Adăugarea matricei.

Proprietăți suplimentare:

· A + B = B + A.

· (A + B) + C = A + (B + C).

Înmulțirea unei matrice cu un număr.

· k(A + B) = kA + kB.

· (k + m)A = kA + mA.

Înmulțirea matricei.

Matrice inversă.

Proprietățile determinanților

4. Teorema substituției.

5. Teorema anulării.

completări la aceste elemente

unde i=,

Matrici de transpunere.

Matrice transpusă
A T[ i, j] = A[j, i].
De exemplu,

Și

Suprafețe cilindrice.

O suprafață formată prin mișcarea unei drepte L, care se deplasează în spațiu, menținând o direcție constantă și intersectând de fiecare dată o anumită curbă K, se numește suprafață sau cilindru cilindric; curba K este ghidajul cilindrului, iar L este generatorul acestuia.

Cilindru eliptic

Ecuație eliptică:

Un caz special cilindru eliptic este cilindru circular, ecuația sa este x 2 + y 2 = R 2 . Ecuația x 2 =2pz se definește în spațiu cilindru parabolic.

Ecuația: definește în spațiu cilindru hiperbolic.

Toate aceste suprafețe sunt numite cilindri de ordinul doi, deoarece ecuațiile lor sunt ecuații de gradul doi în raport cu coordonatele curente x, y, z.

62. Elipsoide.

Să examinăm suprafața definită de ecuație:

Să considerăm secțiuni ale unei suprafețe cu plane paralele cu planul xOy. Ecuațiile unor astfel de plane: z=h, unde h este orice număr. Linia obținută în secțiune este determinată de două ecuații:

Să examinăm suprafața:

Si daca Acea Linia de intersecție a suprafeței cu planele z=h nu există.

B) dacă , linia de intersecție degenerează în două puncte (0,0,c) și (0,0,-c). Planul z = c, z = - c atinge suprafața dată.

B) dacă , atunci ecuațiile pot fi rescrise astfel:
, după cum se vede, linia de intersecție este o elipsă cu semiaxele a1 = , b1 = . În acest caz, cu cât h este mai mic, cu atât semiaxele sunt mai mari. La n=0 ele ating cele mai mari valori: a1=a, b1=b. Ecuațiile vor lua forma:

Secțiunile luate în considerare fac posibilă reprezentarea suprafeței ca o suprafață ovală închisă. Suprafața se numește elipsoid Dacă vreo semiaxă este egală, elipsoidul triaxial se transformă într-un elipsoid de revoluție, iar dacă a=b=c, atunci într-o sferă.

Hiperboloizi.

1. Examinați suprafața . Intersectând suprafața cu planul z=h, obținem o dreaptă de intersecție ale cărei ecuații au forma

z=h. sau z=hsemiaxa: a1= b1=

semiaxele ating valoarea minimă la h=0: a1=a, b1=b. Pe măsură ce h crește, semiaxele elipsei vor crește. => x=0.

Analiza acestor secțiuni arată că suprafața definită de ecuație are forma unui tub în expansiune infinită. Suprafața se numește hiperboloid cu o singură foaie.

2. - ecuația suprafeței.

Și - o suprafață formată din 2 cavități în formă de boluri convexe nelimitate. Suprafața se numește hiperboloid cu două foi.

64. paraboloizi.

.
-Acest paraboloid eliptic.

Ecuația canonică: (p>0, q>0).

p = q este un paraboloid de rotație în jurul axei Oz.

Secțiunile unui paraboloid eliptic sunt fie o elipsă, fie o parabolă, fie un punct.

2.
- paraboloid hiperbolic.

Secțiunile unui paraboloid hiperbolic pe planuri sunt fie o hiperbolă, fie o parabolă, fie o pereche de linii drepte (generatoare rectilinii).

65. Suprafețe canonice.

Ecuația canonică:

a = b - con de rotație (circular drept)
Secțiuni ale unui con pe plane: în planul care intersectează toate generatricele rectilinie - o elipsă; într-un plan paralel cu o generatoare rectilinie - o parabolă; într-un plan paralel cu două generatoare rectilinii - o hiperbolă; în planul care trece prin vârful conului, o pereche de drepte care se intersectează sau un punct (vârf).

66. Funcția. Noțiuni de bază. Modalități de a seta.

O funcție este o lege conform căreia un număr x dintr-o mulțime dată X este asociat cu un singur număr y, scris , în timp ce x se numește argumentul funcției, y

numită valoarea funcției.

1. Metodă analitică.

2. Metoda grafică.

3. Metoda verbală.

4. Metoda tabelară.

Teorema comparației.

în teoria ecuațiilor diferențiale, o teoremă care afirmă prezența unei anumite proprietăți a soluțiilor unei ecuații diferențiale (sau a unui sistem de ecuații diferențiale) sub ipoteza că o ecuație sau inegalitate auxiliară (sistem de ecuații diferențiale sau inegalități) are o anumită proprietate.

1) Teorema lui Sturm: orice soluție netrivială a ecuației dispare pe interval de cel mult de m ori dacă ecuația și pentru au această proprietate.

2) Inegalitatea diferențială: soluția problemei este nenegativă din punct de vedere al componentelor dacă soluția problemei are această proprietate și inegalitățile sunt satisfăcute

Prima este o limită minunată.

Când se calculează limitele expresiilor care conțin funcții trigonometrice, limita este adesea folosită numit prima limită remarcabilă.

Se citește: limita raportului dintre sinus și argumentul său este egală cu unu atunci când argumentul tinde spre zero.

Dovada:

Să luăm un cerc cu raza 1 și să notăm cu x măsura în radian a unghiului MOV. fie 0 , arcul MV este numeric egal cu unghiul central x, . Evident, avem. Pe baza formulelor de geometrie corespunzătoare, obținem . Să împărțim inegalitatea la >0, obținem 1<

Deoarece , apoi pe baza criteriului (pe limita unei funcţii intermediare) al existenţei limitelor .

Și dacă x<0 => , unde –x>0 =>

83. A doua limită remarcabilă.

După cum se știe, limita unei secvențe de numere
, are o limită egală cu e. . 1.Lasa . Fiecare valoare x este închisă între două numere întregi pozitive: , unde n=[x] este partea întreagă a lui x. Rezultă că prin urmare
. Dacă , Acea . De aceea:
,

Pe baza existenței limitelor: . 2. Lasă . Să facem înlocuirea –x=t, apoi = . Și numită a doua limită remarcabilă. Sunt utilizate pe scară largă în calcularea limitelor. În aplicațiile analitice, funcția exponențială cu baza e joacă un rol important. Funcţie se numește exponențial, se folosește și notația .

Dovada.

(ținând cont că dacă Dx®0, atunci Du®0, deoarece u = g(x) este o funcție continuă)

Apoi . Teorema a fost demonstrată.

teorema lui Cauchy

Teorema lui Cauchy: Dacă funcţiile f(x) şi sunt continue pe interval, diferențiabile pe intervalul (a,b) și Pentru , atunci există cel puțin un punct , astfel încât egalitatea
.

Matrici. Noțiuni de bază. Operații liniare pe matrice și proprietățile acestora.

O matrice de dimensiunea m cu n este o colecție de mn numere reale (complexe) sau elemente ale unei alte structuri (polinoame, funcții etc.), scrise sub forma unui tabel dreptunghiular, care constă din m rânduri și n coloane și luate în paranteze drepte rotunde sau dreptunghiulare sau duble. În acest caz, numerele în sine sunt numite elemente de matrice și fiecare element este asociat cu două numere - numărul rândului și numărul coloanei.

