Нехай у -мірному арифметичному просторі є сукупність векторів .

Визначення 2.1.Сукупність векторів називається лінійно незалежноюсистемою векторів, якщо рівність виду

виконується лише за нульових значень числових параметрів .

Якщо рівність (2.1) може бути виконано за умови, що хоча б один із коефіцієнтів відмінний від нуля, то така система векторів буде називатися лінійно залежною .

приклад 2.1.Перевірити лінійну незалежність векторів

Рішення.Складемо рівність виду (2.1)

Ліва частина даного виразу може звертатися в нуль лише при виконанні умови що означає, що система є лінійно-незалежною.

приклад 2.1.Чи будуть вектори лінійно незалежними?

Рішення.Неважко перевірити, що рівність вірно при значеннях , . Отже, ця система векторів лінійно залежить.

Теорема 2.1. Якщо система векторів є лінійно залежною, будь-який вектор із цієї системи може бути представлений у вигляді лінійної комбінації (або суперпозиції) інших векторів системи.

Доведення. Припустимо, що система векторів лінійно залежна. Тоді через визначення існує набір чисел , Серед яких хоча б одне число відмінно від нуля, і при цьому справедлива рівність (2.1):

Без втрати спільності припустимо, що ненульовим коефіцієнтом є , тобто . Тоді останню рівність можна розділити на і далі виразити вектор:

.

Таким чином, вектор представлений у вигляді суперпозиції векторів. . Теорему 1 доведено.

Слідство. Якщо – сукупність лінійно незалежних векторів, то жоден вектор із цього набору не може бути виражений через інші.

Теорема 2.2. Якщо система векторів містить нуль-вектор, то така система обов'язково буде лінійно залежною.

Доведення. Нехай вектор є нуль-вектором, тобто .

Тоді вибираємо постійні ( ) наступним чином:

, .

У цьому рівність (2.1) виконується. Перший доданок зліва дорівнює нулю внаслідок того, що нуль-вектор. Інші доданки звертаються в нуль, будучи помноженими на нульові константи ( ). Таким чином,

при , а значить, вектори лінійно залежні. Теорему 2.2 доведено.

Наступне питання, на яке нам належить відповісти, яке найбільше векторів може скласти лінійно незалежну системув n-мірному арифметичному просторі У пункті 2.1 було розглянуто природний базис (1.4):

Було встановлено, що довільний вектор мірного простору є лінійною комбінацією векторів природного базису, тобто довільний вектор виявляється у природному базисі у вигляді

, (2.2)

де – координати вектора , які є деякі числа. Тоді рівність

можливо лише при , а значить, векторів природного базису утворюють лінійно незалежну систему. Якщо додати до цієї системи довільний вектор , то на підставі слідства теореми 1 система буде залежною, оскільки вектор виражається через вектори за формулою (2.2).

Цей приклад показує, що в n-мірному арифметичному просторі існують системи, що складаються з лінійно незалежних векторів А якщо до цієї системи додати хоча б один вектор, то отримаємо систему лінійно залежних векторів. Доведемо, що й число векторів перевищує розмірність простору, всі вони лінійно залежні.

Теорема 2.3.У -мірному арифметичному просторі не існує системи, що складається більш ніж з лінійно незалежні вектори.

Доведення. Розглянемо довільних-мірних векторів:

………………………

Нехай . Складемо лінійну комбінацію векторів (2.3) та прирівняємо її до нуля:

Векторна рівність (2.4) рівнозначна скалярним рівностям для координат векторів :

(2.5)

Ці рівності утворюють систему однорідних рівнянь із невідомими . Оскільки число невідомих більше числа рівнянь ( ), то через слідство теореми 9.3 розділу 1 однорідна система (2.5) має ненульове рішення. Отже, рівність (2.4) справедлива при деяких значеннях серед яких не всі рівні нулю, а значить, система векторів (2.3) лінійно залежна. Теорему 2.3 доведено.

Слідство. У мірному просторі існують системи, що складаються з лінійно незалежних векторів, а будь-яка система, що містить більше векторів, буде лінійно залежною.

Визначення 2.2.Систему лінійно незалежних векторів називають базисом просторуякщо будь-який вектор простору може бути виражений у вигляді лінійної комбінації цих лінійно незалежних векторів.

2.3. Лінійне перетворення векторів

Розглянемо два вектори і -мірного арифметичного простору.

