Клас: 8
Презентація до уроку
Назад вперед
Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.
Мета уроку:навчити будувати осьову симетрію геометричних фігур.
Завдання:
- Освітня:
- розглянути симетричні точки та фігури відносно прямої;
- навчити будувати симетричні точки і розпізнавати фігури, що мають осьову симетрію;
- розглянути осьову симетрію як властивість деяких геометричних фігур.
- отримати уявлення про симетрію в математиці та навколишньому світі.
- розвивати логічне мислення;
- активізувати мисленнєву діяльність за допомогою застосування інформаційних технологій
Форми організації навчальної діяльності:загальнокласна, індивідуальна, парна.
Тип уроку:Вивчення та первинне закріплення нових знань.
План уроку:
- симетрія точки щодо прямої;
- побудова осьової симетрії крапки на площині;
- симетрія фігури щодо прямої;
- побудова осьової симетрії геометричних фігур;
- застосування отриманих знань під час вирішення завдань.
Обладнання:проектор; екран; двостороння дошка (крейда, маркер); косинець; роздатковий матеріал; вказівка вчителя; кольорові олівці; лінійки.
Хід уроку
I. Організація початку уроку
Слайд.
Здрастуйте хлопці, сідайте.
Сьогодні на уроці ми виконуватимемо багато творчих та цікавих завдань. Отже, увага на екран!
ІІ. Повідомлення теми, мети та завдань уроку
Тема нашого уроку «Симетрія в математиці та навколишньому світі».
Сьогодні на уроці ми познайомимося з поняттям симетрії, навчимося будувати точки симетричні щодо прямої; вирішуватимемо завдання на побудову симетрії геометричних фігур.
При виконанні завдань ми оцінюватимемо роботу. За моєю вказівкою за кожне правильно виконане завдання ви зафарбуєте один із гуртків, що знаходяться у верхній частині Аркуш 1 (додаток).
ІІІ. Засвоєння нових знань
Слайд.
Почнемо з того, що з'ясуємо, що визначимо термін «симетрія».
Як ви вважаєте, що означає слово «симетрія»?
Де ми можемо зустрітися із симетрією у житті?
Узагальню ваші відповіді. Симетрія (від грецьк. Symmetria – пропорційність), у сенсі – незмінність структури матеріального об'єкта щодо його перетворень.
Симетрія грає величезну роль мистецтво та архітектурі. Але її можна побачити і в музиці, і в поезії.
Симетрія широко зустрічається в природі, особливо у кристалів, рослин і тварин. Симетрія може зустрітися у геометрії, а й у інших розділах математики, наприклад в алгебрі - при побудові графіків функцій.
Симетрія буває двох видів: осьова та центральна. Заповнимо схему в роздатковому матеріалі Аркуш 1.
Ми сьогодні розглянемо лише осьову симетрію.
Знайдіть речення, в якому йдеться, які дві точки називаються симетричними.
ДВР: Дві точки А і А1 називаються симетричними щодо прямої а, якщо ця пряма проходить через середину відрізка АА1 і перпендикулярно до нього.
Проаналізуємо визначення. Які умови повинні виконуватися, щоб можна було однозначно сказати, що точка А симетрична точці А1 щодо прямої а? ( АА 1⊥ а та АТ=ОА 1)
Запишемо мовою геометрії в дужках умову симетричності точок А і А 1 .
Навчимося будувати разом точку симетричну даної щодо прямої. Для цього знайдемо у роздавальному матеріалі Завдання 1. Візьмемо до рук косинець і олівець. (Вчитель будує на дошці)
Етапи розв'язання задачі: (на екрані)
- Побудувати перпендикуляр із точки А до прямої а;
- О – точка перетину перпендикуляра та прямий а;
- Продовжити перпендикуляр за пряму а;
- Відкласти на продовженні перпендикуляра відрізок, що дорівнює відрізку ОА;
- АТ = ОА 1
- Точки А та А 1 – симетричні щодо прямої а.
Виконаємо усно завдання: Які точки на малюнках є симетричними?
Відповідь: Лише малюнок 2.
Хто готовий пояснити?
Хто згоден із відповіддю підніміть руки? Зафарбуй один кружок у верхній частині Листа 1.
Осьову симетрію мають і багато фігур.
ОПР: Фігура називається симетричною щодо прямоїaякщо для кожної точки фігури симетрична їй точка щодо прямої атакож належить цій фігурі.
VII. Закріплення знань
Розглянемо геометричні фігури і визначимо, чи мають вони осьову симетрію.
Працюємо з завданням 2 Лист2.
- Задача2:На зображених геометричних фігурах накреслити всі осі симетрії і записати, скільки в стовпці «Кількість осей».
Ви можете порадитись сусідом по парті.
Фігура |
Кількість осей симетрії |
Навчальна діяльність |
Нерозгорнутий кут |
1 вісь симетрії - |
Учень біля дошки
|
Рівнобедрений трикутник |
1 вісь симетрії - бісектриса, медіана, висота |
Вчитель:
|
4 осі симетрії |
Самостійно
|
|
Окружність |
осей симетрії безліч |
Самостійно
|
Отже, перевіримо розв'язання задачі по екрану, виправимо неточності під час вирішення задачі.
Підніміть руки, хто накреслив усі осі квадрата? Зафарбували один гурток.
Підніміть руки хто, мабуть, визначив осі кола? Зафарбували один гурток.
Як ви вважаєте, чи всі геометричні фігури мають осі симетрії? Мабуть, не всі. Погляньмо на екран.
Відклали ручки, усно вирішимо завдання : Скільки осей має: відрізок; пряма; промінь?
Давайте розмірковувати. Кожен випадок розуміємо послідовно.
Хто готовий відповісти?
Хтось згоден підняли руки. Зафарбуй один із гуртків.
Гімнастика для очей 1 хв.
– Наші очі втомилися від напруженої роботи. Дамо їм можливість трохи відпочити, виконавши кілька вправ для очей.
VIII. Узагальнення та систематизація
А тепер вирішимо два практичні завдання, використовуючи аркуш «матеріали до уроку».
Завдання 3: Побудувати відрізок, симетричний даному.
Проаналізуємо умову задачі: Як побудувати відрізок симетричний даному щодо прямої?
Що таке відрізок? ( Частина пряма, обмежена з двох сторін.)
Що достатньо збудувати для вирішення завдання? ( Симетрію точок, що є кінцями відрізка.)
Висновок:Так як відрізок обмежений двома точками, достатньо побудувати точки симетричні точкам А і відносно прямий з і з'єднати їх.
Працюємо самостійно, одна людина біля дошки.
X. Підбиття підсумків уроку
З яким поняттям ми сьогодні познайомилися на уроці? ( Симетрія.)
Який вид симетрії ми розглянули? ( Осьова.)
Чого ви навчилися на уроці? ( Будувати точку симетричну щодо даної прямої; будувати вісь симетрії геометричних фігур; будувати фігуру симетричну даної щодо даної прямої.)
А тепер кожен порахуйте зафарбовані кухлі.
Підніміть руки у кого зафарбованих гуртків виявилося рівно 4 чи 5? Поставте поряд з кружками позначку «5».
Підніміть руки у кого зафарбованих гуртків виявилося рівно 3? Поставте поруч із кружками позначку «4».
Хто отримав менше гуртків не засмучуйтесь - ви просто не відразу змогли знайти відповідь на поставлене запитання.
Насамкінець відзначити, що симетрію можна знайти майже скрізь, якщо знати, як її шукати. Багато народів з найдавніших часів володіли уявленням про симетрію в широкому значенні – як про врівноваженість та гармонію. Творчість людей у всіх своїх проявах тяжіє до симетрії. За допомогою симетрії людина завжди намагалася, за словами німецького математика Германа Вейля, «осягнути і створити порядок, красу та досконалість».
Дякую за активну роботу.
- Вивчити тему «Симетрія»
- Дослідити питання «Симетрія в навколишньому світі»
- Розглянути різні види симетрії у природних об'єктах
- Навіщо людині треба знати про симетрію?
- 1. Розкрити зміст основних понять симетрії.
- 2.Показати, що природа – це світ симетрії.
- вивчення літератури;
- зіставлення суттєвих ознак;
- аналіз, порівняння, узагальнення.
