Segni di parallelismo di due rette

Teorema 1. Se all'intersezione di due rette di una secante:

gli angoli diagonali sono uguali, o

gli angoli corrispondenti sono uguali, o

la somma degli angoli unilaterali è quindi 180°

le linee sono parallele(Fig. 1).

Prova. Ci limitiamo alla dimostrazione del caso 1.

Supponiamo che all'intersezione delle rette aeb per una secante AB attraverso gli angoli giacenti siano uguali. Ad esempio, ∠ 4 = ∠ 6. Dimostriamo che a || b.

Supponiamo che le rette aeb non siano parallele. Quindi si intersecano in un punto M e, di conseguenza, uno degli angoli 4 o 6 sarà l'angolo esterno del triangolo ABM. Sia, per determinatezza, ∠ 4 l'angolo esterno del triangolo ABM, e ∠ 6 quello interno. Segue dal teorema sull'angolo esterno di un triangolo che ∠ 4 è maggiore di ∠ 6, e questo contraddice la condizione, che significa che le rette a e 6 non possono intersecarsi, quindi sono parallele.

Corollario 1. Due rette distinte in un piano perpendicolare alla stessa retta sono parallele(Fig. 2).

Commento. Il modo in cui abbiamo appena dimostrato il caso 1 del Teorema 1 è chiamato metodo della dimostrazione per contraddizione o riduzione all'assurdo. Questo metodo ha il suo nome perché all'inizio del ragionamento si fa un presupposto opposto (opposto) a ciò che deve essere dimostrato. Si chiama riduzione all'assurdo per il fatto che, argomentando sulla base dell'assunto fatto, si arriva a una conclusione assurda (l'assurdità). Ricevere una tale conclusione ci costringe a rifiutare l'ipotesi fatta all'inizio e ad accettare quella che doveva essere dimostrata.

Compito 1. Costruisci una retta passante per un dato punto M e parallela a una data retta a, non passante per il punto M.

Soluzione. Tracciamo una linea p attraverso il punto M perpendicolare alla linea a (Fig. 3).

Quindi tracciamo una linea b attraverso il punto M perpendicolare alla linea p. La retta b è parallela alla retta a secondo il corollario del Teorema 1.

Dal problema considerato segue una conclusione importante:
Per un punto che non è su una retta data, si può sempre tracciare una retta parallela alla retta data..

La proprietà principale delle rette parallele è la seguente.

Assioma delle rette parallele. Per un punto dato che non è su una retta data, c'è solo una retta parallela alla retta data.

Considera alcune proprietà delle rette parallele che seguono da questo assioma.

1) Se una linea interseca una delle due rette parallele, interseca l'altra (Fig. 4).

2) Se due linee diverse sono parallele alla terza linea, allora sono parallele (Fig. 5).

Vale anche il seguente teorema.

Teorema 2. Se due rette parallele sono attraversate da una secante, allora:

gli angoli di sdraiata sono uguali;

gli angoli corrispondenti sono uguali;

la somma degli angoli unilaterali è 180°.

Conseguenza 2. Se una retta è perpendicolare a una delle due rette parallele, allora è anche perpendicolare all'altra.(vedi Fig.2).

Commento. Il Teorema 2 è chiamato l'inverso del Teorema 1. La conclusione del Teorema 1 è la condizione del Teorema 2. E la condizione del Teorema 1 è la conclusione del Teorema 2. Non tutti i teoremi hanno un inverso, cioè se un dato teorema è vero, allora il teorema inverso può essere falso.

Spieghiamolo con l'esempio del teorema sugli angoli verticali. Questo teorema può essere formulato come segue: se due angoli sono verticali, allora sono uguali. Il teorema inverso sarebbe questo: se due angoli sono uguali, allora sono verticali. E questo, ovviamente, non è vero. Due angoli uguali non devono essere affatto verticali.

Esempio 1 Due rette parallele sono attraversate da una terza. È noto che la differenza tra due angoli interni unilaterali è di 30°. Trova quegli angoli.

