Зазвичай рівняння системи записують у стовпчик одне під одним і об'єднують фігурною дужкою

Система рівнянь такого виду, де a, b, c- Числа, а x, y- Змінні, називається системою лінійних рівнянь.

При вирішенні системи рівнянь використовують властивості, справедливі на вирішення рівнянь .

Вирішення системи лінійних рівнянь способом підстановки

Розглянемо приклад

1) Виразити в одному з рівнянь змінну. Наприклад, висловимо yу першому рівнянні, отримаємо систему:

2) Підставляємо у друге рівняння системи замість yвираз 3х-7:

3) Вирішуємо отримане друге рівняння:

4) Отримане рішення підставляємо у перше рівняння системи:

Система рівнянь має єдине рішення: кілька чисел x=1, y=-4. Відповідь: (1; -4) , записується в дужках, на першій позиції значення x, на другий - y.

Розв'язання системи лінійних рівнянь способом складання

Розв'яжемо систему рівнянь з попереднього прикладу шляхом додавання.

1) Перетворити систему таким чином, щоб коефіцієнти при одній зі змінних стали протилежними. Помножимо перше рівняння системи на "3".

2) Складаємо почленно рівняння системи. Друге рівняння системи (будь-яке) переписуємо без змін.

3) Отримане рішення підставляємо у перше рівняння системи:

Розв'язання системи лінійних рівнянь графічним способом

Графічне рішення системи рівнянь із двома змінними зводиться до пошуку координат загальних точок графіків рівнянь.

Графік лінійної функції є пряма. Дві прямі на площині можуть перетинатися в одній точці, бути паралельними або збігатися. Відповідно, система рівнянь може: а) мати єдине рішення; б) не мати рішень; в) мати безліч рішень.

2) Рішенням системи рівнянь є точка (якщо рівняння є лінійними) перетину графіків.

Графічний розв'язок системи

Метод запровадження нових змінних

Заміна змінних може призвести до вирішення простішої системи рівнянь, ніж вихідна.

Розглянемо рішення системи

Введемо заміну, тоді

Переходимо до початкових змінних

Особливі випадки

Не вирішуючи системи лінійних рівнянь, можна визначити кількість її рішень за коефіцієнтами за відповідних змінних.

В даному випадку зручно з другого рівняння системи виразити x через y і підставити отриманий вираз замість x у перше рівняння:

Перше рівняння – рівняння з однією змінною y. Вирішуємо його:

5(7-3y)-2y = -16

Отримане значення y підставляємо у вираз x:

Відповідь: (-2; 3).

У цій системі простіше з першого рівняння виразити y через x і підставити отриманий вираз замість y до другого рівняння:

Друге рівняння – рівняння з однією змінною x. Вирішимо його:

3x-4(-1,5-3,5x)=23

У вираз для y замість x підставляємо x=1 і знаходимо y:

Відповідь: (1; -5).

Тут зручніше з другого рівняння виразити y через x (оскільки ділити на 10 простіше, ніж 4, -9 чи 3):

Вирішуємо перше рівняння:

4x-9 (1,6-0,3x) = -1

4x-14,4+2,7x=-1

Підставляємо x=2 і знаходимо y:

Відповідь: (2; 1).

Перш ніж застосувати метод підстановки, цю систему слід спростити. Обидві частини першого рівняння можна помножити на найменший загальний знаменник, у другому рівнянні розкриваємо дужки та наводимо такі складові:

Отримали систему лінійних рівнянь із двома змінними. Тепер застосуємо підстановку. Зручно з другого рівняння виразити a через b:

Вирішуємо перше рівняння системи:

3(21,5 + 2,5b) - 7b = 63

Залишилось знайти значення a:

Відповідно до правил оформлення, відповідь записуємо у круглих дужках через крапку з комою в алфавітному порядку.

Відповідь: (14; -3).

Висловлюючи одну змінну через іншу, іноді зручніше залишати її з деяким коефіцієнтом.

Розберемо два види розв'язання систем рівняння:

1. Рішення системи шляхом підстановки.
2. Рішення системи методом почленного складання (віднімання) рівнянь системи.

Для того, щоб вирішити систему рівнянь методом підстановкипотрібно слідувати простому алгоритму:
1. Висловлюємо. З будь-якого рівняння виражаємо одну змінну.
2. Підставляємо. Підставляємо в інше рівняння замість вираженої змінної отримане значення.
3. Вирішуємо отримане рівняння з однією змінною. Знаходимо рішення системи.

Для того щоб вирішити систему методом почленного складання (віднімання)потрібно:
1.Вибрати змінну у якої робитимемо однакові коефіцієнти.
2.Складаємо або віднімаємо рівняння, в результаті отримуємо рівняння з однією змінною.
3. Вирішуємо отримане лінійне рівняння. Знаходимо рішення системи.

Рішенням системи є точки перетину графіків функції.

