Метод Гауса – це просто!Чому? Відомий німецький математик Йоган Карл Фрідріх Гаусс ще за життя отримав визнання найбільшого математика всіх часів, генія і навіть прізвисько «короля математики». А все геніальне, як відомо просто!До речі, на гроші потрапляють не лише лохи, а ще й генії – портрет Гауса красувався на купюрі в 10 дойчмарок (до введення євро), і Гаус досі загадково посміхається німцям зі звичайних поштових марок.

Метод Гауса простий тим, що для його освоєння ДОСИТЬ ЗНАНЬ П'ЯТИКЛАСНИКА. Необхідно вміти складати та множити!Невипадково метод послідовного виключення невідомих викладачі часто розглядають на шкільних математичних факультативах. Парадокс, але у студентів метод Гауса викликає найбільші складнощі. Нічого дивного – вся річ у методиці, і я постараюся в доступній формі розповісти про алгоритм методу.

Спочатку трохи систематизуємо знання про системи лінійних рівнянь. Система лінійних рівнянь може:

1) Мати єдине рішення.
2) Мати безліч рішень.
3) Не мати рішень (бути несумісний).

Метод Гауса – найбільш потужний та універсальний інструмент для знаходження рішення будь-якийсистеми лінійних рівнянь Як ми пам'ятаємо, правило Крамера та матричний методнепридатні у випадках, коли система має нескінченно багато рішень чи несовместна. А метод послідовного виключення невідомих в будь-якому випадкуприведе нас до відповіді! На цьому уроці ми знову розглянемо метод Гауса для випадку №1 (єдине рішення системи), під ситуації пунктів №2-3 відведено статтю. Зауважу, що сам алгоритм методу у всіх трьох випадках працює однаково.

Повернемося до найпростішої системи з уроку Як розв'язати систему лінійних рівнянь?
і вирішимо її методом Гауса.

На першому етапі слід записати розширену матрицю системи:
. За яким принципом записані коефіцієнти, гадаю, всім видно. Вертикальна характеристика всередині матриці не несе ніякого математичного сенсу - це просто накреслення для зручності оформлення.

Довідка :рекомендую запам'ятати термінилінійної алгебри. Матриця системи– це матриця, складена лише з коефіцієнтів при невідомих, у цьому прикладі матриця системы: . Розширена матриця системи– це та сама матриця системи плюс стовпець вільних членів, у разі: . Будь-яку з матриць можна для стислості називати просто матрицею.

Після того, як розширена матриця системи записана, з нею необхідно виконати деякі дії, які також називаються елементарними перетвореннями.

Існують такі елементарні перетворення:

1) Рядкиматриці можна, можливо переставлятимісцями. Наприклад, у матриці можна безболісно переставити перший і другий рядки:

2) Якщо в матриці є (або з'явилися) пропорційні (як окремий випадок – однакові) рядки, слід видалитиз матриці всі ці рядки крім одного. Розглянемо, наприклад, матрицю . У цій матриці останні три рядки пропорційні, тому достатньо залишити лише одну з них: .

3) Якщо в матриці в ході перетворень з'явився нульовий рядок, то його також слідує видалити. Малювати не буду, зрозуміло, нульовий рядок – це рядок, у якому одні нулі.

4) Рядок матриці можна помножити (розділити)на будь-яке число, відмінне від нуля. Розглянемо, наприклад, матрицю. Тут доцільно перший рядок розділити на –3, а другий рядок – помножити на 2: . Ця дія дуже корисна, оскільки спрощує подальші перетворення матриці.

5) Це перетворення викликає найбільші труднощі, але насправді нічого складного також немає. До рядка матриці можна додати інший рядок, помножений на число, відмінне від нуля. Розглянемо нашу матрицю з практичного приклада: . Спочатку я розпишу перетворення дуже докладно. Помножуємо перший рядок на -2: , і до другого рядка додаємо перший рядок помножений на –2: . Тепер перший рядок можна розділити «назад» на –2: . Як бачите, рядок, який ПРИДБА ЧИ – не змінилась. Завждизмінюється рядок, ДО ЯКОГО ДОДАТИ ЮТ.

Насправді так докладно, звісно, ​​не розписують, а пишуть коротше:

Ще раз: до другого рядка додали перший рядок, помножений на -2. Помножують рядок зазвичай усно або на чернетці, при цьому уявний хід розрахунків приблизно такий:

«Переписую матрицю та переписую перший рядок: »

«Спочатку перший стовпець. Внизу мені потрібно отримати нуль. Тому одиницю вгорі множу на –2: , і до другого рядка додаю перший: 2 + (–2) = 0. Записую результат у другий рядок: »

«Тепер другий стовпець. Угорі –1 множу на –2: . До другого рядка додаю перший: 1 + 2 = 3. Записую результат до другого рядка: »

«І третій стовпець. Угорі –5 множу на –2: . До другого рядка додаю перший: –7 + 10 = 3. Записую результат до другого рядка: »

Будь ласка, ретельно осмисліть цей приклад і розберіться в послідовному алгоритмі обчислень, якщо ви це зрозуміли, то метод Гауса практично «в кишені». Але, звісно, ​​над цим перетворенням ми ще попрацюємо.

Елементарні перетворення не змінюють рішення системи рівнянь

! УВАГА: розглянуті маніпуляції не можна використовуватиякщо Вам запропоновано завдання, де матриці дано «самі по собі». Наприклад, при «класичних» діях з матрицямищось переставляти всередині матриць в жодному разі не можна!

