Зазвичай другий чудовий ліміт записують у такій формі:
\begin(equation) \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e\end(equation)
Число $e$, вказане у правій частині рівності (1), є ірраціональним. Наближене значення цього числа таке: $ e \ approx (2 (,) 718281828459045) $. Якщо зробити заміну $t=\frac(1)(x)$, то формулу (1) можна переписати в такому вигляді:
\begin(equation) \lim_(t\to(0))\biggl(1+t\biggr)^(\frac(1)(t))=e\end(equation)
Як і для першої чудової межі, неважливо, який вираз стоїть замість змінної $x$ у формулі (1) або замість змінної $t$ у формулі (2). Головне – виконання двох умов:
- Підстава ступеня (тобто вираз у дужках формул (1) і (2)) має прагнути одиниці;
- Показник ступеня (тобто $x$ у формулі (1) або $\frac(1)(t)$ у формулі (2)) має прагнути нескінченності.
Говорять, що друга чудова межа розкриває невизначеність $1^\infty$. Зауважте, що у формулі (1) ми не уточнюємо, про яку саме нескінченність ($+\infty$ або $-\infty$) йдеться. У кожному з цих випадків формула (1) є вірною. У формулі (2) змінна $t$ може прагнути нулю як зліва, і справа.
Зазначу, що є також кілька корисних наслідків із другої чудової межі. Приклади використання другої чудової межі, як і наслідків із нього, дуже популярні у укладачів стандартних типових розрахунків і контрольних робіт.
Приклад №1
Обчислити межу $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7)$.
Відразу зазначимо, що основа ступеня (тобто $\frac(3x+1)(3x-5)$) прагне одиниці:
$$ \lim_(x\to\infty)\frac(3x+1)(3x-5)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(3+\frac(1)(x))(3-\frac(5)(x)) =\frac(3+0)(3-0) = 1. $$
У цьому показник ступеня (вираз $4x+7$) прагне нескінченності, тобто. $\lim_(x\to\infty)(4x+7)=\infty$.
Підстава ступеня прагне одиниці, показник ступеня - до нескінченності, тобто. ми маємо справу з невизначеністю $1^\infty$. Застосуємо формулу для розкриття цієї невизначеності. В основі ступеня формули розташовано вираз $1+\frac(1)(x)$, а в наведеному нами прикладі підстава ступеня таке: $\frac(3x+1)(3x-5)$. Тому першою дією стане формальне припасування виразу $\frac(3x+1)(3x-5)$ під вигляд $1+\frac(1)(x)$. Для початку додамо і віднімемо одиницю:
$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) $$
Слід врахувати, що так додати одиницю не можна. Якщо ми змушені додати одиницю, то її потрібно і відняти, щоб не змінювати значення всього виразу. Для продовження рішення врахуємо, що
$$ \frac(3x+1)(3x-5)-1 =\frac(3x+1)(3x-5)-\frac(3x-5)(3x-5) =\frac(3x+1- 3x+5)(3x-5) = frac(6)(3x-5). $$
Оскільки $\frac(3x+1)(3x-5)-1=\frac(6)(3x-5)$, то:
$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\ left(1+\frac(6)(3x-5)\right)^(4x+7) $$
Продовжимо «підганяння». У виразі $1+\frac(1)(x)$ формули в чисельнику дробу знаходиться 1, а в нашому виразі $1+\frac(6)(3x-5)$ у чисельнику знаходиться $6$. Щоб отримати $1$ у чисельнику, опустимо $6$ у знаменник за допомогою наступного перетворення:
$$ 1+\frac(6)(3x-5) =1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6)) $$
Таким чином,
$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(6)(3x-5)\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) $$
Отже, основа ступеня, тобто. $1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))$, підігнано під вигляд $1+\frac(1)(x)$, який потрібно у формулі . Тепер почнемо працювати із показником ступеня. Зауважте, що у формулі висловлювання, які у показники ступеня й у знаменнику, однакові:
Отже, й у прикладі показник ступеня і знаменник треба призвести до однакової формі. Щоб отримати в показнику ступеня вираз $\frac(3x-5)(6)$, просто домножимо показник ступеня на цей дріб. Природно, що з компенсації такого домноження, доведеться відразу примножити на зворотний дріб, тобто. на $ frac (6) (3x-5) $. Отже, маємо:
$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\) infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(3x-5)(6)\cdot\frac(6)(3x-5 )\cdot(4x+7)) =\lim_(x\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\ frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)) $$
Окремо розглянемо межу дробу $\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)$, розташованого в ступені:
$$ \lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot\left(4+\frac(7)(x)\right))(3-\frac(5)(x)) =6\cdot\ frac(4)(3) =8. $$
Відповідь: $\lim_(x\to(0))\biggl(\cos(2x)\biggr)^(\frac(1)(\sin^2(3x)))=e^(-\frac(2) (9)) $.
