1.7.1. Avion.

Considerăm în bază carteziană un plan arbitrar P și un vector normal (perpendicular) pe acesta `n (A, B, C). Să luăm un punct fix arbitrar M0(x0, y0, z0) și un punct curent M(x, y, z) în acest plan.

Este evident că ?`n = 0 (1,53)

(vezi (1.20) pentru j = p /2). Aceasta este ecuația unui plan în formă vectorială. Trecând la coordonate, obținem ecuația generală a planului

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 ?Ах + Ву + Сz + D = 0 (1,54).

(D = –Ах0– Ву0 – Сz0; А2 + В2 + С2 ? 0).

Se poate arăta că în coordonatele carteziene, fiecare plan este determinat de o ecuație de gradul I și, invers, fiecare ecuație de gradul I determină un plan (adică, un plan este o suprafață de ordinul întâi și o suprafață a gradului I). primul ordin este un avion).

Să luăm în considerare câteva cazuri speciale de locație a planului specificat de ecuația generală:

A = 0 – paralel cu axa Ox; B = 0 – paralel cu axa Oy; C = 0 – paralel cu axa Oz. (Astfel de planuri perpendiculare pe unul dintre planurile de coordonate se numesc planuri proiectante); D = 0 – trece prin origine; A = B = 0 – perpendicular pe axa Oz (paralel cu planul xOy); A = B = D = 0 – coincide cu planul xOy (z = 0). Toate celelalte cazuri sunt analizate în mod similar.

Daca D? 0, apoi împărțind ambele părți ale (1.54) la -D, putem aduce ecuația planului la forma: (1.55),

a = – D /A, b = –D/ B, c = –D /C. Relația (1.55) se numește ecuația planului în segmente; a, b, c – abscisă, ordonată și aplicată a punctelor de intersecție a planului cu axele Ox, Oy, Oz și |a|, |b|, |c| – lungimile segmentelor tăiate de plan pe axele corespunzătoare de la originea coordonatelor.

Înmulțirea ambelor părți (1,54) cu un factor de normalizare (mD xcosa + ycosb + zcosg – p = 0 (1,56)

unde cosa = Am, cosb = Bm, cosg = Cm sunt cosinusurile direcției normalei față de plan, p este distanța până la plan de la origine.

Să luăm în considerare relațiile de bază utilizate în calcule. Unghiul dintre planele A1x + B1y + C1z + D1 = 0 și A2x + B2y + C2z + D2 = 0 poate fi ușor definit ca unghiul dintre normalele acestor plane `n1 (A1, B1, C1) și

`n2 (A2, B2, C2): (1.57)

Din (1.57) se obține ușor condiția de perpendicularitate

A1A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0 (1,58)

și paralelism (1.59) avioane și normalele lor.

Distanța de la un punct arbitrar M0(x0, y0, z0) la planul (1.54)

este determinată de expresia: (1.60)

Ecuația unui plan care trece prin trei puncte date M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) se scrie cel mai convenabil folosind condiția de coplanaritate (1.25) a vectorilor unde M(x, y , z) – punctul curent al planului.

(1.61)

Să prezentăm ecuația unui mănunchi de plane (i.e.

Seturi de avioane care trec printr-o linie dreaptă) - este convenabil de utilizat într-o serie de probleme.

(A1x + B1y + C1z + D1) + l(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 (1,62)

Unde l О R, iar între paranteze sunt ecuațiile oricăror două plane ale fasciculului.

Întrebări de control.

1) Cum se verifică dacă un punct dat se află pe suprafața definită de această ecuație?

2) Care este trăsătura caracteristică care deosebește ecuația unui plan din sistemul de coordonate carteziene de ecuația altor suprafețe?

3) Cum este situat planul în raport cu sistemul de coordonate dacă ecuația acestuia nu conține: a) un termen liber; b) una dintre coordonate; c) două coordonate; d) una dintre coordonate și un termen liber; e) două coordonate și un termen liber?

1) Datele punctele M1(0,-1,3) și M2(1,3,5). Scrieți ecuația unui plan care trece prin punctul M1 și perpendicular pe vector Alege răspunsul corect:

A) ; b) .

2) Aflați unghiul dintre plane și . Alege răspunsul corect:

a) 135o, b) 45o

1.7.2. Drept. Avioane ale căror normale nu sunt coliniare sau se intersectează, definind fără ambiguitate linia dreaptă drept linia de intersecție a acestora, care este scrisă după cum urmează:

Prin această linie poate fi trasat un număr infinit de plane (mănunchiul de planuri (1.62)), inclusiv pe cele care îl proiectează pe planuri de coordonate. Pentru a obține ecuațiile lor, este suficient să transformați (1.63), eliminând o necunoscută din fiecare ecuație și reducându-le, de exemplu, la forma (1.63`).

Să stabilim sarcina - să trasăm prin punctul M0(x0,y0,z0) o dreaptă paralelă cu vectorul `S (l, m, n) (se numește linie de direcție). Să luăm un punct arbitrar M(x,y,z) pe dreapta dorită. Vectori și trebuie să fie coliniare, din care obținem ecuațiile canonice ale dreptei.

