Definitii:
Definiție 1. Con
Definiție 2. Con circular
Definiție 3. Înălțimea conului
Definiție 4. Con drept
Definiție 5. Con circular drept
Teorema 1. Generatoare ale conului
Teorema 1.1. Secțiunea axială a conului

Volumul și suprafața:
Teorema 2. Volumul unui con
Teorema 3. Aria suprafeței laterale a unui con

Frustum:
Teorema 4. Secțiune paralelă cu baza
Definiție 6. Trunchi de con
Teorema 5. Volumul unui trunchi de con
Teorema 6. Aria suprafeței laterale a unui trunchi de con

Definiții
Un corp delimitat pe laturi de o suprafață conică luată între vârful său și planul ghidajului și baza plată a ghidajului formată dintr-o curbă închisă, se numește con.

Noțiuni de bază
Un con circular este un corp care constă dintr-un cerc (bază), un punct care nu se află în planul bazei (vertex) și toate segmentele care leagă vârful de punctele bazei.

Un con drept este un con a cărui înălțime conține centrul bazei conului.

Luați în considerare orice linie (curbă, întreruptă sau mixtă) (de exemplu, l), situat într-un anumit plan și un punct arbitrar (de exemplu, M) care nu se află în acest plan. Toate liniile drepte posibile care leagă punctul M de toate punctele unei linii date l, formă suprafata numita canonica. Punctul M este vârful unei astfel de suprafețe și linia dată l - ghid. Toate liniile drepte care leagă punctul M de toate punctele dreptei l, numit formare. O suprafață canonică nu este limitată nici de vârful sau de ghidaj. Se extinde la infinit în ambele direcții de sus. Să fie acum ghidul o linie convexă închisă. Dacă ghidajul este o linie întreruptă, atunci corpul, delimitat pe laturi de o suprafață canonică luată între vârful său și planul ghidajului și o bază plată în planul ghidajului, se numește piramidă.
Dacă ghidajul este o linie curbă sau mixtă, atunci corpul delimitat pe laturi de o suprafață canonică luată între vârful său și planul ghidajului și o bază plată în planul ghidajului, se numește con sau
Definiția 1 . Un con este un corp format dintr-o bază - o figură plată delimitată de o linie închisă (curbă sau mixtă), un vârf - un punct care nu se află în planul bazei și toate segmentele care leagă vârful cu toate punctele posibile. a bazei.
Toate liniile drepte care trec prin vârful conului și oricare dintre punctele curbei care delimitează figura bazei conului sunt numite generatoare de con. Cel mai adesea în problemele geometrice, generatoarea unei drepte înseamnă un segment al acestei drepte, închis între vârf și planul bazei conului.
Baza unei linii mixte limitate este un caz foarte rar. Este indicat aici doar pentru că poate fi considerat în geometrie. Cazul cu ghidaj curbat este mai des luat în considerare. Deși, atât cazul cu o curbă arbitrară, cât și cazul cu o linie de ghidare mixtă sunt de puțină folos și este dificil să derivăm orice tipare din acestea. Dintre conuri, conul circular drept este studiat în cursul geometriei elementare.

