\Large(\text(Frustum)))\]

Definiție

Luați în considerare o piramidă arbitrară \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Să desenăm un plan paralel cu baza piramidei printr-un anumit punct situat pe marginea laterală a piramidei. Acest plan va împărți piramida în două poliedre, dintre care una este o piramidă (\(PB_1B_2...B_n\)), iar cealaltă se numește trunchi de piramidă(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Piramida trunchiată are două baze - poligoane \(A_1A_2...A_n\) și \(B_1B_2...B_n\) care sunt similare între ele.

Înălțimea unei piramide trunchiate este o perpendiculară trasată de la un punct al bazei superioare la planul bazei inferioare.

Notite importante

1. Toate fețele laterale ale unei piramide trunchiate sunt trapeze.

2. Segmentul care leagă centrele bazelor unei piramide trunchiate regulate (adică o piramidă obținută prin secțiunea transversală a unei piramide regulate) este înălțimea.

Introducere

Când am început să studiem figurile stereometrice, am atins subiectul „Piramida”. Ne-a plăcut acest subiect pentru că piramida este foarte des folosită în arhitectură. Și întrucât viitoarea noastră profesie de arhitectură este inspirată de această figură, credem că ea ne poate împinge spre proiecte excelente.

Rezistența structurilor arhitecturale este cea mai importantă calitate a acestora. Legarea rezistenței, în primul rând, cu materialele din care sunt create și, în al doilea rând, cu caracteristicile soluțiilor de proiectare, se dovedește că rezistența unei structuri este direct legată de forma geometrică care este de bază pentru aceasta.

Cu alte cuvinte, vorbim despre o figură geometrică care poate fi considerată ca model al formei arhitecturale corespunzătoare. Se pare că forma geometrică determină și rezistența unei structuri arhitecturale.

Din cele mai vechi timpuri, piramidele egiptene au fost considerate cele mai durabile structuri arhitecturale. După cum știți, au forma unor piramide patruunghiulare obișnuite.

Această formă geometrică este cea care oferă cea mai mare stabilitate datorită suprafeței mari de bază. Pe de altă parte, forma piramidei asigură că masa scade pe măsură ce înălțimea deasupra solului crește. Aceste două proprietăți sunt cele care fac piramida stabilă și, prin urmare, puternică în condițiile gravitației.

Obiectivul proiectului: învață ceva nou despre piramide, aprofundează-ți cunoștințele și găsește aplicații practice.

Pentru a atinge acest obiectiv, a fost necesar să se rezolve următoarele sarcini:

· Aflați informații istorice despre piramidă

· Considerați piramida ca o figură geometrică

· Găsiți aplicații în viață și arhitectură

· Găsiți asemănări și diferențe între piramidele situate în diferite părți ale lumii

Partea teoretică

Informații istorice

Geometria piramidei a început în Egiptul Antic și Babilon, dar a fost dezvoltată activ în Grecia Antică. Primul care a stabilit volumul piramidei a fost Democrit, iar Eudox din Cnidus a dovedit-o. Vechiul matematician grec Euclid a sistematizat cunoștințele despre piramidă în volumul XII al „Elementelor” sale și, de asemenea, a derivat prima definiție a unei piramide: o figură solidă delimitată de planuri care converg de la un plan la un punct.

Mormintele faraonilor egipteni. Cele mai mari dintre ele - piramidele lui Keops, Khafre și Mikerin din El Giza - au fost considerate una dintre cele șapte minuni ale lumii în antichitate. Construcția piramidei, în care grecii și romanii au văzut deja un monument al mândriei fără precedent a regilor și a cruzimii care a condamnat întregul popor al Egiptului la o construcție fără sens, a fost cel mai important act de cult și trebuia să exprime, aparent, identitatea mistică a țării și a conducătorului ei. Populația țării a lucrat la construcția mormântului în perioada anului lipsită de muncă agricolă. O serie de texte mărturisesc atenția și grija pe care regii înșiși (deși dintr-o perioadă mai târziu) le-au acordat construcției mormântului lor și a constructorilor acestuia. De asemenea, se știe despre onorurile speciale de cult care au fost acordate piramidei în sine.

Noțiuni de bază

Piramidă se numește poliedru a cărui bază este un poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri care au un vârf comun.

Apotema- inaltimea fetei laterale a unei piramide regulate, trasa din varful acesteia;

Fețe laterale- triunghiuri întâlnite la un vârf;

Coaste laterale- laturile comune ale fetelor laterale;

Vârful piramidei- un punct care leagă nervurile laterale și care nu se află în planul bazei;

Înălţime- un segment perpendicular trasat prin vârful piramidei până la planul bazei acesteia (capetele acestui segment sunt vârful piramidei și baza perpendicularei);

Secțiunea diagonală a unei piramide- sectiune a piramidei care trece prin varful si diagonala bazei;

Baza- un poligon care nu aparține vârfului piramidei.