Soluzione. Lascia che la figura 6 soddisfi la condizione.

CAPITOLO III.
LINEE PARALLELE

§ 35. SEGNI DI PARALLELITÀ DI DUE LINEE DIRETTE.

Il teorema che due perpendicolari ad una retta sono parallele (§ 33) dà un segno che due rette sono parallele. È possibile ricavare segni più generali di parallelismo di due rette.

1. Il primo segno di parallelismo.

Se, all'intersezione di due rette con una terza, gli angoli interni trasversali sono uguali, allora queste rette sono parallele.

Lascia che le linee AB e CD intersechino la linea EF e / 1 = / 2. Prendi il punto O - il centro del segmento KL della secante EF (Fig. 189).

Lasciamo cadere la perpendicolare OM dal punto O alla retta AB e continuiamo fino all'intersezione con la retta CD, AB_|_MN. Proviamo che CD_|_MN.
Per fare ciò, considera due triangoli: MOE e NOK. Questi triangoli sono uguali tra loro. Infatti: / 1 = / 2 dalla condizione del teorema; OK = OL - per costruzione;
/ MOL = / NOK come angoli verticali. Così, il lato e due angoli ad esso adiacenti di un triangolo sono rispettivamente uguali al lato e due angoli ad esso adiacenti di un altro triangolo; Di conseguenza, /\ MOL = /\ NOK, e quindi
/ LMO = / sa ma / LMO è diretto, quindi, e / KNO è anche diretto. Così le rette AB e CD sono perpendicolari alla stessa retta MN, quindi sono parallele (§ 33), il che doveva essere dimostrato.

Nota. L'intersezione delle linee MO e CD può essere stabilita ruotando di 180° il triangolo MOL attorno al punto O.

2. Il secondo segno di parallelismo.

Vediamo se le rette AB e CD sono parallele se, all'intersezione della loro terza retta EF, gli angoli corrispondenti sono uguali.

Lascia che alcuni angoli corrispondenti siano uguali, per esempio / 3 = / 2 (dev. 190);
/ 3 = / 1, in quanto gli angoli sono verticali; significa, / 2 sarà uguale / 1. Ma gli angoli 2 e 1 sono angoli trasversali interni, e sappiamo già che se all'intersezione di due rette per un terzo, gli angoli trasversali interni sono uguali, allora queste rette sono parallele. Pertanto, AB || CD.

Se all'intersezione di due rette della terza gli angoli corrispondenti sono uguali, allora queste due rette sono parallele.

La costruzione di linee parallele con l'aiuto di un righello e un triangolo di disegno si basa su questa proprietà. Questo viene fatto come segue.

Attacchiamo il triangolo al righello come mostrato nel disegno 191. Sposteremo il triangolo in modo che uno dei suoi lati scorra lungo il righello e disegneremo diverse linee rette lungo qualsiasi altro lato del triangolo. Queste linee saranno parallele.

3. Il terzo segno di parallelismo.

Facci sapere che all'intersezione di due rette AB e CD per la terza retta, la somma di tutti gli angoli interni unilaterali è uguale a 2 d(o 180°). Le linee AB e CD saranno in questo caso parallele (Fig. 192).

Permettere / 1 e / 2 angoli interni unilaterali e sommati fino a 2 d.
Ma / 3 + / 2 = 2d come angoli adiacenti. Di conseguenza, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Da qui / 1 = / 3, e questi angoli sono internamente trasversali. Pertanto, AB || CD.

Se all'intersezione di due rette per un terzo, la somma degli angoli interni unilaterali è uguale a 2 d, allora le due rette sono parallele.

Un esercizio.

Dimostra che le rette sono parallele:
a) se gli angoli trasversali esterni sono uguali (Fig. 193);
b) se la somma degli angoli unilaterali esterni è 2 d(diavolo 194).