Повернемося до нашої системи. Вона практично розібрана по кісточках.

Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до східчастого вигляду:

(1) До другого рядка додали перший рядок, помножений на -2. І знову: чому перший рядок множимо саме на -2? Для того щоб внизу отримати нуль, а значить, позбавитися однієї змінної в другому рядку.

(2) Ділимо другий рядок на 3.

Ціль елементарних перетворень – привести матрицю до ступінчастого вигляду: . В оформленні завдання прямо так і відкреслюють простим олівцем «сходи», а також обводять кружальцями числа, які розташовуються на «сходах». Сам термін «ступінчастий вид» не цілком теоретичний, у науковій та навчальній літературі він часто називається трапецієподібний виглядабо трикутний вигляд.

В результаті елементарних перетворень отримано еквівалентнавихідна система рівнянь:

Тепер систему потрібно «розкрутити» у зворотному напрямку – знизу нагору, цей процес називається зворотним ходом методу Гауса.

У нижньому рівнянні ми вже готовий результат: .

Розглянемо перше рівняння системи та підставимо в нього вже відоме значення «гравець»:

Розглянемо найпоширенішу ситуацію, коли методом Гауса потрібно вирішити систему трьох лінійних рівнянь із трьома невідомими.

Приклад 1

Розв'язати методом Гауса систему рівнянь:

Запишемо розширену матрицю системи:

Зараз я одразу намалюю результат, до якого ми прийдемо під час рішення:

І повторюся, наша мета – за допомогою елементарних перетворень привести матрицю до східчастого вигляду. З чого розпочати дії?

Спочатку дивимося на ліве верхнє число:

Майже завжди тут має бути одиниця. Взагалі кажучи, влаштує і –1 (а іноді й інші числа), але якось традиційно склалося, що туди зазвичай поміщають одиницю. Як організувати одиницю? Дивимось на перший стовпець – готова одиниця у нас є! Перетворення перше: міняємо місцями перший і третій рядки:

Тепер перший рядок у нас залишиться незмінним до кінця рішення. Вже легше.

Одиниця у лівому верхньому кутку організована. Тепер потрібно отримати нулі на цих місцях:

Нулі отримуємо саме за допомогою «важкого» перетворення. Спочатку знаємося з другим рядком (2, -1, 3, 13). Що потрібно зробити, щоби на першій позиції отримати нуль? Потрібно до другого рядка додати перший рядок, помножений на –2. Подумки чи чернетці множимо перший рядок на –2: (–2, –4, 2, –18). І послідовно проводимо (знову ж таки подумки або на чернетці) додавання, до другого рядка додаємо перший рядок, вже помножений на –2:

Результат записуємо у другий рядок:

Аналогічно розуміємося з третім рядком (3, 2, -5, -1). Щоб отримати на першій позиції нуль, потрібно до третього рядка додати перший рядок, помножений на –3. Подумки чи чернетці множимо перший рядок на –3: (–3, –6, 3, –27). І до третього рядка додаємо перший рядок, помножений на –3:

Результат записуємо у третій рядок:

Насправді ці дії зазвичай виконуються усно і записуються за один крок:

Не треба рахувати все відразу і одночасно. Порядок обчислень та «вписування» результатів послідовнийі зазвичай такий: спочатку переписуємо перший рядок, і пихкаємо собі потихеньку - НАСЛІДНО і Уважно:


А уявний хід самих розрахунків я вже розглянув вище.

У цьому прикладі це зробити легко, другий рядок ділимо на –5 (оскільки там усі числа діляться на 5 без залишку). Заодно ділимо третій рядок на –2, адже що менше числа, то простіше рішення:

На заключному етапі елементарних перетворень потрібно отримати ще один нуль:

Для цього до третього рядка додаємо другий рядок, помножений на –2:


Спробуйте розібрати цю дію самостійно - помножте другий рядок на -2 і проведіть додавання.

Остання виконана дія – зачіска результату, ділимо третій рядок на 3.

В результаті елементарних перетворень отримано еквівалентну вихідну систему лінійних рівнянь:

Круто.

Тепер у дію вступає зворотний перебіг методу Гаусса. Рівняння розкручуються знизу вгору.

У третьому рівнянні ми вже готовий результат:

Дивимося друге рівняння: . Значення «зет» вже відоме, таким чином:

І, нарешті, перше рівняння: . «Ігрек» і «Зет» відомі, справа за малим:

Відповідь:

Як вже неодноразово зазначалося, для будь-якої системи рівнянь можна і потрібно зробити перевірку знайденого рішення, благо це нескладно і швидко.

Приклад 2

Це приклад для самостійного рішення, зразок чистового оформлення та відповідь наприкінці уроку.

Слід зазначити, що ваш хід рішенняможе не збігтися з моїм ходом рішення, і це – особливість методу Гауса. Але відповіді обов'язково повинні вийти однаковими!

Приклад 3

Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Гауса

Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

Дивимося на ліву верхню сходинку. Там у нас має бути одиниця. Проблема полягає в тому, що у першому стовпці одиниць немає взагалі, тому перестановкою рядків нічого не вирішити. У разі одиницю треба організувати з допомогою елементарного перетворення. Зазвичай це можна зробити кількома способами. Я вчинив так:
(1) До першого рядка додаємо другий рядок, помножений на –1. Тобто подумки помножили другий рядок на –1 і виконали додавання першого і другого рядка, при цьому другий рядок у нас не змінився.