Приклад №4
Знайти межу $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)$.
Оскільки при $x>0$ маємо $\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)$, то:
$$ \lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\ left(\frac(x+1)(x)\right)\right) $$
Розкладаючи дріб $\frac(x+1)(x)$ на суму дробів $\frac(x+1)(x)=1+\frac(1)(x)$ отримаємо:
$$ \lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left (x\cdot\ln\left(1+\frac(1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(\ln\left(\frac(x+1)) (x)\right)^x\right) =\ln(e) =1. $$
Відповідь: $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)=1$.
Приклад №5
Знайти межу $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))$.
Оскільки $\lim_(x\to(2))(3x-5)=6-5=1$ і $\lim_(x\to(2))\frac(2x)(x^2-4)= \infty$, ми маємо справу з невизначеністю виду $1^\infty$. Детальні пояснення наведено в прикладі №2, тут же обмежимося коротким рішенням. Зробивши заміну $ t = x-2 $, отримаємо:
$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\begin(aligned)&t=x-2 ;\;x=t+2\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(2t+4)(t^2+4t))=\\ =\lim_(t\to(0) )\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t)\cdot 3t\cdot\frac(2t+4)(t^2+4t)) =\lim_(t\to(0) )\left(\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t))\right)^(\frac(6\cdot(t+2))(t+4)) =e^ 3. $$
Можна розв'язати цей приклад і інакше, використовуючи заміну: $t=\frac(1)(x-2)$. Зрозуміло, відповідь буде тим самим:
$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\begin(aligned)&t=\frac( 1) (x-2); x; =\lim_(t\to\infty)\left(1+\frac(3)(t)\right)^(t\cdot\frac(4t+2)(4t+1))=\\ =\lim_ (t\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(t)(3))\right)^(\frac(t)(3)\cdot\frac(3)(t) \cdot\frac(t\cdot(4t+2))(4t+1)) =\lim_(t\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(t)( 3))\right)^(\frac(t)(3))\right)^(\frac(6\cdot(2t+1))(4t+1)) =e^3. $$
Відповідь: $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))=e^3$.
Приклад №6
Знайти межу $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) $.
З'ясуємо, чого прагне вираз $\frac(2x^2+3)(2x^2-4)$ за умови $x\to\infty$:
$$ \lim_(x\to\infty)\frac(2x^2+3)(2x^2-4) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(2+\frac(3)(x^2))(2-\frac(4)(x^2)) =\frac(2+0)(2 -0) = 1. $$
Таким чином, у заданій межі ми маємо справу з невизначеністю виду $1^\infty$, яку розкриємо за допомогою другої чудової межі:
$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(2x^2+3)(2x^2-4)-1\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to \infty)\left(1+\frac(7)(2x^2-4)\right)^(3x) =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac (2x^2-4)(7))\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4) )(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7)\cdot\frac(7)(2x^2-4)\cdot 3x) =\lim_(x\to\infty) \left(\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4)(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7))\right)^( \frac(21x)(2x^2-4)) =e^0 =1. $$
Відповідь: $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x)=1$.
КОНСПЕКТ 20
20.1 РОЗКРИТТЯ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ ВИДУ
Приклад 1
Вирішити межу 
Спочатку спробуємо підставити -1 в дріб: 
У разі отримано так звана невизначеність.
Загальне правило:якщо в чисельнику та знаменнику знаходяться багаточлени, і є невизначеності виду, то для її розкриття потрібно розкласти чисельник та знаменник на множники.
Для цього найчастіше потрібно вирішити квадратне рівняння та (або) використовувати формули скороченого множення.
Розкладемо чисельник на множники. 
Приклад 2
Обчислити межу 
Розкладемо чисельник і знаменник на множники.
Чисельник знаменник: 
,
Метод множення чисельника та знаменника на сполучене вираз
Продовжуємо розглядати невизначеність виду
Наступний тип меж схожий на попередній тип. Єдине, крім багаточленів, у нас додадуться коріння.
Приклад 3
Знайти межу 
Помножимо чисельник і знаменник на сполучене вираз.