(1,64) sau (1.64`)

unde cosa, cosb, cosg sunt cosinusurile de direcție ale vectorului `S. Din (1.64) se obține ușor ecuația unei drepte care trece prin punctele date M1(x1, y1, z1) și M2(x2, y2, z2) (este paralelă). )

Sau (1.64``)

(Valorile fracțiilor din (1.64) sunt egale pentru fiecare punct de pe linie și pot fi notate cu t, unde t R. Acest lucru vă permite să introduceți ecuațiile parametrice ale dreptei

Fiecare valoare a parametrului t corespunde unui set de coordonate x, y, z ale unui punct pe o dreaptă sau (în caz contrar) - valori ale necunoscutelor care satisfac ecuațiile unei linii).

Folosind proprietățile deja cunoscute ale vectorilor și operațiile asupra acestora și ecuațiile canonice ale dreptei, este ușor de obținut următoarele formule:

Unghiul dintre liniile drepte: (1.65)

Condiția de paralelism (1.66).

perpendicularitatea l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 (1.67) drepte.

Unghiul dintre linie dreaptă și plan (obținut ușor prin găsirea unghiului dintre linie dreaptă și normala la plan, care se adună la p/2 dorit)

(1.68)

Din (1.66) obținem condiția de paralelism Al + Bm + Cn = 0 (1.69)

și perpendicularitatea (1,70) a unei drepte și a unui plan. Condiția necesară și suficientă pentru ca două linii să fie în același plan poate fi obținută cu ușurință din condiția de coplanaritate (1.25).

(1.71)

Întrebări de control.

1) Care sunt modalitățile de a defini o linie dreaptă în spațiu?

1) Scrieți ecuațiile unei drepte care trece prin punctul A(4,3,0) și paralelă cu vectorul Indicați răspunsul corect:

A) ; b) .

2) Scrieți ecuațiile unei drepte care trece prin punctele A(2,-1,3) și B(2,3,3). Indicați răspunsul corect.

A) ; b) .

3) Aflați punctul de intersecție al dreptei cu planul: , . Indicați răspunsul corect:

a) (6,4,5); b) (6,-4,5).

1.7.3. Suprafețe de ordinul doi. Dacă o ecuație liniară într-o bază carteziană tridimensională definește în mod unic un plan, orice ecuație neliniară care conține x, y, z descrie o altă suprafață. Dacă ecuația este de forma

Ax2 + Ву2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0, apoi descrie o suprafață de ordinul doi (ecuația generală a unei suprafețe de ordinul doi). Prin alegerea sau transformarea coordonatelor carteziene, ecuația poate fi simplificată cât mai mult posibil, ducând la una dintre următoarele forme care descriu suprafața corespunzătoare.

1. Ecuațiile canonice ale cilindrilor de ordinul doi, ale căror generatoare sunt paralele cu axa Oz, și curbele de ordinul doi corespunzătoare situate în planul xOy servesc drept ghiduri:

(1.72), (1,73), y2 = 2px (1,74)

cilindri eliptici, hiperbolici și respectiv parabolici.

(Reamintim că o suprafață cilindrică este o suprafață obținută prin deplasarea unei linii drepte, numită generatrice, paralelă cu ea însăși. Linia de intersecție a acestei suprafețe cu un plan perpendicular pe generatrice se numește ghid - determină forma suprafata).

Prin analogie, putem scrie ecuațiile acelorași suprafețe cilindrice cu generatrice paralelă cu axa Oy și cu axa Ox. Ghidul poate fi definit ca linia de intersecție a suprafeței cilindrului și planul de coordonate corespunzător, i.e. sistem de ecuații de forma:

2. Ecuații ale unui con de ordinul doi cu un vârf la origine:

(1.75)

(axele conului sunt axele Oz, Oy și, respectiv, Ox)

3. Ecuația canonică a elipsoidului: (1,76);

Cazurile speciale sunt elipsoizii de revoluție, de exemplu – suprafata obtinuta prin rotirea unei elipse în jurul axei Oz (At

a > c elipsoidul este comprimat, cu a x2 + y2+ z2 + = r2 – ecuația unei sfere de rază r cu centrul la origine).

4. Ecuația canonică a unui hiperboloid cu o singură foaie

(semnul „–” poate apărea în fața oricăruia dintre cei trei termeni din partea stângă - acest lucru schimbă doar poziția suprafeței în spațiu). Cazurile speciale sunt hiperboloizii cu o singură foaie de revoluție, de exemplu – suprafata obtinuta prin rotirea unei hiperbole în jurul axei Oz (axa imaginară a hiperbolei).

5. Ecuația canonică a unui hiperboloid cu două foi

(semnul „–” poate apărea în fața oricăruia dintre cei trei termeni din partea stângă).

Cazurile speciale sunt hiperboloizii de revoluție cu două foi, de exemplu, o suprafață obținută prin rotirea unei hiperbole în jurul axei Oz (axa reală a hiperbolei).

