Luați în considerare o ecuație pătratică.

Să-i determinăm rădăcinile.

Nu există un număr real al cărui pătrat este -1. Dar dacă definim operatorul cu o formulă i ca unitate imaginară, atunci soluția acestei ecuații poate fi scrisă ca . în care Și - numere complexe în care -1 este partea reală, 2 sau în al doilea caz -2 este partea imaginară. Partea imaginară este, de asemenea, un număr real. Partea imaginară înmulțită cu unitatea imaginară înseamnă deja număr imaginar.

În general, un număr complex are forma

z = X + iy ,

Unde X y– numere reale, – unitate imaginară. Într-o serie de științe aplicate, de exemplu, în inginerie electrică, electronică, teoria semnalului, unitatea imaginară este notată cu j. Numere reale x = Re(z)Și y =Sunt(z) sunt numite părți reale și imaginare numere z. Expresia se numește forma algebrică scrierea unui număr complex.

Orice număr real este un caz special al unui număr complex în formă . Un număr imaginar este, de asemenea, un caz special al unui număr complex .

Definiția mulțimii numerelor complexe C

Această expresie se citește după cum urmează: set CU, constând din elemente astfel încât XȘi y aparțin mulțimii numerelor reale Rși este o unitate imaginară. Rețineți că etc.

Două numere complexe Și sunt egale dacă și numai dacă părțile lor reale și imaginare sunt egale, i.e. Și .

Numerele și funcțiile complexe sunt utilizate pe scară largă în știință și tehnologie, în special, în mecanică, analiza și calculul circuitelor de curent alternativ, electronica analogică, în teoria și procesarea semnalelor, în teoria controlului automat și în alte științe aplicate.

1. Aritmetica numerelor complexe

Adunarea a două numere complexe constă în adăugarea părților lor reale și imaginare, adică

În consecință, diferența a două numere complexe

Număr complex numit cuprinzător conjuga număr z =x+iy.

Numerele conjugate complexe z și z * diferă în semnele părții imaginare. Este evident că

.

Orice egalitate între expresii complexe rămâne valabilă dacă peste tot în această egalitate i inlocuit de - i, adică mergi la egalitatea numerelor conjugate. Numerele iȘi – i sunt algebric imposibil de distins, deoarece .

Produsul (înmulțirea) a două numere complexe poate fi calculat după cum urmează:

Împărțirea a două numere complexe:

Exemplu:

1. Plan complex

Un număr complex poate fi reprezentat grafic într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Să definim un sistem de coordonate dreptunghiular în plan (X y).

Pe axa Bou vom plasa piesele reale X, se numeste axa reală (reala)., pe axă Oi– părți imaginare y numere complexe. Se numeste axa imaginară. În acest caz, fiecărui număr complex îi corespunde un anumit punct din plan și se numește un astfel de plan plan complex. Punct A planul complex va corespunde vectorului OA.

Număr X numit abscisă număr complex, număr y – ordonată.

O pereche de numere conjugate complexe este reprezentată de puncte situate simetric față de axa reală.

Dacă în avion ne-am pus sistem de coordonate polare, apoi fiecare număr complex z determinat de coordonatele polare. în care modul numere este raza polară a punctului și unghiul - unghiul său polar sau argumentul numărului complex z.

Modulul unui număr complex întotdeauna nenegativ. Argumentul unui număr complex nu este determinat în mod unic. Valoarea principală a argumentului trebuie să satisfacă condiția . Fiecare punct al planului complex corespunde și valorii generale a argumentului. Argumentele care diferă cu un multiplu de 2π sunt considerate egale. Argumentul numărului zero este nedefinit.

Valoarea principală a argumentului este determinată de expresiile:

Este evident că

în care
, .

Reprezentarea numerelor complexe z la fel de

numit formă trigonometrică număr complex.

Exemplu.

1. Forma exponențială a numerelor complexe

Descompunerea în Seria Maclaurin pentru funcții argument reale are forma:

Pentru o funcție exponențială cu un argument complex z descompunerea este similară

.