20.2 РОЗКРИТТЯ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ ВИДУ
Зараз ми розглянемо групу меж, коли , а функція є дріб, в чисельнику і знаменнику якого знаходяться багаточлени
Приклад 4
Обчислити межу 
Згідно з нашим правилом, спробуємо підставити нескінченність у функцію. Що в нас виходить вгорі? Нескінченність. А що виходить унизу? Теж нескінченність. Таким чином, у нас є так звана невизначеність виду. Можна було б подумати, що і відповідь готова, але в загальному випадку це зовсім не так, і потрібно застосувати певний прийом рішення, який ми зараз і розглянемо.
Як вирішувати межі цього типу?
Спочатку ми дивимося на чисельник і знаходимо у старшому ступені: 
Старший ступінь у чисельнику дорівнює двом.
Тепер дивимося на знаменник і теж знаходимо у старшому ступені: 
Старший ступінь знаменника дорівнює двом.
Потім ми вибираємо найстарший ступінь чисельника і знаменника: у цьому прикладі вони збігаються і дорівнюють двійці.
Отже, метод вирішення наступний: для того, щоб розкрити невизначеністьнеобхідно розділити чисельник та знаменник нау старшому ступені.
Розділимо чисельник та знаменник на 
Ось воно як відповідь, а зовсім не нескінченність.
Що важливо в оформленні рішення?
По-перше, вказуємо невизначеність, якщо вона є.
По-друге, бажано перервати рішення для проміжних пояснень. Я зазвичай використовую знак , він не несе ніякого математичного сенсу, а означає, що рішення перервано для проміжного пояснення.
По-третє, вкрай бажано помічати, що й куди прагне. Коли робота оформляється від руки, зручніше це зробити так: 
Для позначок краще використовувати простий олівець.
Звичайно, можна нічого цього не робити, але тоді, можливо, викладач відзначить недоліки у вирішенні або почне ставити додаткові запитання. А воно Вам потрібне?
Приклад 5
Знайти межу 
Знову в чисельнику і знаменнику знаходимо у старшому ступені: 
Максимальний ступінь у чисельнику: 3 Максимальний ступінь у знаменнику: 4 Вибираємо найбільшезначення, у разі четвірку. Відповідно до нашого алгоритму, для розкриття невизначеностіділимо чисельник і знаменник. Повне оформлення завдання може виглядати так:
Приклад 6
Знайти межу 
Максимальний ступінь «ікса» у чисельнику: 2 Максимальний ступінь «ікса» у знаменнику: 1 (можна записати як) Для розкриття невизначеності необхідно розділити чисельник і знаменник. Чистовий варіант рішення може виглядати так:
Розділимо чисельник та знаменник на
Під записом мається на увазі не розподіл на нуль (ділити на нуль не можна), а розподіл на нескінченно мале число.
Таким чином, при розкритті невизначеності виду у нас може вийти кінцеве числонуль або нескінченність.
ПРАКТИКУМ 20
ЗАВДАННЯ N 1
Рішення:Якщо замість змінної поставити значення 7, якого вона прагне, то отримаємо невизначеність відтоді 
ЗАВДАННЯ N 2Тема: Розкриття невизначеності виду "нуль на нуль"
Рішення:Якщо замість змінної поставити значення 0, до якого вона прагне, то отримаємо невизначеність відтоді
ЗАВДАННЯ N 3Тема: Розкриття невизначеності виду "нуль на нуль"
Рішення:Якщо замість змінної поставити значення 6, якого вона прагне, то отримаємо невизначеність відтоді
ЗАВДАННЯ N 4
Рішення:Так як 
і 
ЗАВДАННЯ N 5Тема: Розкриття невизначеності виду "нескінченність на нескінченність"
Рішення:Так як 
і 
то має місце невизначеність видуДля її розкриття потрібно розділити кожне доданок чисельника і знаменника на. Тоді, знаючи, що отримаємо: 
САМОСТІЙНА РОБОТА 20
ЗАВДАННЯ N 1Тема: Розкриття невизначеності виду "нуль на нуль"
ЗАВДАННЯ N 2Тема: Розкриття невизначеності виду "нуль на нуль"
ЗАВДАННЯ N 3Тема: Розкриття невизначеності виду "нуль на нуль"
ЗАВДАННЯ N 4Тема: Розкриття невизначеності виду "нескінченність на нескінченність"
ЗАВДАННЯ N 5Тема: Розкриття невизначеності виду "нескінченність на нескінченність"Межа функції 
дорівнює …
ЗАВДАННЯ N 6Тема: Розкриття невизначеності виду "нескінченність на нескінченність"
Межі завдають всім студентам, які вивчають математику, чимало клопоту. Щоб вирішити межу, часом доводиться застосовувати масу хитрощів і вибирати з багатьох способів розв'язання саме той, який підійде для конкретного прикладу.