- О симетрія!
- Гімн тобі співаю!
- Тебе всюди у світі впізнаю.
- Ти в Ейфелевій вежі, в малій мошці,
- Ти в ялинці, що біля лісової доріжки.
- З тобою в дружбі та тюльпан, і троянда,
- І сніговий рій – витвір морозу!
- Тема моєї науково-дослідної роботи «Багатолика симетрія».
- Цю тему я обрала тому, що із симетрією ми зустрічаємося скрізь – у природі, архітектурі, мистецтві, науці. Мені хочеться глибше познайомитися з симетрією в математиці та біології, техніці та архітектурі оскільки поняття симетрії широко використовують усі напрями сучасної науки.
- Що ж таке симетрія ?
- Який глибокий зміст закладено у цьому понятті?
- Чому симетрія буквально пронизує весь навколишній світ?
- Симетрія (від грецького symmetria - "пропорційність") - поняття, що означає збереження, повторюваність, "інваріантність" будь-яких особливостей структури об'єкта, що вивчається при проведенні з ним певних перетворень .
- Симетрія - це врівноваженість,
впорядкованість,
краса,
досконалість.
- а) симетрія щодо точки (центральна симетрія); б) симетрія щодо прямої (осьова симетрія);
- в) симетрія щодо площини (дзеркальна симетрія);
- г) Симетрія обертання (Поворот)
- д)Ковзна симетрія
ОА 1 = ОА
Визначення
Точки A та A 1 називаються симетричними щодо точки Проякщо О - середина відрізка AA 1 .
Визначення
Фігура називається симетричною щодо центру
Симетричність точок щодо прямої
Визначення
Дві точки А та А 1 називаються симетричними щодо прямої а якщо ця пряма проходить через середину відрізка АА 1 і перпендикулярна до нього.
Симетричність фігури щодо прямої
Визначення
Фігура називається симетричною щодо прямої якщо для кожної точки фігури симетрична їй точка також належить цій фігурі. Пряма l називається віссю симетрії фігури.
- Перетворення, у якому кожна точка А фігури (тіла) повертається однією і той ж кут α навколо заданого центру О називається обертанням або поворотом площини. Точка О називається центром обертання, а кут - кутом обертання. Точка є нерухомою точкою цього перетворення.
Центральна симетрія – поворот фігури на 180°.
- Ковзною симетрієюназивається таке перетворення, при якому послідовно виконуються осьова симетрія та паралельне перенесення.
- відрізок перетворюється на рівний йому відрізок;
- кут перетворюється на рівний йому кут;
- коло перетворюється на рівну їй коло;
- будь-який багатокутник перетворюється на рівний йому багатокутник тощо.
- паралельні прямі переходять у паралельні, перпендикулярні до перпендикулярні.
Отже, на площині маємо чотири види рухів, що переводять фігуру F у рівну фігуру F 1 :
- паралельне перенесення;
- осьова симетрія (відображення від прямої);
- поворот навколо точки (частковий випадок – центральна симетрія);
- «ковзне» відображення.
- РАДІАЛЬНА СИМЕТРІЯ
(променева симетрія) - симетрія по відношенню до будь-яких площин, що проходять через поздовжню вісь тіла тварини.
Білатеральна симметрія (двостороння симетрія) - симетрія дзеркального відображення, при якій об'єкт має одну площину симетрії, щодо якої дві половини його дзеркально симетричні.
Симетрія багатолика.
Вона пов'язана з упорядкованістю, пропорційністю та пропорційністю частин, красою та гармонією, з доцільністю та корисністю.
Працюючи над проектом, я торкнулася загадкової математичної краси. Математика – це мова, мова природи. Не знаючи мови, ви не можете зрозуміти красу навколишнього світу.
Але безперечно одне: Світ симетричний!
- 1.Цей напрочуд симетричний світ» – Л. Тарасов
- 2. «Тлумачний словник» - В.Даля
- "Геометрія 7-9 клас" - Л. Атанасян
- Малахов В.В. // Журн. заг. біології. 1977. Т.38.
- І.Г.Зенкевич "Естетика уроку математики".
- http://900igr.net/fotografii/geometrija/Simmetrija/O-simmetrii.html
Ігнатовська Олена, Дорохов Анатолій
Огляньтеся навколо! Ми захоплюємося яскравою квіткою, красивим метеликом, загадковою сніжинкою, високими деревами, куполами церков, прекрасними скульптурами та стрункими спортсменами. Що є основою цієї краси? Симетрія приємна для ока і часто асоціюється із прекрасним. "Симетрія є тією ідеєю, за допомогою якої людина намагалася осягнути і створити порядок, красу і досконалість", - писав відомий вчений Г.Вейль. Багато процесів, що відбуваються у світі, можна розглядати за допомогою математичної моделі. Вивчивши математичні основи поняття симетрія, ми навчимося бачити красу світу і створювати її своїми руками!
Метод проектів дозволяє школярам перейти від засвоєння готових знань до їхнього усвідомленого придбання.
Даний проект підготовлений учнями 8 класу щодо теми «Осіва і центральна симетрія». Його метою є формування поняття про симетрію, вміння бачити явища симетрії в навколишньому світі, розширення уявлення про сфери застосування математики та її зв'язок з іншими предметами. Крім основних цілей, ми переслідували ще одну: дотик до прекрасного, різних видів мистецтва.
Захист проекту відбувся на шкільній науково-практичній конференції «Математика в сучасному світі», використовується вчителем на уроках математики при вивченні теми «Осьова та центральна симетрія».
Завантажити:
Попередній перегляд:
Навколишній світ – це світ симетрії
Ігнатовська Олена, Дорохов Анатолій учні 8 «Б» класу, Сігодіна Лариса Володимирівна,
вчитель математики
МБОУ «Благовіщенська середня освітня школа №1»
Слайд 1
Поняття симетрії проходить через усю багатовікову історію людської творчості. Багато народів з давніх часів володіли уявленням про симетрію в широкому значенні - як еквівалент врівноваженості і гармонії. Форми сприйняття і вираження у багатьох галузях науки і мистецтва, зрештою, спираються на симетрію, що використовується і проявляється у специфічних поняттях та засобах, властивих окремим галузям науки та видам мистецтва. Сьогодні ми пропонуємо вам розглянути прояв цієї ідеї у різних галузях.
Слайд 2
Симетрія (від грецького «пропорційність») - це властивість геометричного об'єкта поєднуватися з собою при деяких перетвореннях, що утворюють групу.
Ідея симетрії часто є відправним пунктом у гіпотезах і теоріях вчених минулих століть, які вірили в математичну гармонію світобудови та бачили у цій гармонії прояв божественного початку. Стародавні греки вважали, що всесвіт симетричний просто тому, що симетрія прекрасна.
Слайд 3
Основними видами симетрії є осьова, центральна та дзеркальна.
Слайд 4
Дві точки Аі А 1 називаються симетричними щодо прямої а, якщо ця пряма проходить через середину відрізка АА 1 та перпендикулярна до нього.
Слайд 5
Центральна симетрія.
Дві точки А та А 1 називаються симетричними щодо точки О, якщо О – середина відрізка АА 1.
Слайд 6
Якщо перетворення симетрії щодо площини переводить фігуру (тіло) у себе, то фігура називається симетричною щодо площини, а ця площина – площиною симетрії цієї фігури. У деяких джерелах таку симетрію називають дзеркальною.
Слайд 7
Подивіться на кленовий лист, сніжинку, метелика. Їх поєднує те, що вони симетричні. Ось на ваш рукав упав із дерева звичайний лист. Форма його не є випадковою, вона суворо закономірна. Листок, як би склеєний з двох однакових половинок, одна з цих половинок розташована дзеркально щодо іншої. Лист має дзеркальну симетрію, але він має і осьову симетрію.
Слайд 8
О, симетрія! Гімн тобі співаю!
Тебе всюди у світі впізнаю.
Ти в Ейфелевій вежі, у малій мошці.
Ти в ялинці, що біля лісової доріжки.
З тобою в дружбі і тюльпан і троянда, і сніжний рій - витвір морозу!
Слайд 9
Озирнувшись довкола, ми можемо помітити симетрію.
