Теорема синусів. Доказ теореми синусів. Доказ звичайної теореми синусів

Теорема синусів

Теорема синусів встановлює залежність між величиною кутів трикутника і протилежних йому сторін.

Формулювання теореми синусів:
Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів.

Де
R- радіус описаного навколо трикутника кола
a, b, c- Сторони трикутника
α, β, γ - величини протилежних цим сторонам кутів

Доказ теореми синусів

Доказ теореми синусів відбувається за допомогою додаткових побудов.

Побудуємо довільний трикутник, вписаний у коло. Позначимо його як ABC.
Додатково побудуємо діаметр кола, В який вписаний довільний трикутник, але так, щоб він проходив через один з його кутів. Діаметр дорівнює подвійному радіусу кола (2R).

Візьмемо до уваги, що однією з властивостей прямокутного трикутника, вписаного в коло є те, що його гіпотенуза є діаметром кола, в яке він вписаний.

Позначимо діаметр для описаного кола як BD. Трикутник BCD, що утворився, є прямокутним, оскільки його гіпотенуза лежить на діаметрі описаного кола (властивість кутів, вписаних в коло).

Таким чином, додатково побудований трикутник, у якого одна спільна сторона з побудованим раніше довільним трикутником, а гіпотенуза збігається з діаметром кола - є прямокутним. Тобто трикутник DBC – прямокутний.

Для доказу всієї теореми, оскільки розміри трикутника ABC обрані довільним чином, Достатньо довести, що співвідношення однієї довільної сторони до протилежного їй куту дорівнює 2R.

Нехай це буде 2R = a/sin α, тобто якщо взяти за кресленням 2R = BC/sin A.

Оскільки, кути, вписані в коло, що спираються на ту саму дугу, рівні, то кут CDB або дорівнює куту CAB (якщо точки A і D лежать по одну сторону від прямої BC), або дорівнює π - CAB (інакше).

Звернемося до властивостей тригонометричних функцій. Оскільки sin(π − α) = sin αто зазначені варіанти побудови трикутника все одно приведуть до одного результату.

Обчислимо значення 2R = a / sin α, за кресленням 2R = BC / sin A. Для цього замінимо sin A на співвідношення відповідних сторін прямокутного трикутника.

2R = BC/sin A
2R = BC/(BC/DB)
2R = DB

А оскільки DB будувався як діаметр кола, то рівність виконується.
Повторивши те саме міркування для двох інших сторін трикутника, отримуємо:

Теорему синусів доведено.

Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів.

Доведення:

Нехай трикутнику ABC, сторона AB = c, сторона BC = a, сторона CA = b.

Спробуємо довести, що a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Скористаємося теоремою про площу трикутника, і запишемо її для кожної пари сторін та відповідного їм кута:

S = (1/2)*a*b*sin(C),

S = (1/2)*b*c*sin(A),

S = (1/2) * c * a * sin (B).

Так як ліві частини у перших двох рівностей однакові, то праві частини можна прирівняти між собою. Отримаємо (1/2)*a*b*sin(C) = (1/2)*b*c*sin(A). Скоротимо цю рівність на ½*b, отримаємо:

a * sin (C) = c * sin (A).

a/sin(A) = c/sin(C).

Так як ліві частини у другої та третьої рівностей однакові, то праві частини можна прирівняти між собою. Отримаємо (1/2)*b*c*sin(C) = (1/2)*c*a*sin(B). Скоротимо цю рівність на 1/2*c, отримаємо:

b * sin (A) = a * sin (B).

За якістю пропорції отримуємо:

a/sin(A) = b/sin(B).

Об'єднавши отримані два результати, отримуємо: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Що й потрібно було довести.

Рішення завдання

Також можна довести такий факт. Відношення будь-якої сторони трикутника до синуса протилежного кута дорівнює діаметр описаного біля трикутника кола.

Іншими словами, для будь-якого трикутника ABC, у якого сторона AB = c, сторона BC = a, сторона CA = b мають місце такі рівності: a/sin(A) =b/sin(B) = c/sin(C) = 2 * R. Тут R - радіус описаного біля трикутника кола.

Потрібна допомога у навчанні?

Попередня тема:

Тригонометрія широко застосовується у розділі алгебра — початку аналізу, а й у геометрії. У зв'язку з цим, розумно припустити існування теорем та його доказів, що з тригонометричними функціями. Справді, теореми косінусів та синусів виводять дуже цікаві, а головне корисні співвідношення між сторонами та кутами трикутників.

За допомогою цієї формули можна вивести будь-яку зі сторін трикутника:

Доказ затвердження виводиться з урахуванням теореми Піфагора: квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Розглянемо довільний трикутник ABC. З вершини C опустимо висоту h до основи фігури, у разі абсолютно не важлива її довжина. Тепер, якщо розглянути довільний трикутник AСВ, можна виразити координати точки C через тригонометричні функції cos і sin.

Згадаймо визначення косинуса та розпишемо співвідношення сторін трикутника ACD: cos α = AD/AC | помножимо обидві сторони рівності на AC; AD = AC * cos α.

Довжину AC приймемо за b і отримаємо вираз для першої координати точки С:
x = b * cos⁡α. Аналогічно знаходимо значення ординати С: y = b * sin α. Далі застосуємо теорему Піфагора і висловимо h по черзі для трикутника ACD та DCB:

Очевидно, що обидва вирази (1) та (2) рівні між собою. Прирівняємо праві частини і наведемо такі:

Насправді дана формула дозволяє знайти довжину невідомої сторони трикутника по заданим кутах. Теорема косінусів має три наслідки: для прямого, гострого та тупого кута трикутника.

