Teoria algebrică a spațiilor vectoriale. Spațiu vectorial liniar: definiție, proprietăți. Baza și dimensiunea spațiului

Material de pe Wikipedia - enciclopedia liberă

Vector(sau liniar) spaţiu- o structură matematică, care este un set de elemente numite vectori, pentru care se definesc operațiile de adunare între ele și de înmulțire cu un număr - un scalar. Aceste operații sunt supuse opt axiome. Scalarii pot fi elemente ale câmpului real, complex sau al oricărui alt câmp numeric. Un caz special al unui astfel de spațiu este spațiul euclidian tridimensional obișnuit, ai cărui vectori sunt utilizați, de exemplu, pentru a reprezenta forțele fizice. Trebuie remarcat faptul că un vector ca element al spațiului vectorial nu trebuie neapărat specificat sub forma unui segment direcționat. Generalizarea conceptului de „vector” la un element al unui spațiu vectorial de orice natură nu numai că nu provoacă confuzii de termeni, dar face și posibilă înțelegerea sau chiar prezicerea unui număr de rezultate care sunt valabile pentru spații de natură arbitrară.

Spațiile vectoriale sunt subiectul algebrei liniare. Una dintre principalele caracteristici ale unui spațiu vectorial este dimensiunea acestuia. Dimensiunea reprezintă numărul maxim de elemente liniar independente ale spațiului, adică recurgând la o descriere geometrică grosieră, numărul de direcții care nu pot fi exprimate între ele doar prin operațiile de adunare și înmulțire cu un scalar. Spațiul vectorial poate fi dotat cu structuri suplimentare, cum ar fi o normă sau un produs interior. Astfel de spații apar în mod natural în analiza matematică, în primul rând sub formă de spații funcționale cu dimensiuni infinite ( Engleză), unde funcțiile . Multe probleme de analiză necesită a afla dacă o secvență de vectori converge către un vector dat. Luarea în considerare a unor astfel de întrebări este posibilă în spații vectoriale cu structură suplimentară, în majoritatea cazurilor o topologie adecvată, care ne permite să definim conceptele de proximitate și continuitate. Astfel de spații vectoriale topologice, în special spațiile Banach și Hilbert, permit un studiu mai profund.

Pe lângă vectori, algebra liniară studiază și tensorii de rang superior (un scalar este considerat un tensor de rang 0, un vector este considerat un tensor de rang 1).

Primele lucrări care au anticipat introducerea conceptului de spațiu vectorial datează din secolul al XVII-lea. Atunci au început să se dezvolte geometria analitică, doctrina matricelor, sistemele de ecuații liniare și vectorii euclidieni.

Definiție

Liniar, sau spațiu vectorial $V\stânga(F\dreapta)$ peste câmp $F$ - acesta este un patru ordonat $(V,F,+,\cdot)$ , Unde

$V$ - un set nevid de elemente de natură arbitrară, care sunt numite vectori;
$F$ - câmp (algebric) ale cărui elemente sunt numite scalari;
Operațiune definită plus vectori $V\ori V\la V$ , care asociază fiecare pereche de elemente $\mathbf(x), \mathbf(y)$ seturi $V$ $V$ i-a numit Cantitate si desemnat $\mathbf(x) + \mathbf(y)$ ;
Operațiune definită înmulțirea vectorilor cu scalari $F\ori V\la V$ , potrivirea fiecărui element $\lambda$ câmpuri $F$ și fiecare element $\mathbf(x)$ seturi $V$ singurul element al setului $V$ , notat $\lambda\cdot\mathbf(x)$ sau $\lambda\mathbf(x)$ ;

Spațiile vectoriale definite pe același set de elemente, dar pe câmpuri diferite, vor fi spații vectoriale diferite (de exemplu, setul de perechi de numere reale $\mathbb(R)^2$ poate fi un spațiu vectorial bidimensional peste câmpul numerelor reale sau unidimensional - peste câmpul numerelor complexe).

Cele mai simple proprietăți

Un spațiu vectorial este un grup abelian sub adunare.
Element neutru $\mathbf(0) \în V$
$0\cdot\mathbf(x) = \mathbf(0)$ pentru oricine $\mathbf(x) \in V$ .
Pentru oricine $\mathbf(x) \in V$ element opus $-\mathbf(x)\în V$ este singurul lucru care decurge din proprietățile grupului.
$1\cdot\mathbf(x) = \mathbf(x)$ pentru oricine $\mathbf(x) \in V$ .
$(-\alpha)\cdot\mathbf(x) = \alpha\cdot(-\mathbf(x)) = -(\alpha\mathbf(x))$ pentru orice $\alpha \în F$ Și $\mathbf(x) \in V$ .
$\alpha\cdot \mathbf(0) = \mathbf(0)$ pentru oricine $\alpha \în F$ .