Слайд 10
Розглянемо приклади геометричних фігур, що мають симетрію.
Осьової симетрією мають рівнобедрений трикутник, прямокутник, квадрат, коло, рівносторонній трикутник.
Слайд 11
Центральну симетрію можна побачити у паралелограма, кола, квадрата, прямокутника.
Слайд 12 Симетрія в алгебрі.
Осьовий симетрією має парабола, центральної - кубічна парабола.
Слайд 13
На явища симетрії в живій природі звернули увагу ще в Стародавній Греції піфагорійці у зв'язку з розвитком вчення про гармонію (V ст. до н.е.). У XIX столітті з'явилися поодинокі роботи, присвячені симетрії у рослинному та тваринному світі.
Тіло людини побудовано за принципом двосторонньої симетрії. Більшість з нас
розглядає мозок як єдину структуру, насправді він поділений на дві половини. Ці дві частини – дві півкулі – щільно прилягають одна до одної. У повній відповідності до загальної симетрії тіла людини кожна півкуля є майже точним дзеркальним відображенням іншого.
Слайд 14
Вертикальна орієнтація осі корпусу характеризує симетрію дерева. Яскраво виражену симетрію мають листя, квіти, гілки, плоди.
Слайд 15
Симетрія широко зустрічається у природі, особливо в рослин, наприклад, симетрія квітки. Квітка вважається симетричною, коли кожна оцвітина складається з рівної кількості частин. Квітки, маючи парні частини, вважаються квітками із подвійною симетрією тощо. Потрійна симетрія звичайна для однодольних рослин, п'ятірна для дводольних.
Слайд 16
Під симетрією у тварин розуміють відповідність у розмірах, формі та обрисах, а також відносне розташування частин тіла, що знаходяться на протилежних сторонах лінії, що розділяє.
Сферична симетрія має місце у радіолярій та сонячників, тіла яких сферичної форми, а частини розподілені навколо центру сфери та відходять від неї. Такі організми не мають ні передньої, ні задньої, ні бічних частин тіла, будь-яка площина, проведена через центр, ділить тварину на однакові половинки.
При радіальній або променистій симетрії тіло має форму короткого або довгого циліндра або судини з центральною віссю, від якої в радіальному порядку відходять частини тіла. Це кишковопорожнинні, голкошкірі, морські зірки.
При билатеральной симетрії осей симетрії три, але симетричних сторін лише одна пара. Тому що дві інші сторони – черевна та спинна – одна на одну не схожі. Цей вид симетрії характерний більшості тварин, зокрема комах, риб, земноводних, рептилій, птахів, ссавців.
Слайд 17
Принципи симетрії є фізикою інструментом для відшукання нових законів природи. До симетричних принципів належить принцип відносності Галілея та Ейнштейна.
Слайд 18- 19 Симетрія у хімії.
Симетрія виявляється на атомному рівні вивчення речовини. Вона проявляється у недоступних безпосередньому спостереженню геометрично упорядкованих атомних структур молекул.
В 1810 Д. Дальтон, бажаючи показати своїм слухачам як атоми, комбінуючись утворюють хімічні сполуки, побудував дерев'яні моделі куль і стрижнів. Ці моделі виявилися чудовим наочним посібником.
Молекула води має площину симетрії. Ніщо не зміниться, якщо поміняти місцями парні атоми у молекулі; такий обмін еквівалентний операції дзеркального відображення. Всі тверді тіла є кристалами, а кристали мають симетрію.
На малюнку ви бачите кристали топазу, берилу, димчастого кварцу.
Симетрію зовнішньої форми добре видно на малюнку. Кристали кам'яної солі, кварцу, арагоніту.
Слайд 20-23
Кожна сніжинка - це невеликий кристал замерзлої води. Форма сніжинок може бути дуже різноманітною, але всі вони мають симетрію. У справжніх природних сніжинок завжди шість осей симетрії.
Слайд 24-26
Симетрія грає величезну роль мистецтво, особливо ясну в орнаментах і архітектурі.
Поняття симетрії проходить через усю багатовікову історію людської творчості. Воно зустрічається вже біля джерел людського розвитку. Здавна людина використовувала симетрію в архітектурі. Давнім храмам, вежам середньовічних замків, сучасним будинкам вона надає гармонійності, закінченості. Наприклад, будівля Великого театру у Москві. Саме із симетрією пов'язана краса цієї будівлі. Також прикладом може бути собор Василя Блаженного на Червоній площі в Москві. Це композиція із десяти різних храмів, кожен храм геометрично симетричний. Однак собор як ціле не має ні дзеркальної, ні осьової симетрії.
Слайд 27
Вражаючі за красою приклади симетрії дають мережива.
Слайд 28
Симетрія використовувалася різними народами для фарбування предметів побуту та культури.
Слайд 29
Рисунок, що періодично повторюється, на довгій стрічці називається орнаментом. На практиці орнаменти зустрічаються в різних видах: настінний розпис, лиття чавуну, гіпсові барельєфи або кераміка. Орнаменти застосовують маляри та художники при оформленні кімнати. Довгі віки люди вірили в охоронну силу орнаменту, вважали, що він оберігає від бід і приносить щастя, добробут. Поступово функцію оберегу було втрачено, але збереглося його основне завдання – зробити предмет більш ошатним і привабливим, художньо виразним.
Слайд 30
Орнаменти покривали стіни і в давнину, ви бачите давньоєгипетський орнамент. Красиві орнаменти створені сучасним відомим голландським художником Ешером. Голландський художник Моріс Ешер у своїх оригінальних, ні на що не схожих картинах – головоломках із незвичайною винахідливістю використовує ефекти симетрії. Чи не правда, щільно пов'язані один з одним зображення білих, червоних і чорних ящірок, які заповнюють без залишку всю площину картини, сприймаються як своєрідний гімн симетрії.
Слайд 31
Дзеркальну симетрію також називають геральдичною, оскільки її можна побачити у гербах різних країн. Двоголовий орел добре послужив Російській державі, як символ об'єднаних російських земель навколо багатого міста і розумного, вольового лідера. 1997 року відзначався півтисячолітній ювілей Російського герба. За 5 століть історичної долі Росії багаторазово змінювалися, але державний герб нашої країни – її образотворче ім'я незмінно служили Батьківщині, і залишаються головним символом у наші дні.
Слайд 32
Деякі літери мають симетрію. Наприклад, буква А. М, Т, Ш, П мають вертикальну вісь симетрії. Літери У, З, До, З, Е, Е мають горизонтальну симетрію.
А літера Ж, Н, Про, Ф, Х мають обидві осі симетрії. Симетрію можна побачити і в словах: радар, замовлення, козак, курінь. Такі слова, які читаються однаково в обох напрямках, називаються паліндромами. Є й цілі фрази з такою властивістю (якщо не враховувати прогалини між словами): «Шукати таксі», «Аргентина манить негра»,
«Цінить негра аргентинець», «Льоша на полиці клопа знайшов». Ними захоплювалися багато поетів.
Слайд 33 Симетрія у музиці.
Душа музики, ритм, полягає у правильному періодичному повторенні елементів музичного твору. Правильне повторення однакових частин у цілому становить сутність музики. Ми з великим правом можемо додати до музичного твору поняття симетрії, що цей твір записується за допомогою нот. Саме безпосереднє відношення до симетрії має композиція. Великий німецький поет І. В. Гете стверджував, що будь-яка композиція ґрунтується на прихованій симетрії. Володіти законами композиції – це означає володіти законами симетрії.
Слайд 34
Справді симетричні об'єкти оточують нас буквально з усіх боків. Ми маємо справу з симетрією скрізь, де спостерігається якась упорядкованість. Симетрія протистоїть хаосу, безладді. Виходить, що симетрія – це врівноваженість, упорядкованість, краса, досконалість.
Симетрія різноманітна, всюдисуща. Вона створює красу та гармонію.
Література:
1. Віленкін Н.Я. За сторінками підручника з математики. Арифметика. Алгебра. Геометрія. Книжка учнів 10 – 11 класів загальноосвітніх установ: - М:Просвіта, 1996.