Expansiunea seriei Maclaurin pentru funcția exponențială a argumentului imaginar poate fi reprezentată ca

Identitatea rezultată este numită formula lui Euler.

Pentru un argument negativ are forma

Combinând aceste expresii, puteți defini următoarele expresii pentru sinus și cosinus

.

Folosind formula lui Euler, din forma trigonometrică de reprezentare a numerelor complexe

disponibil indicativ(exponențială, polară) formă a unui număr complex, adică reprezentarea ei în formă

,

Unde - coordonatele polare ale unui punct cu coordonate dreptunghiulare ( X,y).

Conjugatul unui număr complex se scrie în formă exponențială după cum urmează.

Pentru forma exponențială, este ușor să determinați următoarele formule pentru înmulțirea și împărțirea numerelor complexe

Adică, în formă exponențială, produsul și împărțirea numerelor complexe este mai simplă decât în ​​formă algebrică. La înmulțire, modulele factorilor sunt înmulțite, iar argumentele sunt adăugate. Această regulă se aplică oricărui număr de factori. În special, la înmulțirea unui număr complex z pe i vector z se rotește în sens invers acelor de ceasornic 90

La împărțire, modulul numărătorului este împărțit la modulul numitorului, iar argumentul numitorului se scade din argumentul numărătorului.

Folosind forma exponențială a numerelor complexe, putem obține expresii pentru binecunoscutele identități trigonometrice. De exemplu, din identitate

folosind formula lui Euler putem scrie

Echivalând părțile reale și imaginare din această expresie, obținem expresii pentru cosinusul și sinusul sumei unghiurilor

1. Puterile, rădăcinile și logaritmii numerelor complexe

Ridicarea unui număr complex la o putere naturală n produs conform formulei

Exemplu. Să calculăm .

Să ne imaginăm un număr în formă trigonometrică

’

Aplicând formula de exponențiere, obținem

Punând valoarea în expresie r= 1, obținem așa-numitul formula lui Moivre, cu care puteți determina expresii pentru sinusurile și cosinusurile unghiurilor multiple.

Rădăcină n-a-a putere a unui număr complex z Are n diferite valori determinate de expresie

Exemplu. Să-l găsim.

Pentru a face acest lucru, exprimăm numărul complex () în formă trigonometrică

.

Folosind formula pentru calcularea rădăcinii unui număr complex, obținem

Logaritmul unui număr complex z- acesta este numărul w, pentru care . Logaritmul natural al unui număr complex are un număr infinit de valori și se calculează prin formula

Constă dintr-o parte reală (cosinus) și imaginară (sinus). Această tensiune poate fi reprezentată ca un vector de lungime Hm, fază inițială (unghi), care se rotește cu viteza unghiulară ω .

Mai mult, dacă se adaugă funcții complexe, atunci se adaugă părțile lor reale și imaginare. Dacă o funcție complexă este înmulțită cu o funcție constantă sau reală, atunci părțile ei reale și imaginare sunt înmulțite cu același factor. Diferențierea/integrarea unei astfel de funcții complexe se rezumă la diferențierea/integrarea părților reale și imaginare.

De exemplu, diferențierea expresiei stresului complex

este să o înmulțim cu iω este partea reală a funcției f(z), și – parte imaginară a funcției. Exemple: .

Sens z este reprezentată de un punct în planul complex z și valoarea corespunzătoare w- un punct din planul complex w. Când este afișat w = f(z) linii plane z se transformă în linii plane w, figurile unui plan în figurile altuia, dar formele liniilor sau figurilor se pot schimba semnificativ.

Numerele complexe sunt o extensie a mulțimii numerelor reale, de obicei notate cu . Orice număr complex poate fi reprezentat ca o sumă formală, unde și sunt numere reale și este unitatea imaginară.

Scrierea unui număr complex sub forma , , se numește forma algebrică a unui număr complex.