O matrice ale cărei elemente sunt toate zero se numește matrice zero

O matrice de mărimea n cu n se numește matrice pătrată de ordinul n-a, adică. numărul de rânduri este egal cu numărul de coloane.

O matrice pătrată se numește diagonală dacă toate elementele sale în afara diagonalei sunt zero.

O matrice diagonală în care toate elementele diagonale sunt egale cu 1 se numește matrice de identitate
Adăugarea matricei.

Proprietăți suplimentare:

· A + B = B + A.

· (A + B) + C = A + (B + C).

· Dacă O este o matrice zero, atunci A + O = O + A = A

Observație 1. Valabilitatea acestor proprietăți rezultă din definiția operației de adunare a matricei.

Observație 2. Rețineți că numai matrice de aceeași dimensiune pot fi adăugate.

Înmulțirea unei matrice cu un număr.

Proprietățile înmulțirii unei matrice cu un număr

· k(A + B) = kA + kB.

· (k + m)A = kA + mA.

Observație 1. Valabilitatea proprietăților rezultă din Definițiile 3.4 și 3.5.

Observația 2. Să numim diferența matricelor A și B o matrice C pentru care C+B=A, adică C=A+(-1)B.
Înmulțirea matricei.

Înmulțirea unei matrice cu o matrice necesită, de asemenea, să fie îndeplinite anumite condiții pentru dimensiunile factorilor și anume: numărul de coloane al primului factor trebuie să fie egal cu numărul de rânduri al celui de-al doilea.

Pentru matrice pătrată de același ordin, produsele AB și BA există și au aceeași dimensiune, dar elementele lor corespunzătoare nu sunt în general egale.

Cu toate acestea, în unele cazuri produsele AB și BA coincid

Matrice inversă.

O matrice pătrată A se numește singulară dacă ∆A=0 și nesingulară dacă ∆A≠0

O matrice pătrată B se numește inversul unei matrice pătrate A de același ordin dacă AB = BA = E. În acest caz, B se notează

Pentru ca o matrice inversă să existe, este necesar și suficient ca matricea originală să fie nesingulară.

2. Determinant de matrice. Proprietățile determinanților.

Determinant (sau determinant) este unul dintre conceptele de bază ale algebrei liniare. Determinantul unei matrice este un polinom al elementelor unei matrice pătrate (adică unul în care numărul de rânduri și coloane este egal). În general, o matrice poate fi definită peste orice inel comutativ, caz în care determinantul va fi un element al aceluiași inel. (∆A)

Proprietățile determinanților

· Determinantul este o funcție poliliniară oblică-simetrică a rândurilor (coloanelor) matricei. Multiliniaritatea înseamnă că determinantul este liniar pe toate rândurile (coloanele): , unde etc. sunt rândurile matricei, este determinantul unei astfel de matrice.

· Când adăugați o combinație liniară de alte rânduri (coloane) la orice rând (coloană), determinantul nu se va schimba.

· Dacă două rânduri (coloane) ale unei matrice coincid, atunci determinantul acesteia este zero.

· Dacă două (sau mai multe) rânduri (coloane) ale unei matrice sunt dependente liniar, atunci determinantul acesteia este egal cu zero.

· Dacă rearanjați două rânduri (coloane) ale unei matrice, atunci determinantul acesteia este înmulțit cu (-1).

· Factorul comun al elementelor oricărei serii a determinantului poate fi scos din semnul determinantului.

· Dacă cel puțin un rând (coloană) al matricei este zero, atunci determinantul este egal cu zero.

· Suma produselor tuturor elementelor oricărui rând prin complementele lor algebrice este egală cu determinantul.

· Suma produselor tuturor elementelor oricărei serii prin complementele algebrice ale elementelor corespondente ale unei serii paralele este zero.

· Determinantul produsului matricelor pătrate de același ordin este egal cu produsul determinanților acestora (vezi și formula Binet-Cauchy).

· Folosind notația de index, determinantul unei matrice 3x3 poate fi determinat folosind simbolul Levi-Civita din relația:

3. Minori și complemente algebrice.

Minorul unui element de matrice de ordinul n-lea este determinantul unei matrice de ordinul (n-1) obținut din matricea A prin ștergerea rândului i și coloanei j-a.

La scrierea determinantului ordinului (n-1), în determinantul inițial nu sunt luate în considerare elementele situate sub linii.
Complementul algebric Aij al unui element aij de o matrice de ordin al n-lea este minorul acestuia, luat cu un semn, în funcție de numărul rândului și numărul coloanei: adică complementul algebric coincide cu minorul atunci când suma rândului și numerele coloanei este un număr par și diferă de semnul minor, atunci când suma numerelor rândurilor și coloanelor este un număr impar.

4. Teorema substituției.

Sumele produselor numerelor arbitrare bi ,b2,...,b prin complementele algebrice ale elementelor oricărei coloane sau rânduri ale unei matrici de ordinul n sunt egale cu determinantul matricei, care se obține din aceasta prin înlocuirea elementelor acestei coloane (rând) cu numerele b1,b2,...,bn.

5. Teorema anulării.

Suma produselor elementelor uneia dintre coloanele (rândurile) matricei prin complementele algebrice corespunzătoare ale elementelor altei coloane (rânduri) este egală cu zero.

6. Câteva metode de calcul al determinanților.

Teorema (Laplace). Determinant al unei matrice de ordin N = suma produsului tuturor minorilor de ordinul k, care poate fi compus din k serii paralele alese arbitrar și complemente algebrice ale acestor minore

Teoremă (cu privire la extinderea determinantului în elemente ale unei serii). Calificativ mp. matrice = suma produselor elementelor unei anumite serii și algebrice

completări la aceste elemente

7. Înmulțirea matricei. Proprietățile înmulțirii.

Operația de înmulțire a două matrice este introdusă numai în cazul în care numărul de coloane din prima matrice este egal cu numărul de rânduri din a doua matrice.

Produsul matricei A m * n = (a i , g) cu matricea B n * p = (b i , k) este o matrice Cm*p = (cu i , k) astfel încât: ,

unde i=, , adică elementul coloanelor i-a și k-a a matricei de produs C este egal cu suma produselor elementelor din rândul i-a al matricei A cu elementele corespunzătoare ale coloanei k-a a matricei B .

Matricele A, n*m și B, m*n, numite. ne-am înțeles asupra. (dacă A este compatibil cu B, aceasta nu înseamnă că B este compatibil cu A).

Semnificația consistenței este că numărul de coloane din prima matrice coincide cu numărul de rânduri din a doua matrice. Pentru matricele potrivite, poate fi definită o operație de înmulțire.

Dacă matricele A și B sunt pătrate și de aceeași dimensiune, atunci A*B și B*A există întotdeauna. Transpunerea este schimbarea tuturor elementelor unei coloane în elementele corespunzătoare ale unui rând. Dacă A T =A, atunci se numește matricea A. simetric (trebuie să fie pătrat).

Matrici de transpunere.

Matrice transpusă- matrice obtinuta din matricea originala prin inlocuirea randurilor cu coloane.
Formal, matricea transpusă pentru o matrice de dimensiune este o matrice de dimensiune, definită ca A T[ i, j] = A[j, i].
De exemplu,

Și

Matrice inversă. O condiție necesară și suficientă pentru existența unei matrici inverse. Aflarea matricei inverse.

Să fie o matrice A - nesingulară.

A -1 , A -1 *A=A*A -1 =E, unde E este matricea de identitate. A -1 are aceleași dimensiuni ca și A.

Algoritm pentru găsirea matricei inverse:

1. În locul fiecărui element al matricei a ij scriem complementul algebric al acestuia.