2. Пойа Д. Математичне відкриття. - М.: Наука, 1970
3. Баткін Л. М. Леонардо да Вінчі та особливості ренесанського творчого мислення. - М.: Мистецтво, 1990
4. Гутков А. Світ архітектури: Мова архітектури. -М.: Мовляв. Гвардія, 1985
5. Н.В. Корнєва, Ю.Є. Новосьолова, Є.С. Тимакіна Інтегрований урок 9-го класу
Районна науково-дослідна конференція «Юніор»
Дослідницька робота
Симетрія в навколишньому світі
(Секція точних наук)
Виконала:Мерізанова Ганна,
учениця 8 класу,
Єлісєєнко Віра,
учениця 8 класу
Керівник:Колесникова
Людмила Олександрівна,
вчитель математики
Вступ
Цього навчального року розглядали цю тему під час уроків математики. Нас зацікавила тема “Симетрія”. І ми вирішили створити проект із цієї теми, т.к. у підручнику з геометрії мало приділено уваги вивчення теми «Симетрія», у своїй учні часто запитують: навіщо вона потрібна, де зустрічається, навіщо її взагалі вивчають.
Адже симетрія зустрічається в природі, і в науці, і в мистецтві - у всьому виявляється єдність і протиборство симетрії.
Симетрія, властива різним явищам, що лежать в основі всіх речей, вона описує багато явищ життя та багатьох наук
В результаті роботи перед собою ми порушили питання:
Навіщо треба знати симетрію, де у навколишньому світі вона зустрічається?
Ми поставили собі за мету:
сформувати уявлень про симетрію , через систематизацію знань про симетрію, і навіть через аналіз явищ природи, людської діяльності.
Для розкриття теми нашої дослідницької роботи було поставлено такі завдання:
Навчитися розпізнавати симетричні постаті серед інших.
Познайомитися з використанням симетрії у природі, побуті, мистецтві, техніці.
Продемонструвати різноманітне застосування математики у реальному житті.
Усвідомити ступінь свого інтересу до предмета та оцінити можливості оволодіння ним з погляду подальшої перспективи (показати можливості застосування здобутих знань у своїй майбутній професії художника, архітектора, біолога, інженера-будівельника).
Для написання роботи мною були використані різні методи:
вивчення та аналіз наукової літератури;
метод індуктивного узагальнення, конкретизації;
Використання комп'ютерного інвентарю.
Глава 1. Перші ставлення до симетрії
У цьому розділі нами описані перші уявлення про симетрію, історичні відомості на цю тему; наведено деякі приклади симетричних фігур; розглянуто приклади дослідницького характеру на тему: «Симетрія».
Історичний розвиток та осмислення поняття симетрії
У процесі історичного розвитку та осмислення симетрії особливий етап симетрії як міри краси та гармонії пов'язані з роботою видатного математика Германа Вейля «Симетрія» (1952). Г. Вейль під симетрією розумів незмірність (інваріантність) будь-якого об'єкта при перетвореннях: предмет є симетричним у тому випадку, коли його піддати якійсь операції, після якої він буде виглядати так само, як і до перетворення.
Грецьке слово «симетрія» означає «пропорційність», «пропорційність», «однаковість у розташуванні частин». Однак часто під словом «симетрія» розуміють ширше поняття: регулярність зміни будь-яких явищ (порів року, дня і ночі тощо), врівноваженість лівого та правого, рівноправність природних явищ. Фактично ми маємо справу з симетрією скрізь, де спостерігається якась упорядкованість. У психології та моралі широко використовувалося поняття симетрії. Так, великий Аристотель вважав, що симетрія має сенс певної середньої міри, якої має прагнути у діях доброчесної людина. Римський лікар Гален (2в. н.е.) під симетрією розумів стан духу, однаково віддалений від обох крайнощів, наприклад від горя та радості, апатії та збудження. Симетрія, яка розуміється як спокій, врівноваженість, протистоїть хаосу та безладу. Про це говорить гравюра Маріуса Ешера «Порядок і Хаос» (рис. 196), де, як писав сам художник, «зірковий додекаедр, символ краси та порядку, оточений прозорою сферою. У ній відображена безглузда колекція марних речей».
Математичне уявлення про симетрію
Уявлення про симетрії, викладені вище, мають загальний характері й у математики є точними і строгими.
Визначення 1. Симетрія – це пропорційність, однаковість у розташуванні частин чогось по протилежним сторонам від точки, прямої чи площині.
Математичне суворе визначення симетрії сформувалося порівняно недавно – в 19 ст, коли було введено поняття дзеркальної та поворотної симетрії.
Розетки, сніжинки – це симетричні та дуже гарні фігури.
У планіметрії існує осьова (симетрія щодо прямої), центральна симетрії (симетрія щодо точки), а також поворотна, дзеркальна, переносна.
Визначення 2. Дві точки A та A 1 називаються симетричними щодо прямої аякщо ця пряма проходить через середину відрізка АА 1 і перпендикулярна до нього.
Кожна точка пряма а
Визначення 2 . Фігура називається симетричною щодо прямої аякщо для кожної точки фігури симетрична їй точка щодо прямої атакож належить цій фігурі. Пряма аназивається віссю симетріїфігури. Кажуть, фігура має осьовий симетрією. Фігури, які мають вісь симетрії: прямокутник, ромб, квадрат, рівносторонній трикутник, рівнобедрений трикутник, коло і т.д.
Про 
розподіл 3.Дві точки А та А 1 називаються симетричними щодо точки Оякщо О - середина відрізка АА 1 . Крапка Провважається симетричною самої себе.
Визначення 4.Фігура називається симетричною щодо точки Оякщо для кожної точки фігури симетрична їй точка щодо точки Протакож належить цій фігурі. Крапка Про, називається центром симетрії фігури. Кажуть, фігура має центральною симетрією. Приклади фігур, які мають центральну симетрію: коло, паралелограм, трикутник і т.д.
Математика вивчає чимало фігур, які мають і осьову, і центральну симетрію (коло, квадрат та ін.), тільки осьову симетрію (наприклад, рівнобедрений трикутник), лише центральну симетрію (наприклад, паралелограм загального виду).
Щоб розібратися в цій темі, ми зробили ряд дослідницьких завдань.
Дослідницькі завдання.
Завдання 1.На прямий АВзнайдіть точку, сума відстаней від якої до двох даних точок Мі N була б найменшою.
Обговорення.1 випадок.
Нехай Мі N
лежать по різні боки від , найкоротша відстань між ними є 
отже, шукана точка Х лежить на перетині і .
У 
якась інша точка 
прямий АВне володіє цією властивістю, так як 
.
2 випадок . Мі N лежать по один бік Будуємо М 1 симетричну Мщодо , після чого завдання зводиться до випадку 1. якщо
То шукана точка Х є точка перетину прямих МNі AB.
Завдання 2.Дані прямі АВі крапки Мі N. Знайдіть на таку точку, щоб різниця (за модулем її відстані від точок Мі N була найбільшою.
Про 
бродіння.1 випадок.
Крапки Мі N
лежать по одну сторону від прямої АВ (і притому на різних відстанях від неї. Тоді точка Х прямої АВ, для якої різниця відстаней від точок Мі N
найбільша є точка перетину прямої АВ з продовженням відрізка MN. Тоді 
будь-яка інша точка Х 1 прямий АВ не має цієї властивості, так як 
(наслідок аксіоми трикутника). Якщо Мі N
знаходиться на однаковій відстані від , Завдання не має рішення.
2
випадок.
Крапки Мі N
лежать по різні боки від . Тоді шукана точка 
, де 
.
Якщо точки Мі N знаходяться по різні сторони від та на однаковій від неї відстані, то завдання не має рішень.
Завдання 3. Дослідити чи мають центр симетрії: 1) відрізок; 2) промінь; 3) Квадрат.
Обговорення. 1) так; 2) ні; 3 так
Завдання 4.Дослідити які з таких точок латинського алфавіту мають центр симетрії: А, Про, M, Х.
Обговорення. О і Х
Обговорення. 1) дві; 2) «нескінченна безліч»: будь-яка пряма, перпендикулярна до даної, а також сама пряма; 3) одну.
Завдання 6.Дослідити якісь з наступних літер мають вісь симетрії: А, Б, г, Е, Про в алфавіті.