6. Ecuația canonică a unui paraboloid eliptic

(p >0, q >0) (1,79)

7. Ecuația canonică a unui paraboloid hiperbolic

(p >0, q >0) (1,80)

(variabila z poate schimba locurile cu oricare dintre variabilele x și y - poziția suprafeței în spațiu se va schimba).

Rețineți că o idee despre caracteristicile (forma) acestor suprafețe poate fi obținută cu ușurință prin luarea în considerare a secțiunilor acestor suprafețe prin planuri perpendiculare pe axele de coordonate.

Întrebări de control.

1) Ce set de puncte din spațiu determină ecuația?

2) Care sunt ecuațiile canonice ale cilindrilor de ordinul doi; con de ordinul doi; elipsoid; hiperboloid cu o singură foaie; hiperboloid cu două foi; paraboloid eliptic; paraboloid hiperbolic?

1) Aflați centrul și raza sferei și indicați răspunsul corect:

a) C(1,5;-2,5;2), ; b) C(1,5;2,5;2), ;

2) Determinați tipul de suprafață dat de ecuațiile: . Indicați răspunsul corect:

a) hiperboloid cu o singură foaie; paraboloid hiperbolic; paraboloid eliptic; con.

b) hiperboloid cu două foi; paraboloid hiperbolic; paraboloid eliptic; con.

§7. Plan ca suprafață de ordinul întâi. Ecuația generală a planului. Ecuația unui plan care trece printr-un punct dat perpendicular pe un vector dat Să introducem un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare Oxyz în spațiu și să considerăm o ecuație de gradul I (sau ecuație liniară) pentru x, y, z: (7.1) Ax  Prin  Cz  D  0, A2  B2  C 2  0 . Teorema 7.1. Orice plan poate fi specificat într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiular arbitrar printr-o ecuație de forma (7.1). Exact la fel ca și în cazul unei drepte pe un plan, este valabilă inversul Teoremei 7.1. Teorema 7.2. Orice ecuație de forma (7.1) definește un plan în spațiu. Demonstrarea teoremelor 7.1 și 7.2 poate fi realizată în mod similar cu demonstrația teoremelor 2.1, 2.2. Din teoremele 7.1 și 7.2 rezultă că planul și numai el este o suprafață de ordinul întâi. Ecuația (7.1) se numește ecuația planului general. Coeficienții săi  A, B, C sunt interpretați geometric ca coordonatele vectorului n perpendicular pe planul definit de această ecuație. Acest vector  n(A, B, C) se numește vector normal la planul dat. Ecuația (7.2) A(x  x0)  B(y  y0)  C (z  z0)  0 pentru toate valorile posibile ale coeficienților A, B, C definește toate planurile care trec prin punctul M 0 ( x0, y0, z0). Se numește ecuația unui grup de avioane. Alegerea valorilor specifice ale lui A, B, C în (7.2) înseamnă alegerea planului P din legătura care trece prin punctul M 0 perpendicular pe vectorul dat n(A, B, C) (Fig. 7.1). ). Exemplul 7.1. Scrieți ecuația planului P care trece prin punctul   A(1, 2, 0) paralel cu vectorii a  (1, 2,–1), b  (2, 0, 1) .    Vectorul normal n la P este ortogonal cu vectorii dați a și b (Fig. 7.2),   deci pentru n putem lua produsul vectorului lor n: A    P i j k    2 1  1 1   2 n  a  b  1 2  1  i  j 2 1  k 12 0  0 1 2 0 1 n   . Să înlocuim coordonatele din fig. 7.2. De exemplu, 7.1 P M0  punctul M 0 și vectorul n în ecuația (7.2), obținem Fig. 7.1. La ecuația planului unui mănunchi de plane P: 2(x  1)  3(y  2)  4z  0 sau P: 2x  3y  4z  4  0 .◄ Dacă doi coeficienti de 1 A, B, C din ecuația (7.1) sunt egale cu zero, specifică un plan paralel cu unul dintre planurile de coordonate. De exemplu, când A  B  0, C  0 – plan P1: Cz  D  0 sau P1: z   D / C (Fig. 7.3). Este paralelă cu planul Oxy, deoarece vectorul său normal  n1(0, 0, C) este perpendicular pe acest plan. Pentru A  C  0, B  0 sau B  C  0, A  0, ecuația (7. 1) definește planele P2: Prin  D  0 și P3: Ax  D  0, paralele cu planele de coordonate Oxz și Oyz, deoarece   vectorii lor normali n2(0, B, 0) și n3(A, 0). , 0 ) sunt perpendiculare pe ele (Fig. 7.3). Dacă doar unul dintre coeficienții A, B, C ai ecuației (7.1) este egal cu zero, atunci se specifică un plan paralel cu una dintre axele de coordonate (sau care îl conține dacă D  0). Astfel, planul P: Ax  Prin  D  0 este paralel cu axa Oz, z z  n1  n  n2 P1 L P O  n3 x y O P2 y P3 x Fig. 7.4. Planul P: Ax  B y  D  0, paralel cu axa Oz Fig. 7.3. Planele sunt paralele cu planurile de coordonate  deoarece vectorul său normal n(A, B, 0) este perpendicular pe axa Oz. Rețineți că trece prin linia dreaptă L: Ax  Prin  D  0 situat în planul Oxy (Fig. 7.4). Pentru D  0, ecuația (7.1) specifică un plan care trece prin origine. Exemplul 7.2. Aflați valorile parametrului  pentru care ecuația x  (2  2) y  (2    2)z    3  0 definește planul paralel cu unul P: a) a planurilor de coordonate; b) paralel cu una dintre axele de coordonate; c) trecând prin originea coordonatelor. Să scriem această ecuație sub forma x  (  2) y  (  2)(  1) z    3  0 . (7.3) Pentru orice valoare , ecuația (7.3) definește un anumit plan, deoarece coeficienții lui x, y, z din (7.3) nu dispar simultan. a) Pentru   0, ecuația (7.3) definește un plan P paralel cu planul Oxy, P: z  3 / 2, iar pentru   2 definește un plan P 2 paralel cu planul Oyz, P: x  5/ 2. Pentru nicio valoare a lui  planul P definit de ecuația (7.3) este paralel cu planul Oxz, deoarece coeficienții lui x, z din (7.3) nu dispar simultan. b) Pentru   1, ecuația (7.3) definește un plan P paralel cu axa Oz, P: x  3y  2  0. Pentru alte valori ale parametrului , nu definește un plan paralel doar cu una dintre axele de coordonate. c) Pentru   3, ecuația (7.3) definește planul P care trece prin origine, P: 3x  15 y  10 z  0 . ◄ Exemplul 7.3. Scrieți ecuația planului P care trece prin: a) punctul M (1,  3, 2) paralel cu axa plană Oxy; b) axa Ox și punctul M (2, – 1, 3).   a) Pentru vectorul normal n la P aici putem lua vectorul k (0, 0,1) - vectorul unitar al axei Oz, deoarece este perpendicular pe planul Oxy. Înlocuind coordonatele punctului  M (1,  3, 2) și vectorului n în ecuația (7.2), obținem ecuația planului P: z 3  0.   b) Vectorul normal n la P este ortogonal cu vectorii i (1, 0, 0) și OM (2,  1, 3) ,  prin urmare putem lua produsul lor vectorial ca n:    i j k       n  i OM  1 0 0   j 12 03  k 12 01   3 j  k . 2 1 3  Înlocuim coordonatele punctului O și ale vectorului n în ecuația (7.2), obținem ecuația planului P:  3(y  0)  (z  0)  0 sau P: 3 y  z  0 .◄ 3