Definiții și proprietăți înrudite

Subspațiu

Definiție algebrică: Subspațiu liniar sau subspațiu vectorial- submult nevid $K$ spațiu liniar $V$ astfel încât $K$ este el însuși un spațiu liniar în raport cu cele definite în $V$ operatii de adunare si inmultire cu un scalar. Setul tuturor subspațiilor este de obicei notat ca $\mathrm(Lat)(V)$ . Pentru ca o submulțime să fie un subspațiu este necesar și suficient ca

pentru orice vector $\mathbf(x)\în K$ , vector $\alpha\mathbf(x)$ a aparținut și $K$ , pentru orice $\alpha\în F$ ;
pentru toți vectorii $\mathbf(x), \mathbf(y) \in K$ , vector $\mathbf(x)+\mathbf(y)$ a aparținut și $K$ .

Ultimele două afirmații sunt echivalente cu următoarele:

Pentru toți vectorii $\mathbf(x), \mathbf(y) \in K$ , vector $\alpha\mathbf(x)+\beta\mathbf(y)$ a aparținut și $K$ pentru orice $\alpha, \beta \în F$ .

În particular, un spațiu vectorial format dintr-un singur vector zero este un subspațiu al oricărui spațiu; fiecare spațiu este un subspațiu al lui însuși. Subspațiile care nu coincid cu aceste două sunt numite proprii sau nebanală.

Proprietățile subspațiilor

Intersecția oricărei familii de subspații este din nou un subspațiu;
Suma subspațiilor $K_i\quad|\quad i \în 1\ldots N$ este definită ca o mulțime care conține toate sumele posibile de elemente K_i: \sum_(i=1)^N (K_i):= $\mathbf(x)_1 + \mathbf(x)_2 + \ldots + \mathbf(x)_N\quad|\quad \mathbf(x)_i \în K_i\quad (i\în 1\ldots N)$.
- Suma unei familii finite de subspații este din nou un subspațiu.

Combinații liniare

Suma finală a formularului

$\alpha_1\mathbf(x)_1 + \alpha_2\mathbf(x)_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf(x)_n$

Combinația liniară se numește:

Bază. Dimensiune

Vectori $\mathbf(x)_1, \mathbf(x)_2, \ldots, \mathbf(x)_n$ sunt numite dependent liniar, dacă există o combinație liniară netrivială a acestora egală cu zero:

În caz contrar, acești vectori sunt numiți liniar independent.

Această definiție permite următoarea generalizare: un set infinit de vectori din $V$ numit dependent liniar, dacă unele sunt dependente liniar final un subset al acestuia și liniar independent, dacă vreunul dintre ei final submulțimea este liniar independentă.

Proprietățile bazei:

Orice $n$ elemente liniar independente $n$ -forma spatiala dimensionala bază acest spatiu.
Orice vector $\mathbf(x) \in V$ poate fi reprezentat (unic) ca o combinație liniară finită de elemente de bază:

\mathbf(x) = \alpha_1\mathbf(x)_1 + \alpha_2\mathbf(x)_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf(x)_n

Înveliș liniar

Înveliș liniar $\mathcal V(X)$ subseturi $X$ spațiu liniar $V$ - intersecția tuturor subspațiilor $V$ conținând $X$ .

Spațiul liniar este un subspațiu $V$ .

Înveliș liniar este, de asemenea, numit subspațiul generat $X$ . Se mai spune că învelișul liniar $\mathcal V(X)$ - spatiu, întins peste o multime de $X$ .

Înveliș liniar $\mathcal V(X)$ constă din toate combinațiile liniare posibile ale diferitelor subsisteme finite de elemente din $X$ . În special, dacă $X$ este o mulțime finită, atunci $\mathcal V(X)$ constă din toate combinațiile liniare de elemente $X$ . Astfel, vectorul zero aparține întotdeauna corpului liniar.

Dacă $X$ este o mulțime liniar independentă, atunci este o bază $\mathcal V(X)$ și determină astfel dimensiunea acestuia.

Exemple

Un spațiu nul al cărui singur element este zero.
Spațiul tuturor funcțiilor $X\la F$ cu suport finit formează un spațiu vectorial de dimensiune egală cu cardinalitatea $X$ .
Câmpul numerelor reale poate fi considerat ca un spațiu vectorial continuu-dimensional peste câmpul numerelor raționale.
Orice câmp este un spațiu unidimensional deasupra lui însuși.

Structuri suplimentare

Vezi si

Scrieți o recenzie despre articolul „Spațiul vectorial”

Note

Literatură

Gelfand I. M. Prelegeri de algebră liniară. - a 5-a. - M.: Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 319 p. - ISBN 5-7913-0015-8.
Gelfand I. M. Prelegeri de algebră liniară. a 5-a ed. - M.: Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 320 p. - ISBN 5-7913-0016-6.
Kostrikin A. I., Manin Yu. I. Algebră liniară și geometrie. a 2-a ed. - M.: Nauka, 1986. - 304 p.
Kostrikin A.I. Introducere în algebră. Partea 2: Algebră liniară. - al 3-lea. - M.: Nauka., 2004. - 368 p. - (Manual universitar).
Maltsev A. I. Bazele algebrei liniare. - al 3-lea. - M.: Nauka, 1970. - 400 p.