Se știe că un cerc este un caz special al unei linii curbe închise. Un cerc este o figură plată delimitată de un cerc. Luând cercul drept ghid, putem defini un con circular.
Definiția 2 . Un con circular este un corp care constă dintr-un cerc (bază), un punct care nu se află în planul bazei (vertex) și toate segmentele care leagă vârful de punctele bazei.
Definiția 3 . Înălțimea unui con este perpendiculara coborâtă de la vârf la planul bazei conului. Puteți selecta un con, a cărui înălțime se încadrează în centrul figurii plate a bazei.
Definiția 4 . Un con drept este un con a cărui înălțime conține centrul bazei conului.
Dacă combinăm aceste două definiții, obținem un con, a cărui bază este un cerc, iar înălțimea cade în centrul acestui cerc.
Definiția 5 . Un con circular drept este un con a cărui bază este un cerc, iar înălțimea sa leagă vârful și centrul bazei acestui con. Un astfel de con se obține prin rotirea unui triunghi dreptunghic în jurul unuia dintre picioarele sale. Prin urmare, un con circular drept este un corp de revoluție și este numit și con de revoluție. Dacă nu se specifică altfel, pentru concizie în cele ce urmează spunem pur și simplu con.
Deci, iată câteva proprietăți ale conului:
Teorema 1. Toți generatorii conului sunt egali. Dovada. Înălțimea MO este perpendiculară pe toate liniile drepte ale bazei, prin definiție, o dreaptă perpendiculară pe plan. Prin urmare, triunghiurile MOA, MOB și MOS sunt dreptunghiulare și egale pe două catete (MO este cel general, OA=OB=OS sunt razele bazei. Prin urmare, ipotenuzele, adică generatoarele, sunt de asemenea egale.
Raza bazei conului este uneori numită raza conului. Înălțimea conului se mai numește axa conului, prin urmare orice secțiune care trece prin înălțime se numește sectiune axiala. Orice secțiune axială intersectează baza în diametru (deoarece linia dreaptă de-a lungul căreia se intersectează secțiunea axială și planul bazei trece prin centrul cercului) și formează un triunghi isoscel.
Teorema 1.1. Secțiunea axială a conului este un triunghi isoscel. Deci triunghiul AMB este isoscel, pentru că cele două părți ale sale MB și MA sunt generatoare. Unghiul AMB este unghiul de la vârful secțiunii axiale.

) - un corp în spațiul euclidian obținut prin combinarea tuturor razelor care emană dintr-un punct ( culmi con) și trecând printr-o suprafață plană. Uneori, un con este o parte a unui astfel de corp care are un volum limitat și se obține prin combinarea tuturor segmentelor care leagă vârful și punctele unei suprafețe plane (aceasta din urmă în acest caz se numește bază con, iar conul se numește aplecat pe această bază). Dacă baza unui con este un poligon, un astfel de con este o piramidă.

YouTube enciclopedic

1 / 4

✪ Cum să faci un con din hârtie.

• Subtitrări

Definiții înrudite

• Segmentul care leagă vârful și limita bazei se numește generatoarea conului.
• Unirea generatoarelor unui con se numește generator(sau latură) suprafata conului. Suprafața de formare a conului este o suprafață conică.
• Un segment coborât perpendicular de la vârf pe planul bazei (precum și lungimea unui astfel de segment) se numește înălțimea conului.
• Unghiul conului- unghiul dintre două generatrice opuse (unghiul de la vârful conului, în interiorul conului).
• Dacă baza unui con are un centru de simetrie (de exemplu, este un cerc sau o elipsă) și proiecția ortogonală a vârfului conului pe planul bazei coincide cu acest centru, atunci conul se numește direct. În acest caz, se numește linia dreaptă care leagă partea superioară și centrul bazei axa conului.
• Oblic (înclinat) con - un con a cărui proiecție ortogonală a vârfului pe bază nu coincide cu centrul său de simetrie.
• Con circular- un con a cărui bază este un cerc.
• Con circular drept(numit adesea simplu con) poate fi obținut prin rotirea unui triunghi dreptunghic în jurul unei linii care conține piciorul (această linie reprezintă axa conului).
• Un con sprijinit pe o elipsă, o parabolă sau o hiperbolă se numește, respectiv eliptic, parabolicȘi con hiperbolic(ultimele două au volum infinit).
• Partea conului situată între bază și un plan paralel cu bază și situată între vârf și bază se numește trunchi de con, sau strat conic.

Proprietăți

• Dacă aria bazei este finită, atunci volumul conului este, de asemenea, finit și egal cu o treime din produsul înălțimii și aria bazei.