Proprietățile numerelor complexe. Interpretarea geometrică a unui număr complex.

Acțiuni asupra numerelor complexe date sub formă algebrică:

Să luăm în considerare regulile după care se efectuează operațiile aritmetice pe numere complexe.

Dacă sunt date două numere complexe α = a + bi și β = c + di, atunci

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. (unsprezece)

Aceasta rezultă din definiția operațiilor de adunare și scădere a două perechi ordonate de numere reale (vezi formulele (1) și (3)). Am primit regulile de adunare și scădere a numerelor complexe: pentru a adăuga două numere complexe, trebuie să adunăm separat părțile lor reale și, în consecință, părțile lor imaginare; Pentru a scădea altul dintr-un număr complex, este necesar să le scădem părțile reale și, respectiv, imaginare.

Numărul – α = – a – bi se numește opusul numărului α = a + bi. Suma acestor două numere este zero: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.

Pentru a obține regula de înmulțire a numerelor complexe, folosim formula (6), adică faptul că i2 = -1. Tinand cont de aceasta relatie, gasim (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, i.e.

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)

Această formulă corespunde formulei (2), care a determinat înmulțirea perechilor ordonate de numere reale.

Rețineți că suma și produsul a două numere conjugate complexe sunt numere reale. Într-adevăr, dacă α = a + bi, = a – bi, atunci α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2 , α + = (a + bi) + (a - bi) = ( a + a) + (b - b)i= 2a, adică.

α + = 2a, α = a2 + b2. (13)

Când împărțim două numere complexe în formă algebrică, ar trebui să ne așteptăm ca câtul să fie exprimat și printr-un număr de același tip, adică α/β = u + vi, unde u, v R. Să derivăm regula pentru împărțirea numerelor complexe . Să fie date numerele α = a + bi, β = c + di și β ≠ 0, adică c2 + d2 ≠ 0. Ultima inegalitate înseamnă că c și d nu dispar simultan (cazul este exclus când c = 0). , d = 0). Aplicând formula (12) și a doua a egalităților (13), găsim:

Prin urmare, câtul a două numere complexe este determinat de formula:

corespunzător formulei (4).

Folosind formula rezultată pentru numărul β = c + di, puteți găsi numărul său invers β-1 = 1/β. Presupunând a = 1, b = 0 în formula (14), obținem

Această formulă determină inversul unui număr complex dat, altul decât zero; acest număr este de asemenea complex.

De exemplu: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;

(6 + 5i) – (3 + 8i) = 3 – 3i;

(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;

Operații pe numere complexe în formă algebrică.

55. Argumentul unui număr complex. Forma trigonometrică de scriere a unui număr complex (derivare).

Arg.com.numbers. – între direcția pozitivă a axei X reale și vectorul reprezentând numărul dat.

Formula trigonului. Numere: ,

DEFINIȚIE

Forma algebrică a unui număr complex este de a scrie numărul complex \(\z\) sub forma \(\z=x+i y\), unde \(\x\) și \(\y\) sunt numere reale. , \(\i\ ) - unitate imaginară care satisface relația \(\i^(2)=-1\)

Numărul \(\ x \) se numește partea reală a numărului complex \(\ z \) și este notat cu \(\ x=\operatorname(Re) z \)

Numărul \(\y\) se numește partea imaginară a numărului complex \(\z\) și este notat cu \(\y=\operatorname(Im) z\)

De exemplu:

Numărul complex \(\ z=3-2 i \) și numărul său adjunct \(\ \overline(z)=3+2 i \) sunt scrise în formă algebrică.

Mărimea imaginară \(\ z=5 i \) se scrie sub formă algebrică.

În plus, în funcție de problema pe care o rezolvați, puteți converti un număr complex într-un număr trigonometric sau exponențial.

Sarcină

Scrieți numărul \(\z=\frac(7-i)(4)+13\) în formă algebrică, găsiți părțile sale reale și imaginare, precum și numărul său conjugat.