Postnikov M. M. Algebră liniară (Prelegeri de geometrie. Semestrul II). - al 2-lea. - M.: Nauka, 1986. - 400 p.
Strang G. Algebra liniară și aplicațiile ei. - M.: Mir, 1980. - 454 p.
Ilyin V. A., Poznyak E. G. Algebră liniară. a 6-a ed. - M.: Fizmatlit, 2010. - 280 p. - ISBN 978-5-9221-0481-4.
Halmos P. Spații vectoriale cu dimensiuni finite. - M.: Fizmatgiz, 1963. - 263 p.
Faddeev D.K. Prelegeri de algebră. - a 5-a. - St.Petersburg. : Lan, 2007. - 416 p.
Şafarevici I.R., Remizov A.O. Algebră liniară și geometrie. - primul. - M.: Fizmatlit, 2009. - 511 p.
Schreyer O., Sperner G. Introducere în algebra liniară în prezentarea geometrică = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Olshansky G. (traducere din germană). - M.–L.: ONTI, 1934. - 210 p.

Vectori și matrice

Vectori

Noțiuni de bază

Tipuri de vectori

Operații pe vectori

Tipuri de spații

Matrici

Noțiuni de bază

Alte

Un fragment care caracterizează spațiul vectorial

Kutuzov trecea prin rânduri, oprindu-se din când în când și rostind câteva cuvinte amabile ofițerilor pe care îi cunoștea din războiul turcesc și uneori soldaților. Uitându-se la pantofi, a clătinat cu tristețe din cap de mai multe ori și i-a arătat generalului austriac cu o asemenea expresie încât nu părea să învinovățească pe nimeni pentru asta, dar nu a putut să nu vadă cât de rău era. De fiecare dată comandantul regimentului alerga înainte, temându-se să rateze cuvântul comandantului-șef cu privire la regiment. În spatele lui Kutuzov, la o asemenea distanță încât se auzea orice cuvânt vorbit slab, mergeau în suita lui aproximativ 20 de persoane. Domnii alaiului vorbeau între ei și uneori râdeau. Frumosul adjutant a mers cel mai aproape de comandantul șef. Era prințul Bolkonski. Alături de el mergea tovarășul său Nesvitsky, un ofițer de stat major înalt, extrem de gras, cu o față frumoasă și zâmbitoare și cu ochi umezi; Nesvitski cu greu se putea abține să nu râdă, entuziasmat de ofițerul husar negricios care mergea lângă el. Ofițerul husar, fără să zâmbească, fără să-și schimbe expresia ochilor fixați, se uită cu o față serioasă în spatele comandantului de regiment și îi imita fiecare mișcare. De fiecare dată când comandantul de regiment tresări și se apleca înainte, exact în același mod, exact în același fel, ofițerul de husar tresări și se apleca înainte. Nesvitski a râs și i-a împins pe alții să se uite la omul amuzant.
Kutuzov a trecut încet și lent pe lângă mii de ochi care le-au dat peste orbite, privindu-și șeful. După ce a ajuns din urmă cu a treia companie, s-a oprit brusc. Suita, neanticipand aceasta oprire, s-a deplasat involuntar spre el.
- Ah, Timokhin! – spuse comandantul-șef, recunoscându-l pe căpitanul cu nasul roșu, care suferea pentru pardesiul său albastru.
Părea că este imposibil să te întinzi mai mult decât s-a întins Timokhin, în timp ce comandantul regimentului îl mustra. Dar în clipa aceea i s-a adresat comandantul șef, căpitanul s-a ridicat drept, încât să pară că, dacă comandantul șef s-ar fi mai uitat puțin la el, căpitanul n-ar fi putut să suporte; și, prin urmare, Kutuzov, înțelegându-și aparent poziția și dorind, dimpotrivă, toate cele bune pentru căpitan, s-a întors în grabă. Un zâmbet abia vizibil străbătu chipul plinuț și desfigurat de răni a lui Kutuzov.
„Încă un tovarăș Izmailovo”, a spus el. - Ofițer curajos! Ești mulțumit de el? – l-a întrebat Kutuzov pe comandantul regimentului.
Iar comandantul de regiment, reflectat ca într-o oglindă, invizibil pentru el însuși, într-un ofițer de husar, s-a înfiorat, a venit în față și a răspuns:
– Sunt foarte mulțumit, Excelență.
„Nu suntem cu toții lipsiți de slăbiciuni”, a spus Kutuzov, zâmbind și îndepărtându-se de el. „Avea un devotament pentru Bacchus.
Comandantul de regiment s-a temut că el este de vină pentru asta și nu a răspuns nimic. În acel moment, ofițerul a observat fața căpitanului cu nasul roșu și burta înfundată și i-a imitat chipul și poziția atât de atent încât Nesvitsky nu s-a putut opri din râs.
Kutuzov se întoarse. Era clar că ofițerul își putea controla fața așa cum dorea: în minutul în care Kutuzov s-a întors, ofițerul a reușit să facă o grimasă, iar după aceea să capete expresia cea mai serioasă, respectuoasă și inocentă.
A treia companie a fost ultima, iar Kutuzov s-a gândit la asta, aparent amintindu-și ceva. Prințul Andrei a ieșit din alaiul său și a spus încet în franceză:
– Ai comandat o reamintire despre Dolokhov, care a fost retrogradat, în acest regiment.
-Unde este Dolokhov? – a întrebat Kutuzov.