V = 1 3 S H , (\displaystyle V=(1 \over 3)SH,)

Unde S- suprafata de baza, H- înălțime. Astfel, toate conurile care se sprijină pe o bază dată (de arie finită) și care au un vârf situat pe un plan dat paralel cu baza au volum egal, deoarece înălțimile lor sunt egale.

• Centrul de greutate al oricărui con cu un volum finit se află la un sfert din înălțimea de la bază.
• Unghiul solid la vârful unui con circular drept este egal cu

2 π (1 − cos ⁡ α 2) , (\displaystyle 2\pi \left(1-\cos (\alpha \over 2)\right),) unde α este unghiul de deschidere al conului.

• Suprafața laterală a unui astfel de con este egală cu

S = π R l , (\displaystyle S=\pi Rl,)

și suprafața totală (adică suma ariilor suprafeței laterale și ale bazei)

S = π R (l + R), (\displaystyle S=\pi R(l+R),) Unde R- raza bazei, l = R 2 + H 2 (\displaystyle l=(\sqrt (R^(2)+H^(2))))- lungimea generatricei.

• Volumul unui con circular (nu neapărat drept) este egal cu

V = 1 3 π R 2 H . (\displaystyle V=(1 \over 3)\pi R^(2)H.)

• Pentru un trunchi de con (nu neapărat drept și circular), volumul este egal cu:

V = 1 3 (H S 2 - h S 1) , (\displaystyle V=(1 \over 3)(HS_(2)-hS_(1)),)

unde S 1 și S 2 sunt zonele bazei superioare (cel mai apropiate de vârf) și, respectiv, inferioare, hȘi H- distante de la planul bazei superioare si respectiv inferioare pana la varf.

• Intersecția unui plan cu un con circular drept este una dintre secțiunile conice (în cazurile nedegenerate - o elipsă, parabolă sau hiperbolă, în funcție de poziția planului de tăiere).

Ecuația conului

Ecuații care definesc suprafața laterală a unui con circular drept cu un unghi de deschidere de 2Θ, un vârf la origine și o axă care coincide cu axa Oz :

• Într-un sistem de coordonate sferice cu coordonate ( r, φ, θ) :

θ = Θ. (\displaystyle \theta =\Theta.)

• Într-un sistem de coordonate cilindric cu coordonate ( r, φ, z) :

z = r ⋅ ctg ⁡ Θ (\displaystyle z=r\cdot \operatorname (ctg) \Theta ) sau r = z ⋅ tan ⁡ Θ . (\displaystyle r=z\cdot \operatorname (tg) \Theta.)

• Într-un sistem de coordonate carteziene cu coordonate (X, y, z) :

z = ± x 2 + y 2 ⋅ cot ⁡ Θ . (\displaystyle z=\pm (\sqrt (x^(2)+y^(2)))\cdot \operatorname (ctg) \Theta.) Această ecuație în formă canonică este scrisă ca

unde sunt constantele A, Cu determinată de proporţie c / a = cos ⁡ Θ / sin ⁡ Θ . (\displaystyle c/a=\cos \Theta /\sin \Theta.) Aceasta arată că suprafața laterală a unui con circular drept este o suprafață de ordinul doi (se numește suprafata conica). În general, o suprafață conică de ordinul doi se sprijină pe o elipsă; într-un sistem de coordonate carteziene adecvat (axa OhȘi OU paralel cu axele elipsei, vârful conului coincide cu originea, centrul elipsei se află pe axă Oz) ecuația sa are forma

x 2 a 2 + y 2 b 2 - z 2 c 2 = 0 , (\displaystyle (\frac (x^(2))(a^(2)))+(\frac (y^(2))( b^(2)))-(\frac (z^(2))(c^(2)))=0,)

și a/cȘi b/c egală cu semiaxele elipsei. În cel mai general caz, când un con se sprijină pe o suprafață plană arbitrară, se poate demonstra că ecuația suprafeței laterale a conului (cu vârful său la origine) este dată de ecuația f (x, y, z) = 0, (\displaystyle f(x,y,z)=0,) unde este functia f (x, y, z) (\displaystyle f(x,y,z)) este omogen, adică satisface condiția f (α x , α y , α z) = α n f (x , y , z) (\displaystyle f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=\alpha ^(n)f(x,y ,z)) pentru orice număr real α.