Визначення 3.1.Якщо кожному вектору зіставлений вектор із цього ж простору , то кажуть, що задано деяке перетворення -мірного арифметичного простору.

Будемо позначати це перетворення через . Вектор називатимемо образом. Можна записати рівно

. (3.1)

Визначення 3.2.Перетворення (3.1) називатимемо лінійним, якщо воно задовольняє наступним властивостям:

, (3.2)

, (3.3)

де – довільний скаляр (число).

Задамо перетворення (3.1) у координатній формі. Нехай координати векторів і пов'язані залежністю

(3.4)

Формули (3.4) задають перетворення (3.1) координатної формі. Коефіцієнти ( ) системи рівностей (3.4) можна подати у вигляді матриці

званою матрицею перетворення (3.1).

Введемо вектори-стовпці

,

елементи яких суть координати векторів і відповідно, так що і . Далі будемо вектори-стовпці і називати векторами.

Тоді перетворення (3.4) може бути записане у матричній формі

. (3.5)

Перетворення (3.5) є лінійним з властивостей арифметичних операцій над матрицями .

Розглянемо деяке перетворення , чином якого є нуль-вектор. У матричному вигляді це перетворення матиме вигляд

, (3.6)

а в координатній формі – являти собою систему лінійних однорідних рівнянь

(3.7)

Визначення 3.3.Лінійне перетворення називається невиродженим, якщо визначник матриці лінійного перетворення не дорівнює нулю, тобто . Якщо визначник перетворюється на нуль, то перетворення буде виродженим .

Відомо, що система (3.7) має тривіальне (очевидне) рішення – нульове. Це рішення є єдиним, якщо тільки визначник матриці не дорівнює нулю.

Ненульові рішення системи (3.7) можуть з'являтися, якщо лінійне перетворення є виродженим, тобто за нульового визначника матриці .

Визначення 3.4. Рангом перетворення (3.5) називається ранг матриці перетворення.

Можна сказати, що цьому ж числу дорівнює кількість лінійно-незалежних рядків матриці.

Звернемося до геометричної інтерпретації лінійного перетворення (3.5).

Приклад 3.1.Нехай задана матриця лінійного перетворення , де Візьмемо довільний вектор , де і знайдемо його образ:
Тоді вектор
.

Якщо то вектор змінить і довжину і напрямок. На рис.1.

Якщо , то отримаємо образ

,

тобто вектор
або , а це означає, що змінить лише довжину, але не змінить напрямок (рис. 2).

Приклад 3.2.Нехай , . Знайдемо образ:

,

тобто
, або .

Вектор в результаті перетворення змінив свій напрямок на протилежний, при цьому довжина вектора збереглася (рис. 3).

Приклад 3.3.Розглянемо матрицю лінійного перетворення. Нескладно показати, що у цьому випадку образ вектора повністю збігається із самим вектором (рис. 4). Справді,

.

Можна сказати, що лінійне перетворення векторів змінює вихідний вектор і за довжиною, і за напрямом. Однак у деяких випадках існують такі матриці, які перетворюють вектор лише за напрямом (приклад 3.2) або лише за довжиною (приклад 3.1, випадок) ).

Слід зауважити, що всі вектори, що лежать на одній прямій, утворюють систему лінійно залежних векторів.

Повернімося до лінійного перетворення (3.5)

і розглянемо сукупність векторів , для яких чином є нуль-вектор, так що .

Визначення 3.5. Сукупність векторів, які є рішенням рівняння , утворює підпростір -мірного арифметичного простору і називається ядром лінійного перетворення.

Визначення 3.6. Дефектом лінійного перетворення називається розмірність ядра цього перетворення, тобто найбільше число лінійно-незалежних векторів, що задовольняють рівнянню .

Оскільки рангом лінійного перетворення ми називаємо ранг матриці , можна сформулювати таке твердження щодо дефекту матриці: дефект дорівнює різниці , де - розмірність матриці, - її ранг.

Якщо ранг матриці лінійного перетворення (3.5) шукається методом Гаусса, ранг збігається з кількістю відмінних від нуля елементів на головній діагоналі вже перетвореної матриці, а дефект визначається кількістю нульових рядків.

Якщо лінійне перетворення є невиродженим, тобто , його дефект звертається в нуль, оскільки ядром є єдиний нульовий вектор.