Questo capitolo è dedicato allo studio delle rette parallele. Questo è il nome dato a due rette in un piano che non si intersecano. Nell'ambiente vediamo segmenti di linee parallele: si tratta di due bordi di un tavolo rettangolare, due bordi di una copertina di un libro, due sbarre del filobus, ecc. Le linee parallele svolgono un ruolo molto importante nella geometria. In questo capitolo imparerai cosa sono gli assiomi della geometria e in cosa consiste l'assioma delle rette parallele, uno dei più famosi assiomi della geometria.

Nella Sezione 1, abbiamo notato che due linee o hanno un punto in comune, cioè si intersecano, oppure non hanno un unico punto in comune, cioè non si intersecano.

Definizione

Il parallelismo delle rette aeb è indicato come segue: a || b.

La Figura 98 mostra le linee aeb perpendicolari alla linea c. Nella Sezione 12 abbiamo stabilito che tali rette aeb non si intersecano, cioè sono parallele.

Riso. 98

Insieme alle linee parallele, vengono spesso considerati segmenti paralleli. I due segmenti sono chiamati parallelo se giacciono su rette parallele. Nella figura 99, i segmenti AB e CD sono paralleli (AB || CD) ei segmenti MN e CD non sono paralleli. Allo stesso modo, viene determinato il parallelismo di un segmento e una retta (Fig. 99, b), un raggio e una retta, un segmento e un raggio, due raggi (Fig. 99, c).

Riso. 99 Segni di parallelismo di due rette

Viene chiamato Diretto con secante rispetto alle linee aeb, se le interseca in due punti (Fig. 100). All'intersezione delle linee aeb, la secante c forma otto angoli, che sono indicati da numeri nella Figura 100. Alcune coppie di questi angoli hanno nomi speciali:

angoli incrociati: 3 e 5, 4 e 6;
angoli unilaterali: 4 e 5, 3 e 6;
angoli corrispondenti: 1 e 5, 4 e 8, 2 e 6, 3 e 7.

Riso. 100

Considera tre segni di parallelismo di due rette associate a queste coppie di angoli.

Teorema

Prova

Supponiamo che all'intersezione delle rette aeb per una secante AB, gli angoli giacenti siano uguali: ∠1 = ∠2 (Fig. 101, a).

Proviamo che un || b. Se gli angoli 1 e 2 sono retti (Fig. 101, b), le linee aeb sono perpendicolari alla linea AB e, quindi, parallele.

Riso. 101

Considera il caso in cui gli angoli 1 e 2 non sono retti.

Dal centro O del segmento AB, traccia una perpendicolare OH alla retta a (Fig. 101, c). Sulla linea b dal punto B, mettiamo da parte il segmento VH 1, uguale al segmento AH, come mostrato in Figura 101, c, e disegniamo il segmento OH 1. I triangoli ONA e OH 1 V sono uguali nei due lati e l'angolo tra loro (AO = BO, AN = VN 1, ∠1 = ∠2), quindi ∠3 = ∠4 e ∠5 = ∠6. Dall'uguaglianza ∠3 = ∠4 segue che il punto H 1 giace sulla continuazione del raggio OH, cioè i punti H, O e H 1 giacciono sulla stessa retta, e dall'uguaglianza ∠5 = ∠6 esso segue che l'angolo 6 è una retta (poiché l'angolo 5 è un angolo retto). Quindi le rette aeb sono perpendicolari alla retta HH 1, quindi sono parallele. Il teorema è stato dimostrato.

Teorema

Prova

Sia uguale all'intersezione delle rette aeb la secante con gli angoli corrispondenti, ad esempio ∠1 = ∠2 (Fig. 102).

Riso. 102

Poiché gli angoli 2 e 3 sono verticali, allora ∠2 = ∠3. Queste due uguaglianze implicano che ∠1 = ∠3. Ma gli angoli 1 e 3 sono trasversali, quindi le linee aeb sono parallele. Il teorema è stato dimostrato.

Teorema

Prova

Sia, all'intersezione delle rette aeb, la secante con la somma degli angoli unilaterali sia 180°, ad esempio ∠1 + ∠4 = 180° (vedi Fig. 102).