Обговорення.А, Е, О
Висновок: Дані приклади нам показують, що навіть точки, що стоять в алфавіті, мають симетричне положення. Вісь симетрії мають різні геометричні фігури.
Симетрія давньоруського орнаменту
Д 
ля російського орнаменту характерні як рослинні та геометричні форми, так і зображення птахів, звірів та фантастичних тварин. Особливо яскраво російський орнамент виражений у різьбленні по дереву та вишивці. Найчастіше використовувалися звані плетінки – переплетення стрічок, ременів, стебел цветов. У 17 ст. зодчий Степан Іванов створив свій знаменитий орнамент «Павиче око».
На думку академіка Б. А. Рибакова, відомого археолога та історика зі світовим ім'ям, в основу давньоруського орнаменту увійшли різноманітні універсальні уявлення про світ. Свідомість давнього слов'янина було зумовлено міфологічними сприйняттями дійсності. Усе це відбивалося у мотивах, притаманних російського орнаменту.
Мотив плетінки, характерний для русальських браслетів, який Б. А. Рибаков трактували як знак води та царства підземного владики Переплута.
Мотив стародавньої богині Мокошіяк специфічного втілення ставлення до Великої Праматері, спільного всім народів на певної стадії історичного існування. Мокоша (Макоша) – єдиний жіночий образ у давньоруській міфології. Її ім'я наводить на думку про мокротиння, вологу, воду.
Мотив Мокоша опікувалася всім жіночим заняттям, особливо прядіння, і шанували її переважно жінки.
дерево життя.
До традиційних візерунків протягом століть використовувалися в російському декоративно-прикладному мистецтві, відноситься візерунок, що зображував дерево життя з симетрично розташованими на ньому або біля нього птахами.
Водна стихія представлялася рядами точок і рис, що відтворюють дощові краплі, а також зигзагоподібними лініями, що служить прикладом переносної симетрії.
Земля була представлена прямокутником, розділеним діагоналями на чотири частини з малюнком, що повторюються в них. Для такої конфігурації характерна осьова симетрія разом із центральної. Ці види симетрії переважають у зображенні рослинного світу. 
У російському орнаменті з давніх часів склалася особлива система розташування символів, що представляють рух Сонця навколо Землі. Зустрічається кілька типів сонячних знаків, їм характерна поворотна симетрія. Найбільш поширене коло, поділене радіусами на різні сектори («Колесо Юпітера»), а також коло з хрестом усередині.
Висновок: Проаналізувавши літературу з цього питання дійшли висновку, що у давньоруському орнаменті часто зустрічаються симетричні символи. У традиційних національних прикрасах та предметах побуту можна зустріти всі види симетрії на площині: центральну, осьову, поворотну, переносну.
1.4. Симетрія крізь століття
У своїх роздумах над картиною світу людина з давніх-давен активно використовувала ідею симетрії. За переказами, термін «симетрія» вигадав скульптор Піфагор Регійський, який жив у м. Регул. Відхилення від симетрії визначив терміном «асиметрія». Стародавні греки вважали, що Всесвіт симетричний просто тому, що він прекрасний. Вважаючи сферу найбільш симетричною та досконалою формою, вони робили висновок про сферичність Землі та її рухи по сфері навколо якогось «центрального вогню», де рухалися також 6 відомих тоді планет разом із місяцем, Сонцем, зірками.
Представники першої наукової школи історії людства, послідовники Піфагора Самооського, намагалися пов'язати симетрію з числом.
Широко використовуючи ідею гармонії і симетрії, вчені давнини любили звертатися як до сферичним формам, до правильним багатогранникам, для побудови яких вони використовували «золоте ставлення». У правильних багатогранників грані – правильні багатокутники одного виду, а кути між гранями дорівнюють. Стародавні греки встановили разючий факт: існує всього п'ять правильних опуклих багатогранників, назви яких пов'язані з числом граней - тетраедр, октаедр, ікосаедр, куб, додекаедр.
Розділ 2. Симетрія навколо нас
У цьому розділі описана теорія у якій вказується різні уявлення симетрії у природі, у цьому розділі ми доводимо, що будівлі, створені людиною також мають симетричні постаті.
2.1. Роль симетрії у пізнанні природи
Симетрія кристалів є наслідком їхньої внутрішньої будови: їх атоми та молекули мають упорядковане взаємне розташування, утворюючи симетричну решітку з атомів – так звану кристалічну решітку.
Відсутні елементи симетрії визначив академік Аксель Вільгельмович Гадолін (1828-1892). Відомий професор мінералогії з німецького міста Марбурга Йоганн Гессель у 1830р. Опублікував свою працю про симетрію кристалів. Його праця з деяких причин залишилася непоміченою. Але 1897г. Роботу Гесселя перевидали, і з того часу його ім'я увійшло в історію науки.
І 
так, симетрію кристалів навчилися вивчати та порівнювати. Існують 9 елементів симетрії і лише 32 різних набори елементів симетрії – груп симетрії, які визначають зовнішню форму кристалів. Але якщо кількість елементів симетрії кристалів, звичайно, то звичайно число їх наборів - комбінації, що описують симетрію зовнішньої форми. Звідси випливає, що симетрія – суворий і всеосяжний закон, який керує царством кристалів. Вона задає форму кристала, число його граней і ребер, вона ж диктує його внутрішню будову.
Симетрію можна виявити у мешканців моря, наприклад у морської зірки, морського їжака та деяких медуз.
Я 
різко вираженою симетрією володіють листя, гілки, квіти та плоди рослин. Для деяких із них характерна лише дзеркальна симетрія, або лише поворотна симетрія, що ковзає.
Цікаво, що серед рослин одного виду існують такі, у яких трапляється як ліва структура листя, так і права.
Жива природа характеризується як відомими видами симетрії. Так, вигнуте стебло рослини, закручена форма молюска не менш симетрична, ніж кристал. Але це інша симетрія – криволінійна, яка була виявлена у 1926р.
На 1960г. Академік А.В. Шубніков ввів у розгляд симетрію подоби. Подібними фігурами вважаються однієї й тієї форми. Симетрія подібності складається із перенесення (повороту) фігури з одночасним зменшенням чи збільшенням її розмірів.
Симетрія в архітектурних спорудах
Симетрія панує у природі, а й у творчості людини. Чудові зразки симетрії демонструють твори архітектури. Цікавими є давньоруські споруди, зокрема дерев'яні церкви. Стрункі та виразні, рубані вісімком, тобто. з симетричними восьмигранними наметами, вони якнайкраще відповідали поняттю краси в середньовічній Русі.
Прикладом може бути храм Василя Блаженного на Червоній площі Москві. Храм складається з десяти різних храмів, кожен з яких суворо симетричний, але в цілому він не має ні дзеркальної, ні поворотної симетрії.
М 
Можна навести багато прикладів використання симетрії та асиметрії в скульптурі. Наприклад, скульптура пелопонеського майстра зі школи Піфагора «Дельфійський візник», яка зображує переможця на змаганнях кінних колісниць. Фігура юнака в довгому хітоні загалом симетрична, але легкий поворот торса та голови порушує дзеркальну симетрію, що породжує ілюзію руху, і статуя здається живою.
Луї Пастер вважав, що саме асиметрія відрізняє живе від неживого, вважаючи, що симетрія – вартовий спокою, а асиметрія – двигун життя. Приклад того, що парадокс симетрії служить не тільки для передачі руху, але й для посилення враження, - це зображення вази грецької з печери Камарес на острові Крит.
Висновок
Симетрія – це спільне, властиве різним явищам, лежаче основу всіх речей, а асиметрія висловлює деякі індивідуальні особливості речей і явищ. І в природі, і в науці, і в мистецтві – у всьому виявляється єдність та протиборство симетрії та асиметрії. Світ існує завдяки єдності цих двох протилежностей.
Проаналізувавши роботу, дійшли висновку, що симетрія часто зустрічається у мистецтві, архітектурі, техніці, побуті. Так, фасади багатьох будівель мають осьову симетрію. Найчастіше симетричні щодо осі чи центру візерунки на килимах, тканинах, кімнатних шпалерах. Симетричні багато деталей механізмів, наприклад зубчасті колеса.