Scanează

Un con circular drept ca corp de rotație este format dintr-un triunghi dreptunghic care se rotește în jurul unuia dintre catete, unde h- inaltimea conului de la centrul bazei pana in varf - este cateta unui triunghi dreptunghic in jurul caruia are loc rotatia. Al doilea catet al unui triunghi dreptunghic r- raza la baza conului. Ipotenuza unui triunghi dreptunghic este l- formând un con.

Doar două cantități pot fi folosite pentru a crea o scanare conică rȘi l. Raza bazei r definește cercul bazei conului în dezvoltare, iar sectorul suprafeței laterale a conului este determinat de generatoarea suprafeței laterale l, care este raza sectorului suprafeței laterale. Unghiul sectorului φ (\displaystyle \varphi )în dezvoltarea suprafeței laterale a conului este determinată de formula:

φ = 360° ( r/l) .

În această lecție ne vom familiariza cu o astfel de figură precum un con. Să studiem elementele unui con și tipurile de secțiuni ale acestuia. Și vom afla cu ce figură conul are multe proprietăți în comun.

Fig.1. Obiecte în formă de con

În lume, un număr imens de lucruri au forma unui con. De multe ori nici nu le observăm. Conuri rutiere de avertizare asupra lucrărilor rutiere, acoperișuri de castele și case, conuri de înghețată - toate aceste obiecte au formă de con (vezi Fig. 1).

Orez. 2. Triunghi dreptunghic

Luați în considerare un triunghi dreptunghic arbitrar cu catete și (vezi Fig. 2).

Orez. 3. Con circular drept

Prin rotirea unui triunghi dat în jurul unuia dintre catete (fără pierderea generalității, să fie un catet), ipotenuza va descrie suprafața, iar catetul va descrie cercul. Astfel, se va obține un corp care se numește con circular drept (vezi Fig. 3).

Orez. 4. Tipuri de conuri

Din moment ce vorbim despre un con circular drept, se pare că există atât unul indirect, cât și unul necircular? Dacă baza unui con este un cerc, dar vârful nu este proiectat în centrul acestui cerc, atunci un astfel de con se numește înclinat. Dacă baza nu este un cerc, ci o figură arbitrară, atunci un astfel de corp este uneori numit și con, dar, desigur, nu circular (vezi Fig. 4).

Astfel, ajungem din nou la analogia deja familiară pentru noi din lucrul cu cilindri. De fapt, un con este ceva ca o piramidă, doar că piramida are un poligon la bază, iar conul (pe care îl vom lua în considerare) are un cerc (vezi Fig. 5).

Segmentul axei de rotație (în cazul nostru acesta este piciorul) închis în interiorul conului se numește axa conului (vezi Fig. 6).

Orez. 5. Con și piramidă

Orez. 6. - axul conului

Orez. 7. Baza conului

Cercul format prin rotirea celui de-al doilea picior () se numește baza conului (vezi Fig. 7).

Și lungimea acestui picior este raza bazei conului (sau, mai simplu, raza conului) (vezi Fig. 8).

Orez. 8. - raza conului

Orez. 9. - vârful conului

Vârful unui unghi ascuțit al unui triunghi rotativ situat pe axa de rotație se numește vârful unui con (vezi Fig. 9).

Orez. 10. - înălțimea conului

Înălțimea unui con este un segment desenat din vârful conului perpendicular pe baza acestuia (vezi Fig. 10).