Dolokhov, îmbrăcat deja într-un pardesiu gri de soldat, nu a așteptat să fie chemat. Silueta zveltă a unui soldat blond cu ochi albaștri limpezi ieși din față. S-a apropiat de comandantul șef și l-a pus în gardă.
- Revendicare? – întrebă Kutuzov, încruntându-se ușor.
„Acesta este Dolokhov”, a spus prințul Andrei.
- A! – a spus Kutuzov. „Sper că această lecție vă va corecta, serviți bine.” Domnul este milostiv. Și nu te voi uita dacă meriți.
Ochi albaștri și limpezi îl priveau pe comandantul șef la fel de sfidător ca și pe comandantul regimentului, de parcă cu expresia lor rupeau vălul convenției care despărțea până acum comandantul șef de soldat.
„Întreb un lucru, Excelență”, a spus el cu vocea lui sonoră, fermă și negrabită. „Te rog, dă-mi o șansă să-mi repar vinovăția și să-mi dovedesc devotamentul față de Împărat și Rusia.”
Kutuzov se întoarse. Același zâmbet din ochii lui i-a fulgerat pe față ca atunci când s-a întors de la căpitanul Timokhin. S-a întors și a tresărit, de parcă ar fi vrut să exprime că tot ceea ce i-a spus Dolokhov și tot ce putea să-i spună, știa de multă vreme, că toate acestea îl plictisiseră deja și că toate acestea nu erau. la tot ce avea nevoie. Se întoarse și se îndreptă spre cărucior.
Regimentul s-a desființat în companii și s-a îndreptat către cartierele alocate nu departe de Brăunau, unde spera să se încalțe, să se îmbrace și să se odihnească după marșuri grele.
– Nu mă pretenții, Prokhor Ignatyich? – spuse comandantul regimentului, conducând în jurul companiei a 3-a îndreptându-se spre loc și apropiindu-se de căpitanul Timokhin, care mergea în fața acesteia. Chipul comandantului regimentului exprima o bucurie incontrolabilă după o revizuire încheiată cu bucurie. - Slujba regală... e imposibil... altă dată o vei termina pe front... Îmi voi cere mai întâi scuze, mă cunoști... Ți-am mulțumit foarte mult! - Și a întins mâna către comandantul companiei.
- Pentru mila, domnule general, îndrăznesc! – răspunse căpitanul, înroșindu-se cu nasul, zâmbind și dezvăluind cu un zâmbet lipsa celor doi dinți din față, doborâți de fund sub Ismael.
- Da, spune-i domnului Dolokhov că nu-l voi uita, ca să fie liniştit. Da, te rog spune-mi, am tot vrut să-l întreb cum este, cum se comportă? Și asta e tot...
„Este foarte util în serviciul său, Excelența Voastră... dar navlositorul...” a spus Timokhin.
- Ce, ce personaj? – întrebă comandantul regimentului.
„Excelența voastră constată zile întregi”, a spus căpitanul, „că este deștept, învățat și amabil”. Este o fiară. A ucis un evreu în Polonia, dacă vă rog...
„Ei bine, da, bine”, a spus comandantul regimentului, „mai trebuie să ne parăm milă de tânărul în nenorocire”. La urma urmei, conexiuni grozave... Deci tu...
— Ascult, Excelența Voastră, spuse Timokhin zâmbind, făcând să pară că a înțeles dorințele șefului.
- Da Da.
Comandantul regimentului l-a găsit pe Dolokhov în rânduri și și-a frânat calul.
„Înainte de prima sarcină, epoleți”, îi spuse el.
Dolokhov se uită în jur, nu spuse nimic și nu schimbă expresia gurii lui zâmbitoare batjocoritoare.
„Ei bine, asta e bine”, a continuat comandantul regimentului. „Oamenii au fiecare câte un pahar de vodcă de la mine”, a adăugat el, pentru ca soldații să poată auzi. - Vă mulțumesc tuturor! Dumnezeu să ajute! - Iar el, depășind compania, s-a dus la alta.
„Ei bine, el este cu adevărat un om bun; „Poți servi cu el”, i-a spus subalternul Timokhin ofițerului care mergea lângă el.
„Un cuvânt, regele inimilor!... (comandantul regimentului era poreclit regele inimilor)”, a spus ofițerul subaltern râzând.
Dispoziţia fericită a autorităţilor după revizuire s-a răspândit la soldaţi. Compania a mers veselă. Vocile soldaților vorbeau din toate părțile.
- Ce au spus, strâmb Kutuzov, despre un ochi?
- Altfel, nu! Total strâmb.
- Nu... frate, are ochii mai mari decât tine. Cizme și tucks - M-am uitat la tot...
- Cum poate el, fratele meu, să se uite la picioarele mele... ei bine! Gândi…
- Iar celălalt austriac, cu el, era parcă mânjit cu cretă. Ca făina, albă. Eu ceai, cum se curăță muniția!
- Ce, Fedeshow!... a spus că atunci când au început luptele, ai stat mai aproape? Toți au spus că Bunaparte însuși stă în Brunovo.
- Bunaparte merită! el minte, prostule! Ce nu știe el! Acum prusacul se revoltă. Austriecul, așadar, îl liniștește. De îndată ce face pace, atunci războiul se va deschide cu Bunaparte. Altfel, spune el, Bunaparte stă în Brunovo! Asta arată că este un prost. Ascultă mai mult.
- Uite, al naibii de locatari! A cincea companie, uite, deja se transformă în sat, vor găti terci și tot nu vom ajunge la locul.
- Dă-mi un biscuit, la naiba.
- Mi-ai dat tutun ieri? Asta e, frate. Ei bine, iată-ne, Dumnezeu să fie cu tine.