Cu diferența că, în loc de grafice „plate”, vom lua în considerare cele mai comune suprafețe spațiale și, de asemenea, vom învăța cum să le construim manual manual. Am petrecut destul de mult timp selectând instrumente software pentru crearea de desene tridimensionale și am găsit câteva aplicații bune, dar, în ciuda ușurinței în utilizare, aceste programe nu rezolvă bine o problemă practică importantă. Faptul este că, în viitorul istoric previzibil, studenții vor fi încă înarmați cu o riglă și un creion și, chiar și având un desen „mașină” de înaltă calitate, mulți nu îl vor putea transfera corect pe hârtie în carouri. Prin urmare, în manual, se acordă o atenție deosebită tehnicii de construcție manuală, iar o parte semnificativă a ilustrațiilor paginii este un produs realizat manual.

Cum diferă acest material de referință de analogi?

Având o experiență practică decentă, știu foarte bine cu ce suprafețe avem de a face cel mai adesea în probleme reale de matematică superioară și sper că acest articol vă va ajuta să vă completați rapid bagajele cu cunoștințele relevante și abilitățile aplicate, care reprezintă 90. -95% ar trebui să fie suficiente cazuri.

Ce trebuie să poți face în acest moment?

Cele mai de bază:

În primul rând, trebuie să fii capabil construi corect sistem de coordonate carteziene spațiale (vezi începutul articolului Grafice și proprietăți ale funcțiilor) .

Ce vei câștiga după ce citești acest articol?

Sticlă După stăpânirea materialelor lecției, veți învăța să determinați rapid tipul de suprafață prin funcția și/sau ecuația sa, să vă imaginați cum este amplasată în spațiu și, bineînțeles, să faceți desene. Este în regulă dacă nu ai totul în cap după prima lectură - poți oricând să revii la orice paragraf mai târziu, după cum este necesar.

Informația este în puterea oricui - pentru a o stăpâni nu aveți nevoie de nicio super cunoaștere, talent artistic deosebit sau viziune spațială.

ÎNCEPE!

În practică, suprafața spațială este de obicei dată funcţia a două variabile sau o ecuație a formei (constanta din partea dreaptă este cel mai adesea egală cu zero sau unu). Prima denumire este mai tipică pentru analiza matematică, a doua - pentru geometrie analitică. Ecuația este în esență implicit dat o funcție de 2 variabile, care în cazuri tipice poate fi ușor redusă la forma . Permiteți-mi să vă reamintesc de cel mai simplu exemplu c:

–ecuația plană drăguț .