У цій статті ми не допоможемо вам зрозуміти межі своїх можливостей чи осягнути межі контролю, але постараємося відповісти на запитання: як зрозуміти межі у вищій математиці? Розуміння приходить з досвідом, тому зараз наведемо кілька докладних прикладів вирішення меж з поясненнями.
Поняття межі математики
Перше питання: що це взагалі за межу та межу чого? Можна говорити про межі числових послідовностей та функцій. Нас цікавить поняття межі функції, оскільки саме з ними найчастіше стикаються студенти. Але спочатку - загальне визначення межі:
Припустимо, є певна змінна величина. Якщо ця величина у процесі зміни необмежено наближається до певного числа a , то a - Межа цієї величини.
Для певної в певному інтервалі функції f(x)=y межею називається таке число A , якого прагне функція при х , що прагне до певної точки а . Крапка а належить інтервалу, у якому визначено функція.
Звучить громіздко, але записується дуже просто:
Lim- від англійської limit- Межа.
Існує також геометричне пояснення визначення межі, але тут ми не лізтимемо в теорію, оскільки нас більше цікавить практична, ніж теоретична сторона питання. Коли ми говоримо, що х прагне якогось значення, це означає, що змінна не приймає значення числа, але нескінченно близько до нього наближається.
Наведемо конкретний приклад. Завдання – знайти межу.
Щоб вирішити такий приклад, підставимо значення x=3 у функцію. Отримаємо:
До речі, якщо вас цікавлять базові операції над матрицями, читайте окрему статтю на цю тему.
У прикладах х може прагнути будь-якого значення. Це може бути будь-яке число чи нескінченність. Ось приклад, коли х прагне нескінченності:
Інтуїтивно зрозуміло, що чим більше число у знаменнику, тим менше значення прийматиме функція. Так, за необмеженого зростання х значення 1/х буде зменшуватись і наближатися до нуля.
Як бачимо, щоб вирішити межу, потрібно просто підставити на функцію значення, якого прагнути х . Однак це найпростіший випадок. Часто перебування межі негаразд очевидне. У межах зустрічаються невизначеності типу 0/0 або нескінченність/нескінченність . Що робити у таких випадках? Вдаватися до хитрощів!
Невизначеності в межах
Невизначеність виду нескінченність/нескінченність
Нехай є межа:
Якщо спробуємо у функцію підставити нескінченність, то отримаємо нескінченність як і чисельнику, і у знаменнику. Взагалі варто сказати, що у вирішенні таких невизначеностей є певний елемент мистецтва: треба помітити, як можна перетворити функцію в такий спосіб, щоб невизначеність пішла. У нашому випадку розділимо чисельник і знаменник на х у старшому ступені. Що вийде?
З уже розглянутого вище прикладу ми знаємо, що члени, які містять у знаменнику х, прагнутимуть нуля. Тоді рішення межі:
Для розкриття невизначеностей типу нескінченність/нескінченністьділимо чисельник і знаменник на ху найвищому ступені.
До речі! Для наших читачів зараз діє знижка 10% на будь-який вид роботи
Ще один вид невизначеностей: 0/0
Як завжди, підстановка у функцію значення х=-1 дає 0 у чисельнику та знаменнику. Подивіться трохи уважніше і Ви помітите, що у чисельнику у нас квадратне рівняння. Знайдемо коріння та запишемо:
Скоротимо та отримаємо:
Отже, якщо ви стикаєтеся з невизначеністю типу 0/0 - Розкладайте чисельник і знаменник на множники.
Щоб Вам було простіше вирішувати приклади, наведемо таблицю за межами деяких функцій:
Правило Лопіталя в межах
Ще один потужний спосіб дозволяє усунути невизначеності обох типів. У чому полягає суть методу?
Якщо межі є невизначеність, беремо похідну від чисельника і знаменника до того часу, поки невизначеність не зникне.
Наочно правило Лопіталя виглядає так:
Важливий момент : межа, в якій замість чисельника та знаменника стоять похідні від чисельника та знаменника, має існувати.
А тепер – реальний приклад:
В наявності типова невизначеність 0/0 . Візьмемо похідні від чисельника та знаменника:
Вуаля, невизначеність усунена швидко та елегантно.
Сподіваємося, що Ви зможете з користю застосувати цю інформацію на практиці та знайти відповідь на питання "як вирішувати межі у вищій математиці". Якщо потрібно обчислити межу послідовності або межу функції в точці, а часу на цю роботу немає від слова «зовсім», зверніться до професійного студентського сервісу за швидким та докладним рішенням.