Якщо лінійне перетворення вироджене та , то система (3.6) крім нульового рішення має інші, і дефект у разі вже відрізняється від нуля.

Особливий інтерес викликають перетворення, які, змінюючи довжину, не змінюють напрямок вектора. Точніше, залишають вектор на прямий, що містить вихідний вектор, за умови, що пряма проходить через початок координат. Такі перетворення будуть розглянуті у пункті 2.4.

Вектори, їх властивості та дії з ними

Векторні дії з векторами, лінійний векторний простір.

Вектори-упорядкована сукупність кінцевої кількості дійсних чисел.

Дії: 1.Умножение вектора на число: лямда*вектор х=(лямда*х 1 , лямда*х 2 … лямда*х n).(3,4, 0, 7)*3=(9, 12,0,21)

2.Складання векторів (належать тому самому векторному простору) вектор х+вектор у = (х 1 +у 1, х 2 +у 2, … х n +у n ,)

3. Вектор 0=(0,0…0)--n E n – n-мірний (лінійний простір) вектор х +вектор 0 = вектор х

Теорема. Для того, щоб система n векторів, n-мірного лінійного простору була лінійно залежною, необхідно і достатньо, щоб один із векторів були лінійною комбінацією іншим.

Теорема. Будь-яка сукупність n+ 1ого вектора n-мірного лінійного простору явл. лінійно залежною.

Додавання векторів, множення векторів на числа. Віднімання векторів.

Сумою двох векторів називається вектор, спрямований з початку вектора в кінець вектора за умови, що початок збігається з кінцем вектора. Якщо вектори задані їх розкладаннями по базисним ортам, при складанні векторів складаються їх відповідні координати.

Розглянемо це з прикладу декартової системи координат. Нехай

Покажемо, що

З малюнка 3 видно, що

Сума будь-якого кінцевого числа векторів може бути знайдена за правилом багатокутника (рис. 4): щоб побудувати суму кінцевого числа векторів, достатньо поєднати початок кожного наступного вектора з кінцем попереднього та побудувати вектор, що з'єднує початок першого вектора з кінцем останнього.

Властивості операції складання векторів:

У цих виразах m, n – числа.

Різницею векторів називають вектор Друге доданок є вектором, протилежним вектору за напрямом, але рівним йому по довжині.

Таким чином, операція віднімання векторів замінюється на операцію складання

Вектор, початок якого знаходиться на початку координат, а кінець - у точці А (x1, y1, z1) називають радіус-вектором точки А і позначають або просто. Оскільки його координати збігаються з координатами точки А, його розкладання по ортам має вигляд

Вектор, що має початок у точці А(x1, y1, z1) та кінець у точці B(x2, y2, z2), може бути записаний у вигляді

де r 2 - радіус-вектор точки; r 1 – радіус-вектор точки А.

Тому розкладання вектора по ортах має вигляд

Його довжина дорівнює відстані між точками А та В

УМНОЖЕННЯ

Так, у разі плоскої задачі добуток вектор на a = (ax; ay) на число b знаходиться за формулою

a · b = (ax · b; ay · b)

Приклад 1. Знайти добуток вектора a = (1; 2) на 3.

3 · a = (3 · 1; 3 · 2) = (3; 6)

Так, у разі просторового завдання добуток вектора a = (ax; ay; az) на число b знаходиться за формулою

a · b = (ax · b; ay · b; az · b)

Приклад 1. Знайти добуток вектора a = (1; 2; -5) на 2.

2 · a = (2 · 1; 2 · 2; 2 · (-5)) = (2; 4; -10)

Скалярний добуток векторів та де - Кут між векторами і; якщо або , то

З визначення скалярного твору випливає, що

де, наприклад, є величина проекції вектора напрям вектора .

Вектор скалярний квадрат:

Властивості скалярного твору:

Скалярний твір у координатах

Якщо то

Кут між векторами

Кут між векторами – кут між напрямками цих векторів (найменший кут).