В результаті реалізації проекту:
розширили знання про симетрію;
дізналися, які явища з життя та
деяких наук описує симетрію;
нові практичні прийоми: робота з навчальною, науково-пізнавальною літературою;
узагальнили поняття, уявлення, знання, на отримання яких націлений результат проекту: розглянули, де в житті зустрічається симетрія
бібліографічний список
Афанасьєв А.Н, Міфологія Стародавньої Русі. - М.: Ексмо, 2006.
Вейль Г. Сіметрія. - Вид. 2-ге, стер. - М.: Единторіал УРСС, 2003.
Гнєденго Б.В. Нариси з історії математики у Росії. - 2-ге вид., Випр. та доповн. - М.: КомКнига, 2005.
Образотворчі мотиви у російській народній вишивці. Музей народного мистецтва. - М.: Радянська Росія,1990.
Клімова Н. Т. Народний орнамент у композиції художніх виробів.
До поняття симетрії ми звикаємо з дитинства. Ми знаємо, що симетричний метелик: у нього однакові праве і ліве крильця; симетричне колесо, сектори якого однакові; симетричні візерунки орнаменти, зірочки сніжинок.
Проблемі симетрії присвячена воістину неосяжна література. Від підручників та наукових монографій до творів, що звертають увагу не так на креслення та формули, як на художні образи.
Сам термін "симетрія" по-грецьки означає "пропорційність", яку давні філософи розуміли як окремий випадок гармонії - узгодження частин у рамках цілого. Багато народів з давніх часів володіли уявленням про симетрію в широкому сенсі - як еквівалент врівноваженості та гармонії.
Симетрія є однією з найбільш фундаментальних та однією з найбільш загальних закономірностей світобудови: неживої, живої природи та суспільства. З нею ми зустрічаємося всюди. Поняття симетрії проходить через усю багатовікову історію людської творчості. Воно зустрічається вже біля джерел людського знання; його широко використовують усі без винятку напрямки сучасної науки. Дійсно, симетричні об'єкти оточують нас буквально з усіх боків, ми маємо справу з симетрією скрізь, де спостерігається якась упорядкованість. Виходить, що симетрія – це врівноваженість, впорядкованість, краса, досконалість. Вона різноманітна, всюдисуща. Вона створює красу та гармонію. Симетрія буквально пронизує весь світ, що оточує нас, саме тому обрана мною тема завжди буде актуальною.
Симетрія виражає збереження чогось за якихось змін або збереження чогось, незважаючи на зміну. Симетрія передбачає незмінність як самого об'єкта, а й будь-яких його властивостей стосовно перетворенням, виконаним над об'єктом. Незмінність тих чи інших об'єктів може спостерігатися по відношенню до різноманітних операцій – до поворотів, переносів, взаємної заміни частин, відбитків тощо. буд. У зв'язку з цим виділяють різні види симетрії. Розглянемо всі види докладніше.
ОСІВА СИМЕТРІЯ.
Симетрія щодо прямої називається осьовою симетрією (дзеркальним відображенням щодо прямої).
Якщо точка А лежить на осі l, вона симетрична самої собі, т. е. А збігається з А1.
Зокрема, якщо при перетворенні симетрії щодо осі l фігура F переходить сама в себе, то вона називається симетричною щодо осі l, а вісь l називається її віссю симетрії.
ЦЕНТРАЛЬНА СИМЕТРІЯ.
Фігура називається центрально-симетричною, якщо існує точка, щодо якої кожна точка фігури симетрична деякій точці тієї ж фігури. А саме: рух, який змінює напрямки на протилежні, є центральною симетрією.
Точка О називається центром симетрії і є нерухомою. Інших нерухомих точок це перетворення немає. Прикладами фігур, що мають центр симетрії, є паралелограм, коло і т.д.
Знайомі поняття повороту та паралельного перенесення використовуються щодо так званої трансляційної симетрії. Розглянемо трансляційну симетрію докладніше.
1. ПОВОРОТ
Перетворення, при якому кожна точка фігури А (тіла) повертається на один і той же кут α навколо заданого центру О, називається обертанням або поворотом площини. Точка О називається центром обертання, а кут - кутом обертання. Точка є нерухомою точкою цього перетворення.
Цікавою є поворотна симетрія кругового циліндра. Він має безліч поворотних осей 2-го порядку і одну поворотну вісь нескінченно високого порядку.
2. ПАРАЛЕЛЬНИЙ ПЕРЕНОС
Перетворення, при якому кожна точка фігури (тіла) переміщається в тому самому напрямку на одну і ту ж відстань, називається паралельним переносом.
Щоб задати перетворення паралельного перенесення, достатньо задати вектор а.
3. СКОЛЬЧА СИМЕТРІЯ
Ковзною симетрією називається таке перетворення, при якому послідовно виконуються осьова симетрія паралельне перенесення. Ковзна симетрія - ізометрія евклідової площини. Ковзною симетрією називають композицію симетрії щодо деякої прямої l і перенесення на вектор, паралельний l (цей вектор може бути нульовим).
Ковзну симетрію можна представити у вигляді композиції 3 осьових симетрій (теорема Шаля).
ДЗЕРКАЛЬНА СИМЕТРІЯ
Що може бути більше схоже на мою руку чи моє вухо, ніж їхнє власне відображення в дзеркалі? І все ж таки руку, яку я бачу в дзеркалі, не можна поставити на місце справжньої руки.
Іммануїл Кант.
Якщо перетворення симетрії щодо площини переводить фігуру (тіло) у себе, то фігура називається симетричною щодо площини, а ця площина – площиною симетрії цієї фігури. Таку симетрію називають дзеркальною. Як показує сама назва, дзеркальна симетрія пов'язує певний предмет та його відображення у плоскому дзеркалі. Два симетричні тіла не можуть бути «вкладені один в одного», тому що в порівнянні з самим об'єктом його зазеркальний двійник виявляється, вивернутим вздовж напрямку, перпендикулярного площині дзеркала.
Симетричні фігури при всій їх схожості істотно відрізняються одна від одної. Двійник, що спостерігається в дзеркалі, не є точною копією самого об'єкта. Дзеркало не просто копіює об'єкт, а змінює місцями (представляє) передні та задні по відношенню до дзеркала частини об'єкта. Наприклад, якщо у вас родимка знаходиться на правій щоці, то у дзеркального двійника на лівій. Піднесіть до дзеркала книгу, - і ви побачите, що літери ніби вивернуті навиворіт. У дзеркалі все переставлено праворуч наліво.
Дзеркально рівними тілами називаються тіла, якщо при належному зміщенні вони можуть утворити дві половини дзеркально симетричного тіла.
2. 2 Симетрія у природі
Фігура має симетрію, якщо існує рух (перетворення не тотожне), що переводить її в себе. Наприклад, фігура має поворотну симетрію, якщо вона переводиться в себе деяким поворотом. Але в природі за допомогою математики краса не створюється, як у техніці та мистецтві, а лише фіксується, виражається. Вона не тільки тішить око і надихає поетів усіх часів і народів, а дозволяє живим організмам краще пристосуватися до довкілля і просто вижити.
В основі будови будь-якої живої форми лежить принцип симетрії. З прямого спостереження ми можемо вивести закони геометрії та відчути їхню незрівнянну досконалість. Цей порядок є закономірною необхідністю, оскільки ніщо в природі не є чисто декоративним цілям, допомагає нам знайти загальну гармонію, на якій ґрунтується все світобудова.
Ми бачимо, що природа проектує будь-який живий організм згідно з певною геометричною схемою, причому закони світобудови мають чітке обґрунтування.
Принципи симетрії є основою теорії відносності, квантової механіки, фізики твердого тіла, атомної і ядерної фізики, фізики елементарних частинок. Ці принципи найяскравіше виражаються у властивостях інваріантності законів природи. Мова при цьому йде не лише про фізичні закони, а й інші, наприклад, біологічні.
Говорячи про роль симетрії у процесі наукового пізнання, слід особливо виділити застосування методу аналогій. За словами французького математика Д. Пойа, "не існує, можливо, відкриттів ні в елементарній, ні у вищій математиці, ні, мабуть, у будь-якій іншій галузі, які могли бути зроблені без аналогій". загальні закономірності, які виявляються однаковим чином різних рівнях ієрархії.