У попередній статті ми розповідали, як правильно обчислювати межі елементарних функцій. Якщо ж ми візьмемо більш складні функції, то в розрахунках з'являться вирази з невизначеним значенням. Вони й називаються невизначеністю.
Вирізняють такі основні види невизначеностей:
- Розподіл 0 на 0 0 0;
- Розподіл однієї нескінченності на іншу ∞ ∞ ;
- нескінченність, зведена у нульовий ступінь ∞ 0 .
0, зведений у нульовий ступінь 0 0;
Ми перерахували всі основні невизначеності. Інші висловлювання у різних умовах можуть набувати кінцеві чи нескінченні значення, отже, вони можуть вважатися невизначеностями.
Розкриття невизначеностей
Розкрити невизначеність можна:
- За допомогою спрощення виду функції (використання формул скороченого множення, тригонометричних формул, додаткове множення на сполучені вирази та подальше скорочення та ін);
За допомогою чудових меж;
За допомогою правила Лопіталя;
Замінивши один нескінченно малий вираз на еквівалентний йому вираз (як правило, ця дія виконується за допомогою таблиці нескінченно малих виразів).
Всю інформацію, наведену вище, можна наочно подати у вигляді таблиці. З лівого боку в ній наводиться вид невизначеності, з правого - відповідний метод її розкриття (знаходження межі). Цією таблицею дуже зручно користуватися при розрахунках, пов'язаних із знаходженням меж.
| Невизначеність | Метод розкриття невизначеності |
| 1. Розподіл 0 на 0 | Перетворення та подальше спрощення вираження. Якщо вираз має вигляд sin (k x) k x або k x sin (k x), то потрібно використовувати першу чудову межу. Якщо таке рішення не підходить, користуємося правилом Лопіталя або таблицею еквівалентних нескінченно малих виразів |
| 2. Розподіл нескінченності на нескінченність | Перетворення та спрощення виразу або використання правила Лопіталя |
| 3. Помноження нуля на нескінченність або знаходження різниці між двома нескінченностями | Перетворення на 0 0 або ∞ ∞ з подальшим застосуванням правила Лопіталя |
| 4. Одиниця у ступеня нескінченності | Використання другої чудової межі |
| 5. Зведення нуля або нескінченності в нульовий ступінь | Логарифмування виразу із застосуванням рівності lim x → x 0 ln (f(x)) = ln lim x → x 0 f (x) |
Розберемо кілька завдань. Ці приклади досить прості: у них відповідь виходить відразу після підстановки значень та невизначеності при цьому не виникає.
Приклад 1
Обчисліть межу lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 .
Рішення
Виконуємо підстановку значень та отримуємо відповідь.
lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 1 3 + 3 · 1 - 1 1 5 + 3 = 3 4 = 3 2
Відповідь: lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 3 2 .
Приклад 2
Обчисліть межу lim x → 0 (x 2 + 2 , 5) 1 x 2 .
Рішення
У нас є показово статечна функція, в основі якої потрібно підставити x = 0 .
(x 2 + 2, 5) x = 0 = 0 2 + 2, 5 = 2, 5
Отже, ми можемо перетворити межу на такий вираз:
lim x → 0 (x 2 + 2 , 5) 1 x 2 = lim x → 0 2 , 5 1 x 2
Тепер розберемося з показником - статечною функцією 1 x 2 = x - 2. Заглянемо в таблицю меж для статечних функцій з показником менше нуля і отримаємо таке: → 0 + 0 x - 2 = + ∞
Таким чином, можна записати, що lim x → 0 (x 2 + 2 , 5) 1 x 2 = lim x → 0 2 , 5 1 x 2 = 2, 5 + ∞ .
Тепер беремо таблицю меж показових функцій з основами, великими 0 і отримуємо:
lim x → 0 (x 2 + 2 , 5) 1 x 2 = lim x → 0 2 , 5 1 x 2 = 2 , 5 + ∞ = + ∞
Відповідь: lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = + ∞ .
Приклад 3
Обчисліть межу lim x → 1 x 2 – 1 x – 1 .
Рішення
Виконуємо підстановку значень.
lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 1 2 - 1 1 - 1 = 0 0
У результаті вийшла невизначеність. Використовуємо вище таблицю, щоб вибрати метод рішення. Там зазначено, що потрібно виконати спрощення виразу.
lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 0 0 = lim x → 1 (x - 1) · (x + 1) x - 1 = = lim x → 1 (x - 1) · (x + 1) · (x + 1) x - 1 = lim x → 1 (x + 1) · x - 1 = = 1 + 1 · 1 - 1 = 2 · 0 = 0
Як бачимо, спрощення призвело до розкриття невизначеності.