Soluţie.

Folosind termenul împărțire a fracțiilor și regula adunării fracțiilor, obținem:

\(\z=\frac(7-i)(4)+13=\frac(7)(4)+13-\frac(i)(4)=\frac(59)(4)-\frac( 1)(4)i\)

Prin urmare, partea reală a numărului complex \(\ z=\frac(5 g)(4)-\frac(1)(4) i \) este numărul \(\ x=\operatorname(Re) z= \frac(59) (4) \) , partea imaginară este numărul \(\ y=\operatorname(Im) z=-\frac(1)(4) \)

Număr conjugat: \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

Răspuns

\(\ z=\frac(59)(4)-\frac(1)(4) i \), \(\ \operatorname(Re) z=\frac(59)(4) \), \(\ \operatorname(Im) z=-\frac(1)(4) \), \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

Acțiuni ale numerelor complexe în comparația formei algebrice

Două numere complexe \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) se spune că sunt egale dacă \(\ x_(1)=x_(2) \), \(\ y_(1) )= y_(2) \) adică. Părțile lor reale și imaginare sunt egale.

Sarcină

Determinați pentru care x și y cele două numere complexe \(\ z_(1)=13+y i \) și \(\ z_(2)=x+5 i \) sunt egale.

Soluţie

Prin definiție, două numere complexe sunt egale dacă părțile lor reale și imaginare sunt egale, adică. \(\x=13\), \(\y=5\).

Răspuns \(\x=13\), \(\y=5\)

plus

Adunarea numerelor complexe \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) se face prin însumarea directă a părților reale și imaginare:

\(\ z_(1)+z_(2)=x_(1)+i y_(1)+x_(2)+i y_(2)=\left(x_(1)+x_(2)\right) +i\stanga(y_(1)+y_(2)\dreapta) \)

Sarcină

Aflați suma numerelor complexe \(\ z_(1)=-7+5 i \), \(\ z_(2)=13-4 i \)

Soluţie.

Partea reală a unui număr complex \(\ z_(1)=-7+5 i \) este numărul \(\ x_(1)=\operatorname(Re) z_(1)=-7 \) , imaginarul parte este numărul \( \ y_(1)=\mathrm(Im) \), \(\ z_(1)=5 \) . Părțile reale și imaginare ale numărului complex \(\ z_(2)=13-4 i \) sunt egale cu \(\ x_(2)=\operatorname(Re) z_(2)=13 \) și \( \ y_(2) respectiv )=\operatorname(Im) z_(2)=-4 \) .

Prin urmare, suma numerelor complexe este:

\(\ z_(1)+z_(2)=\left(x_(1)+x_(2)\right)+i\left(y_(1)+y_(2)\right)=(-7+ 13)+i(5-4)=6+i \)

Răspuns

\(\ z_(1)+z_(2)=6+i \)

Citiți mai multe despre adăugarea numerelor complexe într-un articol separat: Adăugarea numerelor complexe.

Scădere

Scăderea numerelor complexe \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) și \(\z_(2)=x_(2)+i y_(2)\) se realizează prin scăderea directă părțile reale și imaginare:

\(\ z_(1)-z_(2)=x_(1)+i y_(1)-\left(x_(2)+i y_(2)\right)=x_(1)-x_(2) +\left(i y_(1)-i y_(2)\right)=\left(x_(1)-x_(2)\right)+i\left(y_(1)-y_(2)\right ) \)

Sarcină

găsiți diferența numerelor complexe \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \)

Soluţie.