Отже, у сучасному розумінні симетрія – це загальнонаукова філософська категорія, що характеризує структуру організації систем. Найважливішим властивістю симетрії є збереження (інваріантність) тих чи інших ознак (геометричних, фізичних, біологічних і т. д.) стосовно цілком певних перетворень. Математичним апаратом вивчення симетрії сьогодні є теорія груп та теорія інваріантів.
Симетрія у світі рослин
Специфіка будови рослин визначається особливостями довкілля, до якого вони пристосовуються. Будь-яке дерево має основу і вершину, "верх" і "низ", що виконують різні функції. Значимість відмінності верхньої та нижньої частин, а також напрямок сили тяжіння визначають вертикальну орієнтацію поворотної осі "деревного конуса" та площин симетрії. Дерево за допомогою кореневої системи поглинає вологу та поживні речовини з ґрунту, тобто знизу, а решта життєво важливих функцій виконуються кроною, тобто нагорі. У той самий час напрями у площині, перпендикулярної до вертикалі, для дерева практично невиразні; по всіх цих напрямках до дерева однаково надходить повітря, світло, волога.
Дерево має вертикальну поворотну вісь (вісь конуса) та вертикальні площини симетрії.
Коли ми хочемо намалювати лист рослини або метелика, то нам доводиться враховувати їхню осьову симетрію. Середня жилка для аркуша служить віссю симетрії. Яскраво виражену симетрію мають листя, гілки, квіти, плоди. Для листя характерна дзеркальна симетрія. Ця ж симетрія зустрічається і у кольорів, однак у них дзеркальна симетрія частіше виступає у поєднанні з поворотною симетрією. Непоодинокі випадки і переносний симетрії (гілочки акації, горобини).
У різноманітному світі кольорів зустрічаються поворотні осі різних порядків. Однак найпоширеніша поворотна симетрія 5-го порядку. Ця симетрія зустрічається у багатьох польових квітів (дзвін, незабудка, герань, гвоздика, звіробій, перстач), у квітів плодових дерев (вишня, яблуня, груша, мандарин та ін.), у квітів плодово-ягідних рослин (суниця, малина, калина) , черемха, горобина, шипшина, глід) та ін.
Цей факт академік М. Бєлов пояснює тим, що вісь 5-го порядку - своєрідний інструмент боротьби за існування, "страховка проти скам'янення, кристалізації, першим кроком якої було б їх упіймання ґратами". Дійсно, живий організм не має кристалічної будови в тому сенсі, що навіть окремі його органи не мають просторових ґрат. Однак упорядковані структури у ній представлені дуже широко.
У своїй книзі «Цей правий, лівий світ» М. Гарднер пише: «На Землі життя зародилося у сферично-симетричних формах, а потім почало розвиватися за двома головними лініями: утворився світ рослин, що мають симетрію конуса, і світ тварин з білатеральною симетрією».
У природі існують тіла, що мають гвинтову симетрію, тобто поєднання зі своїм початковим положенням після повороту на кут навколо осі, додатковим зрушенням уздовж тієї ж осі.
Якщо раціональне число, то поворотна вісь виявляється також віссю перенесення.
Листя на стеблі розташоване не по прямій, а оточує гілку по спіралі. Сума всіх попередніх кроків спіралі, починаючи з вершини, дорівнює величині наступного кроку А + В = С, + С = Д і т. д.
Гвинтова симетрія спостерігається у розташуванні листя на стеблах більшості рослин. Розташовуючись гвинтом по стеблі, листя ніби розкидається на всі боки і не затуляє один одного від світла, вкрай необхідного для життя рослин. Це цікаве, ботанічне явище зветься філлотаксису (буквально «влаштування листа»).
Іншим проявом філлотаксису виявляється пристрій суцвіття соняшнику або луски ялинової шишки, в якій лусочки розташовуються у вигляді спіралей та гвинтових ліній. Таке розташування особливо чітко видно у ананаса, що має більш менш шестикутні осередки, які утворюють ряди, що йдуть у різних напрямках.
Симетрія у світі тварин
Значення форми симетрії для тварин легко зрозуміти, якщо поставити її у зв'язок з способом життя, екологічними умовами. Під симетрією у тварин розуміють відповідність у розмірах, формі та обрисах, а також відносне розташування частин тіла, що знаходяться на протилежних сторонах лінії, що розділяє.
Поворотна симетрія 5-го порядку трапляється у тваринному світі. Це симетрія, коли об'єкт поєднується сам із собою при повороті навколо поворотної осі 5 раз. Прикладами можуть бути морська зірка і панцир морського їжака. Вся шкіра морських зірок ніби інкрустована дрібними пластинками з вуглекислого кальцію, від деяких пластин відходять голки, частина яких рухлива. Звичайна морська зірка має 5 площин симетрії і 1 віссю обертання 5-го порядку (це найвища симетрія серед тварин). Її предки, мабуть, мали нижчу симетрію. Про це свідчить, зокрема, будова личинок зірки: вони, як і більшість живих істот, у тому числі людина, мають лише одну площину симетрії. Морські зірки немає горизонтальної площині симетрії: вони мають «верх» і «низ». Морські їжаки схожі на живі подушечки для шпильок; кулясте тіло їх несе довгі та рухливі голки. У цих тварин вапняні платівки шкіри злилися та утворили сферичну раковину панцир. У центрі нижньої поверхні є рот. Амбулакральні ніжки (водосудинна система) зібрані в 5 смуг на поверхні раковини.
Однак, на відміну від світу рослин, поворотна симетрія в тваринному світі спостерігається рідко.
Для комах, риб, яєць, тварин характерна несумісна з поворотною симетрією відмінність між напрямками «вперед» та «назад».
Напрямок руху є принципово виділеним напрямком, щодо якого немає симетрії у будь-якої комахи, будь-якої птиці чи риби, будь-якої тварини. У цьому напрямку тварина прямує за їжею, у цьому ж напрямі вона рятується від переслідувачів.
Окрім напрямку руху симетрію живих істот визначає ще один напрямок – напрямок сили тяжіння. Обидва напрями суттєві; вони задають площину симетрії тваринного істоти.
Білатеральна (дзеркальна) симетрія – характерна симетрія всіх представників тваринного світу. Ця симетрія добре видно у метелика. Симетрія лівого та правого крила проявляються тут із майже математичною строгістю.
Можна сказати, що кожна тварина (а також комаха, риба, птах) складається з двох енантіоморфів - правої та лівої половин. Енантіоморф є також парні деталі, одна з яких потрапляє в праву, а інша в ліву половину тіла тварини. Так, енантіоморфами є праве та ліве вухо, праве та ліве око, праве та ліве ріг тощо.
Спрощення умов життя може призвести до порушення двосторонньої симетрії, і тварини із двосторонньо-симетричних стають радіально-симетричними. Це стосується голкошкірих (морські зірки, морські їжаки, морські лілії). Всі морські тварини мають радіальну симетрію, при якій частини тіла відходять по радіусах від центральної осі, подібно до спиць колеса. Ступінь активності тварин корелює зі своїми типом симетрії. Радіально симетричні голкошкірі зазвичай мало рухливі, переміщаються повільно або прикріплені до морського дна. Тіло морської зірки складається з центрального диска і 5-20 або більшої кількості променів, що радіально відходять від нього. Математичною мовою цю симетрію називають поворотною симетрією.
Зазначимо, нарешті, дзеркальну симетрію людського тіла (йдеться про зовнішній вигляд і будову скелета). Ця симетрія завжди була і є основним джерелом нашого естетичного замилування добре складеним людським тілом. Не станемо поки що розбиратися, чи існує насправді абсолютно симетрична людина. У кожного, зрозуміло, виявиться родимка, пасмо волосся або якась інша деталь, що порушує зовнішню симетрію. Ліве око ніколи не буває точно таким, як праве, та й куточки рота знаходяться на різній висоті, принаймні у більшості людей. І все-таки це лише дрібні невідповідності. Ніхто не засумнівається, що зовні людина побудована симетрично: лівій руці завжди відповідає права та обидві руки абсолютно однакові.
Кожному відомо, що схожість між нашими руками, вухами, очима та іншими частинами тіла така сама, як між предметом та його відображенням у дзеркалі. Саме питанням симетрії та дзеркального відображення тут і приділяється увага.