A* este o matrice de unire.

2. transpuneți matricea de unire rezultată. A*T

3. împărțiți fiecare element al matricei de unire la determinantul matricei A.

A -1 = A *T

Teorema: (despre anularea determinantului):
suma produselor elementelor unei anumite serii ale unui determinant prin complementul algebric la elementele unei alte serii paralele este întotdeauna egală cu zero.

10. Reprezentarea matricială a unui sistem de ecuații liniare și soluțiile acestuia.

Matricele fac posibilă scrierea pe scurt a unui sistem de ecuații liniare. Să fie dat un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute:

Luați în considerare matricea sistemului și coloane de matrice de termeni necunoscuți și liberi

Să găsim de lucru

acestea. ca rezultat al produsului, obținem părțile din stânga ecuațiilor acestui sistem. Apoi, folosind definiția egalității matriceale, acest sistem poate fi scris sub forma

sau mai scurt A∙X=B.

Iată matricele AȘi B sunt cunoscute, iar matricea X necunoscut. Este necesar să-l găsim, pentru că... elementele sale sunt soluția acestui sistem. Această ecuație se numește ecuația matriceală.

Fie determinantul matricei diferit de zero | A| ≠ 0. Atunci ecuația matriceală se rezolvă după cum urmează. Înmulțiți ambele părți ale ecuației din stânga cu matricea A-1, inversul matricei A: . Deoarece A -1 A = EȘi E∙X = X, apoi obținem o soluție a ecuației matriceale sub forma X = A -1 B.

Rețineți că, deoarece matricea inversă poate fi găsită numai pentru matrice pătrată, metoda matricei poate rezolva numai acele sisteme în care numărul de ecuații coincide cu numărul de necunoscute. Cu toate acestea, înregistrarea matriceală a sistemului este posibilă și în cazul în care numărul de ecuații nu este egal cu numărul de necunoscute, atunci matricea A nu va fi pătrat și, prin urmare, este imposibil să găsiți o soluție la sistem în formă X = A -1 B.

11. Rezolvarea sistemelor liniare nedegenerate, formule Cramer.

Se obișnuiește să scrieți SLAE-uri în formă de matrice, când necunoscutele în sine nu sunt indicate, ci sunt indicate doar matricea sistemului A și coloana de termeni liberi B.

Rezolvarea SLAE-urilor nedegenerate folosind metoda lui Cramer:

A -1 =

X1= (A 11 b 1 + A 21 b 2 + …+A n 1 b n)

Teorema: (Cramer):
rezolvarea ecuațiilor nedegenerate AX=B, se poate scrie asa:

, Ak se obține din A prin înlocuirea coloanei k-a cu coloana termenului liber B.

12. Rangul matricei. Proprietățile rangului matricei. Calcularea rangului unei matrice folosind transformări elementare.

Se numește numărul maxim de rânduri dependente liniar ale matricei A. rangul matricei și denotația r(a). Se numește cel mai mare dintre ordinele minore ale unei matrice date, alta decât 0 rangul matricei.

Proprietăți:

1) la transpunerea rang=const.

2) dacă tăiați rândul zero, atunci song=const;

3)rang=cost, cu transformări elementare.

3) pentru a calcula rangul folosind elementul, transformați matricea A în matricea B, al cărei rang este ușor de găsit.

4) rangul triunghiului matriceal = numărul de elemente nenule situate pe diagonalele principale.

Metode pentru găsirea rangului unei matrice:

1) metoda de limitare a minorilor

2) metoda transformărilor elementare

Metoda minorilor în graniță:

Metoda limitării minorilor vă permite să algoritmizați procesul de găsire a matricei de rang și vă permite să minimizați numărul de calcule ale minorilor.

1) dacă matricea are toate elementele zero, atunci rang = 0

2) dacă există cel puțin un element diferit de zero => r(a)>0

Acum vom margini M1 minor, i.e. vom construi toți minorii posibili de ordinul 2, ktr. conține al-lea rând și j-a coloană până când găsim un minor diferit de zero de ordinul 2.

Procesul va continua până când apare unul dintre următoarele evenimente:
1. Mărimea minorului va ajunge la numărul k.

2. la un moment dat, toți minorii granițați se vor dovedi a fi = 0.

În ambele cazuri, mărimea matricei de rang va fi egală cu ordinul minorului mai mare, diferit de zero.

Metoda elementară de transformare:
După cum se știe, conceptul de matrice triunghiulară este definit doar pentru matrice pătrată. Pentru matricele dreptunghiulare, un analog este conceptul de matrice trapezoidală.

De exemplu:
rang = 2.

Pentru fiecare numerele a¹0 există un număr invers a -1 astfel încât munca a×a -1 =1. Un concept similar este introdus pentru matricele pătrate.

Definiție. Dacă există matrici pătrate X și A de același ordin care îndeplinesc condiția:

unde E este matricea de identitate de același ordin ca și matricea A, atunci se numește matricea X verso la matricea A și se notează cu A -1.

Din definiție rezultă că numai o matrice pătrată are inversă; în acest caz, matricea inversă este, de asemenea, pătrat de același ordin.

Cu toate acestea, nu orice matrice pătrată are un invers. Dacă condiția a¹0 este necesar şi suficient pentru existenţa unui număr a -1, atunci pentru existența matricei A -1 o astfel de condiție este cerința DA ¹0.

Definiție. Matrice pătrată n-se numește ordinul nedegenerat (nesingular), dacă determinantul său este DA ¹0.

Daca DA= 0 , atunci se numește matricea A degenerat (special).

Teorema(o condiție necesară și suficientă pentru existența unei matrici inverse). Dacă o matrice pătrată Nimic special(adică determinantul său nu este egal cu zero), atunci pentru el există singurul matrice inversă.

Dovada.

eu. Necesitate. Fie matricea A să aibă un invers A -1, adică. AA -1 = A -1 A=E. De proprietatea 3 determinanti ( § 11) avem D(AA -1)= D(A -1) D(A)= D(E)=1, i.e. D.A. ¹0 și DA -1 ¹0.

eu eu. Adecvarea. Fie matricea pătrată A nesingulară, adică. D.A. ¹0 . Să scriem matricea transpusă A T:

În această matrice, înlocuim fiecare element cu complementul său algebric și obținem matricea:

Se numește matricea A* anexat de la matrice la matricea A.

Să găsim produsul AA * (și A * A):

Unde diagonală elemente = DA,

DA.(formula 11.1 §unsprezece)

Și toți ceilalți off-diagonală elementele matricei AA * sunt egale cu zero proprietatea 10 §11, De exemplu:

etc. Prin urmare,

AA * = sau AA * = DA= DA×E.

În mod similar, se demonstrează că A * A = DA×E.

Împărțind ambele egalități obținute la DA, obținem: . Aceasta, prin definiția unei matrici inverse, implică existența unei matrici inverse

Deoarece AA -1 =A -1 A=E.

S-a dovedit existența unei matrici inverse. Să dovedim unicitatea. Să presupunem că există o altă matrice inversă F pentru matricea A, apoi AF = E și FA = E. Înmulțind ambele părți ale primei egalități cu A -1 în stânga și a doua cu A -1 în dreapta, obținem: A -1 AF = A - 1 E și FA A -1 = E A -1, de unde EF = A -1 E și FE = E A -1. Prin urmare, F = A -1. Unicitatea a fost dovedită.

Exemplu. Având în vedere o matrice A = , găsiți A -1 .

Algoritm pentru calcularea matricei inverse:

Proprietățile matricelor inverse.

1) (A -1) -1 = A;

2) (AB) -1 = B -1 A -1

3) (A T) -1 = (A -1) T .