Тепер ліворуч угорі «мінус один», що нас цілком влаштує. Хто хоче отримати +1, може виконати додатковий рух тіла: помножити перший рядок на –1 (змінити у неї знак).

(2) До другого рядка додали перший рядок, помножений на 5. До третього рядка додали перший рядок, помножений на 3.

(3) Перший рядок помножили на -1, в принципі це для краси. У третього рядка також змінили знак і переставили її на друге місце, таким чином, на другому сходинці у нас з'явилася потрібна одиниця.

(4) До третього рядка додали другий рядок, помножений на 2.

(5) Третій рядок поділили на 3.

Поганою ознакою, яка свідчить про помилку в обчисленнях (рідше – про друкарську помилку), є «поганий» нижній рядок. Тобто, якби в нас унизу вийшло щось на зразок, і, відповідно, , то з великою часткою ймовірності можна стверджувати, що припущена помилка під час елементарних перетворень.

Заряджаємо зворотний хід, в оформленні прикладів часто не переписують саму систему, а рівняння "беруть прямо з наведеної матриці". Зворотний хід, нагадую, працює, знизу нагору. Та тут подарунок вийшов:

Відповідь: .

Приклад 4

Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Гауса

Це приклад для самостійного рішення, він дещо складніший. Нічого страшного, якщо хтось заплутається. Повне рішення та зразок оформлення наприкінці уроку. Ваше рішення може відрізнятись від мого рішення.

В останній частині розглянемо деякі особливості алгоритму Гаусса.
Перша особливість полягає в тому, що іноді в рівняннях системи відсутні деякі змінні, наприклад:

Як правильно записати розширену матрицю системи? Про цей момент я вже розповідав на уроці Правило Крамер. Матричний метод. У розширеній матриці системи на місці відсутніх змінних ставимо нулі:

До речі, це досить легкий приклад, оскільки в першому стовпці вже є один нуль, і виконати менше елементарних перетворень.

Друга особливість полягає ось у чому. У всіх розглянутих прикладах на «сходинки» ми поміщали або -1 або +1. Чи можуть там бути інші цифри? У деяких випадках можуть. Розглянемо систему: .

Тут на лівій верхній сходинці у нас двійка. Але помічаємо той факт, що всі числа в першому стовпці поділяються на 2 без залишку - й інша двійка та шістка. І двійка зліва нагорі нас влаштує! На першому кроці потрібно виконати такі перетворення: до другого рядка додати перший рядок, помножений на -1; до третього рядка додати перший рядок, помножений на -3. Таким чином, ми отримаємо потрібні нулі у першому стовпці.

Або ще такий умовний приклад: . Тут трійка на другому «сході» теж нас влаштовує, оскільки 12 (місце, де нам потрібно отримати нуль) ділиться на 3 без залишку. Необхідно провести наступне перетворення: до третього рядка додати другий рядок, помножений на -4, в результаті чого буде отримано потрібний нам нуль.

Метод Гауса універсальний, але є одна своєрідність. Впевнено навчитися вирішувати системи іншими методами (методом Крамера, матричним методом) можна буквально з першого разу там дуже жорсткий алгоритм. Але щоб впевнено себе почувати в методі Гауса, слід «набити руку», і вирішувати хоча б 5-10 систем. Тому спочатку можливі плутанина, помилки у обчисленнях і в цьому немає нічого незвичайного чи трагічного.

Дощова осіння погода за вікном. Тому для всіх бажаючих складніший приклад для самостійного рішення:

Приклад 5

Вирішити методом Гауса систему чотирьох лінійних рівнянь із чотирма невідомими.

Таке завдання практично зустрічається негаразд і рідко. Думаю, навіть чайнику, який докладно вивчив цю сторінку, інтуїтивно зрозумілий алгоритм розв'язання такої системи. Принципово так само – просто дій більше.

Випадки, коли система не має рішень (несумісна) або має безліч рішень, розглянуті на уроці Несумісні системи та системи із загальним рішенням . Там можна закріпити розглянутий алгоритм методу Гаусса.

Бажаю успіхів!

Рішення та відповіді:

Приклад 2: Рішення : Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду.


Виконані елементарні перетворення:
(1) До другого рядка додали перший рядок, помножений на -2. До третього рядка додали перший рядок, помножений на -1. Увага!Тут може виникнути спокуса від третього рядка відняти першу, вкрай не рекомендую віднімати - сильно підвищується ризик помилки. Тільки складаємо!
(2) У другому рядку змінили знак (помножили на –1). Другий і третій рядки поміняли місцями. Зверніть увагу, Що на «сходинках» нас влаштовує не тільки одиниця, але ще й -1, що навіть зручніше.
(3) До третього рядка додали другий рядок, помножений на 5.
(4) У другому рядку змінили знак (помножили на –1). Третій рядок поділили на 14.

Зворотній хід:

Відповідь: .

Приклад 4: Рішення : Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

Виконані перетворення:
(1) До першого рядка додали другий. Таким чином, організована потрібна одиниця на лівій верхній сходинці.
(2) До другого рядка додали перший рядок, помножений на 7. До третього рядка додали перший рядок, помножений на 6.

З другою «сходинкою» все гірше , «Кандидати» неї - числа 17 і 23, а нам необхідна або одиниця, або -1. Перетворення (3) та (4) будуть спрямовані на отримання потрібної одиниці

(3) До третього рядка додали другий, помножений на –1.
(4) До другого рядка додали третій, помножений на –3.
(3) До третього рядка додали другий, помножений на 4. До четвертого рядка додали другий, помножений на –1.
(4) У другому рядку змінили знак. Четвертий рядок розділили на 3 та помістили замість третього рядка.
(5) До четвертого рядка додали третій рядок, помножений на -5.