Poiché gli angoli 3 e 4 sono adiacenti, allora ∠3 + ∠4 = 180°. Da queste due uguaglianze segue che gli angoli trasversali 1 e 3 sono uguali, quindi le rette aeb sono parallele. Il teorema è stato dimostrato.

Modi pratici per disegnare linee parallele

I segni delle rette parallele sono alla base dei modi di costruire rette parallele con l'ausilio di vari strumenti utilizzati nella pratica. Si consideri, ad esempio, un metodo per costruire linee parallele utilizzando un quadrato di disegno e un righello. Per costruire una retta passante per il punto M e parallela alla retta data a, applichiamo alla retta a un quadrato di disegno e ad essa un righello come mostrato in Figura 103. Quindi, spostando il quadrato lungo il righello, assicurerà che il punto M sia sul lato del quadrato e disegnerà una linea b. Le rette aeb sono parallele, poiché gli angoli corrispondenti, indicati nella figura 103 dalle lettere α e β, sono uguali.

Riso. 103 La Figura 104 mostra un metodo per costruire linee parallele usando un quadrato a T. Questo metodo viene utilizzato nella pratica del disegno.

Riso. 104 Un metodo simile viene utilizzato quando si eseguono lavori di falegnameria, in cui uno smusso viene utilizzato per segnare linee parallele (due assi di legno fissate con una cerniera, Fig. 105).

Riso. 105

Compiti

186. Nella figura 106, le linee aeb sono intersecate dalla linea c. Dimostralo a || b se:

a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45° e l'angolo 7 è tre volte maggiore dell'angolo 3.

Riso. 106

187. Secondo la figura 107 dimostrare che AB || D.E.

Riso. 107

188. I segmenti AB e CD si intersecano nel loro centro comune. Dimostrare che le linee AC e BD sono parallele.

189. Utilizzando i dati della Figura 108, dimostrare che BC || ANNO DOMINI.

Riso. 108

190. Nella Figura 109 AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Dimostralo DE || COME.

Riso. 109

191. Il segmento VK è la bisettrice del triangolo ABC. Si traccia una retta passante per il punto K, che interseca il lato BC nel punto M in modo che BM = MK. Dimostra che le rette KM e AB sono parallele.

192. Nel triangolo ABC, l'angolo A è 40° e l'angolo ALL adiacente all'angolo ACB è 80°. Dimostra che la bisettrice dell'angolo ALL è parallela alla retta AB.

193. Nel triangolo ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. La linea BD è tracciata attraverso il vertice B in modo che il raggio BC sia la bisettrice dell'angolo ABD. Dimostrare che le linee AC e BD sono parallele.

194. Disegna un triangolo. Attraverso ogni vertice di questo triangolo, usando un quadrato di disegno e un righello, traccia una linea retta parallela al lato opposto.

195. Disegna il triangolo ABC e segna il punto D sul lato AC. Attraverso il punto D, usando un quadrato di disegno e un righello, traccia delle linee rette parallele agli altri due lati del triangolo.

Questo capitolo è dedicato allo studio delle rette parallele. Questo è il nome dato a due rette in un piano che non si intersecano. Nell'ambiente vediamo segmenti di linee parallele: si tratta di due bordi di un tavolo rettangolare, due bordi di una copertina di un libro, due sbarre del filobus, ecc. Le linee parallele svolgono un ruolo molto importante nella geometria. In questo capitolo imparerai cosa sono gli assiomi della geometria e in cosa consiste l'assioma delle rette parallele, uno dei più famosi assiomi della geometria.

Nella Sezione 1, abbiamo notato che due linee o hanno un punto in comune, cioè si intersecano, oppure non hanno un unico punto in comune, cioè non si intersecano.

Definizione

Il parallelismo delle rette aeb è indicato come segue: a || b.

La Figura 98 mostra le linee aeb perpendicolari alla linea c. Nella Sezione 12 abbiamo stabilito che tali rette aeb non si intersecano, cioè sono parallele.

