Tai dažnai skamba kaip plokštumos dalis, kurią riboja apskritimas. Apskritimo perimetras yra plokščia uždara kreivė. Visi kreivėje esantys taškai yra vienodu atstumu nuo apskritimo centro. Apskritime jo ilgis ir perimetras yra vienodi. Bet kurio apskritimo ilgio ir jo skersmens santykis yra pastovus ir žymimas skaičiumi π = 3,1415.

Apskritimo perimetro nustatymas

R spindulio apskritimo perimetras lygus dvigubam spindulio r ir skaičiaus π(~3,1415) sandaugai.

Apskritimo perimetro formulė

\(r\) spindulio apskritimo perimetras:

\[ \LARGE(P) = 2 \cdot \pi \cdot r \]

\[ \LARGE(P) = \pi \cdot d \]

\(P\) – perimetras (apskritimas).

\(r\) – spindulys.

\(d\) – skersmuo.

Apskritimu vadinsime geometrinę figūrą, susidedančią iš visų tokių taškų, kurie yra vienodu atstumu nuo bet kurio taško.

Apskritimo centras mes vadinsime tašką, nurodytą 1 apibrėžime.

Apskritimo spindulys vadinsime atstumą nuo šio apskritimo centro iki bet kurio jo taško.

Dekarto koordinačių sistemoje \(xOy\) taip pat galime įvesti bet kurio apskritimo lygtį. Apskritimo centrą pažymėkime tašku \(X\) , kurio koordinatės bus \((x_0,y_0)\) . Tegul šio apskritimo spindulys lygus \(τ\) . Paimkime savavališką tašką \(Y\), kurio koordinates žymime \((x,y)\) (2 pav.).

Naudodami atstumo tarp dviejų mūsų koordinačių sistemos taškų formulę, gauname:

\(|XY|=\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2) \)

Kita vertus, \(|XY| \) yra atstumas nuo bet kurio apskritimo taško iki mūsų pasirinkto centro. Tai yra, pagal 3 apibrėžimą gauname, kad \(|XY|=τ\)

\(\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)=τ \)

\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=τ^2 \) (1)

Taigi gauname, kad (1) lygtis yra apskritimo lygtis Dekarto koordinačių sistemoje.

Perimetras (apskritimo perimetras)

Mes išvesime savavališko apskritimo \(C\) ilgį naudodami jo spindulį, lygų \(τ\) .

Mes apsvarstysime du savavališkus apskritimus. Jų ilgius pažymėkime \(C\) ir \(C"\) , kurių spinduliai lygūs \(τ\) ir \(τ"\) . Į šiuos apskritimus įrašysime taisyklingus \(n\)-kampus, kurių perimetrai lygūs \(ρ\) ir \(ρ"\), kraštinių ilgiai lygūs \(α\) ir \ (α"\), atitinkamai. Kaip žinome, į apskritimą įbrėžto taisyklingo \(n\) kvadrato kraštinė yra lygi

\(α=2τsin\frac(180^0)(n) \)

Tada mes tai gausime

\(ρ=nα=2nτ\frac(sin180^0)(n) \)

\(ρ"=nα"=2nτ"\frac(sin180^0)(n) \)

\(\frac(ρ)(ρ")=\frac(2nτsin\frac(180^0)(n))(2nτ"\frac(sin180^0)(n))=\frac(2τ)(2τ" ) \)

Mes suvokiame tokį santykį \(\frac(ρ)(ρ")=\frac(2τ)(2τ") \) bus teisinga nepriklausomai nuo įrašytų taisyklingųjų daugiakampių kraštinių skaičiaus. Tai yra

\(\lim_(n\to\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(2τ)(2τ") \)

Kita vertus, jei be galo padidinsime įrašytų taisyklingųjų daugiakampių kraštinių skaičių (tai yra \(n→∞\)), gausime lygybę:

\(lim_(n\to\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(C)(C") \)

Iš paskutinių dviejų lygčių gauname tai

\(\frac(C)(C")=\frac(2τ)(2τ") \)

\(\frac(C)(2τ)=\frac(C")(2τ") \)

Matome, kad apskritimo perimetro ir dvigubo spindulio santykis visada yra tas pats skaičius, nepriklausomai nuo apskritimo pasirinkimo ir jo parametrų, tai yra

\(\frac(C)(2τ)=const \)

Ši konstanta turėtų būti vadinama skaičiumi „pi“ ir žymima \(π\) . Apytiksliai šis skaičius bus lygus \(3,14\) (tikslios šio skaičiaus reikšmės nėra, nes tai yra neracionalus skaičius). Taigi

\(\frac(C)(2τ)=π \)

Galiausiai nustatome, kad apskritimo perimetras (apskritimo perimetras) nustatomas pagal formulę

\(C=2πτ\)

„Javascript“ jūsų naršyklėje išjungtas.
Norėdami atlikti skaičiavimus, turite įjungti ActiveX valdiklius!