Зворотній хід:

КОСТРОМСЬКА ФІЛІЯ ВІЙСЬКОВОГО УНІВЕРСИТЕТУ РХБ ЗАХИСТУ

Кафедра "Автоматизації управління військами"

Тільки для викладачів

"Затверджую"

Начальник кафедри №9

полковник ЯКОВЛЄВ А.Б.

«____»______________ 2004 р.

доцент СМИРНОВА О.І.

"МАТРИЦІ. МЕТОД ГАУСА"

ЛЕКЦІЯ №2/3

Обговорено на засіданні кафедри №9

«____»___________ 2003р.

Протокол № ___________

Кострома, 2003

Cотримання

Вступ

1. Події над матрицями.

2. Вирішення систем лінійних рівнянь методом Гаусса.

Висновок

Література

1. В.Є. Шнейдер та інших., короткий курс вищої математики,тому I, гл.2,§6, 7.

2. В.С. Щипачов, Вища математика, гол. 10, § 1, 7.

ВСТУП

На лекції розглядається поняття матриці, дії над матрицями, і навіть метод Гаусса на вирішення систем лінійних рівнянь. Для окремого випадку, так званих квадратних матриць, можна обчислювати визначники, поняття про які розглянуто на попередній лекції. Метод Гаусса є більш загальним, ніж розглянутий метод Крамера рішення лінійних систем. Питання, що розбираються на лекції, використовуються в різних розділах математики і в прикладних питаннях.

Перше навчальне питання ДІЇ НАД МАТРИЦЯМИ

ВИЗНАЧЕННЯ 1. Прямокутна таблиця зm, nчисел, що міститьm– рядків таn- Стовпців, виду:

називається матрицею розміру m ´ n

Числа, з яких складено матрицю, називаються елементами матриці.

Положення елемента аi j у матриці характеризуються подвійним індексом:

перший i- номер рядка;

другий j- Номер стовпця, на перетині яких стоїть елемент.

Скорочено матриці позначають великими літерами: А, В, С…

Коротко можна записувати так:

ВИЗНАЧЕННЯ 2.Матриця, у якої кількість рядків дорівнює числу стовпців, тобто.m = n, називається квадратний.

Число рядків (стовпців) квадратної матриці називається порядком матриці.

ПРИКЛАД.

ПРИМІТКА 1. Ми розглядатимемо матриці, елементами яких є числа. У математиці та її додатках зустрічаються матриці, елементами яких є інші об'єкти, наприклад функції, вектори.

ЗАУВАЖЕННЯ 2. Матриця – спеціальне математичне поняття. За допомогою матриць зручно записувати різні перетворення, лінійні системи тощо, тому матриці часто зустрічаються в математичній та технічній літературі.

ВИЗНАЧЕННЯ 3.Матриця розміру 1 ´ n, що складається з одного рядка, називається матрицею – рядком.

Матриця розміру т´ 1 , що складається з одного стовпця, називається матрицею - стовпцем.

ВИЗНАЧЕННЯ 4. Нульовою матрицею називають матрицю, всі елементи якої дорівнюють нулю.

Розглянемо квадратну матрицю порядку n:

побічна діагональ

головна діагональ

Діагональ квадратної матриці, що йде від верхнього лівого елемента таблиці до правого нижнього, називається головною діагоналлю матриці(На головній діагоналі стоять елементи виду аi i).

Діагональ, що йде від правого верхнього елемента до лівого нижнього, називається побічною діагоналлю матриці.

Розглянемо деякі окремі види квадратних матриць.

1) Квадратна матриця називається діагональноїякщо всі елементи, що не стоять на головній діагоналі, дорівнюють нулю.

2) Діагональна матриця, у якої всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, називається одиничною. Позначається:

3) Квадратна матриця називається трикутної,якщо всі елементи, розташовані по одну сторону від головної діагоналі, дорівнюють нулю:

верхня нижня

трикутна матриця трикутна матриця

Для квадратної матриці вводиться поняття: визначник матриці. Це визначник, складений із елементів матриці. Позначається:

Зрозуміло, що визначник одиничної матриці дорівнює 1:? Е½ = 1

ЗАУВАЖЕННЯ. Неквадратна матриця визначника немає.

Якщо визначник квадратичної матриці відмінний від нуля, то матриця називається невиродженоюякщо визначник дорівнює нулю, то матриця називається виродженою.

ВИЗНАЧЕННЯ 5.Матриця, отримана з даної заміною її рядків стовпцями з тими самими номерами, називається транспонованої до цієї.

Матрицю, транспоновану до А, позначають А Т.

ПРИКЛАД.

3 3 2

ВИЗНАЧЕННЯ.Дві матриці одного і того ж розміру називаються рівними,якщо рівні всі їхні відповідні елементи .

Розглянемо події над матрицями.

ДОДАТОК МАТРИЦЬ.

Операція додавання вводиться тільки для матриць однакового розміру.

ВИЗНАЧЕННЯ 7. Сумою двох матриць А = (а i j ) і В = ( b i j ) однакового розміру називається матриця С = (зi j)того ж розміру, елементи якої дорівнюють сум відповідних елементів доданків матриць, тобто. зi j = a i j + b i j

Позначається сума матриць А+В.

ПРИКЛАД.