Aici s-ar putea să aveți o întrebare: atunci, cum diferă segmentul axei de rotație de înălțimea conului? De fapt, acestea coincid doar în cazul unui con drept dacă vă uitați la un con înclinat, veți observa că acestea sunt două segmente complet diferite (vezi Fig. 11).

Orez. 11. Înălțimea într-un con înclinat

Să revenim la conul drept.

Orez. 12. Generatoare ale conului

Segmentele care leagă vârful conului cu punctele cercului bazei acestuia se numesc generatoare de con. Apropo, toate generatricele unui con drept sunt egale între ele (vezi Fig. 12).

Orez. 13. Obiecte naturale asemănătoare conurilor

Tradus din greacă, konos înseamnă „con de pin”. În natură există suficiente obiecte care au formă de con: molid, munte, furnicar etc. (vezi Fig. 13).

Dar suntem obișnuiți cu faptul că conul este drept. Are generatrice egale, iar înălțimea sa coincide cu axa. Am numit un astfel de con un con drept. În cursurile școlare de geometrie, de obicei sunt luate în considerare conurile drepte, iar implicit orice con este considerat drept circular. Dar am spus deja că nu există doar conuri drepte, ci și înclinate.

Orez. 14. Secțiune perpendiculară

Să revenim la conuri drepte. „Tăiați” conul cu un plan perpendicular pe axă (vezi Fig. 14).

Ce cifră va fi pe tăietură? Desigur, este un cerc! Să ne amintim că planul merge perpendicular pe axă și, prin urmare, paralel cu baza, care este un cerc.

Orez. 15. Secțiune înclinată

Acum să înclinăm treptat planul de secțiune. Apoi cercul nostru va începe să se transforme treptat într-un oval din ce în ce mai alungit. Dar numai până când planul de secțiune se ciocnește de cercul de bază (vezi Fig. 15).

Orez. 16. Tipuri de secțiuni folosind exemplul unui morcov

Cei cărora le place să exploreze lumea experimental pot verifica acest lucru cu ajutorul unui morcov și a unui cuțit (încercați să tăiați felii dintr-un morcov în unghiuri diferite) (vezi Fig. 16).

Orez. 17. Secțiunea axială a conului

Secțiunea unui con de către un plan care trece prin axa sa se numește secțiunea axială a conului (vezi Fig. 17).

Orez. 18. Triunghi isoscel - figură în secțiune

Aici obținem o figură secțională complet diferită: un triunghi. Acest triunghi este isoscel (vezi Fig. 18).

În această lecție am învățat despre suprafața cilindrică, tipurile de cilindru, elementele unui cilindru și asemănarea unui cilindru cu o prismă.

Generatoarea conului este de 12 cm și este înclinată față de planul bazei la un unghi de 30 de grade. Găsiți aria secțiunii transversale axiale a conului.

Soluţie

Să luăm în considerare secțiunea axială necesară. Acesta este un triunghi isoscel în care laturile sunt de 12 grade și unghiul de bază este de 30 de grade. Apoi puteți proceda în moduri diferite. Sau puteți desena înălțimea, găsiți-o (jumătate din ipotenuză, 6), apoi baza (folosind teorema lui Pitagora) și apoi aria.

Orez. 19. Ilustrație pentru problema

Sau găsiți imediat unghiul la vârf - 120 de grade - și calculați aria ca jumătate produs al laturilor și sinusul unghiului dintre ele (răspunsul va fi același).

1. Geometrie. Manual pentru clasele 10-11. Atanasyan L.S. şi alţii ed. a XVIII-a. - M.: Educație, 2009. - 255 p.
2. Geometrie clasa a XI-a, A.V. Pogorelov, M.: Educație, 2002
3. Caiet de lucru geometrie clasa a XI-a, V.F. Butozov, Yu.A. Glazkov

1. Yaklass.ru ().
2. Uztest.ru ().
3. Bitclass.ru ().

Teme pentru acasă

Definiție. Vârful conului este punctul (K) din care provin razele.