⇐ Anterior78910111213141516Următorul ⇒

⇐ AnteriorPagina 3 din 4Următorul ⇒

Să luăm în considerare matricele

Mai mult, elementele matricelor A și B sunt date, iar X 1, X 2, X 3 sunt necunoscute.

Atunci se numește ecuația A × X = B cea mai simplă ecuație matriceală.

Pentru a o rezolva, i.e. pentru a găsi elementele matricei necunoscutelor X, procedăm astfel:

1. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu matricea A -1, inversul matricei A , stânga:

A -1 (A × X) = A -1 × B

2. Folosind proprietatea înmulțirii matriceale, scriem

(A -1 × A) X = A -1 × B

3. Din definirea unei matrici inverse

(A -1 × A = E) avem E × X = A -1 × B.

4. Folosind proprietatea matricei de identitate (E × X = X), obținem în final X = A -1 × B

cometariu. Dacă ecuația matriceală are forma X × C = D, atunci pentru a găsi matricea necunoscută X, ecuația trebuie înmulțită cu C -1 pe dreapta.

Exemplu. Rezolvarea ecuației matriceale

Soluţie. Să introducem notația

Definiția lor a înmulțirii matricelor, ținând cont de dimensiunile A și B, matricea necunoscutelor X va avea forma

Ținând cont de notația introdusă pe care o avem

A × X = B de unde X = A -1 × B

Să găsim A -1 folosind algoritmul pentru construirea matricei inverse

Să calculăm produsul

Apoi pentru X obținem

X = de unde x 1 = 3, x 2 = 2

Rangul matricei

Se consideră o matrice A de dimensiune (m x n)

Ordinul k minor al unei matrice A este determinantul ordinului k, ale cărui elemente sunt elementele matricei A care stau la intersecția oricăror K rânduri și oricăror K coloane. Evident, k £ min (m, n).

Definiție. Rangul r(A) al unei matrice A este cel mai înalt ordin al minorului diferit de zero al acestei matrice.

Definiție. Orice minor diferit de zero al unei matrice a cărei ordine este egală cu rangul său este numit minor de bază.

Defini e. Se numesc matrici care au aceleasi ranguri echivalent.

Calcularea rangului matricei

Definiție. Matricea se numește călcat, dacă primul element diferit de zero al fiecărui rând conține zerouri în rândurile subiacente.

Teorema. Rangul unei matrice eșalon este egal cu numărul rândurilor sale diferite de zero.

Astfel, prin transformarea matricei în formă eșalonată, este ușor de determinat rangul acesteia. Această operațiune se realizează folosind transformări matriceale elementare, care nu își schimbă rangul:

— înmulțirea tuturor elementelor rândului matricei cu numărul l ¹ 0;

- inlocuirea randurilor cu coloane si invers;

— rearanjarea rândurilor paralele;

— tăierea rândului zero;

- adăugarea elementelor unei anumite serii a elementelor corespunzătoare unei serii paralele, înmulțite cu orice număr real.

Exemplu.

Teoremă (condiție necesară și suficientă pentru existența unei matrici inverse).

Calculați rangul matricei

A =

Soluţie. Să transformăm matricea în formă eșalonată. Pentru a face acest lucru, adăugați a doua linie la a treia linie, înmulțită cu (-3).

A~

Să adăugăm o a treia la a patra linie.

Numărul de rânduri diferite de zero din matricea echivalentă rezultată este trei, prin urmare r(A) = 3.

Sisteme de n ecuații liniare cu n necunoscute.

Metode de rezolvare a acestora

Considerăm un sistem de n ecuații liniare cu n necunoscute.

A 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2 (1)

……………………………….

a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + … + a nn x n = b n

Definiție: Soluția sistemului (1) este o mulțime de numere (x 1, x 2, ..., x n), care transformă fiecare ecuație a sistemului într-o egalitate adevărată.

Matricea A, compusă din coeficienți pentru necunoscute, se numește matricea principală a sistemului (1).

A=

Se numește matricea B, constând din elemente ale matricei A și o coloană de termeni liberi ai sistemului (1). matrice extinsă.

B =

Metoda matricei

Să luăm în considerare matricele

X = — matricea necunoscutelor;

С = este matricea termenilor liberi ai sistemului (1).

Apoi, conform regulii înmulțirii matriceale, sistemul (1) poate fi reprezentat ca o ecuație matriceală

A × X = C (2)

Soluția ecuației (2) este menționată mai sus, adică X = A -1 × C, unde A -1 este matricea inversă pentru matricea principală a sistemului (1).

Metoda Cramer

Un sistem de n ecuații liniare cu n necunoscute, al cărui determinant principal este diferit de zero, are întotdeauna o soluție și, în plus, una unică, care se găsește după formulele:

unde D = det A este determinantul matricei principale A a sistemului (1), care se numește principală, Dх i se obțin din determinantul D prin înlocuirea coloanei i-a cu o coloană de termeni liberi, adică.

Dx 1 = ;

Dx 2 = ; … ;

Exemplu.

Rezolvați un sistem de ecuații folosind metoda lui Cramer

2x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 15

x 1 + x 2 + 5x 3 = 16

3x 1 - 2x 2 + x 3 = 1

Soluţie.

Să calculăm determinantul matricei principale a sistemului

D = det A = = 44 ¹ 0

Să calculăm determinanții auxiliari

Dx 3 = = 132.

Folosind formulele lui Cramer vom găsi necunoscutele

; ; .

Astfel x 1 = 0; x 2 = 1; x 3 = 3.

metoda Gauss

Esența metodei Gauss este eliminarea secvențială a necunoscutelor din ecuațiile sistemului, i.e. în reducerea matricei principale a sistemului la o formă triunghiulară, când există zerouri sub diagonala sa principală. Acest lucru se realizează folosind transformări matrice elementare peste rânduri. Ca urmare a unor astfel de transformări, echivalența sistemului nu este încălcată și, de asemenea, capătă o formă triunghiulară, adică. ultima ecuație conține o necunoscută, penultimele două etc. Exprimând a n-a necunoscută din ultima ecuație și folosind mișcarea inversă, folosind o serie de substituții succesive, se obțin valorile tuturor necunoscutelor.

Exemplu. Rezolvați un sistem de ecuații folosind metoda Gauss

3x 1 + 2x 2 + x 3 = 17

2x 1 - x 2 + 2x 3 = 8

x 1 + 4x 2 - 3x 3 = 9

Soluţie. Să notăm matricea extinsă a sistemului și să reducem matricea A conținută în acesta la o formă triunghiulară.

Să schimbăm primul și al treilea rând al matricei, ceea ce este echivalent cu rearanjarea primei și a treia ecuații ale sistemului. Acest lucru ne va permite să evităm apariția expresiilor fracționale în calculele ulterioare

B~

Înmulțim secvențial primul rând al matricei rezultate cu (-2) și (-3) și îl adăugăm cu al doilea și, respectiv, al treilea rând, iar B va avea forma:

După înmulțirea celui de-al doilea rând și adăugarea acestuia la al treilea rând, matricea A va lua o formă triunghiulară. Cu toate acestea, pentru a simplifica calculele, puteți face următoarele: înmulțiți a treia linie cu (-1) și adăugați-o la a doua. Apoi obținem:

B~

B~

Să restabilim din matricea rezultată B un sistem de ecuații echivalent cu acesta

X 1 + 4x 2 - 3x 3 = 9

x 2 - 2x 3 = 0

— 10x 3 = -10

Din ultima ecuație găsim Înlocuim valoarea găsită x 3 = 1 în a doua ecuație a sistemului, din care x 2 = 2x 3 = 2 × 1 = 2.