Багато художників звертали пильну увагу на симетрію і пропорції людського тіла, принаймні доти, доки ними керувало бажання у своїх творах якомога точніше дотримуватися природи.
У сучасних школах живопису як єдина міра найчастіше приймається розмір голови по вертикалі. З відомим припущенням можна вважати, що довжина тулуба перевищує розмір голови у вісім разів. Розміру голови пропорційна як довжина тулуба, а й розміри інших частин тіла. За цим принципом побудовані всі люди, тому ми, загалом, схожі один на одного. Проте наші пропорції узгоджуються лише приблизно, тому люди лише схожі, але з однакові. Принаймні всі ми симетричні! До того ж, деякі художники у своїх творах особливо підкреслюють цю симетрію.
Наша власна дзеркальна симетрія дуже зручна для нас, вона дозволяє нам рухатися прямолінійно та з однаковою легкістю повертатися праворуч та ліворуч. Така ж зручна дзеркальна симетрія для птахів, риб та інших істот, що активно рухаються.
Двостороння симетрія означає, що одна сторона тіла тварини є дзеркальним відображенням іншої сторони. Такий тип організації уражає більшості безхребетних, особливо кільчастих черв'яків і членистоногих – ракоподібних, павукоподібних, комах, метеликів; для хребетних – риб, птахів, ссавців. Вперше двостороння симетрія у плоских черв'яків, які мають передній і задній кінці тіла різняться між собою.
Розглянемо ще один тип симетрії, що зустрічається у тваринному світі. Це гвинтова чи спіральна симетрія. Гвинтова симетрія є симетрією щодо комбінації двох перетворень - повороту і перенесення вздовж осі повороту, тобто йде переміщення вздовж осі гвинта і навколо осі гвинта.
Прикладами природних гвинтів є: бивень нарвала (невеликого китоподібного, що у північних морях) – лівий гвинт; раковина равлика – правий гвинт; роги памирського барана - енантіоморфи (один ріг закручений по лівій, а інший по правій спіралі). Спіральна симетрія не буває ідеальною, наприклад раковина у молюсків звужується або розширюється на кінці. Хоча зовнішня спіральна симетрія у багатоклітинних тварин зустрічається рідко, натомість спіральну структуру мають багато важливих молекул, з яких побудовано живі організми – білки, дезоксирибонуклеїнові кислоти – ДНК.
Симетрія у неживій природі
Симетрія кристалів - властивість кристалів поєднуватися із собою у різних положеннях шляхом поворотів, відбитків, паралельних переносів чи частини чи комбінації цих операцій. Симетрія зовнішньої форми (огранювання) кристала визначається симетрією його атомної будови, яка обумовлює також і симетрію фізичних властивостей кристала.
Розглянемо уважно багатогранні форми кристалів. Насамперед видно, що кристали різних речовин відрізняються один від одного за своїми формами. Кам'яна сіль – це завжди кубики; гірський кришталь - завжди шестигранні призми, іноді з головками у вигляді тригранних або шестигранних пірамід; алмаз - найчастіше правильні восьмигранники (октаедри); лід – шестигранні призмочки, дуже схожі на гірський кришталь, а сніжинки – завжди шестипроменеві зірочки. Що впадає у вічі, коли дивишся на кристали? Насамперед, їхня симетрія.
Багато хто думає, що кристали - це красиві камені, що рідко зустрічаються. Вони бувають різних кольорів, зазвичай прозорі і, що найчудовіше, мають гарну правильну форму. Найчастіше кристали є багатогранниками, сторони (грані) їх ідеально плоскі, ребра строго прямі. Вони радують око чудовою грою світла в гранях, дивовижною правильністю будови.
Однак кристали – зовсім не музейна рідкість. Кристали оточують нас усюди. Тверді тіла, з яких ми будуємо будинки та верстати, речовини, які ми вживаємо у побуті, - майже всі вони відносяться до кристалів. Чому ж ми цього не бачимо? Справа в тому, що в природі рідко трапляються тіла у вигляді окремих одиночних кристалів (або, як кажуть, монокристалів). Найчастіше речовина зустрічається у вигляді кристалічних зернят, що міцно зчепилися, вже зовсім малого розміру - менше тисячної частки міліметра. Таку структуру можна побачити лише у мікроскоп.
Тіла, що складаються з кристалічних зерен, називаються дрібнокристалічними, або полікристалічними ("полі" - по-грецьки "багато").
Звичайно, до кристалів треба віднести і дрібнокристалічні тіла. Тоді виявиться, що майже всі тверді тіла, що оточують нас, - кристали. Пісок та граніт, мідь та залізо, фарби – все це кристали.
Є й винятки; скло та пластмаси не складаються з кристаликів. Такі тверді тіла називаються аморфними.
Вивчати кристали - це означає вивчати майже всі оточуючі нас тіла. Зрозуміло, наскільки це важливо.
Поодинокі кристали відразу ж дізнаються про правильність форм. Плоскі грані та прямі ребра є характерною властивістю кристала; правильність форми безперечно пов'язана з правильністю внутрішньої будови кристала. Якщо кристал у якомусь напрямі особливо витягнувся, отже, і будова кристала у цьому напрямі якесь особливе.
Є центр симетрії і в кубику кам'яної солі, і у восьмиграннику алмазу, і у зірочці сніжинки. А от у кристалі кварцу центру симетрії немає.
Найбільш точна симетрія здійснюється у світі кристалів, але і тут вона неідеальна: невидимі оком тріщини, подряпини завжди роблять рівні грані трохи відмінними один від одного.
Усі кристали симетричні. Це означає, що в кожному кристалічному багатограннику можна знайти площини симетрії, осі симетрії, центр симетрії або інші елементи симетрії так, щоб поєдналися один з одним однакові частини багатогранника.
Всі елементи симетрії повторюють однакові частини фігури, все надають їй симетричної краси і завершеності, але центр симетрії - найцікавіший. Від того, чи є в кристалі центр симетрії чи ні його, можуть залежати як форма, а й дуже багато фізичні властивості кристала.
Соти – справжній конструкторський шедевр. Вони складаються з низки шестигранних осередків. Це найщільніша упаковка, що дозволяє найвигідніше розмістити в комірці личинку і при максимально можливому обсязі найбільше економно використовувати будівельний матеріал-віск.
III Висновок
Симетрія пронизує буквально все навколо, захоплюючи, здавалося б, зовсім несподівані області та об'єкти Вона, виявляючись у різних об'єктах матеріального світу, безсумнівно, відображає найбільш загальні, найбільш фундаментальні його властивості. Принципи симетрії відіграють важливу роль у фізиці та математиці, хімії та біології, техніці та архітектурі, живописі та скульптурі, поезії та музиці.
Ми бачимо, що природа проектує будь-який живий організм згідно з певною геометричною схемою, причому закони світобудови мають чітке обґрунтування. Тому дослідження симетрії різноманітних природних об'єктів та зіставлення його результатів є зручним та надійним інструментом пізнання основних закономірностей існування матерії.
Закони природи, що керують невичерпною у своєму різноманітті картиною явищ, у свою чергу, підкоряються принципам симетрії. Існує безліч видів симетрії, як у рослинному, так і в тваринному світі, але при всьому різноманітті живих організмів принцип симетрії діє завжди, і цей факт ще раз підкреслює гармонійність нашого світу. Симетрія є основою речей і явищ, висловлюючи щось спільне, властиве різним об'єктам, тоді як асиметрія пов'язані з індивідуальним втіленням цього у конкретному об'єкті.
Отже, на площині маємо чотири види рухів, що переводять фігуру F у рівну фігуру F1:
1) паралельне перенесення;
2) осьова симетрія (відображення від прямої);
3) поворот навколо точки (Частковий випадок – центральна симетрія);
4) «ковзне» відображення.
У просторі до перерахованих вище видів симетрії додається дзеркальна.
Вважаю, що мети, поставленої в рефераті, досягнуто. При написанні реферату найбільшою складністю мені стали власні висновки. Думаю, що моя робота допоможе школярам розширити уявлення про симетрію. Сподіваюся, що мій реферат увійде до методичного фонду кабінету математики.