МНОЖЕННЯ МАТРИЦЬ НА ДІЙСНЕ ЧИСЛО

ВИЗНАЧЕННЯ 8.Щоб помножити матрицю на числоkтреба помножити на це число кожен елемент матриці:

якщо А =(аi j ), то k · A= (k · a i j )

ПРИКЛАД.

ВЛАСТИВОСТІ ДОДАТКУ МАТРИЦЬ І ПРИМНОЖЕННЯ НА ЧИСЛО

1. Переміщувальна властивість: А + В = В + А

2. Сполучна властивість: (А + В) + С = А + (В + С)

3. Розподільча властивість: k · (A + B) = k A + k B, де k – число

МНОЖЕННЯ МАТРИЦЬ

Матрицю Аназвемо з о г л а с о в а н н о й з матрицею Уякщо число стовпців матриці Адорівнює числу рядків матриці У, тобто. для узгоджених матриць Амає розмір m ´ n, матриця Умає розмір n ´ k . Квадратні матриці узгоджені, якщо вони одного порядку.

ВИЗНАЧЕННЯ 9.Добутком матриці А розміруm ´ nна матрицю розміруn ´ kназивається матриця розміруm ´ k, елемент якої аi j , розташований вiУ рядку іj– ом стовпці, дорівнює сумі творів елементівi- ой рядки матриці А на відповідні елементиj- Стовпця матриці В, тобто.

c i j = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j +……+ a i n b n j

Позначимо: С = А· Ст.

то

твір У´ Анемає сенсу, т.к. матриці

не узгоджені.

ЗАУВАЖЕННЯ 1. Якщо А´ Умає сенс, то У´ Аможе мати сенсу.

2. Якщо має сенс А´ Уі У´ А, то, взагалі кажучи

А´ У ¹ У´ А, тобто. множення матриць не має переміщувального закону.

ЗАУВАЖЕННЯ 3. Якщо А– квадратна матриця та Е- Поодинока матриця того ж порядку, то А´ Е= Е´ А = А.

Звідси випливає, що поодинока матриця при множенні грає роль одиниці.

ПРИКЛАДИ. Знайти, якщо можна, А´ Уі У´ А.

Рішення: Квадратні матриці одного і того ж другого порядку узгоджені в тому іншому порядку, тому А´ Уі У´ Аіснують.

Нехай задана система лінійних рівнянь алгебри, яку необхідно вирішити (знайти такі значення невідомих хi, що звертають кожне рівняння системи в рівність).

Ми знаємо, що система лінійних рівнянь алгебри може:

1) Не мати рішень (бути несумісний).
2) Мати безліч рішень.
3) Мати єдине рішення.

Як ми пам'ятаємо, правило Крамера і матричний метод непридатні у випадках, коли система має нескінченно багато рішень чи несовместна. Метод Гауса – найбільш потужний та універсальний інструмент для знаходження рішення будь-якої системи лінійних рівнянь, Котрий у кожному випадкуприведе нас до відповіді! Сам алгоритм методу у всіх трьох випадках працює однаково. Якщо в методах Крамера і матричному необхідні знання визначників, то для застосування методу Гауса необхідно знання лише арифметичних дій, що робить його доступним навіть для школярів початкових класів.

Перетворення розширеної матриці ( це матриця системи - матриця, складена тільки з коефіцієнтів при невідомих, плюс стовпець вільних членів)системи лінійних рівнянь алгебри в методі Гауса:

1) з трокиматриці можна, можливо переставлятимісцями.

2) якщо в матриці з'явилися (або є) пропорційні (як окремий випадок – однакові) рядки, слід видалитиз матриці всі ці рядки крім одного.

3) якщо в матриці в ході перетворень з'явився нульовий рядок, то його слід також видалити.

4) рядок матриці можна помножити (розділити)на будь-яке число, відмінне від нуля.

5) до рядка матриці можна додати інший рядок, помножений на число, відмінне від нуля.

У методі Гауса елементарні перетворення не змінюють розв'язання системи рівнянь.

Метод Гауса складається з двох етапів:

1. «Прямий хід» - за допомогою елементарних перетворень привести розширену матрицю системи лінійних рівнянь алгебри до «трикутного» ступінчастого вигляду: елементи розширеної матриці, розташовані нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю (хід «згори-вниз»). Наприклад, до такого виду:

Для цього виконаємо такі дії:

1) Нехай ми розглядаємо перше рівняння системи лінійних рівнянь алгебри і коефіцієнт при х 1 дорівнює К. Друге, третє і т.д. рівняння перетворюємо наступним чином: кожне рівняння (коефіцієнти при невідомих, включаючи вільні члени) ділимо на коефіцієнт при невідомому х 1 , що стоїть у кожному рівнянні, і множимо на К. Після цього з другого рівняння (коефіцієнти при невідомих і вільні члени) віднімають Отримуємо при х 1 у другому рівнянні коефіцієнт 0. З третього перетвореного рівняння віднімаємо перше рівняння, так до тих пір, поки всі рівняння, крім першого, при невідомому х 1 не матимуть коефіцієнт 0.

2) Переходимо до наступного рівняння. Нехай це буде друге рівняння та коефіцієнт при х 2 дорівнює М. З усіма «нижчими» рівняннями чинимо так, як описано вище. Таким чином, «під» невідомої х 2 у всіх рівняннях будуть нулі.

3) Переходимо до наступного рівняння і так доти, доки не залишиться одна остання невідома і перетворений вільний член.