Proprietățile de bază ale unei piramide obișnuite

Marginile laterale, fețele laterale și respectiv apotemele sunt egale.

Unghiurile diedrice de la bază sunt egale.

Unghiurile diedrice la marginile laterale sunt egale.

Fiecare punct de înălțime este echidistant de toate vârfurile bazei.

Fiecare punct de înălțime este echidistant de toate fețele laterale.

Formule piramidale de bază

Aria suprafeței laterale și totale a piramidei.

Aria suprafeței laterale a unei piramide (plină și trunchiată) este suma ariilor tuturor fețelor sale laterale, aria suprafeței totale este suma ariilor tuturor fețelor sale.

Teoremă: Aria suprafeței laterale a unei piramide regulate este egală cu jumătate din produsul perimetrului bazei și apotema piramidei.

p- perimetrul de bază;

h- apotema.

Aria suprafețelor laterale și complete ale unei piramide trunchiate.

p 1, p 2 - perimetrele de bază;

h- apotema.

R- suprafața totală a unei piramide trunchiate obișnuite;

partea S- zona suprafeței laterale a unei piramide trunchiate regulate;

S1 + S2- suprafata de baza

Volumul piramidei

Formă volumul ula este folosit pentru piramide de orice fel.

H- inaltimea piramidei.

Colțurile piramidei

Unghiurile formate de fața laterală și baza piramidei se numesc unghiuri diedrice la baza piramidei.

Un unghi diedru este format din două perpendiculare.

Pentru a determina acest unghi, de multe ori trebuie să utilizați teorema celor trei perpendiculare.

Se numesc unghiurile formate de marginea laterală și proiecția acesteia pe planul de bază unghiuri dintre marginea laterală și planul bazei.

Unghiul format din două margini laterale se numește unghi diedru la marginea laterală a piramidei.

Unghiul format din două muchii laterale ale unei fețe ale piramidei se numește unghiul din vârful piramidei.

Secțiuni piramidale

Suprafața unei piramide este suprafața unui poliedru. Fiecare dintre fețele sale este un plan, prin urmare secțiunea unei piramide definită de un plan de tăiere este o linie întreruptă constând din linii drepte individuale.

Secțiune diagonală

Secțiunea unei piramide printr-un plan care trece prin două margini laterale care nu se află pe aceeași față se numește secțiune diagonală piramide.

Secțiuni paralele

Teorema:

Dacă piramida este intersectată de un plan paralel cu baza, atunci marginile laterale și înălțimile piramidei sunt împărțite de acest plan în părți proporționale;

Secțiunea acestui plan este un poligon asemănător bazei;

Zonele secțiunii și ale bazei sunt legate între ele ca pătratele distanțelor lor de la vârf.

Tipuri de piramide

Piramida corectă– o piramidă a cărei bază este un poligon regulat, iar vârful piramidei este proiectat în centrul bazei.

Pentru o piramidă obișnuită:

1. coastele laterale sunt egale

2. feţele laterale sunt egale

3. apotemele sunt egale

4. unghiurile diedrice la bază sunt egale

5. unghiurile diedrice la marginile laterale sunt egale

6. fiecare punct de înălțime este echidistant de toate vârfurile bazei

7. fiecare punct de înălțime este echidistant de toate marginile laterale

Piramida trunchiată- parte a piramidei cuprinsă între baza sa și un plan de tăiere paralel cu baza.

Baza și secțiunea corespunzătoare a unei piramide trunchiate se numesc bazele unei piramide trunchiate.

Se numește perpendiculară trasată din orice punct al unei baze pe planul alteia înălțimea unei trunchi de piramidă.

Sarcini

Numarul 1. Într-o piramidă patruunghiulară obișnuită, punctul O este centrul bazei, SO=8 cm, BD=30 cm Aflați muchia laterală SA.

Rezolvarea problemelor

Numarul 1. Într-o piramidă obișnuită, toate fețele și marginile sunt egale.

Luați în considerare OSB: OSB este un dreptunghi dreptunghiular, deoarece.

SB2 =SO2 +OB2

SB2 =64+225=289

Piramida în arhitectură

O piramidă este o structură monumentală sub forma unei piramide geometrice regulate obișnuite, în care laturile converg într-un punct. După scopul lor funcțional, piramidele în antichitate erau locuri de înmormântare sau de cult. Baza unei piramide poate fi triunghiulară, pătraunghiulară sau în formă de poligon cu un număr arbitrar de vârfuri, dar cea mai comună versiune este baza pătraunghiulară.