„Măcar au făcut o oprire, altfel nu vom mânca pentru încă cinci mile.”
– A fost frumos cum ne-au dat nemții cărucioare. Când pleci, știi: este important!
„Și aici, frate, oamenii au devenit complet turbați.” Totul acolo părea a fi un polonez, totul era din coroana rusă; iar acum, frate, a devenit complet german.
– Compozitorii înainte! – s-a auzit strigătul căpitanului.
Și douăzeci de oameni au fugit din diferite rânduri în fața companiei. Toboșarul a început să cânte și s-a întors cu fața către compozitori și, făcându-și mâna, a început un cântec întins de soldat, care începea: „Nu-i așa că s-a răsărit soarele...” și s-a terminat cu cuvintele: „Atunci, fraților, va fi glorie pentru noi și pentru tatăl lui Kamensky...” Acest cântec a fost compus în Turcia și acum se cânta în Austria, doar cu schimbarea că în locul „tatălui lui Kamensky” s-au introdus cuvintele: „Cutuzov Tată."
Smulând aceste ultime cuvinte ca un soldat și fluturând cu mâinile, de parcă ar arunca ceva la pământ, toboșarul, un soldat uscat și frumos de vreo patruzeci de ani, s-a uitat cu severitate la compozitorii soldaților și a închis ochii. Apoi, asigurându-se că toate privirile erau ațintite asupra lui, păru că ridică cu atenție cu ambele mâini un lucru invizibil și prețios deasupra capului său, îl ținu așa câteva secunde și îl aruncă brusc cu disperare:
O, tu, baldachinul meu, baldachinul meu!
„Noul meu baldachin...”, au răsunat douăzeci de voci, iar deținătorul lingurii, în ciuda greutății muniției sale, a sărit repede înainte și a mers înapoi în fața companiei, mișcându-și umerii și amenințând pe cineva cu lingurile. Soldații, fluturând cu brațele în ritmul cântecului, mergeau cu pași lungi, lovindu-și involuntar picioarele. Din spatele companiei s-au auzit zgomote de roți, scrâșnet de arcuri și călcarea în picioare a cailor.
Kutuzov și alaiul lui se întorceau în oraș. Comandantul-șef a făcut semn ca poporul să continue să meargă în voie, iar pe chipul lui și pe toate fețele alaiului i s-a exprimat plăcere la sunetele cântecului, la vederea soldatului dansator și a soldaților de compania mergând vesel și vioi. În al doilea rând, din flancul drept, din care trăsura a depășit companiile, unul a atras involuntar privirea unui soldat cu ochi albaștri, Dolokhov, care mai ales vioi și grațios mergea în ritmul cântecului și se uita la chipurile lui. cei care treceau cu o asemenea expresie, de parca i-ar fi rau de toti cei care nu au mers in acest moment cu firma. Un cornet de husar din alaiul lui Kutuzov, imitându-l pe comandantul regimentului, a căzut în spatele trăsurii și s-a dus până la Dolokhov.
Husarul cornet Jherkov la un moment dat din Sankt Petersburg a aparținut acelei societăți violente conduse de Dolokhov. În străinătate, Jherkov l-a întâlnit pe Dolokhov ca soldat, dar nu a considerat necesar să-l recunoască. Acum, după conversația lui Kutuzov cu bărbatul retrogradat, s-a întors către el cu bucuria unui vechi prieten:
- Dragă prietene, ce mai faci? – spuse el la auzul cântecului, potrivind pasul calului său cu pasul companiei.
- Sunt ca? - răspunse Dolokhov rece, - după cum vezi.
Cântecul plin de viață a dat o semnificație deosebită tonului de veselie obraznică cu care vorbea Jherkov și răceală deliberată a răspunsurilor lui Dolokhov.
- Ei bine, cum te înțelegi cu șeful tău? – a întrebat Jherkov.
- Nimic, oameni buni. Cum ai intrat în sediu?
- Detaşat, la datorie.
Au tăcut.
„Ea a eliberat un șoim din mâneca dreaptă”, a spus cântecul, stârnind involuntar un sentiment vesel, vesel. Conversația lor ar fi fost probabil diferită dacă nu ar fi vorbit în sunetul unui cântec.
– Este adevărat că austriecii au fost bătuți? – a întrebat Dolokhov.
„Diavolul îi cunoaște”, spun ei.
„Mă bucur”, a răspuns Dolokhov scurt și clar, așa cum cerea cântecul.
„Ei bine, vino la noi seara, îl vei amanet pe faraon”, a spus Jherkov.
– Sau ai o grămadă de bani?
- Vino.
- Este interzis. Am făcut un jurământ. Nu beau și nu pariez până nu reușesc.
- Ei bine, trec la primul lucru...
- Vom vedea acolo.
Din nou au tăcut.
„Intrați dacă aveți nevoie de ceva, toată lumea de la sediu vă va ajuta...”, a spus Jherkov.
Dolokhov rânji.
- Ar fi bine să nu-ți faci griji. Nu voi cere nimic de care am nevoie, o voi lua eu.
- Ei bine, sunt atât de...
- Ei bine, la fel sunt.
- La revedere.
- Fii sănătos…
... și sus și departe,
Pe partea gazdă...
Jherkov și-a atins pintenii de cal, care, emoționat, a dat cu piciorul de trei ori, neștiind cu care să înceapă, s-a descurcat și a plecat în galop, depășind compania și ajungând din urmă trăsura, tot în ritmul cântecului.