– funcția plană în explicit .

Să începem cu el:

Ecuații comune ale planelor

Opțiunile tipice pentru aranjarea planurilor într-un sistem de coordonate dreptunghiulare sunt discutate în detaliu chiar la începutul articolului. Ecuația plană. Cu toate acestea, să ne oprim încă o dată asupra ecuațiilor care sunt de mare importanță pentru practică.

În primul rând, trebuie să recunoașteți complet automat ecuațiile planurilor care sunt paralele cu planurile coordonate. Fragmentele de plan sunt descrise în mod standard ca dreptunghiuri, care în ultimele două cazuri arată ca paralelograme. În mod implicit, puteți alege orice dimensiune (în limite rezonabile, desigur), dar este de dorit ca punctul în care axa de coordonate „perforează” planul să fie centrul de simetrie:


Strict vorbind, axele de coordonate ar trebui să fie reprezentate cu linii punctate în unele locuri, dar pentru a evita confuzia vom neglija această nuanță.

– (desen din stanga) inegalitatea specifică semispațiul cel mai îndepărtat de noi, excluzând planul însuși;

– (desen din mijloc) inegalitatea specifică semi-spațiul drept, inclusiv planul;

– (desen dreapta) dubla inegalitate definește un „strat” situat între planuri, incluzând ambele plane.

Pentru auto-încălzire:

Exemplul 1

Desenați un corp delimitat de planuri
Creați un sistem de inegalități care definesc un corp dat.

O veche cunoștință ar trebui să iasă de sub creionul tău. cuboid. Nu uitați că marginile și fețele invizibile trebuie desenate cu o linie punctată. S-a terminat de desenat la sfârșitul lecției.

Vă rog, NU NEGLIJA sarcini de învățare, chiar dacă par prea simple. În caz contrar, s-ar putea întâmpla să fi ratat o dată, să-l fi ratat de două ori și apoi să fi petrecut o oră solidă încercând să dau seama de un desen tridimensional într-un exemplu real. În plus, munca mecanică vă va ajuta să învățați mult mai eficient materialul și să vă dezvoltați inteligența! Nu întâmplător, la grădiniță și școala elementară, copiii sunt încărcați cu desen, modelaj, jucării de construcție și alte sarcini pentru motricitatea fină a degetelor. Scuze pentru digresiune, dar cele două caiete ale mele despre psihologia dezvoltării nu ar trebui să dispară =)

Vom numi condiționat următorul grup de planuri „proporționalitate directă” - acestea sunt plane care trec prin axele de coordonate:

2) o ecuație de formă specifică un plan care trece prin axă;

3) o ecuație de formă specifică un plan care trece prin axă.

Deși semnul formal este evident (care variabilă lipsește din ecuație – planul trece prin acea axă), este întotdeauna util să înțelegem esența evenimentelor care au loc:

Exemplul 2

Construiți avionul

Care este cel mai bun mod de a construi? Propun următorul algoritm:

Mai întâi, să rescriem ecuația sub forma , din care se vede clar că „y” poate lua orice sensuri. Să fixăm valoarea, adică vom lua în considerare planul de coordonate. Ecuații stabilite linia spațială, situat într-un plan de coordonate dat. Să reprezentăm această linie în desen. Linia dreaptă trece prin originea coordonatelor, așa că pentru a o construi este suficient să găsiți un punct. Lăsa . Lăsați deoparte un punct și trageți o linie dreaptă.

Acum revenim la ecuația planului. Din moment ce „Y” acceptă orice valori, apoi linia dreaptă construită în plan este „replicată” continuu la stânga și la dreapta. Exact așa se formează planul nostru, trecând prin axă. Pentru a finaliza desenul, punem două linii paralele la stânga și la dreapta liniei drepte și „închidem” paralelogramul simbolic cu segmente orizontale transversale:

Deoarece condiția nu impunea restricții suplimentare, un fragment al avionului putea fi reprezentat în dimensiuni puțin mai mici sau puțin mai mari.

Să repetăm ​​încă o dată sensul inegalității liniare spațiale folosind exemplul. Cum se determină semi-spațiul pe care îl definește? Să luăm un punct neaparținând plan, de exemplu, un punct din semi-spațiul cel mai apropiat de noi și înlocuiți coordonatele sale în inegalitatea:

Primit inegalitatea adevărată, ceea ce înseamnă că inegalitatea specifică semi-spațiul inferior (în raport cu planul), în timp ce planul în sine nu este inclus în soluție.

Exemplul 3

Construiți avioane
A) ;
b) .

Acestea sunt sarcini pentru auto-construcție; în caz de dificultăți, utilizați un raționament similar. Scurte instrucțiuni și desene la sfârșitul lecției.