Există un număr considerabil de piramide construite de diferite culturi ale lumii antice, în principal ca temple sau monumente. Piramidele mari includ piramidele egiptene.

Pe tot pământul puteți vedea structuri arhitecturale sub formă de piramide. Clădirile piramidale amintesc de cele mai vechi timpuri și arată foarte frumos.

Piramidele egiptene sunt cele mai mari monumente de arhitectură ale Egiptului Antic, inclusiv una dintre „Șapte minuni ale lumii”, Piramida lui Keops. De la picior până în vârf ajunge la 137,3 m, iar înainte de a pierde vârful, înălțimea sa era de 146,7 m.

Clădirea postului de radio din capitala Slovaciei, asemănătoare cu o piramidă inversată, a fost construită în 1983. Pe lângă birouri și spații de servicii, în interiorul volumului se află o sală de concerte destul de spațioasă, care are una dintre cele mai mari orgi din Slovacia.

Luvru, care este „tăcut, neschimbat și maiestuos, ca o piramidă”, a suferit multe schimbări de-a lungul secolelor înainte de a deveni cel mai mare muzeu din lume. S-a născut ca cetate, ridicată de Filip Augustus în 1190, care a devenit curând reședință regală. În 1793 palatul a devenit muzeu. Colecțiile sunt îmbogățite prin legaturi sau achiziții.

Elevii întâlnesc conceptul de piramidă cu mult înainte de a studia geometria. Vina este a celebrelor mari minuni egiptene ale lumii. Prin urmare, atunci când încep să studieze acest minunat poliedru, majoritatea studenților deja își imaginează clar. Toate atracțiile menționate mai sus au forma corectă. Ce s-a întâmplat piramida regulata, și ce proprietăți are vor fi discutate în continuare.

In contact cu

Definiție

Există destul de multe definiții ale unei piramide. Din cele mai vechi timpuri, a fost foarte popular.

De exemplu, Euclid a definit-o ca o figură corporală formată din planuri care, pornind de la unul, converg într-un anumit punct.

Heron a oferit o formulare mai precisă. El a insistat că aceasta era cifra care are o bază și plane sub formă de triunghiuri, convergând la un moment dat.

Pe baza interpretării moderne, piramida este reprezentată ca un poliedru spațial, format dintr-un anumit k-gon și k figuri triunghiulare plate, având un punct comun.

Să ne uităm la asta mai detaliat, din ce elemente constă:

• K-gonul este considerat baza figurii;
• Formele 3-gonale ies în afară pe măsură ce marginile părții laterale;
• partea superioară din care provin elementele laterale se numește vârf;
• toate segmentele care leagă un vârf se numesc muchii;
• dacă o linie dreaptă este coborâtă de la vârf la planul figurii la un unghi de 90 de grade, atunci partea ei conținută în spațiul interior este înălțimea piramidei;
• în orice element lateral, o perpendiculară, numită apotema, poate fi trasă pe partea poliedrului nostru.

Numărul de muchii este calculat folosind formula 2*k, unde k este numărul de laturi ale k-gonului. Câte fețe are un poliedru, cum ar fi o piramidă, pot fi determinate folosind expresia k+1.

Important! O piramidă de formă regulată este o figură stereometrică al cărei plan de bază este un k-gon cu laturi egale.

Proprietăți de bază

Piramida corectă are multe proprietăți, care sunt unice pentru ea. Să le enumerăm:

1. Baza este o figură cu forma corectă.
2. Marginile piramidei care limitează elementele laterale au valori numerice egale.
3. Elementele laterale sunt triunghiuri isoscele.
4. Baza înălțimii figurii cade în centrul poligonului, în timp ce este simultan punctul central al înscrisului și circumscrisului.
5. Toate nervurile laterale sunt înclinate față de planul bazei la același unghi.
6. Toate suprafețele laterale au același unghi de înclinare față de bază.

Datorită tuturor proprietăților enumerate, efectuarea calculelor elementelor este mult mai simplă. Pe baza proprietăților de mai sus, acordăm atenție doua semne:

1. În cazul în care poligonul se potrivește într-un cerc, fețele laterale vor avea unghiuri egale cu baza.
2. Când descrieți un cerc în jurul unui poligon, toate marginile piramidei care emană de la vârf vor avea lungimi egale și unghiuri egale cu baza.