Векторний твір (Векторний твір двох векторів)це псевдовектор, перпендикулярний до площини, побудованої по двох співмножниках, що є результатом бінарної операції «векторне множення» над векторами в тривимірному Евклідовому просторі. Твір не є ні коммутативним, ні асоціативним (він є антикомутативним) і відрізняється від скалярного твору векторів. У багатьох завданнях інженерії та фізики потрібно мати можливість будувати вектор, перпендикулярний двом наявним – векторний твір надає цю можливість. Векторний добуток корисний для «вимірювання» перпендикулярності векторів - довжина векторного добутку двох векторів дорівнює добутку їх довжин, якщо вони перпендикулярні, і зменшується до нуля, якщо вектори паралельні або антипаралельні.

Векторний твір визначено лише у тривимірному та семимірному просторах. Результат векторного твору, як і скалярного, залежить від метрики Евклідова простору.

На відміну від формули для обчислення за координатами векторів скалярного твору в тривимірній прямокутній системі координат, формула для векторного твору залежить від орієнтації прямокутної системи координат або інакше її «хіральності»

Колінеарність векторів.

Два ненульові (не рівні 0) вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на паралельних прямих або на одній прямій. Допустимо, але не рекомендується синонім - «паралельні» вектори. Колінеарні вектори можуть бути однаково спрямовані ("соннаправлені") або протилежно спрямовані (в останньому випадку їх іноді називають "антиколлінеарними" або "антипаралельними").

Змішане вироблення векторів( a, b, c)- скалярний добуток вектора на векторний добуток векторів b і c:

(a, b, c) = a ⋅ (b × c)

іноді його називають потрійним скалярним твором векторів, мабуть через те, що результатом є скаляр (точніше - псевдоскаляр).

Геометричний зміст: Модуль змішаного твору чисельно дорівнює обсягу паралелепіпеда, утвореного векторами (a, b, c) .

Властивості

Змішане твір кососиметрично по відношенню до всіх своїх аргументів:т. е. перестановка будь-яких двох співмножників змінює знак твору. Звідси випливає, що Змішаний добуток у правій декартовій системі координат (в ортонормованому базисі) дорівнює визначнику матриці, складеної з векторів і:

Змішаний добуток у лівій декартовій системі координат (в ортонормованому базисі) дорівнює визначнику матриці, складеної з векторів і взятому зі знаком "мінус":

Зокрема,

Якщо будь-які два вектори паралельні, то з будь-яким третім вектором вони утворюють змішаний твір, що дорівнює нулю.

Якщо три вектори лінійно залежні (тобто компланарні, лежать у одній площині), їх змішаний твір дорівнює нулю.

Геометричний зміст - Змішане твір за абсолютним значенням дорівнює обсягу паралелепіпеда (див. малюнок), утвореного векторами і; знак залежить від того, чи є ця трійка векторів правою чи лівою.

Компланарність векторів.

Три вектори (або більше) називаються компланарними, якщо вони, будучи приведеними до загального початку, лежать в одній площині

Властивості компланарності

Якщо хоча б один із трьох векторів - нульовий, то три вектори теж вважаються компланарними.

Трійка векторів, що містить пару колінеарних векторів, є компланарною.

Змішане твір компланарних векторів. Це критерій компланарності трьох векторів.

Компланарні вектори – лінійно залежні. Це – також критерій компланарності.

У 3-мірному просторі 3 некомпланарні вектори утворюють базис

Лінійно залежні та лінійно незалежні вектори.

Лінійно залежні та незалежні системи векторів.Визначення. Система векторів називається лінійно залежноюякщо існує хоча б одна нетривіальна лінійна комбінація цих векторів, що дорівнює нульовому вектору. Інакше, тобто. якщо тільки тривіальна лінійна комбінація даних векторів дорівнює нульовому вектору, вектори називаються лінійно незалежними.

Теорема (критерій лінійної залежності). Для того щоб система векторів лінійного простору була лінійно залежною, необхідно і достатньо, щоб, принаймні, один із цих векторів був лінійною комбінацією інших.

1) Якщо серед векторів є хоча б один нульовий вектор, то вся система векторів є лінійно залежною.

Справді, якщо, наприклад, то, вважаючи, маємо нетривіальну лінійну комбінацію.

2) Якщо серед векторів деякі утворюють лінійно залежну систему, то вся система лінійно залежна.

Справді, нехай вектори , лінійно залежні. Отже, існує нетривіальна лінійна комбінація, що дорівнює нульовому вектору. Але тоді, гадаючи отримаємо також нетривіальну лінійну комбінацію , що дорівнює нульовому вектору.