Aflați părțile reale și imaginare ale numerelor complexe \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \) :

\(\ x_(1)=\operatorname(Re) z_(1)=17, x_(2)=\operatorname(Re) z_(2)=15 \)

\(\ y_(1)=\operatorname(Im) z_(1)=-35, y_(2)=\operatorname(Im) z_(2)=5 \)

Prin urmare, diferența numerelor complexe este:

\(\ z_(1)-z_(2)=\left(x_(1)-x_(2)\right)+i\left(y_(1)-y_(2)\right)=(17-15 )+i(-35-5)=2-40 i \)

Răspuns

\(\ z_(1)-z_(2)=2-40 i \) înmulțire

Înmulțirea numerelor complexe \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) și \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) se realizează prin crearea directă numere în formă algebrică ținând cont de proprietatea unității imaginare \(\i^(2)=-1\) :

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1)+i y_(1)\right) \cdot\left(x_(2)+i y_(2)\right)=x_ (1) \cdot x_(2)+i^(2) \cdot y_(1) \cdot y_(2)+\left(x_(1) \cdot i y_(2)+x_(2) \cdot i y_(1)\dreapta)=\)

\(\ =\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) ) \cdot y_(1)\dreapta) \)

Sarcină

Aflați produsul numerelor complexe \(\ z_(1)=1-5 i \)

Soluţie.

Complex de numere complexe:

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) \cdot y_(1)\right)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5 )=15-23 i\)

Răspuns

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=15-23 i \) împărțire

Factorul numerelor complexe \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) și \(\z_(2)=x_(2)+i y_(2)\) este determinat prin înmulțirea numărătorul și numitorul numărului conjugat cu numitorul:

\(\ \frac(z_(1))(z_(2))=\frac(x_(1)+i y_(1))(x_(2)+i y_(2))=\frac(\left (x_(1)+i y_(1)\dreapta)\left(x_(2)-i y_(2)\right))(\left(x_(2)+i y_(2)\dreapta)\left (x_(2)-i y_(2)\right))=\frac(x_(1) \cdot x_(2)+y_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2) +y_(2)^(2))+i \frac(x_(2) \cdot y_(1)-x_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2)+y_(2) )^(2)) \)

Sarcină

Pentru a împărți numărul 1 la numărul complex \(\z=1+2i\).

Soluţie.

Deoarece partea imaginară a numărului real 1 este zero, factorul este:

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1 \cdot 1)(1^(2)+2^(2))-i \frac(1 \cdot 2)(1^( 2)+2^(2))=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5)\)

Răspuns

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)

Numere complexe

Imaginar Și numere complexe. Abscisa si ordonata

număr complex. Conjugați numere complexe.

Operații cu numere complexe. Geometric

reprezentarea numerelor complexe. Plan complex.

Modulul și argumentul unui număr complex. Trigonometric

formă de număr complex. Operatii cu complexe

numere în formă trigonometrică. formula lui Moivre.

Informații de bază despre imaginar Și numere complexe sunt date în secțiunea „Numere imaginare și complexe”. Necesitatea acestor numere de tip nou a apărut la rezolvarea ecuațiilor pătratice pentru acest cazD< 0 (здесь D– discriminant al unei ecuații pătratice). Multă vreme, aceste numere nu și-au găsit aplicație fizică, motiv pentru care au fost numite numere „imaginare”. Cu toate acestea, acum ele sunt foarte utilizate pe scară largă în diferite domenii ale fizicii.

și tehnologie: inginerie electrică, hidro- și aerodinamică, teoria elasticității etc.

Numere complexe sunt scrise sub forma:a+bi. Aici AȘi b – numere reale , A i – unitate imaginară, adică e. i 2 = –1. Număr A numit abscisă, A b – ordonatănumăr complexa + bi.Două numere complexea+biȘi a–bi sunt numite conjuga numere complexe.

Principalele acorduri:

1. Număr realApoate fi scris și sub formănumăr complex:a+ 0 i sau A - 0 i. De exemplu, înregistrează 5 + 0iși 5-0 iînseamnă același număr 5 .

2. Numărul complex 0 + binumit pur imaginar număr. Recordbiînseamnă la fel ca 0 + bi.

3. Două numere complexea+bi Șic + disunt considerate egale dacăa = cȘi b = d. In caz contrar numerele complexe nu sunt egale.