După înlocuirea x 3 = 1 și x 2 = 2 în prima ecuație pentru x 1, obținem x 1 = 9 - 4x 2 + 3x 3 = 9 - 4 × 2 + 3 × 1 = 4.

Deci x 1 = 4, x 2 = 2, x 3 = 1.

Cometariu. Pentru a verifica corectitudinea soluției unui sistem de ecuații, este necesar să înlocuiți valorile găsite ale necunoscutelor în fiecare dintre ecuațiile acestui sistem. Mai mult, dacă toate ecuațiile se transformă în identități, atunci sistemul este rezolvat corect.

Examinare:

3 × 4 + 2 × 2 + 1 = 17 corect

2 × 4 – 2 + 2 × 1 = 8 corect

4 + 4 × 2 – 3 × 1 = 9 corect

Deci, sistemul este rezolvat corect.

⇐ Anterior1234Următorul ⇒

Citeste si:

Cele mai simple ecuații matriceale

unde sunt matrici de asemenea dimensiuni încât toate operațiile utilizate sunt posibile, iar părțile stânga și dreapta ale acestor ecuații matrice sunt matrice de aceeași dimensiune.

Rezolvarea ecuațiilor (1)-(3) este posibilă folosind matrici inverse în cazul matricelor nedegenerate pentru X. În cazul general, matricea X se scrie element cu element, iar acțiunile specificate în ecuație sunt efectuate pe matrice. Ca rezultat, se obține un sistem de ecuații liniare. După ce am rezolvat sistemul, găsiți elementele matricei X.

Metoda matricei inverse

Aceasta este o soluție a unui sistem de ecuații liniare în cazul unei matrice pătrate nesingulare a sistemului A. Se găsește din ecuația matriceală AX=B.

A -1 (AX)=A -1 V, (A -1 A)X=A -1 V, EX= A -1 V, X= A -1 V.

formulele lui Cramer

Teorema.Fie Δ — este determinantul matricei sistemului A, iar Δ j este determinantul matricei obținute din matricea A prin înlocuirea coloanei j-a de termeni liberi. Atunci, dacă Δ≠ 0, atunci sistemul are o soluție unică, determinată de formulele:

- Formulele lui Cramer.

DZ 1, 2,23, 2,27, 2,51, 2,55, 2,62; DZ 2.2.19, 2.26, 2.40, 2.65

Tema 4. Numere complexe și polinoame

Numere complexe și operații pe ele

Definiții.

1. Vom fi de acord să numim un simbol de forma a + bi, unde a și b sunt numere reale arbitrare, un număr complex.

2. Suntem de acord să considerăm numerele complexe a + bi și a 1 + b 1 i egale dacă a = a 1 și

b = b 1 .

3. Suntem de acord să considerăm un număr complex de forma a + 0i egal cu numărul real a.

4. Suma a două numere complexe a + bi și a 1 + b 1 i se numește număr complex (a + a 1) + (b + b 1)i.

Matrice inversă. Rangul matricei.

Produsul a două numere complexe este numărul complex aa 1 – bb 1 + (a b 1 +a 1 b)i.

Număr complex de forma 0 + bi se numește număr pur imaginar și de obicei este scris astfel: bi; numărul 0 +1 i = i numit unitate imaginară.

După definiția 3, fiecare număr real A corespunde unui număr complex „egal”. a+0iși invers - la orice număr complex a+0i corespunde unui număr real „egal”. A, adică există o corespondență unu-la-unu între aceste numere. Dacă luăm în considerare suma și produsul numerelor complexe un 1 + 0i și un 2 + 0i conform regulilor 4 și 5, obținem:

(a 1 + 0i) + (a 2 + 0i) = (a 1 + a 2) + 0i,

(a 1 + 0i) (a 2 + 0i) = (a 1 a 2 – 0) + (a 1 0+a 2 0) i = a 1 a 2 + 0i.

Vedem că suma (sau produsul) acestor numere complexe corespunde unui număr real „egal” cu suma (sau produsul) numerelor reale corespunzătoare. Deci, corespondența dintre numerele complexe de formă a+0iși numărul real A astfel încât, în urma efectuării operațiilor aritmetice asupra componentelor corespunzătoare, se obțin rezultate corespunzătoare. Este apelată o corespondență unu-la-unu care este menținută atunci când se efectuează acțiuni izomorfism. Acest lucru ne permite să identificăm numărul a+0i cu număr real Ași considerați fiecare număr real ca un caz special al unui număr complex.

Consecinţă. Numărul pătrat i egal cu – 1.

i 2 = i i = (0 +1i)(0 +1i) = (0 – 1) + (0 1 + 1 0)i =— 1.

Teorema.Pentru adunarea și înmulțirea numerelor complexe rămân în vigoare legile de bază de funcționare.

Definitii:

1. Numărul real a se numește partea reală a numărului complex z = a + bi. Rez=a

2. Numărul b se numește partea imaginară a numărului complex z, numărul b se numește coeficientul părții imaginare a lui z. Imz=b.

3. Numerele a + bi și a – bi se numesc conjugate.

Număr conjugat z = a + bi indicat prin simbol

= a - bi.

Exemplu. z =3 + i,= 3 - i.

Teorema.Suma și produsul a două numere complexe conjugate sunt reale.

Dovada. Avem

În mulțimea numerelor complexe se poate efectua inversul adunării și înmulțirii.

Scădere. Lăsa z 1 = a 1 + b 1 iȘi z 2 = a 2 + b 2 i sunt numere complexe. diferență z 1 – z 2 există un număr z = x + y i, îndeplinind condiția z 1 = z 2 + z sau

a 1 + b 1 i = (a 2 + x) + (b 2 + y)i.

Pentru determinare XȘi y obținem un sistem de ecuații a 2 + x = a 1Și b 2 + y = b 1, care are o soluție unică:

x = a 1 - a 2, y = b 1 - b 2,

z = (a 1 + b 1 i) – (a 2 + b 2 i) = a 1 – a 2 + (b 1 – b 2)i.

Scăderea poate fi înlocuită prin adunare cu numărul opus celui care se scade:

z = (a 1 + b 1 i) – (a 2 + b 2 i) = (a 1 + b 1 i) + (- a 2 – b 2 i).

Divizia.

Coeficientul de numere z 1Și z 2≠ 0 este un număr z = x + y i, îndeplinind condiția z 1 = z 2 z sau

a 1 + b 1 i = (a 2 + b 2 i) (x + yi),

prin urmare,

a 1 + b 1 i = a 2 x - b 2 y+ (b 2 x + a 2 y)i,

de unde obținem sistemul de ecuații:

a 2 x - b 2 y = a 1 ,

b 2 x + a 2 y = b 1 .

Soluția la care va fi

prin urmare,

În practică, pentru a găsi câtul, înmulțiți dividendul și divizorul cu conjugatul divizorului:

De exemplu,

În special, inversul unui număr dat z, poate fi reprezentat sub forma

Notă.În setul de numere complexe rămâne valabil teorema: dacă produsul este egal cu zero, atunci cel puțin unul dintre factori este egal cu zero.

De fapt, dacă z 1 z 2 =0 si daca z 1 ≠ 0, apoi înmulțind cu , obținem

Q.E.D.

Când efectuați operații aritmetice pe numere complexe, trebuie să vă ghidați după următoarea regulă generală: acțiunile sunt efectuate conform regulilor uzuale pentru acțiunile pe expresii algebrice, urmate de înlocuirea i 2 cu-1.

Teorema.Când fiecare componentă este înlocuită cu numărul său conjugat, rezultatul acțiunii este înlocuit și cu numărul său conjugat.