Definiție. Baza conului este planul format prin intersecția unei suprafețe plane și a tuturor razelor emanate din vârful conului. Un con poate avea baze precum cerc, elipsa, hiperbola și parabola.

Definiție. Generatoarea conului(L) este orice segment care leagă vârful conului cu limita bazei conului. Generatoarea este un segment al razei care iese din vârful conului.

Formulă. Lungimea generatorului(L) a unui con circular drept prin raza R și înălțimea H (prin teorema lui Pitagora):

Definiție. Ghid conul este o curbă care descrie conturul bazei conului.

Definiție. Suprafata laterala conul este totalitatea tuturor componentelor conului. Adică suprafața care se formează prin mișcarea generatricei de-a lungul ghidajului conului.

Definiție. Suprafaţă Conul este format din suprafața laterală și baza conului.

Definiție. Înălţime conul (H) este un segment care se extinde din vârful conului și este perpendicular pe baza acestuia.

Definiție. Axă conul (a) este o linie dreaptă care trece prin partea superioară a conului și centrul bazei conului.

Definiție. Conicitate (C) con este raportul dintre diametrul bazei conului și înălțimea acestuia. În cazul unui trunchi de con, acesta este raportul dintre diferența dintre diametrele secțiunilor transversale D și d ale trunchiului de con și distanța dintre ele: unde R este raza bazei și H este înălțimea lui. conul.

Care emană dintr-un punct (vârful conului) și care trec printr-o suprafață plană.

Se întâmplă ca un con să fie o parte a unui corp care are un volum limitat și se obține prin combinarea fiecărui segment care leagă vârful și punctele unei suprafețe plane. Acesta din urmă, în acest caz, este baza conului, iar conul se spune că se sprijină pe această bază.

Când baza unui con este un poligon, este deja piramidă .

Con circular- acesta este un corp format dintr-un cerc (baza conului), un punct care nu se află în planul acestui cerc (partea superioară a conului și toate segmentele care leagă vârful conului cu punctele baza). Se numesc segmentele care leagă vârful conului și punctele cercului de bază formând un con. Suprafața conului este formată dintr-o bază și o suprafață laterală.

Suprafața laterală este corectă n-o piramidă de carbon înscrisă într-un con:

S n =½P n l n,

Unde P n- perimetrul bazei piramidei, și l n- apotema.

După același principiu: pentru suprafața laterală a unui trunchi de con cu raze de bază R 1, R 2și formând l obținem următoarea formulă:

S=(R1 +R2)1.

Conuri circulare drepte și oblice cu bază și înălțime egale. Aceste corpuri au același volum:

Proprietățile unui con.

• Când aria bazei are o limită, înseamnă că și volumul conului are o limită și este egal cu a treia parte a produsului dintre înălțimea și aria bazei.

Unde S- suprafata de baza, H- înălțime.

Astfel, fiecare con care se sprijină pe această bază și are un vârf care este situat pe un plan paralel cu baza are volum egal, deoarece înălțimile lor sunt aceleași.

• Centrul de greutate al fiecărui con cu un volum având limită este situat la un sfert din înălțimea de la bază.
• Unghiul solid la vârful unui con circular drept poate fi exprimat prin următoarea formulă:

Unde α - unghi de deschidere a conului.

• Suprafața laterală a unui astfel de con, formula:

și suprafața totală (adică suma suprafețelor laterale și ale bazei), formula:

S=πR(l+R),

Unde R- raza bazei, l— lungimea generatricei.

• Volumul unui con circular, formula:

• Pentru un trunchi de con (nu doar drept sau circular), volum, formulă:

Unde S 1Și S 2- zona bazelor superioare și inferioare,

hȘi H- distante de la planul bazei superioare si inferioare pana la varf.

• Intersecția unui plan cu un con circular drept este una dintre secțiunile conice.