Revenind de la recenzie, Kutuzov, însoțit de generalul austriac, a intrat în biroul său și, chemându-l pe adjutant, a poruncit să i se dea niște hârtii legate de starea trupelor sosite și scrisori primite de la arhiducele Ferdinand, care comanda armata înaintată. . Prințul Andrei Bolkonsky a intrat în biroul comandantului șef cu actele necesare. Kutuzov și un membru austriac al Gofkriegsrat s-au așezat în fața planului așezat pe masă.
— Ah... spuse Kutuzov, uitându-se înapoi la Bolkonsky, de parcă cu acest cuvânt l-ar fi invitat pe adjutant să aștepte și a continuat conversația pe care o începuse în franceză.
„Spun doar un lucru, domnule general”, a spus Kutuzov cu o grație plăcută a expresiei și a intonației, care te-a forțat să asculți cu atenție fiecare cuvânt rostit pe îndelete. Era clar că lui Kutuzov însuși îi plăcea să se asculte. „Spun un singur lucru, domnule general, că dacă problema ar depinde de dorința mea personală, atunci voința Majestății Sale împăratului Franz s-ar fi împlinit cu mult timp în urmă.” M-aș fi alăturat Arhiducelui de mult. Și credeți onoarea mea, ar fi o bucurie pentru mine personal să predau comanda cea mai înaltă a armatei unui general mai priceput și mai priceput decât mine, din care Austria este atât de abundentă, și să renunț la toată această grea responsabilitate. Dar circumstanțele sunt mai puternice decât noi, generale.
Și Kutuzov a zâmbit cu o expresie de parcă ar fi spus: „Ai tot dreptul să nu mă crezi și nici măcar mie nu-mi pasă deloc dacă mă crezi sau nu, dar nu ai niciun motiv să-mi spui asta. Și asta este ideea.”
Generalul austriac părea nemulțumit, dar nu s-a putut abține să nu-i răspundă lui Kutuzov pe același ton.
„Dimpotrivă”, a spus el pe un ton morocănos și supărat, atât de contrar sensului măgulitor al cuvintelor pe care le-a rostit, „dimpotrivă, participarea Excelenței Voastre la cauza comună este foarte apreciată de Majestatea Sa; dar credem că încetinirea actuală îi lipsește pe glorioasele trupe rusești și pe comandanții lor-șefi de lauri pe care sunt obișnuiți să-i culeagă în lupte”, își încheie el fraza aparent pregătită.
Kutuzov se înclină fără să-și schimbe zâmbetul.
„Și sunt atât de convins și, pe baza ultimei scrisori cu care Alteța Sa Arhiducele Ferdinand m-a onorat, presupun că trupele austriece, sub comanda unui asistent atât de priceput precum generalul Mack, au câștigat acum o victorie decisivă și nu mai au nevoie de ajutorul nostru”, a spus Kutuzov.
Generalul se încruntă. Deși nu au existat vești pozitive despre înfrângerea austriecilor, au fost prea multe împrejurări care au confirmat zvonurile generale nefavorabile; și, prin urmare, presupunerea lui Kutuzov despre victoria austriecilor era foarte asemănătoare cu ridicolul. Dar Kutuzov a zâmbit blând, tot cu aceeași expresie, care spunea că are dreptul să-și asume asta. Într-adevăr, ultima scrisoare pe care a primit-o de la armata lui Mac l-a informat despre victoria și cea mai avantajoasă poziție strategică a armatei.
„Dă-mi această scrisoare aici”, a spus Kutuzov, întorcându-se către prințul Andrei. - Dacă te rog vezi. - Iar Kutuzov, cu un zâmbet batjocoritor la capătul buzelor, i-a citit în germană generalului austriac următorul pasaj dintr-o scrisoare a arhiducelui Ferdinand: „Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70.000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu know. Wir know, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Allirte worsill ganzer Machtabald sewenden mitin auch jeden Augenblick. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zuzubereiten, so er verdient.” [Avem forțe destul de concentrate, aproximativ 70.000 de oameni, ca să putem ataca și învinge inamicul dacă trece prin Lech. Deoarece deținem deja Ulm, putem păstra beneficiul de comandă a ambelor maluri ale Dunării, prin urmare, în fiecare minut, dacă inamicul nu trece Lech, trece Dunărea, se grăbește la linia lui de comunicație, iar mai jos trece Dunărea înapoi. duşmanului, dacă se hotărăşte să-şi îndrepte toată puterea asupra aliaţilor noştri credincioşi, împiedică-i să se împlinească intenţia. Astfel, vom aștepta cu bucurie momentul în care armata rusă imperială este complet pregătită, iar apoi împreună vom găsi cu ușurință ocazia de a pregăti pentru inamic soarta pe care o merită.”]