Plus. Suma numerelor complexea+biȘi c + dise numește număr complex (a+c ) + (b+d ) i.Prin urmare, la adăugarea numerele complexe, abscisele și ordonatele lor sunt adăugate separat.

Această definiție corespunde regulilor pentru operațiile cu polinoame obișnuite.

Scădere. Diferența a două numere complexea+bi(diminuat) și c + di(subtraend) se numește număr complex (a–c ) + (b–d ) i.

Prin urmare, La scăderea a două numere complexe, abscisele și ordonatele lor se scad separat.

Multiplicare. Produsul numerelor complexea+biȘi c + di se numeste numar complex:

(ac–bd ) + (ad+bc ) i.Această definiție rezultă din două cerințe:

1) numere a+biȘi c + ditrebuie înmulțit ca algebric binoame,

2) număr iare principala proprietate:i 2 = – 1.

EXEMPLU ( a+ bi )(a–bi) =a 2 +b 2 . Prin urmare, muncă

două numere complexe conjugate este egală cu realul

un număr pozitiv.

Divizia. Împărțiți un număr complexa+bi (divizibil) cu altulc + di(divizor) - înseamnă a găsi al treilea număre + f i(chat), care atunci când este înmulțit cu un divizorc + di, rezultă dividendula + bi.

Dacă divizorul nu este zero, împărțirea este întotdeauna posibilă.

EXEMPLU Găsiți (8 +i ) : (2 – 3 i) .

Soluție. Să rescriem acest raport ca o fracție:

Înmulțind numărătorul și numitorul cu 2 + 3i

ȘI După ce am efectuat toate transformările, obținem:

Reprezentarea geometrică a numerelor complexe. Numerele reale sunt reprezentate prin puncte de pe dreapta numerică:

Aici este ideea Aînseamnă numărul –3, punctB– numărul 2 și O- zero. În schimb, numerele complexe sunt reprezentate prin puncte pe planul de coordonate. În acest scop, alegem coordonate dreptunghiulare (carteziane) cu aceleași scale pe ambele axe. Apoi numărul complexa+bi va fi reprezentat printr-un punct P cu abscisă a si ordonata b (Vezi poza). Acest sistem de coordonate este numit plan complex .

Modul număr complex este lungimea vectoruluiOP, reprezentând un număr complex pe coordonata ( cuprinzătoare) avion. Modulul unui număr complexa+bi notat | a+bi| sau scrisoare r

Planul lecției.

1. Moment organizatoric.

2. Prezentarea materialului.

3. Tema pentru acasă.

4. Rezumând lecția.

În timpul orelor

I. Moment organizatoric.

II. Prezentarea materialului.

Motivația.

Extinderea mulțimii numerelor reale constă în adăugarea de noi numere (imaginare) la numerele reale. Introducerea acestor numere se datorează imposibilității extragerii rădăcinii unui număr negativ din mulțimea numerelor reale.

Introducere în conceptul de număr complex.

Numerele imaginare, cu care completăm numerele reale, sunt scrise sub formă bi, Unde i este o unitate imaginară și i 2 = - 1.

Pe baza acesteia, obținem următoarea definiție a unui număr complex.

Definiție. Un număr complex este o expresie a formei a+bi, Unde AȘi b- numere reale. În acest caz, sunt îndeplinite următoarele condiții:

a) Două numere complexe a 1 + b 1 iȘi a 2 + b 2 i egal dacă și numai dacă a 1 = a 2, b 1 =b 2.

b) Adunarea numerelor complexe este determinată de regula:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

c) Înmulțirea numerelor complexe este determinată de regula:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Forma algebrică a unui număr complex.

Scrierea unui număr complex în formă a+bi se numește forma algebrică a unui număr complex, unde A– parte reală, bi este partea imaginară și b- numar real.