Dovada stă în verificarea directă. Deci, de exemplu, dacă fiecare termen z 1 = a 1 + b 1 iȘi z 2 = a 2 + b 2 iînlocuiți cu numărul conjugat, obținem conjugatul sumei z 1 + z 2 .

prin urmare,

La fel pentru produs avem:

Înapoi567891011121314151617181920Următorul

VEZI MAI MULT:

Ecuații matriceale

Katalin David

AX = B, unde matricea A este inversabilă

Deoarece înmulțirea matriceală nu este întotdeauna comutativă, înmulțim ambele părți ale ecuației din stânga cu $ A^(-1) $.

$A^(-1)\cdot|A\cdot X = B$

$A^(-1)\cdot A\cdot X = A^(-1)\cdot B$

$I_(n)\cdot X = A^(-1)\cdot B$

$\culoare(roșu)(X =A^(-1)\cdot B)$

Exemplul 50
Rezolvați ecuația
$\begin(pmatrix) 1 și 3\\ 2 și 5 \end(pmatrix)\cdot X \begin(pmatrix) 3 și 5\\ 2 și 1 \end(pmatrix)$

Teorema 2. Criteriul de existență a unei matrici inverse.

Înmulțim de la stânga cu matricea sa inversă.
$\begin(pmatrix) 1 și 3\\ 2 și 5\\ \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 1 și 3\\ 2 și 5 \end(pmatrix)\cdot X= \begin(pmatrix) 1 și 3\\ 2 și 5 \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 3 și 5\\ 2 și 1 \end(pmatrix)$

$I_(2)\cdot X = \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end( pmatrix)$

$X=\begin(pmatrix) 1 și 3\\ 2 și 5 \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 3 și 5\\ 2 și 1 \end(pmatrix)$

$\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)= \begin(pmatrix) -5 & 3\\ 2 & -1 \end(pmatrix)\rightarrow X= \ begin(pmatrix) -5 și 3\\ 2 și -1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 3 și 5\\ 2 și 1 \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) -9 și -22 \\ 4 și 9 \end(pmatrix)$

XA = B, unde matricea A este inversabilă

Deoarece înmulțirea matriceală nu este întotdeauna comutativă, înmulțim ambele părți ale ecuației din dreapta cu $ A^(-1) $.

$X\cdot A = B |\cdot A^(-1)$

$X\cdot A\cdot A^(-1) = B\cdot A^(-1)$

$X \cdot I_(n) =B\cdot A^(-1)$

Soluția ecuației are forma generală
$\culoare(roșu)(X =B\cdot A^(-1))$

Exemplul 51
Rezolvați ecuația
$X \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5\\ \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1\\ \end(pmatrix)$

Să ne asigurăm că prima matrice este inversabilă.
$\left|A\right|=5-6=-1\neq 0$, prin urmare, matricea este inversabilă.

Înmulțim în dreapta cu matricea sa inversă.
$X \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)= \begin(pmatrix) ) 3 și 5\\ 2 și 1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 și 3\\ 2 și 5 \end(pmatrix)^(-1)$

$X\cdot I_(2)= \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(- 1)$

$X=\begin(pmatrix) 3 și 5\\ 2 și 1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 și 3\\ 2 și 5 \end(pmatrix)^(-1)$

$\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)= \begin(pmatrix) -5 & 3\\ 2 & -1 \end(pmatrix)\rightarrow X= \ begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix) \cdot \begin(pmatrix) -5 & 3\\ 2 & -1 \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) -5 & 4\ \ -8 și 5 \end(pmatrix)$

Matrici Înmulțirea matricelorDeterminanțiRang matriceMatrici inverseSisteme de ecuațiiCalculatoare pentru matrici

intl. uimire, surprindere; bucurie, speranță; bruscă, frică; durere, disperare. Oh, ce bine! O, de-ar fi așa! Oh, cât m-ai speriat! A, și flutură mâinile. Oh, o, dar nu ai cu ce să te ajute. Ah, judecător, judecător: patru fuste, opt buzunare.

| Uneori ah se transformă într-un substantiv. , soț. Ahhs, ohhs, și suspine ale femeilor. Ce era acolo despre gâfâituri, surpriză, bucurie. Ahti, ahhli pentru mine, o exclamație de durere, tristețe; Vai; Sunt atât de entuziasmat, toți camarazii mei sunt în închisoare - va fi ceva și pentru mine? Ohti-axmul sa se casatoreasca cumva? Nu atât de fierbinte pentru mine, nici uimitor, nici prea bun. Ahkhanki pentru mine, akhanki, exprimă, parcă, compasiune pentru sine sau pentru altul. Oh, ca și copiii mici, acesta este un fel de salut. Gâfâit, gâfâit, gâfâit, mirare; bucură-te de ceva, mâhnește, geme, exclamă ah! Mi-aș dori să fiu acasă, pe cont propriu. Unchiul trăgea, uitându-se la sine, avea grijă de tine, de treburile tale. Am gâfâit, m-am speriat, am fost uimit. De asemenea, am gâfâit și am văzut durere. Un bărbat singur va gea uneori, iar un bărbat căsătorit va icne.

matrice inversă

Ce naiba. Ne-am gâfâit când am aflat despre asta. Sa mergem sa mergem. Am fost uimit de aceste minuni. Au gâfâit, sau ce? Mai înveselește-te. Unul gâfâie, celălalt gâfâie. De ce te-ai entuziasmat? Vei gemi involuntar. Gâfâi greșit, gâfâi din nou, o batjocură de strigăte inutile. Mi-am petrecut toată ziua gemând. Femeia a venit să gâfâie, dar a trebuit să gâfâie; Am venit să mă uit la bucuria sau tristețea altcuiva, dar s-a întâmplat propria mea nenorocire. Aah miercuri. expresie nemoderată de bucurie, uimire, durere, deznădejde: soț gâfâit. ahalschnitsa nr. gâfâi. cine se minune de toate, laudă peste măsură lucrurile altora, este invidios. Există șapte achalers pentru fiecare achaler. Pentru fiecare bakhar sunt șapte ahal. Akhova mai jos Akhtitelny Penz. încântător, incredibil de frumos, frumos, provocând o exclamație de uimire și aprobare. Batista groaznica. Ahwa? neveste , arh.-on. gaură, gol; o gaură, o tăietură în piele, deteriorarea acesteia de la o lovitură neglijentă, injecție sau lovitură. Akhovnia? neveste piele stricat de pielea akhova, akhova sau akhvod. Wow, wow?, strică pielea cu o lovitură, o înțepătură, o tăietură. O sâmbătă îngrozitoare, când fac plăți, când cei greșiți gâfâie după bani.

Lema: Pentru orice matrice A produsul său printr-o matrice de identitate de mărimea corespunzătoare este egal cu matricea A: AE=EA=A.

MatriceÎN numit verso la matrice A, Dacă AB=BA=E. Matrice inversă la matrice A notat cu A -1 .

O matrice inversă există doar pentru o matrice pătrată.

Teorema: Matrice pătrată A are inversă dacă și numai dacă determinantul acestei matrice este diferit de zero (|A|≠0).

Algoritm pentru găsirea matricei inverse A -1:

(pentru matrice de ordinul doi și trei)

„Dacă vrei să înveți să înoți, atunci intră cu îndrăzneală în apă și dacă vrei să înveți sa rezolve probleme, Acea rezolva-le.»
D. Polya (1887-1985)

(Matematician. A adus o mare contribuție la popularizarea matematicii. A scris mai multe cărți despre cum să rezolvi problemele și despre cum să predai rezolvarea problemelor.)