Відповідь: lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 0
Приклад 4
Обчисліть межу lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x.
Рішення
Підставляємо значення та отримуємо запис наступного виду.
lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = 3 - 3 12 - 3 - 6 + 3 = 0 9 - 9 = 0 0
Ми дійшли необхідності ділити нуль на нуль, що є невизначеністю. Подивимося необхідний спосіб рішення у таблиці – це спрощення і перетворення висловлювання. Виконаємо додаткове множення чисельника та знаменника на сполучене знаменнику вираз 12 - x + 6 + x:
lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = 0 0 = lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x
Примноження знаменника виконується для того, щоб потім можна було скористатися формулою скороченого множення (різниця квадратів) і виконати скорочення.
lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x = lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x 2 - 6 + x 2 = lim x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x 12 - x - (6 + x) = = lim x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x 6 - 2 x = lim x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x - 2 (x - 3) = = lim x → 3 12 - x + 6 + x - 2 = 12 - 3 + 6 + 3 - 2 = 9 + 9 - 2 = - 9 = - 3
Як ми бачимо, внаслідок цих дій нам вдалося позбутися невизначеності.
Відповідь: lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = -3.
Важливо, що під час вирішення подібних завдань підхід з використанням домноження використовується дуже часто, тому радимо запам'ятати, як саме це робиться.
Приклад 5
Обчисліть межу lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 .
Рішення
Виконуємо підстановку.
lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 1 2 + 2 · 1 - 3 3 · 1 2 - 5 · 1 + 2 = 0 0
Зрештою у нас вийшла невизначеність. Рекомендований спосіб розв'язання завдання у разі – спрощення висловлювання. Оскільки за значення x , рівному одиниці, чисельник і знаменник звертаються в 0 , ми можемо розкласти їх у множники і потім скоротити на х - 1 ,і тоді невизначеність зникне.
Виконуємо розкладання чисельника на множники:
x 2 + 2 x - 3 = 0 D = 2 2 - 4 · 1 · (- 3) = 16 ⇒ x 1 = - 2 - 16 2 = - 3 x 2 = - 2 + 16 2 = 1 ⇒ x 2 + 2 x - 3 = x + 3 x - 1
Тепер робимо те саме зі знаменником:
3 x 2 - 5 x + 2 = 0 D = - 5 2 - 4 · 3 · 2 = 1 ⇒ x 1 = 5 - 1 2 · 3 = 2 3 x 2 = 5 + 1 2 · 3 = 1 ⇒ 3 x 2 - 5 x + 3 = 3 x - 2 3 x - 1
Ми отримали межу такого виду:
lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 0 0 = lim x → 1 x + 3 · x - 1 3 · x - 2 3 · x - 1 = = lim x → 1 x + 3 3 · x - 2 3 = 1 + 3 3 · 1 - 2 3 = 4
Як бачимо, під час перетворення нам вдалося позбутися невизначеності.
Відповідь: lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 4 .
Далі нам потрібно розглянути випадки меж на нескінченності від статечних виразів. Якщо показники цих виразів будуть більшими за 0 , то межа на нескінченності також виявиться нескінченною. У цьому основне значення має найбільша ступінь, інші можна не враховувати.
Наприклад, lim x → ∞ (x 4 + 2 x 3 - 6) = lim x → ∞ x 4 = ∞ або lim x → ∞ x 4 + 4 x 3 + 21 x 2 - 11 5 = lim x → ∞ x 4 5 = ∞.
Якщо під знаком межі у нас стоїть дріб зі статечними виразами в чисельнику та знаменнику, то при x → ∞ у нас виникає невизначеність виду ∞ ∞ . Щоб позбавитися цієї невизначеності, нам потрібно розділити чисельник і знаменник дробу на x m a x (m , n) . Наведемо приклад розв'язання такого завдання.
Приклад 6
Обчисліть межу lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 .
Рішення
lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = ∞ ∞
Ступені чисельника та знаменника рівні 7 . Ділимо їх на x 7 і отримуємо:
lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 x 7 3 x 7 + 12 x 7 = = lim x → ∞ 1 + 2 x 2 - 4 x 7 3 + 12 x 7 = 1 + 2 ∞ 2 - 4 ∞ 7 3 + 12 ∞ 7 = 1 + 0 - 0 3 + 0 = 1 3
Відповідь: lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = 13.