1. «Зворотний хід» методу Гауса – отримання рішення системи лінійних рівнянь алгебри (хід «знизу-вгору»). З останнього «нижнього» рівняння отримуємо одне перше рішення – невідому х n . Для цього вирішуємо елементарне рівняння А * х n = В. У прикладі, наведеному вище, х 3 = 4. Підставляємо знайдене значення «верхнє» наступне рівняння і вирішуємо його щодо наступної невідомої. Наприклад, х 2 – 4 = 1, тобто. х 2 = 5. І так доти, доки не знайдемо всі невідомі.

приклад.

Вирішимо систему лінійних рівнянь методом Гауса, як радять деякі автори:

Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

Дивимося на ліву верхню сходинку. Там у нас має бути одиниця. Проблема полягає в тому, що у першому стовпці одиниць немає взагалі, тому перестановкою рядків нічого не вирішити. У разі одиницю треба організувати з допомогою елементарного перетворення. Зазвичай це можна зробити кількома способами. Вчинимо так:
1 крок . До першого рядка додаємо другий рядок, помножений на -1. Тобто подумки помножили другий рядок на –1 і виконали додавання першого і другого рядка, при цьому другий рядок у нас не змінився.

Тепер ліворуч угорі «мінус один», що нас цілком влаштує. Хто хоче отримати +1, може виконати додаткову дію: помножити перший рядок на –1 (змінити знак).

2 крок . До другого рядка додали перший рядок, помножений на 5. До третього рядка додали перший рядок, помножений на 3.

3 крок . Перший рядок помножили на -1, в принципі це для краси. У третього рядка також змінили знак і переставили її на друге місце, таким чином, на другому сходинці у нас з'явилася потрібна одиниця.

4 крок . До третього рядка додали другий рядок, помножений на 2.

5 крок . Третій рядок поділили на 3.

Ознакою, яка свідчить про помилку у обчисленнях (рідше – про друкарську помилку), є «поганий» нижній рядок. Тобто, якби в нас унизу вийшло щось на кшталт (0 0 11 |23) , і, відповідно, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, то з великою часткою ймовірності можна стверджувати, що допущена помилка в ході елементарних перетворень.

Виконуємо зворотний хід, в оформленні прикладів часто не переписують саму систему, а рівняння "беруть прямо з наведеної матриці". Зворотний хід, нагадую, працює «знизу нагору». У цьому прикладі вийшов подарунок:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, отже x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Відповідь: x 1 = -1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Вирішимо цю саму систему за запропонованим алгоритмом. Отримуємо

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Розділимо друге рівняння на 5, а третє – на 3. Отримаємо:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Помножимо друге та третє рівняння на 4, отримаємо:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Віднімемо з другого та третього рівнянь перше рівняння, маємо:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Розділимо третє рівняння на 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Помножимо третє рівняння на 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Віднімемо з третього рівняння друге, отримаємо «ступінчасту» розширену матрицю:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Таким чином, так як у процесі обчислень накопичувалася похибка, одержуємо х 3 = 0,96 або приблизно 1.

х 2 = 3 та х 1 = -1.

Вирішуючи таким чином, Ви ніколи не заплутаєтеся у обчисленнях і не зважаючи на похибки обчислень, отримаєте результат.

Такий спосіб вирішення системи лінійних рівнянь алгебри легко програмуємо і не враховує специфічні особливості коефіцієнтів при невідомих, адже на практиці (в економічних і технічних розрахунках) доводиться мати справу саме з нецілими коефіцієнтами.

Бажаю успіхів! До зустрічі на заняттях! Репетитор.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Ще з початку XVI-XVIII століть математики посилено почали вивчати функції, завдяки яким так багато в нашому житті змінилося. Комп'ютерна техніка без цих знань просто не існувала. Для вирішення складних завдань, лінійних рівнянь та функцій були створені різні концепції, теореми та методики розв'язання. Одним з таких універсальних та раціональних способів та методик розв'язання лінійних рівнянь та їх систем став і метод Гаусса. Матриці, їхній ранг, детермінант - все можна порахувати, не використовуючи складних операцій.

Що являє собою СЛАУ

У математиці існує поняття СЛАУ - система лінійних рівнянь алгебри. Що ж вона є? Це набір m рівнянь з шуканими n невідомими величинами, які зазвичай позначаються як x, y, z, або x 1 , x 2 … x n, або іншими символами. Вирішити методом Гауса цю систему - означає знайти всі шукані невідомі. Якщо система має однакову кількість невідомих і рівнянь, вона називається системою n-го порядку.

Найбільш популярні методи вирішення СЛАУ

У навчальних закладах середньої освіти вивчають різноманітні методики вирішення таких систем. Найчастіше це прості рівняння, що складаються із двох невідомих, тому будь-який існуючий метод для пошуку відповіді на них не забере багато часу. Це може бути як метод підстановки, коли з одного рівняння виводиться інше та підставляється у початкове. Або метод почленного віднімання та додавання. Але найлегшим та універсальним вважається метод Гауса. Він дозволяє вирішувати рівняння з будь-якою кількістю невідомих. Чому саме ця методика вважається раціональною? Все просто. Матричний спосіб хороший тим, що тут не потрібно кілька разів переписувати непотрібні символи у вигляді невідомих, достатньо зробити арифметичні операції над коефіцієнтами - і вийде достовірний результат.