Замінимо величину cos α звичною змінною x тоді для гострого кута трикутника ABC отримаємо:

Якщо ж кут виявиться прямим, то 2bx зникне з виразу, оскільки cos 90 ° = 0. Графічно друге слідство можна так:

У разі тупого кута знак "-" перед подвійним аргументом у формулі зміниться на "+":

Як видно з пояснення, нічого складного у співвідношенні немає. Теорема косінусів є не що інше, як переклад теореми Піфагора в тригонометричних величинах.

Практичне застосування теореми

Завдання 1. Дано трикутник ABC, у якого сторона BC = a = 4 см, AC = b = 5 см, а cos α = ½. Потрібно знайти довжину сторони AB.

Щоб правильно здійснити розрахунок, потрібно визначити кут α. Для цього варто звернутися до таблиці значень для тригонометричних функцій, згідно з якою арккосинус дорівнює 1/2 для кута 60°. Виходячи з цього, скористаємося формулою першого слідства теореми:

Завдання 2. Для трикутника ABC відомі всі сторони: AB = 4√2, BC = 5, AC = 7. Потрібно знайти всі кути фігури.

У разі не обійтися без креслення умов завдання.

Оскільки значення кутів залишаються невідомими, пошуку рішень слід використовувати повну формулу для гострого кута.

За аналогією неважко скласти формули та розрахувати значення та інших кутів:

У сумі три кути трикутника мають становити 180°: 53+82+45=180, отже, рішення знайдено.

Теорема синусів

Теорема свідчить, що це сторони довільного трикутника пропорційні синусам протилежних кутів. Записуються співвідношення у вигляді потрійної рівності:

Класичний доказ твердження проводять на прикладі фігури, вписаної в коло.

Щоб переконатися в правдивості висловлювання на прикладі трикутника ABC на малюнку, необхідно підтвердити той факт, що 2R = BC / sin A. Потім довести, що інші сторони співвідносяться з синусами протилежних кутів, як 2R або D кола.

Для цього проводимо діаметр кола з вершини B. З властивості кутів вписаних у коло ∠GCB – прямий, а ∠CGB або дорівнює ∠CAB, або (π - ∠CAB). Що стосується синусом остання обставина незначна, оскільки sin (π –α) = sin α. На підставі наведених висновків можна стверджувати, що:

sin ∠CGB = BC/BG або sin A = BC/2R,

Якщо розглядати інші кути фігури, отримаємо розширену формулу синусової теореми:

Типові завдання відпрацювання знання теореми синусів зводяться до пошуку невідомої сторони чи кута трикутника.

Як видно з прикладів, вирішення подібних завдань не викликає труднощів і полягає у проведенні математичних розрахунків.

Побудуємо довільний трикутник, вписаний у коло. Позначимо його як ABC.
Для доказу всієї теореми, оскільки розміри трикутника обрані довільним чином, достатньо довести, що співвідношення однієї довільної сторони до кута, що протилежить їй, дорівнює 2R. Нехай це буде 2R = a/sin α, тобто якщо взяти за кресленням 2R = BC/sin A.

Проведемо діаметр BD для описаного кола. Трикутник BCD, що утворився, є прямокутним, оскільки його гіпотенуза лежить на діаметрі описаного кола (властивість кутів, вписаних в коло).

Оскільки, кути, вписані в коло, що спираються на ту саму дугу, рівні, то кут CDB або дорівнює куту CAB (якщо точки A і D лежать по одну сторону від прямої BC), або дорівнює π - CAB (інакше) .

Звернемося до властивостей тригонометричних функцій. Оскільки sin(π − α) = sin α, то зазначені варіанти побудови трикутника однаково приведуть до одного результату.

2R = BC/sin A
2R = BC/(BC/DB)
2R = DB

Теорему синусів доведено.

Теорема синусів

Примітка. Це частина уроку із завданнями з геометрії (розділ теорема синусів). Якщо Вам необхідно вирішити задачу геометрії, якої тут немає - пишіть про це у форумі. У задачах замість символу "квадратний корінь" застосовується функція sqrt(), у якій sqrt - символ квадратного кореня, а дужках зазначено підкорене вираз.

Теорема синусів:
Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів, або, у розширеному формулюванні:
a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R
де R - радіус описаного кола

Теорію - формулювання та доказ теореми докладно див. у розділі "Теорема синусів" .

Завдання

У трикутнику XYZ кут X = 30 кут Z = 15. Перпендикуляр YQ до ZY ділить бік ХZ на частини XQ та QZ. Знайти XY, якщо QZ=1.5м

Рішення.
Висота утворила два прямокутні трикутники XYQ та ZYQ.
Для вирішення задачі скористаємося теоремою синусів.
QZ/sin(QYZ) = QY/sin(QZY)

QZY = 15 градусів, Відповідно, QYZ = 180 - 90 - 15 = 75

Оскільки довжина висоти трикутника відома, знайдемо XY по тій же теоремі синусів.

QY / sin(30) = XY / sin(90)

Візьмемо до уваги табличні значення деяких тригонометричних функцій:

синус 30 градусів дорівнює sin(30) = 1/2
синус 90 градусів дорівнює sin(90) = 1

QY = XY sin (30)
3/2 (√3 - 1) / (√3 + 1) = 1/2 XY
XY = 3 (√3 - 1) / (√3 + 1) ≈ 0.8 м

Відповідь: 0,8 м або 3 (√3 - 1) / (√3 + 1)

Теорема синусів (частина 2)

Примітка. Це частина уроку із завданнями з геометрії (розділ теорема синусів). Якщо Вам необхідно вирішити задачу геометрії, якої тут немає - пишіть про це у форумі .

Теорію докладно див. у розділі "Теорема синусів" .

Завдання

Сторона АВ трикутника ABC дорівнює 16см. Кут А дорівнює 30 градусів. Кут дорівнює 105 градусам. Обчисліть довжину сторони НД.