Приклад 7
Обчисліть межу lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 .
Рішення
lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞
Чисельник має ступінь 8 3 а знаменник 2 . Виконаємо поділ чисельника та знаменника на x 8 3:
lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞ = lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 8 3 x 2 + x + 1 x 8 3 = = lim x → ∞ 1 + 11 x 8 3 1 x 2 3 + 1 x 5 3 + 1 x 8 3 = 1 + 11 ∞ 3 1 ∞ + 1 ∞ + 1 ∞ = 1 + 0 3 0 + 0 + 0 = 1 0 = ∞
Відповідь: lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞.
Приклад 8
Обчисліть межу lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 .
Рішення
lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞
У нас є чисельник ступенем 3 і знаменник ступенем 10 3 . Значить, нам потрібно розділити чисельник і знаменник на x 103:
lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞ = lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 3 x 10 + 56 x 7 + 12 3 x 10 3 = = lim x → ∞ 1 x 1 3 + 2 x 4 3 - 1 x 10 3 1 + 56 x 3 + 12 x 10 3 = 1 ∞ + 2 ∞ - 1 ∞ 1 + 56 ∞ + 12 ∞ 0 + 0 - 0 1 + 0 + 0 3 = 0
Відповідь: lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 – 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = 0 .
Висновки
У випадку з межею відносин можливі три основні варіанти:
Якщо ступінь чисельника дорівнює ступеню знаменника, то межа дорівнюватиме відношенню коефіцієнтів при старших ступенях.
Якщо ступінь чисельника буде більшим за ступінь знаменника, то межа дорівнюватиме нескінченності.
Якщо ступінь чисельника менший від ступеня знаменника, то межа дорівнюватиме нулю.
Інші методи розкриття невизначеностей ми розберемо у окремих статтях.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Невизначеність виду і виду - найпоширеніші невизначеності, які потрібно розкривати під час вирішення меж.
Більшість завдань на межі, що трапляються студентам, несуть у собі такі невизначеності. Для їх розкриття або, точніше, уникнення невизначеностей існує кілька штучних прийомів перетворення виду вираження під знаком межі. Ці прийоми такі: почленное розподіл чисельника і знаменника на старшу ступінь змінної, примноження на сполучене вираз і розкладання на множники для подальшого скорочення з допомогою рішень квадратних рівнянь і формул скороченого множення.
Невизначеність виду
приклад 1.
nдорівнює 2. Тому почленно ділимо чисельник і знаменник на:
.
Коментар до правої частини виразу. Стрілками та цифрами позначено, чого прагнуть дроби після підстановки замість nзначення нескінченність. Тут, як і в прикладі 2, ступінь nу знаменника більше, ніж у чисельнику, внаслідок чого весь дріб прагне нескінченно малої величини або "супермалого числа".
Отримуємо відповідь: межа цієї функції при змінній, що прагне нескінченності, дорівнює .
приклад 2. .
Рішення. Тут старший ступінь змінної xдорівнює 1. Тому почленно ділимо чисельник і знаменник на x:
.
Коментар до ходу рішення. У чисельнику заганяємо "ікс" під корінь третього ступеня, а щоб його початковий ступінь (1) залишався незмінним, привласнюємо йому той самий ступінь, що й у кореня, тобто 3. Стрілок і додаткових чисел у цьому записі вже немає, так що спробуйте подумки, але за аналогією з попереднім прикладом визначити, чого прагнуть вирази в чисельнику і знаменнику після підстановки нескінченності замість "ікса".
Отримали відповідь: межа цієї функції при змінній, що прагне нескінченності, дорівнює нулю.
Невизначеність виду
приклад 3.Розкрити невизначеність і знайти межу.
Рішення. У чисельнику - різниця кубів. Розкладемо її на множники, застосовуючи формулу скороченого множення з курсу шкільної математики:
У знаменнику - квадратний тричлен, який розкладемо на множники, вирішивши квадратне рівняння (ще раз посилання на розв'язання квадратних рівнянь):
Запишемо вираз, отриманий в результаті перетворень і знайдемо межу функції:
приклад 4.Розкрити невизначеність і знайти межу
Рішення. Теорема про межу приватного тут не застосовується, оскільки
Тому тотожно перетворимо дріб: помноживши чисельник і знаменник на двочлен, пов'язаний знаменнику, і скоротимо на x+1. Відповідно до слідства з теореми 1, отримаємо вираз, вирішуючи яке, знаходимо потрібну межу:
Приклад 5.Розкрити невизначеність і знайти межу
Рішення. Безпосереднє встановлення значення x= 0 задану функцію призводить до невизначеності виду 0/0. Щоб розкрити її, здійснимо тотожні перетворення і отримаємо в результаті потрібну межу: 
Приклад 6.Обчислити 
Рішення:скористаємося теоремами про межі
Відповідь: 11
Приклад 7.Обчислити 
Рішення:у цьому прикладі межі чисельника та знаменника при рівні 0:
; 
. Отримали, отже, теорему про межі частки застосовувати не можна.