Де використовуються СЛАУ на практиці

Рішенням СЛАУ є точки перетину прямих графіків функцій. У наш високотехнологічний комп'ютерний вік людям, які тісно пов'язані з розробкою ігор та інших програм, необхідно знати, як вирішувати такі системи, що вони представляють і як перевірити правильність результату. Найчастіше програмісти розробляють спеціальні програми-обчислювачі лінійної алгебри, сюди входить і система лінійних рівнянь. Метод Гауса дозволяє вирахувати всі існуючі рішення. Також використовуються й інші спрощені формули та методики.

Критерій сумісності СЛАУ

Таку систему можна вирішити лише у тому випадку, якщо вона сумісна. Для зрозумілості представимо СЛАУ як Ax=b. Вона має рішення, якщо rang(A) дорівнює rang(A,b). І тут (A,b) - це матриця розширеного виду, яку можна одержати з матриці А, переписавши її з вільними членами. Виходить, що розв'язати лінійні рівняння методом Гауса досить легко.

Можливо, деякі позначення не зовсім зрозумілі, тому треба розглянути все на прикладі. Допустимо, є система: x + y = 1; 2x-3y = 6. Вона складається з двох рівнянь, у яких 2 невідомі. Система матиме рішення тільки в тому випадку, якщо ранг її матриці дорівнюватиме рангу розширеної матриці. Що таке ранг? Це число незалежних рядків системи. У нашому випадку ранг матриці 2. Матриця А складатиметься з коефіцієнтів, що знаходяться біля невідомих, а в розширену матрицю вписуються і коефіцієнти, що перебувають за знаком «=».

Чому СЛАУ можна уявити в матричному вигляді

Виходячи з критерію сумісності по доведеній теоремі Кронекера-Капеллі, систему лінійних рівнянь алгебри можна представити в матричному вигляді. Застосовуючи каскадний метод Гауса, можна вирішити матрицю та отримати єдину достовірну відповідь на всю систему. Якщо ранг звичайної матриці дорівнює рангу її розширеної матриці, але при цьому менше від кількості невідомих, тоді система має нескінченну кількість відповідей.

Перетворення матриць

Перш ніж переходити до рішення матриць, необхідно знати, які дії можна проводити над їх елементами. Існує кілька елементарних перетворень:

• Переписуючи систему в матричний вигляд і здійснюючи її рішення, можна множити всі елементи ряду на той самий коефіцієнт.
• Для того щоб перетворити матрицю на канонічний вигляд, можна міняти місцями два паралельні ряди. Канонічний вигляд має на увазі, що всі елементи матриці, які розташовані по головній діагоналі, стають одиницями, а решта - нулями.
• Відповідні елементи паралельних рядів матриці можна додавати один до одного.

Метод Жордана-Гаусса

Суть розв'язання систем лінійних однорідних і неоднорідних рівнянь методом Гауса у тому, щоб поступово виключити невідомі. Припустимо, у нас є система із двох рівнянь, у яких дві невідомі. Щоб їх знайти, необхідно перевірити систему на сумісність. Рівняння методом Гауса вирішується дуже просто. Необхідно виписати коефіцієнти, що знаходяться біля кожного невідомого у матричний вигляд. Для вирішення системи потрібно виписати розширену матрицю. Якщо одне з рівнянь містить меншу кількість невідомих, тоді місце пропущеного елемента необхідно поставити «0». До матриці застосовуються всі відомі методи перетворення: множення, розподіл на число, додавання відповідних елементів рядів один до одного та інші. Виходить, що у кожному ряду потрібно залишити одну змінну зі значенням «1», інші призвести до нульового вигляду. Для більш точного розуміння слід розглянути метод Гаусса на прикладах.

Простий приклад вирішення системи 2х2

Для початку візьмемо просту систему алгебраїчних рівнянь, в якій буде 2 невідомих.

Перепишемо її у розширену матрицю.

Щоб вирішити цю систему лінійних рівнянь, потрібно зробити лише дві операції. Нам необхідно привести матрицю до канонічного вигляду, щоби по головній діагоналі стояли одиниці. Так, переводячи з матричного виду назад у систему, ми отримаємо рівняння: 1x+0y=b1 і 0x+1y=b2, де b1 і b2 - відповіді, що вийшли в процесі рішення.

1. Перша дія при вирішенні розширеної матриці буде такою: перший ряд необхідно помножити на -7 і додати відповідно відповідні елементи до другого рядка, щоб позбавитися одного невідомого в другому рівнянні.
2. Оскільки рішення рівнянь методом Гауса передбачає приведення матриці до канонічного виду, тоді необхідно і з першим рівнянням зробити ті ж операції і прибрати другу змінну. Для цього другий рядок віднімаємо від першого та отримуємо необхідну відповідь – рішення СЛАУ. Або, як показано на малюнку, другий рядок множимо на коефіцієнт -1 і додаємо до першого рядка елементи другого ряду. Це одне і теж.

Як бачимо, нашу систему вирішено методом Жордана-Гаусса. Переписуємо її у необхідну форму: x=-5, y=7.

Приклад рішення СЛАУ 3х3

Припустимо, що у нас є складніша система лінійних рівнянь. Метод Гауса дає можливість вирахувати відповідь навіть для самої, здавалося б, заплутаної системи. Тому, щоб глибше вникнути в методику розрахунку, можна переходити до складнішого прикладу з трьома невідомими.

Як і в колишньому прикладі, переписуємо систему у вигляді розширеної матриці і починаємо приводити її до канонічного вигляду.

Для вирішення цієї системи знадобиться зробити набагато більше дій, ніж у попередньому прикладі.