Riso. 98

Insieme alle linee parallele, vengono spesso considerati segmenti paralleli. I due segmenti sono chiamati parallelo se giacciono su rette parallele. Nella figura 99, i segmenti AB e CD sono paralleli (AB || CD) ei segmenti MN e CD non sono paralleli. Allo stesso modo, viene determinato il parallelismo di un segmento e una retta (Fig. 99, b), un raggio e una retta, un segmento e un raggio, due raggi (Fig. 99, c).

Riso. 99 Segni di parallelismo di due rette

Viene chiamato Diretto con secante rispetto alle linee aeb, se le interseca in due punti (Fig. 100). All'intersezione delle linee aeb, la secante c forma otto angoli, che sono indicati da numeri nella Figura 100. Alcune coppie di questi angoli hanno nomi speciali:

angoli incrociati: 3 e 5, 4 e 6;
angoli unilaterali: 4 e 5, 3 e 6;
angoli corrispondenti: 1 e 5, 4 e 8, 2 e 6, 3 e 7.

Riso. 100

Considera tre segni di parallelismo di due rette associate a queste coppie di angoli.

Teorema

Prova

Supponiamo che all'intersezione delle rette aeb per una secante AB, gli angoli giacenti siano uguali: ∠1 = ∠2 (Fig. 101, a).

Proviamo che un || b. Se gli angoli 1 e 2 sono retti (Fig. 101, b), le linee aeb sono perpendicolari alla linea AB e, quindi, parallele.

Riso. 101

Considera il caso in cui gli angoli 1 e 2 non sono retti.

Dal centro O del segmento AB, traccia una perpendicolare OH alla retta a (Fig. 101, c). Sulla linea b dal punto B, mettiamo da parte il segmento VH 1, uguale al segmento AH, come mostrato in Figura 101, c, e disegniamo il segmento OH 1. I triangoli ONA e OH 1 V sono uguali nei due lati e l'angolo tra loro (AO = BO, AN = VN 1, ∠1 = ∠2), quindi ∠3 = ∠4 e ∠5 = ∠6. Dall'uguaglianza ∠3 = ∠4 segue che il punto H 1 giace sulla continuazione del raggio OH, cioè i punti H, O e H 1 giacciono sulla stessa retta, e dall'uguaglianza ∠5 = ∠6 esso segue che l'angolo 6 è una retta (poiché l'angolo 5 è un angolo retto). Quindi le rette aeb sono perpendicolari alla retta HH 1, quindi sono parallele. Il teorema è stato dimostrato.

Teorema

Prova

Sia uguale all'intersezione delle rette aeb la secante con gli angoli corrispondenti, ad esempio ∠1 = ∠2 (Fig. 102).

Riso. 102

Poiché gli angoli 2 e 3 sono verticali, allora ∠2 = ∠3. Queste due uguaglianze implicano che ∠1 = ∠3. Ma gli angoli 1 e 3 sono trasversali, quindi le linee aeb sono parallele. Il teorema è stato dimostrato.

Teorema

Prova

Sia, all'intersezione delle rette aeb, la secante con la somma degli angoli unilaterali sia 180°, ad esempio ∠1 + ∠4 = 180° (vedi Fig. 102).

Poiché gli angoli 3 e 4 sono adiacenti, allora ∠3 + ∠4 = 180°. Da queste due uguaglianze segue che gli angoli trasversali 1 e 3 sono uguali, quindi le rette aeb sono parallele. Il teorema è stato dimostrato.

Modi pratici per disegnare linee parallele

I segni delle rette parallele sono alla base dei modi di costruire rette parallele con l'ausilio di vari strumenti utilizzati nella pratica. Si consideri, ad esempio, un metodo per costruire linee parallele utilizzando un quadrato di disegno e un righello. Per costruire una retta passante per il punto M e parallela alla retta data a, applichiamo alla retta a un quadrato di disegno e ad essa un righello come mostrato in Figura 103. Quindi, spostando il quadrato lungo il righello, assicurerà che il punto M sia sul lato del quadrato e disegnerà una linea b. Le rette aeb sono parallele, poiché gli angoli corrispondenti, indicati nella figura 103 dalle lettere α e β, sono uguali.