Розглянемо докладно з прикладів рішення систем.

Приклад №1:

Вирішимо методом підстановки

Вирішення системи рівнянь методом підстановки

2x+5y=1 (1 рівняння)
x-10y=3 (2 рівняння)

1. Висловлюємо
Видно що у другому рівнянні є змінна x з коефіцієнтом 1, звідси виходить що найлегше висловити змінну x з другого рівняння.
x=3+10y

2.Після того, як висловили підставляємо в перше рівняння 3+10y замість змінної x.
2(3+10y)+5y=1

3. Вирішуємо отримане рівняння з однією змінною.
2(3+10y)+5y=1 (розкриваємо дужки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Рішенням системи рівняння є точки перетинів графіків, отже нам потрібно знайти x і у, тому що точка перетину складається з x і y.Знайдемо x, в першому пункті де ми виражали туди підставляємо y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Точки прийнято записувати першому місці пишемо змінну x, але в другому змінну y.
Відповідь: (1; -0,2)

Приклад №2:

Вирішимо методом почленного складання (віднімання).

Рішення системи рівнянь шляхом складання

3x-2y=1 (1 рівняння)
2x-3y=-10 (2 рівняння)

1.Вибираємо змінну, припустимо, вибираємо x. У першому рівнянні у змінної x коефіцієнт 3, у другому 2. Потрібно зробити коефіцієнти однаковими, при цьому маємо право домножити рівняння чи розділити будь-яке число. Перше рівняння примножуємо на 2, а друге на 3 і отримаємо загальний коефіцієнт 6.

3x-2y = 1 | * 2
6x-4y = 2

2x-3y=-10 | *3
6x-9y=-30

2.З першого рівняння віднімемо друге, щоб позбавитися від змінної x.Вирішуємо лінійне рівняння.
__6x-4y=2

5y = 32 | :5
y=6,4

3. Знаходимо x. Підставляємо у будь-яке з рівнянь знайдений y, допустимо у перше рівняння.
3x-2y=1
3x-2 * 6,4 = 1
3x-12,8 = 1
3x = 1 +12,8
3x = 13,8 |: 3
x = 4,6

Точкою перетину буде x = 4,6; y=6,4
Відповідь: (4,6; 6,4)

Хочеш готуватися до іспитів безкоштовно? Репетитор онлайн безкоштовно. Без жартів.

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Місце уроку у системі уроків:третій урок вивчення теми “Системи двох лінійних рівнянь із двома змінними”

Тип уроку:вивчення нових знань

Освітня технологія:розвиток критичного мислення через читання та лист

Метод навчання:дослідження

Цілі уроку:освоїти ще один спосіб розв'язання систем лінійних рівнянь із двома змінними - способом додавання

Завдання:

• предметні: формування практичних навичок у вирішенні систем лінійних рівнянь способом підстановки;
• метапредметні: розвивати мислення, свідоме сприйняття навчального матеріалу;
• особистісні: виховання пізнавальної активності, культури спілкування та прищеплення інтересу до предмета

У результаті учень:

• Знає визначення системи лінійних рівнянь із двома змінними;
• Знає, що означає вирішити систему лінійних рівнянь із двома змінними;
• Вміє записувати систему лінійних рівнянь із двома змінними;
• Розуміє, скільки рішень може мати система лінійних рівнянь із двома змінними;
• Вміє визначати, чи має система рішення, і якщо має, то скільки;
• Знає алгоритм розв'язання систем лінійних рівнянь способом підстановки, складення алгебри, графічним способом.

Проблемне питання:"Як вирішити систему лінійних рівнянь із двома змінними?"

Ключові питання:Як і навіщо ми використовуємо рівняння у житті?

Обладнання:презентація; мультимедійний проектор; екран; комп'ютер, робочий зошит з алгебри: 7 клас: до підручника А.Г. Мордковича та ін. “Алгебра – 7” 2012 р.

Ресурси (звідки береться інформація на тему: книги, підручники, Інтернет тощо):підручник "Алгебра - 7" 2012р., А.Г. Мордкович

Форми організації навчальної діяльності учнів (групова, парно-групова, фронтальна тощо):індивідуальна, частково фронтальна, частково парна

Критерії оцінювання:

• А – знання та розуміння +
• В – застосування та міркування
• С – повідомлення +
• D – рефлексія та оцінка

Області взаємодії:

• ATL - Вміти ефективно використовувати час, планувати свою діяльність відповідно до поставлених цілей та завдань, визначати найбільш раціональну послідовність діяльності. Вміння відповідати на запитання, наводити доводи, аргументувати. Вміти аналізувати та оцінювати власну навчально-пізнавальну діяльність, знаходити шляхи вирішення проблем.
• HI учні досліджують наслідки діяльності людини

Хід уроку

I. Організація уроку

ІІ. Перевірка самопідготовки

a) № 12.2(б, в).