2. Базис та розмірність. Визначення. Система лінійно незалежних векторів векторного простору називається базисомцього простору, якщо будь-який вектор може бути представлений у вигляді лінійної комбінації векторів цієї системи, тобто. для кожного вектора існують дійсні числа такі, що має місце рівність Ця рівність називається розкладання вектораза базисом , а числа називаються координатами вектора щодо базису(або у базисі) .

Теорема (про єдиність розкладання за базисом). Кожен вектор простору може бути розкладений за базисом. єдиним чином, тобто. координати кожного вектора у базисі визначаються однозначно.

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Рішення.Шукаємо загальне рішення системи рівнянь

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

методом Гауса. Для цього запишемо цю однорідну систему за координатами:

Матриця системи

Дозволена система має вигляд: (r A = 2, n= 3). Система спільна та невизначена. Її загальне рішення ( x 2 – вільна змінна): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o = . Наявність ненульового приватного рішення, наприклад, говорить про те, що вектори a 1 , a 2 , a 3 лінійно залежні.

приклад 2.

З'ясувати, чи дана система векторів є лінійно залежною або лінійно незалежною:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Рішення.Розглянемо однорідну систему рівнянь a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

або у розгорнутому вигляді (за координатами)

Система однорідна. Якщо вона невироджена, вона має єдине рішення. Що стосується однорідної системи – нульове (тривіальне) рішення. Отже, у разі система векторів незалежна. Якщо ж система вироджена, вона має ненульові рішення і, отже, вона залежна.

Перевіряємо систему на виродженість:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Система невироджена і, отже, вектори a 1 , a 2 , a 3 лінійно незалежні.

Завдання.З'ясувати, чи дана система векторів є лінійно залежною або лінійно незалежною:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Довести, що система векторів буде лінійно залежною, якщо вона містить:

а) два рівні вектори;

б) два пропорційні вектори.

Визначення 1. Система векторів називається лінійно залежною, якщо з векторів системи можна як лінійної комбінації інших векторів системи, і лінійно незалежної - інакше.

Визначення 1. Система векторів називається лінійно залежною, якщо знайдуться числа з 1 , з 2 , …, з k , не всі рівні нулю, такі, що лінійна комбінація векторів з даними коефіцієнтами дорівнює нульовому вектору: = , інакше система називається лінійно незалежною.

Покажемо, що це визначення еквівалентні.

Нехай виконується визначення 1, тобто. один із векторів системи дорівнює лінійній комбінації інших:

Лінійна комбінація системи векторів дорівнює нульовому вектору, причому в повному обсязі коефіцієнти цієї комбінації дорівнюють нулю, тобто. виконується визначення 1.

Нехай виконується визначення 1. Лінійна комбінація системи векторів дорівнює , причому не всі коефіцієнти комбінації дорівнюють нулю, наприклад, коефіцієнти при векторі .

Одне з векторів системи ми у вигляді лінійної комбінації інших, тобто. Виконується визначення 1.

Визначення 2. Поодиноким вектором, або ортом, називається n-мірний вектор, у якого i-я координата дорівнює одиниці, інші - нульові.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

Теорема 1. Різні одиничні вектори n-мірного простору лінійно незалежні.

Доведення.Нехай лінійна комбінація цих векторів із довільними коефіцієнтами дорівнює нульовому вектору.

З цієї рівності випливає, що всі коефіцієнти дорівнюють нулю. Набули протиріччя.

Кожен вектор n-мірного простору ā (а 1 , а 2 , ..., а n) може бути представлений у вигляді лінійної комбінації одиничних векторів з коефіцієнтами, рівними координатам вектора

Теорема 2. Якщо системи векторів містить нульовий вектор, вона лінійно залежна.

Доведення.Нехай дана система векторів і один із векторів є нульовим, наприклад = . Тоді з векторами даної системи можна скласти лінійну комбінацію, що дорівнює нульовому вектору, причому не всі коефіцієнти будуть нульовими:

Отже, система лінійно залежить.

Теорема 3. Якщо деяка підсистема системи векторів лінійно залежна, і вся система лінійно залежна.

Доведення.Дана система векторів. Припустимо, що система лінійно залежна, тобто. знайдуться числа з 1 , з 2 , …, з r , Не всі рівні нулю, такі, що = .Тоді

Вийшло, що лінійна комбінація векторів усієї системи дорівнює , причому не всі коефіцієнти цієї комбінації дорівнюють нулю. Отже, система векторів лінійно залежить.