§6. Proprietățile determinanților

§7. matrice inversă

Matrici nesingulare și singulare

matrice inversă

Condiție necesară și suficientă pentru existența unei matrici inverse

Algoritm pentru calcularea matricei inverse folosind formula

Calcularea matricei inverse folosind transformări elementare

§ 6. Proprietățile determinanților

1. Dacă orice rând (coloană) al matricei este egal cu zero, atunci determinantul său este egal cu zero.

Corolarul 1. Dacă o matrice pătrată conține două rânduri (coloane) identice, atunci determinantul ei este zero.

Corolarul 2. Dacă elementele a două rânduri (coloane) ale unei matrice sunt proporționale, atunci determinantul acesteia este egal cu zero.

2. Dacă toate elementele oricărui rând (coloană) unei matrice sunt înmulțite cu un număr, determinantul acestuia va fi înmulțit cu acest număr.

Cometariu. Semnul determinantului poate fi considerat ca fiind factorul comun al oricărui rând (coloană), spre deosebire de o matrice, al cărei semn poate fi luat doar ca fiind factorul comun al tuturor elementelor.

3. Când o matrice este transpusă, determinantul ei nu se schimbă.

4. Când două rânduri (coloane) ale unei matrice sunt interschimbate, determinantul acesteia își schimbă semnul în cel opus.

5. Determinantul matricei nu se modifică dacă la orice rând (coloană) se adaugă un alt rând (coloană) înmulțit cu un număr.

6. Determinantul produsului a două matrice pătrate este egal cu produsul determinanților lor, adică.

Cometariu. Chiar A∙ÎN ≠ ÎN∙A, .

Deci, folosind proprietățile determinanților, putem reduce orice determinant la o formă triunghiulară. Să ne uităm la acest proces cu un exemplu.

Exemplu. Calculați determinant

Soluţie.

§ 7. matrice inversă

Pentru fiecare număr A¹ 0 există un număr invers A–1 astfel încât A· A–1 = 1. Pentru matricele pătrate se introduce un concept similar.

Luați în considerare o matrice pătrată

.

Matrice pătrată A numit nedegenerat, dacă determinantul său este diferit de zero și degenerat dacă determinantul său este zero.

Matrice pătrată A–1 este numit verso pentru o matrice pătrată A, dacă produsul lor atât din stânga cât și din dreapta este egal cu matricea de identitate:

A · A –1 = A-1 · A = E.

Spre deosebire de numere, nu orice matrice pătrată are un invers.

Teoremă (condiție necesară și suficientă pentru existența unei matrici inverse). Pentru ca matricea A să aibă inversă, este necesar și suficient ca aceasta să fie nedegenerată.

Se numește matricea A -1 versoîn raport cu o matrice pătrată A, dacă la înmulțirea acestei matrice cu matricea A atât în ​​dreapta cât și în stânga, se obține matricea de identitate: A -1 * A = A * A -1 = E.

Din definiție rezultă că matricea inversă este o matrice pătrată de același ordin ca și matricea A.

Se poate observa că conceptul de matrice inversă este similar cu conceptul de număr invers (acesta este un număr care, înmulțit cu un număr dat, dă unul: a*a -1 = a*(1/ a) = 1).

Toate numerele cu excepția zero au reciproce.

Pentru a rezolva întrebarea dacă o matrice pătrată are o inversă, este necesar să-i găsim determinantul. Dacă determinantul unei matrice este zero, atunci se numește o astfel de matrice degenerat, sau special.

Condiție necesară și suficientă pentru existența unei matrici inverse: Matricea inversă există și este unică dacă și numai dacă matricea originală este nesingulară.

Să dovedim necesitatea. Fie matricea A să aibă o matrice inversă A -1, adică. A -1 * A = E. Atunci |A -1 * A| = |A -1 | * |A| = |E| = 1. Prin urmare, |A|0.

Să demonstrăm suficiența. Pentru a dovedi, trebuie pur și simplu să descriem o metodă de calcul a matricei inverse, pe care o putem aplica întotdeauna unei matrice nesingulare.

Deci să fie |A| 0. Transpunem matricea A. Pentru fiecare element A T găsim un complement algebric și compunem din ele o matrice, care se numește anexat(reciproc, aliat):
.

Să găsim produsul dintre matricea adjunctă și cel original
. Primim
. Astfel, matricea B este diagonală. Pe diagonala sa principală există determinanți ai matricei originale, iar toate celelalte elemente sunt zerouri:

În mod similar, se poate demonstra că
.

Dacă împărțiți toate elementele matricei la |A|, veți obține matricea de identitate E.

Prin urmare
, adică
.

Să demonstrăm unicitatea matricei inverse. Să presupunem că există o altă matrice inversă pentru A, diferită de A -1. Să o notăm X. Atunci A * X = E. Să înmulțim ambele părți ale egalității cu A -1 din stânga.

A -1 * A * X = A -1 * E

Unicitatea a fost dovedită.

Deci, algoritmul de calcul al matricei inverse constă din următorii pași:

1. Aflați determinantul matricei |A| . Dacă |A| = 0, atunci matricea A este singulară, iar matricea inversă nu poate fi găsită. Dacă |A| 0, apoi treceți la pasul următor.

2. Construiți matricea transpusă A T.

3. Aflați complementele algebrice ale elementelor matricei transpuse și construiți matricea adiacentă .

4. Calculați matricea inversă împărțind matricea adiacentă la |A|.

5. Puteți verifica corectitudinea calculului matricei inverse în conformitate cu definiția: A -1 * A = A * A -1 = E.

Să găsim determinantul acestei matrice folosind regula triunghiurilor:

Să sărim peste verificare.

Următoarele proprietăți ale inversării matricei pot fi dovedite:

1) |A -1 | = 1/|A|

2) (A -1) -1 = A

3) (A m) -1 = (A -1) m

4) (AB) -1 =B -1 * A -1

5) (A -1) T = (A T) -1

Rangul matricei

Minork-a ordine matricele A de dimensiunea m x n sunt numite determinantul unei matrice pătrate de ordinul k, care se obține din matricea A prin ștergerea oricăror rânduri și coloane.

Din definiție rezultă că ordinea minorului nu o depășește pe cea mai mică dintre dimensiunile sale, adică. kmin(m;n). De exemplu, dintr-o matrice A de 5x3 puteți obține submatrici pătrate de ordinul întâi, al doilea și al treilea (în consecință, calculați minorele acestor ordine).

Rang matricele sunt de ordinul cel mai înalt dintre minorele diferite de zero ale acestei matrice (notate cu rangul A sau r(A)).

Din definiţie rezultă că

1) rangul matricei nu depășește dimensiunile sale mai mici, adică. r(A)min(m;n);

2) r(A) = 0 dacă și numai dacă matricea este zero (toate elementele matricei sunt egale cu zero), adică r(A) = 0A = 0;

3) pentru o matrice pătrată de ordinul al n-lea r(A) = n dacă și numai dacă această matrice A este nesingulară, adică r(A) = n|A|0.

De fapt, pentru a face acest lucru, este suficient să calculați doar un astfel de minor (cel obținut prin tăierea celei de-a treia coloane (pentru că restul va avea o a treia coloană zero și, prin urmare, sunt egale cu zero).

Conform regulii triunghiului = 1*2*(-3) + 3*1*2 + 3*(-1)*4 – 4*2*2 – 1*(-1)*1 – 3*3*(-3) = -6 +6 – 12 – 16 + 1 +27 = 0.