Capitolul 3. Spații vectoriale liniare

Tema 8. Spații vectoriale liniare

Definiţia linear space. Exemple de spații liniare

În §2.1 operația de adăugare a vectorilor liberi din R 3 și operația de înmulțire a vectorilor cu numere reale și, de asemenea, enumeră proprietățile acestor operații. Extinderea acestor operații și proprietățile lor la un set de obiecte (elemente) de natură arbitrară duce la o generalizare a conceptului de spațiu liniar al vectorilor geometrici din R 3 definit la §2.1. Să formulăm definiția unui spațiu vectorial liniar.

Definiție 8.1. O multime de V elemente X , la , z ,... sunat spațiu vectorial liniar, Dacă:

există o regulă că fiecare două elemente X Și la din V se potrivește cu al treilea element din V, numit Cantitate X Și la si desemnat X + la ;

există o regulă că fiecare element X și potrivește orice număr real cu un element din V, numit produsul elementului X pe număr si desemnat X .

În plus, suma oricăror două elemente X + la si munca X orice element pentru orice număr trebuie să îndeplinească următoarele cerințe - axiome ale spațiului liniar:

1°. X + la = la + X (comutativitatea adunării).

2°. ( X + la ) + z = X + (la + z ) (asociativitatea adunării).

3°. Există un element 0 , numit zero, astfel încât

X + 0 = X , X .

4°. Pentru oricine X există un element (– X ), numit opus pentru X , astfel încât

X + (– X ) = 0 .

5°. ( X ) = ()X , X , , R.

6°. X = X , X .

7°. () X = X + X , X , , R.

8°. ( X + la ) = X + y , X , y , R.

Vom numi elementele spațiului liniar vectori indiferent de natura lor.

Din axiomele 1°–8° rezultă că în orice spațiu liniar V sunt valabile următoarele proprietăți:

1) există un singur vector zero;

2) pentru fiecare vector X există un singur vector opus (– X ) , și (- X ) = (– l) X ;

3) pentru orice vector X egalitatea 0× este adevărată X = 0 .

Să demonstrăm, de exemplu, proprietatea 1). Să presupunem că în spațiu V sunt doua zerouri: 0 1 și 0 2. Punând 3° în axiomă X = 0 1 , 0 = 0 2, primim 0 1 + 0 2 = 0 1 . La fel, dacă X = 0 2 , 0 = 0 1, atunci 0 2 + 0 1 = 0 2. Ținând cont de axioma 1°, obținem 0 1 = 0 2 .

Să dăm exemple de spații liniare.

1. Mulțimea numerelor reale formează un spațiu liniar R. Axiomele 1°–8° sunt în mod evident satisfăcute în el.

2. Mulțimea vectorilor liberi din spațiul tridimensional, așa cum se arată în §2.1, formează de asemenea un spațiu liniar, notat R 3. Zerul acestui spațiu este vectorul zero.

Mulțimea vectorilor de pe plan și de pe linie sunt, de asemenea, spații liniare. Le vom desemna R 1 și R 2 respectiv.

3. Generalizarea spatiilor R 1 , R 2 și R 3 servește spațiu Rn, n N, numit spatiu aritmetic n-dimensional, ale căror elemente (vectori) sunt colecții ordonate n numere reale arbitrare ( X 1 ,…, x n), adică

Rn = {(X 1 ,…, x n) | x i R, i = 1,…, n}.