Розкладемо чисельник і знаменник на множники, щоб скоротити дріб на загальний множник, що прагне нуля, і, отже, зробити можливим застосування теореми 3.
Квадратний тричлен у чисельнику розкладемо за формулою , де х 1 і х 2 – коріння тричлена. Розклавши на множники і знаменник, скоротимо дріб на (x-2), потім застосуємо теорему 3.
Відповідь:
приклад 8.Обчислити
Рішення:При чисельник і знаменник прагнуть нескінченності, тому при безпосередньому застосуванні теореми 3 отримуємо вираз , який є невизначеністю. Для позбавлення від невизначеності такого виду слід розділити чисельник та знаменник на старший ступінь аргументу. У цьому прикладі слід розділити на х:
Відповідь:
Приклад 9.Обчислити 
Рішення: х 3:
Відповідь: 2
Приклад 10Обчислити 
Рішення:При чисельник і знаменник прагнуть нескінченності. Розділимо чисельник та знаменник на старшу міру аргументу, тобто. х 5:
= 
чисельник дробу прагне 1, знаменник до 0, тому дріб прагне нескінченності.
Відповідь:
Приклад 11.Обчислити
Рішення:При чисельник і знаменник прагнуть нескінченності. Розділимо чисельник та знаменник на старшу міру аргументу, тобто. х 7:
Відповідь: 0
Похідна.
Похідна функція y = f(x) за аргументом xназивається межа відношення її збільшення y до збільшення x аргументу x, коли збільшення аргументу прагне до нуля: . Якщо ця межа закінчена, то функція y = f(x)називається диференційованою у точці х. Якщо ж ця межа є , то кажуть, що функція y = f(x)має у точці х нескінченну похідну.
Похідні основних елементарних функцій:
1. (const) = 0 9. 
3. 11. 
4. 
12. 
5. 13. 
6. 
14. 
Правила диференціювання:
a) 
в) 
приклад 1.Знайти похідну функції 
Рішення:Якщо похідну від другого доданку знаходимо за правилом диференціювання дробу, то перший доданок є складною функцією, похідна якої знаходиться за формулою:
, де 
тоді
За рішення були використані формули: 1,2,10,а,в,г.
Відповідь:
Приклад 21.Знайти похідну функції 
Рішення:обидва доданків – складні функції, де для першого , , а другого , , тоді
Відповідь: 
Програми похідної.
1. Швидкість та прискорення
Нехай функція s(t) описує становищеоб'єкта в деякій системі координат на момент часу t. Тоді перша похідна функції s(t) є миттєвою швидкістюоб'єкта:
v=s′=f′(t)
Друга похідна функції s(t) є миттєвим прискоренняоб'єкта:
w=v′=s′′=f′′(t)
2. Рівняння дотичної
y−y0=f′(x0)(x−x0),
де (x0, y0) – координати точки дотику, f′(x0) – значення похідної функції f(x) у точці дотику.
3. Рівняння нормалі
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),
де (x0, y0) – координати точки, в якій проведена нормаль, f′(x0) – значення похідної функції f(x) у даній точці.
4. Зростання та зменшення функції
Якщо f′(x0)>0, то функція зростає у точці x0. На малюнку нижче функція зростає при x
Якщо f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1
5. Локальні екстремуми функції
Функція f(x) має локальний максимуму точці x1, якщо існує така околиця точки x1, що для всіх x з цієї околиці виконується нерівність f(x1)≥f(x).
Аналогічно, функція f(x) має локальний мінімуму точці x2, якщо існує така околиця точки x2, що для всіх x з цієї околиці виконується нерівність f(x2)≤f(x).
6. Критичні точки
Точка x0 є критичною точкоюфункції f(x), якщо похідна f′(x0) у ній дорівнює нулю чи немає.
7. Перша достатня ознака існування екстремуму
Якщо функція f(x) зростає (f′(x)>0) для всіх x у певному інтервалі (a,x1] та зменшується (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) для всіх x з інтервалу)