Deoarece toți minorii de ordinul trei sunt zero, r(A)2. Deoarece există un minor diferit de zero de ordinul doi, de exemplu,

Evident, metodele pe care le-am folosit (având în vedere tot felul de minori) nu sunt potrivite pentru determinarea rangului în cazuri mai complexe din cauza complexității ridicate a acestora. De obicei, pentru a găsi rangul unei matrice, se folosesc unele transformări, care sunt numite elementar:

1). Eliminarea rândurilor (coloanelor) nule.

2). Înmulțirea tuturor elementelor unui rând sau coloanei unei matrice cu un alt număr decât zero.

3). Modificarea ordinii rândurilor (coloanelor) unei matrice.

4). Adăugarea fiecărui element dintr-un rând (coloană) a elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând (coloană), înmulțit cu orice număr.

5). Transpunerea.

Dacă matricea A se obține din matricea B prin transformări elementare, atunci aceste matrici se numesc echivalentși notat cu AB.

Teorema. Transformările matriceale elementare nu își schimbă rangul.

Demonstrarea teoremei rezultă din proprietățile determinantului matricei. De fapt, în timpul acestor transformări determinanții matricilor pătrate sunt fie păstrați, fie înmulțiți cu un număr care nu este egal cu zero. Ca urmare, cel mai înalt ordin al minorilor diferit de zero din matricea originală rămâne același, adică. rangul ei nu se schimbă.

Folosind transformări elementare, matricea este adusă la așa-numita formă în trepte (transformată în matricea pasilor), adică ele asigură că în matricea echivalentă există doar zero elemente sub diagonala principală și elemente diferite de zero pe diagonala principală:

Rangul unei matrice pas este egal cu r, deoarece prin ștergerea coloanelor din ea, pornind de la (r + 1)-a și mai departe, se poate obține o matrice triunghiulară de ordinul r, al cărei determinant va fi non- zero, deoarece va fi produsul elementelor diferite de zero (prin urmare, există un minor de ordinul r care nu este egal cu zero):

Exemplu. Aflați rangul unei matrice

1). Dacă a 11 = 0 (ca și în cazul nostru), atunci prin rearanjarea rândurilor sau coloanelor ne vom asigura că un 11 0. Aici schimbăm primul și al doilea rând al matricei:

2). Acum un 11 0. Folosind transformări elementare, ne vom asigura că toate celelalte elemente din prima coloană sunt egale cu zero. În a doua linie, 21 = 0. În a treia linie, 31 = -4. Pentru ca în loc de (-4) să fie 0, adăugați la a treia linie prima linie înmulțită cu 2 (adică cu (-a 31 / a 11) = -(-4)/2 = 2). În mod similar, la a patra linie adăugăm prima linie (înmulțită cu unu, adică cu (-a 41 /a 11) = -(-2)/2 = 1).

3). În matricea rezultată a 22 0 (dacă a 22 = 0, atunci rândurile ar putea fi rearanjate din nou). Să ne asigurăm că există și zerouri sub diagonală în a doua coloană. Pentru a face acest lucru, adăugați a doua linie la a treia și a patra linie, înmulțită cu -3 ((-a 32 /a 22) = (-a 42 /a 22) = -(-3)/(-1) = - 3):

4). În matricea rezultată, ultimele două rânduri sunt zero și pot fi aruncate:

Se obține o matrice de etape formată din două rânduri. Prin urmare, r(A) = 2.

Matrice inversă a unuia dat.

Nu orice matrice are un invers.

Teorema 1. Cele mai simple proprietăți ale unei matrici inverse.

1°. Orice matrice poate avea cel mult un invers.

2°. E –1 = E.

3°. ( A –1) –1 = A.

4°. ( AB) –1 = B –1 A –1 .

Matrici pătrate singulare și nesingulare.

Teorema 2. Criteriul inversibilității matricei.

O matrice este inversabilă dacă și numai dacă este nesingulară.

Lema 1. Orice transformare elementară de rând (coloană) a unei matrice poate fi implementată prin înmulțirea acestei matrice din stânga (dreapta) cu matricea elementară corespunzătoare.

Lema 2. Pentru ca o matrice să fie nesingulară, este necesar și suficient ca ea să poată fi redusă la matricea de identitate folosind doar transformări elementare pe rând.

Lema 3. Dacă rândurile (coloanele) matricei A (B) sunt dependente liniar și C = AB, atunci exact aceeași dependență liniară este valabilă pentru rândurile (coloanele) ale matricei CU.

O modalitate practică de a calcula matricea inversă:

A|E ... E|A –1 .

Ecuații matriceale.

Înregistrarea SLE-urilor sub forma unei ecuații matriceale a unei forme speciale. Turnul lui Cramer sub formă de matrice.

Permutări și substituții

Rearanjamente. Înregistrarea unei permutări. Numărul de permutări n elemente. Inversiunile. Permutări pare și impare. Transpuneri.

Teorema. Proprietăţile transpoziţiilor.

1°. Puteți trece de la orice permutare la orice altă permutare folosind mai multe transpoziții.

2°. Fiecare transpunere schimbă paritatea permutării.

Înlocuiri. S n. Înregistrarea înlocuirilor. Paritatea de substituție. Corectitudinea determinării parității unei substituții. Wildcard. (–1) s (p) .

Definiţia determinant

Definiţia determinant.

Exemple de calculare a determinanților matricelor de ordinul doi și trei, determinantul matricei triunghiulare superioare (inferioare), determinantul unei matrici în care toate elementele de sub (deasupra) diagonalei laterale sunt egale cu zero.

Proprietățile determinantului

Teorema. Proprietățile determinantului.

1°. det t A= det A.

2°.det = det + det .

3°. det = l×det .

4°. det = –det .

5°. Dacă unul dintre rândurile matricei este zero, atunci determinantul matricei este egal cu zero.

6°. Dacă oricare două rânduri ale unei matrice sunt egale, atunci determinantul matricei este zero.

7°. Dacă oricare două rânduri ale unei matrice sunt proporționale, atunci determinantul matricei este zero.

8°. Dacă unul dintre rândurile matricei este înmulțit cu un număr și adăugat la un alt rând, determinantul nu se va schimba.

9°. Determinantul unei matrice singulare este egal cu zero.

10°. Determinantul unei matrici nesingulare este diferit de zero.

Notă. Proprietățile 1°–4° sunt dovedite prin definiție, restul proprietăților sunt derivate folosind proprietățile 1°–4°.

Corolarul 1. Criteriul de nedegenerare a unei matrice.

O matrice pătrată este nesingulară dacă și numai dacă determinantul ei este diferit de zero.

Corolarul 2. Un sistem omogen de ecuații liniare constând din n ecuatii cu n necunoscut, are soluții diferite de zero dacă și numai dacă determinantul matricei sistemului este egal cu zero.

Minori și complemente algebrice. Descompunerea determinantului în rând și coloană

Minor M ij matrice pătrată. Complement algebric A ij element a ij matrice pătrată.

Teorema despre descompunere.

det A = un k 1 A k 1 +un k 2 A k 2 + ... +a kn A kn, det A = A 1k A 1k +A 2k A 2k + ... +a nk A nk

pentru orice k =

Etapele probei

1. Pentru o matrice în care A n = e n, prin definiție det.

2. Pentru o matrice în care A i = e j, prin reducerea la cazul 1, luând în considerare semnul A iși imuabilitate M ij.

3. Caz general prin reprezentare A i ca suma n vectori și reducerea la cazul 2.

O altă proprietate a determinantului

11°. un k 1 A p 1 +un k 2 A p 2 + ... +a kn A pn,A 1 k A 1 p+A 2 k A 2 p+ ... +a nk A np, Dacă k ¹ p.