Відповідь: (5; 3). Відповідь: (2; 3).

Відповідь: (4;2)

Виразіть одну змінну через іншу:

• p = р / (g * h) - щільність рідини
• р = g * p * h - тиск рідини на дно судини
• h = р / (g * p) - висота
• p = m/V - щільність
• m = V * p-маса
• p = m / V - щільність

Алгоритм розв'язання системи двох рівнянь із двома змінними методом підстановки:

1. Виразити y через x із першого (або другого) рівняння системи.
2. Підставити отримане першому кроці вираз замість y у друге (перше) рівняння системи.
3. Вирішити отримане на другому кроці рівняння щодо х.
4. Підставити знайдене третьому кроці значення x у вираз y через x, отримане першому кроці.
5. Записати відповідь у вигляді пари значень (x; y), які були знайдені відповідно на третьому та четвертому кроках.

Самостійна робота:

У робочому зошиті стор. 46 – 47.

• на "3" № 6(а);
• на "4" № 6(б);
• на "5" № 7.

ІІІ. Актуалізація опорних знань

Що таке система лінійних рівнянь із двома змінними?

Система рівнянь - це два або кілька рівнянь, для яких необхідно знайти всі загальні рішення.

Що є рішенням системи рівнянь із двома змінними?

Рішенням системи двох рівнянь із двома невідомими називають пару чисел (x,y) таку, що якщо підставити ці числа до рівняння системи, то кожне із рівнянь системи звертається до правильної рівності.

Скільки рішень може мати система лінійних рівнянь із двома змінними?

Якщо кутові коефіцієнти рівні, то прямі паралельні, коріння немає.

Якщо кутові коефіцієнти не рівні, то прямі перетинаються один корінь (координати точки перетину).

Якщо кутові коефіцієнти рівні, то прямі збігаються, корінь дуже багато.

IV. Вивчення нового матеріалу

Заповни пропуски: Додаток 1 (з наступною самоперевіркою по слайдах)

V. Робота на тему уроку

В класі: № № 13.2 (а, г), 13.3 (а, г).

VI. Домашнє завдання

Параграф 13 – підручник; словник; № 13.2(б, в), 13.3(б, в).

VII. Підсумок уроку

• Ура! Мені все зрозуміло!
• Є моменти, над якими мені треба попрацювати!
• Були невдачі, але я все подолаю!

VIII. Вирішення завдань на військову складову

Основний бойовий танк Т-80.

Прийнятий на озброєння у 1976 році. Перший у світі серійний танк із основною силовою установкою на базі газотурбінного двигуна.

Основні тактико-технічні дані (ТТД):

Маса, т – 46

Швидкість, км/год – 70

Запас ходу, км – 335-370

Озброєння: 125-мм гладкоствольна зброя (боєкомплект 40 шт.);

12,7-мм кулемет (боєкомплект 300 шт.);

7,62-мм кулемет ПКТ (боєкомплект 2000 шт.)

Скільки часу може перебувати у русі танк Т-80 без дозаправки?

Застосування рівнянь поширене у житті. Вони використовуються в багатьох розрахунках, будівництві споруд та навіть спорті. Рівняння людина використовувала ще в давнину і відтоді їх застосування лише зростає. Метод підстановки дозволяє легко вирішити системи лінійних рівнянь будь-якої складності. Суть методу полягає в тому, що, використовуючи перший вираз системи, ми висловлюємо "у", а далі робимо підстановку отриманого виразу у друге рівняння системи замість "у". Оскільки рівняння вже містить два невідомих, лише одне, ми легко знаходимо значення цієї змінної, та був з її допомогою визначаємо значення другий.

Допустимо, дана система лінійних рівнянь наступного виду:

\[\left\(\begin(matrix) 3x-y-10=0\\ x+4y-12=0 \end(matrix)\right.\]

Виразимо \

\[\left\(\begin(matrix) 3x-10=y\\ x+4y-12=0 \end(matrix)\right.\]

Виконаємо підстановку отриманого виразу у 2 рівняння:

\[\left\(\begin(matrix) y=3x-10\x+4(3x-10)-12=0 \end(matrix)\right.\]

Знайдемо значення \

Спростимо та вирішимо рівняння за допомогою відкриття дужок та обліку правил перенесення членів:

Тепер нам відомо значення \ Використовуємо це для знаходження значення \

Відповідь: [[4; 2).

Де можна вирішити систему рівнянь онлайн шляхом підстановки?

Вирішити систему рівнянь ви можете на нашому сайті. Безкоштовний онлайн вирішувач дозволить вирішити рівняння онлайн будь-якої складності за лічені секунди. Все, що вам необхідно зробити – це просто ввести свої дані у вирішувачі. Також ви можете дізнатися, як вирішити рівняння на нашому сайті. А якщо у вас залишилися питання, ви можете задати їх у нашій групі Вконтакте.