Apskritimas susideda iš daugelio taškų, kurie yra vienodais atstumais nuo centro. Tai plokščia geometrinė figūra, kurios ilgį rasti nėra sunku. Žmogus kasdien susiduria su ratu ir ratu, nepaisant to, kokioje srityje dirba. Daug daržovių ir vaisių, prietaisai ir mechanizmai, indai ir baldai yra apvalios formos. Apskritimas yra taškų, esančių apskritimo ribose, rinkinys. Todėl figūros ilgis lygus apskritimo perimetrui.

Susisiekus su

Figūros ypatybės

Be to, kad apskritimo sąvokos aprašymas yra gana paprastas, jo charakteristikos taip pat yra lengvai suprantamos. Su jų pagalba galite apskaičiuoti jo ilgį. Vidinė apskritimo dalis susideda iš daugybės taškų, tarp kurių du – A ir B – matomi stačiu kampu. Šis segmentas vadinamas skersmeniu, jis susideda iš dviejų spindulių.

Apskritimo viduje yra taškai X tokie, kuris nesikeičia ir nėra lygus vienetui, santykis AX/BX. Apskritime ši sąlyga turi būti įvykdyta; kitu atveju ši figūra neturi apskritimo formos. Kiekvienam taškui, kuris sudaro figūrą, galioja ši taisyklė: atstumų kvadratu suma nuo šių taškų iki kitų dviejų visada viršija pusę atkarpos tarp jų ilgio.

Pagrindiniai apskritimo terminai

Kad galėtumėte sužinoti figūros ilgį, turite žinoti pagrindinius su ja susijusius terminus. Pagrindiniai figūros parametrai yra skersmuo, spindulys ir akordas. Spindulys yra atkarpa, jungianti apskritimo centrą su bet kuriuo kreivės tašku. Akordo dydis lygus atstumui tarp dviejų figūros kreivės taškų. Skersmuo – atstumas tarp taškų, einantis per figūros centrą.

Pagrindinės skaičiavimų formulės

Parametrai naudojami apskritimo matmenų skaičiavimo formulėse:

Skersmuo skaičiavimo formulėse

Ekonomikoje ir matematikoje dažnai reikia rasti apskritimo perimetrą. Tačiau kasdieniame gyvenime galite susidurti su šiuo poreikiu, pavyzdžiui, statydami tvorą aplink apvalų baseiną. Kaip apskaičiuoti apskritimo perimetrą pagal skersmenį? Šiuo atveju naudokite formulę C = π*D, kur C yra norima reikšmė, D yra skersmuo.

Pavyzdžiui, baseino plotis – 30 metrų, o tvoros stulpus nuo jo planuojama pastatyti dešimties metrų atstumu. Šiuo atveju skersmens apskaičiavimo formulė yra: 30+10*2 = 50 metrų. Reikalinga vertė (šiame pavyzdyje tvoros ilgis): 3,14*50 = 157 metrai. Jei tvoros stulpai stovės vienas nuo kito trijų metrų atstumu, tai iš viso jų prireiks 52.

Spindulio skaičiavimai

Kaip apskaičiuoti apskritimo perimetrą iš žinomo spindulio? Norėdami tai padaryti, naudokite formulę C = 2 * π * r, kur C yra ilgis, r yra spindulys. Spindulys apskritime yra pusė skersmens, ir ši taisyklė gali būti naudinga kasdieniame gyvenime. Pavyzdžiui, ruošiant pyragą stumdomoje formoje.

Kad kulinarinis gaminys nesusiteptų, būtina naudoti dekoratyvinį įvyniojimą. Kaip iškirpti tinkamo dydžio popierinį apskritimą?

Tie, kurie yra šiek tiek susipažinę su matematika, supranta, kad tokiu atveju skaičių π reikia padauginti iš dvigubo naudojamos figūros spindulio. Pavyzdžiui, figūros skersmuo yra atitinkamai 20 centimetrų, jos spindulys yra 10 centimetrų. Naudojant šiuos parametrus randamas reikiamas apskritimo dydis: 2*10*3, 14 = 62,8 centimetrai.