Baza este un pătrat

Piramidă patruunghiulară obișnuită - un poliedru a cărui bază este un pătrat.

Are patru fețe laterale, care au aspect isoscel.

Un pătrat este reprezentat pe un plan, dar se bazează pe toate proprietățile unui patrulater regulat.

De exemplu, dacă este necesar să relaționați latura unui pătrat cu diagonala sa, atunci utilizați următoarea formulă: diagonala este egală cu produsul dintre latura pătratului și rădăcina pătrată a două.

Se bazează pe un triunghi regulat

O piramidă triunghiulară regulată este un poliedru a cărui bază este un 3-gon regulat.

Dacă baza este un triunghi regulat și marginile laterale sunt egale cu marginile bazei, atunci o astfel de figură numit tetraedru.

Toate fețele unui tetraedru sunt 3-goane echilaterale. În acest caz, trebuie să cunoașteți câteva puncte și să nu pierdeți timpul cu ele când calculați:

• unghiul de înclinare a nervurilor față de orice bază este de 60 de grade;
• dimensiunea tuturor fețelor interne este, de asemenea, de 60 de grade;
• orice față poate acționa ca bază;
• , desenate în interiorul figurii, acestea sunt elemente egale.

Secțiuni ale unui poliedru

În orice poliedru există mai multe tipuri de secțiuni apartament. Adesea, într-un curs de geometrie școlar, lucrează cu doi:

• axial;
• paralel cu baza.

O secțiune axială se obține prin intersectarea unui poliedru cu un plan care trece prin vârf, margini laterale și axă. În acest caz, axa este înălțimea desenată de la vârf. Planul de tăiere este limitat de liniile de intersecție cu toate fețele, rezultând un triunghi.

Atenţie!Într-o piramidă obișnuită, secțiunea axială este un triunghi isoscel.

Dacă planul de tăiere este paralel cu baza, atunci rezultatul este a doua opțiune. În acest caz, avem o figură în secțiune transversală similară bazei.

De exemplu, dacă există un pătrat la bază, atunci secțiunea paralelă cu baza va fi și ea un pătrat, doar de dimensiuni mai mici.

Când rezolvă probleme în această condiție, ei folosesc semne și proprietăți de similitudine ale figurilor, bazat pe teorema lui Thales. În primul rând, este necesar să se determine coeficientul de similitudine.

Dacă planul este trasat paralel cu baza și taie partea superioară a poliedrului, atunci se obține o piramidă trunchiată obișnuită în partea inferioară. Atunci bazele unui poliedru trunchiat se spune că sunt poligoane similare. În acest caz, fețele laterale sunt trapeze isoscele. Secțiunea axială este, de asemenea, isoscelă.

Pentru a determina înălțimea unui poliedru trunchiat, este necesar să se tragă înălțimea în secțiunea axială, adică în trapez.

Zone de suprafață

Principalele probleme geometrice care trebuie rezolvate la un curs de geometrie școlară sunt aflarea suprafetei si volumului unei piramide.

Există două tipuri de valori ale suprafeței:

• zona elementelor laterale;
• suprafata intregii suprafete.

Din numele în sine este clar despre ce vorbim. Suprafața laterală include doar elementele laterale. Rezultă de aici că, pentru a-l găsi, trebuie pur și simplu să adunăm zonele planurilor laterale, adică zonele de 3-gonuri isoscele. Să încercăm să derivăm formula pentru aria elementelor laterale:

1. Aria unui 3-gon isoscel este Str=1/2(aL), unde a este latura bazei, L este apotema.
2. Numărul de planuri laterale depinde de tipul de k-gon de la bază. De exemplu, o piramidă patruunghiulară obișnuită are patru planuri laterale. Prin urmare, este necesar să se adauge ariile a patru figuri Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Expresia este simplificată în acest fel deoarece valoarea este 4a = Rosn, unde Rosn este perimetrul bazei. Iar expresia 1/2*Rosn este semiperimetrul său.
3. Deci, concluzionăm că aria elementelor laterale ale unei piramide regulate este egală cu produsul semiperimetrului bazei și apotema: Sside = Rosn * L.

Aria suprafeței totale a piramidei este formată din suma ariilor planurilor laterale și a bazei: Sp.p = Sside + Sbas.

În ceea ce privește aria bazei, aici formula este utilizată în funcție de tipul de poligon.

Volumul unei piramide obișnuite egal cu produsul dintre suprafața planului de bază și înălțimea împărțită la trei: V=1/3*Sbas*H, unde H este înălțimea poliedrului.

Ce este o piramidă obișnuită în geometrie

Proprietățile unei piramide patruunghiulare regulate