Riso. 103 La Figura 104 mostra un metodo per costruire linee parallele usando un quadrato a T. Questo metodo viene utilizzato nella pratica del disegno.

Riso. 104 Un metodo simile viene utilizzato quando si eseguono lavori di falegnameria, in cui uno smusso viene utilizzato per segnare linee parallele (due assi di legno fissate con una cerniera, Fig. 105).

Riso. 105

Compiti

186. Nella figura 106, le linee aeb sono intersecate dalla linea c. Dimostralo a || b se:

a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45° e l'angolo 7 è tre volte maggiore dell'angolo 3.

Riso. 106

187. Secondo la figura 107 dimostrare che AB || D.E.

Riso. 107

188. I segmenti AB e CD si intersecano nel loro centro comune. Dimostrare che le linee AC e BD sono parallele.

189. Utilizzando i dati della Figura 108, dimostrare che BC || ANNO DOMINI.

Riso. 108

190. Nella Figura 109 AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Dimostralo DE || COME.

Riso. 109

191. Il segmento VK è la bisettrice del triangolo ABC. Si traccia una retta passante per il punto K, che interseca il lato BC nel punto M in modo che BM = MK. Dimostra che le rette KM e AB sono parallele.

192. Nel triangolo ABC, l'angolo A è 40° e l'angolo ALL adiacente all'angolo ACB è 80°. Dimostra che la bisettrice dell'angolo ALL è parallela alla retta AB.

193. Nel triangolo ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. La linea BD è tracciata attraverso il vertice B in modo che il raggio BC sia la bisettrice dell'angolo ABD. Dimostrare che le linee AC e BD sono parallele.

194. Disegna un triangolo. Attraverso ogni vertice di questo triangolo, usando un quadrato di disegno e un righello, traccia una linea retta parallela al lato opposto.

195. Disegna il triangolo ABC e segna il punto D sul lato AC. Attraverso il punto D, usando un quadrato di disegno e un righello, traccia delle linee rette parallele agli altri due lati del triangolo.

AB e DAD attraversato dalla terza linea MN, quindi gli angoli formati in questo caso ricevono i seguenti nomi in coppia:

angoli corrispondenti: 1 e 5, 4 e 8, 2 e 6, 3 e 7;

angoli interni incrociati: 3 e 5, 4 e 6;

angoli esterni incrociati: 1 e 7, 2 e 8;

angoli interni unilaterali: 3 e 6, 4 e 5;

angoli esterni unilaterali: 1 e 8, 2 e 7.

Quindi, ∠ 2 = ∠ 4 e ∠ 8 = ∠ 6, ma dalla provata ∠ 4 = ∠ 6.

Pertanto, ∠ 2 = ∠ 8.

3. Rispettivi angoli 2 e 6 sono gli stessi, poiché ∠ 2 = ∠ 4, e ∠ 4 = ∠ 6. Ci assicuriamo inoltre che gli altri angoli corrispondenti siano uguali.

4. Somma angoli interni unilaterali 3 e 6 saranno 2d perché la somma angoli adiacenti 3 e 4 è uguale a 2d = 180 0 , e ∠ 4 può essere sostituito dall'identico ∠ 6. Assicurati inoltre che somma di angoli 4 e 5 è uguale a 2d.

5. Somma angoli esterni unilaterali sarà 2d perché questi angoli sono rispettivamente uguali angoli interni unilaterali come gli angoli verticale.

Dalla giustificazione sopra dimostrata, otteniamo teoremi inversi.

Quando, all'intersezione di due rette di una terza retta arbitraria, otteniamo che:

1. Gli angoli trasversali interni sono gli stessi;

o 2. Gli angoli trasversali esterni sono gli stessi;

o 3. Gli angoli corrispondenti sono gli stessi;

o 4. La somma degli angoli interni unilaterali è uguale a 2d = 180 0 ;

o 5. La somma dell'unilaterale esterno è 2d = 180 0 ,

allora le prime due rette sono parallele.