Patogūs skaičiavimo metodai

Jei neįmanoma rasti apskritimo naudojant formulę, turėtumėte naudoti turimus šios vertės apskaičiavimo metodus:

• Jei apvalus objektas mažas, jo ilgį galima rasti naudojant vieną kartą apvyniotą virvę.
• Didelio daikto dydis matuojamas taip: ant lygaus paviršiaus ištiesiama virvė, o išilgai jos vieną kartą susukamas apskritimas.
• Šiuolaikiniai studentai ir moksleiviai skaičiavimams naudoja skaičiuotuvus. Internete galite sužinoti nežinomus kiekius naudodami žinomus parametrus.

Apvalūs objektai žmogaus gyvenimo istorijoje

Pirmasis apvalios formos gaminys, kurį išrado žmogus, buvo ratas. Pirmosios konstrukcijos buvo nedideli apvalūs rąstai, sumontuoti ant ašies. Tada atsirado ratai iš medinių stipinų ir ratlankių. Palaipsniui į gaminį buvo dedamos metalinės detalės, siekiant sumažinti susidėvėjimą. Būtent norėdami išsiaiškinti ratų apmušalų metalinių juostų ilgį, praėjusių amžių mokslininkai ieškojo formulės šiai vertei apskaičiuoti.

Puodžiaus ratas turi rato formą, dauguma sudėtingų mechanizmų dalių, vandens malūnų ir verpimo ratų konstrukcijos. Statyboje dažnai aptinkami apvalūs objektai - apvalių langų rėmai romaninės architektūros stiliumi, iliuminatoriai laivuose. Architektai, inžinieriai, mokslininkai, mechanikai ir dizaineriai kiekvieną dieną savo profesinėje veikloje susiduria su būtinybe apskaičiuoti apskritimo matmenis.

Apskritimas kasdieniame gyvenime randamas ne rečiau nei stačiakampis. Ir daugeliui žmonių sudėtinga užduotis, kaip apskaičiuoti apskritimą. Ir viskas, nes jis neturi kampų. Jei jie būtų prieinami, viskas taptų daug lengviau.

Kas yra ratas ir kur jis atsiranda?

Ši plokščia figūra vaizduoja kelis taškus, esančius tokiu pat atstumu nuo kito, kuris yra centras. Šis atstumas vadinamas spinduliu.

Kasdieniame gyvenime dažnai nereikia skaičiuoti apskritimo apskritimo, išskyrus žmones, kurie yra inžinieriai ir dizaineriai. Jie kuria mechanizmus, kuriuose naudojami, pavyzdžiui, pavaros, iliuminatoriai ir ratai. Architektai kuria namus apvaliais arba arkiniais langais.

Kiekvienas iš šių ir kitų atvejų reikalauja savo tikslumo. Be to, neįmanoma visiškai tiksliai apskaičiuoti apskritimo. Taip yra dėl pagrindinio skaičiaus begalybės formulėje. „Pi“ vis dar tobulinamas. Ir dažniausiai naudojama suapvalinta vertė. Tikslumo laipsnis pasirenkamas taip, kad atsakymas būtų teisingiausias.

Kiekių ir formulių žymėjimai

Dabar nesunku atsakyti į klausimą, kaip apskaičiuoti apskritimo perimetrą pagal spindulį; tam jums reikės šios formulės:

Kadangi spindulys ir skersmuo yra susiję vienas su kitu, yra kita skaičiavimo formulė. Kadangi spindulys yra du kartus mažesnis, išraiška šiek tiek pasikeis. Ir formulė, kaip apskaičiuoti apskritimo perimetrą, žinant skersmenį, bus tokia:

l = π * d.

Ką daryti, jei reikia apskaičiuoti apskritimo perimetrą?

Tiesiog nepamirškite, kad apskritimas apima visus apskritimo viduje esančius taškus. Tai reiškia, kad jo perimetras sutampa su ilgiu. O apskaičiavę apskritimą, uždėkite lygybės ženklą su apskritimo perimetru.

Beje, jų pavadinimai yra vienodi. Tai taikoma spinduliui ir skersmeniui, o perimetras yra lotyniška raidė P.

Užduočių pavyzdžiai

Užduotis viena

Būklė. Išsiaiškinkite apskritimo, kurio spindulys yra 5 cm, ilgį.