Слідство.Якщо система векторів лінійно незалежна, і будь-яка її підсистема також лінійно незалежна.

Доведення.

Припустимо неприємне, тобто. деяка підсистема лінійно залежна. З теореми випливає, що вся система є лінійно залежною. Ми дійшли суперечності.

Теорема 4 (Теорема Штейніца).Якщо кожен із векторів є лінійною комбінацією векторів та m>nсистема векторів лінійно залежна.

Слідство.У будь-якій системі n-вимірних векторів не може бути більше ніж n лінійно незалежних.

Доведення.Кожен n-вимірний вектор виражається у вигляді лінійної комбінації n одиничних векторів. Тому, якщо система містить mвекторів та m>n, то, за теоремою, ця система лінійно залежна.

Нехай L- довільний лінійний простір, a i Î L,- Його елементи (вектори).

Визначення 3.3.1.Вираз де , - довільні речові числа, що називається лінійною комбінацією векторів a 1 , a 2 ,…, a n.

Якщо вектор р = , то кажуть, що р розкладений за векторами a 1 , a 2 ,…, a n.

Визначення 3.3.2.Лінійна комбінація векторів називається нетривіальноюякщо серед чисел є хоча б одне відмінне від нуля. В іншому випадку, лінійна комбінація називається тривіальною.

Визначення 3.3.3 . Вектори a 1 , a 2 ,…, a nназиваються лінійно залежними, якщо існують їхня нетривіальна лінійна комбінація, така що

= 0 .

Визначення 3.3.4. Вектори a 1 ,a 2 ,..., a nназиваються лінійно незалежними, якщо рівність = 0 можливо лише у випадку, коли всі числа l 1, l 2,…, l nодночасно дорівнюють нулю.

Зазначимо, що будь-який ненульовий елемент a 1 можна розглядати як лінійно незалежну систему, бо рівність l a 1 = 0 можливо лише за умови l= 0.

Теорема 3.3.1.Необхідною та достатньою умовою лінійної залежності a 1 , a 2 ,…, a nє можливість розкладання, принаймні, одного з цих елементів щодо інших.

Доведення. Необхідність. Нехай елементи a 1 , a 2 ,…, a nлінійно залежні. Це означає, що = 0 , причому хоча б одне з чисел l 1, l 2,…, l nна відміну від нуля. Нехай для певності l 1 ¹ 0. Тоді

тобто елемент a 1 розкладений за елементами a 2 , a 3 , …, a n.

Достатність. Нехай елемент a 1 розкладений елементами a 2 , a 3 , …, a n, Т. е. a 1 = . Тоді = 0 , отже, існує нетривіальна лінійна комбінація векторів a 1 , a 2 ,…, a n, рівна 0 тому вони є лінійно залежними .

Теорема 3.3.2. Якщо хоча б один із елементів a 1 , a 2 ,…, a nнульовий, ці вектори лінійно залежні.

Доведення . Нехай a n= 0 тоді = 0 що означає лінійну залежність зазначених елементів.

Теорема 3.3.3. Якщо серед n векторів будь-які p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Доведення. Нехай для визначеності елементи a1, a2, ..., a pлінійно залежні. Це означає, що існує така нетривіальна лінійна комбінація, що = 0 . Вказана рівність збережеться, якщо додати до обох його частин елемент . Тоді + = 0 при цьому хоча б одне з чисел l 1, l 2,…, lpна відміну від нуля. Отже, вектори a 1 , a 2 ,..., a nє лінійно залежними.

Наслідок 3.3.1.Якщо n елементів лінійно незалежні, то будь-які з них лінійно незалежні (k< n).

Теорема 3.3.4. Якщо вектори a 1 , a 2 ,…, a n - 1 лінійно незалежні, а елементи a 1 , a 2 ,…, a n - 1 , a n лінійно залежні, то вектор a n можна розкласти за векторами a 1 , a 2 ,…, a n - 1 .

Доведення.Оскільки за умовою a 1 , a 2 ,…, a n - 1 , a n лінійно залежні, то існує їхня нетривіальна лінійна комбінація = 0 , причому (інакше, виявляться лінійно залежними вектори a 1 , a 2 ,…, a n - 1). Але тоді вектор

що й потрібно було довести.