Număr complex a+bi este considerat egal cu zero dacă părțile sale reale și imaginare sunt egale cu zero: a = b = 0

Număr complex a+bi la b = 0 considerat a fi la fel cu un număr real A: a + 0i = a.

Număr complex a+bi la a = 0 se numește pur imaginar și se notează bi: 0 + bi = bi.

Două numere complexe z = a + biȘi = a – bi, care diferă doar prin semnul părții imaginare, se numesc conjugate.

Operații pe numere complexe în formă algebrică.

Puteți efectua următoarele operații pe numere complexe în formă algebrică.

1) Adăugarea.

Definiție. Suma numerelor complexe z 1 = a 1 + b 1 iȘi z 2 = a 2 + b 2 i se numește număr complex z, a cărui parte reală este egală cu suma părților reale z 1Și z 2, iar partea imaginară este suma părților imaginare ale numerelor z 1Și z 2, acesta este z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.

Numerele z 1Și z 2 se numesc termeni.

Adunarea numerelor complexe are următoarele proprietăți:

1º. Comutativitate: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º. Asociativitate: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Număr complex –a –bi numit opusul unui număr complex z = a + bi. Număr complex, opus numărului complex z, notat -z. Suma numerelor complexe zȘi -z egal cu zero: z + (-z) = 0

Exemplul 1: Efectuați adăugarea (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Scăderea.

Definiție. Scăderea dintr-un număr complex z 1 număr complex z 2 z, Ce z + z 2 = z 1.

Teorema. Diferența dintre numerele complexe există și este unică.

Exemplul 2: Efectuați o scădere (4 – 2i) - (-3 + 2i).

(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.

3) Înmulțirea.

Definiție. Produsul numerelor complexe z 1 =a 1 +b 1 iȘi z 2 =a 2 +b 2 i se numește număr complex z, definit prin egalitate: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Numerele z 1Și z 2 se numesc factori.

Înmulțirea numerelor complexe are următoarele proprietăți:

1º. Comutativitate: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Asociativitate: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2- numar real.

În practică, înmulțirea numerelor complexe se realizează după regula înmulțirii unei sume cu o sumă și separării părților reale și imaginare.

În exemplul următor, vom lua în considerare înmulțirea numerelor complexe în două moduri: prin regulă și prin înmulțirea sumei cu sumă.

Exemplul 3: Faceți înmulțirea (2 + 3i) (5 – 7i).

1 cale. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.

Metoda 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Diviziune.

Definiție. Împărțiți un număr complex z 1 la un număr complex z 2, înseamnă a găsi un număr atât de complex z, Ce z · z 2 = z 1.

Teorema. Coeficientul numerelor complexe există și este unic dacă z 2 ≠ 0 + 0i.

În practică, câtul numerelor complexe se găsește prin înmulțirea numărătorului și numitorului cu conjugatul numitorului.

Lăsa z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, Apoi

.

În exemplul următor, vom efectua împărțirea folosind formula și regula înmulțirii cu numărul conjugat la numitor.

Exemplul 4. Aflați coeficientul .

5) Ridicarea la o putere totală pozitivă.

a) Puterile unitatii imaginare.

Profitând de egalitate i 2 = -1, este ușor de definit orice putere întreagă pozitivă a unității imaginare. Avem:

i 3 = i 2 i = -i,

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 5 = i 4 i = i,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1 etc.

Aceasta arată că gradul valorează eu n, Unde n– un număr întreg pozitiv, repetat periodic pe măsură ce indicatorul crește cu 4 .

Prin urmare, pentru a crește numărul i la o putere totală pozitivă, trebuie să împărțim exponentul la 4 și construiește i la o putere al cărei exponent este egal cu restul diviziunii.

Exemplul 5: Calculați: (i 36 + i 17) i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

b) Ridicarea unui număr complex la o putere întreagă pozitivă se realizează conform regulii de ridicare a unui binom la puterea corespunzătoare, deoarece este un caz special de înmulțire a factorilor complexi identici.

Exemplul 6: Calculați: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.