Este convenabil să folosiți notația X = (X 1 ,…, x n), în care x i numit coordonata i-a(componentă)vector X .

Pentru X , la RnȘi R Definim adunarea și înmulțirea cu un număr folosind următoarele formule:

X + la = (X 1 + y 1 ,…, x n+ y n);

X = (X 1 ,…, x n).

Elementul zero al spațiului Rn este un vector 0 = (0,…, 0). Egalitatea a doi vectori X = (X 1 ,…, x n) Și la = (y 1 ,…, y n) din Rn, prin definiție, înseamnă egalitatea coordonatelor corespunzătoare, adică. X = la Û X 1 = y 1 &… & x n = y n.

Îndeplinirea axiomelor 1°–8° este evidentă aici.

4. Lasă C [ A ; b] – set de reali continue pe intervalul [ A; b] funcții f: [A; b] R.

Suma funcțiilor fȘi g din C [ A ; b] se numește funcție h = f + g, definit prin egalitate

h = f + g Û h(X) = (f + g)(X) = f(X) + g(X), " X Î [ A; b].

Produsul unei funcții f Î C [ A ; b] după număr A Î R este determinat de egalitate

u = f Û u(X) = (f)(X) = f(X), " X Î [ A; b].

Astfel, operațiile introduse de adunare a două funcții și de înmulțire a unei funcții cu un număr transformă mulțimea C [ A ; b] într-un spațiu liniar ai cărui vectori sunt funcții. Axiomele 1°–8° sunt în mod evident satisfăcute în acest spațiu. Vectorul zero al acestui spațiu este funcția identică zero și egalitatea a două funcții fȘi gînseamnă, prin definiție, următoarele:

f = g f(X) = g(X), " X Î [ A; b].

4.3.1 Definirea spațiului liniar

Lăsa ā , , - elemente ale unui set ā , , Teren λ , μ - numere reale, λ , μ R..

Se numește mulțimea Lliniar sauspațiu vectorial, dacă sunt definite două operații:

1 0 . Plus. Fiecare pereche de elemente din această mulțime este asociată cu un element din aceeași mulțime, numit suma lor

ā + =

2°.Înmulțirea cu un număr. Orice număr real λ și element ā L se potrivește cu un element din același set λ ā Lși sunt îndeplinite următoarele proprietăți:

1. ā+= + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. există element zero
, astfel încât ā +=ā ;

4. există element opus -
astfel încât ā +(-ā )=.

Dacă λ , μ - numere reale, atunci:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

Elemente ale spațiului liniar ā, , ... se numesc vectori.

Exercițiu. Arată-ți că aceste mulțimi formează spații liniare:

1) Un set de vectori geometrici pe un plan;

2) Mulți vectori geometrici în spațiul tridimensional;

3) Un set de polinoame de un anumit grad;

4) Un set de matrice de aceeași dimensiune.

4.3.2 Vectori liniar dependenți și independenți. Dimensiunea și baza spațiului

Combinație liniară vectori ā 1 , ā 2 , …, ā n Lse numeste vector de acelasi spatiu de forma:

Unde λ sunt numere reale.

Vectori ā 1 , .. , ā n sunt numiteliniar independent, dacă combinația lor liniară este un vector zero dacă și numai dacă toate λ i sunt egale cu zero, acesta este

λ i =0

Dacă combinația liniară este un vector zero și cel puțin unul dintre λ i este diferit de zero, atunci acești vectori se numesc dependenți liniar. Acesta din urmă înseamnă că cel puțin unul dintre vectori poate fi reprezentat ca o combinație liniară a altor vectori. Într-adevăr, chiar dacă, de exemplu,
. Apoi,
, Unde

.

Se numește un sistem ordonat de vectori maxim liniar independent bază spaţiu L. Numărul de vectori de bază se numește dimensiune spaţiu.

Să presupunem că există n vectori liniar independenți, atunci spațiul se numește n-dimensională. Alți vectori spațiali pot fi reprezentați ca o combinație liniară n vectori de bază. Pe bază n- spațiu dimensional poate fi luat orice n vectori liniar independenți ai acestui spațiu.

Exemplul 17. Găsiți baza și dimensiunea acestor spații liniare:

a) un set de vectori care se află pe o linie (coliniar unei linii)

b) o mulţime de vectori aparţinând planului

c) o mulţime de vectori ai spaţiului tridimensional

d) un set de polinoame de grad nu mai mare de doi.

Soluţie.

A) Oricare doi vectori care se află pe o linie dreaptă vor fi dependenți liniar, deoarece vectorii sunt coliniari
, Acea
, λ - scalar. În consecință, baza unui spațiu dat este doar un (orice) vector diferit de zero.

De obicei, acest spațiu este desemnat R, dimensiunea sa este 1.

b) oricare doi vectori necoliniari
va fi liniar independent și oricare trei vectori de pe plan vor fi liniar independenți. Pentru orice vector , sunt numere  Și  astfel încât
. Spațiul se numește bidimensional, notat cu R 2 .