Sprendimas.Čia nesunku suprasti, kaip apskaičiuoti apskritimą. Jums tereikia naudoti pirmąją formulę. Kadangi spindulys žinomas, tereikia pakeisti reikšmes ir apskaičiuoti. 2 padauginus iš 5 cm spindulio gaunama 10. Belieka jį padauginti iš π reikšmės. 3,14 * 10 = 31,4 (cm).

Atsakymas: l = 31,4 cm.

Antra užduotis

Būklė. Yra ratas, kurio apskritimas yra žinomas ir lygus 1256 mm. Būtina apskaičiuoti jo spindulį.

Sprendimas.Šioje užduotyje turėsite naudoti tą pačią formulę. Tačiau tik žinomą ilgį reikės padalyti į 2 ir π sandaugą. Pasirodo, gaminys duos rezultatą: 6.28. Po padalijimo lieka: 200. Tai norima reikšmė.

Atsakymas: r = 200 mm.

Trečia užduotis

Būklė. Apskaičiuokite skersmenį, jei žinomas apskritimo perimetras, kuris yra 56,52 cm.

Sprendimas. Panašiai kaip ir ankstesnėje užduotyje, žinomą ilgį turėsite padalyti iš π vertės, suapvalintos iki artimiausios šimtosios dalies. Šio veiksmo rezultate gaunamas skaičius 18. Gautas rezultatas.

Atsakymas: d = 18 cm.

Ketvirta problema

Būklė. Laikrodžio rodyklės yra 3 ir 5 cm ilgio Reikia paskaičiuoti apskritimų, apibūdinančių jų galus, ilgius.

Sprendimas. Kadangi rodyklės sutampa su apskritimų spinduliais, reikalinga pirmoji formulė. Jums reikia jį naudoti du kartus.

Pirmojo ilgio gaminį sudarys faktoriai: 2; 3,14 ir 3. Rezultatas bus 18,84 cm.

Antram atsakymui reikia padauginti 2, π ir 5. Produktas duos skaičių: 31,4 cm.

Atsakymas: l 1 = 18,84 cm, l 2 = 31,4 cm.

Penkta užduotis

Būklė. Voverė bėga ratu, kurio skersmuo 2 m. Kiek toli ji nubėga per vieną pilną rato apsisukimą?

Sprendimas.Šis atstumas lygus apskritimui. Todėl reikia naudoti tinkamą formulę. Būtent, padauginkite π reikšmę ir 2 m. Skaičiavimai duoda rezultatą: 6,28 m.

Atsakymas: Voverė nubėga 6,28 m.

Labai dažnai, sprendžiant mokyklines fizikos ar gamtos mokslų užduotis, kyla klausimas – kaip rasti apskritimo apskritimą, žinant skersmenį? Tiesą sakant, sprendžiant šią problemą nėra jokių sunkumų, tereikia aiškiai įsivaizduoti, ką formules, tam reikalingos sąvokos ir apibrėžimai.

Susisiekus su

Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai

1. Spindulys yra linija, jungianti apskritimo centras ir savavališkas jo taškas. Jis žymimas lotyniška raide r.
2. Akordas yra linija, jungianti dvi savavališkas taškai, esantys ant apskritimo.
3. Skersmuo yra linija, jungianti du apskritimo taškai ir einantys per jo centrą. Jis žymimas lotyniška raide d.
4. yra tiesė, susidedanti iš visų taškų, esančių vienodu atstumu nuo vieno pasirinkto taško, vadinamo jo centru. Jo ilgį žymėsime lotyniška raide l.

Apskritimo plotas yra visa teritorija uždarytas ratu. Jis matuojamas kvadratiniais vienetais ir žymimas lotyniška raide s.

Naudodamiesi mūsų apibrėžimais, darome išvadą, kad apskritimo skersmuo yra lygus didžiausiai stygai.

Dėmesio! Iš apibrėžimo, koks yra apskritimo spindulys, galite sužinoti, koks yra apskritimo skersmuo. Tai du spinduliai, išdėstyti priešingomis kryptimis!

Apskritimo skersmuo.

Apskritimo perimetro ir ploto radimas

Jeigu mums duotas apskritimo spindulys, tai apskritimo skersmuo aprašomas formule d = 2*r. Taigi, norint atsakyti į klausimą, kaip rasti apskritimo skersmenį, žinant jo spindulį, pakanka paskutinio padauginti iš dviejų.

Apskritimo perimetro formulė, išreikšta jo spinduliu, turi formą l = 2*P*r.