1. Спочатку потрібно створити в першому стовпці один одиничний елемент та інші нулі. Для цього множимо перше рівняння на -1 і додаємо до нього друге рівняння. Важливо запам'ятати, що перший рядок ми переписуємо у первісному вигляді, а другий - вже зміненому.
2. Далі прибираємо цю саму першу невідому з третього рівняння. Для цього елементи першого рядка множимо на -2 і додаємо їх до третього ряду. Тепер перший і другий рядки переписуються у первісному вигляді, а третій - вже із змінами. Як бачимо за результатом, ми отримали першу одиницю на початку головної діагоналі матриці та інші нулі. Ще кілька дій і система рівнянь методом Гауса буде достовірно вирішена.
3. Тепер необхідно виконати операції над іншими елементами рядів. Третя і четверта дія можна об'єднати в одну. Потрібно розділити другий і третій рядок на -1, щоб позбавитися від мінусових одиниць по діагоналі. Третій рядок ми вже привели до необхідного вигляду.
4. Далі наведемо до канонічного вигляду другий рядок. Для цього елементи третього ряду множимо на -3 і додаємо їх до другого рядка матриці. З результату видно, що другий рядок теж наведено до необхідної форми. Залишилося зробити ще кілька операцій та прибрати коефіцієнти невідомих із першого рядка.
5. Щоб з другого елемента рядка зробити 0, необхідно помножити третій рядок -3 і додати його до першого ряду.
6. Наступним вирішальним етапом буде додавання до першого рядка необхідні елементи другого ряду. Так ми отримуємо канонічний вид матриці, а відповідно і відповідь.

Як видно, розв'язання рівнянь методом Гауса досить просте.

Приклад розв'язання системи рівнянь 4х4

Деякі складніші системи рівнянь можна вирішити методом Гаусса за допомогою комп'ютерних програм. Необхідно вбити в існуючі порожні комірки коефіцієнти за невідомих, і програма сама покроково розрахує необхідний результат, докладно описуючи кожну дію.

Нижче описано покрокову інструкцію рішення такого прикладу.

У першій дії в порожні комірки вписуються вільні коефіцієнти та числа при невідомих. Таким чином, виходить така сама розширена матриця, яку ми пишемо вручну.

І виконуються всі необхідні арифметичні операції, щоб привести розширену матрицю до канонічного вигляду. Необхідно розуміти, що не завжди відповідь на систему рівнянь – це цілі числа. Іноді рішення може бути із дробових чисел.

Перевірка правильності рішення

Метод Жордана-Гаусса передбачає перевірку правильності результату. Для того щоб дізнатися, чи правильно пораховані коефіцієнти, необхідно всього лише підставити результат у початкову систему рівнянь. Ліва сторона рівняння повинна відповідати правій стороні, яка перебуває за знаком "рівно". Якщо відповіді не збігаються, тоді необхідно перераховувати заново систему або спробувати застосувати до неї інший відомий вам метод рішення СЛАУ, такий як підстановка або почленное віднімання та додавання. Адже математика – це наука, яка має величезну кількість різних методик розв'язання. Але пам'ятайте: результат повинен бути завжди той самий, незалежно від того, який метод рішення ви використовували.

Метод Гауса: найпоширеніші помилки при вирішенні СЛАУ

Під час розв'язання лінійних систем рівнянь найчастіше виникають такі помилки, як неправильне перенесення коефіцієнтів у матричний вигляд. Бувають системи, в яких відсутні в одному з рівнянь деякі невідомі, тоді переносячи дані в розширену матрицю, їх можна втратити. У результаті під час вирішення цієї системи результат може відповідати дійсному.

Ще однією з головних помилок може бути неправильне виписування кінцевого результату. Потрібно чітко розуміти, що перший коефіцієнт відповідатиме першому невідомому із системи, другий - другому і так далі.

Метод Гаусса докладно визначає рішення лінійних рівнянь. Завдяки йому легко зробити необхідні операції та знайти правильний результат. Крім того, це універсальний засіб для пошуку достовірної відповіді на рівняння будь-якої складності. Можливо, тому його часто використовують при вирішенні СЛАУ.

У нашому калькуляторі ви безкоштовно знайдете вирішення системи лінійних рівнянь методом Гауса онлайнз докладним рішенням і навіть із комплексними числами. У нас ви можете вирішити як звичайну певну, так і невизначену систему рівнянь, яка має безліч рішень. І тут у відповіді ви отримаєте залежність одних змінних через інші - вільні. Також можна перевірити систему на спільність, використовуючи той самий метод Гаусса.

Докладніше про те, як користуватися нашим онлайн калькулятором, ви можете прочитати в інструкції.

Про метод

Під час вирішення системи лінійних рівнянь методом Гаусса виконуються такі кроки.

1. Записуємо розширену матрицю.
2. Фактично алгоритм поділяють на прямий та зворотний хід. Прямим ходом називається приведення матриці до ступінчастого вигляду. Зворотним ходом називається приведення матриці до спеціального ступінчастого вигляду. Але на практиці зручніше відразу занулювати те, що знаходиться і зверху і знизу елемента, що розглядається. Наш калькулятор використовує цей підхід.
3. Важливо відзначити, що при вирішенні методом Гауса, наявність у матриці хоча б одного нульового рядка з ненульовою правою частиною (стовпець вільних членів) говорить про несумісність системи. Рішення у такому разі не існує.

Щоб краще зрозуміти принцип роботи алгоритму, введіть будь-який приклад, виберіть "дуже докладне рішення" і вивчіть отриману відповідь.