În practică, planurile paralele cu axa sunt deosebit de comune. Cazul special când avionul trece prin axă tocmai a fost discutat în paragraful „fi”, iar acum vom analiza o problemă mai generală:

Exemplul 4

Construiți avionul

Soluţie: variabila „z” nu este inclusă în mod explicit în ecuație, ceea ce înseamnă că planul este paralel cu axa aplicată. Să folosim aceeași tehnică ca în exemplele anterioare.

Să rescriem ecuația planului în forma din care este clar că „zet” poate lua orice sensuri. Să o reparăm și să desenăm o linie dreaptă „plată” obișnuită în planul „nativ”. Pentru a-l construi, este convenabil să luați puncte de referință.

Din moment ce „Z” acceptă Toate valori, apoi linia dreaptă construită se „înmulțește” continuu în sus și în jos, formând astfel planul dorit . Întocmim cu atenție un paralelogram de dimensiune rezonabilă:

Gata.

Ecuația unui plan în segmente

Cel mai important soi aplicat. Dacă Toate cote ecuația generală a planului diferit de zero, atunci poate fi reprezentat sub forma Care e numit ecuația planului în segmente. Este evident că planul intersectează axele de coordonate în puncte, iar marele avantaj al unei astfel de ecuații este ușurința de a construi un desen:

Exemplul 5

Construiți avionul

Soluţie: Mai întâi, să creăm o ecuație a planului în segmente. Să aruncăm termenul liber la dreapta și să împărțim ambele părți la 12:

Nu, nu există nicio greșeală de tipar aici și toate lucrurile se întâmplă în spațiu! Examinăm suprafața propusă folosind aceeași metodă care a fost folosită recent pentru avioane. Să rescriem ecuația sub forma , din care rezultă că „zet” ia orice sensuri. Să fixăm și să construim o elipsă în plan. Din moment ce „zet” acceptă Toate valori, atunci elipsa construită este continuu „replicată” în sus și în jos. Este ușor de înțeles că suprafața infinit:

Această suprafață se numește cilindru eliptic. Se numește o elipsă (la orice înălțime). ghid cilindru, iar liniile paralele care trec prin fiecare punct al elipsei se numesc formare cilindru (care îl formează literalmente). Axa este axa de simetrie suprafață (dar nu o parte din ea!).

Coordonatele oricărui punct aparținând unei suprafețe date în mod necesar satisface ecuația .

Spațial inegalitatea definește „interiorul” „țevii” infinite, inclusiv suprafața cilindrică însăși și, în consecință, inegalitatea opusă definește setul de puncte din afara cilindrului.

În problemele practice, cel mai popular caz special este când ghid cilindrul este cerc:

Exemplul 8

Construiți suprafața dată de ecuație

Este imposibil să descrii o „țeavă” nesfârșită, așa că arta se limitează de obicei la „tuns”.

În primul rând, este convenabil să construiți un cerc cu rază în plan și apoi încă câteva cercuri deasupra și dedesubt. Cercurile rezultate ( ghiduri cilindru) conectați cu grijă cu patru linii drepte paralele ( formare cilindru):

Nu uitați să folosiți linii punctate pentru liniile care sunt invizibile pentru noi.

Coordonatele oricărui punct aparținând unui cilindru dat satisfac ecuația . Coordonatele oricărui punct situat strict în interiorul „țevii” satisfac inegalitatea , și inegalitatea definește un set de puncte ale părții externe. Pentru o mai bună înțelegere, recomand să luați în considerare câteva puncte specifice din spațiu și să vedeți singur.

Exemplul 9

Construiți o suprafață și găsiți proiecția acesteia pe plan

Să rescriem ecuația sub forma din care rezultă că „x” ia orice sensuri. Să reparăm și să reprezentăm în avion cerc– cu centrul la origine, raza unitară. Deoarece „x” acceptă continuu Toate valori, atunci cercul construit generează un cilindru circular cu o axă de simetrie. Desenați un alt cerc ( ghid cilindru) și conectați-le cu atenție cu linii drepte ( formare cilindru). În unele locuri au existat suprapuneri, dar ce să faci, o astfel de pantă:

De data aceasta m-am limitat la o bucată de cilindru în gol, iar acest lucru nu este întâmplător. În practică, este adesea necesar să se înfățișeze doar un mic fragment al suprafeței.

Aici, apropo, există 6 generatrice - două linii drepte suplimentare „acoperă” suprafața din colțurile din stânga sus și din dreapta jos.

Acum să ne uităm la proiecția unui cilindru pe un plan. Mulți cititori înțeleg ce este proiecția, dar, totuși, haideți să facem un alt exercițiu fizic de cinci minute. Vă rugăm să stați și să vă plecați capul deasupra desenului, astfel încât punctul axei să fie perpendicular pe frunte. Ceea ce pare a fi un cilindru din acest unghi este proiectarea lui pe un plan. Dar pare a fi o bandă nesfârșită, închisă între linii drepte, inclusiv liniile drepte în sine. Această proiecție este exact domeniu funcții („jgheab” superioară a cilindrului), („jgheab” inferioară).