Dėmesio! Lotyniška raidė P (Pi) reiškia apskritimo perimetro ir jo skersmens santykį, ir tai yra neperiodinė dešimtainė trupmena. Mokyklinėje matematikoje ji laikoma anksčiau žinoma lentelės reikšme, lygia 3,14!

Dabar perrašykime ankstesnę formulę, kad surastume apskritimo perimetrą per jo skersmenį, prisimindami, koks yra jo skirtumas spindulio atžvilgiu. Tai paaiškės: l = 2*P*r = 2*r*P = P*d.

Iš matematikos kurso žinome, kad apskritimo plotą apibūdinanti formulė yra tokia: s = П*r^2.

Dabar perrašykime ankstesnę formulę, kad rastume apskritimo plotą per jo skersmenį. Mes gauname,

s = П*r^2 = П*d^2/4.

Viena iš sunkiausių užduočių šioje temoje yra apskritimo ploto nustatymas per perimetrą ir atvirkščiai. Pasinaudokime tuo, kad s = П*r^2 ir l = 2*П*r. Iš čia gauname r = l/(2*П). Pakeiskime gautą spindulio išraišką į srities formulę, gausime: s = l^2/(4P). Visiškai panašiu būdu perimetras nustatomas per apskritimo plotą.

Spindulio ilgio ir skersmens nustatymas

Svarbu! Visų pirma, išmokime išmatuoti skersmenį. Tai labai paprasta – nubrėžkite bet kokį spindulį, pratęskite jį priešinga kryptimi, kol susikirs su lanku. Gautą atstumą išmatuojame kompasu ir bet kokiu metriniu įrankiu sužinome, ko ieškome!

Atsakykime į klausimą, kaip sužinoti apskritimo skersmenį, žinant jo ilgį. Norėdami tai padaryti, išreiškiame jį iš formulės l = П*d. Gauname d = l/P.

Mes jau žinome, kaip rasti jo skersmenį pagal apskritimo perimetrą, taip pat galime rasti jo spindulį taip pat.

l = 2*P*r, taigi r = l/2*P. Apskritai, norint sužinoti spindulį, jis turi būti išreikštas skersmeniu ir atvirkščiai.

Tarkime, kad dabar reikia nustatyti skersmenį, žinant apskritimo plotą. Mes naudojame faktą, kad s = П*d^2/4. Iš čia išreikškime d. Tai pavyks d^2 = 4*s/P. Norėdami nustatyti patį skersmenį, turėsite išgauti kvadratinė šaknis iš dešinės pusės. Pasirodo, d = 2*sqrt(s/P).

Tipinių užduočių sprendimas

1. Išsiaiškinkime, kaip rasti skersmenį, jei nurodytas apskritimas. Tegul jis lygus 778,72 kilometro. Būtina rasti d. d = 778,72 / 3,14 = 248 kilometrai. Prisiminkime, kas yra skersmuo, ir nedelsdami nustatykime spindulį; kad tai padarytume, aukščiau nurodytą reikšmę d padalijame per pusę. Tai pavyks r = 248/2 = 124 kilometro
2. Apsvarstykime, kaip rasti tam tikro apskritimo ilgį, žinant jo spindulį. Tegu r reikšmė yra 8 dm 7 cm. Visa tai paverskime centimetrais, tada r bus lygus 87 centimetrams. Naudodami formulę raskite nežinomą apskritimo ilgį. Tada mūsų norima vertė bus lygi l = 2*3,14*87 = 546,36 cm. Gautą reikšmę paverskime sveikaisiais metrinių dydžių skaičiais l = 546,36 cm = 5 m 4 dm 6 cm 3,6 mm.
3. Leiskite mums nustatyti tam tikro apskritimo plotą pagal formulę per žinomą skersmenį. Tegul d = 815 metrų. Prisiminkime apskritimo ploto nustatymo formulę. Pakeiskime čia mums suteiktas vertybes, gausime s = 3,14*815^2/4 = 521416,625 kv. m.
4. Dabar sužinosime, kaip rasti apskritimo plotą, žinant jo spindulio ilgį. Tegu spindulys 38 cm.Naudojame mums žinomą formulę. Pakeiskime čia vertę, kurią mums suteikia sąlyga. Gaunate: s = 3,14 * 38 ^ 2 = 4534,16 kv. cm.
5. Paskutinė užduotis yra nustatyti apskritimo plotą pagal žinomą apskritimą. Tegul l = 47 metrai. s = 47^2/(4P) = 2209/12,56 = 175,87 kv. m.

Apimtis