Apropo, să clarificăm situația cu proiecții pe alte planuri de coordonate. Lasă razele soarelui să strălucească pe cilindru de la vârf și de-a lungul axei. Umbra (proiecția) unui cilindru pe un plan este o bandă infinită similară - o parte a planului delimitată de linii drepte (-oricare), inclusiv liniile drepte în sine.

Dar proiecția pe avion este oarecum diferită. Dacă priviți cilindrul din vârful axei, atunci acesta va fi proiectat într-un cerc cu raza unitară , cu care am început construcția.

Exemplul 10

Construiți o suprafață și găsiți proiecțiile acesteia pe planuri de coordonate

Aceasta este o sarcină pe care o puteți rezolva singur. Dacă condiția nu este foarte clară, pătrați ambele părți și analizați rezultatul; aflați ce parte a cilindrului este specificată de funcție. Utilizați tehnica de construcție folosită în mod repetat mai sus. O scurtă soluție, desen și comentarii la sfârșitul lecției.

Suprafețele eliptice și alte suprafețe cilindrice pot fi compensate în raport cu axele de coordonate, de exemplu:

(pe baza motivelor familiare ale articolului despre Liniile de ordinul 2) – un cilindru cu raza unitară cu o linie de simetrie care trece printr-un punct paralel cu axa. Cu toate acestea, în practică, astfel de cilindri sunt întâlniți destul de rar și este absolut incredibil să întâlniți o suprafață cilindrică care este „oblică” în raport cu axele de coordonate.

Cilindri parabolici

Așa cum sugerează și numele, ghid un astfel de cilindru este parabolă.

Exemplul 11

Construiți o suprafață și găsiți proiecțiile acesteia pe planuri de coordonate.

Nu am putut rezista acestui exemplu =)

Soluţie: Să mergem pe drumul bătut. Să rescriem ecuația în forma, din care rezultă că „zet” poate lua orice valoare. Să fixăm și să construim o parabolă obișnuită pe plan, după ce am marcat anterior punctele de sprijin banale. Din moment ce „Z” acceptă Toate valori, atunci parabola construită este „replicată” continuu în sus și în jos până la infinit. Așezăm aceeași parabolă, să zicem, la o înălțime (în plan) și le conectăm cu grijă cu linii drepte paralele ( formând cilindrul):

îți reamintesc tehnica utila: dacă inițial nu sunteți sigur de calitatea desenului, atunci este mai bine să desenați mai întâi liniile foarte subțiri cu un creion. Apoi evaluăm calitatea schiței, aflăm zonele în care suprafața este ascunsă de ochii noștri și abia apoi aplicăm presiune pe stylus.

Proiecții.

1) Proiecția unui cilindru pe un plan este o parabolă. Trebuie remarcat faptul că în acest caz este imposibil să vorbim despre domeniul de definire a unei funcţii a două variabile– din motivul că ecuația cilindrului nu este reductibilă la formă funcțională.

2) Proiecția unui cilindru pe un plan este un semiplan, inclusiv axa

3) Și în cele din urmă, proiecția cilindrului pe plan este întregul plan.

Exemplul 12

Construiți cilindri parabolici:

a) limitează-te la un fragment de suprafață în semi-spațiul apropiat;

b) în interval

În caz de dificultăți, nu ne grăbim și raționăm prin analogie cu exemplele anterioare; din fericire, tehnologia a fost dezvoltată temeinic. Nu este critic dacă suprafețele devin puțin stângace - este important să afișați corect imaginea fundamentală. Eu însumi nu prea mă deranjez cu frumusețea liniilor; dacă obțin un desen acceptabil cu nota C, de obicei nu îl refac. Apropo, soluția de probă folosește o altă tehnică pentru a îmbunătăți calitatea desenului ;-)

Cilindri hiperbolici

Ghiduri astfel de cilindri sunt hiperbole. Acest tip de suprafață, conform observațiilor mele, este mult mai puțin comun decât tipurile anterioare, așa că mă voi limita la un singur desen schematic al unui cilindru hiperbolic:

Principiul raționamentului aici este exact același - cel obișnuit hiperbola școlară din plan se „înmulțește” continuu în sus și în jos până la infinit.

Cilindrii considerați aparțin așa-numitelor Suprafețe de ordinul 2, iar acum vom continua să facem cunoștință cu alți reprezentanți ai acestui grup:

Elipsoid. Sferă și minge

Ecuația canonică a unui elipsoid într-un sistem de coordonate dreptunghiular are forma , unde sunt numere pozitive ( arbori de osie elipsoid), care în cazul general diferit. Se numește elipsoid suprafaţă, asa de corp, limitat de o suprafață dată. Corpul, după cum mulți au ghicit, este determinat de inegalitate iar coordonatele oricărui punct interior (precum și orice punct de suprafață) satisfac în mod necesar această inegalitate. Designul este simetric în raport cu axele de coordonate și planurile de coordonate:

Originea termenului „elipsoid” este, de asemenea, evidentă: dacă suprafața este „tăiată” de planuri de coordonate, atunci secțiunile vor rezulta în trei diferite (în cazul general)

O ecuație de ordinul întâi cu trei necunoscute are forma Ax + Ву + Cz + D = 0 și cel puțin unul dintre coeficienții A, B, C trebuie să fie diferit de zero. Se specifică în spațiu în sistem de coordonate dreptunghiulare Oxyz suprafață algebrică de ordinul întâi.

Proprietățile unei suprafețe algebrice de ordinul întâi sunt similare în multe privințe cu proprietățile unei linii drepte pe un plan - imagine geometrică a unei ecuații de ordinul întâi cu două necunoscute.

Teorema 5.1. Orice plan din spațiu este o suprafață de ordinul întâi și orice suprafață de ordinul întâi din spațiu este un plan.

◄ Atât enunțul teoremei, cât și demonstrația ei sunt similare cu Teorema 4.1. Într-adevăr, să fie planul π definit de punctul său M 0 și vector diferit de zero n, care este perpendicular pe acesta. Apoi, mulțimea tuturor punctelor din spațiu este împărțită în trei subseturi. Primul este format din puncte aparținând planului, iar celelalte două - din puncte situate pe una și cealaltă parte a planului. Care dintre aceste mulțimi aparține unui punct arbitrar M al spațiului depinde de semn produs punctual nM0M. Dacă punctul M aparține planului (Fig. 5.1, a), atunci unghiul între vectori n și M 0 M este drept și, prin urmare, conform teoremei 2.7, produsul lor scalar este egal cu zero:

nM0M = 0

Dacă punctul M nu aparține planului, atunci unghiul dintre vectorii n și M 0 M este acut sau obtuz și, prin urmare, nM 0 M > 0 sau nM 0 M

Să notăm coordonatele punctelor M0, M şi vector n prin (x 0; y 0; z 0), (x; y; z) și respectiv (A; B; C). Deoarece M 0 M = (x - x 0 0; y - y 0; z - z 0 ), atunci, scriind produsul scalar din (5.1) în forma de coordonate (2.14) ca sumă a produselor perechi ale acelorași coordonate ale vectorii n și M 0 M , obținem condiția ca punctul M să aparțină planului luat în considerare sub forma

A(x - x 0) + B(y - y 0) + C (z - z 0) = 0. (5.2)

Deschiderea parantezelor dă ecuația

Ax + Wu + Cz + D = 0, (5.3)

unde D = - Ax 0 - Ву 0 - Cz 0 și cel puțin unul dintre coeficienții A, B sau C este diferit de zero, deoarece vectorul n = (A; B; C) este diferit de zero. Aceasta înseamnă că planul este imaginea geometrică a ecuației (5.3), adică. suprafață algebrică de ordinul întâi.

Efectuând în ordine inversă demonstrația de mai sus a primului enunț al teoremei, vom demonstra că imaginea geometrică a ecuației Ax + Ву + Cz + D = 0, A 2 + В 2 + C 2 = 0, este un plan . Să alegem trei numere (x = x 0, y = y 0, z = z 0) care satisfac această ecuație. Astfel de numere există. De exemplu, când A ≠ 0 putem pune y 0 = 0, z 0 = 0 și apoi x 0 = - D/A. Numerele selectate corespund punctului M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0), care aparține imaginii geometrice a ecuației date. Din egalitatea Ax 0 + Ву 0 + Cz 0 + D = 0 rezultă că D = - Ax 0 - Ву 0 - Cz 0 . Substituind această expresie în ecuația luată în considerare, obținem Ax + Ву + Cz - Ax 0 - Ву 0 - Cz 0 = 0, care este echivalent cu (5.2). Egalitatea (5.2) poate fi considerată ca criteriul de ortogonalitate vectorială n = (A; B; C) și M 0 M, unde punctul M are coordonatele (x; y; z). Acest criteriu este îndeplinit pentru punctele planului care trec prin punctul M 0 perpendicular pe vectorul n = (A; B; C) și nu este îndeplinit pentru alte puncte din spațiu. Aceasta înseamnă că ecuația (5.2) este ecuația planului indicat.

Ecuația Ax + Wu + Cz + D = 0 se numește ecuația planului general. Coeficienții A, B, C pentru necunoscute din această ecuație au o semnificație geometrică clară: vectorul n = (A; B; C) este perpendicular pe plan. El este numit vector plan normal. Ea, ca și ecuația generală a planului, este determinată până la un factor numeric (diferit de zero).

Folosind coordonatele cunoscute ale unui punct aparținând unui anumit plan și un vector nenul perpendicular pe acesta, folosind (5.2), ecuația planului se scrie fără calcule.

Exemplul 5.1. Să găsim ecuația generală a unui plan perpendicular pe vector rază punctul A(2; 5; 7) și care trece prin punctul M 0 (3; - 4; 1).

Deoarece vectorul diferit de zero OA = (2; 5; 7) este perpendicular pe planul dorit, ecuația sa de tip (5.2) are forma 2(x - 3) + 5(y + 4) + 7(z- 1) = 0. Deschizând parantezele , obținem ecuația generală dorită a planului 2x + 5y + 7z + 7 = 0.